Definíció 8.3 (1).

Hossza |z| a z = (x, y) vektort a z = x + yi komplex szám modulusának nevezzük

Mivel a háromszög mindkét oldalának hossza nem haladja meg a másik két oldala hosszának összegét, és a háromszög két oldala közötti különbség abszolút értéke nem kisebb, mint a harmadik oldal hossza , akkor bármely két z 1 és z 2 komplex számra érvényesek az egyenlőtlenségek

Meghatározás 8.3 (2).

Komplex szám argumentum. Ha φ az a szög, amelyet egy nem nulla z vektor alkot a valós tengellyel, akkor az alak bármely szöge (φ + 2πn, ahol n egész szám, és csak ilyen szög) a vektor által alkotott szög is lesz. z valós tengellyel.

Az összes szög halmazát, amelyet egy z = (x, y) nem nulla vektor a valós tengellyel alkot, a z = x + yi komplex szám argumentumának nevezzük, és arg z-vel jelöljük. Ennek a halmaznak minden elemét a z szám argumentuma értékének nevezzük (8.3(1) ábra).

Rizs. 8.3. (1) bek.

Mivel egy nem nulla síkvektort egyértelműen meghatároz a hossza és az x tengellyel bezárt szög, akkor két komplex számok, amelyek nem nullák, akkor és csak akkor egyenlők, ha abszolút értékük és argumentumaik egyenlőek.

Ha például a 0≤φ feltételt a z szám φ argumentumának értékeire tesszük<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

8.3. (3) meghatározás

Komplex szám trigonometrikus alakja. A z = x + yi ≠ 0 komplex szám valós és képzetes részeit a modulusában fejezzük ki r= |z| és a φ argumentum a következőképpen (a szinusz és koszinusz definíciójából):

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. z = 0 esetén is ezt fogjuk használni; ebben az esetben r = 0, és φ bármilyen értéket felvehet - a 0 szám argumentuma nincs definiálva. Tehát bármilyen komplex szám felírható trigonometrikus formában.

Az is világos, hogy ha a z komplex számot úgy írjuk fel

akkor az r szám a modulusa, hiszen

És φ az érvelésének egyik értéke

A komplex számok írásának trigonometrikus formája kényelmes lehet komplex számok szorzásakor, különösen lehetővé teszi, hogy megtudja a komplex számok szorzatának geometriai jelentését.

Keressünk képleteket a komplex számok szorzására és osztására a jelölésük trigonometrikus alakjában. Ha egy

majd a komplex számok szorzásának szabályával (az összeg szinuszának és koszinuszának képleteivel)

Így a komplex számok szorzásakor azok abszolút értékét megszorozzuk, és az argumentumokat hozzáadjuk:

Ha ezt a képletet egymás után n komplex számra alkalmazzuk, azt kapjuk

Ha mind az n szám egyenlő, akkor azt kapjuk

Hova

teljesített

Ezért egy olyan komplex szám esetében, amelynek abszolút értéke 1 (ezért van alakja

Ezt az egyenlőséget hívják De Moivre-képletek

Más szóval, komplex számok felosztása során moduljaikat osztják,

és az érveket kivonjuk.

Példák 8.3(1).

Rajzoljon a C komplex síkra olyan ponthalmazt, amely megfelel a következő feltételeknek:

A komplex szám a z = x + i * y alakú szám, ahol x és y valós számok, és i = képzeletbeli egység (azaz olyan szám, amelynek négyzete -1). A fogalom meghatározásához érv integrált számok, figyelembe kell venni a komplex számot a komplex síkon a polárkoordináta-rendszerben.

Utasítás

A sík, amelyen a komplexum számok, komplexnek nevezzük. Ezen a síkon a vízszintes tengelyt a valós foglalja el számok(x), és a függőleges tengely - képzeletbeli számok(y). Egy ilyen síkon a számot két z = (x, y) koordináta adja. A polárkoordináta-rendszerben egy pont koordinátái a modulus és az argumentum. A modul a |z| távolság a ponttól az eredetig. Az argumentum a pontot és az origót összekötő vektor és a koordinátarendszer vízszintes tengelye közötti szög (lásd az ábrát).

Az ábráról látható, hogy a komplexum modulja számok z = x + i * y a Pitagorasz-tétel alapján található: |z| = ? (x^2 + y^2). További érv számok z egy háromszög hegyesszögeként található - a sin, cos, tg:sin = y / trigonometrikus függvények értékein keresztül? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Például legyen adott a z = 5 * (1 + ?3 * i) szám. Először is válassza ki a valós és a képzeletbeli részt: z = 5 +5 * ?3 * i. Kiderül, hogy a valós rész x = 5, és az y képzetes rész = 5 * ?3. Számítsa ki a modulust számok: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Ezután keresse meg a szög szinuszát: sin \u003d 5/10 \u003d 1/2. Ez adja az argumentumot számok z értéke 30°.

2. példa Legyen adott a z = 5 * i szám. Az ábra azt mutatja, hogy a szög = 90°. Ellenőrizze ezt az értéket a fenti képlettel. Írd le ennek a koordinátáit számok a komplex síkon: z = (0, 5). Modul számok|z| = 5. A tg = 5 / 5 = 1 szög érintője. Ebből következik, hogy = 90°.

3. példa: Meg kell találni két komplex szám összegének argumentumát: z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Az összeadás szabályai szerint adjuk hozzá ezt a két komplexet számok: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Továbbá a fenti séma szerint számítsa ki az argumentumot: tg = 9 / 3 = 3.

Ennek a számnak megfelelő: .
A z komplex szám modulusát általában |-vel jelöljük z| vagy r.

Legyen és olyan valós számok, amelyek egy komplex szám (szokásos jelölés). Azután

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi a "komplex szám modulusa" más szótárakban:

komplex szám modulusa- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T terület fizika atitikmenys: engl. komplex szám modulusa vok. Betrag der complexen Zahl, m rus. komplex szám modulusa, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modulus) Egy szám 0-tól való távolságának nagysága. Az x valós szám modulusa vagy abszolút értéke (jelezve |x|) az x és 0 különbsége, előjeltől függetlenül. Ezért ha x0, akkor |x|=x és ha x 0, akkor |x|=–x... Közgazdasági szótár

A komplex számokról lásd: abszolút érték. Az a bázisú logaritmusrendszerről a b bázisú rendszerre való átmenet modulusa az 1/logab ... Nagy enciklopédikus szótár

Egy x valós vagy komplex szám abszolút értéke vagy modulusa az x távolsága az origótól. Pontosabban: Az x valós szám abszolút értéke egy nemnegatív szám, amelyet |x| jelöl és a következőképpen határozzuk meg: ... ... Wikipédia

A z \u003d x + iy komplex szám 1) M. (vagy abszolút értéke) matematikai modulja a ═ szám (a gyököt pluszjellel vesszük). Ha egy z komplex számot z \u003d r trigonometrikus formában ábrázolunk (cos j + i sin j), az r valós szám ... ...

- (matematikában) mértékegység homogén mennyiségek összehasonlítására és az egyik kifejezésre a másikkal; m-t számként fejezzük ki. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) az a szám, amellyel szoroznak ... ... Orosz nyelv idegen szavak szótára

Komplex szám MODULUSA, lásd: Abszolút érték (lásd ABSZOLÚT ÉRTÉK). Az a bázisú logaritmusrendszerről a b bázisú rendszerre való átmenet modulusa az 1/logab ... enciklopédikus szótár

I Modul (a latin modulus mérésből) az építészetben, egy hagyományos egység, amelyet egy épület vagy komplexum részeinek méreteinek összehangolására alkalmaznak. A különböző népek építészetében, az építőipari berendezések jellemzőitől és az épületek összetételétől függően M. ... ... Nagy szovjet enciklopédia

ÉN; m [a lat. modulus mértéke] 1. mit. Szakember. Az az érték, ami azt jellemzi, amit l. merev test tulajdonsága. M. tömörítés. M. rugalmasság. 2. Matek. Valós szám, negatív vagy pozitív szám abszolút értéke. M. komplex szám. M... enciklopédikus szótár

Bármely matematikai numerikus jellemzője. tárgy. Általában M. értéke nemnegatív valós szám, olyan elem, amely bizonyos jellemzőkkel rendelkezik. tulajdonságok a vizsgált objektumok halmazának tulajdonságai miatt. A M. fogalma ...... Matematikai Enciklopédia

Ami egy adott komplex számot reprezentál $z=a+bi$, azt az adott komplex szám modulusának nevezzük.

Egy adott komplex szám modulusát a következő képlet segítségével számítjuk ki:

1. példa

Számítsa ki adott komplex számok modulusát $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$!

A $z=a+bi$ komplex szám modulusát a következő képlettel számítjuk ki: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Az eredeti $z_(1) =13$ komplex számhoz $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13 $

Az eredeti $\ komplex számra z_(2) =4i$ kapjuk: $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Az eredeti $\ komplex számra z_(3) =4+3i$ kapjuk: $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

2. definíció

A valós tengely pozitív iránya és a $\overrightarrow(OM) $ sugárvektor által alkotott $\varphi $ szöget, amely egy adott $z=a+bi$ komplex számnak felel meg, e szám argumentumának nevezzük, ill. $\arg z$ jelöli.

1. megjegyzés

Egy adott komplex szám modulusa és argumentuma kifejezetten használatos komplex szám trigonometrikus vagy exponenciális formában történő ábrázolásakor:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrikus forma;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ az exponenciális alak.

2. példa

Írjon fel egy komplex számot trigonometrikus és exponenciális formában a következő adatok alapján: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Helyettesítse be a $r=3;\varphi =\pi $ adatot a megfelelő képletbe, és kapja meg:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrikus forma

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ az exponenciális alak.

2) Helyettesítse be a $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ adatot a megfelelő képletbe, és kapja meg:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrikus forma

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ az exponenciális alak.

3. példa

Határozzuk meg az adott komplex számok modulusát és argumentumát:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

A modult és az argumentumot az adott komplex szám trigonometrikus, illetve exponenciális formában történő felírásához szükséges képletekkel találjuk meg.

\ \

1) Az eredeti $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ komplex számhoz $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Az eredeti $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ komplex számhoz kap $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Az eredeti $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ komplex számhoz $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Az eredeti $z=13\cdot e^(i\pi ) $ komplex számra $r=13;\varphi =\pi $.

Egy adott komplex szám $z=a+bi$ $\varphi $ argumentuma a következő képletekkel számítható ki:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

A gyakorlatban egy adott komplex szám argumentuma értékének kiszámításához $z=a+bi$ általában a következő képletet használják:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

vagy oldja meg az egyenletrendszert

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(array)\right. $. (**)

4. példa

Számítsa ki a megadott komplex számok argumentumát: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Mivel $z=3$, akkor $a=3,b=0$. Számítsa ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Mivel $z=4i$, akkor $a=0,b=4$. Számítsa ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Mivel $z=1+i$, akkor $a=1,b=1$. Számítsa ki az eredeti komplex szám argumentumát a (**) rendszer megoldásával:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

A trigonometriai kurzusból ismert, hogy $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ az első koordinátanegyednek megfelelő és $\varphi =\frac szögre (\pi )( 4) $.

Mivel $z=-5$, akkor $a=-5,b=0$. Számítsa ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Mivel $z=-2i$, akkor $a=0,b=-2$. Számítsa ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Jegyzet 2

A $z_(3) $ számot a $(0;1)$ pont képviseli, ezért a megfelelő sugárvektor hossza 1, azaz. $r=1$, és a $\varphi =\frac(\pi )(2) $ argumentum a 3. megjegyzés szerint.

A $z_(4) $ számot a $(0;-1)$ pont képviseli, ezért a megfelelő sugárvektor hossza 1, azaz. $r=1$, és a $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ argumentum a 3. megjegyzés szerint.

A $z_(5) $ számot a $(2;2)$ pont képviseli, ezért a megfelelő sugárvektor hossza $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, azaz. $r=2\sqrt(2) $, és a $\varphi =\frac(\pi )(4) $ argumentum a derékszögű háromszög tulajdonsággal.

Komplex számok

Képzeletbeli és komplex számok. Abszcissza és ordináta

összetett szám. Komplex számok konjugálása.

Műveletek komplex számokkal. Geometriai

komplex számok ábrázolása. összetett sík.

Komplex szám modulusa és argumentuma. trigonometrikus

komplex szám alakja. Műveletek komplexussal

számok trigonometrikus formában. Moivre-képlet.

Alapvető információk a képzeletbeli és komplex számok Az „Imagináris és komplex számok” részben találhatók. Ezeknek az új típusú számoknak az igénye az esetre vonatkozó másodfokú egyenletek megoldása során jelent megD< 0 (здесь Da másodfokú egyenlet diszkriminánsa). Ezek a számok sokáig nem találtak fizikai hasznot, ezért is nevezték "képzetes" számoknak. Most azonban nagyon széles körben használják a fizika különböző területein.

és technológia: elektrotechnika, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.

Komplex számok így írják:a+bi. Itt aés b – valós számok , a én – képzeletbeli egység. e. én 2 = –1. Szám a hívott abszcissza, a b - ordinátaösszetett száma + b .Két komplex száma+biés a-bi hívott konjugált komplex számok.

Főbb megállapodások:

1. Valós számaformában is írhatóösszetett szám:egy + 0 én vagy a - 0 én. Például 5 + 0 bejegyzésekénés 5-0 énugyanazt a számot jelenti 5 .

2. Komplex szám 0 + kettőshívott pusztán képzeletbeli szám. Felvételkettősugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.

3. Két komplex száma+bi ésc + diegyenlőnek tekintendők, haa = cés b = d. Másképp a komplex számok nem egyenlőek.

Kiegészítés. Komplex számok összegea+biés c + dikomplex számnak nevezzük (a+c ) + (b+d ) én .És így, amikor hozzá a komplex számokat, azok abszcisszáját és ordinátáit külön-külön hozzáadjuk.

Ez a meghatározás követi a közönséges polinomok kezelésére vonatkozó szabályokat.

Kivonás. Két komplex szám különbségea+bi(csökkentett) és c + di(kivont) komplex számnak nevezzük (a-c ) + (b-d ) én .

És így, két komplex szám kivonásakor az abszcisszáját és ordinátáit külön-külön vonjuk ki.

Szorzás. Komplex számok szorzataa+biés c + di komplex számnak nevezzük.

(ac-bd ) + (ad+bc ) én .Ez a meghatározás két követelményből ered:

1) számok a+biés c + diszoroznia kell, mint az algebrainak binomiális,

2) szám énfő tulajdonsága:én 2 = – 1.

PÉLDA ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Ennélfogva, munka

két konjugált komplex szám egyenlő a valós számmal

pozitív szám.

Osztály. Ossz el egy komplex számota+bi (osztható) másikrac + di(osztó) - a harmadik szám megtalálását jelentie + fi(csevegés), amely osztóval szorozvac + di, ami osztalékot eredményeza + b .

Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.

PÉLDA Find (8+én ) : (2 – 3 én) .

Megoldás. Írjuk át ezt az arányt törtté:

A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-malén

És az összes átalakítás végrehajtása után a következőket kapjuk:

Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:

Itt van a lényeg Ajelentése -3, pontB a 2-es szám, és O- nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Ehhez téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex száma+bi ponttal lesz jelölve P abszcissza a és b ordináta (lásd az ábrát). Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .

modult komplex számot a vektor hosszának nevezzükOP, amely egy komplex számot ábrázol a koordinátán ( átfogó) repülőgép. Komplex számmodulusa+bi jelölése | a+bi| vagy levelet r