BEVEZETÉS

A kézikönyv a műszaki iskolák matematika tanárainak, valamint minden szak másodéves hallgatóinak szól.

Ebben a cikkben a sorozatelmélet alapfogalmait mutatjuk be. Az elméleti anyag megfelel az Állami Középfokú Szakképzési Standard követelményeinek (Oktatási Minisztérium Orosz Föderáció. M., 2002).

A teljes témára vonatkozó elméleti anyag bemutatását nagyszámú példa és feladat mérlegelése kíséri, hozzáférhető, lehetőleg szigorú nyelvezetben. A kézikönyv végén példák és feladatok találhatók, amelyeket a tanulók önkontroll módban végezhetnek el.

A kézikönyv levelező és nappali tagozatos képzésben részt vevő hallgatók számára készült.

Figyelembe véve a technikumi tanulók felkészültségi szintjét, valamint a program által a felsőfokú matematika technikumi letételére szánt rendkívül korlátozott óraszámot (12 óra + 4 font), szigorú következtetések vonhatók le, amelyek nagy nehézségeket okoznak az asszimilációban. , kimarad, a példákra korlátozódik.

ALAPFOGALMAK

Egy matematikai értelemben, például különféle függvények, származékaik és integráljaik kombinációjaként bemutatott probléma megoldásának képesnek kell lennie „számhoz hozni”, ami legtöbbször végső válaszként szolgál. Erre a matematika különböző ágaiban különféle módszereket dolgoztak ki.

Sorozatelméletnek nevezzük a matematikának azt a részét, amely lehetővé teszi bármely jól feltett probléma gyakorlati felhasználáshoz kellő pontosságú megoldását.

Még ha néhány finom fogalom is matematikai elemzés a sorozatelmélettől kilógva jelentek meg, azonnal alkalmazták a sorozatokra, amelyek egyfajta eszközként szolgáltak e fogalmak jelentőségének tesztelésére. Ez a helyzet a mai napig tart.

A forma kifejezése

ahol ;;;…;;… a sorozat tagjai; - nth vagy egy sorozat közös tagját végtelen sorozatnak (számnak) nevezzük.

Ha a sorozat tagjai:

I. Számsor

1.1. A számsorok alapfogalmai.

A számsorozat az alak összege

, (1.1)

ahol a sorozat tagjainak nevezett ,,,…,,… végtelen sorozatot alkot; egy tagot a sorozat közös tagjának nevezünk.

az (1.1) sorozat első tagjaiból összeállítottakat e sorozat részösszegeinek nevezzük.

Minden sor társítható részösszegek sorozatához .

Ha a szám végtelen növekedésével n a sorozat parciális összege a határra hajlik, ekkor a sorozatot konvergensnek, a számot pedig a konvergens sorozat összegének nevezzük, azaz.

Ez a bejegyzés egyenértékű a bejegyzéssel

.

Ha az (1.1) sorozat részösszege korlátlan növekedéssel n nincs véges határértéke ( hajlamos vagy ), akkor az ilyen sorozatot ún divergens .

Ha a sor konvergens , akkor a kellően nagy érték n a sorozat összegének hozzávetőleges kifejezése S.

A különbséget a sorozat maradékának nevezzük. Ha a sorozat konvergál, akkor a maradéka nullára hajlik, azaz és fordítva, ha a maradék nullára, akkor a sorozat konvergál.

1.2. Példák számsorokra.

Példa 1. Az űrlap sorozata

(1.2)

hívott geometriai .

A geometriai sorozat egy geometriai sorozat tagjaiból alakul ki.

Ismeretes, hogy az összeg az első n tagjai. Nyilvánvalóan ez n- sorozat (1.2) részösszege.

Lehetséges esetek:

Az (1.2) sorozat a következő formában jelenik meg:

, a sorozat eltér;

Az (1.2) sorozat a következő formában jelenik meg:

Nincs határ, a sorozat eltér egymástól.

véges szám, a sorozat konvergál.

- a sorozat eltér.

Tehát ez a sorozat a -nál konvergál, és -nél divergál.

2. példa Az űrlap sorozata

(1.3)

hívott harmonikus .

Írjuk fel ennek a sorozatnak a részösszegét:

Az összeg nagyobb, mint az alábbiak szerint bemutatott összeg:

vagy .

Ha akkor , vagy .

Ezért ha , akkor , azaz. a harmonikus sorozat szétválik.

3. példa Az űrlap sorozata

(1.4)

hívott általánosított harmonikus .

Ha , akkor ez a sorozat harmonikus sorozattá alakul, ami divergens.

Ha , akkor ennek a sorozatnak a tagjai nagyobbak, mint a harmonikus sorozat megfelelő tagjai, és ezért eltér. Amikor van egy geometriai sorozatunk, amelyben ; ez konvergens.

Tehát az általánosított harmonikus sorozat -nál konvergál, és -nél divergál.

1.3. A konvergenciához szükséges és elégséges kritériumok.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma.

A sorozat csak akkor konvergálhat, ha a közös tagja nullára hajlik, ahogy a szám korlátlanul növekszik: .

Ha , akkor a sorozat eltér, ami elégséges jel sorozatbeli eltérés.

Elegendő feltételek egy sorozat konvergenciájához pozitív tagjai.

Pozitív tagú sorozatok összehasonlításának jele.

A vizsgált sorozat akkor konvergál, ha tagjai nem haladják meg egy másik, nyilvánvalóan konvergens sorozat megfelelő tagjait; a vizsgált sorozat eltér, ha annak feltételei meghaladják egy másik, nyilvánvalóan eltérő sorozat megfelelő feltételeit.

D'Alembert jele.

Ha pozitív feltételekkel rendelkező sorozathoz

feltétel teljesül, akkor a sorozat a -nál konvergál és -nál tér el.

d'Alembert jele nem ad választ, ha . Ebben az esetben más módszereket alkalmaznak a sorozat tanulmányozására.

Feladatok.

Írj egy sorozatot a megadott közös kifejezéssel:

Feltéve, hogy ,,,… végtelen számsorozatunk van:

Feltételeit hozzáadva a sorozatot kapjuk

.

Ugyanezt csinálva megkapjuk a sorozatot

.

Az 1,2,3,… értékeket megadva, és figyelembe véve, hogy,,,…, megkapjuk a sorozatot

.

Megtalálni n- a sorozat ik tagja a megadott első feltételek szerint:

A sorozat tagjainak nevezője az elsőtől kezdve páros számok; Következésképpen, n- A sorozat edik tagjának alakja .

A sorozat tagjainak számlálói természetes számsort, a megfelelő nevezők pedig természetes számsort, a megfelelő nevezők pedig 3-tól kezdődő természetes számsort alkotnak. Az előjelek a törvény szerint, ill. a törvényhez. Eszközök, n- A sorozat edik tagjának alakja . vagy .

Vizsgálja meg a sorozatok konvergenciáját a szükséges konvergencia teszt és az összehasonlító teszt segítségével:

;

.

Találunk .

A sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, de a konvergencia kérdésének megoldásához az egyik elégséges konvergencia kritériumot kell alkalmazni. Hasonlítsa össze ezt a sorozatot a geometriai sorozattal

,

ami konvergál azóta.

Összehasonlítva ennek a sorozatnak a tagjait a másodiktól kezdve a geometriai sorozat megfelelő tagjaival, megkapjuk az egyenlőtlenségeket

azok. ennek a sorozatnak a másodiktól kezdődő tagjai ennek megfelelően kisebbek a geometriai sorozat tagjainál, amiből az következik, hogy az adott sorozat konvergál.

.

Itt teljesül a sorozat divergenciájának elégséges kritériuma; ezért a sorozat eltér.

Találunk .

A sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesül. Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot az általánosított harmonikus sorozattal

,

ami konvergál, hiszen ezért az adott sorozat is konvergál.

Vizsgálja meg a sorozatok konvergenciáját a d'Alembert-próbával:

;

.

Helyettesítve a sorozat közös kifejezésébe n szám n+ 1, megkapjuk. Határozzuk meg a -edik tag -hoz arányának határát n- mu tag itt:

Ezért ez a sorozat konvergál.

Tehát ez a sorozat eltér egymástól.

Azok. a sor eltér.

II. váltakozó sorozatok

2.1 A váltakozó sorozat fogalma.

Számsorozat

hívott váltakozó ha tagjai pozitív és negatív számokat is tartalmaznak.

A számsort hívják váltakozó ha bármely két szomszédos tag ellentétes előjelű.

ahol mindenkinek (vagyis olyan sorozatnak, amelynek pozitív és negatív tagjai sorra követik egymást). Például,

;

;

.

A váltakozó sorozatok esetében elegendő a konvergencia kritériuma (leibniz 1714-ben állapította meg I. Bernoullinak írt levelében).

2.2 Leibniz jele. A sorozat abszolút és feltételes konvergenciája.

Tétel (Leibniz-próba).

Egy váltakozó sorozat akkor konvergál, ha:

A sorozat tagjainak abszolút értékeinek sorozata monoton csökken, pl. ;

A sorozat közös tagja nullára hajlik:.

Ráadásul a sorozat S összege kielégíti az egyenlőtlenségeket

Megjegyzések.

A forma váltakozó sorozatának tanulmányozása

(negatív első taggal) az összes tagját megszorozzuk a sorozat tanulmányozásával .

Olyan sorozatokat nevezünk, amelyekre a Leibniz-tétel feltételei teljesülnek Leibnizian (vagy Leibniz sorozat).

A reláció lehetővé teszi, hogy egyszerű és kényelmes becslést kapjunk a hibáról, amelyet az összeg cseréjével követünk el S ennek a sorozatnak a részösszegével .

A kiselejtezett sorozat (a maradék) is váltakozó sorozat , amelynek összege kisebb, mint a sorozat első tagja, vagyis a hiba kisebb, mint az elvetett tagok közül az első tag modulusa.

Példa. Számítsa ki hozzávetőlegesen a sorozat összegét!

Megoldás: adott Leibniz típusú sorozat. Konvergál. Tudsz írni:

.

Öt kifejezést véve, i.e. helyettesíthető

Kövessünk el egy kisebb hibát

hogyan . Így,.

A váltakozó sorozatok esetében a következő általános elegendő konvergenciakritérium érvényesül.

Tétel. Adjunk meg egy váltakozó sorozatot

Ha a sorozat konvergál

az adott sorozat tagjainak modulusaiból áll össze, akkor maga a váltakozó sorozat konvergál.

A váltakozó sorozatok Leibniz-féle konvergenciakritériuma elégséges kritérium a váltakozó sorozatok konvergenciájához.

A váltakozó sorozat az ún abszolút konvergens , ha a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, pl. minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Ha egy váltakozó sorozat konvergál, és a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat eltér, akkor ezt a sorozatot ún. feltételesen (nem abszolút) összetartó.

2.3. Feladatok.

Vizsgálja meg a konvergenciát (abszolút vagy feltételes) egy váltakozó sorozatot:

És

Ezért a Leibniz-teszt szerint a sorozatok konvergálnak. Nézzük meg, hogy ez a sorozat abszolút vagy feltételesen konvergál.

Sor , amely az adott sorozat abszolút értékeiből áll, egy harmonikus sorozat, amely eltér. Ezért ez a sorozat feltételesen konvergál.

Ennek a sorozatnak a feltételei monoton módon csökkennek abszolút értékben:

, de

.

A sorozat eltér, mert a Leibniz-teszt nem állja meg a helyét.

A Leibniz-teszt segítségével azt kapjuk

;,

azok. a sorozat összefolyik.

.

Ez egy geometriai sorozat, amelynek alakja hol, amely összefolyik. Ezért ez a sorozat abszolút konvergál.

A Leibniz-teszt segítségével megvan

;

, azaz a sorozat összefolyik.

Tekintsünk egy sorozatot, amely a sorozat feltételeinek abszolút értékéből áll:

, vagy

.

Ez egy általánosított harmonikus sorozat, amely eltér, mivel. Ezért ez a sorozat feltételesen konvergál.

III. Funkcionális tartomány

3.1. A funkcionális sorozat fogalma.

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek tagjai függvényei funkcionális :

Ha egy bizonyos értéket adunk a -nak, azt kapjuk számsorozat

amely lehet konvergens vagy divergens.

Ha az eredményül kapott számsor konvergál, akkor a pontot hívjuk konvergencia pont funkcionális sor; ha a sorozat szétválik eltérési pont funkcionális sor.

Az argumentum számértékeinek halmazát, amelynél a funkcionális sorozat konvergál, annak nevezzük konvergencia régióban .

Egy funkcionális sorozat konvergencia tartományában az összege a : bizonyos függvénye.

A konvergencia régióban az egyenlőség határozza meg

, ahol

Egy sorozat részösszege.

Példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét.

Megoldás. Ez a sorozat egy geometriai progresszió sorozata nevezővel. Ezért ez a sorozat a következőhöz konvergál, azaz mindenkinek ; a sorozat összege ;

, nál nél .

3.2. Teljesítmény sorozat.

A hatványsorozat az alak sorozata

,

hol vannak a számok hívott sorozat együtthatók , és a kifejezés a sorozat gyakori kifejezése.

Konvergencia terület teljesítmény sorozat az összes érték halmaza, amelyre az adott sorozat konvergál.

A számot hívják konvergencia sugár hatványsorok, ha esetén a sorozat konvergál, sőt, abszolút, és esetén a sorozat eltér.

A konvergencia sugarát a d'Alembert-próbával találjuk meg:

(nem attól függ),

azok. ha a hatványsor az adott feltételt kielégítő bármelyikre konvergál és divergál -ra.

Ebből következik, hogy ha van határ

,

akkor a sorozat konvergencia sugara egyenlő ezzel a határértékkel, és a hatványsor -ban konvergál, azaz, amelyek között ún konvergencia intervallum (intervallum).

Ha , akkor a hatványsor egyetlen pontban konvergál .

Az intervallum végén a sorozat (abszolút vagy feltételesen) konvergálhat, de el is térhet.

A és a hatványsorok konvergenciáját az egyik konvergenciakritérium segítségével vizsgáljuk.

3.3. Feladatok.

Keresse meg a sorozat konvergencia területét:

Megoldás. Keresse meg ennek a sorozatnak a konvergencia sugarát:

.

Ezért ez a sorozat abszolút az egész szám tengelyén konvergál.

Megoldás. Használjuk d'Alembert jelét. Ehhez a sorozathoz a következőket kínáljuk:

.

A sorozat abszolút konvergál, ha vagy . Vizsgáljuk meg a sorozat viselkedését a konvergencia intervallum végén.

Mert van egy sorozatunk

Mert van egy sorozatunk szintén konvergens Leibniz sorozat. Ezért az eredeti sorozat konvergencia tartománya egy szegmens.

Megoldás. Keresse meg a sorozat konvergencia sugarát:

Ezért a sorozat konvergál, azaz nál nél.

Vegyünk egy sorozatot , ami a Leibniz-teszt szerint konvergál.

Vegyünk egy eltérő sorozatot

.

Ezért az eredeti sorozat konvergencia tartománya az intervallum.

IV. Bomlás elemi függvények a Maclaurin sorozatban.

Az alkalmazásoknál fontos, hogy tudjunk ezt a funkciót hatványsorban bővíteni, azaz. ábrázolja a függvényt egy hatványsor összegeként.

Egy függvény Taylor sorozatát az alak hatványsorának nevezzük

Ha , akkor a Taylor sorozat egy speciális esetét kapjuk

amelyet úgy hívnak Maclaurin közelében .

A konvergenciaintervallumán belüli hatványsorokat tetszőlegesen lehet tagonként differenciálni és integrálni, és a kapott sorozatok azonos konvergenciaintervallummal rendelkeznek, mint az eredeti sorozat.

Két hatványsor adható össze és szorozható tagonként a polinomok összeadási és szorzási szabályai szerint. Ebben az esetben az eredményül kapott új sorozatok konvergencia intervalluma egybeesik az eredeti sorozat konvergencia intervallumainak közös részével.

Ahhoz, hogy egy függvényt Maclaurin sorozattá bővítsünk, a következőkre van szükség:

Számítsa ki a függvény értékeit és az egymást követő deriváltjait a pontban, azaz,,,…,;

Állítson össze egy Maclaurin-sort úgy, hogy egy függvény értékét és annak egymást követő származékait behelyettesíti a Maclaurin-sor képletébe;

Keresse meg a kapott sorozatok konvergencia intervallumát a képlettel!

, .

1. példa: Bontsa ki a függvényt egy Maclaurin sorozatban.

Megoldás. Mivel , akkor a kiterjesztésben helyette a következőt kapjuk:

2. példa Írja fel a függvény Maclaurin sorozatát! .

Megoldás. Mivel , akkor azt a képletet használva, amelyben helyettesítjük a -val, a következőt kapjuk:

,

3. példa: Bontsa ki a függvényt egy Maclaurin sorozatban.

Megoldás. Használjuk a képletet. Mivel

, majd ezt lecserélve a következőt kapjuk:

, vagy

hol , azaz .

V. Gyakorlati feladatok a tanulók önkontrolljához.

Állítsa be a konvergenciát a sorozat-összehasonlító teszt segítségével

feltételesen konvergál;

feltételesen konvergál;

abszolút megegyezik.

;

;

VII. Történeti hivatkozás.

Sok probléma megoldása a függvények és integrálok értékeinek kiszámítására, vagy az ismeretlen függvények deriváltjait vagy differenciáljait tartalmazó differenciálegyenletek megoldására redukálódik.

Ezeknek a matematikai műveleteknek a pontos végrehajtása azonban sok esetben nagyon nehéznek vagy lehetetlennek bizonyul. Ezekben az esetekben lehetséges számos probléma hozzávetőleges megoldása tetszőleges pontossággal sorozat segítségével.

A sorozat a matematikai elemzés egyszerű és tökéletes eszköze függvények, integrálok és differenciálegyenletek megoldásainak közelítő kiszámításához.

És a funkcionális jobb oldalán állva.

Ahhoz, hogy az egyenlőségjelet a „” jel helyett tegyük, további érvelést kell végezni, amely pontosan az egyenlőség jobb oldalán lévő tagok számának végtelenségéhez kapcsolódik, és a sorozat konvergencia tartományára vonatkozik.

Amikor a Taylor-képlet olyan formát ölt, amelyben Maclaurin-képletnek nevezik:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), Newton tanítványa a Fluxionok traktátusában (1742) megállapította, hogy csak egy hatványsor fejez ki analitikus függvényt, és ez lesz az ilyen függvény által generált Taylor-sor. A Newton-binomiális képletben a hatványok együtthatói azok az értékek, ahol .

Tehát a sorok a 18. században keletkeztek. mint a végtelen differenciálást lehetővé tevő függvények ábrázolásának módja. A sorozat által képviselt függvényt azonban nem összegének nevezték, és általában akkor még nem volt meghatározva, hogy mennyi egy numerikus vagy funkcionális sorozat összege, csak kísérletek történtek ennek a fogalomnak a bevezetésére.

Például L. Euler (1707-1783), miután kiírt egy függvénynek megfelelő hatványsort, adott értéket a változónak. Van egy számsor. Euler az eredeti függvény értékét a pontban e sorozat összegének tekintette. De ez nem mindig igaz.

Azt, hogy az eltérő sorozatoknak nincs összege, a tudósok csak a 19. században kezdték találgatni, bár a XVIII. sokan, és mindenekelőtt L. Euler, keményen dolgoztak a konvergencia és a divergencia fogalmán. Euler egy sorozatot konvergensnek nevez, ha a közös tagja nullára hajlik, mint .

A divergens sorozatok elméletében Euler számos jelentős eredményt ért el, de ezek az eredmények sokáig nem találtak alkalmazásra. Még 1826-ban N.G. Ábel (1802-1829) az eltérő sorokat „ördögi kitalációnak” nevezte. Euler eredményei csak a 19. század végén találtak igazolást.

A konvergens sorozat összege fogalmának kialakításakor a francia tudós O.L. Cauchy (1789-1857); rendkívül sokat tett nemcsak a sorozatelméletben, hanem a határok elméletében is, magának a határfogalomnak a kialakításában. 1826-ban Cauchy kijelentette, hogy az eltérő sorozatoknak nincs összege.

1768-ban francia matematikus és filozófus J.L. D'Alembert a binomiális sorozat következő tagjának az előzőhöz viszonyított arányát tanulmányozta, és kimutatta, hogy ha ez az arány abszolút értékben kisebb egynél, akkor a sorozat konvergál. Cauchy 1821-ben bebizonyította azt a tételt, amely szerint Általános nézet előjel-pozitív sorozatok konvergenciájának jele, amelyet ma d'Alembert-jelnek neveznek.

A váltakozó sorozatok konvergenciájának vizsgálatára Leibniz-próbát használunk.

G.V. Leibniz (1646-1716), a nagy német matematikus és filozófus, I. Newton mellett a differenciál- és integrálszámítás megalapítója.

Bibliográfia:

Fő:

1. Bogomolov N.V., Gyakorlati leckék a matematikából. M., " Gimnázium”, 1990 – 495 p.;
2. Tarasov N.P., Felsőfokú matematika tanfolyam a műszaki iskolák számára. M., "Nauka", 1971 - 448 p.;
3. Zaitsev I.L., Felsőfokú matematika tanfolyam műszaki iskolák számára. M., Műszaki Iskolák Állami Könyvkiadója - elméleti irodalom, 1957 - 339 p.;
4. Pismenny D.T., Előadások kurzusa a felsőbb matematikáról. M., „Iris Press”, 2005, 2. rész – 256 p.;
5. Vygodsky M.Ya., A felsőfokú matematika kézikönyve. M., "Nauka", 1975-872 p.;

További:

1. Gusak A.A., felsőbb matematika. 2 köt., 2. köt.: Tankönyv egyetemisták számára. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 p.;
2. Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematika a gazdasági szakterületek hallgatói számára. 2. rész Krasznodar, 2002 - 348 p.;
3. Griguletsky V.G. stb. Feladatfüzet matematikából. Krasznodar. KSAU, 2003 - 170 p.;
4. Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Feladatok és gyakorlatok a számviteli és pénzügyi kar hallgatói számára. Krasznodar. 2001 - 173 p.;
5. Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Felső matematika. Krasznodar, 1998 - 186 p.;
6. Malykhin V.I., Matematika a közgazdaságtanban. M., "Infra-M", 1999-356s.

Sorok teáskannákhoz. Megoldási példák

Minden túlélőt szeretettel várunk a második évben! Ebben a leckében, vagy inkább egy leckesorozatban megtanuljuk a sorok kezelését. A téma nem túl nehéz, de elsajátításához az első kurzusból ismeretekre lesz szüksége, különösen meg kell értenie mi a határ, és képes legyen megtalálni a legegyszerűbb határokat. De nem baj, a magyarázatok során megadom a megfelelő linkeket a szükséges leckékhez. Egyes olvasók számára a matematikai sorozatok, a megoldási módszerek, az előjelek, a tételek témája különösnek, sőt igénytelennek, abszurdnak tűnhet. Ilyenkor nem kell sokat „rakodni”, elfogadjuk a tényeket úgy, ahogy vannak, és egyszerűen megtanuljuk megoldani a tipikus, gyakori feladatokat.

1) Sorok teáskannákhoz, szamovároknak pedig azonnal tartalom :)

Egy téma ultragyors előkészítéséhez van egy pdf formátumú expressz tanfolyam, aminek segítségével tényleg egy nap alatt "fel lehet emelni" a gyakorlatot.

A számsor fogalma

Általában számsorozatígy írható:
Itt:
- az összeg matematikai ikonja;
– a sorozat közös kifejezése(emlékezz erre az egyszerű kifejezésre);
- változó - "számláló". A rekord azt jelenti, hogy az összegzést 1-től „plusz végtelenig” hajtják végre, azaz először van , majd , majd , és így tovább - a végtelenig. Egy változó vagy néha változó helyett használatos. Az összegzés nem feltétlenül egyből indul, bizonyos esetekben indulhat nulláról, kettőről vagy bármelyikből természetes szám.

A „számláló” változónak megfelelően bármely sorozat részletesen festhető:
– és így tovább a végtelenségig.

Feltételek - ezt SZÁMOK, amelyek az úgynevezett tagjai sor. Ha ezek mind nem negatívak (nullánál nagyobb vagy egyenlő), akkor egy ilyen sorozat az úgynevezett pozitív számegyenes.

1. példa

Egyébként ez már „harci” feladat - a gyakorlatban gyakran a sorozat több tagjának felvételére van szükség.

Akkor először:
Akkor, akkor:
Akkor, akkor:

A folyamat korlátlanul folytatható, de a feltételnek megfelelően a sorozat első három tagjának felírása volt kötelező, ezért a választ leírjuk:

Vegye figyelembe az alapvető különbséget számsorozat,
amelyben a feltételeket nem összegzik, hanem ekként kezelik.

2. példa

Írd le a sorozat első három tagját!

Ez egy példa az önálló megoldásra, a válasz a lecke végén található.

Még egy bonyolultnak tűnő sorozat esetében sem nehéz kibővített formában leírni:

3. példa

Írd le a sorozat első három tagját!

Valójában a feladatot szóban hajtják végre: mentálisan helyettesítő a sorozat közös kifejezésében először , majd és . Végül is:

Hagyd így a választ jobb nem egyszerűsíteni a sorozat kapott feltételeit, azaz nem felel meg műveletek: , , . Miért? Válaszoljon az űrlapon sokkal könnyebben és kényelmesebben ellenőrizheti a tanár.

Néha ennek fordítottja van

4. példa

Itt nincs egyértelmű megoldási algoritmus. csak látnia kell a mintát.
Ebben az esetben:

Ellenőrzés céljából a kapott sorozatot kiterjesztett formában „visszafesthetjük”.

De a példa egy kicsit nehezebb egy független megoldáshoz:

5. példa

Írja fel az összeget összecsukott formában a sorozat egy közös tagjával!

Ellenőrizd újra úgy, hogy bővített formában írod a sorozatot

Számsorok konvergenciája

A téma egyik legfontosabb célja az sorozat vizsgálata a konvergencia szempontjából. Ebben az esetben két eset lehetséges:

1) Soreltér. Ez azt jelenti, hogy egy végtelen összeg egyenlő a végtelennel: vagy általában összegez nem létezik, mint például a sorozatban
(egyébként itt van egy példa negatív kifejezéseket tartalmazó sorozatra). A lecke elején találtunk egy jó példát az eltérő számsorokra: . Itt teljesen nyilvánvaló, hogy a sorozat minden következő tagja nagyobb, mint az előző és ezért a sorozat eltér egymástól. Egy még triviálisabb példa: .

2) Sorkonvergál. Ez azt jelenti, hogy egy végtelen összeg egyenlő néhány végső szám: . Kérem: Ez a sorozat konvergál, és összege nulla. Értelmesebb példa az végtelenül csökkenő iskolás korunk óta ismert geometriai progresszió: . Egy végtelenül csökkenő geometriai sorozat tagjainak összegét a következő képlettel számítjuk ki: , ahol a progresszió első tagja, és az alapja, amelyet általában a következőképpen írunk fel: helyes törtek. Ebben az esetben: , . Ilyen módon: Egy véges számot kapunk, ami azt jelenti, hogy a sorozat konvergál, amit bizonyítani kellett.

Az esetek túlnyomó többségében azonban keresse meg a sorozat összegét nem olyan egyszerű, ezért a gyakorlatban a sorozatok konvergenciájának tanulmányozásához speciális jeleket használnak, amelyek elméletileg bizonyítottak.

A sorozatok konvergenciájának számos jele van: egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma, összehasonlítási kritériumok, d'Alembert-kritérium, Cauchy-kritériumok, Leibniz jeleés néhány egyéb jel. Mikor milyen jelet kell alkalmazni? Ez a sorozat közös kifejezésétől függ, képletesen szólva - a sorozat "töltelékétől". És hamarosan mindent a polcokra teszünk.

! A továbbtanuláshoz szüksége van értsd jól, mi a határ és jó, ha fel tudjuk fedni a forma bizonytalanságát. Az anyag megismétléséhez vagy tanulmányozásához lásd a cikket Korlátok. Megoldási példák.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma

Ha a sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik: .

Ennek az ellenkezője általános esetben nem igaz, vagyis ha , akkor a sorozat konvergálhat és divergálhat is. És hát ezt a jelet igazolni használják eltérés sor:

Ha a sorozat közös kifejezése nem megy nullára, akkor a sorozat szétválik

Vagy röviden: ha , akkor a sorozat szétválik. Különösen olyan helyzet lehetséges, amikor a határ egyáltalán nem létezik, mint pl. határ. Itt egyből alátámasztották egy sorozat eltérését :)

De sokkal gyakrabban a divergens sorozat határa egyenlő a végtelennel, miközben "x" helyett "dinamikus" változóként működik. Frissítsük fel tudásunkat: az "x"-es határértékeket függvényhatároknak, az "en" változós határértékeket pedig a numerikus sorozatok határértékeinek nevezzük. A nyilvánvaló különbség az, hogy az "en" változó diszkrét (nem folytonos) természetes értékeket vesz fel: 1, 2, 3 stb. Ez a tény azonban csekély hatással van a határok megoldására és a bizonytalanságok feltárásának módszereire.

Bizonyítsuk be, hogy az első példa sorozata eltér.
A sorozat közös tagja:

Kimenet: sor eltér

A szükséges funkciót gyakran használják valódi gyakorlati feladatokban:

6. példa

A számlálóban és a nevezőben polinomok vannak. Az, aki figyelmesen elolvasta és megértette a cikkben szereplő bizonytalanság felfedésének módszerét Korlátok. Megoldási példák, biztosan megfogta amikor a számláló és a nevező legmagasabb hatványai egyenlő, akkor a határ az végső szám .

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

Tanulmánysorozat eltér, mivel a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül.

7. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Ez egy „csináld magad” példa. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén

Tehát ha BÁRMILYEN számsort kapunk, először is ellenőrizzük (gondolatosan vagy piszkozaton): nullára hajlik a közös kifejezése? Ha nem törekszik, akkor a 6., 7. példák példája alapján készítünk egy megoldást, és azt a választ adjuk, hogy a sorozat eltér.

Milyen típusú látszólag eltérő sorozatokat vettünk figyelembe? Azonnal világos, hogy a sorok kedvelik vagy eltérnek. A 6. és 7. példák sorozata szintén eltér: ha a számláló és a nevező polinomokat tartalmaz, és a számláló legmagasabb foka nagyobb vagy egyenlő a nevező legmagasabb fokával. Mindezekben az esetekben a példák megoldásánál, tervezésénél a sorozatok konvergenciájához szükséges kritériumot használjuk.

Miért hívják a jelet szükséges? Értsd a legtermészetesebb módon: hogy a sorozatok konvergáljanak, szükségesígy a közös tagja nullára hajlik. És minden rendben lenne, csak ez nem nem elég. Más szavakkal, ha a sorozat közös tagja nullára hajlik, ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál- konvergálhat és eltávolodik is!

Találkozik:

Ezt a sort hívják harmonikus sorozat. Kérlek, emlékezz! A numerikus sorozatok közül prímabalerina. Pontosabban egy balerina =)

Ezt könnyű belátni , DE. A matematikai elemzés elméletében bebizonyosodott, hogy a harmonikus sorozat szétválik.

Ne felejtse el az általánosított harmonikus sorozat fogalmát is:

1) Ez a sor eltér nál nél . Például a sorozatok diverge, , .
2) Ez a sor konvergál nál nél . Például a sorozat , , . Még egyszer hangsúlyozom, hogy szinte minden gyakorlati feladatnál nekünk egyáltalán nem mindegy, hogy mennyi az összeg például a sorozatnak, maga a konvergencia ténye is fontos.

Ezek olyan elemi tények a sorozatelméletből, amelyek már beváltak, és valamilyen gyakorlati példa megoldása során nyugodtan lehet hivatkozni például a sorozatok divergenciájára vagy a sorozatok konvergenciájára.

Általában a vizsgált anyag nagyon hasonló nem megfelelő integrálok tanulmányozása, és aki tanulmányozta ezt a témát, annak könnyebb lesz. Nos, aki nem tanult, annak duplán könnyebb :)

Szóval, mi a teendő, ha a sorozat közös tagja nullára megy? Ilyen esetekben a példák megoldásához másokat kell használni, elegendő a konvergencia/divergencia jelei:

Pozitív számsorok összehasonlítási kritériumai

felhívom a figyelmet hogy itt csak pozitív numerikus sorozatokról beszélünk (nem negatív tagokkal).

Az összehasonlításnak két jele van, az egyiket egyszerűen hívom összehasonlítás jele, egy másik - az összehasonlítás korlátozó jele.

Először fontolja meg összehasonlító jel, vagy inkább az első része:

Tekintsünk két pozitív numerikus sorozatot és . Ha ismert, hogy a sor az konvergál, és valamilyen számból kiindulva teljesül az egyenlőtlenség, majd a sorozat konvergál is.

Más szavakkal: Egy nagyobb tagú sorozat konvergenciája egy kisebb tagú sorozat konvergenciáját jelenti. A gyakorlatban az egyenlőtlenség gyakran teljesül a következő értékek összes értékére:

8. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Először is ellenőrizzük(mentálisan vagy tervezet szerint) végrehajtás:
, ami azt jelenti, hogy nem lehetett „kevés vérrel leszállni”.

Belenézünk az általánosított harmonikus sorozatok „csomagjába”, és a legmagasabb fokra fókuszálva találunk egy hasonló sorozatot: Elméletből ismert, hogy konvergál.

Minden természetes számra érvényes a nyilvánvaló egyenlőtlenség:

a nagyobb nevezők pedig kisebb törteknek felelnek meg:
, ami azt jelenti, hogy az összehasonlítás kritériuma szerint a vizsgált sorozat konvergál mellette együtt .

Ha kétségei vannak, akkor az egyenlőtlenség mindig részletesen lefesthető!Írjuk fel a konstruált egyenlőtlenséget több „en” számra:
Ha akkor
Ha akkor
Ha akkor
Ha akkor
….
és most teljesen világos, hogy az egyenlőtlenség minden természetes számra érvényes "en".

Elemezzük az összehasonlítási kritériumot és a megoldott példát informális oldalról. Mégis, miért konvergál a sorozat? Íme, miért. Ha a sorozat konvergál, akkor van néhány végsőösszeg : . És mivel a sorozat összes tagja Kevésbé a sorozat megfelelő tagjai, akkor egyértelmű, hogy a sorozat összege nem lehet több szám, és még inkább, nem lehet egyenlő a végtelennel!

Hasonlóan bizonyíthatjuk a "hasonló" sorozatok konvergenciáját: , , stb.

! jegyzet hogy minden esetben van „pluszunk” a nevezőkben. Legalább egy mínusz jelenléte súlyosan megnehezítheti a figyelembe vett használatát összehasonlító funkció. Például, ha egy sorozatot ugyanúgy hasonlítunk össze egy konvergens sorozattal (írjunk fel több egyenlőtlenséget az első tagokra), akkor a feltétel egyáltalán nem teljesül! Itt kibújhat, és összehasonlításul választhat egy másik konvergens sorozatot, például , de ez szükségtelen fenntartásokkal és egyéb szükségtelen nehézségekkel jár. Ezért a sorozatok konvergenciájának bizonyításához sokkal egyszerűbb a használata marginális összehasonlítási kritérium(lásd a következő bekezdést).

9. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

És ebben a példában azt javaslom, hogy fontolja meg magát az összehasonlító funkció második része:

Ha ismert, hogy a sor az eltér, és valamilyen számból kiindulva (gyakran az elsőtől) egyenlőtlenség áll fenn, akkor a sorozat is eltér.

Más szavakkal: A kisebb tagú sorozatok divergenciája a nagyobb tagú sorozatok divergenciáját jelenti.

Mit kell tenni?
A vizsgált sorozatot össze kell hasonlítani egy divergens harmonikus sorozattal. A jobb megértés érdekében konstruáljon néhány konkrét egyenlőtlenséget, és győződjön meg arról, hogy az egyenlőtlenség igaz.

Megoldás és mintaterv az óra végén.

Mint már említettük, a gyakorlatban az imént vizsgált összehasonlító funkciót ritkán használják. A számsor igazi "igáslova" az marginális összehasonlítási kritérium, és a használat gyakoriságát tekintve csak d'Alembert jele.

Numerikus pozitív sorozatok összehasonlításának határjele

Tekintsünk két pozitív numerikus sorozatot és . Ha e sorozatok közös tagjainak arányának határa egyenlő véges nem nulla szám: , akkor mindkét sorozat egyszerre konvergál vagy divergál.

Mikor alkalmazzák a határérték-összehasonlítás kritériumát? Az összehasonlítás határjelét akkor használjuk, ha a sorozat „tölteléke” polinomok. Vagy egy polinom a nevezőben, vagy polinomok a számlálóban és a nevezőben egyaránt. Opcionálisan a polinomok gyökök alatt lehetnek.

Foglalkozzunk azzal a sorozattal, amelynél a korábbi összehasonlítási jel megrekedt.

10. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Hasonlítsa össze ezt a sorozatot a konvergens sorozattal. Az összehasonlítás határtesztjét használjuk. Köztudott, hogy a sorozatok összefolynak. Ha meg tudjuk mutatni, hogy az végső nem nulla szám, akkor bebizonyosodik, hogy a sorozat is konvergál.

Egy véges, nem nulla számot kapunk, ami azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat konvergál mellette együtt .

Miért a sorozatot választották összehasonlításnak? Ha az általánosított harmonikus sorozat „klipjéből” választottunk volna más sorozatot, akkor nem sikerült volna a korlát végső nem nulla számok (kísérletezhet).

jegyzet: ha a marginális összehasonlító funkciót használjuk, nem számít, hogy milyen sorrendben állítsuk össze a közös tagok viszonyát, a vizsgált példában a relációt fordítva is meg lehetne rajzolni: - ez nem változtatna a dolog lényegén.

Számsorok. Numerikus sorozatok konvergenciája és divergenciája. d'Alembert konvergenciakritérium. Változó sorok. Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája. funkcionális sorok. Teljesítmény sorozat. Az elemi függvények bővítése a Maclaurin sorozatban.

Útmutató az 1.4 témához:

Sorok száma:

A számsorozat az alak összege

hol vannak a számok u 1 , u 2 , u 3 , n n , a sorozat tagjainak nevezett végtelen sorozatot alkotnak; az un kifejezést a sorozat közös tagjának nevezzük.

. . . . . . . . .

A sorozat (27.1) első tagjaiból álló részösszegeket a sorozat részösszegeinek nevezzük.

Minden sor társítható részösszegek sorozatához S1, S2, S3. Ha az n szám végtelen növekedésével a sorozat részösszege S n a határig hajlik S, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, és a számot S- konvergens sorozat összege, azaz.

Ez a bejegyzés egyenértékű a bejegyzéssel

Ha részösszeg S n sorozat (27.1) korlátlan növekedéssel n nincs véges határa (különösen + ¥ vagy - ¥ felé hajlik), akkor az ilyen sorozatot divergensnek nevezzük

Ha a sorozat konvergál, akkor az érték S n mert elég nagy n a sorozat összegének közelítő kifejezése S.

Különbség r n = S - S n a sorozat többi részének nevezik. Ha a sorozat konvergál, akkor a maradéka nullára hajlik, azaz. r n = 0, és fordítva, ha a maradék nullára hajlik, akkor a sorozat konvergál.

Egy faj sorozatát ún geometriai vonal.

hívott harmonikus.

ha N®¥, akkor S n®¥, azaz a harmonikus sorozat szétválik.

Példa 1. Írjon egy sorozatot a megadott közös kifejezéssel:

1) ha n = 1, n = 2, n = 3, akkor végtelen számsorozatunk van: , , , Összeadva a tagjait, megkapjuk a sorozatot

2) Ugyanezt csinálva megkapjuk a sorozatot

3) Adjuk meg n-nek az 1, 2, 3 értékeket, és vegyük figyelembe, hogy 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, megkapjuk a sorozatot

2. példa Find n-a sorozat harmadik tagja a megadott első számokkal:

1) ; 2) ; 3) .

3. példa Keresse meg a sorozat tagjainak összegét:

1) Keresse meg a sorozat tagjainak részösszegeit:

Írjuk fel a részösszegek sorrendjét: …, , … .

Ennek a sorozatnak a közös tagja a . Következésképpen,

A részösszegek sorozatának korlátja egyenlő. Tehát a sorozat konvergál, és összege .

2) Ez egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió, ahol a 1 = , q= . A képlet segítségével azt kapjuk, hogy a sorozat konvergál, és összege 1.

Numerikus sorozatok konvergenciája és divergenciája. Konvergencia jel d'Alembert :

Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma. Egy sorozat csak akkor konvergálhat, ha a közös tagja u n korlátlan számnövekedéssel n nullára megy:

Ha , akkor a sorozat eltér - ez elegendő jele a sorozat oldhatóságának.

Elegendő feltételek egy pozitív tagú sorozat konvergenciájához.

Pozitív tagú sorozatok összehasonlításának jele. A vizsgált sorozat akkor konvergál, ha tagjai nem haladják meg egy másik, nyilvánvalóan konvergens sorozat megfelelő tagjait; a vizsgált sorozat eltér, ha annak feltételei meghaladják egy másik nyilvánvalóan eltérő sorozat megfelelő feltételeit.

A konvergencia és oldhatóság sorozatainak ezen az alapon történő vizsgálatánál gyakran használják a geometriai sorozatokat

amely |q|-re konvergál

divergens lévén.

A sorozatok vizsgálatánál az általánosított harmonikus sorozatot is alkalmazzák

Ha p= 1, akkor ez a sorozat harmonikus sorozattá alakul, amely divergens.

Ha p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 van egy geometriai sorozatunk, amelyben | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 és eltér a p£1.

D'Alembert jele. Ha pozitív feltételekkel rendelkező sorozathoz

(u n>0)

feltétel teljesül, akkor a sorozat konvergál a l l > 1.

d'Alembert jele nem ad választ, ha l= 1. Ebben az esetben más módszereket alkalmaznak a sorozat tanulmányozására.

Változó sorok.

Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája:

Számsorozat

u 1 + u 2 + u 3 + u n

alternálónak nevezzük, ha tagjai között vannak pozitív és negatív számok is.

Egy számsort előjel-váltakozónak nevezünk, ha bármely két szomszédos tag ellentétes előjelű. Ez a sorozat egy váltakozó sorozat speciális esete.

Változó sorozatok konvergencia kritériuma. Ha a váltakozó sorozat tagjai abszolút értékben monoton csökkennek és a közös tag u n nullára hajlamos as n® , akkor a sorozat konvergál.

Abszolút konvergensnek nevezünk egy sorozatot, ha a sorozat egyben konvergens is. Ha egy sorozat abszolút konvergens, akkor konvergens (a szokásos értelemben). Ennek a fordítottja nem igaz. Egy sorozatot akkor mondunk feltételesen konvergensnek, ha maga is konvergál, és a tagjainak moduljaiból álló sorozat divergál. 4. példa. Vizsgálja meg a sorozat konvergenciáját.

Alkalmazzuk a Leibniz elégséges tesztet váltakozó sorozatokra. Kapunk, mert. Ezért ez a sorozat konvergál. 5. példa. Vizsgálja meg a sorozat konvergenciáját.

Próbáljuk meg alkalmazni a Leibniz-jelet: Látható, hogy a közös tag modulusa nem nullázódik, ha n→∞. Ezért ez a sorozat eltér egymástól. 6. példa Határozza meg, hogy a sorozat abszolút konvergens, feltételesen konvergens vagy divergens.

A d'Alembert-próbát a megfelelő tagok moduljaiból álló sorozatra alkalmazva azt találjuk, hogy Ezért ez a sorozat abszolút konvergál.

7. példa: Vizsgáljon meg konvergenciát (abszolút vagy feltételes) egy váltakozó sorozatot:

1) Ennek a sorozatnak a feltételei monoton módon csökkennek abszolút értékben és . Ezért a Leibniz-teszt szerint a sorozatok konvergálnak. Nézzük meg, hogy ez a sorozat abszolút vagy feltételesen konvergál.

2) Ennek a sorozatnak a tagjai monoton módon csökkennek abszolút értékben: , de

Funkcionális sorozat:

A szokásos számsorok számokból állnak:

A sorozat összes tagja számok.

A funkcionális vonal a következőkből áll jellemzők:

A sorozat általános kifejezésében a polinomok mellett faktoriálisok stb. biztosan tartalmazza az "x" betűt. Így néz ki például: A számsorokhoz hasonlóan bármely funkcionális sorozat felírható kiterjesztett formában:

Mint látható, a funkcionális sorozat összes tagja funkciókat.

A funkcionális sorozatok legnépszerűbb típusa az teljesítmény sorozat.

Teljesítmény sorozat:

hatalom következő sorozatnak hívják

hol vannak a számok a 0, a 1, a 2, a n a sorozat együtthatóinak és a tagnak nevezzük a n x n a sorozat gyakori tagja.

Egy hatványsor konvergenciatartománya az összes érték halmaza x amelyre a sorozat konvergál.

Szám R a sorozat konvergencia sugarának nevezzük, ha | x| a sorozat összefolyik.

8. példa Adott egy sort

Vizsgáljuk meg a konvergenciáját a pontokban x= 1 és x= 3, x= -2.

Ha x = 1, ez a sorozat számsorozattá változik

Vizsgáljuk meg ennek a sorozatnak a konvergenciáját a d'Alembert-próbával. Nekünk van

Azok. a sorozat összefolyik.

Ha x = 3, megkapjuk a sorozatot

Ami eltér, mivel a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül

Ha x = -2 kapjuk

Ez egy váltakozó sorozat, amely a Leibniz-teszt szerint konvergál.

Tehát a pontokon x= 1 és x= -2. a sorozat konvergál, és azon a ponton x= 3 eltér.

Az elemi funkciók bővítése a Maclaurin sorozatban:

Taylor közelében funkcióhoz f(x) alak hatványsorának nevezzük

Ha, a = 0, akkor a Taylor sorozat egy speciális esetét kapjuk

amelyet úgy hívnak Maclaurin mellett.

A konvergencia intervallumán belüli hatványsorokat tetszőlegesen lehet tagonként differenciálni és integrálni, és az eredményül kapott sorozatok azonos konvergencia intervallumúak, mint az eredeti sorozat.

Két hatványsor adható össze és szorozható tagonként a polinomok összeadási és szorzási szabályai szerint. Ebben az esetben az eredményül kapott új sorozatok konvergencia intervalluma egybeesik az eredeti sorozat konvergencia intervallumainak közös részével.

Ahhoz, hogy egy függvényt Maclaurin sorozattá bővítsünk, a következőkre van szükség:

1) számítsa ki a függvény értékeit és az egymást követő deriváltjait a pontban x= 0, azaz , , .

8. Bontsa ki a Maclaurin függvénysorozatot.

Mielőtt elkezdené a munkát ezzel a témával, azt tanácsolom, hogy tekintse meg a számsorok terminológiáját tartalmazó részt. Különösen érdemes odafigyelni a sorozat közös kifejezésének fogalmára. Ha kétségei vannak a konvergencia jelének helyes megválasztásával kapcsolatban, azt tanácsolom, hogy nézze meg a „Numerikus sorozatok konvergenciajelének kiválasztása” című témát.

A konvergenciához szükséges kritérium A számsorok megfogalmazása egyszerű: a konvergens sorozat közös tagja nullára hajlik. Ezt a funkciót formálisabban is megírhatja:

Ha a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat konvergál, akkor $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

A szakirodalomban gyakran a „konvergencia szükséges kritériuma” kifejezés helyett „a konvergencia szükséges feltételét” írják. De térjünk a lényegre: mit jelent ez a jel? És ez a következőt jelenti: ha $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, akkor a sorozat talán konvergálnak. Ha $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (vagy a korlát egyszerűen nem létezik), akkor a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat eltér.

Érdemes megjegyezni, hogy a $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ egyenlőség egyáltalán nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Egy sorozat akár konvergálhat, akár eltérhet. De ha $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a sorozat garantáltan szétválik. Ha ezek az árnyalatok részletes magyarázatot igényelnek, kérjük, nyissa meg a jegyzetet.

Mit jelent a "szükséges feltétel" kifejezés? mutat elrejt

Tisztázzuk egy példával a szükséges feltétel fogalmát. Tollat ​​venni egy diáknak szükséges van 10 rubel. Ezt a következőképpen írhatjuk fel: ha egy diák tollat ​​vesz, akkor 10 rubel van. A tíz rubel jelenléte a toll vásárlásának szükséges feltétele.

Ez a feltétel teljesüljön, i.e. A diáknak tíz van. Ez azt jelenti, hogy vesz egy tollat? Egyáltalán nem. Vásárolhat tollat, vagy a pénzt későbbre takaríthatja meg. Vagy vegyél mást. Vagy adja oda valakinek - rengeteg lehetőség van :) Vagyis a tollvásárláshoz szükséges feltétel teljesítése (azaz a pénz birtoklása) nem garantálja ennek a tollnak a megvásárlását.

Hasonlóképpen, a $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ számsor konvergenciájának szükséges feltétele egyáltalán nem garantálja magának ennek a sorozatnak a konvergenciáját. Egy egyszerű hasonlat: ha van pénz, a diák vásárolhat tollat ​​vagy nem. Ha $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, akkor a sorozatok konvergálhatnak vagy divergálhatnak.

Mi történik azonban, ha a tollvásárláshoz szükséges feltétel nem teljesül, pl. nem maradt pénz? Akkor a diák biztosan nem vesz tollat. Ugyanez igaz a sorozatokra is: ha nem teljesül a szükséges konvergencia feltétel, pl. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a sorozat mindenképpen el fog térni.

Röviden, ha a szükséges feltétel teljesül, akkor a következmény bekövetkezhet vagy nem. Ha azonban a szükséges feltétel nem teljesül, akkor a következmény biztosan nem következik be.

Az érthetőség kedvéért adok egy példát két sorozatra: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ és $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Az első sorozat $u_n=\frac(1)(n)$ és a második sorozat közös tagja $v_n=\frac(1)(n^2)$ nullára hajlik, azaz.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

A $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ harmonikus sorozat azonban eltér, míg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ konvergál. A szükséges konvergenciafeltétel teljesülése egyáltalán nem garantálja a sorozatok konvergenciáját.

A sorozatok konvergenciájához szükséges feltétel alapján megfogalmazhatjuk elegendő jele az eltérésnek számsor:

Ha $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat eltér.

A standard példákban leggyakrabban a szükséges konvergenciakritérium ellenőrzése történik meg, ha a sorozat közös tagját egy tört reprezentálja, amelynek számlálója és nevezője néhány polinom. Például $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (lásd az 1. példát). Vagy lehetnek gyökök polinomokból (lásd a 2. példát). Vannak olyan példák, amelyek némileg kilógnak ebből a sémából, de ez ritka a szabványos teszteknél (lásd a példákat a témakör második részében). Hangsúlyozom a lényeget: a szükséges kritérium segítségével lehetetlen bizonyítani a sorozatok konvergenciáját. Ezt a kritériumot akkor használjuk, ha bizonyítani kell, hogy a sorozatok eltérnek.

1. példa

Vizsgáljuk meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ sorozat konvergenciáját.

Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Keresse meg a sorozat közös tagjának határát:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (öt). $$

"Két polinom arányának határa". Mivel a sorozat közös tagjának határa nem egyenlő nullával, azaz. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, akkor a konvergenciához szükséges kritérium nem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól.

A megoldásnak azonban vége, de úgy gondolom, az olvasónak egészen jogos kérdése lesz: hogyan láttuk egyáltalán, hogy ellenőrizni kell a szükséges konvergenciafeltétel teljesülését? A numerikus sorozatok konvergenciájának számos jele van, akkor miért ezt választották? Ez a kérdés egyáltalán nem tétlen. De mivel a rá adott válasz nem biztos, hogy minden olvasót érdekel, egy megjegyzés alá rejtettem.

Miért kezdtük el használni a szükséges konvergenciakritériumot? mutat elrejt

Ha lazán szólunk, e sorozat konvergenciájának kérdése már egy formális vizsgálat előtt eldől. Nem érintek olyan témát, mint a növekedés rendje, egyszerűen csak néhány általános indoklást adok. Nézzük meg közelebbről a $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ általános tagját. Nézzük először a számlálót. A számlálóban található szám (-1) azonnal eldobható: ha $n\to\infty$, akkor ez a szám elhanyagolható lesz a többi kifejezéshez képest.

Nézzük meg a $n^2$ és $n$ hatványokat a számlálóban. Kérdés: melyik elem ($n^2$ vagy $n$) nő gyorsabban, mint mások?

A válasz itt egyszerű: $n^2$ fogja a leggyorsabban növelni az értékeit. Például ha $n=100$, akkor $n^2=10\;000$. És ez a különbség $n$ és $n^2$ között egyre nagyobb lesz. Ezért gondolatban elvetjük az összes kifejezést, kivéve azokat, amelyek $n^2$-t tartalmaznak. Ilyen „ledobás” után a számlálóban $3n^2$ lesz. És a nevezőre vonatkozó hasonló eljárás végrehajtása után $5n^2$ marad ott. És a $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ tört a következőképpen alakul: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Azok. a végtelenben a közös kifejezés nyilvánvalóan nem lesz nulla. Csak ezt formálisan meg kell mutatni, ami fent megtörtént.

Egy sorozat közös tagjának rekordjában gyakran olyan elemeket használnak, mint például a $\sin\alpha$ vagy $\arctg\alpha$ és hasonlók. Csak emlékeznie kell arra, hogy az ilyen mennyiségek értéke nem lépheti túl bizonyos számszerű határokat. Például bármi legyen is a $\alpha$, a $\sin\alpha$ értéke $-1≤\sin\alpha≤ 1$ között marad. Vagyis például felírhatjuk, hogy $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Most képzeljük el, hogy a sorozat közös tagjának jelölése egy olyan kifejezést tartalmaz, mint: $5n+\sin(n!e^n)$. Lesz-e jelentős szerepe a szinusznak, amely csak -1-től 1-ig tud "oszcillálni"? Végül is $n$ értékei a végtelenbe rohannak, és a szinusz nem haladhatja meg az egyet! Ezért a $5n+\sin(n!e^n)$ kifejezés előzetes megfontolása során a szinusz egyszerűen elvehető.

Vagy például vegyük az ív érintőt. Bármi legyen is a $\alpha$ argumentum, a $\arctg\alpha$ értékei kielégítik a $-\frac(\pi)(2) egyenlőtlenséget.<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Annak meghatározásához, hogy mely elemeket lehet "eldobni" és melyeket nem, szüksége van egy kis készségre. Leggyakrabban egy sorozat konvergenciájának kérdése már a formális vizsgálat előtt is megoldható. És a szabványos példákban végzett formális tanulmány csak az intuitív módon kapott eredmény megerősítéseként szolgál.

Válasz: a sorozat eltér.

2. példa

Vizsgálja meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ sorozatot a konvergencia szempontjából.

Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12) $. Keresse meg a sorozat közös tagjának határát:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Ha ennek a határnak a megoldásának módja kérdéseket vet fel, akkor azt tanácsolom, hogy olvassa el a "Határok az irracionalitással. A harmadik rész" témakört (7. példa). Mivel a sorozat közös tagjának határa nem egyenlő nullával, azaz. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a konvergencia szükséges kritériuma nem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól.

Beszéljünk egy kicsit az intuitív érvelés felől. Itt elvileg minden igaz, ami az 1. számú példa megoldásának megjegyzésében elhangzott. Ha gondolatban "elvetjük" az összes "irreleváns" kifejezést a sorozat közös tagjának számlálójában és nevezőjében, akkor a $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ a következő formában lesz: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Azok. még egy formális vizsgálat előtt világossá válik, hogy $n\to\infty$ esetén a sorozat közös tagja nem fog nullára esni. A végtelenig - lesz, a nulláig - nem. Ezért csak ezt szigorúan meg kell mutatni, ami fent megtörtént.

Válasz: a sorozat eltér.

3. példa

Vizsgáljuk meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ sorozat konvergenciáját.

Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Keresse meg a sorozat közös tagjának határát:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(aligned)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(igazított)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$

Mivel a sorozat közös tagjának határa nem egyenlő nullával, azaz. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a konvergencia szükséges kritériuma nem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól.

Néhány szó a határszámításkor végrehajtott átalakításokról. A $5^n$ kifejezés a számlálóba került, így a számlálóban és a nevezőben is végtelenül kicsinyek lesznek. Azok. $n\to\infty$ esetében a következőket találjuk: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ és $\frac(1)(5^n)\to 0$. Ha pedig van egy infinitezimális arányunk, akkor nyugodtan alkalmazhatjuk az "Ekvivalens infinitezimális függvények" dokumentumban megadott képleteket (lásd a dokumentum végén található táblázatot). Az egyik képlet szerint, ha $x\to 0$, akkor $\sin x\sim x$. És van egy ilyen esetünk: mivel $\frac(8)(3^n)\-től 0$-ig, akkor $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Más szavakkal, egyszerűen lecseréljük a $\sin\frac(8)(3^n)$ kifejezést a $\frac(8)(3^n)$ kifejezésre.

Felmerülhet a kérdés szerintem, hogy miért alakítottuk át a $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ kifejezést tört alakra, mert a helyettesítés ilyen átalakítás nélkül is megtörténhetett volna. A válasz itt a következő: a csere megoldható, de ez legális lesz? Az ekvivalens infinitezimális függvényekre vonatkozó tétel egyértelműen jelzi, hogy az ilyen helyettesítések csak a $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ formájú kifejezésekben lehetségesek (míg $\alpha(x)$ és $ \beta (x)$ - végtelenül kicsi) a határjel alatt található. Tehát a kifejezésünket tört alakra alakítottuk át, illesztve azt a tétel követelményeihez.

Válasz: a sorozat eltér.

4. példa

Vizsgáljuk meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ sorozat konvergenciáját.

Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Valójában ennek a sorozatnak a konvergenciájának kérdése könnyen megoldható a D "Alembert-jellel. Azonban a szükséges konvergenciajel is alkalmazható.

Nézzük meg közelebbről a sorozat általános kifejezését. A számláló tartalmazza a $3^n$ kifejezést, amely sokkal gyorsabban növekszik $n$ növekedésével, mint az $n^2$ nevezőben lévő. Hasonlítsa össze saját magát: például ha $n=10$, akkor $3^n=59049$ és $n^2=100$. És ez a szakadék gyorsan növekszik $n$ növekedéssel.

Teljesen logikus azt feltételezni, hogy ha $n\to\infty$, akkor $u_n$ nem fog nullára esni, azaz. a szükséges konvergencia feltétel nem teljesül. Már csak a valószínű hipotézis tesztelése és a $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ kiszámítása van hátra. Mielőtt azonban kiszámítanánk ezt a határértéket, keressük meg a $y=\frac(3^x)(x^2)$ függvény kiegészítő korlátját a $x\to +\infty$-hoz, azaz. kiszámítja a $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Miért tesszük ezt: az a tény, hogy a $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ kifejezésben a $n$ paraméter csak természetes értékeket vesz fel ($n=1,2,3, \ldots$) , és a $y=\frac(3^x)(x^2)$ függvény $x$ argumentuma valós értékeket vesz fel. A $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ megtalálásakor alkalmazhatjuk a L'Hopital-szabályt:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (alkalmazza a L'Hopital's-t szabály) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(alkalmazza a L'Hopital-szabályt)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3) (2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Mivel $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, akkor $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Mivel $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, a sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele nem teljesül, azaz. az adott sorozat eltér.

Válasz: a sorozat eltér.

További példák azokra a sorozatokra, amelyek konvergenciáját a szükséges konvergenciateszttel ellenőrizzük, a témakör második részében találhatók.

A gyakorlatban gyakran nem olyan fontos egy sorozat összegét megtalálni, mint a sorozatok konvergenciájának kérdését. Erre a célra a sorozat közös tagjának tulajdonságain alapuló konvergenciakritériumokat használnak.

EGY SOROZAT KONVERGENCIÁJÁNAK SZÜKSÉGES KRITÉRIUMA

1. TÉTEL.

Ha a sorozat konvergál, akkor a közös kifejezés a n nullára hajlamos as, azaz .

Röviden: ha a sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik.

Következmény: ha , akkor a sorozat eltér.

15. példa.

Megoldás. Ennél a sorozatnál a közös kifejezés és .

Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

16. példa. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat .

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy ennek a sorozatnak a közös tagja, amelynek formája a kifejezés nehézkessége miatt nincs feltüntetve, nullára hajlik n®¥, azok. a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, de ez a sorozat eltér, mivel összege a végtelenbe hajlik.

ELÉGEDŐ KONVERGENCIA FELTÉTELEK

POZITÍV SOROZAT

Olyan számsort hívunk, amelynek minden tagja pozitív előjel-pozitív.

2. TÉTEL. (Az összehasonlítás első jele).

Legyen két pozitív sorozat:

egy 1 + a 2 +a 3 +...+a n+...=(17)

b 1 + b 2 +b 3 +...+b n+...= ,(18)

és valamilyen számból kiindulva N, bárkinek n>N az egyenlőtlenséget a n£ b n. Azután:

1) a sorozatok konvergenciája ("nagyobb") a sorozatok konvergenciáját jelenti ("kisebb");

2) a („kisebb”) sorozat divergenciája a („nagyobb”) sorozat divergenciáját jelenti.

Az összehasonlítás első jelének sematikus jelölése:

a n£ b n

konvergencia

exp.®exp.

Ennek a funkciónak az alkalmazására gyakran olyan szabványos sorozatokat használnak, amelyek konvergenciája vagy divergenciája előre ismert, például:

1) ¾ geometriai, (konvergál a -nál és divergál -nál);

2) - harmonikus (eltér);

3) - a Dirichlet-sor (konvergál, ha > 1, és divergál, ha egy £ 1).

Tekintsünk egy konkrét példát használva egy sémát egy pozitív előjelű sorozat tanulmányozására a konvergencia szempontjából az első összehasonlítási feltétel használatával.

17. példa.

Megoldás. 1. lépés. Ellenőrizzük a sorozat pozitív előjelét: .

2. lépés Ellenőrizzük a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesülését: . Azóta .

(Ha a határ kiszámítása nehézkes, kihagyhatja ezt a lépést.)

3. lépés: Az összehasonlítás első jelét használjuk. Válasszunk ehhez a sorozathoz egy standard sorozatot. Mivel , akkor a sorozat standardnak tekinthető, i.e. Dirichlet sor. Ez a sorozat azért konvergál, mert a kitevő a= >1. Ezért az első összehasonlítási kritérium szerint a vizsgált sorozatok is konvergálnak.

18. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából.

Megoldás. 1. Ez a sorozat előjel-pozitív, mivel for n=1,2,3,... .

2. A sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, mert

3. Válasszunk ki egy szabványos sort. Mivel , akkor a () geometriai sorozatot vehetjük szabványnak. Ez a sorozat konvergál, így a vizsgált sorozat is konvergál.

3. TÉTEL. (Az összehasonlítás második jele )

Ha a pozitív előjelű sorozatoknak van nullától eltérő véges határértéke, akkor a sorozatok egyidejűleg konvergálnak vagy divergálnak.

Ha a n ®0 mint n®¥ (a konvergencia szükséges kritériuma), akkor a feltételből az következik, hogy a n és b n infinitezimek, azonos kicsinységi nagyságrendűek (ekvivalens l=1-nek). Ezért, ha adott egy sorozat , ahol a n®0 as n®0, akkor ehhez a sorozathoz vehetünk egy szabványos sorozatot, ahol a közös kifejezés b n kicsinységi sorrendje megegyezik az adott sorozat közös tagjával.

19. példa. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

Megoldás. Ez a sorozat előjel-pozitív, mivel bármely nОN esetén.

Mivel ~ ~ , akkor referenciasornak egy harmonikus divergens sorozatot veszünk . Mivel a közös kifejezések arányának határa a nés véges és nullától eltérő (egyenlő 1), akkor a második összehasonlítási ismérv alapján ez a sorozat divergál.

4. TÉTEL.(D'Alembert jele )

Ha egy pozitív előjelű sorozatnak van véges határa, akkor a sorozat l-re konvergál<1 и расходится при l>1.

Megjegyzések:

1) Ha l=1, akkor a 4. Tétel nem válaszol a sorozatok konvergenciájára vonatkozó kérdésre, ezért a konvergenciához más kritériumokat kell alkalmazni.

2) A d'Alembert-próba akkor hasznos a gyakorlatban, ha a sorozat közös tagja exponenciális függvényt vagy faktoriálist tartalmaz.

20. példa. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat d'Alembert szerint.

Megjegyzések:

1) Ha l=1, akkor az 5. Tétel nem ad választ a sorozatok konvergenciájára vonatkozó kérdésre, ezért más összehasonlítási kritériumok alkalmazása szükséges.

2) Ha l=¥ , akkor a sorozat divergál.

22. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából.

Megoldás. Ennek a sorozatnak van egy pozitív előjele, hiszen bármely nОN. A sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium megvalósíthatóságának ellenőrzését mellőzve azonnal az 5. tételt használjuk. Mivel , akkor ez a sorozat a Cauchy-kritériummal tér el.

6. TÉTEL. (Integrált Cauchy-teszt)

Hagyja a függvényt f(x) folyamatos, nem negatív és nem növekvő mindenki számára x³m, ahol m- néhány nem negatív szám. Aztán a számsor

konvergál, ha a nem megfelelő integrál konvergál