Az n sorozat összege 2. §4

Legyen adott egy R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… számsorozat. Az R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… kifejezést nevezzük végtelen közel, vagy egyszerűen Közeliés az R 1 , R 2 , R 3 ,… számok egy szám tagjai. Egyúttal azt is jelentik, hogy a sorozat összegének felhalmozódása az első tagokkal kezdődik. Az S n = összeget nevezzük részösszeg sor: n=1 esetén az első részösszeg, n=2 esetén a második részösszeg, és így tovább.

hívott konvergens sorozat, ha a sorozat a részleges az összegeknek van határa, és divergens- másképp. A sorozat összegének fogalma kibővíthető, és akkor egyes divergens sorozatoknak is lesznek összegei. Pontosan kiterjedt megértés összegeket sor algoritmusok kidolgozásánál fogjuk használni a következő feladatmeghatározással: az összeg felhalmozását addig kell végezni, amíg a sorozat következő tagja abszolút értékű nem lesz nagyobb, mint a megadott ε érték.

Általános esetben a sorozat tagjainak egy része vagy egésze megadható kifejezésekkel a sorozat tagjának számától és a változóktól függően. Például,

Ekkor felmerül a kérdés, hogyan lehet minimalizálni a számítások mennyiségét - hogy a sorozat következő tagjának értékét kiszámoljuk a sorozat egy tagjának általános képlete(az adott példában az összeg előjele alatti kifejezéssel), rekurzív formulával (levezetését az alábbiakban mutatjuk be), vagy csak egy sorozattag kifejezésének részeihez használjunk rekurzív képleteket (lásd lent).

Egy sorozat tagjának számítására szolgáló rekurzív képlet levezetése

Meg kell találni egy R 1 , R 2 , R 3 ,… számsort, szekvenciálisan kiszámítva azokat a képletek szerint

,
, …,

A számítások lerövidítésére ebben az esetben kényelmes a használata visszatérő képlet kedves
, lehetővé téve az R N érték kiszámítását N>1 esetén, ismerve az R N-1 sorozat előző tagjának értékét, ahol
- egy kifejezés, amelyet az N-re vonatkozó (3.1) képletben szereplő kifejezés és az N-1 kifejezés kapcsolatának egyszerűsítése után kaphatunk:

Így a rekurzív képlet a formát veszi fel
.

A sorozat tagjára vonatkozó általános képlet (3.1) és a rekurzív (3.2) összehasonlítása azt mutatja, hogy a rekurzív képlet nagymértékben leegyszerűsíti a számításokat. Alkalmazzuk N=2-re, 3-ra és 4-re ennek ismeretében
:

Egy sorozat tagjának értékének kiszámításának módszerei

Sorozattag értékének kiszámításához – típusától függően – célszerű lehet a sorozattag általános képletét, vagy egy rekurzív képletet, ill. vegyes módszer egy sorozat tagjának értékének kiszámítására, amikor egy sorozattag egy vagy több részéhez ismétlődő képleteket használnak, majd ezek értékeit behelyettesítik egy sorozattag általános képletébe. Például - sorozat esetén egyszerűbb egy sorozattag értékét kiszámítani
általános képlete szerint
(összehasonlít
- ismétlődő képlet); - egy sorra
jobb a rekurzív képlet használata
; - sorozat esetén vegyes módszert kell alkalmazni, az A N \u003d X 3N kiszámításával a rekurzív képlet segítségével
, N=2, 3,… ahol A 1 =1 és B N =N! - a rekurzív formulával is
, N=2, 3,… B 1 =1-nél, majd - a sorozat tagja
- az általános képlet szerint, amely alakot vesz fel
.

Példa 3.2.1 feladatvégrehajtás

Számítsa ki ε pontossággal 0 o  X  45 o-ra

rekurzív képlet segítségével egy sorozat tagjának kiszámításához:

a cos X függvény pontos értéke,

a közelítő érték abszolút és relatív hibái.

program Projekt1;

($APPTYPE KONZOL)

K=Pi/180; //Fokokból radiánba konvertálandó tényező

Eps: kiterjesztett=1E-8;

X: Kiterjesztett=15;

R, S, Y, D: kiterjesztett;

($IFNDEF DBG) //A hibakereséshez nem használt utasítások

Write("Adja meg a szükséges pontosságot: ");

Write("Adja meg a szögértéket fokban: ");

D:=Sqr(K*X); // X átváltása radiánná és négyzetesítés

//A változók kezdeti értékeinek beállítása

//Hurok a sorozat tagjainak kiszámítására és összegük felhalmozására.

//Végrehajtás, amíg a sorozat következő tagjának modulusa nagyobb, mint az Eps.

míg az Abs(R)>Eps igen

ha N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Számítási eredmények kimenete:

WriteLn(N:14," = Elért lépések száma",

"meghatározott pontosság");

WriteLn(S:14:11," = Hozzávetőleges függvényérték");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Pontos függvényérték");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Abszolút hiba");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = relatív hiba");

Alapfogalmak és definíciók

Legyen adott egy végtelen számsor:

, … (1.1)

Tavaly definiáltunk egy számsorozatot egy természetes argumentum függvényeként. Ez azt jelenti, hogy a sorozat minden tagja a szám függvénye P: . A következőkben néha megfontoljuk P egyenlő nullával, így a numerikus sorozat függvényként lesz definiálva egész szám argumentum (az "egész" szavakból).

1. definíció. Kifejezés

(1.2)

hívott végtelen számsor vagy röviden, Közeli. Sorozat tagjai ,… hívják egy szám tagjai; kifejezés indexszel P- sorozat közös tagja.

A sorozatot könnyű megkülönböztetni a sorozattól: a sorozat tagjait vesszővel elválasztva írjuk, a sorozat tagjait pluszjelek kötik össze.

Így a sorozat fogalma az összegzés általánosítása végtelen számú tag esetére.

Egy sorozat adottnak tekinthető, ha ismert (adott) általános tagjának képlete. Az (1.2) sorozat közös tagja egybeesik az (1.1) sorozat közös tagjával, és egyben az egész argumentum függvénye is n, azaz . Például, ha egy gyakori kifejezést a következőképpen adunk meg

, (1.3)

majd ezt a képletet beillesztve n= 1, 2, 3,..., a sorozat bármely tagja megtalálható, így a teljes sorozat:

- sorozattagok vagy sorozattagok,

(1.4)

Számsor.

Meghatározás.Összeg n a sorozat első tagjai ún n-Ó sorozat részösszegeés a következő szimbólummal jelöljük:

Ezt így lehet írni: .

Különösen,

Az (1.2) sorozat összes részösszegéből numerikus sorozatot állítunk össze:

(1.7)

Ez az úgynevezett részösszegek sorozata. Mint minden számsorozatnak, ennek is lehet határa, pl. konvergálnak, vagy nincs határuk, pl. eltér. A részösszegek sorozatának határát, ha létezik, betűvel jelöljük S.

Meghatározás. A sort hívják összetartó(sor konvergál) ha ennek a sorozatnak a részösszegeinek sorozata konvergál. Ugyanakkor a határ S részösszegek sorozatait nevezzük ennek a sorozatnak az összege, azaz

. (1.8)

Összegű konvergens sorozathoz S, formálisan leírhatjuk az egyenlőséget:

Olyan sorozatot hívunk, amelynek nincs összege (1.8). divergens. Különösen, ha , akkor azt mondjuk, hogy a sorozat eltér -hez, és ebben az esetben a szimbolikus egyenlőséget használjuk

Megjegyzés. Az (1.6) egyenlőségből következik, hogy a sorozat bármely tagja ábrázolható a részösszegek és a részösszegek különbségeként:

. (1.10)

Ábrázoljuk geometriailag a részösszegek sorozatát. Az 1.1, a és b ábrán a sorozat konvergál, az 1.1, c ábrán pedig divergál.

de)

1.1

3. megjegyzés. Néha a sorozattagok száma nulláról kezdődik: .

Példák számsorokra. Egy sorozat összegének kiszámítása

1. példaº.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Itt , .

Ez a sorozat Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 +. . .=+¥.

2. példaº .

Szokás szerint a + és - jelek váltakozását a (-1) fokozat segítségével határozzuk meg. Itt a részösszegek sorozatának alakja:

azok. a részösszeg értéke a szám paritásától függ P:

Így a páros és páratlan részösszegeknek két különböző határértéke van:

páros nullához, páratlan egyhez:

1.2. ábra

Ezért a sorozatnak nincs határa, és az adott sorozat eltér.

3. példaº .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Ez egy különbséggel rendelkező aritmetikai sorozat. Emlékezzünk vissza, hogy az „aritmetika” elnevezés onnan ered, hogy ennek a progressziónak minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő számtani átlaga szomszédos tagok:

Ebben a progresszióban , és a részösszegek sorozatának alakja:

6. példa.

A kimenetet alább közöljük. Itt a nevező csak páratlan számok.

7. példa.

. A kimenetet alább közöljük.

8. példa.

A kimenetet alább közöljük. A sorozat összege egyenlő a számmal e- a természetes logaritmus alapja.

Egy sorozat összegét nem mindig könnyű kiszámítani, sőt nem mindig lehetséges. Ezért a sorozatelméletben gyakran megoldanak egy egyszerűbb problémát - annak megállapítását, hogy a sorozatok konvergálnak vagy divergálnak. Ez az úgynevezett a sorozatok konvergenciájának vizsgálata.

A sorozat egy adott törvény szerint kialakított, erősen rendezett numerikus halmaz. A „sorozat” kifejezés a megfelelő sorozat tagjainak összeadásának eredményét jelöli. Különféle numerikus sorozatoknál megtalálhatjuk az összes tagjának összegét vagy az elemek teljes számát egy adott határig.

Utóbbi

Ez a kifejezés a számtér adott elemeinek halmazára vonatkozik. Minden matematikai objektum egy bizonyos képletet kap a sorozat közös elemének meghatározására, és a legtöbb véges numerikus halmazhoz egyszerű képletek vannak az összegük meghatározására. Programunk 8 online számológépből álló gyűjtemény, amely a legnépszerűbb numerikus halmazok összegének kiszámítására szolgál. Kezdjük a legegyszerűbbvel - a természetes sorozattal, amelyet a mindennapi életben a tárgyak megszámlálására használunk.

természetes sorrend

Amikor a tanulók számokat tanulnak, az első dolog, amit megtanulnak, az az, hogy megszámolják a tárgyakat, például az almát. A természetes számok természetesen felmerülnek a tárgyak számlálásakor, és minden gyerek tudja, hogy 2 alma mindig 2 alma, se több, se kevesebb. A természetes sorozatot egy egyszerű törvény adja meg, amely úgy néz ki, mint n. A képlet azt mondja, hogy a számhalmaz n-edik tagja egyenlő n-nel: az első 1, a második 2, a négyszázötvenegyedik 451, és így tovább. Az első n természetes szám összegzésének eredményét, azaz 1-től kezdve, egy egyszerű képlettel határozzuk meg:

∑ = 0,5n × (n+1).

A természetes sorozatok összegének kiszámítása

A számításokhoz ki kell választania az n természetes sorozat képletét a számológép menüjében, és be kell írnia a kifejezések számát a sorozatba. Számítsuk ki a természetes sorozat összegét 1-től 15-ig. Ha n = 15-öt adunk meg, az eredményt magának a sorozatnak a formájában kapjuk meg:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

a természetes sorozat összege pedig 120.

A fenti képlet segítségével könnyen ellenőrizhető a számítások helyessége. Példánkban az összeadás eredménye 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Így van.

Négyzetek sorrendje

A természetes sorozatból másodfokú sorozatot képezünk az egyes tagok négyzetre emelésével. Az n 2 törvény szerint számos négyzet keletkezik, ezért a sorozat n-edik tagja egyenlő lesz n 2-vel: az első - 1, a második - 2 2 \u003d 4, a harmadik - 3 2 \ u003d 9 és így tovább. A másodfokú sorozat kezdeti n elemének összegzésének eredményét a törvény szerint számítjuk ki:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Ezzel a képlettel egyszerűen kiszámolhatja az 1-től n-ig terjedő négyzetek összegét tetszőlegesen nagy n esetén. Nyilvánvaló, hogy ez a sorozat is végtelen, és ahogy n növekszik, úgy nő a numerikus halmaz összértéke is.

Négyzetsorozat összegének kiszámítása

Ebben az esetben ki kell választania az n 2 négyzetsorozat törvényét a programmenüben, majd ki kell választania az n értékét. Számítsuk ki a sorozat első tíz tagjának összegét (n=10). A program magát a sorozatot adja meg:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

valamint 385-nek megfelelő összeget.

köbös sorozat

A kockák sora természetes számok kockára tett sorozata. A sorozat egy közös elemének kialakulásának törvényét n 3 -ként írjuk fel. Így a sorozat első tagja 1 3 = 1, a második 2 3 = 8, a harmadik 3 3 = 27, és így tovább. A köbös sorozat első n elemének összegét a következő képlet határozza meg:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Az előző esetekhez hasonlóan a számtér elemei a végtelenbe hajlanak, és minél nagyobb a tagok száma, annál nagyobb az összegzés eredménye.

A köbsorok összegének kiszámítása

A kezdéshez válassza ki az n 3 köbös sorozat törvényét a számológép menüjében, és állítsa be n tetszőleges értékét. Határozzuk meg egy 13 tagból álló sorozat összegét. A számológép az eredményt sorozat formájában adja meg:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

és a hozzá tartozó sorozat összege 8281.

Páratlan számok sorozata

A természetes számok halmaza páratlan elemek részhalmazát tartalmazza, vagyis azokat, amelyek maradék nélkül nem oszthatók 2-vel. A páratlan számok sorozatát a 2n - 1 kifejezés határozza meg. A törvény szerint a sorozat első tagja 2 × 1 - 1 = 1, a második - 2 × 2 - 1 = 3, a harmadik - 2 × 3 - 1 = 5 és így tovább. Egy páratlan sor kezdeti n elemének összegét egy egyszerű képlettel számítjuk ki:

Vegyünk egy példát.

Páratlan számok összegének kiszámítása

Először válassza ki a 2n−1 páratlan sorozat képződési törvényét a program menüben, majd írja be az n értéket. Nézzük meg a páratlan sorozat első 12 tagját és annak összegét. A számológép azonnal megadja az eredményt számsorként:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

valamint a páratlan sorozat összege, ami 144. És valóban, 12 2 = 144. Így van.

Téglalap alakú számok

A téglalap alakú számok a göndör számok osztályába tartoznak, amelyek a geometriai formák és testek megalkotásához szükséges numerikus elemek osztálya. Például egy háromszög felépítéséhez 3, 6 vagy 10 pontra van szükség, egy négyzetre - 4, 9 vagy 16 pontra, egy tetraéder kialakításához pedig 4, 10 vagy 20 golyóra vagy kockára van szüksége. A téglalapok könnyen megszerkeszthetők két egymást követő számból, például 1 és 2, 7 és 8, 56 és 57. A téglalap alakú számokat két egymást követő természetes szám szorzataként fejezzük ki. A sorozat közös tagjának képlete n × (n+1). Egy ilyen numerikus halmaz első tíz eleme így néz ki:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

Az n növekedésével a téglalap számok értéke is nő, ezért az ilyen sorozatok összege is nő.

fordított sorrendben

A téglalap alakú számokhoz az 1 / (n × (n+1)) képlettel definiált inverz sorozat tartozik. A számkészlet törtek halmazává alakul, és így néz ki:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

A törtek sorozatának összegét a következő képlet határozza meg:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Nyilvánvaló, hogy a sorozat elemeinek számának növekedésével az 1/(n + 1) tört értéke nullára hajlik, az összeadás eredménye pedig megközelíti az egyet. Vegye figyelembe a példákat.

Egy téglalap sorozat összege és inverze

Számítsuk ki egy téglalap alakú sorozat értékét, ha n = 20. Ehhez válasszuk ki az n × (n + 1) numerikus halmaz közös tagjának megadására vonatkozó törvényt az online számológép menüjében, és adjuk meg n-t. A program a pillanatnyi eredményt 3080-ként adja vissza. Az inverz sorozat kiszámításához módosítsa a törvényt 1 / (n × (n+1)) értékre. A reciprok numerikus elemek összege 0,952 lesz.

Három egymást követő számból álló terméksorozat

Egy téglalap alakú számkészletet úgy módosíthatunk, hogy egy másik egymást követő szorzót adunk hozzá. Ezért a halmaz n-edik tagjának kiszámítására szolgáló képlet n × (n+1) × (n+2) értékre lesz átalakítva. E képlet szerint egy sorozat elemei három egymást követő szám szorzataként jönnek létre, például 1 × 2 × 3 vagy 10 × 11 × 12. Egy ilyen sorozat első tíz eleme így néz ki:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Ez egy gyorsan növekvő numerikus halmaz, és a megfelelő sorozatok összege a végtelenbe megy n növekedésével.

fordított sorrendben

Az előző esethez hasonlóan megfordíthatjuk az n-edik tag képletét, és megkapjuk az 1 / (n × (n+1) × (n+2) kifejezést. Ezután az egész értékek halmaza törtek sorozatává alakul át, amelynek nevezője három egymást követő szám szorzata lesz. Egy ilyen készlet eleje így néz ki:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

A megfelelő sorozat összegét a következő képlet határozza meg:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Nyilvánvaló, hogy az elemek számának növekedésével az 1 / ((n + 1) × (n + 2)) tört nullára hajlik, és a sorozatok összege megközelíti a 0,5 × 0,5 = 0,25 értéket. Vegye figyelembe a példákat.

Három egymást követő szám szorzatának sorozata és annak inverze

Ahhoz, hogy ezzel a halmazzal dolgozhasson, ki kell választania az n × (n + 1) × (n + 2) közös elem meghatározásának törvényét, és n halmazt kell megadnia, például 100. A számológép megadja magát a sorozatot is. több száz szám összeadásának eredményeként, ami 26 527 650. Ha az 1 / (n × (n + 1) × (n + 2) inverz törvényt választjuk, akkor 100 tagból álló sorozat összege 0,250 lesz.

Következtetés

A taghalmaz összegzésének problémáját a sorozatelmélet oldja meg.

ahol u 1, u 2, u 3 …., u n ... egy végtelen numerikus sorozat tagjai, az ún numerikus sorozat.

Számok u 1, u 2, u 3 …., u n ... hívják egy szám tagjai, de u n a sorozat közös tagja.

A sorozat első tagjainak n véges számának összegét a sorozat n-edik részösszegének nevezzük.

S n = u 1 + u 2 +… + u n

azok. S 1 \u003d u 1; S2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha az S n részösszegnek véges határa van n, azaz

Szám S sorozat összegének nevezzük.

Másképp:

Ezután a sorozatot divergensnek nevezik.

Referencia vonalak.

1. Geometriai sorozat (geometriai progresszió)

Példa.

2. Harmonikus sorozatok.

3. Általánosított harmonikus sorozat.

Példa.

Előjel-pozitív sorozatok konvergenciájának jelei

1. Tétel. A konvergencia szükséges kritériuma.

Ezzel a funkcióval beállíthatja a sorozatok eltérését.

Példa.

Elegendő jelek

Tétel 1. Sorozat-összehasonlítás előjele.

Legyen két pozitív sorozat:

Sőt, ha a (2) sorozat konvergál, akkor az (1) sorozat is konvergál.

Ha az (1) sorozat eltér, akkor a (2) sorozat is divergál.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

Hasonlítsa össze ezt a sorozatot a geometriai sorozattal:

Ezért összehasonlításképpen a kívánt sorozatok konvergálnak.

2. Tétel. d'Alembert-próba.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

a d'Alembert-teszt szerint a sorozat konvergál.

3. tétel. Cauchy-féle gyökpróba.

3) esetében a konvergencia kérdése nyitva marad.

Példa: vizsgáljuk meg a numerikus sorozatok konvergenciáját:

Megoldás:

Ezért a sorozat Cauchy értelmében konvergál.

4. Tétel. Cauchy-féle integrálpróba.

Hagyja, hogy a sorozat tagjai

pozitívak és nem növekednek, vagyis egy folytonos, nem növekvő függvény értékei f(x) nál nél x= 1, 2, …, n.

Ekkor a sorozatok konvergenciájához szükséges és elégséges, hogy a nem megfelelő integrál konvergál:

Példa.

Megoldás:

Ezért a sorozat divergál, mert a nem megfelelő integrál eltér.

Változó sorok. Egy váltakozó sorozat abszolút és feltételes konvergenciájának fogalma.

A sort hívják váltakozó, ha bármelyik tagja lehet pozitív és negatív is.

Fontolja meg a váltakozó sorozatokat:

1. Tétel. Leibniz-próba (elégséges teszt).

Ha váltakozó sorozat

a kifejezések abszolút értékben csökkennek, azaz

akkor a sorozat konvergál és összege nem haladja meg az első tagot, azaz. S ≤ .

Példa.

Megoldás:

Alkalmazzuk a Leibniz-jelet:

Ezért a sorozat Leibniz értelmében konvergál.

2. Tétel. Elegendő kritérium egy váltakozó sorozat konvergenciájához.

Ha egy váltakozó sorozatnál a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, akkor ez a váltakozó sorozat konvergál.

Példa: vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

Megoldás:

az eredeti sorozat tagjainak abszolút értékéből általánosított harmonikus sorozatként konvergál a -nál.

Ezért az eredeti sorozat konvergál.

Ez az előjel elegendő, de nem szükséges, vagyis vannak váltakozó sorozatok, amelyek konvergálnak, bár az abszolút értékekből álló sorozatok eltérnek.

1. definíció. abszolút konvergens, ha a tagjainak abszolút értékeiből álló sorozat konvergál.

2. definíció. A váltakozó sorozat az ún feltételesen konvergens, ha maga a sorozat konvergál, és a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat eltér.

A különbség közöttük az, hogy egy abszolút konvergens sorozat annak következtében konvergál, hogy tagjai gyorsan csökkennek, a feltételesen konvergens sorozat pedig azért, mert a pozitív és negatív tagok megsemmisítik egymást.

Példa.

Megoldás:

Alkalmazzuk a Leibniz-jelet:

Ezért a sorozat Leibniz értelmében konvergál. De a kifejezések abszolút értékéből álló sorozat harmonikusként tér el.

Tehát az eredeti sorozat feltételesen konvergál.

Mivel közel sem mindig lehetséges egy sorozat összegének pontos értékét kiszámítani (ilyen problémákat is figyelembe vettünk), felmerül a sorozat összegének adott pontosságú közelítő kiszámításának problémája.

Emlékezzünk vissza, hogy a sorozat -edik része az eredeti sorozatból szereztük be eldobva az elsőt feltételek:

Aztán, hiszen egy konvergens sorozathoz
,

egy konvergens sorozat maradéka egyenlő a sorozat és a sorozat összegének különbségével részösszeg:

és elég nagyra közelítő egyenlőségünk van

A sorozat többi részének meghatározásából az következik, hogy az abszolút hiba az összeg pontos ismeretlen értékének cseréjénél annak részösszege egyenlő a sorozat többi részének modulusával:

Így ha egy sorozat összegét akarjuk adott pontossággal kiszámolni , akkor meg kell hagynia egy ilyen szám összegét úgy, hogy a következő egyenlőtlenség érvényesül a sorozat eldobott maradékára:

Az összeg közelítő kiszámításának módszerét a sorozat típusától függően választják meg:

ha a sorozat pozitív és integrálkritériummal vizsgálható a konvergencia (eleget tesz a megfelelő tétel feltételeinek), akkor az összeg becsléséhez a képletet használjuk

;

ha ez egy Leibniz-sorozat, akkor a becslést alkalmazzuk:

Más feladatokban használhatja a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képletét.

1. számú feladat. Hány kifejezést kell venni a sorozatból
hogy összegét 0,01 pontossággal kapjuk meg.

Megoldás. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ez a sorozat konvergál. Fontolgat -a sorozat maradéka, ami a sorozat összegének kiszámításánál a hiba:

Becsüljük meg ezt a sorozatot egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió segítségével. Ehhez minden tagban lecseréljük a tényezőt a , míg minden kifejezés növekedni fog:

Miután a közös tényezőt kivettük a zárójelből, a zárójel egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjaiból álló sorozatot hagyott hátra, melynek összegét a képlettel számoltuk ki.

A megadott pontosság akkor érhető el, ha kielégíti a feltételt

Ezt figyelembe véve oldjuk meg az egyenlőtlenséget - egész.

Nál nél
nekünk van

A függvény monotonitása miatt
, egyenlőtlenség
mindenki számára megtörténik
.

Ezért, ha az összeg pontos értéke helyett az első öt (vagy több) tagot vesszük, akkor a számítási hiba nem haladja meg a 0,01-et.

Válasz:
.

2. számú feladat. Becsülje meg a sorozat összegének cseréjekor kapott hibát!
az első 100 tag összege.

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ez a sorozat konvergens és váltakozó előjelű. Értékeljük a sorozatot
, amely az eredeti sorozat moduljaiból áll, ami azonnal növeli a számítási hibát. Ezenkívül át kell lépnünk (összehasonlító teszt segítségével) egy nagyobb, egyszerűbb konvergens sorozatra:

Fontolja meg a sorozatot . Mivel ez a sorozat teljesíti a tétel feltételeit - a konvergencia integrál kritériumát, akkor az összeg kiszámításakor a hiba becsléséhez a megfelelő képletet használjuk:

Kiszámoljuk a nem megfelelő integrált:

képlettel becsülhető meg a számítási hiba

feltétel szerint
, azután.

Válasz:
.

3. számú feladat. Becsülje meg a sorozat összegének cseréjekor kapott hibát!
az első 10 tag összege.

Megoldás. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy az összeg közelítő kiszámításának problémája csak konvergens sorozat esetén van értelmes, ezért mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ez a sorozat konvergál. Mivel a vizsgált sorozat előjel-változtatása összetett jelváltoztatási szabállyal, az előző példához hasonlóan ki kell értékelni ennek a sorozatnak egy sor modulját: