Numerikus sorozatok alapvető definíciói és tulajdonságai. A konvergens számsorok alapvető tulajdonságai

Bevezetés

d'Alembert numerikus cauchy

A végtelen összeg fogalmát a tudósok valójában ismerték Ókori Görögország(Eudox, Euklidész, Arkhimédész). A végtelen összegek megtalálása szerves része volt az úgynevezett kimerítési módszernek, amelyet az ókori görög tudósok széles körben alkalmaztak az alakzatok területeinek, a testek térfogatának, a görbék hosszának stb. Így például Arkhimédész megtalálta a végtelen összegét geometriai progresszió nevezővel 1/4.

A számot, mint önálló fogalmat a 17. században kezdték el használni a matematikusok. I. Newton és G. Leibniz sorozatokat használt az algebrai és differenciál egyenletek. Sorozatelmélet a XVIII-XIX. században. J. és I. Bernoulli, B. Taylor, C. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange és mások munkáiban dolgoztak ki.A sorozatok szigorú elméletét a 19. században alkották meg. a határ fogalma alapján K. Gauss, B. Bolzano, O. Cauchy, P. Dirichlet, N. Abel, K. Weierstrass, B. Riemann és mások munkáiban.

A probléma tanulmányozásának relevanciája abból adódik, hogy a matematikának azt az ágát, amely lehetővé teszi bármely jól feltett probléma gyakorlati felhasználáshoz kellő pontosságú megoldását, sorozatelméletnek nevezzük. Még ha néhány finom fogalom is matematikai elemzés a sorozatelmélettől kilógva jelentek meg, azonnal alkalmazták a sorozatokra, amelyek egyfajta eszközként szolgáltak e fogalmak jelentőségének tesztelésére. Ez a helyzet a mai napig tart. Így relevánsnak tűnik a számsorok tanulmányozása, azok alapfogalmai és a sorozatok konvergenciájának jellemzői.

1. Előfordulás története

.1 A számsorok első említése és használata

Az aritmetika szabályai lehetőséget adnak arra, hogy meghatározzuk kettő, három, négy, és általában bármely véges számhalmaz összegét. Mi van akkor, ha a tagok száma végtelen? Még akkor is, ha a „legkisebb” végtelen, i.e. legyen megszámlálható a tagok száma.

A végtelen összegek megtalálása szerves része volt az úgynevezett kimerítési módszernek, amelyet az ókori görög tudósok széles körben alkalmaztak az alakzatok területeinek, a testek térfogatának, a görbék hosszának stb. Így például Arkhimédész egy végtelen geometriai progresszió összegét találta 1/4-es nevezővel, hogy kiszámítsa egy parabola szakasz (vagyis egy egyenes és egy parabola által határolt ábra) területét.

Csaknem két és fél ezer évvel ezelőtt a görög matematikus és csillagász, Eudoxus of Cnidus a "kimerülés" módszerét alkalmazta a területek és térfogatok meghatározására. Ennek a módszernek az az ötlete, hogy a vizsgált testet megszámlálható számú részre osztják, amelyek területei vagy térfogatai ismertek, majd hozzáadják ezeket a térfogatokat. Ezt a módszert Eukleidész és Arkhimédész is alkalmazta. A módszernek természetesen nem volt teljes és pontos alátámasztása az ókori matematikusok munkáiban. Előtte egy hosszú kétezer éves utat kellett végigjárni, amelyen ragyogó kinyilatkoztatások, tévedések, érdekességek születtek.

Például így érvelt egy középkori teológus, amikor bebizonyította - nem többet és nem kevesebbet - a Mindenható Isten létezését.

Egyenlő mennyiségben S végtelen összeget írunk

S = 1010101010… (1)

„Cseréljük le ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden nullát az 1+(-1) összeggel.

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

A (2) jobb oldalán lévő első tagot egyedül hagyva a második tagot a harmadikkal, a negyediket az ötödikkel és így tovább, zárójelek használatával kombináljuk. Azután

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.”

"Ha az ember tetszés szerint kaphat egyet a nulláról, akkor az a feltételezés is elfogadható, hogy a világ a semmiből jött létre!"

Egyetértünk ezzel az érveléssel? Természetesen nem. A modern matematika szemszögéből a szerző hibája, hogy nem definiált fogalmakkal próbál operálni (mi is ez - „végtelen számú tag összege”), transzformációkat (zárójelek nyitása, átcsoportosítás) hajt végre. , amelynek jogszerűségét nem igazolták.

Az összegszámlálást széles körben használták, anélkül, hogy kellő figyelmet fordítottak volna annak kérdésére, hogy mit is jelent pontosan ez a fogalom, a 17. és 18. század legnagyobb matematikusai - Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Brooke Taylor ( 1685-1731), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Leonard és Euler (1707-1783) híresek voltak a sorozatok kezelésének virtuóz mesterségéről, de gyakran elismerte, hogy az általa alkalmazott technikák nem voltak kellőképpen alátámasztva. Száz dolgozatban ismétlődnek a következő mondatok: "Azt találtuk, hogy ez a két végtelen kifejezés egyenlő, bár kiderült, hogy ezt lehetetlen bizonyítani." Óva inti a matematikusokat az "eltérő sorozatok" használatától, bár ő maga nem mindig törődött ezzel, és csak a briliáns intuíció védi meg a helytelen következtetésektől; Igaz, neki is vannak „defektései”.

A 19. század elejére világossá válik, hogy a „megszámlálható összegek” tulajdonságainak gondos alátámasztására van szükség. 1812-ben Carl Friedrich Gauss (1777-1865) adja az első példát a sorozatok konvergenciájának vizsgálatára, 1821-ben jó barátunk, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) rögzíti a sorozatelmélet modern alapelveit.

.2 A további vizsgálat számsorozat. A számsor fogalmának egyértelmű megfogalmazása

Az 1-nél kisebb nevezővel rendelkező végtelen geometriai progressziók összegzését már az ókorban végezték (Arkhimédész). A harmonikus sorozat divergenciáját Mengoli olasz tudós állapította meg 1650-ben. A teljesítménysorok Newtonban (1665) jelentek meg, aki úgy vélte, hogy teljesítmény sorozat bármely függvény ábrázolható. A 18. század tudósai folyamatosan találkoztak sorozatokkal a számítások során, de messze nem mindig figyeltek a konvergencia kérdésére. A sorozatok pontos elmélete Gauss (1812), Bolzano (1817) és végül Cauchy munkáival kezdődik, ahol először szerepel modern meghatározás felállítjuk egy konvergens sorozat összegeit és a fő tételeket. 1821 Cauchy kiadja a "Course of Analysis at the Polytechnic Royal School" c. legmagasabb érték század első felében a matematikai elemzés megalapozásának új gondolatait terjeszteni.

„A számot mennyiségek korlátlan sorozatának nevezzük

egyiket a másiktól kapta egy bizonyos törvény szerint ... Legyen

az első n tag összege, ahol n valamilyen egész szám. Ha az n értékeinek állandó növekedésével az összeg határozatlanul megközelíti az ismert S határt, a sorozatot konvergensnek nevezzük, és ez a határ a sorozat összege. Ellenkezőleg, ha az n korlátlan növekedésével az összeg nem közelít meg semmilyen meghatározott határt, akkor a sorozat divergens lesz, és nem lesz összege… ”[O. Cauchy elemzési folyamatának első részéből a Királyi Műszaki Iskola (1821) ( 54. szám III. kötet, p. 114-116, fordította: A.P. Juskevics}]

.3 A számsor fogalmához vezető problémák és azok, amelyekben ezt használták

A gyorslábú Achilles soha nem fogja utolérni a teknősbékát, ha a teknős bizonyos távolságra előtte volt a mozgás elején. Valóban, legyen a kezdeti távolság, és Akhilleusz k-szer gyorsabban fut, mint a teknős. Amikor Akhilleusz megtette az a távolságot, a teknős visszakúszik a/k-ba; amikor Akhilleusz megtette ezt a távolságot, a teknős elkúszik a/-ig stb., azaz. minden alkalommal nullától eltérő távolság lesz a versenyzők között.

Ebben az apóriában a végtelen számolásának ugyanazon nehézsége mellett van még egy. Tegyük fel, hogy egy bizonyos időpontban Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Írjuk fel Akhilleusz útját

és a teknős útja

Az Achilles által megtett a/ út minden szakasza megfelel a teknősbéka a/ útjának egy szakaszának. Ezért a találkozás idejére Akhilleusznak „annyi” szakaszon kell megtennie az utat, mint a teknősbékának. Másrészt a teknősbéka által megtett minden a/ szegmens társítható Akhilleusz útjának azonos szakaszához. De emellett Akhilleusznak még egy a hosszúságú szakaszt kell futnia, azaz. eggyel több szegmensen kell áthaladnia, mint a teknősnek. Ha az utolsón áthaladó szegmensek száma b, akkor azt kapjuk

"Nyíl". "Nyíl". Ha az idő és a tér oszthatatlan részecskékből áll, akkor a repülő nyíl mozdulatlan, hiszen minden oszthatatlan időpillanatban önmagával egyenrangú helyet foglal el, pl. nyugszik, és az időintervallum az ilyen oszthatatlan pillanatok összege.

Ez az aporia a fogalma ellen irányul folyamatos érték- mint végtelen számú oszthatatlan részecske összege.

"Stádium". Hagyja, hogy a stadion párhuzamos vonalak mentén mozogjon egyenlő tömegek azonos sebességgel, de ellentétes irányban. Legyen sor: álló tömegek, sor - jobbra mozgó tömegek és sor - balra mozgó tömegek (1. ábra). Nézzük most a tömegeket. mint oszthatatlan. Az idő oszthatatlan pillanatában a tér oszthatatlan része elhalad. Valójában, ha egy test egy oszthatatlan időpillanatban több oszthatatlan térrészen halad át, akkor az oszthatatlan időpillanat osztható lenne, ha kevesebb, akkor felosztható lenne a tér oszthatatlan része. Tekintsük most az oszthatatlanok egymáshoz viszonyított mozgását: az idő két oszthatatlan pillanatában két oszthatatlan rész megy el, és egyben négy oszthatatlan részt fog számolni, i.e. egy oszthatatlan időpillanat osztható lesz.

Ez az aporia egy kicsit más formát is kaphat. Ugyanebben a t időben a pont áthalad a szakasz felén és az egész szakaszon. De az idő minden oszthatatlan pillanata az ezalatt bejárt tér oszthatatlan részének felel meg. Ekkor néhány a és 2a szegmens "ugyanolyan" számú pontot tartalmaz, "ugyanannyit" abban az értelemben, hogy a két szakasz pontjai között egy-egy megfeleltetés állapítható meg. Ez volt az első alkalom, hogy a különböző hosszúságú szakaszok pontjai között létrejött ilyen megfeleltetés. Ha feltételezzük, hogy egy szegmens mértékét oszthatatlanok mértékeinek összegeként kapjuk meg, akkor a következtetés paradox.

2. Számsor alkalmazása

.1 Meghatározás

Legyen adott egy végtelen számsor

Meghatározás 1.1. Numerikus sorozat vagy egyszerűen Közeli a forma kifejezésének (összegének) nevezzük

A számokat hívják egy szám tagjai, - Tábornok vagy nth a sor tagja.

Az (1.1) sorozat meghatározásához elegendő meghatározni a sorozat -edik tagjának a számmal történő kiszámításának természetes argumentumának függvényét

Az (1.1) sorozat tagjaiból egy numerikust képezünk részleges sorozata összegeket ahol a sorozat első tagjainak összege, amelyet ún n-és részösszeg, azaz

…………………………….

Numerikus sorozat a szám korlátlan növelésével:

) véges határértékük van;

) nem rendelkeznek véges határértékkel (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Meghatározás 1.2. Az (1.1) sorozatot hívják összetartó, ha részösszegei sorozatának (1.5) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben hívják a számot összeg sorozat (1.1) és jelöljük

Meghatározás 1.3. Az (1.1) sorozatot hívják eltérő, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa.

Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így az (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

.2 A számsorok alapvető tulajdonságai

A véges számú tagok összegének tulajdonságai eltérnek egy sorozatétól, azaz. végtelen számú tag összege. Tehát véges számú tag esetén tetszőleges sorrendben csoportosíthatók, ez nem változtat az összegen. Vannak olyan (feltételesen konvergens) konvergens sorozatok, amelyeknél – amint azt Riemann Georg Friedrich Bernhard megmutatta – a tagok sorrendjének megfelelő megváltoztatásával a sorozatok összegét tetszőleges számmal egyenlővé tehetjük, sőt, akár egy divergens sorozattal is.

Példa 2.1.Tekintsük az űrlap divergens sorozatát

Tagjait párokba csoportosítva egy konvergens számsort kapunk, amelynek összege nulla:

Másrészt a tagjait párokba csoportosítva a második tagból kiindulva egy konvergens sorozatot is kapunk, de eggyel egyenlő összeggel:

A konvergens sorozatok bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy úgy kezeljük őket, mintha véges összegek lennének. Így ezeket számokkal lehet szorozni, tagonként összeadni és kivonni. Csoportokba vonhatják a szomszédos kifejezéseket.

Tétel 2.1. (Kötelező funkció sorozatkonvergencia).

Ha az (1.1) sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik, mivel n korlátlanul növekszik, azaz

A tétel bizonyítása abból következik, hogy és ha

S az (1.1) sorozat összege, tehát

A (2.1) feltétel szükséges, de nem elégséges állapot a sorozatok konvergenciájáért. Vagyis ha a sorozat közös tagja nullára hajlik at, akkor ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Például az (1.2) harmonikus sorozatnál ez eltér.

Következmény(Elegendő kritérium egy sorozat divergenciájához).

Ha a sorozat közös tagja nem nullázódik at, akkor ez a sorozat eltér.

Ingatlan 2.1. Egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája nem változik, ha tetszőlegesen eltávolítunk belőle, hozzáadunk, átrendezünk benne véges számú tagot (ugyanakkor konvergens sorozatnál az összege változhat).

A tulajdonság bizonyítása abból következik, hogy az (1.1) sorozat és bármely maradéka egyidejűleg konvergál vagy divergál.

Ingatlan 2.2. Egy konvergens sorozatot meg lehet szorozni egy számmal, azaz ha az (1.1) sorozat konvergál, S összege van, c pedig valamilyen szám, akkor

A bizonyítás abból következik, hogy véges összegekre megvan az egyenlőség

Ingatlan 2.3. A konvergáló sorozatok tagonként összeadhatók és kivonhatók, azaz. ha a sorok

konvergál,

konvergál és összege i.e.

A bizonyítás a véges összegek határának tulajdonságaiból következik, azaz.

Összehasonlító jel

Legyen két pozitív sor

és a feltételek teljesülnek minden n=1,2,…

Ekkor: 1) a (3.2) sorozat konvergenciája a (3.1) sorozat konvergenciáját jelenti;

) a (3.1) sorozat divergenciája a (3.2) sorozat divergenciáját jelenti.

Bizonyíték. 1. Legyen a (3.2) sorozat konvergálva, és összege egyenlő B-vel. A (3.1) sorozat részösszegeinek sorozata nem csökkenő, felülről a B szám határolja, azaz.

Ekkor az ilyen sorozatok tulajdonságaiból az következik, hogy véges határa van, azaz sorozat (3.1) konvergál.

Hagyja, hogy a (3.1) sorozat divergáljon. Ekkor, ha a (3.2) sorozat konvergál, akkor a fent bizonyított 1. pont értelmében az eredeti sorozat is konvergálna, ami ellentmond a feltételünknek. Ezért a (3.2) sorozat is eltér.

Ez a tulajdonság kényelmesen alkalmazható a sorozatok konvergenciájának meghatározására oly módon, hogy azokat olyan sorozatokkal hasonlítjuk össze, amelyek konvergenciája már ismert.

D'Alembert jele

Ezután: 1) q-ra< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1 sorozat esetén (1.1) eltér;

) q = 1 esetén az (1.1) sorozat konvergenciájáról nem mondható el semmi, további vizsgálatok szükségesek.

Megjegyzés: Sorozat (1.1) is eltér, amikor

Cauchy jel

Legyenek az (1.1) pozitív sorozat tagjai olyanok, hogy van határ

Ezután: 1) q-ra< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1 sorozat esetén (1.1) eltér;

3) q = 1 esetén az (1.1) sorozat konvergenciájáról nem mondható el semmi, további vizsgálatok szükségesek.

Cauchy - Maclaurin szerves jele

Legyen az f(x) függvény egy folytonos, nem negatív, nem növekvő függvény az intervallumon

Ekkor a sorozat és a nem megfelelő integrál egyszerre konvergál vagy divergál.

.3 Feladatok

A numerikus sorozatokat nem csak a matematikában használják, hanem számos más tudományban is. Szeretnék néhány példát hozni az ilyen felhasználásra.

Például a törmelékes kőzetszerkezetek tulajdonságainak tanulmányozására. A gyakorlatban a „struktúra” fogalmának használata főként a szemcsék méretparamétereinek jellemzésére korlátozódott. Ebben a tekintetben a petrográfiában a „struktúra” fogalma nem felel meg a „struktúra” fogalmának a krisztallográfiában, a szerkezetföldtanban és más, az anyag szerkezetére vonatkozó tudományokban. Ez utóbbiban a „struktúra” jobban illeszkedik a kőzettani „textúra” fogalmához, és tükrözi a tér kitöltésének módját. Ha elfogadjuk, hogy a "struktúra" egy térfogalom, akkor a következő struktúrákat kell üresnek tekinteni: másodlagos vagy elsődleges struktúrák és textúrák; kristályos, kémiai, szubsztitúciók (korrózió, átkristályosodás stb.), deformációs szerkezetek, orientált, maradék struktúrák stb. Ezért ezeket a "struktúrákat" "hamis szerkezeteknek" nevezik.

A szerkezet szerkezeti elemek összessége, amelyeket szemcseméretek és ezek mennyiségi arányai jellemeznek.

Specifikus osztályozások elvégzésekor általában lineáris szemcseparamétereket használnak a sorozattal

bár a prevalencia mennyiségi becslése területi (százalékos) paramétereken keresztül történik. Ez a sorozat jelentős hosszúságú lehet, és soha nem épül fel. Általában csak a paraméterváltoztatás határairól beszélnek, megnevezve a szemcseméretek maximális (max) és minimális (min) értékét.

A P4 ábrázolásának egyik módja a numerikus sorozatok használata, amelyek a fenti sorozathoz hasonlóan épülnek fel, de (?) helyett az összeg előjele (+) kerül elhelyezésre. Az összes sorozat konvolúciója egyenlő elemek kombinálásával és területeik összeadásával történik. Ezután megvan a sorrend:

A kifejezés azt jelenti, hogy megmérték azon i szemcsék minden szakasza által elfoglalt területet, amelyek mérete egyenlő.

A szemcsék ezen tulajdonsága lehetővé teszi a kapott összefüggések számszerű elemzését. Először is a paramétert értékeknek tekinthetjük koordináta tengelyés így építsünk fel valamilyen S=f(l) gráfot. Másodszor, a sorozat (RSl) 1 rangsorolható például az együtthatók csökkenő sorrendjében, ami egy sorozatot eredményez.

Ezt a sorozatot nevezik a kőzet adott szakaszának szerkezetének, ez egyben a "szerkezet" fogalmának meghatározása is. A paraméter a struktúra eleme, a k= paraméter pedig a struktúra hossza. Felépítés szerint n=k. A szerkezet ilyen ábrázolása lehetővé teszi a különböző struktúrák egymással való összehasonlítását.

Butusov Kirill Pavlovich felfedezte az "ütéshullámok rezonanciájának" jelenségét is, amely alapján megfogalmazta a "bolygóperiódusok törvényét", amelynek köszönhetően a bolygók forgási periódusai Fibonacci és Luke numerikus sorozatát alkotják. és bebizonyította, hogy Johann Titius "bolygók távolságának törvénye" az "ütőhullám-rezonancia" (1977) következménye. Ugyanakkor felfedezte az "aranymetszet" megnyilvánulását a Naprendszer testeinek számos egyéb paraméterének eloszlásában (1977). Ezzel kapcsolatban az "arany matematika" megalkotásán dolgozik - új rendszer Phidias (1,6180339) számon alapuló kalkulus, amely alkalmasabb a csillagászat, a biológia, az építészet, az esztétika, a zeneelmélet stb.

A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ennek a Fibonacci-sorozatnak a segítségével talált mintát és rendet a bolygók közötti távolságokban. Naprendszer.

Egy eset azonban törvénybe ütközőnek tűnt: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az ég ezen részének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt a 19. század elején. A Fibonacci sorozatot széles körben használják: segítségével az élőlények és az ember alkotta építmények építészetét, valamint a Galaxisok szerkezetét ábrázolják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.

A kriptográfia a tudomány matematikai módszerek az információk titkosságának (az információk kívülállók számára történő felolvasásának lehetetlensége) és hitelességének (a szerzőség sértetlensége és hitelessége, valamint a szerzőség megtagadásának lehetetlensége) biztosítása. A modern kriptográfiai rendszerek túlnyomó többsége folyam- vagy blokk-algoritmusokat használ különféle típusok helyettesítési és permutációs rejtjelek. Sajnos a streaming kriptorendszerekben használt algoritmusok szinte mindegyike katonai és kormányzati kommunikációs rendszerekben való használatra irányul, valamint bizonyos esetekben kereskedelmi jellegű információk védelmére is, ami természetesen titkossá és áttekintésre hozzáférhetetlenné teszi őket. Az egyetlen szabványos adatfolyam-titkosítási algoritmus már az amerikai DES szabvány (CFB és OFB módok) és az orosz GOST 28147-89 szabvány (gamma mód). Ugyanakkor az ezekben a szabványokban használt adatfolyam-titkosítási algoritmusok osztályozottak.

A stream kriptorendszerek működésének alapja a véletlenszerű vagy pszeudo-véletlen sorozatok generátora. Vizsgáljuk meg ezt a kérdést részletesebben.

Álvéletlen sorozatok

A titkos kulcsok a titkosítási átalakítások alapjai, amelyeknél a Kerckhoff-szabályt követve a jó titkosítási rendszer erősségét csak a kulcs titkossága határozza meg. A gyakorlatban azonban a kulcsok létrehozása, elosztása és tárolása ritkán volt technikailag bonyolult, bár költséges feladat. A klasszikus kriptográfia fő problémája hosszú idő nagy hosszúságú, előre nem látható bináris sorozatok létrehozásának nehézsége volt egy rövid véletlenszerű kulcs segítségével. Ennek megoldására széles körben alkalmazzák a bináris pszeudo-véletlen sorozatok generátorait. Ezeknek a generátoroknak a fejlesztésében és elemzésében csak a hatvanas évek elejére sikerült jelentős előrelépést elérni. Ezért ebben a fejezetben a kulcsok származtatásának és az ezek alapján hosszú pszeudo-véletlen sorozatok generálásának szabályait tárgyaljuk, amelyeket a kriptográfiai rendszerek az üzenetek titkosítássá alakítására használnak.

A kulcsból programozottan kapott véletlen vagy pszeudo-véletlen számsorokat a hazai kriptográfusok szakzsargonjában gammának nevezik, y névvel - a görög ábécé betűivel, amelyeket matematikai jelölésekkel jelölnek. Véletlen változók. Érdekesség, hogy Ábel titkosszolgálati ügyvédje által írt „Idegenek a hídon” című könyvben szerepel a gamma kifejezés, amit a CIA szakemberei egy megjegyzéssel jelöltek meg – „zenei gyakorlat?”, vagyis az ötvenes években nem tudta a jelentését. Valódi véletlen sorozatok megvalósításának megszerzése és szorzása veszélyes, nehéz és költséges. A véletlenszerűség fizikai modellezése ilyenek segítségével fizikai jelenségek, hogyan sugárzás, lövészaj az elektroncsőben, vagy egy félvezető zener-dióda alagúttörése nem ad valódi véletlenszerű folyamatokat. Bár vannak olyan esetek, amikor sikeresen alkalmazzák a kulcsgenerálásban, például a KRYPTON orosz kriptográfiai eszközben. Ezért ahelyett fizikai folyamatok gamma generálására számítógépes programokat használnak, amelyeket bár generátoroknak neveznek véletlen számok, hanem valójában determinisztikus numerikus sorozatokat adnak ki, amelyek tulajdonságaikban csak véletlenszerűnek tűnnek. Ezt megkívánják, még ha ismerik is a képződés törvényét, de nem ismerik a kulcsot az alakban kezdeti feltételek, senki sem tudna megkülönböztetni egy számsort a véletlentől, mintha ideális dobással kapták volna dobókocka. Három fő követelmény van a kriptográfiailag biztonságos pszeudo-véletlen sorozatokkal vagy gamma-generátorokkal szemben:

A gamma periódusnak elég nagynak kell lennie a különböző hosszúságú üzenetek titkosításához.

A gamát nehéz megjósolni. Ez azt jelenti, hogy ha ismert a generátor típusa és a gamma darabja, akkor lehetetlen x-nél nagyobb valószínűséggel megjósolni a gamma következő bitjét e darab után. Ha egy kriptoanalitikus tudomást szerez a skála valamely részéről, még mindig nem tudja meghatározni az előtte vagy utána következő biteket.

A gammagenerálás nem járhat nagy technikai és szervezési nehézségekkel.

Fibonacci szekvenciák

A véletlenszám-generátorok egy érdekes osztályát többször javasolta az egész számok számtani szakértője, különösen George Marsalia és Arif Zeiman. Az ilyen típusú generátorok Fibonacci szekvenciák használatán alapulnak. Egy ilyen sorozat klasszikus példája a (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). Az első két tag kivételével minden következő tag az előző két tag összegével egyenlő. Ha a sorozatban minden számnak csak az utolsó számjegyét veszi ki, akkor egy számsorozatot kap (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) Ha ezt a sorozatot egy nagy hosszúságú tömb inicializálására használjuk, majd ennek a tömbnek a segítségével létrehozhatunk egy véletlenszerű Fibonacci-számgenerátort késleltetéssel, ahol nem szomszédos, hanem távoli számokat adunk hozzá. Marsalia és Zeiman egy „carry bit” bevezetését javasolta a Fibonacci sémába, amelynek kezdeti értéke 0 vagy 1 lehet. Az ezen az alapon felépített „carry add” generátor felveszi érdekes tulajdonságok, ezek alapján lehet olyan sorozatokat létrehozni, amelyek periódusa jóval nagyobb, mint a jelenleg használt kongruenciális generátoroké. Marsalia figuratív kifejezése szerint az ebbe az osztályba tartozó generátorok a véletlenszerűség erősítőinek tekinthetők. "Egy több ezer bites véletlenszerű kitöltést veszel, és hosszú véletlenszám-sorozatokat generálsz." A hosszú időszak azonban önmagában nem elegendő feltétel. A skálák gyengeségeit nehéz lehet észlelni, és az elemzőnek kifinomult szekvenciaelemzési technikákat kell alkalmaznia, hogy kiemeljen bizonyos mintákat, amelyek számos számban rejtőznek.

következtetéseket

A sorozatokat széles körben használják a matematikában és alkalmazásaiban, az elméleti tanulmányokban és a problémák közelítő numerikus megoldásaiban. Számos szám írható speciális sorozatok formájában, amelyek segítségével kényelmes a hozzávetőleges értékek kiszámítása a szükséges pontossággal. A sorozatbővítés módszere az hatékony módszer tanulási funkciók. A függvények közelítő értékeinek kiszámítására, integrálok kiszámítására és értékelésére, mindenféle egyenlet (algebrai, differenciál, integrál) megoldására szolgál.

Bibliográfia

1. Shilov G.E. Matematikai elemzés. Egy változó függvényei. 1-2. fejezet - M.: Nauka, 1969

Maykov E.V. Matematikai elemzés. Numerikus sorozatok / E.V. Maikov. - 1999

.„Elemzési tanfolyam a Politechnikai Királyi Iskolában”

O. Cauchy (1821) (No. 54 Vol. III, pp. 114-116, fordította: A.P. Yushkevich)

A matematika története az ókortól a eleje XIX században (Juskevics A. P. szerkesztésében, I. kötet)

Olvasó a matematika történetéről (II. rész) (szerk.: Yushkevich A.P.)

felsőbb matematika: Általános kurzus: Proc. - 2. kiadás, / A.I. Yablonsky, A.V. Kuznyecov, E.I. Shilkina és mások; Összesen alatt szerk. S.A. Samal. - Mn.: Vysh. iskola, 2000. - 351 p.

Markov L.N., Razmislovics G.P. Felső matematika. 2. rész A matematikai elemzés alapjai és a differenciálegyenletek elemei. - Minszk: Amalfeja, 2003. - 352 p.

8. Makarov V.P. Az elméleti geológia kérdései. 7. A szerkezetek elméletének elemei. / Kortárs kérdésekés megoldásuk módjai a tudományban, a közlekedésben, a termelésben és az oktatásban 2007. Odessa, Chernomorie, 2007. V.19. 27-40.

9. Polovinkina Yu. Ir. A kőzetek szerkezetei. 1. rész: Magmás kőzetek; 2. rész: Üledékes kőzetek; 3. rész: Metamorf kőzetek. - M.: Gosgeolizdat, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

A „Matematika” tudományág oktatási és módszertani komplexuma. 10. szakasz „Sorok”. Elméleti alap. Módszertani utasítások tanulóknak. Anyagok a önálló munkavégzés hallgatók. - Ufa: UGNTU Kiadó, 2007. - 113 p.

13.http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Galuev G.A. A kriptológia matematikai alapjai: Oktatási és módszertani kézikönyv. Taganrog: Izd-vo IGAZSÁG 2003.-120 p.

Korrepetálás

Segítségre van szüksége egy téma tanulásában?

Szakértőink tanácsot adnak vagy oktatói szolgáltatásokat nyújtanak az Önt érdeklő témákban.
Jelentkezés benyújtása a téma megjelölésével, hogy tájékozódjon a konzultáció lehetőségéről.

Véges számú tag összegének tulajdonságai eltérnek egy sorozat tulajdonságaitól, vagyis végtelen számú tag összegétől. Tehát véges számú tag esetén tetszőleges sorrendben csoportosíthatók, ez nem változtat az összegen. Vannak olyan konvergens sorozatok (feltételesen konvergensek, amelyekről az 5. fejezetben lesz szó), amelyekhez – amint azt Riemann Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826-1866) német matematikus – a kifejezések sorrendjének megfelelő megváltoztatásával egy a sorozat összegét tetszőleges számmal egyenlővé teheti, sőt akár egy divergens sorozattal is.

Példa 2.1. Tekintsük az (1.7) alak divergens sorozatát.

Tagjait párokba csoportosítva egy konvergens számsort kapunk, amelynek összege nulla:

Másrészt a tagjait párokba csoportosítva a második tagból kiindulva egy konvergens sorozatot is kapunk, de eggyel egyenlő összeggel:

Tétel 2.1. (Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma).

Ha az (1.1) sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik, mivel n korlátlanul növekszik, azaz.

A tétel bizonyítása abból következik, hogy és ha

S az (1.1) sorozat összege, tehát

A (2.1) feltétel szükséges, de nem elégséges feltétele a sorozat konvergálásának. Vagyis ha a sorozat közös tagja nullára hajlik at, akkor ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Például az (1.2) harmonikus sorozat esetében, amint az alább látható lesz, ez eltér.

Következmény (Elegendő kritérium egy sorozat divergenciájához).

Ha a sorozat közös kifejezése nem szokott nullázni, akkor ez a sorozat eltér.

Példa 2.2. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

Ehhez a sorhoz

Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

A fent vizsgált (1.6), (1.7) divergens sorozatok is divergens sorozatok, mivel nem felelnek meg a konvergencia szükséges kritériumának. Az (1.6) sorozat esetében az (1.7) sorozat korlátja nem létezik.

Ingatlan 2.1 . Egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája nem változik, ha tetszőlegesen eltávolítunk belőle, hozzáadunk, átrendezünk benne véges számú tagot (ugyanakkor konvergens sorozatnál az összege változhat).

A tulajdonság bizonyítása abból következik, hogy az (1.1) sorozat és bármely maradéka egyidejűleg konvergál vagy divergál.

Ingatlan 2.2 . Egy konvergens sorozatot meg lehet szorozni egy számmal, azaz ha az (1.1) sorozat konvergál, S összege van, c pedig valamilyen szám, akkor

A bizonyítás abból következik, hogy véges összegekre megvan az egyenlőség

Ingatlan 2.3. A konvergens sorozatokat tagonként lehet összeadni és kivonni, azaz ha a sorozat,

konvergál,

majd egy sort

konvergál és összege az azaz

A bizonyítás a véges összegek határának tulajdonságaiból következik, azaz.

2.3. példa. Számítsa ki egy sorozat összegét!

A sorozat közös kifejezését a formában ábrázoljuk

Ekkor az eredeti sorozat a geometriai progresszió két konvergens sorozatának tagonkénti különbségeként ábrázolható

Az (1.8) képlet segítségével kiszámítjuk egy geometriai sorozat megfelelő sorozatának összegét.

Az első sorra tehát

A második sorra tehát

Végre megvan

1. Számsorok: alapfogalmak, egy sorozat konvergenciájának szükséges feltételei. A sor többi része.

2. Sorozatok pozitív kifejezésekkel és konvergenciájuk jeleivel: összehasonlítás jelei, d'Alembert, Cauchy.

3. Váltakozó sorok, a Leibniz-teszt.

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

A matematikai alkalmazásokban, valamint a közgazdaságtan, a statisztika és más területek egyes problémáinak megoldásában végtelen számú tagú összegeket vesznek figyelembe. Itt definiáljuk, mit kell érteni ilyen összegeken.

Legyen adott egy végtelen számsor

Meghatározás 1.1. Numerikus sorozat vagy egyszerűen Közeli a forma kifejezésének (összegének) nevezzük

. (1.1)

Számok hívott egy szám tagjai, –Tábornok vagy nth a sor tagja.

Az (1.1) sorozat beállításához elegendő beállítani a természetes argumentum függvényét, amely a sorozat edik tagját annak számával számítja

Példa 1.1. Legyen . Sor

(1.2)

hívott harmonikus sorozat.

Példa 1.2. Hadd Row

(1.3)

hívott általánosított harmonikus sorozat. Egy adott esetben a -nál harmonikus sorozatot kapunk.

1.3. példa. Legyen =. Sor

hívott geometriai progresszió mellett.

Az (1.1) sorozat tagjaiból egy numerikust képezünk részleges sorozata összegeket ahol - a sorozat első tagjainak összege, amelyet ún n-és részösszeg, azaz

…………………………….

Numerikus sorozat a szám korlátlan növekedésével:

1) véges határral rendelkeznek;

2) nincs véges határértéke (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Meghatározás 1.2. Az (1.1) sorozatot hívják összetartó, ha részösszegei sorozatának (1.5) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben hívják a számot összeg sorozat (1.1) és meg van írva

Meghatározás 1.3. Az (1.1) sorozatot hívják eltérő, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa.

Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így az (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

Nézzünk néhány példát.

Példa 1.4. Bizonyítsd be, hogy a sorozat

konvergál, és találja meg az összegét.

Keressük meg az adott sorozat n-edik részösszegét.

Közös tag formában ábrázoljuk a sorozatot .

Ezért rendelkezünk: . Ezért ez a sorozat konvergál, és összege egyenlő 1-gyel:

1.5. példa. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

Ehhez a sorhoz

. Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

Megjegyzés. Számára az (1.6) sorozat végtelen számú nulla összege, és nyilvánvalóan konvergens.

2. A számsorok alapvető tulajdonságai

Véges számú tag összegének tulajdonságai eltérnek egy sorozat tulajdonságaitól, vagyis végtelen számú tag összegétől. Tehát véges számú tag esetén tetszőleges sorrendben csoportosíthatók, ez nem változtat az összegen. Vannak olyan konvergens sorozatok (feltételesen konvergensek, amelyeket az 5. fejezetben tárgyalunk), amelyekre, ahogy Riemann megmutatta * , a tagok sorrendjének megfelelő megváltoztatásával a sorozat összege tetszőleges számmal egyenlővé tehető, sőt akár egy divergens sorozattal is.

Példa 2.1. Tekintsük az (1.7) alak divergens sorozatát.

Tagjait párokba csoportosítva egy konvergens számsort kapunk, amelynek összege nulla:

Másrészt a tagjait párokba csoportosítva a második tagból kiindulva egy konvergens sorozatot is kapunk, de eggyel egyenlő összeggel:

Tétel 2.1.(Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma).

Ha az (1.1) sorozat konvergál, akkor az általános tagja nullára hajlik, mivel n korlátlanul növekszik, azaz

A tétel bizonyítása abból következik, hogy , és ha

S az (1.1) sorozat összege, tehát

A (2.1) feltétel szükséges, de nem elégséges feltétele a sorozat konvergálásának. Vagyis ha a sorozat közös tagja nullára hajlik a -nál, akkor ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Például a harmonikus sorozathoz (1.2) azonban, amint az alább látható lesz, eltér.

Következmény(Elegendő kritérium egy sorozat divergenciájához).

Ha a sorozat közös tagja nem nullázódik at, akkor ez a sorozat eltér.

Példa 2.2. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

Ehhez a sorhoz

Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

A fent vizsgált (1.6), (1.7) divergens sorozatok is divergens sorozatok, mivel nem felelnek meg a konvergencia szükséges kritériumának. az (1.7) sorozatnál a határ nem létezik.

A tulajdonság bizonyítása abból következik, hogy az (1.1) sorozat és bármely maradéka egyidejűleg konvergálnak vagy divergálnak.

Ingatlan 2.2. Egy konvergens sorozatot meg lehet szorozni egy számmal, azaz ha az (1.1) sorozat konvergál, S összege van, c pedig valamilyen szám, akkor

A bizonyítás abból következik, hogy véges összegekre megvan az egyenlőség

Ingatlan 2.3. A konvergens sorozatok tagonként hozzáadhatók és kivonhatók, azaz ha a sorozat,

konvergál,

konvergál és összege i.e.

A bizonyítás a véges összegek határának tulajdonságaiból következik, azaz.

BEVEZETÉS

A kézikönyv a műszaki iskolák matematika tanárainak, valamint minden szak másodéves hallgatóinak szól.

Ebben a cikkben a sorozatelmélet alapfogalmait mutatjuk be. Az elméleti anyag megfelel az Állami Középfokú Szakképzési Standard követelményeinek (Oktatási Minisztérium Orosz Föderáció. M., 2002).

A teljes témára vonatkozó elméleti anyag bemutatását nagyszámú példa és feladat átgondolása kíséri, és elérhető, lehetőség szerint szigorú nyelvezetben zajlik. A kézikönyv végén példák és feladatok találhatók, amelyeket a tanulók önkontroll módban végezhetnek el.

A kézikönyv levelező és nappali tagozatos hallgatók számára készült.

Figyelembe véve a technikumi tanulók felkészültségi szintjét, valamint a program által a felsőfokú matematika technikumi letételére szánt rendkívül korlátozott óraszámot (12 óra + 4 font), szigorú következtetések vonhatók le, amelyek nagy nehézségeket okoznak az asszimilációban. , kimarad, a példákra korlátozódik.

ALAPFOGALMAK

Egy matematikai értelemben, például különféle függvények, származékaik és integráljaik kombinációjaként bemutatott probléma megoldásának képesnek kell lennie „számhoz hozni”, ami legtöbbször végső válaszként szolgál. Erre a matematika különböző ágaiban különféle módszereket dolgoztak ki.

Sorozatelméletnek nevezzük a matematikának azt a részét, amely lehetővé teszi bármely jól feltett probléma gyakorlati felhasználáshoz kellő pontosságú megoldását.

Ha a matematikai elemzés néhány finom fogalma megjelent is a sorozatelmélet kapcsán, azokat azonnal alkalmazták a sorozatokra, amelyek eszközül szolgáltak e fogalmak érvényességének tesztelésére. Ez a helyzet a mai napig tart.

A forma kifejezése

ahol ;;;…;;… a sorozat tagjai; - nth vagy egy sorozat közös tagját végtelen sorozatnak (számnak) nevezzük.

Ha a sorozat tagjai:

I. Számsor

1.1. A számsorok alapfogalmai.

A számsorozat az alak összege

, (1.1)

ahol a sorozat tagjainak nevezett ,,,…,,… végtelen sorozatot alkot; egy tagot a sorozat közös tagjának nevezünk.

az (1.1) sorozat első tagjaiból összeállítottakat e sorozat részösszegeinek nevezzük.

Minden sor társítható részösszegek sorozatához .

Ha a szám végtelen növekedésével n a sorozat parciális összege a határra hajlik, ekkor a sorozatot konvergensnek, a számot pedig a konvergens sorozat összegének nevezzük, azaz.

Ez a bejegyzés egyenértékű a bejegyzéssel

Ha az (1.1) sorozat részösszege korlátlan növekedéssel n nincs véges határértéke ( hajlamos vagy ), akkor az ilyen sorozatot ún divergens .

Ha a sor konvergens , akkor a kellően nagy érték n a sorozat összegének hozzávetőleges kifejezése S.

A különbséget a sorozat maradékának nevezzük. Ha a sorozat konvergál, akkor a maradéka nullára hajlik, azaz és fordítva, ha a maradék nullára, akkor a sorozat konvergál.

1.2. Példák számsorokra.

Példa 1. Az űrlap sorozata

(1.2)

hívott geometriai .

A geometriai sorozat egy geometriai sorozat tagjaiból alakul ki.

Ismeretes, hogy az összeg az első n tagjai. Nyilvánvalóan ez n- sorozat (1.2) részösszege.

Lehetséges esetek:

Az (1.2) sorozat a következő formában jelenik meg:

, a sorozat eltér;

Az (1.2) sorozat a következő formában jelenik meg:

Nincs határ, a sorozat eltér egymástól.

véges szám, a sorozat konvergál.

- a sorozat eltér.

Tehát ez a sorozat a -nál konvergál, és -nél divergál.

2. példa Az űrlap sorozata

(1.3)

hívott harmonikus .

Írjuk fel ennek a sorozatnak a részösszegét:

Az összeg nagyobb, mint az alábbiak szerint bemutatott összeg:

vagy .

Ha akkor , vagy .

Ezért ha , akkor , azaz. a harmonikus sorozat szétválik.

3. példa Az űrlap sorozata

(1.4)

hívott általánosított harmonikus .

Ha , akkor ez a sorozat harmonikus sorozattá alakul, ami divergens.

Ha , akkor ennek a sorozatnak a tagjai nagyobbak, mint a harmonikus sorozat megfelelő tagjai, és ezért eltér. Amikor van egy geometriai sorozatunk, amelyben ; ez konvergens.

Tehát az általánosított harmonikus sorozat -nál konvergál, és -nél divergál.

1.3. A konvergenciához szükséges és elégséges kritériumok.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma.

A sorozat csak akkor konvergálhat, ha a közös tagja nullára hajlik, ahogy a szám korlátlanul növekszik: .

Ha , akkor a sorozat eltér, ami elegendő jel sorozatbeli eltérés.

Elegendő feltételek egy pozitív tagú sorozat konvergenciájához.

Pozitív tagú sorozatok összehasonlításának jele.

A vizsgált sorozat akkor konvergál, ha tagjai nem haladják meg egy másik, nyilvánvalóan konvergens sorozat megfelelő tagjait; a vizsgált sorozat eltér, ha annak feltételei meghaladják egy másik, nyilvánvalóan eltérő sorozat megfelelő feltételeit.

D'Alembert jele.

Ha pozitív feltételekkel rendelkező sorozathoz

feltétel teljesül, akkor a sorozat a -nál konvergál és -nál tér el.

d'Alembert jele nem ad választ, ha . Ebben az esetben más módszereket alkalmaznak a sorozat tanulmányozására.

Feladatok.

Írj egy sorozatot a megadott közös kifejezéssel:

Feltéve, hogy ,,,… végtelen számsorozatunk van:

Feltételeit hozzáadva a sorozatot kapjuk

Ugyanezt csinálva megkapjuk a sorozatot

Az 1,2,3,… értékeket megadva, és figyelembe véve, hogy,,,…, megkapjuk a sorozatot

Megtalálni n- a sorozat ik tagja a megadott első feltételek szerint:

A sorozat tagjainak nevezője az elsőtől kezdve páros számok; Következésképpen, n- A sorozat edik tagjának alakja .

A sorozat tagjainak számlálói természetes számsort, a megfelelő nevezők pedig természetes számsort, a megfelelő nevezők pedig 3-tól kezdődő természetes számsort alkotnak. Az előjelek a törvény szerint, ill. a törvényhez. Eszközök, n- A sorozat edik tagjának alakja . vagy .

Vizsgálja meg a sorozatok konvergenciáját a szükséges konvergencia teszt és az összehasonlító teszt segítségével:

;

Találunk .

A sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, de a konvergencia kérdésének megoldásához az egyik elégséges konvergencia kritériumot kell alkalmazni. Hasonlítsa össze ezt a sorozatot a geometriai sorozattal

ami konvergál azóta.

Összehasonlítva ennek a sorozatnak a tagjait a másodiktól kezdve a geometriai sorozat megfelelő tagjaival, megkapjuk az egyenlőtlenségeket

azok. ennek a sorozatnak a másodiktól kezdődő tagjai ennek megfelelően kisebbek a geometriai sorozat tagjainál, amiből az következik, hogy az adott sorozat konvergál.

Itt teljesül a sorozat divergenciájának elégséges kritériuma; ezért a sorozat eltér.

Találunk .

A sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium teljesül. Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot az általánosított harmonikus sorozattal

ami konvergál, hiszen ezért az adott sorozat is konvergál.

Vizsgálja meg a sorozatok konvergenciáját a d'Alembert-próbával:

;

Helyettesítve a sorozat közös kifejezésébe n szám n+ 1, megkapjuk. Határozzuk meg a -edik tag -hoz arányának határát n- mu tag itt:

Ezért ez a sorozat konvergál.

Tehát ez a sorozat eltér egymástól.

Azok. a sor eltér.

II. váltakozó sorozatok

2.1 A váltakozó sorozat fogalma.

Számsorozat

hívott váltakozó ha tagjai pozitív és negatív számokat is tartalmaznak.

A számsort hívják váltakozó ha bármely két szomszédos tag ellentétes előjelű.

ahol mindenkinek (vagyis olyan sorozatnak, amelynek pozitív és negatív tagjai sorra követik egymást). Például,

;

A váltakozó sorozatok esetében elegendő a konvergencia kritériuma (leibniz 1714-ben állapította meg I. Bernoullinak írt levelében).

2.2 Leibniz jele. A sorozat abszolút és feltételes konvergenciája.

Tétel (Leibniz-próba).

Egy váltakozó sorozat akkor konvergál, ha:

A sorozat tagjainak abszolút értékeinek sorrendje monoton csökken, pl. ;

A sorozat közös tagja nullára hajlik:.

Ráadásul a sorozat S összege kielégíti az egyenlőtlenségeket

Megjegyzések.

A forma váltakozó sorozatának tanulmányozása

(negatív első taggal) az összes tagját megszorozzuk a sorozat tanulmányozásával .

Olyan sorozatokat nevezünk, amelyekre a Leibniz-tétel feltételei teljesülnek Leibnizian (vagy Leibniz sorozat).

A reláció lehetővé teszi, hogy egyszerű és kényelmes becslést kapjunk a hibáról, amelyet az összeg cseréjével követünk el S ennek a sorozatnak a részösszegével .

A kiselejtezett sorozat (a maradék) is váltakozó sorozat , amelynek összege kisebb, mint a sorozat első tagja, vagyis a hiba kisebb, mint az elvetett tagok közül az első tag modulusa.

Példa. Számítsa ki hozzávetőlegesen a sorozat összegét!

Megoldás: adott Leibniz típusú sorozat. Konvergál. Tudsz írni:

Öt kifejezést véve, i.e. helyettesíthető

Kövessünk el egy kisebb hibát

hogyan . Így,.

A váltakozó sorozatok esetében a következő általános elegendő konvergenciakritérium érvényesül.

Tétel. Adjunk meg egy váltakozó sorozatot

Ha a sorozat konvergál

az adott sorozat tagjainak modulusaiból áll össze, akkor maga a váltakozó sorozat konvergál.

A váltakozó sorozatok Leibniz-féle konvergenciakritériuma elégséges kritérium a váltakozó sorozatok konvergenciájához.

A váltakozó sorozat az ún abszolút konvergens , ha a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, pl. minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Ha egy váltakozó sorozat konvergál, és a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat eltér, akkor ezt a sorozatot ún. feltételesen (nem abszolút) összetartó.

2.3. Feladatok.

Vizsgálja meg a konvergenciát (abszolút vagy feltételes) egy váltakozó sorozatot:

És

Ezért a Leibniz-teszt szerint a sorozatok konvergálnak. Nézzük meg, hogy ez a sorozat abszolút vagy feltételesen konvergál.

Sor , amely az adott sorozat abszolút értékeiből áll, egy harmonikus sorozat, amely eltér. Ezért ez a sorozat feltételesen konvergál.

Ennek a sorozatnak a feltételei monoton módon csökkennek abszolút értékben:

, de

A sorozat eltér, mert a Leibniz-teszt nem állja meg a helyét.

A Leibniz-teszt segítségével azt kapjuk

azok. a sorozat konvergál.

Ez egy geometriai sorozat, amelynek alakja hol, amely összefolyik. Ezért ez a sorozat abszolút konvergál.

A Leibniz-tesztet használva megvan

;

, azaz a sorozat konvergál.

Tekintsünk egy sorozatot, amely a sorozat feltételeinek abszolút értékéből áll:

, vagy

Ez egy általánosított harmonikus sorozat, amely eltér, mivel. Ezért ez a sorozat feltételesen konvergál.

III. Funkcionális tartomány

3.1. A funkcionális sorozat fogalma.

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek tagjai függvényei funkcionális :

Egy bizonyos értéket megadva egy számsort kapunk

amely lehet konvergens vagy divergens.

Ha az eredményül kapott számsor konvergál, akkor a pontot hívjuk konvergencia pont funkcionális sor; ha a sorozat szétválik eltérési pont funkcionális sor.

Az argumentum számértékeinek halmazát, amelynél a funkcionális sorozat konvergál, annak nevezzük konvergencia régióban .

Egy funkcionális sorozat konvergencia tartományában az összege a : bizonyos függvénye.

A konvergencia régióban az egyenlőség határozza meg

, ahol

Egy sorozat részösszege.

Példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét.

Megoldás. Ez a sorozat egy geometriai progresszió sorozata nevezővel. Ezért ez a sorozat a következőhöz konvergál, azaz mindenkinek ; a sorozat összege ;

, nál nél .

3.2. Teljesítmény sorozat.

A hatványsorozat az alak sorozata

hol vannak a számok hívott sorozat együtthatók , és a kifejezés a sorozat gyakori kifejezése.

Egy hatványsor konvergencia tartománya az összes olyan érték halmaza, amelyre a sorozat konvergál.

A számot hívják konvergencia sugár hatványsorok, ha esetén a sorozat konvergál, sőt, abszolút, és esetén a sorozat eltér.

A konvergencia sugarát a d'Alembert-próbával találjuk meg:

(nem attól függ),

azok. ha teljesítmény sorozat konvergál minden olyan esetén, amely kielégíti ezt a feltételt, és eltér a .

Ebből következik, hogy ha van határ

akkor a sorozat konvergencia sugara egyenlő ezzel a határértékkel, és a hatványsor -ban konvergál, azaz, amelyek között ún konvergencia intervallum (intervallum).

Ha , akkor a hatványsor egyetlen pontban konvergál .

Az intervallum végén a sorozat (abszolút vagy feltételesen) konvergálhat, de el is térhet.

A és a hatványsorok konvergenciáját az egyik konvergenciakritérium segítségével vizsgáljuk.

3.3. Feladatok.

Keresse meg a sorozat konvergencia területét:

Megoldás. Keresse meg ennek a sorozatnak a konvergencia sugarát:

Ezért ez a sorozat abszolút az egész szám tengelyén konvergál.

Megoldás. Használjuk d'Alembert jelét. Ehhez a sorozathoz a következőket kínáljuk:

A sorozat abszolút konvergál, ha vagy . Vizsgáljuk meg a sorozat viselkedését a konvergencia intervallum végén.

Mert van egy sorozatunk

Mert van egy sorozatunk szintén konvergens Leibniz sorozat. Ezért az eredeti sorozat konvergencia tartománya egy szegmens.

Megoldás. Keresse meg a sorozat konvergencia sugarát:

Ezért a sorozat konvergál, azaz nál nél.

Vegyünk egy sorozatot , ami a Leibniz-teszt szerint konvergál.

Vegyünk egy eltérő sorozatot

Ezért az eredeti sorozat konvergencia tartománya az intervallum.

IV. Bomlás elemi függvények a Maclaurin sorozatban.

Az alkalmazásoknál fontos, hogy tudjunk ezt a funkciót hatványsorban bővíteni, azaz. ábrázolja a függvényt egy hatványsor összegeként.

Egy függvény Taylor sorozatát az alak hatványsorának nevezzük

Ha , akkor a Taylor sorozat egy speciális esetét kapjuk

amelyet úgy hívnak Maclaurin közelében .

A konvergenciaintervallumán belüli hatványsorokat tetszőlegesen lehet tagonként differenciálni és integrálni, és a kapott sorozatok azonos konvergenciaintervallummal rendelkeznek, mint az eredeti sorozat.

Két hatványsor adható össze és szorozható tagonként a polinomok összeadási és szorzási szabályai szerint. Ebben az esetben az eredményül kapott új sorozatok konvergencia intervalluma egybeesik az eredeti sorozat konvergencia intervallumainak közös részével.

Ahhoz, hogy egy függvényt Maclaurin sorozattá bővítsünk, a következőkre van szükség:

Számítsa ki a függvény értékeit és az egymást követő deriváltjait a pontban, azaz,,,…,;

Állítson össze egy Maclaurin-sort úgy, hogy egy függvény értékét és annak egymást követő származékait behelyettesíti a Maclaurin-sor képletébe;

Keresse meg a kapott sorozatok konvergencia intervallumát a képlettel!

, .

1. példa: Bontsa ki a függvényt egy Maclaurin sorozatban.

Megoldás. Mivel , akkor a kiterjesztésben helyette a következőt kapjuk:

2. példa Írja fel a függvény Maclaurin sorozatát! .

Megoldás. Mivel , akkor azt a képletet használva, amelyben helyettesítjük a -val, a következőt kapjuk:

3. példa: Bontsa ki a függvényt egy Maclaurin sorozatban.

Megoldás. Használjuk a képletet. Mivel

, majd ezt lecserélve a következőt kapjuk:

, vagy

hol , azaz. .

V. Gyakorlati feladatok a tanulók önkontrolljához.

Állítsa be a konvergenciát a sorozat-összehasonlító teszt segítségével

feltételesen konvergál;

abszolút megegyezik.

;

VII. Történeti hivatkozás.

Sok probléma megoldása a függvények és integrálok értékeinek kiszámítására, vagy az ismeretlen függvények deriváltjait vagy differenciáljait tartalmazó differenciálegyenletek megoldására redukálódik.

Ezeknek a matematikai műveleteknek a pontos végrehajtása azonban sok esetben nagyon nehéznek vagy lehetetlennek bizonyul. Ezekben az esetekben lehetséges számos probléma hozzávetőleges megoldása tetszőleges pontossággal sorozat segítségével.

A sorozat a matematikai elemzés egyszerű és tökéletes eszköze függvények, integrálok és differenciálegyenletek megoldásainak közelítő kiszámításához.

És a funkcionális jobb oldalán állva.

Ahhoz, hogy az „” jel helyett egyenlőségjelet tegyünk, további érvelést kell végezni, amely pontosan az egyenlőség jobb oldalán lévő tagok számának végtelenségéhez kapcsolódik, és a sorozat konvergencia tartományára vonatkozik.

Amikor a Taylor-képlet olyan formát ölt, amelyben Maclaurin-képletnek nevezik:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), Newton tanítványa a Fluxionok traktátusában (1742) megállapította, hogy csak egy hatványsor fejez ki analitikus függvényt, és ez lesz az ilyen függvény által generált Taylor-sor. A Newton-binomiális képletben a hatványok együtthatói azok az értékek, ahol .

Tehát a sorok a 18. században keletkeztek. mint a végtelen differenciálást lehetővé tevő függvények ábrázolásának módja. A sorozat által képviselt függvényt azonban nem összegének nevezték, és általában akkor még nem volt meghatározva, hogy mennyi egy numerikus vagy funkcionális sorozat összege, csak kísérletek történtek ennek a fogalomnak a bevezetésére.

Például L. Euler (1707-1783), miután kiírt egy függvénynek megfelelő hatványsort, adott értéket a változónak. Van egy számsor. Euler az eredeti függvény értékét a pontban e sorozat összegének tekintette. De ez nem mindig igaz.

Azt, hogy az eltérő sorozatoknak nincs összege, a tudósok csak a 19. században kezdték találgatni, bár a XVIII. sokan, és mindenekelőtt L. Euler, keményen dolgoztak a konvergencia és a divergencia fogalmán. Euler egy sorozatot konvergensnek nevez, ha a közös tagja nullára hajlik, mint .

A divergens sorozatok elméletében Euler számos jelentős eredményt ért el, de ezek az eredmények sokáig nem találtak alkalmazásra. Még 1826-ban N.G. Ábel (1802-1829) az eltérő sorokat „ördögi kitalációnak” nevezte. Euler eredményei csak a 19. század végén találtak igazolást.

A konvergens sorozat összege fogalmának kialakításakor a francia tudós O.L. Cauchy (1789-1857); rendkívül sokat tett nemcsak a sorozatelméletben, hanem a határok elméletében is, magának a határfogalomnak a kialakításában. 1826-ban Cauchy kijelentette, hogy az eltérő sorozatoknak nincs összege.

1768-ban francia matematikus és filozófus J.L. D'Alembert a binomiális sorozatban a következő tag és az előző tag arányát tanulmányozta, és kimutatta, hogy ha ez az arány abszolút értékben kisebb egynél, akkor a sorozat konvergál. Cauchy 1821-ben bebizonyította azt a tételt, amely szerint Általános nézet előjel-pozitív sorozatok konvergenciájának jele, amelyet ma d'Alembert-jelnek neveznek.

A váltakozó sorozatok konvergenciájának vizsgálatára Leibniz-próbát használunk.

G.V. Leibniz (1646-1716), a nagy német matematikus és filozófus, I. Newton mellett a differenciál- és integrálszámítás megalapítója.

Bibliográfia:

Fő:

Bogomolov N.V., Gyakorlati leckék a matematikából. M., " Gimnázium”, 1990 – 495 p.;
Tarasov N.P., Felsőfokú matematika tanfolyam a műszaki iskolák számára. M., "Nauka", 1971 - 448 p.;
Zaitsev I.L., Felsőfokú matematika tanfolyam műszaki iskolák számára. M., Műszaki Iskolák Állami Könyvkiadója - elméleti irodalom, 1957 - 339 p.;
Pismenny D.T., Előadások kurzusa a felsőbb matematikáról. M., „Iris Press”, 2005, 2. rész – 256 p.;
Vygodsky M.Ya., A felsőfokú matematika kézikönyve. M., "Nauka", 1975-872 p.;

További:

Gusak A.A., Felső matematika. 2 köt., 2. köt.: Tankönyv egyetemisták számára. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 p.;
Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematika a gazdasági szakterületek hallgatói számára. 2. rész Krasznodar, 2002 - 348 p.;
Griguletsky V.G. stb. Feladatfüzet matematikából. Krasznodar. KSAU, 2003 - 170 p.;
Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Feladatok és gyakorlatok a számviteli és pénzügyi kar hallgatói számára. Krasznodar. 2001 - 173 p.;
Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Felső matematika. Krasznodar, 1998 - 186 p.;
Malykhin V.I., Matematika a közgazdaságtanban. M., "Infra-M", 1999-356s.

FELSŐ MATEMATIKA

Számsorozat

Előadás.Számsorozat

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

2. A számsorok alapvető tulajdonságai

3. Pozitív feltételekkel rendelkező sorozatok. A konvergencia jelei

4. Váltakozó sorok. Leibniz konvergencia teszt

5. Váltakozó sorozatok

Kérdések önvizsgálathoz

Irodalom

Előadás. NUMERIKUS SOROZAT

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia.

2. A numerikus sorozatok alapvető tulajdonságai.

3. Pozitív feltételekkel rendelkező sorozatok. A konvergencia jelei.

4. Váltakozó sorok. Leibniz konvergenciakritérium.

5. Váltakozó sorozatok.

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

Legyen adott egy végtelen számsor

, , …, , …

Meghatározás 1.1. Numerikus sorozat vagy egyszerűen Közeli a forma kifejezésének (összegének) nevezzük

. (1.1) nevezzük egy szám tagjai, – Tábornok vagy n – m a sor tagja.

Az (1.1) sorozat meghatározásához elegendő a természetes argumentum függvényét meghatározni

a sorozat edik tagjának kiszámítása annak számával

Példa 1.1. Legyen

. sor (1.2)

hívott harmonikus sorozat .

Példa 1.2. Legyen

, sorozat (1.3)

hívott általánosított harmonikus sorozat. Egy adott esetben, amikor

harmonikus sorozatot kapunk.

1.3. példa. Legyen

= . sor (1,4)

hívott geometriai progresszió mellett.

Az (1.1) sorozat tagjaiból egy numerikust képezünk részleges sorozataösszegeket ahol

a sorozat első tagjainak összege, amelyet ún n-és részösszeg, azaz , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Numerikus sorozat

a szám korlátlan növelésével:

1) véges határral rendelkeznek;

2) nincs véges határértéke (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Meghatározás 1.2. Az (1.1) sorozatot hívják összetartó, ha részösszegei sorozatának (1.5) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben a szám

hívott összeg sorozat (1.1) és .

Meghatározás 1.3.Az (1.1) sorozatot hívják eltérő, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa.

Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így az (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

Nézzünk néhány példát.

Példa 1.4. Bizonyítsd be, hogy a sorozat

konvergál, és találja meg az összegét.

Találjuk ki n- az adott sorozat részösszege

Közös tag

formában ábrázoljuk a sorozatot.

Ezért rendelkezünk:

. Ezért ez a sorozat konvergál, és összege egyenlő 1-gyel:

1.5. példa. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

(1.6)

Ehhez a sorhoz

. Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

Megjegyzés. Nál nél

az (1.6) sorozat végtelen számú nulla összege, és nyilvánvalóan konvergens.

Példa 1.6. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

(1.7)

Ehhez a sorhoz

Ebben az esetben a részösszegek sorozatának határa

nem létezik, és a sorozat eltér.

Példa 1.7. Vizsgáljuk meg a geometriai progresszió sorozatának (1.4) konvergenciáját:

Ezt könnyű megmutatni n-edik részösszege egy geometriai progresszió sorozatának

képlettel adott.

Vegye figyelembe az eseteket:

Aztán és .

Ezért a sorozat konvergál, és összege egyenlő