Ismerje meg a köbös egyenletek megoldását. Az az eset, amikor egy gyökér ismert. Módszerek egész számok keresésére és racionális gyökerei. A Cardano és Vieta képletek alkalmazása bármilyen köbegyenlet megoldására.

Tartalom

Itt mérlegeljük a megoldást köbös egyenletek kedves
(1) .
Továbbá feltételezzük, hogy ezek valós számok.

(2) ,
majd elosztva -vel egy (1) alakú egyenletet kapunk együtthatókkal
.

Az (1) egyenletnek három gyöke van: , és . Az egyik gyökér mindig valódi. A valódi gyökeret jelöljük. A és gyökök lehetnek valós vagy összetett konjugátumok. A valódi gyökerek többfélék lehetnek. Például, ha , akkor és kettős gyökök (vagy 2-es multiplicitás gyökei), és egy egyszerű gyök.

Ha csak egy gyökér ismeretes

Ismerjük meg az (1) köbös egyenlet egyik gyökét. Jelöljük az ismert gyöket . Ezután az (1) egyenletet elosztva másodfokú egyenletet kapunk. A másodfokú egyenletet megoldva találunk még két gyöket és .

A bizonyításhoz azt a tényt használjuk, hogy a köbös polinom a következőképpen ábrázolható:
.
Ekkor (1)-et elosztva másodfokú egyenletet kapunk.

A polinomok felosztására példákat mutatunk be az oldalon
„Polinom osztása és szorzása polinommal sarokkal és oszloppal”.
Megoldás másodfokú egyenletek oldalon áttekintve
"A másodfokú egyenlet gyökerei".

Ha az egyik gyökér az

Ha az eredeti egyenlet:
(2) ,
és együtthatói , , , egész számok, akkor megpróbálhatjuk megtalálni egész gyökér. Ha ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez az együttható osztója. Az egész gyökök keresésének módja az, hogy megkeressük egy szám összes osztóját, és ellenőrizzük, hogy a (2) egyenlet érvényes-e rájuk. Ha teljesül a (2) egyenlet, akkor megtaláltuk a gyökerét. Jelöljük így. Ezután a (2) egyenletet elosztjuk -vel. Másodfokú egyenletet kapunk. Megoldva még két gyökeret találunk.

Az oldalon találhatók példák az egész számok gyökeinek meghatározására
Példák polinomok faktorizálására > > > .

Racionális gyökerek megtalálása

Ha a (2) egyenletben , , , egész számok, és , és nincsenek egész gyökök, akkor megpróbálhatunk racionális gyököket, vagyis a , alak gyökeit keresni, ahol és egész számok.

Ehhez megszorozzuk a (2) egyenletet és végrehajtjuk a helyettesítést:
;
(3) .
Ezután keressük a (3) egyenlet egész számú gyökét a szabad tag osztói között.

Ha megtaláltuk a (3) egyenlet egész gyökét, akkor a változóhoz visszatérve a (2) egyenlet racionális gyökerét kapjuk:
.

Cardano és Vieta képletek köbegyenlet megoldására

Ha egyetlen gyököt sem ismerünk, és nincsenek egész gyökök, akkor Cardano képleteivel megkereshetjük egy köbös egyenlet gyökét.

Tekintsük a köbös egyenletet:
(1) .
Csináljunk egy cserét:
.
Ezt követően az egyenlet hiányos vagy redukált alakra redukálódik:
(4) ,
ahol
(5) ; .

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve számára tudósokés mérnökök, 2012.

Valós gyökérzetű együtthatókat tartalmazó köbös egyenlet, a másik kettőt összetett konjugált párnak tekintjük. Figyelembe kell venni a binomiális és reciprok egyenleteket, valamint a racionális gyökerek keresését. Minden információt példák támasztanak alá.

A x 3 + B = 0 alakú kéttagú köbegyenlet megoldása

A binomiálist tartalmazó köbös egyenlet A x 3 + B = 0 alakú. Le kell csökkenteni x 3 + B A \u003d 0-ra A-val való osztással, amely különbözik a nullától. Ezt követően alkalmazhatja a kockaösszeg rövidített szorzásának képletét. Ezt értjük

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Az első zárójel eredménye x \u003d - B A 3, a négyzetes hármasrész pedig - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, és csak összetett gyökökkel.

1. példa

Határozzuk meg a 2 x 3 - 3 = 0 köbös egyenlet gyökereit!

Megoldás

Az egyenletből meg kell találnia x-et. Írjunk:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Szükséges a rövidített szorzási képlet alkalmazása. Akkor azt kapjuk

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Bontsa ki az első zárójelet, és kapja meg, hogy x = 3 3 2 6 . A második zárójelnek nincs valódi gyökere, mert a diszkrimináns kisebb, mint nulla.

Válasz: x = 3 3 2 6 .

Az A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 alakú reciprok köbegyenlet megoldása

A másodfokú egyenlet alakja A x 3 + B x 2 + B x + A \u003d 0, ahol A és B értékei együtthatók. Csoportosítás szükséges. Ezt értjük

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B xx + 1 = x + 1 A x 2 + x B-A+A

Az egyenlet gyöke x \u003d - 1, akkor kapjuk meg a gyököket négyzetes trinomikus Az A x 2 + x B - A + A-t a diszkrimináns megtalálásával kell használni.

2. példa

Oldjunk meg egy egyenletet, például 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .

Megoldás

Az egyenlet megfordítható. Csoportosítás szükséges. Ezt értjük

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 xx + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Ha x \u003d - 1 az egyenlet gyöke, akkor meg kell találnia az adott 5 x 2 - 13 x + 5 trinom gyökereit:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

Válasz:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Köbös egyenletek megoldása racionális gyökökkel

Ha x \u003d 0, akkor ez az A x 3 + B x 2 + C x + D \u003d 0 alakú egyenlet gyöke. D \u003d 0 szabad kifejezéssel az egyenlet A x 3 + B x 2 + C x \u003d 0 alakot ölti. Ha x-et kivesszük a zárójelekből, akkor azt kapjuk, hogy az egyenlet megváltozik. A diszkriminánson vagy Vietán keresztül történő megoldáskor x A x 2 + B x + C = 0 alakot ölt.

3. példa

Határozzuk meg az adott 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 egyenlet gyökereit!

Megoldás

Egyszerűsítsük a kifejezést.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 az egyenlet gyöke. Meg kell találnia a 3 x 2 + 4 x + 2 alakú négyzetháromság gyökét. Ehhez nullával kell egyenlővé tenni, és a megoldást a diszkrimináns segítségével folytatni. Ezt értjük

D \u003d 4 2 - 4 3 2 \u003d - 8. Mivel értéke negatív, nincsenek trinomikus gyökök.

Válasz: x = 0.

Ha az A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 egyenlet együtthatói egész számok, akkor a válaszban kaphat irracionális gyökerek. Ha A ≠ 1, akkor az egyenlet mindkét részét A 2-vel megszorozva a változók változása történik, azaz y \u003d A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B y 2 + C A y + D A 2

Elérkezünk egy köbös egyenlet alakjához. A gyökerek lehetnek egészek vagy racionálisak. Az azonos egyenlőség eléréséhez osztókat kell behelyettesíteni a kapott egyenletbe. Ekkor a kapott y 1 lesz a gyök. Ez azt jelenti, hogy az x 1 = y 1 A alakú eredeti egyenlet gyöke. Az A x 3 + B x 2 + C x + D polinomot el kell osztani x - x 1 -gyel. Ekkor megkereshetjük a négyzetes trinomikus gyökereit.

4. példa

Megoldás

Az átalakítást úgy kell végrehajtani, hogy mindkét részt megszorozzuk 2 2-vel, és egy y \u003d 2 x típusú változó változtatásával. Ezt értjük

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 év 2 + 24 év + 36 = 0

A szabad kifejezés 36 , akkor az összes osztóját javítani kell:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 9, ± 12, ± 36

Az y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 behelyettesítése szükséges, hogy megkapjuk az űrlap azonosságát

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

Innen látjuk, hogy y \u003d - 1 a gyökér. Tehát x = y 2 = - 1 2 .

Nálunk ez van

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Ezt követően meg kell találnia az x 2 - 6 x + 9 formájú másodfokú egyenlet gyökereit. Megvan, hogy az egyenletet x 2 - 6 x + 9 \u003d x - 3 2 alakra kell redukálni, ahol x \u003d 3 lesz a gyöke.

Válasz: x 1 \u003d - 1 2, x 2, 3 = 3.

Megjegyzés

Az algoritmus alkalmazható reciprok egyenletekre. Látható, hogy - 1 a gyöke, ami azt jelenti, hogy a bal oldal osztható x + 1-gyel. Csak akkor lehet megtalálni a négyzetháromság gyökereit. Racionális gyökök hiányában más megoldási módszereket alkalmaznak a polinom faktorizálására.

Köbös egyenletek megoldása Cardano képlet segítségével

A kockagyökerek megtalálása a Cardano képlet segítségével lehetséges. A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 esetén meg kell találni a következőt: B 1 = A 1 A 0, B 2 = A 2 A 0, B 3 = A 3 A 0.

Ekkor p = - B 1 2 3 + B 2 és q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

A kapott p és q a Cardano-képletbe. Ezt értjük

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

A kockagyökök kiválasztásának meg kell felelnie a - p 3 kimeneti értéknek. Ekkor az eredeti egyenlet gyökei x = y - B 1 3 . Fontolja meg az előző példa megoldását Cardano képletével.

5. példa

Határozzuk meg a 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 egyenlet gyökereit!

Megoldás

Látható, hogy A 0 \u003d 2, A 1 \u003d - 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

Meg kell találni: B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Ebből következik tehát

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Csinálunk egy helyettesítést a Cordano képletben, és megkapjuk

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 2 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

A 343 216 3 három jelentése van. Tekintsük őket az alábbiakban.

343 216 3 \u003d 7 6 cos π + 2 π k 3 + i sin π + 2 π k 3, k \u003d 0, 1, 2

Ha k = 0, akkor - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i sin π 3 \u003d 7 6 1 2 + i 3 2

Ha k = 1, akkor - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i sinπ = - 7 6

Ha k = 2, akkor - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i sin 5 π 3 \u003d 7 6 1 2 - i 3 2

Párokra kell bontani, ekkor kapjuk - p 3 = 49 36 .

Ekkor a következő párokat kapjuk: 7 6 1 2 + i 3 2 és 7 6 1 2 - i 3 2, - 7 6 és - 7 6, 7 6 1 2 - i 3 2 és 7 6 1 2 + i 3 2.

Alakítsuk át a Cordano képlet segítségével:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i 3 2 + 7 6 1 2 - i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i 3 2 + 7 6 1 2 + i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Válasz: x 1 \u003d - 1 2, x 2, 3 \u003d 3

A köbegyenletek megoldása során a Ferrari módszerrel 4. fokú egyenletek megoldására való redukcióval találkozhatunk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Minden valós együtthatóval rendelkező köbegyenletnek legalább egy valós gyöke van, a másik kettő vagy szintén valós, vagy összetett konjugátum.

Kezdjük az áttekintést a legegyszerűbb esetekkel - binomiálisÉs visszaváltható egyenletek. Ezután rátérünk a racionális gyökerek megtalálására (ha vannak). Befejezésül egy példával fejezzük be a köbös egyenlet gyökereinek megtalálását a segítségével Cardano képleteáltalános esetre.

Oldalnavigáció.

Kéttagú köbegyenlet megoldása.

A kéttagú köbös egyenlet alakja .

Ezt az egyenletet a nullától eltérő A együtthatóval való osztással a formára redukáljuk. Ezután a kockaösszeg rövidített szorzásának képletét alkalmazzuk:

Az első zárójelben megtaláljuk a , és a négyzetes trinomit csak összetett gyökerei vannak.

Példa.

Keresse meg a köbegyenlet valódi gyökereit!

Megoldás.

A kockák különbségének rövidített szorzására a képletet alkalmazzuk:

Az első zárójelből azt találjuk, hogy a második zárójelben lévő négyzetes trinomnak nincs valódi gyökere, mivel a diszkriminánsa negatív.

Válasz:

A reciprok köbegyenlet megoldása.

A reciprok köbös egyenlet alakja , ahol A és B együtthatók.

Csoportosítsunk:

Nyilvánvaló, hogy x \u003d -1 egy ilyen egyenlet gyöke, és a kapott négyzetes trinom gyöke könnyen megtalálhatók a diszkrimináns révén.

Példa.

Köbös egyenlet megoldása .

Megoldás.

Ez az egyenlet reciprok. Csoportosítsunk:

Nyilvánvaló, hogy x = -1 az egyenlet gyöke.

Négyzetes trinom gyökereinek megkeresése:

Válasz:

Köbös egyenletek megoldása racionális gyökökkel.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor x=0 a köbegyenlet gyöke.

Ebben az esetben a D szabad tag egyenlő nullával, vagyis az egyenletnek van alakja .

Ha x-et kivesszük a zárójelekből, akkor zárójelben marad a négyzetes trinom, aminek a gyökereit könnyű megtalálni akár a diszkrimináns révén, akár Vieta tételével .

Példa.

Keresse meg az egyenlet valódi gyökereit .

Megoldás.

x=0 az egyenlet gyöke. Keressük meg a négyzetes trinom gyökereit.

Mivel a diszkriminánsa kisebb, mint nulla, a trinomiálisnak nincs valódi gyökere.

Válasz:

x=0.

Ha egy köbegyenlet együtthatói egész számok, akkor az egyenletnek lehetnek racionális gyökerei.

Mert az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk -val, és megváltoztatjuk az y = Ax változókat:

Elérkeztünk a fenti köbös egyenlethez. Egész gyökei lehetnek, amelyek a szabad tag osztói. Tehát kiírjuk az összes osztót, és elkezdjük behelyettesíteni őket a kapott egyenletbe, amíg azonos egyenlőséget nem kapunk. Az az osztó, amelynél az azonosságot megkapjuk, az egyenlet gyöke. Ezért az eredeti egyenlet gyöke .

Példa.

Keresse meg a köbös egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Alakítsuk át az egyenletet a megadottra: szorozzuk meg mindkét résszel és változtassuk meg az y = 2x változót.

Az ingyenes tag 36 . Írjuk fel az összes osztóját: .

Helyettesítsd be őket egyenként az egyenlőségbe az identitás megszerzése előtt:

Tehát y = -1 a gyök. Illik hozzá.

Osszuk el használatáról:

Kapunk

Meg kell találni a négyzetes trinomiális gyökereit.

Ez nyilvánvaló , azaz többszörös gyöke x=3 .

Válasz:

.

Megjegyzés.

Ez az algoritmus használható reciprok egyenletek megoldására. Mivel -1 bármely ismétlődő köbös egyenlet gyöke, az eredeti egyenlet bal oldalát eloszthatjuk x + 1-gyel, és megkereshetjük a kapott négyzetes trinom gyökereit.

Abban az esetben, ha a köbegyenletnek nincs racionális gyöke, más megoldási módszereket alkalmaznak, például speciális módszereket.

Köbös egyenletek megoldása Cardano képletével.

Általános esetben a köbös egyenlet gyökereit a Cardano képlet segítségével találjuk meg.

A köbös egyenlethez az értékek megtalálhatók . Következő megtaláljuk És .

A kapott p-t és q-t behelyettesítjük a Cardano-képletbe:

Vita

Formula Cardano

A középkor vitái mindig is érdekes látványt jelentettek, vonzották a tétlen városlakókat, fiatalokat és időseket. A viták témái változatosak voltak, de szükségszerűen tudományosak. A tudomány ugyanakkor azt jelentette, ami az úgynevezett hét szabad művészet listáján szerepel, az természetesen a teológia. A teológiai viták voltak a leggyakoribbak. Mindenről vitatkoztak. Például arról, hogy csatlakoztatni kell-e az egeret a Szentlélekhez, ha megeszi a szentséget, megjósolhatja-e a Cuma Sibyl Jézus Krisztus születését, miért nem avatták szentté a Megváltó testvéreit stb.
A híres matematikus és a nem kevésbé híres orvos közötti vitáról csak a legáltalánosabb találgatások hangzottak el, mivel senki sem tudott semmit. Azt mondták, hogy egyikük megtévesztette a másikat (ki pontosan és kit nem tudni). Szinte mindenki, aki a téren összegyűlt, a leghomályosabb elképzelésekkel rendelkezett a matematikáról, de mindenki izgatottan várta a vita kezdetét. Mindig érdekes volt, lehetett nevetni a vesztesen, függetlenül attól, hogy igaza volt-e vagy sem.
Amikor a városháza órája ötöt ütött, a kapuk szélesre nyíltak, és a tömeg berontott a katedrálisba. Az oltár bejáratát összekötő középvonal két oldalán két oldaloszlopot emeltek etetőszékek vitázóknak szánták. A jelenlévők nagy zajt csaptak, nem figyeltek arra, hogy a templomban vannak. Végül az ikonosztázt a központi hajó többi részétől elválasztó vasrács előtt megjelent a fekete-lila köpenyes városkiáltó, aki így szólt: „Milánó város tisztelt polgárai! Most a híres breniai matematikus, Niccolò Tartaglia fog beszélni előtted. Ellenfele Geronimo Cardano matematikus és orvos volt. Niccolo Tartaglia azzal vádolja Cardanót, hogy ő az utolsó, aki "Ars magna" című könyvében publikált egy harmadik fokú egyenlet megoldására szolgáló módszert, amely az övé, Tartaglia. Maga Cardano azonban nem tudott részt venni a vitában, ezért elküldte tanítványát, Luige Ferrarit. Tehát a vitát nyitottnak nyilvánítják, a résztvevőket meghívják az elnökségre. A bejárattól balra lévő szószékre egy esetlen, kampós orrú, göndör szakállú férfi, a szemközti szószékre pedig egy húszas éveinek elején járó, jóképű, magabiztos arcú fiatalember mászott fel. Egész viselkedése teljes bizalomról árulkodott, hogy minden gesztusát és minden szavát örömmel fogadják.
Tartaglia elindult.

• Tisztelt Uraim! Tudod, hogy 13 éve sikerült megtalálnom a módját egy 3. fokú egyenlet megoldásának, majd ezzel a módszerrel megnyertem egy vitát Fiorival. Az én módszerem felkeltette Cardano polgártársa figyelmét, és minden ravasz művészetével kisajátította belőlem a titkot. Nem állt meg a megtévesztésnél vagy a nyílt hamisításnál. Azt is tudod, hogy 3 éve jelent meg Cardano könyve az algebra szabályairól Nürnbergben, ahol mindenki számára elérhetővé tették az én olyan szemérmetlenül ellopott módszeremet. Kihívtam Cardanót és tanítványát egy meccsre. 31 feladat megoldását ajánlottam fel, ugyanennyit az ellenfeleim is. A problémák megoldásának határideje 15 nap volt. 7 nap alatt sikerült megoldanom a Cardano és a Ferrari által összeállított problémák nagy részét. Kinyomtattam és futárral elküldtem Milánóba. Azonban öt teljes hónapot kellett várnom, amíg választ kaptam a problémáimra. Nem volt igazuk. Ez okot adott arra, hogy mindkettőt nyilvános vitára hívjam.

Tartaglia elhallgatott. A fiatalember a szerencsétlen Tartagliára nézve így szólt:

• Tisztelt Uraim! Méltó ellenfelem beszéde legelső szavaiban megengedte magának, hogy annyi rágalmat fejezzen ki ellenem és tanárom ellen, érvelése annyira alaptalan volt, hogy aligha vennék fáradságot, ha megcáfolnám az elsőt, és megmutatnám a második következetlenségét. Először is, milyen megtévesztésről beszélhetünk, ha Niccolo Tartaglia teljesen önként osztotta meg módszerét mindkettőnkkel? Geronimo Cardano pedig így ír az ellenfelem szerepéről az algebrai szabály felfedezésében. Azt mondja, hogy nem őt, Cardano, „hanem Tartaglia barátomat illeti meg az a megtiszteltetés, hogy felfedezhetek egy ilyen gyönyörű és csodálatos, felülmúlja az emberi szellemet és az emberi szellem minden tehetségét. Ez a felfedezés valóban mennyei ajándék, olyan kiváló bizonyítéka az elme erejének, amely felfogta, hogy semmi sem tekinthető elérhetetlennek számára.”
• Ellenfelem azzal vádolt engem és a tanáromat, hogy állítólag rossz megoldást adtak a problémáira. De hogyan lehet rossz az egyenlet gyökere, ha az egyenletbe behelyettesítve és az ebben az egyenletben előírt összes művelet végrehajtásával azonosságra jutunk? És már ha Senor Tartaglia következetes akart lenni, akkor arra a megjegyzésre kellett válaszolnia, hogy mi, akik ellopták, de szavai szerint az ő találmányát és a felvetett problémák megoldására felhasználva, miért kaptunk rossz megoldást. Mi - a tanárom és én - azonban nem tartjuk lényegtelennek Signor Tartaglia találmányát. Ez a találmány csodálatos. Sőt, erősen rá támaszkodva megtaláltam a 4. fokú egyenlet megoldásának módját, és az "Ars magnában" erről beszél a tanárom. Mit akar tőlünk Senor Tartaglia? Mit akar elérni a vitával?
• Uraim, uraim – kiáltott fel Tartaglia –, kérem, hallgassanak rám! Nem tagadom, hogy ifjú ellenfelemnek nagyon erős a logikája és ékesszólása. De ez nem helyettesítheti a valódi matematikai bizonyítást. A Cardanónak és a Ferrarinak adott feladatokat nem oldották meg megfelelően, de bebizonyítom. Valóban, vegyünk például egy egyenletet azok közül, akik megoldották. Tudott...

A templomban elképzelhetetlen zaj támadt, teljesen elnyelte a szerencsétlen matematikus által elkezdett mondat végét. Nem engedték folytatni. A tömeg azt követelte, hogy fogjon be, és a Ferrari kapja a kanyart. Tartaglia, látva, hogy a vita folytatása teljesen haszontalan, sietve leereszkedett a szószékről, és kiment az északi tornácon keresztül a térre. A közönség a vita "győztesének", Luigi Ferrarinak szurkolt.
Ezzel véget ért ez a vita, amely a mai napig is egyre több vitát okoz. Kié a 3. fokú egyenlet megoldásának módja? Most beszélünk - Niccolo Tartaglia. Ő fedezte fel, és Cardano kicsalta belőle ezt a felfedezést. És ha most egy 3. fokú egyenlet gyökereit az együtthatókon keresztül reprezentáló képletet Cardano formulának nevezzük, akkor ez történelmi igazságtalanság. Azonban igazságtalan? Hogyan lehet kiszámítani az egyes matematikusok felfedezésében való részvétel mértékét? Talán idővel valaki biztosan meg tudja válaszolni ezt a kérdést, vagy talán rejtély marad ...

Formula Cardano

Ha a modern matematikai nyelvet és a modern szimbolikát használjuk, akkor a Cardano-képlet levezetése a következő rendkívül elemi megfontolások alapján érhető el:
Adjunk meg egy 3. fokú általános egyenletet:

Ha feltesszük, akkor az (1) egyenletet a formára redukáljuk

, (2)

ahol , .
Egy új ismeretlent vezetünk be az egyenlőség használatával.
Ha ezt a kifejezést bevezetjük a (2)-be, azt kapjuk

. (3)

Innen
,

Következésképpen,
.

Ha a második tag számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a kifejezéssel és vegyük figyelembe, hogy a kapott for kifejezés szimmetrikusnak bizonyul a "" és a "" jelekhez képest, akkor végül megkapjuk

.

(A köbös gyökök szorzatának az utolsó egyenlőségben egyenlőnek kell lennie).
Ez a híres Cardano formula. Ha ismét a -ra megyünk, akkor egy képletet kapunk, amely meghatározza a gyökért általános egyenlet 3. fokozat.
A fiatal férfi, aki olyan kíméletlenül bánt Tartagliával, olyan könnyen megértette a matematikát, mint egy igénytelen rejtély jogait. A Ferrari megtalálja a módját egy 4. fokú egyenlet megoldásának. Cardano ezt a módszert belefoglalta könyvébe. Mi ez a módszer?
Legyen
- (1)

4. fok általános egyenlete.
Ha feltesszük, akkor az (1) egyenlet visszavezethető alakra

, (2)

ahol , , néhány együttható attól függ, hogy , , , , . Könnyen belátható, hogy ez az egyenlet a következő formában írható fel:

. (3)

Valóban, elég kinyitni a zárójeleket, majd az összes -t tartalmazó tag kioltja egymást, és visszatérünk a (2) egyenlethez.
A paramétert úgy választjuk meg, hogy a (3) egyenlet jobb oldala tökéletes négyzet legyen a -hoz képest. Mint ismeretes, a szükséges elégséges állapot ez a diszkrimináns eltűnése a jobb oldali trinomiális együtthatóiból (a -hoz képest):
. (4)

Megkaptuk a teljes köbös egyenletet, amit már meg is tudunk oldani. Keressünk a gyökéből, és adjuk hozzá a (3) egyenlethez, ekkor már a formáját veszi fel

.

Innen
.

Ez egy másodfokú egyenlet. Megoldásával megtalálhatjuk a (2) egyenlet gyökerét, következésképpen az (1) egyenletet.
Cardano halála előtt 4 hónappal fejezte be önéletrajzát, amellyel intenzíven megírta az egészet Tavalyés ami az övét volt összefoglalva nehéz élet. Érezte a halál közeledtét. Egyes hírek szerint saját horoszkópja kötötte össze halálát 75. születésnapjával. 1576. szeptember 21-én halt meg, 2 nappal az évforduló előtt. Van egy olyan verzió, hogy öngyilkosságot követett el a közelgő halálra számítva, vagy akár azért, hogy megerősítse a horoszkópot. Cardano asztrológus mindenesetre komolyan vette a horoszkópot.

Megjegyzés Cardano képletéhez

Elemezzük az egyenlet megoldási képletét a valós területen. Így,
.

Simonyan Albina

A cikk a köbegyenletek megoldásának technikáit és módszereit tárgyalja. A Cardano képlet alkalmazása matematika vizsgára való felkészülés során felmerülő feladatok megoldására.

Letöltés:

Előnézet:

MOU DOD Kreativitás Palotája gyermekeknek és fiataloknak

Don Tudományos Akadémia Fiatal Kutatók számára

Szekció: matematika - algebra és számelmélet

Kutatás

"Nézzünk be a képletek világába"

ebben a témában "3. fokú egyenletek megoldása"

Témavezető: Babina Natalya Alekseevna matematikatanár

G. Salsk 2010

1. Bevezetés ………………………………………………………………………………….3
2. Fő rész………………………………………………………………………….4
3. Gyakorlati rész………………………………………………………………10-13
4. Következtetés……………………………………………………………………………….14
5. Irodalom……………………………………………………………………………..15
6. Alkalmazások

1. Bemutatkozás

Az általános iskolákban kapott matematika oktatás az lényeges komponens Általános oktatásés az általános kultúra modern ember. Szinte minden, ami az embert körülveszi, így vagy úgy kapcsolódik a matematikához. A fizika, a technológia és az informatika legújabb vívmányai pedig nem hagynak kétséget afelől, hogy a jövőben is változatlan marad a helyzet. Ezért sok gyakorlati probléma megoldása különböző típusú egyenletek megoldására redukálódik, amelyek megoldását meg kell tanulni. Lineáris egyenletek az első fokozatot, az első osztályban megtanítottak nekünk megoldani, és nem mutattunk nagy érdeklődést irántuk. Érdekesebbek a nemlineáris egyenletek - nagyfokú egyenletek. A matematika rendet, szimmetriát és bizonyosságot tár fel, és ezek a szépség legmagasabb formái.

A „Nézzünk a képletek világába” című projektem „Harmadfokú köbegyenletek megoldása” témájában a köbegyenletek megoldásával kapcsolatos ismeretek rendszerezése, a keresési képlet létezésének tényének megállapítása. harmadfokú egyenlet gyökei, valamint a gyökök és az együtthatók közötti összefüggés egy köbegyenletben. A tanteremben egyenleteket oldottunk meg, köbös és 3-nál magasabb fokszámú is. Az egyenleteket különböző módszerekkel megoldva együtthatókat adtunk, kivontunk, szoroztunk, osztottunk, hatványra emeltük és gyököket vontunk ki belőlük, egyszóval algebrai műveleteket végeztünk. Van egy képlet a másodfokú egyenletek megoldására. Van-e képlet a harmadfokú egyenlet megoldására, i.e. jelzések, hogy milyen sorrendben és milyen algebrai műveleteket kell végrehajtani az együtthatókkal ahhoz, hogy a gyököket megkapjuk. Érdekes volt számomra, hogy híres matematikusok próbáltak-e olyan általános képletet találni, amely alkalmas köbegyenletek megoldására? És ha megpróbálták, meg tudták-e kapni a gyökök kifejezését az egyenlet együtthatóiban?

2. Főtörzs:

Azokban a távoli időkben, amikor a bölcsek először kezdtek gondolkodni az ismeretlen mennyiségeket tartalmazó egyenlőségekről, valószínűleg még nem voltak érmék vagy pénztárcák. Őskorban matematikai problémákat Mezopotámia, India, Kína, Görögország, ismeretlen mennyiségek kifejezték a kertben lévő pávák számát, az állományban lévő bikák számát, a vagyon megosztásánál figyelembe vett dolgok összességét. A hozzánk eljutott források azt mutatják, hogy az ókori tudósok rendelkeztek néhány általános módszerrel az ismeretlen mennyiségekkel kapcsolatos problémák megoldására. Ezekről a technikákról azonban egyetlen papirusz, egyetlen agyagtábla sem ad leírást. Kivételt képez a görög matematikus, Diophantus Alexandriai (III. század) "Aritmetikája" - az egyenletek összeállításához szükséges feladatok gyűjteménye, megoldásaik szisztematikus bemutatásával. A 9. századi bagdadi tudós munkája azonban az első, széles körben ismertté vált problémamegoldó kézikönyv lett. Mohamed bin Musza al-Khwarizmi.

Így jutott eszembe a „Nézzünk be a képletek világába…” projekt létrehozásához, melynek alapvető kérdései a következők voltak:

1. annak megállapítása, hogy van-e képlet a köbegyenletek megoldására;
2. pozitív válasz esetén olyan képlet keresése, amely egy köbegyenlet gyökét fejezi ki véges számú algebrai művelettel az együtthatóin.

Mivel a tankönyvekben és más matematikai könyvekben a legtöbb érvelést és bizonyítást nem konkrét példákon, hanem Általános nézet, akkor úgy döntöttem, hogy konkrét példákat keresek, amelyek megerősítik vagy cáfolják az elképzelésemet. A köbös egyenletek megoldására szolgáló képlet keresése során úgy döntöttem, hogy követem a másodfokú egyenletek megoldására ismert algoritmusokat. Például az egyenlet megoldása x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 a teljes kockát választotta ki az (x + a) képlet alkalmazásával 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Ahhoz, hogy az általam felvett egyenlet bal oldaláról egy teljes kockát válasszak ki, 2x fordultam bele 2 a 3x 2-ben és azok. Ilyet kerestem, hogy igaz legyen az egyenlőség 2x 2 \u003d 3x 2 a . Könnyű volt kiszámítani, hogy a = . Ennek az egyenletnek a bal oldalát átalakítottaaz alábbiak szerint: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Cseréltem y \u003d x +, azaz. x = y - y 3-6(y-)-6=0; 3-kor - 6y + 4-6=0; Az eredeti egyenlet a következőképpen alakult: 3 - 6y-2=0; Nem lett túl szép egyenlet, mert egész együtthatók helyett most törtszámúak vannak, bár az egyenletnek az ismeretlen négyzetét tartalmazó tagja eltűnt! Közelebb vagyok a célomhoz? Hiszen megmaradt az ismeretlen első erejét tartalmazó kifejezés. Lehet, hogy egy teljes kockát kellett kiválasztani, hogy az - 5x kifejezés eltűnjön? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Valami ilyesmit talált 3a 2 x \u003d -5x; azok. egy 2-re = - De aztán elég rosszul alakult - ebben az egyenlőségben a bal oldalon van pozitív szám a jobb oldalon pedig negatív. Ilyen egyenlőség nem létezhet. Az egyenletet eddig nem tudtam megoldani, csak formába tudtam hozni 3-6y-2=0.

Tehát a kezdeti szakaszban végzett munkám eredménye: ki tudtam venni a köbegyenletből a második fokozatot tartalmazó tagot, i.e. ha adott kanonikus egyenletÓ 3 + 2-ben + cx + d, akkor ez egy nem teljes x köbegyenletre redukálható 3 +px+q=0. Továbbá különböző referencia irodalommal dolgozva sikerült rájönnöm, hogy a forma egyenlete x 3 + px \u003d q sikerült megoldania Dal Ferro (1465-1526) olasz matematikusnak. Miért ehhez a fajtához és nem ahhoz a fajtához x 3 + px + q \u003d 0? Ez mert akkoriban még nem vezettek be negatív számokat és az egyenleteket csak pozitív együtthatókkal vették figyelembe. A negatív számokat pedig valamivel később ismerték fel.Történeti hivatkozás:Dal Ferro az adott másodfokú egyenlet gyökképletével analóg módon számos lehetőséget választott ki. Így érvelt: a másodfokú egyenlet gyöke - ± i.e. alakja: x=t ± . Ez azt jelenti, hogy a köbegyenlet gyöke is legyen néhány szám összege vagy különbsége, és valószínűleg közöttük kell lennie harmadfokú gyöknek is. Melyek pontosan? A számtalan lehetőség közül egy bizonyult sikeresnek: különbség formájában találta meg a választ - Még nehezebb volt kitalálni, hogy t és u-t úgy kell kiválasztani, hogy =. Behelyettesítve x helyett a különbséget -, és p helyett a szorzatotérkezett: (-) 3 +3 (-)=q. Nyitott zárójelek: t - 3 +3- u+3- 3=q. Hasonló kifejezések hozása után a következőt kaptuk: t-u=q.

Az eredményül kapott egyenletrendszer:

t u = () 3 t-u=q. Emeljük fel a jobb és bal oldaltnégyzetre emeljük az első egyenlet részeit, a második egyenletet megszorozzuk 4-gyel, és összeadjuk az első és a második egyenletet. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Tól től új rendszer t+u=2; t -u=q van: t= + ; u= - . Az x helyett a kifejezést behelyettesítve azt kaptukA projekten végzett munka során a legérdekesebb anyagokat tanultam meg. Kiderült, hogy Dal Ferro nem publikálta az általa talált módszert, de néhány tanítványa tudott erről a felfedezésről, és hamarosan egyikük, Antonio Fior úgy döntött, hogy alkalmazza.Ezekben az években gyakoriak voltak a tudományos kérdésekről folytatott nyilvános viták. Az ilyen viták győztesei általában jó jutalmat kaptak, gyakran meghívták őket magas pozíciókra.

Ugyanebben az időben az olaszországi Veronában élt egy szegény matematikatanár, Nicolo (1499-1557), beceneve Tartaglia (azaz dadogó). Nagyon tehetséges volt, és sikerült újra felfedeznie Dal Ferro technikáját (1. melléklet).Párbaj zajlott Fiore és Tartaglia között. A feltétel szerint harminc problémát cseréltek a riválisok, amelyek megoldására 50 napot adtak. De azóta Fior lényegében csak egy problémát tudott, és biztos volt benne, hogy néhány tanár nem tudja megoldani, akkor kiderült, hogy mind a 30 probléma azonos típusú. Tartaglia 2 óra alatt elintézte őket. Fiore viszont egyetlen, az ellenség által javasolt feladatot sem tudott megoldani. A győzelem egész Olaszországban dicsőítette Tartagliát, de a kérdés nem oldódott meg teljesen. .

Mindezt Gerolamo Cardano tette. Pont azt a képletet, amelyet Dal Ferro és Tartaglia fedezett fel újra, Cardano képletnek nevezik (2. melléklet).

Cardano Girolamo (1501. szeptember 24. – 1576. szeptember 21.) olasz matematikus, mechanikus és orvos. Paviában született. Pavia és Padova egyetemén tanult. Fiatal korában orvosi tevékenységet folytatott. 1534-ben a matematika professzora lett Milánóban és Bolognában. A matematikában a Cardano névhez általában egy köbös egyenlet megoldására szolgáló képlet társul, amelyet N. Tartagliától kölcsönzött. Ezt a képletet Cardano nagy művészetében, avagy az algebra szabályairól (1545) publikálták. Azóta Tartaglia és Cardano halálos ellenségekké váltak. Ez a könyv szisztematikusan felvázolja Cardano modern, főként köbös egyenletek megoldási módszereit. Cardano elkészült lineáris transzformáció, amely lehetővé teszi a köbegyenlet 2. fokú tagtól mentes formára való redukálását, és rámutatott az egyenlet gyökei és együtthatói közötti függésre, a polinom oszthatóságára az x – a különbséggel, ha a a gyökere. Cardano az elsők között volt Európában, aki elismerte az egyenletek negatív gyökereinek létezését. Munkájában először jelennek meg a képzeletbeli mennyiségek. A mechanikában Cardano a karok és súlyok elméletét tanulmányozta. A szegmens egyik mozgása az oldalak mentén derékszög a mechanika a kardát új mozgásnak nevezi. Tehát a Cardano-képlet szerint meg lehet oldani az alak egyenleteit x 3 + px + q \u003d 0 (3. függelék)

Úgy tűnik, a probléma megoldódott. Van egy képlet a köbegyenletek megoldására.

Itt is van!

A gyökér alatti kifejezés - diszkriminatív. D = () 2 + () 3 Úgy döntöttem, hogy visszatérek az egyenletemhez, és megpróbálom megoldani Cardano képletével: Az egyenletem a következő: 3 - 6y-2=0, ahol p=-6=-; q = - 2 = - . Könnyű kiszámolni, hogy () 3 ==- és () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Így? Ennek a törtnek a számlálójából könnyedén kihúztam a gyökért, kiderült, hogy 15. És mit kezdjek a nevezővel? Nemcsak a gyökér nincs teljesen kivonva, hanem ki is kell bontani – akkor negatív számból kell lennie! Mi a helyzet? Feltételezhető, hogy ennek az egyenletnek nincs gyökere, mert D-re Így a projekten való munka során újabb problémába ütköztem.Mi a helyzet? Elkezdtem olyan egyenleteket írni, amelyeknek van gyökere, de nem tartalmazzák az ismeretlen négyzetének tagját:

1. készített egy egyenletet, amelynek gyöke x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 És valóban, az ellenőrzéssel meggyőződtem arról, hogy -4 az egyenlet gyöke. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Ellenőriztem, hogy ez a gyök megkapható-e a Cardano formulával x=+=+= =1- 5 =- 4

Fogadott, x = -4.

1. készített egy második egyenletet, amelynek valódi gyöke x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0, és ellenőrizte a képletet.

És ebben az esetben a képlet hibátlanul működött.

1. felvette az x egyenletet 3 +6x+2=0, aminek egy irracionális gyöke van.

Döntés adott egyenlet, megkaptam ezt a gyököt x = - És akkor volt egy feltevésem: a képlet akkor működött, ha az egyenletnek csak egy gyöke van. És az egyenletemnek, amelynek megoldása zsákutcába sodort, három gyökere volt! Ott kell keresni az okot!Most vettem egy egyenletet, amelynek három gyöke van: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. A diszkrimináns ellenőrzése: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Ahogy sejtettem, a négyzetgyök ismét negatív számnak bizonyult. Arra a következtetésre jutottam:az x egyenlet három gyökéhez vezető út 3 +px+q=0 egy negatív szám négyzetgyökének felvételének lehetetlen műveletén keresztül vezet.

1. Most az marad, hogy megtudjam, mivel fogok szembenézni abban az esetben, ha az egyenletnek két gyökere van. Olyan egyenletet választottam, amelynek két gyöke van: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Most arra a következtetésre jutottunk, hogy egy ilyen alakú köbegyenlet gyökeinek száma x 3 + px + q \u003d 0 a diszkrimináns D=() előjelétől függ 2 +() 3 a következő módon:

Ha D>0, akkor az egyenletnek 1 megoldása van.

Ha D

Ha D=0, akkor az egyenletnek 2 megoldása van.

Következtetésem megerősítését egy matematikai kézikönyvben találtam, N. I. Bronshtein szerzője. Tehát a következtetésem: A Cardano formulája akkor használható, ha biztosak vagyunk abban, hogy a gyökér egyedi. nekem sikerült megállapítani, hogy létezik egy képlet a köbös egyenlet gyökereinek megtalálására, de az alakra x 3 + px + q \u003d 0.

3. Gyakorlati rész.

A projekten való munka „… sokat segített néhány paraméterrel kapcsolatos probléma megoldásában. Például:1. Mi az a legkisebb természetes értéke az x egyenletnek 3 -3x+4=a-nak van 1 megoldása? Az egyenletet átírták a formába x3-3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Feltétel szerint 1 megoldásnak kell lennie pl. D>0 Keresse meg D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

A legkisebb természetes értéke ebben az intervallumban 1.

Válasz. egy

2. Miben az a paraméter legnagyobb természetes értéke az x egyenlet 3 + x 2 -8x+2-a=0 három gyöke van?

x 3 + 3x 2 egyenlet -24x + 6-3a = 0 y alakra hozzuk 3 + ru + q=0, ahol a=1; at=3; c=-24; d=6-3а ahol q= - + és 3 p = q = 32-3a; p=-27. Ennél a típusú egyenletnél D=() 2 + () 3 = () 2 + (-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 és 1 = ==28, és 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

A legnagyobb természetes értéke ebből az intervallumból: 28.

Válasz.28

3. Az a paraméter értékétől függően keresse meg az egyenlet gyökeinek számát x 3 - 3x - a \u003d 0

Megoldás. Az egyenletben p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Egy (-∞;-2) (2;∞) esetén az egyenletnek 1 megoldása van;

Ha a (-2; 2) az egyenletnek 3 gyöke van;

Amikor a \u003d -2; A 2. egyenletnek 2 megoldása van.

Tesztek:

1. Hány gyöke van az egyenleteknek:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; 3-ban; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; 3-ban; d)4

2. Az x egyenlet milyen értékeinél 3 A +px+8=0-nak két gyökere van?

a) 3; b) 5; 3-ban; d)5

Válasz: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Francois Viet (1540-1603) francia matematikus 400 évvel előttünk (4. melléklet) tudott kapcsolatot teremteni egy másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

Érdekessé vált számomra, hogy megtudjam: lehet-e kapcsolatot létesíteni egy harmadfokú egyenlet gyökei és együtthatói között? Ha igen, mi ez a kapcsolat? Így jött létre a mini projektem. Úgy döntöttem, hogy meglévő kvadratikus készségeimet használom a problémám megoldására. analógia alapján járt el. Felvettem az x egyenletet 3 + képpont 2 +qх+r =0. Ha az egyenlet gyökereit jelöljük x 1, x 2, x 3 , akkor az egyenlet felírható (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 A zárójeleket kibontva a következőt kapjuk: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Megvan a következő rendszer:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Így össze tudjuk kapcsolni az egyenletek gyökereit tetszőleges fokozat együtthatóikkal.Az engem érdeklő kérdésben mit lehet kivonni Vieta tételéből?

1. Az egyenlet összes gyökének szorzata egyenlő a szabad tag modulusával. Ha az egyenlet gyökei egész számok, akkor ezeknek a szabad tag osztóinak kell lenniük.

Térjünk vissza az x egyenlethez. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Az egész számoknak a halmazhoz kell tartozniuk: ±1; ±2; ±3; ±6. A számokat szekvenciálisan behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk a gyököket: -3; -egy; 2.

2. Ha ezt az egyenletet faktorálással oldja meg, akkor Vieta tétele ad egy "titkot":szükséges, hogy a bővítési csoportok összeállításakor számok jelenjenek meg - a szabad kifejezés osztói. Nyilvánvaló, hogy nem lehet azonnal megtanulni, mert nem minden osztó az egyenlet gyökere. És sajnos lehet, hogy egyáltalán nem sikerül – elvégre az egyenlet gyökerei nem egész számok.

Oldja meg az x egyenletet 3 +2x 2 -5x-6=0 faktorizáció. x 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2) + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Az eredeti egyenlet: ezzel egyenértékű: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. És ennek az egyenletnek három gyöke van: -3; -1; 2. Vieta tételének „tippje” segítségével megoldottam a következő egyenletet: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. A szabad tag osztói: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. x 3-12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3-4x) - (8x-16) \u003d x (x 2) -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 vagy x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Válasz. -4; 2.

3. Az eredményül kapott egyenlőségrendszer ismeretében az egyenlet gyökéből megtalálhatja az egyenlet ismeretlen együtthatóit.

Tesztek:

1. Egyenlet x 3 + px 2 + 19x - 12=0 gyöke 1, 3, 4. Keresse meg a p együtthatót; Válasz. a) 12; b) 19; 12-kor; d) -8 2. x egyenlet 3-10 x 2 + 41x + r=0 gyöke 2, 3, 5. Keresse meg az r együtthatót; Válasz. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

A projekt eredményeinek megfelelő mennyiségben történő alkalmazására vonatkozó feladatok a M.I.Skanavi által szerkesztett egyetemi jelentkezőknek szóló kézikönyvben találhatók. Vieta tételének ismerete felbecsülhetetlen segítséget jelenthet az ilyen problémák megoldásában.

№6.354

4. Következtetés

1. Van egy képlet, amely kifejezi a gyökereket algebrai egyenlet az egyenlet együtthatóin keresztül: ahol D==() 2 + () 3 D>0, 1 megoldás. Formula Cardano.

2. Köbös egyenlet gyökeinek tulajdonsága

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Ennek eredményeként arra a következtetésre jutottam, hogy létezik egy képlet, amely a köbegyenletek gyökereit az együtthatóiban fejezi ki, és az egyenlet gyökei és együtthatói között is van összefüggés.

5. Irodalom:

1. Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára. A. P. Savin. –M.: Pedagógia, 1989.

2. Egységes államvizsga matematikából - 2004. Feladatok és megoldások. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova és mások. Cseboksary. Csuvas kiadó. un-ta, 2004.

3. Paraméteres egyenletek és egyenlőtlenségek. V.V. Mochalov, Silvestrov V.V. Egyenletek és egyenlőtlenségek paraméterekkel: Proc. juttatás. -Cseboksary: ​​Csuvas Kiadó. Egyetem, 2004.

4. Matematika feladatok. Algebra. Használati útmutató. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5. Reshebnik a M.I.Skanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai versenyproblémáiról. M. P. Bazhov "Ukrán Enciklopédia" kiadó, 1993.

6. Algebra tankönyv lapjai mögött. L.F. Pichurin.-M.: Felvilágosodás, 1990.

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre fiókot magának ( fiókot) Google, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

Nézzünk a képletek világába

Az általános iskolákban szerzett matematikai oktatás az általános műveltség és a modern ember általános kultúrájának legfontosabb eleme. Szinte minden, ami az embert körülveszi, így vagy úgy kapcsolódik a matematikához. A fizika, a technológia és az informatika legújabb vívmányai pedig nem hagynak kétséget afelől, hogy a jövőben is változatlan marad a helyzet. Ezért sok gyakorlati probléma megoldása különböző típusú egyenletek megoldására redukálódik, amelyek megoldását meg kell tanulni. I. fokú lineáris egyenletek, első osztályban megtanítottak nekünk megoldani, és nem mutattunk nagy érdeklődést irántuk. Érdekesebbek a nemlineáris egyenletek - nagyfokú egyenletek. A matematika rendet, szimmetriát és bizonyosságot tár fel, és ezek a szépség legmagasabb formái. Bevezetés:

az egyenlet alakja (1) az egyenletet úgy alakítjuk át, hogy pontos kockát válasszunk: megszorozzuk (1) az egyenleteket 3-mal (2) átalakítjuk (2) az egyenleteket megkapjuk a következő egyenletet felállítjuk a az egyenlet (3) jobb és bal oldalán a harmadik hatványhoz megtaláljuk az egyenlet gyökereit Példák megoldásokra köbegyenletek

Másodfokú egyenletek olyan formában, ahol a diszkrimináns Között valós számok nincsenek gyökerei

A harmadik fokozat egyenlete

Történelmi megjegyzés: Azokban a távoli időkben, amikor a bölcsek először kezdtek gondolkodni az ismeretlen mennyiségeket tartalmazó egyenlőségekről, valószínűleg még nem voltak érmék vagy pénztárcák. Mezopotámia, India, Kína, Görögország ókori matematikai problémáiban az ismeretlen mennyiségek a kertben lévő pávák számát, az állományban lévő bikák számát, a vagyon megosztásánál figyelembe vett dolgok összességét fejezték ki. A hozzánk eljutott források azt mutatják, hogy az ókori tudósok rendelkeztek néhány általános módszerrel az ismeretlen mennyiségekkel kapcsolatos problémák megoldására. Ezekről a technikákról azonban egyetlen papirusz, egyetlen agyagtábla sem ad leírást. Kivételt képez a görög matematikus, Diophantus Alexandriai (III. század) "Aritmetikája" - az egyenletek összeállításához szükséges feladatok gyűjteménye, megoldásaik szisztematikus bemutatásával. A 9. századi bagdadi tudós munkája azonban az első, széles körben ismertté vált problémamegoldó kézikönyv lett. Mohamed bin Musza al-Khwarizmi.

az egyenlet alakja (1) az 1) képletet alkalmazzuk úgy, hogy kiválasztjuk, hogy megtaláljuk, és hogy a következő egyenlőség teljesüljön, az (1) egyenlet bal oldalát a következőképpen alakítjuk át: jelöljük ki a teljes kockát y-ként, megkapjuk az y egyenlete (2) egyszerűsítsd (2) a (3) egyenletet a (3)-ban az ismeretlen négyzetét tartalmazó tag eltűnt, de az ismeretlen első hatványát tartalmazó tag megmaradt 2) kiválasztással, keress egy so hogy a következő egyenlőség teljesül.Ez az egyenlőség lehetetlen,mert a bal oldalon van egy pozitív és egy negatív szám a bal oldalon.Ha ezt az utat követjük,akkor elakadunk....A választott úton megbukunk. Még nem tudtuk megoldani az egyenletet.

Az (1) 1 alakú egyenlet köbegyenletei. Egyszerűsítsük az egyenleteket osztva a-val, akkor az "x"-ben lévő együttható 1-gyel egyenlő lesz, ezért bármely köbegyenlet megoldása az összeg-kocka képlet alapján történik: (2) ha vesszük, akkor az (1) egyenlet csak az x-beli együttható és a szabad tag különbözik a (2) egyenlettől. Összeadjuk az (1) és (2) egyenleteket, és hasonlókat adunk: ha itt változtatunk, akkor y-ra vonatkozóan egy tag nélküli köbegyenletet kapunk:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (1501. szeptember 24. – 1576. szeptember 21.) olasz matematikus, mechanikus és orvos. Paviában született. Pavia és Padova egyetemén tanult. Fiatal korában orvosi tevékenységet folytatott. 1534-ben a matematika professzora lett Milánóban és Bolognában. A matematikában a Cardano névhez általában egy köbös egyenlet megoldására szolgáló képlet társul, amelyet N. Tartagliától kölcsönzött. Ezt a képletet Cardano nagy művészetében, avagy az algebra szabályairól (1545) publikálták. Azóta Tartaglia és Cardano halálos ellenségekké váltak. Ez a könyv szisztematikusan felvázolja Cardano modern, főként köbös egyenletek megoldási módszereit. Cardano egy lineáris transzformációt hajtott végre, amely lehetővé tette a köbegyenlet 2. fokú tagtól mentes formába hozását, rámutatott az egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggésre, a polinom oszthatóságára az x különbséggel – a, ha a a gyöke. Cardano az elsők között volt Európában, aki elismerte az egyenletek negatív gyökereinek létezését. Munkájában először jelennek meg a képzeletbeli mennyiségek. A mechanikában Cardano a karok és súlyok elméletét tanulmányozta. A szegmensnek a derékszög oldalai mentén történő egyik mozgását a mechanikában kardánmozgásnak nevezik. Cardano Girolamo életrajza

Ugyanebben az időben az olaszországi Veronában élt egy szegény matematikatanár, Nicolo (1499-1557), beceneve Tartaglia (azaz dadogó). Nagyon tehetséges volt, és sikerült újra felfedeznie Dal Ferro technikáját. Párbaj zajlott Fiore és Tartaglia között. A feltétel szerint 30 problémát cseréltek a riválisok, amelyek megoldására 50 napot adtak. De mivel Fior lényegében csak egy problémát tudott, és biztos volt benne, hogy néhány tanár nem tudja megoldani, így kiderült, hogy mind a 30 probléma azonos típusú. Tartaglia két óra alatt elintézte őket. Fiore viszont nem tudta megoldani az ellenség által javasolt feladatok egyikét sem. A győzelem Itália-szerte dicsőítette Tartagliát, de a kérdés nem oldódott meg teljesen.Azt az egyszerű trükköt, amellyel az egyenlet egy ismeretlen értékű négyzetét tartalmazó tagjával (teljes kockát választva) meg tudtunk birkózni, még nem fedezték fel, és a egyenletek megoldása különböző típusok nem került be a rendszerbe. Fiora párbaj Tartagliával

az a alakú egyenlet ebből az egyenletből kiszámoljuk az egyenlet diszkriminánsát Nemhogy ennek az egyenletnek a gyöke nincs teljesen kivonva, de még mindig ki kell vonni egy negatív számból. Mi a helyzet? Feltételezhető, hogy ennek az egyenletnek nincs gyökere, mert D

Egy köbös egyenlet gyökerei a diszkriminánstól függnek az egyenletnek 1 megoldása van az egyenletnek 3 megoldása van az egyenletnek 2 megoldása van Következtetés

az egyenletnek a következő a formája, keresse meg az egyenlet gyökereit a Cardano-formulával Példák köbös egyenletek megoldására a Cardano-formulával

ebből az egyenletből egy (1) alakú egyenlet, és mivel feltétel szerint ennek az egyenletnek 1 megoldása kellene, hogy legyen, akkor kiszámítjuk a + - + 2 egyenlet (1) diszkriminánsát 6 Válasz: ebből az intervallumból a legkisebb a természetes érték 1 Mekkora a legkisebb természetes értéknél egy egyenletnek 1 megoldása van?

Köbös egyenletek megoldása Vieta módszerrel Az egyenleteknek van alakja

Oldjuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy a két gyökének szorzata a Vieta-tétel szerint 1 , megkeressük az egyenlet vagy a válasz gyökereit:

Felhasznált irodalom: „Matematika. Oktatási és módszertani kézikönyv » Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Enciklopédia „Ismerem a világot. Matematika" - Moszkva, AST, 1996. "Matek. Oktatási segédlet » V.T. Lisicskin. Útmutató az egyetemekre jelentkezők számára, szerkesztette: M.I.Skanavi. Egyetlen Államvizsga matematikából - 2004

Kösz a figyelmet