Hővezető a hőátadás egyik fajtája. A hőátadás különféle mechanizmusokkal valósítható meg.

Minden test elektromágneses hullámokat bocsát ki. Szobahőmérsékleten ez főleg infravörös sugárzás. Ez így megy sugárzó hőátadás.

Gravitációs tér jelenlétében a folyadékokban a hőátadás másik mechanizmusa lehet konvekció. Ha egy folyadékot vagy gázt tartalmazó edénybe az alján keresztül jutunk hővel, akkor elsősorban az anyag alsó részei melegednek fel, sűrűségük csökken, felúsznak, és a kapott hő egy részét a felső rétegeknek adják le.

Hővezetés esetén az energiaátadás a nagyobb energiájú részecskék (molekulák, atomok, elektronok) direkt energiaátvitelének eredményeként megy végbe az alacsonyabb energiájú részecskékre.

Tanfolyamunk során figyelembe vesszük a hővezetés útján történő hőátadást.

Nézzük először az egydimenziós esetet, amikor a hőmérséklet csak egy koordinátától függ x. Két médiát válasszon el egy lapos vastagságú válaszfal l(23.1. ábra). A közeg hőmérséklete T 1 és T 2 állandó marad. Empirikusan megállapítható, hogy a hőmennyiség K a partíció területtel rendelkező szakaszán keresztül továbbítva S alatt t egyenlő

, (23.1)

ahol a k arányossági együttható a fal anyagától függ.

Nál nél T 1 > T 2 hőátadás történik a pozitív tengely irányában x, nál nél T 1 < T 2 - negatív. A hőterjedés iránya akkor vehető figyelembe, ha a (23.1) egyenletben a ( T 1 - T 2)/l a (- dT/dx). Egydimenziós esetben a derivált dT/dx képviseli hőmérséklet gradiens. Emlékezzünk vissza, hogy a gradiens olyan vektor, amelynek iránya egybeesik a leggyorsabb növekedés irányával skaláris függvény koordináták (esetünkben T), és a modulus egyenlő az ebben az irányban kis elmozdulással rendelkező függvény növekményének a távolsághoz viszonyított arányával, amelyen ez a növekmény bekövetkezett.

Ahhoz, hogy a hőátadást leíró egyenletek általánosabb és univerzálisabb formát adjunk, megfontoljuk hőáram sűrűsége j - egységnyi területre, egységnyi időre átadott hőmennyiség

Ekkor a (23.1) relációt így írhatjuk fel

Itt a mínusz jel azt tükrözi, hogy a hőáramlás iránya ellentétes a hőmérsékleti gradiens irányával (növekedésének irányával). Így a hőáram sűrűsége vektormennyiség. A hőáram-sűrűségvektor a csökkenő hőmérséklet irányába irányul.

Ha a közeg hőmérséklete mindhárom koordinátától függ, akkor a (23.3) összefüggés felveszi a formát

ahol , - hőmérséklet gradiens ( e 1 ,e 2 ,e 3 - koordinátatengelyek egységvektorai).

A (23.3) és (23.4) összefüggések a hővezetés alaptörvényét (Fourier-törvény) képviselik: a hőáram sűrűsége arányos a hőmérsékleti gradienssel. A k arányossági együtthatót ún hővezető(vagy csak hővezető képesség). Mert a hőáram sűrűségének mérete [ j] = J / (m 2 s), és a hőmérsékleti gradiens [ dT/dx] = K/m, akkor a hővezetési tényező dimenziója [k] = J/(m×s×K).

Általános esetben az egyenetlenül melegített anyag különböző pontjain a hőmérséklet idővel változik. Tekintsük az egydimenziós esetet, amikor a hőmérséklet csak egy térbeli koordinátától függ xés az idő t, és megkapjuk hőegyenlet az a differenciálegyenlet, amelyet a függvény kielégít T = T(x,t).

Emeljünk ki gondolatban a közegből egy kis térfogatú elemet henger vagy prizma formájában, amelynek generátora párhuzamos a tengellyel x, és az alapok merőlegesek (23.2. ábra). Alapterület S, és a magasság dx. Ennek a kötetnek a tömege dm= r sdx, és a hőkapacitása c×dm ahol r az anyag sűrűsége, val vel - fajlagos hő. Hagyja rövid ideig dt a hőmérséklet ebben a térfogatban -kal változott dT. Ehhez a térfogatban lévő anyagnak hőkapacitása és a hőmérsékletváltozás szorzatával megegyező mennyiségű hőt kell kapnia: . Másrészt d K csak a henger talpain keresztül juthat be a térfogatba: (hőáramok sűrűsége j lehet pozitív vagy negatív is). Egyenlítő kifejezések d-re K, kapunk

.

A kis növekmény arányait a megfelelő deriváltokkal helyettesítve jutunk el az összefüggéshez

. (23.5)

Helyettesítsük be a (23.5) képletben a (23.3) kifejezésben a hőáram sűrűségét

. (23.6)

A kapott egyenletet ún hőegyenlet. Ha a közeg homogén, és a k hővezető képesség nem függ a hőmérséklettől, akkor az egyenlet a következőt veszi fel:

, (23.7)

ahol az állandót hívják termikus diffúzió környezet.

A (23.6) - (23.8) egyenleteket megszámlálhatatlan függvényhalmaz teljesíti T = T(x,t).

A hőegyenlet egyedi megoldásának elkülönítéséhez hozzá kell adni az egyenlethez a kezdeti ill. határviszonyok.

A kezdeti feltétel a hőmérséklet-eloszlás beállítása a közegben T(x,0) a kezdeti időpontban t = 0.

A peremfeltételek a határokon uralkodó hőmérsékleti rendszertől függően eltérőek lehetnek. Leggyakrabban vannak olyan helyzetek, amikor a hőmérséklet vagy a hőáram sűrűsége a határokon az idő függvényében van megadva.

Egyes esetekben hőforrások lehetnek a környezetben. Az elmúlás következtében hő szabadulhat fel elektromos áram, kémiai vagy nukleáris reakciók. A hőforrások jelenléte az energialeadás térfogatsűrűségének bevezetésével vehető figyelembe q(x,y,z), egyenlő a számmal a források által kibocsátott hő egységnyi térfogatú közeg per egységnyi idő alatt. Ebben az esetben a kifejezés a (23.5) egyenlet jobb oldalán fog megjelenni. q:

.

Bármely fizikai jelenség tanulmányozása a jelenséget jellemző mennyiségek közötti kapcsolat megállapítására redukálódik. Összetetthez fizikai folyamatok, amelyben a meghatározó mennyiségek térben és időben jelentősen eltérhetnek, meglehetősen nehéz megállapítani az összefüggést ezen mennyiségek között. Ilyen esetekben a matematikai fizika módszereit alkalmazzák, amelyek abból állnak, hogy az időintervallumot korlátozzák, és bizonyos elemi térfogatot vesznek figyelembe a teljes térből. Ez lehetővé teszi, hogy a kiválasztott térfogaton és adott időintervallumon belül figyelmen kívül hagyjuk a folyamatot jellemző mennyiségek változásait, és jelentősen leegyszerűsítsük a függést.

Így választott elemi kötet dVés elemi időintervallum dτ, amelyen belül a folyamatot figyelembe veszik, azzal matematikai pont Fizikai szempontból végtelenül kicsi mennyiségekről van szó, és fizikai szempontból a mennyiségek még mindig elég nagyok ahhoz, hogy korlátaik között lehessen a közeget folytonosnak tekinteni, figyelmen kívül hagyva diszkrét szerkezetét. Az így kapott függőség a folyamat általános differenciálegyenlete. A differenciálegyenletek integrálásával analitikus összefüggést kaphatunk a teljes integrációs tartomány mennyiségei és a teljes vizsgált időintervallum között.

A hőmérsékleti mező megtalálásával kapcsolatos problémák megoldásához differenciális hővezetési egyenlet szükséges.

Tegyük fel a következő feltételezéseket:

a test homogén és izotróp;

a fizikai paraméterek állandóak;

a vizsgált térfogat hőmérsékletváltozással járó deformációja nagyon kicsi magához a térfogathoz képest;

a belső hőforrások a szervezetben egyenletesen oszlanak el.

A hővezetési differenciálegyenlet levezetésének alapja az energiamegmaradás törvénye, amelyet a következőképpen fogalmazunk meg:

A hőmennyiségdQ, bekerült az elemi kötetbedVkint időredτa hővezető képesség miatt, valamint a belső forrásokból származó, egyenlő az elemi térfogatban lévő anyag belső energiájának vagy entalpiájának változásával.

ahol dQ 1 - az elemi térfogatba bevezetett hőmennyiség dV időbeli hővezetéssel dτ;

dQ 2 az a hőmennyiség, amelyet az idő alatt dτ elemi kötetben emelkedett ki dV belső forrásokból;

dQ- az elemi térfogatban lévő anyag belső energiájának változása (izokhorikus folyamat) vagy entalpiája (izobár folyamat) dV alatt dτ.

Az egyenlet megszerzéséhez vegyünk egy elemi térfogatot oldalas kocka formájában dx, dy, dz (Lásd 1.2. ábra). A kockát úgy helyezzük el, hogy lapjai párhuzamosak legyenek a megfelelő koordinátasíkokkal. Az a hőmennyiség, amely az idő alatt az elemi térfogat lapjaira jut dτ a tengelyek irányába x, y, z ennek megfelelően jelöljük dQ x , dQ y , dQ z .

Ennek megfelelően jelöljük azt a hőmennyiséget, amely az ellenkező oldalakon ugyanabban az irányban távozik el dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

Az arcra szállított hőmennyiség dxdy tengelyirányban x alatt dτ, ez:

ahol q x a hőáram-sűrűség vetülete a normál irányára a megadott lapra. Ennek megfelelően az ellenkező oldalon keresztül eltávolított hő mennyisége:

Az elemi térfogathoz szolgáltatott hőmennyiség és az abból eltávolított hőmennyiség közötti különbség a hő:

Funkció q folytonos a figyelembe vett intervallumban dx és Taylor sorozattal bővíthető:

Ha a sorozat első két tagjára szorítkozunk, akkor az egyenlet a következő formában lesz felírva:

Hasonlóképpen, a másik kettő irányában is megtalálhatja a térfogathoz szolgáltatott hőmennyiséget koordinátatengelyek y és z.

A hőmennyiség dQ, a figyelembe vett térfogatra vonatkozó hővezetőképesség eredményeként összegezve egyenlő lesz:

A második tagot úgy definiáljuk, hogy jelöljük a belső források által kibocsátott hőmennyiséget egységnyi térfogatú közeg per egységnyi idő alatt. q vés nevezzük belső hőforrások kapacitása[W / m 3], akkor:

Egyenletünk harmadik komponensét a rendszerváltoztatási folyamat természetétől függően találjuk meg.

Ha izochor folyamatot veszünk figyelembe, akkor az elemi térfogatba bevitt összes hőt az ebben a térfogatban lévő anyag belső energiájának megváltoztatására fordítjuk, azaz. dQ= dU.

Ha egységnyi térfogat belső energiáját vesszük figyelembe u= f(t, v) , akkor ezt írhatjuk:

, J/m 3

, J/kg

ahol c v – izokhorikus hőkapacitás vagy térfogat- vagy tömegegységek, [J/m3];

ρ - sűrűség, [kg / m 3].

Gyűjtsük össze a kapott kifejezéseket:

Az eredményül kapott kifejezés az energiadifferenciálegyenlet a hőátadás izochor folyamatára.

Hasonló módon származtatjuk az izobár folyamat egyenletét. A térfogatba juttatott összes hő a térfogatban lévő anyag entalpiáját megváltoztatja.

A kapott arány az energiadifferenciálegyenlet izobár folyamathoz.

Szilárd testekben a hőátadás a Fourier-törvény szerint történik
, a hőkapacitás értéke vehető
. Emlékezzünk vissza, hogy a hőáram-sűrűség vektor vetületét a koordináta tengelyekre a következő kifejezések határozzák meg:

Az utolsó kifejezést a hővezetés differenciálegyenletének nevezzük. Kapcsolatot hoz létre a hőmérséklet időbeli és térbeli változásai között a test bármely pontján, ahol a hővezetési folyamat megtörténik.

A parciális deriváltokban szereplő legáltalánosabb hőkülönbözeti egyenletnek ugyanaz a formája, de benne vannak a mennyiségek ρ ,  , val vel az idő és a tér függvényei. Ez az egyenlet számos gyakorlati érdeklődésre számot tartó hővezetési problémát ír le. Ha a termofizikai paramétereket állandónak vesszük, akkor az egyenlet egyszerűbb lesz:

Jelöli
, azután:

Arányossági tényező a[m 2 / s] termikus diffúziónak nevezik, és az anyag fizikai paramétere. Elengedhetetlen a nem stacionárius termikus folyamatokhoz, és jellemzi a hőmérsékletváltozás sebességét. Ha a hővezetési együttható a testek hővezető képességét jellemzi, akkor a hődiffúzivitás együtthatója a test hőtehetetlenségi tulajdonságainak mértéke. Például a folyadékoknak és gázoknak nagyobb a hőtehetetlensége, és ennek következtében a hődiffúzivitása alacsony, míg a fémeknek éppen ellenkezőleg, kicsi a hőtehetetlensége.

Ha vannak belső hőforrások, és a hőmérsékleti mező stacioner, akkor a Poisson-egyenletet kapjuk:

Végül stacionárius hővezetéssel és belső hőforrások hiányával megkapjuk a Laplace-egyenletet:

A hővezető képesség egyedi feltételei.

Mivel a hővezetés differenciálegyenlete a fizika általános törvényeiből származik, a jelenségek egész osztályát írja le. Megoldásához peremfeltételek vagy egyediségfeltételek felállítása szükséges.

Az egyediség feltételei a következők:

geometriai feltételek - jellemzi a test alakját és méretét;

fizikai körülmények jellemzik fizikai tulajdonságok környezet és test;

kezdeti (ideiglenes) feltételek - jellemzik a hőmérséklet eloszlását a testben a kezdeti időpillanatban, a nem álló folyamatok tanulmányozásában vannak beállítva;

peremfeltételek - jellemzik a vizsgált test kölcsönhatását a környezettel.

A peremfeltételeket többféleképpen is megadhatjuk.

Az első típusú peremfeltételek. A testfelület hőmérséklet-eloszlása ​​minden időpillanathoz be van állítva:

t c = f(x, y, z, τ )

ahol t c– testfelszíni hőmérséklet;

x, y, z a testfelület koordinátái.

Abban az esetben, ha a felület hőmérséklete a hőátadási folyamatok teljes ideje alatt állandó, az egyenlet leegyszerűsödik:

t c = const

A második típusú peremfeltételek. A hőáram értékeket a testfelület minden pontjára és bármely pillanatra beállítják. Analitikailag így néz ki:

q c = f(x, y, z, τ )

A legegyszerűbb esetben a hőáram sűrűsége a test felületén állandó marad. Ilyen eset akkor fordul elő, ha a fémtermékeket magas hőmérsékletű kemencékben hevítik.

A harmadik típusú peremfeltételek. Ez beállítja a környezeti hőmérsékletet t Házasodik valamint a test felszíne és a környezet közötti hőátadás törvénye. A hőátadási folyamat leírására a Newton-Richmann törvényt használják. E törvény szerint az egységnyi testfelület által leadott vagy fogadott hő mennyisége egységnyi idő alatt arányos a test felülete és a közeg közötti hőmérséklet-különbséggel:

ahol α arányossági együttható, az úgynevezett hőátadási tényező [W / (m 2 K)], a hőátadás intenzitását jellemzi. Számszerűen egyenlő az egységnyi testfelület által egységnyi idő alatt leadott hőmennyiséggel egy fokos hőmérséklet-különbség mellett. Az energiamegmaradás törvénye szerint a környezetbe távozó hőmennyiségnek meg kell egyeznie a belső testrészek hővezetése következtében leadott hőmennyiséggel, azaz:

Az utolsó egyenlet egy harmadik típusú peremfeltétel.

Vannak összetettebb technikai problémák, amikor a felsorolt ​​feltételek közül egyik sem állítható be, és akkor a feladatot konjugációs módszerrel kell megoldani. Egy ilyen probléma megoldása során meg kell felelni a hőmérsékletek és hőáramok egyenlőségének feltételeinek az interfész mindkét oldalán. Általános esetben a konjugálási feltételek felírhatók:

Az adjunkt probléma megoldása az interfész mindkét oldalán található hőmérsékletmezők megkereséséhez kapcsolódik.

Az eljárás matematikai leírása (matematikai modellje) alapján a hőmérsékleti mező és a hőáram kiszámítására szolgáló képleteket az álló és nem stacionárius hővezetés speciális problémáinál kapjuk meg. A modell alapja a hővezetés differenciálegyenlete, amelyet a termodinamika első főtétele nem működő testekre, valamint a Fourier-hővezetési törvény felhasználásával vezetünk le. Egy fizikai folyamat differenciálegyenletét általában bizonyos, a folyamatot leegyszerűsítő feltevésekkel vezetik le. Ezért a kapott egyenlet csak az elfogadott feltevéseken belül írja le a folyamatok osztályát. Minden konkrét feladatot a megfelelő egyediségi feltételek írnak le. Így a hővezetési folyamat matematikai leírása tartalmaz egy differenciális hővezetési egyenletet és az egyediség feltételeit.

Tekintsük a hővezetés differenciálegyenletének levezetését a következő feltevésekkel:

• a) a test homogén és anizotróp;
• b) a hővezetési tényező a hőmérséklettől függ;
• c) a vizsgált térfogat hőmérsékletváltozással járó deformációja magához a térfogathoz képest nagyon kicsi;
• d) a test belsejében egyenletesen oszlanak el belső hőforrások q v = f(x, y, z, m) = const;
• e) a test makrorészecskéinek nincs egymáshoz viszonyított mozgása (konvekció).

Az elfogadott jellemzőkkel rendelkező testben elemi térfogatot választunk ki, élekkel ellátott paralelepipedon formájában dx, dy, dz, határozottan összpontosított ortogonális rendszer koordináták (14.1. ábra). A termodinamika első törvényének megfelelően a munkát nem végző testeknél a belső energia változása dU anyagok a kiosztott mennyiségben idővel dx egyenlő a szolgáltatott hőmennyiséggel

Rizs. 14.1.

térfogat a hővezetés miatt dQ x , és a belső források által kibocsátott hő dQ2".

A termodinamikából ismert, hogy az anyag belső energiájának változása egy térfogatban dV alatt dx egyenlő

ahol dG = p dv- az anyag tömege; p - sűrűség; val vel - fajlagos tömeghőkapacitás (összenyomható folyadékokhoz c = cv (izokór hőkapacitás)).

A belső források által allokált energia mennyisége,

ahol qv - belső hőforrások térfogatsűrűsége, W / m 3.

A hővezető képességgel a térfogatba belépő hőáram a koordinátatengelyek iránya szerint három komponensre oszlik: Ellentétes oldalakon keresztül lesz a hő

mennyiségben kell eltávolítani A betáplált és az elvitt hőmennyiség különbsége megegyezik a belső energia hővezető képességből adódó változásával dQ v Ezt az értéket a koordinátatengelyek mentén lévő komponensek összegeként ábrázoljuk:

Ezután az x tengely irányában van

Amennyiben -

hőáram-sűrűség ellentétes goanokon.

Funkció qx+dx folytonos a figyelembe vett intervallumban dxés Taylor sorozattal bővíthető:

Ha a sorozat első két tagjára szorítkozunk, és behelyettesítjük a (14.6)-ba, azt kapjuk

Hasonlóképpen kapjuk:

Miután a (14.8)-(14.10)-et behelyettesítettük a (14.4)-be, megvan

A (14.2), (14.3) és (14.11) pontokat (14.1) behelyettesítve a belső források figyelembevételével differenciálegyenletet kapunk a hővezetéssel történő hőátadásra:

A hővezetés Fourier-törvénye szerint a hőáram-sűrűség koordinátatengelyeire vonatkozó vetületekre kifejezéseket írunk:

ahol X x, X y, X z- hővezetési együtthatók a koordinátatengelyek irányában (anizotrop test).

Ha ezeket a kifejezéseket (14.12) behelyettesítjük, azt kapjuk

A (14.13) egyenletet a hőmérséklettől független fizikai tulajdonságokkal rendelkező anizotróp testek hőkülönbség-egyenletének nevezzük.

Ha elfogadja X= const, és a test izotróp, a hőegyenlet alakot ölt

Itt a = Х/(ср), m 2 / s, - termikus diffúzió,

amely egy anyag fizikai paramétere, amely a fűtési vagy hűtési folyamatokban a hőmérséklet-változás sebességét jellemzi. A magas, ceteris paribus termikus diffúziós együtthatójú anyagból készült testek gyorsabban felmelegszenek és lehűlnek.

Hengeres koordinátarendszerben az állandó fizikai tulajdonságokkal rendelkező izotróp test hőkülönbség-egyenlete a következőképpen alakul:

ahol g, z,Ф - radiális, axiális és szögkoordináták.

A (14.13), (14.14) és (14.15) egyenletek leírják a hővezetés folyamatát Általános nézet. A konkrét feladatok eltérőek egyediség feltételei, azaz a vizsgált folyamat jellemzőinek leírása.

az egyértelműség feltételei. A hővezető képesség fizikai fogalmai alapján külön kiemelhetők a folyamatot befolyásoló tényezők: az anyag fizikai tulajdonságai; test mérete és alakja; kezdeti hőmérséklet-eloszlás; hőátadási feltételek a test felszínén (határán). Így az egyediségfeltételek fizikai, geometriai, kezdeti és határ (határ) feltételekre oszlanak.

fizikai feltételek adottak az anyag fizikai paraméterei X, s, p és a belső források megoszlása.

Geometriai kifejezések beállítják annak a testnek az alakját és lineáris méreteit, amelyben a folyamat végbemegy.

Kezdeti feltételek adott a test hőmérséklet-eloszlása ​​a kezdeti időpontban t= /(x, y, z) m = 0 esetén. Kezdeti feltételek fontosak, ha nem stacionárius folyamatokat veszünk figyelembe.

A test határán zajló hőátadás jellegétől függően a peremfeltételeket négy típusra osztják.

Az első típusú peremfeltételek. Meghatározza a hőmérséklet eloszlását a felületen t n a folyamat során

Egy adott esetben a felületi hőmérséklet állandó maradhat (/n = const).

Az első típusú peremfeltételek például érintkező fűtéskor a rétegelt lemez ragasztásánál, a forgácslap és farostlemez préselésénél stb.

A második típusú peremfeltételek. Beállítják a hőáram-sűrűség értékeinek eloszlását a testfelületen a folyamat során

Egy adott esetben a felületen a hőáram állandó maradhat (

A harmadik típusú peremfeltételek konvektív hőátadásnak felel meg a felületen. Ilyen körülmények között be kell állítani annak a folyadéknak a hőmérsékletét, amelyben a test található, Tf = /(t), és az oc hőátbocsátási tényezőt. Általános esetben a hőátbocsátási tényező változó érték, ezért változásának törvényét a = / (t) kell beállítani. Egy speciális eset lehetséges: / f = const; a = konst.

A negyedik fajtájú peremfeltételek jellemezze a különböző hővezetési együtthatójú testek hőcseréjének feltételeit ideális érintkezésükkor, amikor a hővezetés a hőátadáson keresztül történik, és az érintkezési felület ellentétes oldalain a hőáramok egyenlőek:

Az elfogadott fizikai feltevések, az ezek alapján levezetett egyenlet és az egyediség feltételei analitikus leírást alkotnak ( matematikai modell) hővezetési folyamatok. A kapott modell egy adott probléma megoldására való felhasználásának sikere attól függ, hogy az elfogadott feltevések és egyediségi feltételek mennyire felelnek meg a valós feltételeknek.

A (14.14) és (14.15) egyenletet egyszerűen analitikusan oldjuk meg egy egydimenziós stacionárius termikus rezsimre. A megoldásokat az alábbiakban tárgyaljuk. Kétdimenziós és háromdimenziós stacionárius folyamatokhoz közelítő numerikus módszereket alkalmaznak

A (14.13) - (14.15) egyenletek nem stacionárius termikus rezsim körülményei között történő megoldására számos módszert alkalmaznak, amelyeket a szakirodalom részletesen tárgyal. Ismertek pontos és közelítő analitikai módszerek, numerikus módszerek stb.

A hőegyenlet numerikus megoldása főként véges különbség módszerrel történik. Az egyik vagy másik megoldási mód kiválasztása a probléma körülményeitől függ. Az analitikai módszerekkel történő megoldás eredményeként olyan képletek születnek, amelyek megfelelő feltételek mellett egy sor mérnöki probléma megoldására alkalmazhatók. A numerikus módszerek lehetővé teszik a hőmérsékleti mező meghatározását t=f(x, y, z, m) diszkrét hőmérsékleti értékek halmazaként különböző pontokon meghatározott időpontokban egy adott feladathoz. Ezért előnyösebb az analitikai módszerek alkalmazása, de ez nem mindig lehetséges többdimenziós problémák és összetett peremfeltételek esetén.

Az alábbiakban több olyan problémát is megvizsgálunk, amellyel viszonylag egyszerű geometriai és fizikai feltételek mellett a hőmérsékletmezőket határozhatjuk meg, amelyek egyszerű formai analitikai megoldásokat tesznek lehetővé, és egyben hasznosan szemléltetik a szilárd testben a hőátadással kapcsolatos jellemző fizikai folyamatokat.

Tekintsünk egy hőszigetelt oldalfelületű rudat (38. ábra). Ebben az esetben a hőátadás a rúd mentén történhet. Ha a rudat a tengellyel kombinálja Descartes-rendszer koordinátákat, akkor a stacionárius hőegyenlet alakja lesz

A hőleadás térfogati teljesítményének hővezetési együtthatójának állandó értékeinél az utolsó egyenlet kétszer integrálható

(75)

Az integráció állandóit a peremfeltételekből találhatjuk meg. Például, ha a hőmérséklet a rúd végén ,. Akkor (75)-től van

Innen megtaláljuk az integráció állandóit és . A megoldás a jelzett peremfeltételek mellett a formát ölti

Az utolsó képletből látható, hogy hőforrások hiányában . A rúd hőmérséklete határértékenként lineárisan változik

Nézzük most a peremfeltételek egy másik kombinációját. Hagyja, hogy egy külső forrás hőáramot hozzon létre a rúd bal végén. A bot jobb végén megtartjuk az előző állapotot, így van

Ezeket a feltételeket a (75) általános integrál segítségével kifejezve egy rendszert kapunk az integráció állandóira vonatkozóan.

Miután a kapott rendszerből ismeretlen állandókat találtunk, egy megoldást kapunk a formában

Az előző példához hasonlóan belső hőleadó források hiányában a hőmérséklet eloszlása ​​a rúd mentén lineáris lesz.

Ebben az esetben a hőmérséklet a rúd bal végén, ahol a külső hőforrás található, egyenlő lesz.

Következő példaként keressünk egy stacionárius hőmérséklet-eloszlást a sugár mentén egy folytonos hosszú körhengerben (39. ábra). Ebben az esetben a hengeres koordinátarendszer alkalmazása jelentősen leegyszerűsíti a feladatot. Nagy hossz-sugár aránnyal és eloszlási állandókkal rendelkező henger esetén

A hőleadás belső forrásaként a henger végétől távoli hőmérséklet függetlennek tekinthető a hengerrendszer axiális koordinátájától. Ekkor a stacionárius hőegyenlet (71) felveszi a formát

Az utolsó egyenlet kétszeres integrálása (konstans esetén) ad

A henger () tengelyére vonatkozó hőmérséklet-eloszlás szimmetriafeltétele megadja

Hová jutunk

Az utolsó feltétel teljesül . Állítsuk be a hőmérsékletet a henger felületén (). Ekkor az egyenletből megtalálhatjuk az integráció második állandóját

Innen megkeressük és végleges formában leírjuk a megoldást

A kapott eredmény alkalmazásának numerikus példájaként egy mm sugarú hengeres ívkisülés hőmérséklet-eloszlását vesszük figyelembe a plazmában. A kisülési csatorna határa olyan területként van kialakítva, ahol az ionizációs folyamatok leállnak. Fentebb láthattuk, hogy a melegítés közben a gáz észrevehető ionizációja K-nél megáll. Ezért a csökkentett értéket vehetjük K határnak. A kisülési plazmában a hőleadó teljesítmény térfogatsűrűsége a Joule–Lenz törvényből adódik. , ahol σ a plazma elektromos vezetőképessége, E- feszültség elektromos mező a nyomócsatornában. Az ívkisülés jellemző értékei 1/Ohm m, V/m. Az ívplazma hővezető képessége nagyobb, mint a semleges gázé, értéke 10 000 K nagyságrendű hőmérsékleten egyenlőnek vehető. Így a paraméter . ábra mutatja a hőmérséklet-eloszlást a sugár mentén. 39. Ebben az esetben a kisülési tengelyen () a hőmérséklet 8000 K lesz.

A következő példában gömbszimmetriájú hőteret veszünk figyelembe. Ilyen körülmények különösen akkor merülnek fel, ha egy kis hőforrás található benne nagy tömb például egy ívközi hiba egy nagy elektromos gép tekercsében. Ebben az esetben igazítsa a középpontot gömb alakú rendszer koordinálja a hőleadás forrását, a (64) stacionárius hőegyenletet a következő alakba hozhatjuk:

Ezt az egyenletet kétszer integrálva azt találjuk

Visszatérve példánkhoz, tegyük fel, hogy az ívhiba egy sugarú gömbüregben történik (40. ábra). Vegyük az ívkisülés ellenállását Ohm-mal, az A kisülési áramot. Ekkor az üregben felszabaduló teljesítmény . Tekintsük a megoldást a hőforrás körén kívül.

Ekkor a hőegyenlet integrálja egyszerűbbé válik

Az integrációs állandók kiszámításához először a kibocsátási helytől végtelenül távoli pontok feltételét használjuk, ahol C a környezeti hőmérséklet. Az utolsó kifejezésből azt találjuk. Az állandó meghatározásához feltételezzük, hogy a kisülés hőenergia egyenletesen elosztva egy sugarú gömbüreg felületén. Ezért a hőáram az üreg határán lesz

Amennyiben , akkor az utolsó két egyenletből megvan

és a végső döntést

Ebben az esetben az üreg határán (mm) a hőmérséklet W/mK-nál K lesz (40. ábra).

Ennek a csoportnak az első példájaként vegyük a hőteret egy hűtőcsatornás kerek vezeték keresztmetszetében (41. ábra, a). A hűtőcsatornás vezetékeket nagy teljesítményű elektromos gépek és tekercsek tekercseiben használják erős mágneses mező létrehozására. Ezeket az eszközöket hosszú, több száz vagy akár több ezer amperes amplitúdójú áramáramlás jellemzi. Például folyadékot, például vizet, vagy gázt (hidrogént, levegőt) szivattyúznak, amely biztosítja a hőenergia kiválasztását a csatorna belső felületéről és a vezeték egészének hűtését. Ebben az esetben a csatornafelület kényszerkonvektív hűtésével van dolgunk, amelyre a fent igazolt harmadik típusú peremfeltételt használhatjuk (67). Ha a hengeres koordinátarendszer tengelyét a huzal tengelyével kombináljuk, akkor a hőmérséklet csak a radiális koordinátától fog függni. A stacionárius hőegyenlet általános integrálját erre az esetre már korábban megkaptuk

A hőleadó teljesítmény térfogatsűrűsége a Joule-Lenz törvényből adódik: , j- áramsűrűség, σ - elektromos vezetőképesség,

ahol R- a huzalszakasz sugara, a- a hűtőcsatorna sugara. A vezetéket kívülről szigetelőréteg veszi körül, amely a vezetőhöz képest viszonylag alacsony hővezető képességgel rendelkezik. Ezért az első közelítésben a vezeték külső felületét fogadjuk el hőszigeteltnek, vagyis a rajta lévő hőáramot.

A hűtőcsatorna felületén a hőáramot a harmadik fajta állapota határozza meg

ahol a hőátbocsátási tényező, a hűtőáram hőmérséklete. A jobb oldali mínusz jel annak a ténynek köszönhető, hogy a csatorna belső felületének normálja a tengellyel ellentétes irányban van irányítva.

Ha a hőmérséklet (76) kifejezését behelyettesítjük az írott peremfeltételek közül az elsőbe, megkapjuk

ahol . A második határfeltétel megadja

hol találjuk

Azonban a (76)

Az utolsó két kifejezést összehasonlítva azt találjuk

Miután a talált állandókat behelyettesítettük az általános megoldásba (76) és transzformációkat kapunk

A kapott oldatból a huzalszakasz határain lévő hőmérsékletet a képletekkel számítjuk ki

Hőmérséklet-eloszlás a szelvénysugár mentén hűtőcsatornás vezetéknél a következő paraméterekkel: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm az ábrán látható. 41, b.

ábrából. 41, b ebből következik, hogy a huzalkeresztmetszeten belül a hőmérsékletváltozás viszonylag kicsi az átlagos értékéhez képest, ami a nagy hővezető képességgel magyarázható λ és a vezeték viszonylag kis keresztmetszeti méretei.

Más helyzet adódik a hőmérséklet-eloszlásban a vezeték mentén, amely különálló, egymással érintkező szakaszokból áll. A csatlakoztatott vezetékek közötti érintkezők minőségének romlása a két vezeték találkozásánál a hőképződés növekedéséhez vezet magához a vezetékhez képest. A vezetékek hőmérsékletének távmérése hőkamerákkal vagy pirométerekkel lehetővé teszi az érintkező csatlakozások minőségének diagnosztizálását.

Számítsuk ki a hőmérséklet eloszlását a vezeték mentén hibás érintkező jelenlétében. Az előző példa azt mutatta, hogy még a legsúlyosabb körülmények között is nagyon kicsi a hőmérsékletváltozás a huzalszakaszon belül. Ezért számításunkhoz az első közelítésben feltételezhetjük, hogy a huzalkeresztmetszeten belüli hőmérséklet-eloszlás egyenletes. A hőtermelés eloszlása ​​a vezeték mentén az eloszlástól függ elektromos ellenállás a vezeték mentén, amely az érintkezőtől távol egyenletes, és közeledtével növekszik. Kombináljuk a derékszögű koordinátarendszer tengelyét a vezeték tengelyével, a koordináták origóját pedig - az érintkezési terület középpontjával (42. ábra). Az ellenállás vezeték mentén történő eloszlásának modelljeként a következő lineáris ellenállás-eloszlást vesszük

ahol , az érintkezési terület lineáris méretét jellemző paraméter . A huzal hosszegységére eső hőleadási teljesítmény . Egységnyi térfogatra a hőleadó teljesítmény a

ahol S- a vezeték szakasza. A vezetéket természetes konvekcióval hűtik a felületéről. A huzal hosszegységére eső konvektív hőáram a

ahol α - hőátbocsátási tényező, - környezeti levegő hőmérséklet, p- a vezetékszakasz kerülete. A hőátadás a környezetnek egységnyi vezető térfogatára lesz

A stacionárius hőmérséklet-eloszlás a vezeték mentén megfelel a hővezetési egyenletnek

A kapott egyenlet további transzformációjához a vezeték mentén a hővezetési együttható állandóját vesszük, és a fenti kifejezésekkel helyettesítjük és -t, valamint a kívánt függvény helyett. T vessünk :

lineáris inhomogénhez jutunk differenciálegyenlet

A kapott egyenlet megoldását az általános megoldás összege formájában fogjuk keresni homogén egyenlet

és egy adott megoldás a jobb oldal formájában

.

A hőegyenlet levezetése

Képzeljünk el egy homogén testet, és izoláljunk belőle egy elemi térfogatot oldalakkal (1. ábra).

1. ábra Szabályozó hangerő téglalap alakú koordinátarendszerben

A felületekre merőlegesen elhelyezkedő bejövő hőáramokat a következővel jelöljük. Az ellentétes felületeken lévő áramlások a Taylor sorozatból fejezhetők ki:

A test belsejében is lehetnek belső hőforrások, ha vannak nyelők, ha:

A belső energia változása:

A kapott (1.1.5) egyenletbe behelyettesítjük az (1.1.1) egyenleteket:

Az (1.1.6) egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a hővezetési egyenletet általános formában egy háromdimenziós térre:

Bemutatjuk a termikus diffúziós együtthatót:

és hagyja ki a belső hőforrásokat. -ben megkapjuk a hővezetési egyenletet háromdimenziós tér belső hőforrás nélkül:

Egyediség feltételei

Az (1.1) egyenlet általánosságban írja le a folyamatot. Egy adott problémára való alkalmazásához további feltételekre van szükség, amelyeket egyediségi feltételeknek nevezünk. Ezek a feltételek közé tartoznak a geometriai (a test alakja és méretei), a fizikai (a test fizikai tulajdonságai), az időbeli (a kezdeti hőmérséklet-eloszlás) és a peremfeltételek (leírják a hőcsere folyamatát környezet).

A peremfeltételek három fő típusra oszthatók:

1. Dirichlet peremfeltételek: a függvény értéke a határon adott.

Hővezetési probléma esetén a testfelület hőmérsékleti értékeit állítják be.

2. Neumann-peremfeltételek: a függvény normál deriváltja a határon adott.

Állítsa be a hőáram sűrűségét a testfelületen.

3. Robin peremfeltételek: adott lineáris kombináció a függvény értékei és deriváltja a határon.

Ismertesse a test felszíne és a környezet közötti hőátadást a Newton-Richmann törvény szerint!

Ebben a cikkben csak a Dirichlet-féle peremfeltételeket használjuk, a fennmaradó peremfeltételek megvalósításának bonyolultsága miatt.