Mi az a matematikai modell?

A matematikai modell fogalma.

A matematikai modell nagyon egyszerű fogalom. És nagyon fontos. A matematikai modellek kötik össze a matematikát és a valós életet.

beszél egyszerű nyelv, a matematikai modell bármely helyzet matematikai leírása.És ez az. A modell lehet primitív, lehet szuperbonyolult is. Mi a helyzet, mi a modell.)

Bármelyikben (ismétlem - bármilyen!) üzlet, ahol ki kell számítani valamit, és ki kell számítani - matematikai modellezéssel foglalkozunk. Még ha nem is tudjuk.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Ez a rekord lesz a vásárlásaink költségeinek matematikai modellje. A modell nem veszi figyelembe a csomagolás színét, a lejárati dátumot, a pénztárosok udvariasságát stb. Ezért ő modell, nem igazi vásárlás. De a költségek, pl. amire szükségünk van- biztosan tudni fogjuk. Természetesen, ha a modell helyes.

Hasznos elképzelni, mi is az a matematikai modell, de ez nem elég. A legfontosabb, hogy ezeket a modelleket meg lehessen építeni.

A probléma matematikai modelljének összeállítása (konstruálása).

A matematikai modell összeállítása azt jelenti, hogy a probléma feltételeit lefordítjuk matematikai formára. Azok. a szavakat egyenletté, képletté, egyenlőtlenséggé stb. Sőt, fordítsa meg úgy, hogy ez a matematika szigorúan megfeleljen az eredeti szövegnek. Ellenkező esetben egy másik, számunkra ismeretlen probléma matematikai modelljét kapjuk.)

Pontosabban kell

A világon végtelen számú feladat van. Ezért javasolni egy világos lépésről lépésre utasításokat a matematikai modell felépítéséről Bármi a feladatok lehetetlenek.

De van három fő pont, amire figyelni kell.

1. Furcsa módon minden feladatban van egy szöveg.) Ennek a szövegnek általában van egyértelmű, nyílt információ. Számok, értékek stb.

2. Bármilyen feladatban van rejtett információ. Ez egy olyan szöveg, amely további ismeretek jelenlétét feltételezi a fejben. Nélkülük - semmi. Ráadásul a matematikai információk gyakran el vannak rejtve mögötte egyszerűenés ... elsiklik a figyelem mellett.

3. Minden feladatban meg kell adni az adatok közötti kommunikáció. Ez a kapcsolat megadható világos szövegben (valami egyenlő valamivel), vagy elrejthető egyszerű szavak mögé. De az egyszerű és világos tényeket gyakran figyelmen kívül hagyják. A modell pedig semmilyen módon nincs összeállítva.

Rögtön el kell mondanom, hogy ennek a három pontnak az érvényesítéséhez többször is át kell olvasni (és figyelmesen!) a problémát. A szokásos dolog.

És most - példák.

Kezdjük egy egyszerű problémával:

Petrovich visszatért a horgászatból, és büszkén mutatta be fogását családjának. Közelebbről megvizsgálva kiderült, hogy 8 hal az északi tengerekből származik, az összes hal 20%-a a déli tengerekből származik, és egyetlen egy sem a helyi folyóból, ahol Petrovich horgászott. Hány halat vett Petrovich a Seafood boltban?

Mindezeket a szavakat valamilyen egyenletté kell alakítani. Ehhez ismétlem, hozzon létre matematikai kapcsolatot a probléma összes adata között.

Hol kezdjem? Először az összes adatot kivonjuk a feladatból. Kezdjük sorrendben:

Koncentráljunk az első pontra.

mi van itt kifejezett matematikai információ? 8 hal és 20%. Nem sok, de nem is kell sok.)

Figyeljünk a második pontra.

Keres rejtett információ. Itt van. Ezek a szavak: "Az összes hal 20%-a". Itt meg kell érteni, hogy mik a százalékok és hogyan számítják őket. Ellenkező esetben a feladat nem oldható meg. Pontosan ez a kiegészítő információ, aminek a fejben kell lennie.

Itt is van matematikai teljesen láthatatlan információ. Ez feladat kérdés: "Hány halat vettél... Ez is egy szám. Enélkül pedig egyetlen modell sem készül el. Ezért ezt a számot jelöljük betűvel "X". Még nem tudjuk, hogy x mit jelent, de egy ilyen megjelölés nagyon hasznos lesz számunkra. Ha többet szeretne megtudni arról, hogy mit vegyen x-hez és hogyan kezelje, lásd a Hogyan oldjunk meg matematikai feladatokat? Azonnal írjuk:

x darab - a halak teljes száma.

Problémánkban a déli halakat százalékban adjuk meg. Ezeket darabokra kell fordítanunk. Minek? Akkor mi van benne Bármi a modell feladata az legyen azonos mennyiségben. Darabok – tehát minden darabokban van. Ha megadatik nekünk, mondjuk órák és percek, akkor mindent egy dologra fordítunk le - vagy csak órákat, vagy csak perceket. Nem számít, mit. Fontos, hogy minden érték ugyanaz volt.

Vissza a nyilvánosságra hozatalhoz. Aki nem tudja, mennyi a százalék, az soha nem árulja el, igen... És aki tudja, azonnal megmondja, hogy itt a százalékok vannak megadva az összes halból. Ezt a számot nem ismerjük. Nem lesz belőle semmi!

A halak összlétszáma (darabban!) nem hiábavaló a betűvel "X" kijelölt. Nem megy a déli halakat darabokra számolni, de le tudjuk írni? Mint ez:

0,2 x darab - a déli tengerekből származó halak száma.

Most letöltöttünk minden információt a feladatból. Explicit és rejtett egyaránt.

Figyeljünk a harmadik pontra.

Keres matematikai összefüggés feladatadatok között. Ez az összefüggés olyan egyszerű, hogy sokan nem veszik észre... Ez gyakran megtörténik. Itt hasznos, ha egyszerűen felírja egy csomóba az összegyűjtött adatokat, és megnézi, mi az.

mi van nálunk? Van 8 darabészaki hal, 0,2 x darab- déli halak és x hal- teljes összeg. Össze lehet kapcsolni valahogy ezeket az adatokat? Igen Könnyű! halak teljes száma egyenlő dél és észak összege! Hát ki gondolta volna...) Szóval leírjuk:

x = 8 + 0,2x

Ez lesz az egyenlet feladatunk matematikai modellje.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ebben a problémában nem kérnek tőlünk semmit! Mi magunk, fejből jöttünk rá, hogy a déli és az északi halak összege adja a teljes számot. A dolog annyira nyilvánvaló, hogy elkerüli a figyelmet. De e bizonyíték nélkül nem lehet matematikai modellt összeállítani. Mint ez.

Most a matematika minden erejét felhasználhatja ennek az egyenletnek a megoldására). Erre tervezték a matematikai modellt. Megoldjuk ezt a lineáris egyenletet, és megkapjuk a választ.

Válasz: x=10

Készítsünk matematikai modellt egy másik problémáról:

Petrovicstól megkérdezték: "Mennyi pénze van?" Petrovics sírva válaszolt: "Igen, csak egy kicsit. Ha az összes pénz felét elköltöm, és a többi felét, akkor csak egy zsák pénzem marad..." Mennyi pénze van Petrovicsnak?

Ismét pontról pontra dolgozunk.

1. Explicit információkat keresünk. Nem találod meg azonnal! Explicit információ az egy pénzes zsák. Van néhány másik fele... Nos, a második bekezdésben megoldjuk.

2. Rejtett információkat keresünk. Ezek felek. Mit? Nem túl világos. Többet keres. Van még egy probléma: – Mennyi pénze van Petrovicsnak? Jelöljük betűvel a pénz mennyiségét "X":

x- az összes pénz

És olvasd el újra a problémát. Már tudván, hogy Petrovich x pénz. Itt működnek a felek! Leírjuk:

0,5 x- az összes pénz fele.

A maradék is fele lesz, i.e. 0,5 x. A fele pedig így írható:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- a maradék fele.

Most minden rejtett információ feltárásra kerül és rögzítésre kerül.

3. Kapcsolatot keresünk a rögzített adatok között. Itt egyszerűen elolvashatja Petrovics szenvedéseit, és matematikailag leírhatja őket:

Ha az összes pénz felét elköltöm...

Írjuk le ezt a folyamatot. Minden pénz - X. Fél - 0,5 x. Elkölteni annyi, mint elvenni. A mondat így alakul:

x - 0,5 x

és a többi fele...

Vonjuk ki a maradék másik felét:

x - 0,5 x - 0,25 x

akkor csak egy zsák pénz marad nálam...

És van egyenlőség! Az összes kivonás után egy zacskó pénz marad:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Íme, a matematikai modell! Ez megint egy lineáris egyenlet, megoldjuk, kapjuk:

Megfontolandó kérdés. Mi a négy? Rubel, dollár, jüan? És milyen mértékegységben van a pénzünk a matematikai modellben? Zsákokban! Tehát négy táska Petrovics pénze. Az sem rossz.)

A feladatok természetesen elemiek. Ez kifejezetten a matematikai modell elkészítésének lényegének megragadására szolgál. Egyes feladatokban sokkal több olyan adat található, amelyekben könnyen összetéveszthető. Ez gyakran előfordul az ún. kompetencia feladatokat. Példákkal mutatjuk be, hogyan lehet matematikai tartalmat kiemelni egy halom szavakból és számokból

Még egy megjegyzés. A klasszikus iskolai problémáknál (csövek töltik meg a medencét, hajók hajóznak valahol stb.) Az összes adatot általában nagyon óvatosan választják ki. Két szabály van:
- elegendő információ van a problémában a megoldáshoz,
- a feladatban nincs extra információ.

Ez egy tipp. Ha van fel nem használt érték a matematikai modellben, gondolja át, hogy van-e hiba. Ha semmilyen módon nem áll rendelkezésre elegendő adat, akkor valószínűleg nem minden rejtett információ került felfedésre és rögzítésre.

A kompetenciában és egyéb életfeladatokban ezeket a szabályokat nem tartják be szigorúan. Nincs tippem. De az ilyen problémákat is meg lehet oldani. Hacsak nem a klasszikuson gyakorolsz.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Egyenletrendszerként, számtani összefüggésként, geometriai alakzatként, vagy mindkettő kombinációjaként, amelynek matematikai módszerekkel történő tanulmányozása választ ad a valós világ objektumának bizonyos tulajdonsághalmazának tulajdonságaira vonatkozó kérdésekre. matematikai összefüggések, egyenletek, egyenlőtlenségek halmaza, amelyek leírják a vizsgált folyamatban, objektumban vagy rendszerben rejlő alapvető mintákat.

Az automatizált vezérlőrendszerekben matematikai modellt használnak a vezérlő működési algoritmusának meghatározására. Ez az algoritmus határozza meg, hogy a vezérlőműveletet hogyan kell megváltoztatni a master változásától függően a vezérlési cél elérése érdekében.

Modell osztályozás

A modellek formális osztályozása

A modellek formális osztályozása az alkalmazott matematikai eszközök osztályozásán alapul. Gyakran dichotómiák formájában épül fel. Például a dichotómiák egyik népszerű halmaza:

stb. Minden megszerkesztett modell lineáris vagy nemlineáris, determinisztikus vagy sztochasztikus, ... Természetesen kevert típusok is lehetségesek: egy szempontból koncentráltak (paraméterek tekintetében), elosztott modellek egy másikban stb.

Osztályozás az objektum ábrázolásának módja szerint

A formális besorolás mellett a modellek különböznek az objektum ábrázolásában:

• Strukturális vagy funkcionális modellek

A tudományban felállított modell-hipotéziseket nem lehet egyszer s mindenkorra bebizonyítani, csak cáfolatukról vagy meg nem cáfolásukról lehet beszélni a kísérlet eredményeként.

Ha az első típusú modellt építjük, akkor ez azt jelenti, hogy átmenetileg igaznak ismeri el, és más problémákra lehet koncentrálni. Ez azonban nem lehet kutatási pont, hanem csak átmeneti szünet: az első típusú modell állapota csak átmeneti lehet.

Fenomenológiai modell

A második típus a fenomenológiai modell ( „Úgy teszünk, mintha…”), tartalmaz egy mechanizmust a jelenség leírására, bár ez a mechanizmus nem kellően meggyőző, a rendelkezésre álló adatokkal nem igazolható kellőképpen, vagy rosszul áll összhangban a tárgyról rendelkezésre álló elméletekkel és felhalmozott ismeretekkel. Ezért a fenomenológiai modellek átmeneti megoldások státusszal rendelkeznek. Úgy gondolják, hogy a válasz még mindig ismeretlen, és folytatni kell az "igazi mechanizmusok" keresését. Peierls például az elemi részecskék kalóriamodelljét és kvark modelljét utalja a második típushoz.

A modell szerepe a kutatásban idővel változhat, előfordulhat, hogy új adatok, elméletek megerősítik a fenomenológiai modelleket, és hipotézis státuszba kerülnek. Hasonlóképpen, az új ismeretek fokozatosan konfliktusba kerülhetnek az első típusú modellekkel-hipotézisekkel, és átvihetők a másodikba. Így a kvark modell fokozatosan a hipotézisek kategóriájába kerül; Az atomizmus a fizikában átmeneti megoldásként jelent meg, de a történelem folyamán átment az első típusba. De az étermodellek az 1-es típusból a 2-es típusba kerültek, és most már kívül esnek a tudományon.

Az egyszerűsítés ötlete nagyon népszerű a modellek építésénél. De az egyszerűsítés más. Peierls háromféle egyszerűsítést különböztet meg a modellezésben.

Közelítés

A harmadik modelltípus a közelítések ( „valamit nagyon nagynak vagy nagyon kicsinek tekintenek”). Ha lehetséges a vizsgált rendszert leíró egyenleteket felállítani, az nem jelenti azt, hogy azok akár számítógép segítségével is megoldhatók. Elterjedt technika ebben az esetben a közelítések alkalmazása (3. típusú modellek). Közöttük lineáris válaszmodellek. Az egyenleteket lineárisra cseréljük. Szabványos példa- Ohm törvénye.

gondolatkísérlet

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

ahol x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) a második származékát jelenti x (\displaystyle x) idő szerint: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

A kapott egyenlet leírja a vizsgált fizikai rendszer matematikai modelljét. Ezt a mintát "harmonikus oszcillátornak" nevezik.

A formális besorolás szerint ez a modell lineáris, determinisztikus, dinamikus, koncentrált, folytonos. Kiépítése során sok feltételezést tettünk (a hiányról külső erők, a súrlódás hiánya, az eltérések kicsinysége stb.), amelyek a valóságban nem biztos, hogy teljesülnek.

A valósághoz képest ez leggyakrabban 4-es típusú modell. egyszerűsítés(„néhány részletet kihagyunk az egyértelműség kedvéért”), mivel néhány lényeges univerzális jellemző (például a disszipáció) kimarad. Valamilyen közelítéssel (mondjuk mindaddig, amíg a terhelés eltérése az egyensúlyi állapottól kicsi, kis súrlódás mellett, nem túl hosszú ideig és bizonyos egyéb feltételek mellett) egy ilyen modell elég jól leír egy valódi mechanikai rendszert, mivel a az eldobott tényezők elhanyagolható hatással vannak viselkedésére . A modell azonban finomítható ezen tényezők figyelembevételével. Ez egy új modellhez vezet, szélesebb (bár ismét korlátozott) hatókörrel.

A modell finomításával azonban a matematikai vizsgálat összetettsége jelentősen megnőhet, és gyakorlatilag használhatatlanná teheti a modellt. Gyakran egy egyszerűbb modell lehetővé teszi a valós rendszer jobb és mélyebb feltárását, mint egy összetettebb (és formálisan „helyesebb”).

Ha a harmonikus oszcillátor modellt olyan objektumokra alkalmazzuk, amelyek távol állnak a fizikától, akkor ennek értelmes állapota eltérő lehet. Például, ha ezt a modellt biológiai populációkra alkalmazzuk, akkor nagy valószínűséggel a 6-os típusnak kell tulajdonítani hasonlat(„Csak néhány jellemzőt vegyünk figyelembe”).

Kemény és puha modellek

A harmonikus oszcillátor egy példa az úgynevezett "kemény" modellre. Egy valós fizikai rendszer erős idealizálásának eredményeként kapjuk meg. A harmonikus oszcillátor tulajdonságait minőségileg megváltoztatják kis perturbációk. Például, ha egy kis kifejezést adunk a jobb oldalra − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\pont (x)))(súrlódás) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- valamilyen kis paraméter), akkor exponenciálisan csillapított oszcillációkat kapunk, ha a kiegészítő tag előjelét megváltoztatjuk (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\pont (x)))) akkor a súrlódás szivattyúzásba megy át és az oszcillációs amplitúdó exponenciálisan megnő.

A merev modell alkalmazhatóságának kérdésének megoldásához meg kell értenünk, mennyire jelentősek azok a tényezők, amelyeket figyelmen kívül hagytunk. Meg kell vizsgálni a merev kis perturbációjával kapott lágy modelleket. Harmonikus oszcillátor esetén ezek például a következő egyenlettel adhatók meg:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\pont (x)))).

Itt f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\pont (x))))- valamilyen funkció, amely figyelembe tudja venni a súrlódási erőt vagy a rugó merevségi együtthatójának függését a nyújtás mértékétől. Egy függvény kifejezett formája f (\displaystyle f) minket jelenleg nem érdekel.

Ha bebizonyítjuk, hogy egy puha modell viselkedése alapvetően nem tér el a kemény modellétől (függetlenül attól, hogy a zavaró tényezők milyen explicit formájúak, ha azok elég kicsik), a probléma a kemény modell vizsgálatára redukálódik. Ellenkező esetben a merev modell vizsgálata során kapott eredmények alkalmazása további kutatásokat igényel.

Ha egy rendszer megőrzi minőségi viselkedését kis zavarás esetén is, szerkezetileg stabilnak mondjuk. A harmonikus oszcillátor egy példa a szerkezetileg instabil (nem durva) rendszerre. Ez a modell azonban felhasználható a folyamatok korlátozott időintervallumon keresztüli tanulmányozására.

A modellek egyetemessége

A legfontosabb matematikai modellek általában rendelkeznek a fontos tulajdonsággal egyetemesség: alapvetően eltérő valós jelenségek írhatók le ugyanazzal a matematikai modellel. Például a harmonikus oszcillátor nemcsak a rugóra ható terhelés viselkedését írja le, hanem más, gyakran teljesen eltérő jellegű rezgési folyamatokat is: az inga kis oszcillációit, a folyadékszint ingadozását U (\displaystyle U)-alakú ér vagy az áramerősség változása az oszcillációs körben. Így egy matematikai modell tanulmányozása során egyszerre tanulmányozzuk az általa leírt jelenségek egész osztályát. Ez a különböző szegmensekben matematikai modellekkel kifejezett törvények izomorfizmusa tudományos tudás, Ludwig von Bertalanffy bravúrja az „általános rendszerelmélet” megalkotásában.

A matematikai modellezés direkt és inverz problémái

A matematikai modellezéssel számos probléma merül fel. Először is ki kell találni a modellezett tárgy alapsémáját, reprodukálni e tudomány idealizációinak keretei között. Így a vasúti kocsi különböző anyagokból készült lemezekből és bonyolultabb karosszériákból álló rendszerré alakul, minden anyag szabványos mechanikai idealizálása (sűrűség, rugalmassági modulusok, szabványos szilárdsági jellemzők) van megadva, ami után egyenleteket készítenek az út mentén. egyes részleteket elvetnek, mint jelentékteleneket, számításokat végeznek, összehasonlítják a mérésekkel, finomítják a modellt stb. A matematikai modellezési technológiák fejlesztéséhez azonban hasznos ezt a folyamatot a fő alkotóelemekre bontani.

Hagyományosan a matematikai modellekkel kapcsolatos problémáknak két fő osztálya van: a direkt és az inverz.

Közvetlen probléma: a modell felépítését és minden paraméterét ismertnek tekintjük, a fő feladat a modell tanulmányozása, hogy hasznos ismereteket nyerjünk ki az objektumról. Milyen statikus terhelést tud elviselni a híd? Hogyan fog reagálni a dinamikus terhelésre (például egy katonák felvonulására, vagy egy vonat különböző sebességű áthaladására), hogyan lépi át a gép a hangfalat, szétesik-e a csapkodástól - ezek tipikus példák a közvetlen feladatra. A helyes közvetlen probléma felállítása (a helyes kérdés feltevése) különleges jártasságot igényel. Ha nem teszik fel a megfelelő kérdéseket, a híd összeomolhat, még akkor is, ha a viselkedéséhez jó modellt építettek. Így 1879-ben az Egyesült Királyságban egy fém vasúti híd omlott át a Firth of Tay-en, amelynek tervezői egy hídmodellt építettek, a hasznos teher 20-szoros biztonsági rátára számoltak, de megfeledkeztek a folyamatosan fújó szelekről. azokat a helyeket. És másfél év után összeomlott.

A legegyszerűbb esetben (például egy oszcillátor egyenlet) a közvetlen probléma nagyon egyszerű, és ennek az egyenletnek egy explicit megoldására redukálódik.

Inverz probléma: sok lehetséges modell létezik, választania kell konkrét modell az objektumra vonatkozó további adatok alapján. Leggyakrabban a modell szerkezete ismert, és néhány ismeretlen paramétert meg kell határozni. A további információk további empirikus adatokból vagy az objektumra vonatkozó követelményekből állhatnak ( tervezési feladat). További adatok az inverz probléma megoldási folyamatától függetlenül jöhetnek ( passzív megfigyelés) vagy egy speciálisan a megoldás során tervezett kísérlet eredménye ( aktív megfigyelés).

Egy inverz probléma virtuóz megoldásának egyik első példája a rendelkezésre álló adatok lehető legteljesebb felhasználásával Newton módszere volt, amellyel a megfigyelt csillapított rezgésekből rekonstruálták a súrlódási erőket.

Egy másik példa a matematikai statisztika. Ennek a tudománynak a feladata a megfigyelési és kísérleti adatok rögzítésére, leírására és elemzésére szolgáló módszerek fejlesztése tömeges véletlenszerű jelenségek valószínűségi modelljének felépítése érdekében. Vagyis a lehetséges modellek halmazát valószínűségi modellek korlátozzák. Konkrét problémák esetén a modellkészlet korlátozottabb.

Számítógépes szimulációs rendszerek

A matematikai modellezés támogatására számítógépes matematikai rendszereket fejlesztettek ki, például Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim stb. Lehetővé teszik formális és blokkmodellek létrehozását egyszerű és összetett folyamatokról és eszközökről, valamint a modell paramétereinek egyszerű megváltoztatását közben. szimuláció. Blokkmodellek blokkokkal ábrázolják (leggyakrabban grafikusan), amelyek halmazát és kapcsolatát a modelldiagram adja meg.

További példák

Malthus modell

A Malthus által javasolt modell szerint a növekedési ütem arányos az aktuális népességszámmal, azaz a differenciálegyenlet írja le:

x ˙ = α x (\displaystyle (\pont (x))=\alpha x),

ahol α (\displaystyle \alpha )- néhány paraméter, amelyet a születési arány és a halálozási arány különbsége határoz meg. Ennek az egyenletnek a megoldása az exponenciális függvény x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Ha a születési arány meghaladja a halálozási arányt ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), a populáció mérete korlátlan és nagyon gyorsan növekszik. A valóságban ez a korlátozott erőforrások miatt nem valósulhat meg. Egy bizonyos kritikus populációméret elérésekor a modell megszűnik megfelelőnek lenni, mivel nem veszi figyelembe a korlátozott erőforrásokat. A Malthus-modell egy finomítása szolgálhat logisztikai modellként, amelyet a Verhulst-differenciálegyenlet ír le:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\megjelenítési stílus (\pont (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\jobbra)x),

hol van az "egyensúlyi" népességnagyság, amelynél a születési arányt pontosan kompenzálja a halálozási arány. A populáció mérete egy ilyen modellben az egyensúlyi érték felé hajlik x s (\displaystyle x_(s)), és ez a viselkedés szerkezetileg stabil.

ragadozó-zsákmány rendszer

Tegyük fel, hogy egy adott területen kétféle állat él: a nyulak (növényevő) és a rókák (nyúlevő). Legyen a nyulak száma x (\displaystyle x), a rókák száma y (\displaystyle y). A Malthus modellt használva a szükséges korrekciókkal, figyelembe véve a rókák nyulak fogyasztását, a következő rendszerhez jutunk, amely a nevet viseli Modelltálcák - Volterra:

( x ˙ = (α − cy) xy ˙ = (− β + dx) y (\displaystyle (\begin(esetek)(\pont (x))=(\alpha -cy)x\\(\pont (y) ))=(-\beta +dx)y\end(esetek)))

Ennek a rendszernek a viselkedése szerkezetileg nem stabil: a modell paramétereinek kismértékű megváltoztatása (például figyelembe véve a nyulak korlátozott erőforrásigényét) minőségi viselkedésbeli változáshoz vezethet.

Egyes paraméterértékeknél ez a rendszer egyensúlyi állapotú, amikor a nyulak és rókák száma állandó. Ettől az állapottól való eltérés a nyulak és rókák számának fokozatos ingadozásához vezet.

Az ellenkező helyzet is lehetséges, amikor az egyensúlyi helyzettől való bármilyen kis eltérés katasztrofális következményekkel jár, akár az egyik faj teljes kipusztulását is. Arra a kérdésre, hogy ezen forgatókönyvek közül melyik valósul meg, a Volterra-Lotka modell nem ad választ: itt további kutatásra van szükség.

Lásd még

Megjegyzések

1. "A valóság matematikai ábrázolása" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., A kibernetikus modellezés filozófiai kérdéseiről. M., Tudás, 1964.
3. Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszermodellezés: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Szamarszkij A.A., Mihajlov A.P. Matematikai modellezés. Ötletek. Mód. Példák. - 2. kiadás, javítva. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A.D., A matematikai modellek elméletének elemei. - 3. kiadás, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A. G. Technológiai folyamatok modellezése: tankönyv / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Könnyű és élelmiszeripar, 1984. - 344 p.
7. Rotach V.Ya. Az automatikus vezérlés elmélete. - 1. - M. : CJSC "MPEI Publishing House", 2008. - S. 333. - 9 p. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Modellredukciós és durva szemcsésítési megközelítések többléptékű jelenségekhez(Angol) . Springer, Complexity sorozat, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Letöltve: 2013. június 18. Az eredetiből archiválva: 2013. június 18.
9. „Egy elméletet lineárisnak vagy nemlineárisnak tekintünk, attól függően, hogy lineáris vagy nemlineáris. matematikai berendezés, mely - lineáris vagy nemlineáris - matematikai modelleket használ. ... az utóbbi tagadása nélkül. Egy modern fizikus, ha véletlenül újradefiniálna egy ilyen fontos entitást, mint a nemlinearitást, nagy valószínűséggel másként járna el, és a nemlinearitást preferálná, mint a két ellentét közül a fontosabbat és a közösebbet, a linearitást a „nem-nem-nearitás”-ként határozná meg. linearitás". Danilov Yu. A., Előadások a nemlineáris dinamikáról. Elemi bevezetés. Szinergetika: a múltból a jövőbe sorozat. Szerk.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. „A véges számú közönséges differenciálegyenlet által modellezett dinamikus rendszereket csomós vagy pontrendszereknek nevezzük. Leírásuk véges dimenziós fázistérrel történik, és véges számú szabadsági fok jellemzi őket. Ugyanaz a rendszer különböző feltételek mellett koncentráltnak vagy elosztottnak tekinthető. Az elosztott rendszerek matematikai modelljei azok differenciál egyenletek parciális deriváltokban, integrálegyenletekben ill közönséges egyenletek késleltetett érveléssel. Egy elosztott rendszer szabadságfokainak száma végtelen, állapotának meghatározásához végtelen számú adatra van szükség.
    Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, 11. szám, p. 77-84.
11. „Az S rendszerben a vizsgált folyamatok természetétől függően a modellezés minden típusa felosztható determinisztikusra és sztochasztikusra, statikusra és dinamikusra, diszkrétre, folytonosra és diszkrét-folytonosra. A determinisztikus modellezés determinisztikus folyamatokat jelenít meg, vagyis olyan folyamatokat, amelyekben feltételezik a véletlen befolyások hiányát; A sztochasztikus modellezés valószínűségi folyamatokat és eseményeket jelenít meg. … A statikus modellezés egy objektum viselkedésének leírására szolgál bármely időpontban, míg a dinamikus modellezés egy objektum időbeli viselkedését tükrözi. A diszkrét modellezés a diszkrétnek feltételezett folyamatok leírására szolgál, illetve a folyamatos modellezés lehetővé teszi a folyamatos folyamatok tükrözését a rendszerekben, a diszkrét-folytonos modellezést pedig olyan esetekben alkalmazzuk, amikor mind a diszkrét, mind a folyamatos folyamatok jelenlétét szeretnénk kiemelni.
    Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszermodellezés: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. A matematikai modell általában tükrözi a modellezett objektum szerkezetét (eszközét), ezen objektum összetevőinek a vizsgálat céljaihoz elengedhetetlen tulajdonságait és összefüggéseit; az ilyen modellt strukturálisnak nevezzük. Ha a modell csak azt tükrözi, hogy az objektum hogyan működik - például hogyan reagál a külső hatásokra -, akkor funkcionálisnak vagy átvitt értelemben fekete doboznak nevezzük. Kombinált modellek is lehetségesek. Myshkis A.D., Az elmélet elemei matematikai modellek. - 3. kiadás, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 p.

A figyelmedbe vett cikkben példákat kínálunk matematikai modellekre. Emellett figyelmet fordítunk a modellalkotás szakaszaira, és elemezünk néhány matematikai modellezéssel kapcsolatos problémát.

Egy másik kérdésünk a közgazdaságtan matematikai modelljei, amelyek definícióját egy kicsit később fogjuk bemutatni. Javasoljuk, hogy beszélgetésünket a „modell” fogalmával kezdjük, röviden fontoljuk meg besorolásukat, és térjünk át fő kérdéseinkre.

A "modell" fogalma

Gyakran halljuk a „modell” szót. Mi az? Ennek a kifejezésnek számos meghatározása van, ezek közül csak három:

• egy adott objektum, amely információ fogadására és tárolására jött létre, tükrözve az objektum eredetijének bizonyos tulajdonságait vagy jellemzőit stb. (ez a konkrét objektum kifejezhető eltérő formában: mentális, leírás jelekkel stb.);
• a modell egyben bármely konkrét helyzet, élet vagy vezetés megjelenítését is jelenti;
• egy objektum kis példánya modellként szolgálhat (a részletesebb tanulmányozáshoz és elemzéshez készülnek, mivel a modell tükrözi a szerkezetet és az összefüggéseket).

A korábban elmondottak alapján egy kis következtetést vonhatunk le: a modell lehetővé teszi a részletes tanulmányozást összetett rendszer vagy egy tárgyat.

Minden modell számos jellemző szerint osztályozható:

• felhasználási terület szerint (oktatási, kísérleti, tudományos és műszaki, játék, szimuláció);
• dinamika szerint (statikus és dinamikus);
• ismeretek ágai szerint (fizikai, kémiai, földrajzi, történeti, szociológiai, gazdasági, matematikai);
• a bemutatás módja szerint (tárgyi és információs).

Az információs modelleket viszont jelekre és verbálisra osztják. És ikonikus – számítógépen és nem számítógépen. Most térjünk át egy matematikai modell példáinak részletes vizsgálatára.

Matematikai modell

Ahogy sejthető, a matematikai modell egy objektum vagy jelenség bizonyos jellemzőit tükrözi speciális matematikai szimbólumok segítségével. A matematikára azért van szükség, hogy a világ törvényeit a maga sajátos nyelvén modellezzük.

A matematikai modellezés módszere meglehetősen régen, több ezer évvel ezelőtt keletkezett, e tudomány megjelenésével együtt. Azonban a lendület a fejlődéshez ez a módszer a modellezés szülte a számítógépeket (elektronikus számítógépeket).

Most térjünk át az osztályozásra. Bizonyos jelek szerint is végrehajtható. Ezeket az alábbi táblázat mutatja be.

Javasoljuk, hogy álljunk meg és nézzük meg közelebbről az utolsó osztályozást, mivel az tükrözi a modellezés általános mintáit és a készülő modellek céljait.

Leíró modellek

Ebben a fejezetben azt javasoljuk, hogy részletesebben foglalkozzunk a leíró matematikai modellekkel. Annak érdekében, hogy minden nagyon világos legyen, adunk egy példát.

Először is ezt a nézetet leíró jellegűnek nevezhetjük. Ez abból adódik, hogy egyszerűen számításokat, előrejelzéseket készítünk, de az esemény kimenetelét semmilyen módon nem tudjuk befolyásolni.

A leíró matematikai modell szemléletes példája egy olyan üstökös repülési pályájának, sebességének és a Földtől való távolságának kiszámítása, amely megszállta a mi kiterjedéseinket. Naprendszer. Ez a modell leíró jellegű, mivel az összes kapott eredmény csak figyelmeztethet bennünket valamilyen veszélyre. Sajnos az esemény kimenetelét nem tudjuk befolyásolni. A kapott számítások alapján azonban bármilyen intézkedést meg lehet tenni az élet megőrzése érdekében a Földön.

Optimalizálási modellek

Most beszélünk egy kicsit a gazdasági és matematikai modellekről, amelyekre különféle helyzetek lehetnek példák. Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek bizonyos körülmények között segítenek megtalálni a helyes választ. Bizonyos paraméterekkel kell rendelkezniük. Hogy ez nagyon világos legyen, vegyünk egy példát a mezőgazdasági részből.

Magtárunk van, de a gabona nagyon hamar megromlik. Ebben az esetben meg kell választanunk a megfelelő hőmérsékleti rendszert és optimalizálnunk kell a tárolási folyamatot.

Így definiálhatjuk az "optimalizálási modell" fogalmát. Matematikai értelemben ez egy (lineáris és nem lineáris) egyenletrendszer, amelynek megoldása segít megtalálni az optimális megoldást egy adott gazdasági helyzetben. A matematikai modellre (optimalizálásra) gondoltunk egy példát, de még egy dolgot szeretnék hozzátenni: ez a típus az extrém problémák osztályába tartozik, segít leírni a gazdasági rendszer működését.

Megjegyezzük még egy árnyalatot: a modellek eltérő jellegűek lehetnek (lásd az alábbi táblázatot).

Többszempontú modellek

Most megkérjük, hogy beszéljen egy kicsit a többcélú optimalizálás matematikai modelljéről. Előtte példát adtunk egy matematikai modellre a folyamat optimalizálására bármely kritérium szerint, de mi van akkor, ha sok van belőlük?

A többszempontú feladat markáns példája a nagy csoportok megfelelő, egészséges és egyben gazdaságos táplálkozásának megszervezése. Ilyen feladatokkal gyakran találkoznak a hadseregben, iskolai étkezdékben, nyári táborokban, kórházakban stb.

Milyen kritériumokat kapunk ebben a feladatban?

1. Az ételnek egészségesnek kell lennie.
2. Az élelmezési kiadásokat minimálisra kell csökkenteni.

Mint látható, ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe. Ez azt jelenti, hogy egy probléma megoldása során meg kell keresni az optimális megoldást, egyensúlyt a két kritérium között.

Játékmodellek

A játékmodellekről szólva meg kell érteni a „játékelmélet” fogalmát. Egyszerűen fogalmazva, ezek a modellek a valós konfliktusok matematikai modelljeit tükrözik. Csak azt érdemes megérteni, hogy a valódi konfliktusokkal ellentétben a játék matematikai modelljének megvannak a maga sajátos szabályai.

Most adok egy minimális információt a játékelméletből, ami segít megérteni, mi az a játékmodell. Tehát a modellben szükségszerűen vannak felek (két vagy több), amelyeket általában játékosoknak neveznek.

Minden modell rendelkezik bizonyos jellemzőkkel.

A játékmodell lehet páros vagy több. Ha két alanyunk van, akkor a konfliktus páros, ha több - többszörös. Antagonisztikus játék is megkülönböztethető, nulla összegű játéknak is nevezik. Ez egy olyan modell, amelyben az egyik résztvevő nyeresége egyenlő a másik veszteségével.

szimulációs modellek

BAN BEN ez a szekció figyelmünket a szimulációs matematikai modellekre fordítjuk. Példák a feladatokra:

• a mikroorganizmusok számának dinamikájának modellje;
• molekulamozgás modellje, és így tovább.

Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek a lehető legközelebb állnak a valós folyamatokhoz. Általánosságban elmondható, hogy a természetben bármilyen megnyilvánulást utánoznak. Az első esetben például modellezhetjük egy kolóniában a hangyák számának dinamikáját. Ebben az esetben megfigyelheti az egyes egyének sorsát. Ebben az esetben a matematikai leírást ritkán használják, gyakrabban vannak írott feltételek:

• öt nap elteltével a nőstény tojásokat rak;
• húsz nap múlva a hangya meghal, és így tovább.

Így egy nagy rendszer leírására használják. A matematikai következtetés a kapott statisztikai adatok feldolgozása.

Követelmények

Nagyon fontos tudni, hogy van néhány követelmény az ilyen típusú modellekkel szemben, amelyek között megtalálhatók az alábbi táblázatban szereplő követelmények.

Sokoldalúság	Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy ugyanazt a modellt használja azonos típusú objektumok csoportjainak leírásához. Fontos megjegyezni, hogy az univerzális matematikai modellek teljesen függetlenek a vizsgált objektum fizikai természetétől.
Megfelelőség	Itt fontos megérteni, hogy ez a tulajdonság lehetővé teszi a valós folyamatok leghelyesebb reprodukálását. Az üzemeltetési feladatoknál a matematikai modellezésnek ez a tulajdonsága nagyon fontos. Egy modellre példa a gázrendszer használatának optimalizálásának folyamata. Ebben az esetben a számított és a tényleges mutatókat összehasonlítják, ennek eredményeként ellenőrzik az összeállított modell helyességét.
Pontosság	Ez a követelmény magában foglalja azoknak az értékeknek az egybeesését, amelyeket a matematikai modell és a valós objektumunk bemeneti paramétereinek kiszámításakor kapunk.
gazdaság	A gazdaságosság követelményét bármely matematikai modell esetében a megvalósítási költségek jellemzik. Ha a modellel végzett munka kézzel történik, akkor ki kell számítani, hogy mennyi időbe telik egy probléma megoldása ezzel a matematikai modellel. Ha számítógéppel segített tervezésről beszélünk, akkor az idő és a számítógép memória mutatóit számítják ki

Modellezés lépései

Összességében a matematikai modellezésben négy szakaszt szokás megkülönböztetni.

1. A modell részeit összekötő törvények megfogalmazása.
2. Matematikai problémák tanulmányozása.
3. A gyakorlati és elméleti eredmények egybeesésének feltárása.
4. A modell elemzése és korszerűsítése.

Gazdasági és matematikai modell

Ebben a részben röviden kiemeljük a problémát.Példák a feladatokra:

• termelési program kialakítása a húskészítmények előállítására, biztosítva a termelés maximális nyereségét;
• a szervezet profitjának maximalizálása a bútorgyárban gyártandó asztalok és székek optimális számának kiszámításával stb.

A közgazdasági-matematikai modell a közgazdasági absztrakciót tükrözi, amelyet a segítségével fejeznek ki matematikai kifejezésekés jelek.

Számítógépes matematikai modell

Példák a számítógépes matematikai modellekre:

• hidraulikus feladatok folyamatábrák, diagramok, táblázatok és így tovább segítségével;
• feladatok a szerelők számára szilárd test stb.

A számítógépes modell egy objektum vagy rendszer képe, amely a következőképpen jelenik meg:

• asztalok;
• blokkdiagramok;
• diagramok;
• grafika, és így tovább.

Ugyanakkor ez a modell tükrözi a rendszer felépítését és összefüggéseit.

Gazdasági és matematikai modell felépítése

Arról már beszéltünk, hogy mi is az a gazdasági-matematikai modell. A probléma megoldására most egy példát veszünk figyelembe. Elemeznünk kell a termelési programot, hogy azonosítsuk a tartalékot a nyereség növelésére a választék eltolódásával.

Nem fogjuk teljesen megvizsgálni a problémát, csak egy gazdasági és matematikai modellt építünk fel. Feladatunk kritériuma a profitmaximalizálás. Ekkor a függvény alakja: Л=р1*х1+р2*х2… a maximumra törekszik. Ebben a modellben p az egységenkénti nyereség, x a megtermelt egységek száma. Továbbá a megszerkesztett modell alapján számításokat és összegzést kell végezni.

Példa egy egyszerű matematikai modell felépítésére

Egy feladat. A halász a következő fogással tért vissza:

• 8 hal - az északi tengerek lakói;
• a fogás 20% -a - a déli tengerek lakói;
• egyetlen halat sem találtak a helyi folyóból.

Hány halat vett a boltban?

Tehát egy példa a probléma matematikai modelljének megalkotására a következő. A halak teljes számát x-szel jelöljük. A feltételt követve 0,2x a déli szélességi körökben élő halak száma. Most egyesítjük az összes rendelkezésre álló információt, és megkapjuk a probléma matematikai modelljét: x=0,2x+8. Megoldjuk az egyenletet és megkapjuk a választ fő kérdés: 10 halat vásárolt a boltban.

Egyelőre nincs szabványos terminológia, és nem is valószínű, hogy megjelenik, hiszen a matematikai modellezés teljes történetében nagyon nagyszámú tudósok foglalkoztak ezzel a témával.

A matematikai modellezést az emberi élet különböző területein alkalmazzák. Mint például: matematika, biokémia, orvostudomány és így tovább.

A matematikai modell definíciója, amelyet A.D. Mishkis.

Vizsgáljuk meg egy bizonyos A objektum (objektum: rendszer, helyzet, jelenség, folyamat stb.) tulajdonságainak S összértékét. Miért építünk egy matematikai objektumot A" - egy aritmetikai reláció, geometriai alakzat, egyenletrendszer és így tovább, amelyek matematikai vizsgálata választ ad az S tulajdonságokkal kapcsolatos kérdésekre. Ebben az esetben az A matematikai objektumot az A objektum matematikai modelljének nevezzük. A definícióban nemcsak azt teszi egyértelművé, hogy az A és A" objektumok eltérő természetűek, hanem azt is, hogy A"-t nemcsak maga az eredeti A határozza meg, hanem a vizsgált tulajdonságainak összessége S. Ekkor ha ugyanazon A objektumon két vizsgálatot végzünk tulajdonságainak két különböző S1 és S2 halmazára vonatkozóan, akkor a megfelelő matematikai modellek " és "A1 A2" teljesen eltérőek lehetnek. Ebből a vizsgálatból, a matematikai modellek elsõ tulajdonsága következik - sokrétûségük Megjegyezzük, hogy itt nemcsak a hierarchiájukhoz tartozó modellek sokaságát értjük, hanem a rendszerek tanulmányozási igényébõl származó eredményt, ... S1 S2 tulajdonságait.

Például egy és ugyanazt a hatalmas gomolyfelhőt lefelé irányuló légáramlatok generálása szempontjából tekinthetjük, amelyek tovább oszlanak a föld felszínén, és mi széllökésnek érzékeljük a heves esőzés előtt. és a légkör nagy elektromos aktivitású zónájaként. Az objektum mindezen megnyilvánulása nagy veszélyt jelent a repülőgépek repülésére. A lefelé ívelés veszélyes a fel- és leszállási szakaszban, a repülőgép szárnyának földalatti erejének nagyságrendjének jelentős változása miatt (a szélsebesség irányának éles változása fejtől farokig). Az erős elektromos mezők kisülést hozhat létre légköri elektromosság(villámlás), amelynek a légi járműre gyakorolt ​​becsapódása a légi jármű fedélzetén lévő rádióelektronikai berendezés teljes vagy részleges meghibásodását okozhatja. Nyilvánvaló, hogy az első esetben az aerohidrodinamikai egyenleteket használjuk a modellhez, és a légáramlási sebességek területét vizsgáljuk (matematikai modell az S1 jellemzők halmazára vonatkozóan). A második esetben a felhő elektromos szerkezetét tanulmányozzuk, és elektrodinamikai modellt konstruálunk (az S2 jellemzők halmazára vonatkozóan).

A második, legfontosabb tulajdonság a matematikai modellek egysége. A szembetűnő tény az, hogy a különféle valódi rendszerek vagy tartalmi modelljeikben ugyanaz a matematikai modell.

A matematikai modellezés elméletében jelentős a modellépítés minden aspektusának folyamatos összehangolása a vizsgálat feladataival és célkitűzéseivel. Ezért kiemelünk néhány olyan jellemzőt, amelyek elengedhetetlenek a kutatáshoz mechanikai rendszerekés folyamatok.

Először is, az ilyen objektumokat meghatározó tényezőket mérhető mennyiségekként - paraméterekként - jellemzik.

Másodszor, az ilyen modellek olyan egyenleteken alapulnak, amelyek leírják a természet (mechanika) alapvető törvényeit, amelyek nem igényelnek felülvizsgálatot és finomítást. Az általánosabbak elkészítéséhez használt egyedi jelenségek kész magánmodelljei is jól megfogalmazottak és leírásra kerültek a feltételek és az alkalmazási területek tekintetében.

Harmadszor, a mechanikai rendszerek és folyamatok modelljeinek fejlesztésében óriási akadályt jelent egy megbízhatatlan leírása ismert jellemzői objektum, funkcionális és numerikus egyaránt.

Negyedszer, az ilyen modellekkel szemben támasztott jelenlegi követelmények ahhoz vezetnek, hogy számos olyan tényezőt figyelembe kell venni, amelyek egy objektum viselkedését befolyásolják, nem csak azokat, amelyek az ismert természeti törvényekhez kapcsolódnak. Mindezek a tulajdonságok ahhoz vezetnek, hogy a mechanikai rendszerek és folyamatok modelljei főként a matematikai modellek osztályába tartoznak.

A matematikai modellek az objektum matematikai leírásán alapulnak. A matematikai leírás természetesen mindenekelőtt tartalmazza az objektum paramétereinek kapcsolatát, ami jellemzi annak működési jellemzőit. Az ilyen kapcsolatokat a következőképpen ábrázolhatjuk:

2.1.1 ábra - Objektumparaméterek kapcsolatai

E típusok közül az első négynek van egy általános neve: analitikai függőségek.

A matematikai leírás nemcsak az objektum elemeinek és paramétereinek (szabályszerűségek és törvényszerűségek) kapcsolatát tartalmazza, hanem az objektum funkcionális és számszerű adatainak teljes készletét (jellemzők; kezdeti, perem-, végfeltételek; korlátozások), valamint mint módszerek a modell kimeneti paramétereinek kiszámítására. Vagyis a matematikai leírás függvények, módszerek, számítási adatok teljes készlete, amely lehetővé teszi az eredmény elérését.

Előfordulhat azonban, hogy egy matematikai modell nem tartalmazza a matematikai leírás egy részét (leggyakrabban néhány kiindulási adatot), hanem ezen kívül a felépítéséhez használt összes feltételezés leírását, valamint a kezdeti és kimeneti adatok átvitelére szolgáló algoritmusokat. modellt az eredetihez és fordítva, tartalmaznia kell.

2.1.2 ábra - A modell matematikai leírása

Az osztályozás kiegészítéseként a matematikai modellek az objektum jellegétől, a megoldandó feladatoktól és az alkalmazott módszerektől függően a következő típusokban különbözhetnek:

- számítás (algoritmusok, nomogramok, képletek, grafikonok, táblázatok);

– releváns (például: modell in szélcsatornaés a repülőgép tényleges repülése a légkörben);

– hasonló (arányos megfelelő paraméterek és azonos matematikai leírások);

- nemlineáris és lineáris (a fő paramétereket csak 0 és 1 hatványig tartalmazó függvényekkel írják le, vagy bármilyen típusú függvények),

– nem álló és álló (időtől függően vagy független),

- diszkrét vagy folyamatos,

- sztochasztikus vagy determinisztikus (valószínűségi, egyértelmű vagy egzakt: sormodellek, szimuláció stb.),

– homályos és világos (példák fuzzy halmazok: körülbelül 10; mély vagy sekély; jó vagy rossz).

Alapján történelmi eseményekÍgy történt, hogy a matematikai modellben néha csak egyet jelentenek különleges fajta olyan modellek, amelyek csak egy egyértelmű közvetlen matematikai leírást tartalmaznak számítási algoritmusok vagy analitikai függőségek formájában - vagyis egy determinisztikus matematikai modell, amelynek segítségével azonos kiindulási adatokkal csak egy és ugyanaz az eredmény érhető el. Elterjedtek azok a determinisztikus modellek, amelyek arányossági együtthatók segítségével teremtenek kapcsolatot az eredeti paramétereivel, amelyek mindegyike egyszerre egyenlő eggyel. Természetes, hogy egy ilyen modell által használt matematikai leírást magának az eredetinek a leírásának tekintjük - ez az állítás igaz: ebben az esetben a modellnek és az eredetinek egy közös matematikai leírása van. Ilyen látszólagos egyszerűség mellett a tapasztalatlan mérnök is már nem modellként, hanem eredetiként fogja fel a modellt. Egy ilyen matematikai modell azonban csak egy modell a mögötte meghúzódó összes egyszerűsítéssel, konvencióval, absztrakcióval és feltevéssel. A minőségi modellezés folyamatának "leegyszerűsítésére" vágynak, ami általában lehetetlen, mivel a modell vagy megfelel az eredetinek, vagy egyáltalán nem létezik. Az ezzel kapcsolatos hanyag hozzáállás az alkalmazott kutatásban sok téves következtetéshez vezet, és a kapott eredmények nem felelnek meg a dolgok valós állapotának.

A szimulációs modelleket a determinisztikus modellek antipódjaként mutatjuk be.

A szimulációs modellek (sztochasztikus) olyan eredetiek matematikai modelljei, amelyek egyes elemeire nincs matematikai leírás analitikus forma. A szimulációs modellek matematikai leírása véletlenszerű folyamatok (sztochasztikus) leírását tartalmazza. Ilyen leírásként az elosztási törvények különféle formáit mutatják be, amelyek alapján összeállíthatók statisztikai feldolgozás az eredeti megfigyelésének eredményei.

A szimulációs modellek matematikai leírásában az eloszlási törvények mellett Véletlen változók, amelyek a jelenséget leírják, tartalmazhatják a valószínűségi változók összefüggéseinek leírását (például sorelméleti modellek segítségével), valamint statisztikai tesztalgoritmust (Monte Carlo módszer elemi megvalósítására véletlenszerű események). Ebből következik, hogy a szimulációs modellek a valószínűségszámítás matematikai apparátusát használják: a matematikai statisztikát, a sorelméletet és a statisztikai tesztek módszerét.

A matematikai modell meghatározása

A matematika különböző alkalmazásokban betöltött szerepét meghatározó fontos tényező, hogy a vizsgált objektum leglényegesebb jellemzőit és tulajdonságait a matematikai szimbólumok és kapcsolatok nyelvén le tudjuk írni. Az ilyen leírást matematikai modellezésnek vagy formalizálásnak nevezzük.

1. definíció.matematikai modell egy valós tárgyat (jelenséget) annak leegyszerűsített, idealizált sémájának nevezünk, amelyet matematikai szimbólumok és műveletek (arányok) segítségével állítanak össze.

Egy adott gazdasági feladat (probléma) matematikai modelljének felépítéséhez ajánlatos a következő munkasort végrehajtani:

1. Ismert és ismeretlen értékek, valamint a meglévő feltételek és előfeltételek meghatározása (mi adott és mit kell megtalálni?);

2. Azonosítás kritikus tényezők Problémák;

3. A kezelt és nem menedzselt paraméterek azonosítása;

4. A modellelemek (paraméterek, változók) közötti összefüggések matematikai leírása egyenletek, egyenlőtlenségek, függvények és egyéb összefüggések segítségével, a vizsgált probléma tartalma alapján.

A probléma matematikai modelljéhez viszonyított ismert paramétereit veszik figyelembe külső(előre adott, azaz a modell felépítése előtt). A közgazdasági irodalomban ún exogén változók. A kezdetben ismeretlen változók értéke a modell tanulmányozása eredményeként kerül kiszámításra, ezért a modellhez viszonyítva azokat figyelembe veszik. belső. A közgazdasági irodalomban ún endogén változók.

A cél szempontjából meg lehet különböztetni leíró modellekÉs döntéshozatali modellek. Leíró modellek tükrözik a gazdasági tárgyak tartalmát és alapvető tulajdonságait mint olyanokat. Segítségükkel kiszámítják a gazdasági tényezők és mutatók számszerű értékeit.

A döntési modellek segítenek megtalálni a legjobb lehetőségeket a tervezett indikátorokhoz vagy vezetői döntésekhez. Közülük a legkevésbé bonyolultak a tervezési típusú feladatokat leíró (szimuláló) optimalizálási modellek, a legbonyolultabbak pedig az ütköző jellegű problémákat leíró játékmodellek, figyelembe véve a különböző érdekek metszetét. Ezek a modellek abban különböznek a leíró modellektől, hogy képesek kiválasztani a szabályozási paraméterek értékét (ami a leíró modelleknél nem így van).

Általános döntési fa

A matematikai közgazdaságtanban nehéz túlbecsülni a döntési modellek szerepét. A leggyakrabban azokat alkalmazzák, amelyek az optimális termeléstervezés, a korlátozott erőforrások ésszerű elosztásának, a gazdálkodó szervezetek hatékony tevékenységének kezdeti problémáit extrém problémákra, optimális szabályozási problémákra, játékproblémákra redukálják. Mi a általános szerkezet ilyen modellek?

Bármilyen döntési feladatot az jellemez, hogy jelen van egy személy vagy személyek, akik bizonyos célokat követnek, és akiknek van erre lehetősége. Ezért a döntéshozatali modell fő elemeinek azonosításához a következő kérdésekre kell válaszolni:

џ ki hozza meg a döntést?

џ Mik a döntéshozatal céljai?

џ Mi a döntéshozatal?

џ mi a készlet opciók cél elérése?

џ milyen feltételek mellett születik a döntés?

Tehát előttünk áll egy bizonyos általános döntési feladat. Formális sémájának (modelljének) felépítéséhez általános jelölést vezetünk be.

levél N jelöli az összes döntéshozó fél halmazát. Legyen N=(1,2,...,n), azok. összesen n résztvevő van, amelyeket csak számok azonosítanak. Minden elemet döntéshozónak (DM) nevezünk. (például magánszemély, cég, nagy konszern tervező testülete, kormányok stb.).

Tegyük fel, hogy az egyes döntéshozók összes megvalósítható megoldásának (alternatíváinak, stratégiáinak) halmazát előzőleg tanulmányozták és matematikailag leírják (például egyenlőtlenségrendszer formájában). Jelöljük őket azzal x 1 , X 2 ,..., X n . Ezt követően az összes döntéshozó döntéshozatali folyamata a következő formális aktusra redukálódik: minden döntéshozó kiválaszt egy adott elemet a megengedhető döntési halmazából,..., . Az eredmény a kiválasztott megoldások x = (x1,...,xn) halmaza, amelyet helyzetnek nevezünk.

Az x helyzet értékeléséhez a döntéshozó által követett célok szempontjából funkciókat konstruálnak. f 1 ,..., f n (célfüggvényeknek vagy minőségi kritériumoknak nevezzük), amelyek minden helyzethez x numerikus pontszámot rendelnek f 1 (x),...,f n (x)(például az x helyzetben lévő cégek jövedelme, vagy költségei, stb.). Aztán a gól én th döntéshozója a következőképpen formálódik: válassza ki a saját megoldását úgy, hogy egy adott helyzetben x = (x 1 ,...,X n ) szám f én (X) a lehető legnagyobb (vagy kicsi) legyen. Ennek a célnak az elérése azonban részben tőle függ, más befolyásoló felek jelenléte miatt általános helyzet x saját céljaik elérése érdekében. Az érdekek metszéspontjának (konfliktusnak) ez a ténye tükröződik abban, hogy a funkció f én kívül x én más változóktól függ x j (j i). Ezért a sok résztvevőt tartalmazó döntéshozatali modellekben a céljaikat másképpen kell formalizálni, mint a függvény értékeinek maximalizálását vagy minimalizálását. f én (X). Végül matematikailag leírjuk mindazokat a feltételeket, amelyek mellett a döntés megszületik. (a szabályozott és nem szabályozott változók közötti kapcsolatok leírása, véletlenszerű tényezők hatásának leírása, dinamikus jellemzők figyelembevétele stb.). Az egyszerűség kedvéért ezen feltételek összességét egyetlen szimbólum jelöli.

Így a döntési probléma általános sémája így nézhet ki:

A modell elemeinek megadásával (1.6.1.), azok jellemzőinek és tulajdonságainak megadásával a döntési modellek egyik vagy másik osztálya kapható. Tehát ha az (1.6.1.) N csak egy elemből áll (n=1),és az eredeti valós probléma összes feltétele és előfeltétele leírható ennek az egyetlen döntéshozónak a megvalósítható megoldásainak halmazaként, akkor az (1.6.1.)-ből megkapjuk az optimalizálási (extremális) probléma szerkezetét:< Х, f >. Ebben a sémában a döntéshozó tervező testületnek tekinthető. Ezzel a sémával kétféle extrém problémát írhat:

Ha egy extrém problémában kifejezetten figyelembe vesszük az időtényezőt, akkor azt optimális szabályozási problémának nevezzük. Ha n 2, akkor (1.6.1.) az általános séma döntéshozatali feladatok konfliktusban, vagyis azokban a helyzetekben, ahol két vagy több fél érdekei metszéspontjai vannak.

A döntéshozónak gyakran nem egy, hanem több célja van. Ebben az esetben az (1)-ből egy sémát kapunk, ahol minden függvény f 1 (x),...,f n (x) ugyanazon az X halmazon definiálva. Az ilyen problémákat többcélú optimalizálási problémáknak nevezzük.

A döntéshozatali problémáknak vannak olyan osztályai, amelyek a céljuk alapján kapták a nevüket: sorbanállási rendszerek, készletkezelési problémák, hálózati és ütemezési problémák, megbízhatósági elmélet stb.

Ha az (1) modell elemei nem függnek kifejezetten az időtől, azaz a döntési folyamat egy pillanatnyi pont kiválasztására redukálódik egy adott halmazból, akkor a probléma ún. statikus. Ellenkező esetben, amikor a döntéshozatal egy többlépcsős diszkrét vagy időben folyamatos folyamat, a feladat ún. dinamikus. Ha az (1) modell elemei nem tartalmaznak valószínűségi változókat és valószínűségi jelenségeket, akkor a problémát determinisztikusnak, egyébként sztochasztikusnak nevezzük.