Egy szám modulusának geometriai meghatározása. Mekkora egy szám modulusa a matematikában

A számmodulus egy új fogalmat vezet be a matematikában. Elemezzük részletesen, mi egy szám modulusa, és hogyan lehet vele dolgozni?

Vegyünk egy példát:

Kimentünk a házból a boltba. 300 m telt el, matematikailag ez a kifejezés +300-nak írható, a „+” jelből származó 300-as szám jelentése nem változik. Egy szám távolsága vagy modulusa a matematikában ugyanaz, és a következőképpen is felírható: |300|=300. Egy szám modulusának előjelét két függőleges vonal jelzi.

És akkor be ellentétes irány 200 métert gyalogolt. Matematikailag a visszatérési utat -200-nak írhatjuk. De nem mondjuk így, hogy „mínusz kétszáz métert mentünk”, pedig visszatértünk, mert a távolság mint mennyiség pozitív marad. Ehhez vezették be a matematikában a modul fogalmát. A -200 távolságát vagy modulusát a következőképpen írhatja fel: |-200|=200.

Modul tulajdonságai.

Meghatározás:
Egy szám modulusa vagy egy szám abszolút értéke a kiindulási pont és a cél távolsága.

Egy nullával nem egyenlő egész szám modulusa, mindig pozitív szám.

A modul így van megírva:

1. Egy pozitív szám modulusa megegyezik magával a számmal.
| a|=a

2. Egy negatív szám modulusa egyenlő az ellenkező számmal.
|- a|=a

3. Nulla modulusa, egyenlő nullával.
|0|=0

4. Az ellentétes számú modulok egyenlőek.
| a|=|-a|=a

Kapcsolódó kérdések:
Mi egy szám modulusa?
Válasz: A modulus a kiindulási pont és a cél távolsága.

Ha egy „+” jelet tesz egy egész szám elé, mi történik?
Válasz: a szám nem változtatja meg a jelentését, például 4=+4.

Ha egy „-” jelet tesz egy egész szám elé, mi történik?
Válasz: a szám pl. 4-re és -4-re változik.

Mely számok modulusa azonos?
Válasz: a pozitív számok és a nulla modulusa azonos lesz. Például 15=|15|.

Milyen számoknak van modulusa – az ellenkező szám?
Válasz: negatív számok esetén a modulus egyenlő lesz az ellenkező számmal. Például |-6|=6.

1. példa:
Keresse meg a számok modulját: a) 0 b) 5 c) -7?

Megoldás:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

2. példa:
Van kettő különféle számok amelyek moduljai egyenlők?

Megoldás:
|10|=10
|-10|=10

Az ellentétes számú modulok egyenlőek.

3. példa:
Melyik két ellentétes számnak van modulo 9?

Megoldás:
|9|=9
|-9|=9

Válasz: 9 és -9.

4. példa:
Tegye a következőket: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Megoldás:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

5. példa:
Keresse meg: a) 2-es modulus b) 6-os modulus c) 8-as modulus d) 1-es modulus e) 0-s modulus.
Megoldás:

a) a 2-es szám modulusát |2|-ként jelöljük vagy |+2| Ez ugyanaz.
|2|=2

b) a 6-os szám modulusát |6|-ként jelöljük vagy |+6| Ez ugyanaz.
|6|=6

c) a 8-as szám modulusát |8|-ként jelöljük vagy |+8| Ez ugyanaz.
|8|=8

d) az 1-es szám modulusát |1|-ként jelöljük vagy |+1| Ez ugyanaz.
|1|=1

e) a 0 szám modulusát |0|, |+0|-ként jelöljük vagy |-0| Ez ugyanaz.
|0|=0

Az óra céljai

Megismertetni a tanulókkal egy olyan matematikai fogalommal, mint a szám modulusa;
Megtanítani az iskolásoknak a számmodulok megtalálásának készségeit;
Különböző feladatok elvégzésével konszolidálja a tanult anyagot;

Feladatok

A gyerekek számmodulussal kapcsolatos ismereteinek megszilárdítása;
Megoldással tesztelemek ellenőrizni, hogyan tanulták meg a tanulók a tanult anyagot;
Folytassa az érdeklődés felkeltését a matematika órák iránt;
Iskolásoktól nevelni logikus gondolkodás, kíváncsiság és kitartás.

Tanterv

1. Általános fogalmakés a szám modulusának meghatározása.
2. geometriai érzék modult.
3. Tulajdonságai számának modulusa.
4. Szám modulusát tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.
5. Történeti hivatkozás a "szám modulusa" kifejezésről.
6. Feladat a tárgyalt téma ismereteinek megszilárdítására.
7. Házi feladat.

Általános fogalmak egy szám modulusáról

Egy szám modulusát általában magának a számnak nevezik, ha nincs negatív értéke, vagy ha ugyanaz a szám negatív, de ellentétes előjellel.

Vagyis egy a nem negatív valós szám modulusa maga a szám:

És egy negatív x valós szám modulusa az ellenkező szám lesz:

Írásban ez így fog kinézni:

A jobb megértés érdekében vegyünk egy példát. Így például a 3-as szám modulusa 3, és a -3-as szám modulusa is 3.

Ebből az következik, hogy egy szám modulusa abszolút értéket jelent, vagyis abszolút értékét, de előjelének figyelembe vétele nélkül. Még egyszerűbben fogalmazva, el kell távolítani a jelet a számból.

Egy szám modulusa a következőképpen jelölhető ki: |3|, |x|, |a| stb.

Így például a 3-as szám modulusát |3|-val jelöljük.

Ne feledje továbbá, hogy egy szám modulusa soha nem negatív: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 stb.

A modul geometriai jelentése

Egy szám modulusa az a távolság, amelyet egységnyi szegmensben mérnek az origótól a pontig. Ez a meghatározás geometriai szempontból mutatja be a modult.

Vegyünk egy koordináta egyenest, és jelöljünk rajta két pontot. Ezek a pontok olyan számoknak feleljenek meg, mint a −4 és a 2.

Most pedig vessünk egy pillantást erre a képre. Látjuk, hogy a koordinátavonalon feltüntetett A pont a -4 számnak felel meg, és ha alaposan megnézzük, látni fogja, hogy ez a pont 4 egységnyi szegmensnyire van a 0 referenciaponttól. Ebből következik, hogy az OA szegmens hossza négy egységgel egyenlő. Ebben az esetben az OA szakasz hossza, azaz a 4-es szám lesz a -4 szám modulusa.

Ebben az esetben a szám modulusát a következőképpen jelöljük és írjuk: |−4| = 4.

Most vegyük, és a koordináta egyenesen jelöljük a B pontot.

Ez a B pont a +2 számnak felel meg, és amint látjuk, két egységnyi távolságra van az origótól. Ebből következik, hogy az OB szakasz hossza két egységgel egyenlő. Ebben az esetben a 2-es szám a +2-es szám modulusa lesz.

Írásban így fog kinézni: |+2| = 2 vagy |2| = 2.

És most összegezzük. Ha veszünk egy ismeretlen a számot, és a koordinátaegyenesen az A ponttal jelöljük, akkor ebben az esetben az A ponttól az origóig mért távolság, vagyis az OA szakasz hossza pontosan az "a" szám modulusa. ".

Írásban így fog kinézni: |a| = O.A.

Tulajdonságai számának modulusa

És most próbáljuk meg kiemelni a modul tulajdonságait, vegyük figyelembe az összes lehetséges esetet, és írjuk le őket szó szerinti kifejezésekkel:

Először is, egy szám modulusa egy nem negatív szám, ami azt jelenti, hogy egy pozitív szám modulusa egyenlő magával a számmal: |a| = a ha a > 0;

Másodszor, az ellentétes számokból álló modulok egyenlőek: |a| = |–a|. Vagyis ez a tulajdonság azt mondja meg, hogy az ellentétes számoknak mindig egyenlő moduljai vannak, vagyis a koordinátaegyenesen vannak ellentétes számok, de azonos távolságra vannak a referenciaponttól. Ebből következik, hogy ezen ellentétes számok moduljai egyenlők.

Harmadszor, a nulla modulusa egyenlő nullával, ha ez a szám nulla: |0| = 0, ha a = 0. Itt biztosan kijelenthetjük, hogy a nulla modulusa definíció szerint nulla, mivel megfelel a koordinátaegyenes origójának.

A modulus negyedik tulajdonsága, hogy két szám szorzatának modulusa egyenlő ezen számok moduljainak szorzatával. Most nézzük meg közelebbről, mit is jelent ez. Ha követed a definíciót, akkor te és én tudjuk, hogy az a és b számok szorzatának modulusa egyenlő lesz ab-vel, vagy − (ab), ha, a in ≥ 0, vagy - (a in), ha, a in nagyobb, mint 0. Rekordokban ez így fog kinézni: |a b| = |a| |b|.

Az ötödik tulajdonság, hogy a számok hányadosának modulusa egyenlő ezen számok moduljainak arányával: |a: b| = |a| : |b|.

És a szám moduljának következő tulajdonságai:

Szám modulusát tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

A számmodulusos feladatok megoldásának megkezdésekor emlékezni kell arra, hogy egy ilyen feladat megoldásához fel kell tárni a modul jelét azon tulajdonságok ismeretében, amelyeknek ez a feladat megfelel.

1. Feladat

Tehát például, ha a modul jele alatt van egy változótól függő kifejezés, akkor a modult ki kell bővíteni a definíció szerint:

Természetesen a problémák megoldása során vannak olyan esetek, amikor egyértelműen kiderül a modul. Ha például vesszük

, itt azt látjuk, hogy egy ilyen modulusjel alatti kifejezés nem negatív x és y bármely értékére.

Vagy például vegyük

, azt látjuk, hogy ez a moduluskifejezés nem pozitív z egyetlen értékére sem.

2. feladat

Ön előtt egy koordinátavonal. Ezen a sorban meg kell jelölni azokat a számokat, amelyek modulusa 2 lesz.

Megoldás

Először is meg kell húznunk egy koordinátavonalat. Azt már tudod, hogy ehhez először egyenesen ki kell választani az origót, irányt és egyetlen szegmens. Ezután olyan pontokat kell elhelyeznünk az origóból, amelyek egyenlőek két egységnyi szegmens távolságával.

Amint látja, két ilyen pont van a koordináta egyenesen, amelyek közül az egyik a -2, a másik a 2 számnak felel meg.

Történelmi információk a szám modulusáról

A "modulus" kifejezés a latin modulus névből származik, ami fordításban a "mérés" szót jelenti. A kifejezést Roger Cotes angol matematikus alkotta meg. De a moduljelet Karl Weierstrass német matematikusnak köszönhetően vezették be. Íráskor egy modult a következő szimbólummal jelölünk: | |.

Kérdések az anyag ismereteinek megszilárdítására

A mai leckében egy olyan fogalommal ismerkedtünk meg, mint a szám modulusa, és most nézzük meg, hogyan tanulta meg ezt a témát a feltett kérdések megválaszolásával:

1. Mi a neve annak a számnak, amelyik a pozitív szám ellentéte?
2. Mi a neve annak a számnak, amelyik a negatív szám ellentéte?
3. Nevezze meg a számot, amely a nullával ellentétes! Létezik ilyen szám?
4. Nevezze meg azt a számot, amely nem lehet a szám modulja!
5. Határozza meg egy szám modulusát!

Házi feladat

1. Mielőtt számok lennének, amelyeket a modulok csökkenő sorrendjébe kell rendeznie. Ha helyesen oldja meg a feladatot, felismeri annak a nevét, aki először vezette be a „modul” kifejezést a matematikába.

2. Rajzoljon egy koordinátavonalat, és keresse meg M (-5) és K (8) távolságát az origótól.

Tantárgyak > Matematika > Matematika 6. évfolyam

Először a modul jele alatt határozzuk meg a kifejezés előjelét, majd bontsuk ki a modult:

ha a kifejezés értéke nagyobb nullánál, akkor egyszerűen kivesszük a modul jele alól,
ha a kifejezés kisebb, mint nulla, akkor kivesszük a modul jele alól, miközben előjelet változtatunk, ahogy korábban a példákban tettük.

Nos, megpróbáljuk? Becsüljük meg:

(Elfelejtette, ismételje meg.)

Ha igen, mi a jele? Hát persze!

Ezért a modul jelét a kifejezés előjelének megváltoztatásával tárjuk fel:

Megvan? Akkor próbáld ki magad:

Válaszok:

Milyen egyéb tulajdonságokkal rendelkezik a modul?

Ha meg kell szoroznunk a modulo jelen belüli számokat, akkor ezeknek a számoknak a modulusát nyugodtan megszorozhatjuk!!!

Matematikai értelemben, a számok szorzatának modulusa egyenlő e számok moduljainak szorzatával.

Például:

De mi van akkor, ha két számot (kifejezést) kell elosztanunk a modulo jel alatt?

Igen, ugyanaz, mint a szorzásnál! Bontsuk két külön számra (kifejezésre) a modul jele alatt:

feltéve, hogy (mivel nem lehet nullával osztani).

Érdemes megjegyezni a modul még egy tulajdonságát:

A számok összegének modulja mindig kisebb vagy egyenlő ezen számok moduljainak összegével:

Miert van az? Minden nagyon egyszerű!

Mint emlékszünk, a modulus mindig pozitív. De a modul jele alatt tetszőleges szám lehet: pozitív és negatív is. Tegyük fel, hogy a és a számok egyaránt pozitívak. Ekkor a bal oldali kifejezés egyenlő lesz a jobb oldali kifejezéssel.

Nézzünk egy példát:

Ha a modulusjel alatt az egyik szám negatív, a másik pozitív, a bal oldali kifejezés mindig kisebb lesz, mint a jobb:

Úgy tűnik, ezzel a tulajdonsággal minden világos, nézzünk meg még néhányat hasznos tulajdonságait modult.

Mi van, ha ezt a kifejezést használjuk:

Mit tehetünk ezzel a kifejezéssel? Nem ismerjük x értékét, de már tudjuk, hogy mit jelent, ami azt jelenti.

A szám nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy egyszerűen beírhatja:

Elérkeztünk tehát egy másik ingatlanhoz, amely általánosságban a következőképpen ábrázolható:

Mi ennek a kifejezésnek a jelentése:

Tehát meg kell határoznunk a jelet a modul alatt. Szükséges itt jelet meghatározni?

Természetesen nem, ha emlékszel arra, hogy bármely négyzetes szám mindig nagyobb nullánál! Ha nem emlékszel, nézd meg a topicot. És mi történik? És itt van:

Ez nagyszerű, igaz? Elég kényelmes. Most egy konkrét példa:

Nos, miért kételkedni? Cselekedjünk bátran!

Megértett mindent? Akkor menj és gyakorolj példákkal!

1. Keresse meg az if kifejezés értékét!

2. Milyen számokkal egyenlő a modul?

3. Keresse meg a kifejezések jelentését:

Ha még nem minden világos, és nehézségekbe ütközik a döntéshozatal, akkor találjuk ki:

1. megoldás:

Tehát helyettesítsük az értékeket a kifejezésben

2. megoldás:

Mint emlékszünk, az ellentétes számok modulo egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy a modulus értéke két számmal egyenlő: és.

3. megoldás:

de)
b)
ban ben)
G)

mindent elkaptál? Akkor ideje áttérni valami összetettebbre!

Próbáljuk meg leegyszerűsíteni a kifejezést

Megoldás:

Emlékezzünk tehát arra, hogy a modulus értéke nem lehet kisebb nullánál. Ha a modulusjel alatti szám pozitív, akkor egyszerűen elvethetjük az előjelet: a szám modulusa egyenlő lesz ezzel a számmal.

De ha a modulus előjele alatt negatív szám van, akkor a modul értéke megegyezik az ellenkező számmal (vagyis a „-” jellel vett számmal).

Bármely kifejezés modulusának megtalálásához először meg kell találnia, hogy pozitív vagy negatív értéket vesz fel.

Kiderült, hogy a modul alatti első kifejezés értéke.

Ezért a modulusjel alatti kifejezés negatív. A modulusjel alatti második kifejezés mindig pozitív, mivel két pozitív számot adunk össze.

Tehát a modulusjel alatti első kifejezés értéke negatív, a második pozitív:

Ez azt jelenti, hogy az első kifejezés modulusának előjelének bővítésekor ezt a kifejezést a „-” jellel kell venni. Mint ez:

A második esetben egyszerűen eldobjuk a modulo jelet:

Egyszerűsítsük le ezt a kifejezést teljes egészében:

Egy szám modulusa és tulajdonságai (szigorú definíciók és bizonyítások)

Meghatározás:

Egy szám modulusa (abszolút értéke) maga a szám, ha, és a szám, ha:

Például:

Példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás:

A modul alapvető tulajdonságai

Mindenkinek:

Példa:

Bizonyítsd be az 5. tulajdonságot.

Bizonyíték:

Tegyük fel, hogy vannak

Négyzetesítsük az egyenlőtlenség bal és jobb részét (ez megtehető, mivel az egyenlőtlenség mindkét része mindig nem negatív):

és ez ellentmond a modul definíciójának.

Következésképpen ilyenek nincsenek, ami azt jelenti, hogy minden egyenlőtlenség mellett

Példák független megoldásra:

1) Bizonyítsa be a 6. tulajdonságot.

2) Egyszerűsítse a kifejezést.

Válaszok:

1) Használjuk a 3. számú tulajdonságot: , és mivel, akkor

Az egyszerűsítés érdekében ki kell bővítenie a modulokat. És a modulok bővítéséhez meg kell találnia, hogy a modul alatti kifejezések pozitívak vagy negatívak?

a. Hasonlítsuk össze a számokat és:

b. Most pedig hasonlítsuk össze:

Összeadjuk a modulok értékeit:

Egy szám abszolút értéke. Röviden a lényegről.

Egy szám modulusa (abszolút értéke) maga a szám, ha, és a szám, ha:

Modul tulajdonságai:

Egy szám modulusa nemnegatív szám: ;
Az ellentétes számú modulok egyenlőek: ;
Két (vagy több) szám szorzatának modulja egyenlő a moduljaik szorzatával: ;
Két szám hányadosának modulja egyenlő a moduljaik hányadosával: ;
A számok összegének modulja mindig kisebb vagy egyenlő ezen számok moduljainak összegével: ;
A modulus előjelből egy állandó pozitív tényező vehető ki: at;

A modul egyike azoknak a dolgoknak, amelyekről úgy tűnik, mindenki hallott, de valójában senki sem érti igazán. Ezért ma egy nagy leckét fogunk szentelni az egyenletek modulokkal történő megoldásának.

Azonnal megmondom: egyszerű lesz a lecke. A modulok általában egy viszonylag egyszerű téma. „Igen, persze, könnyű! Ettől felrobban az agyam!" - mondja sok diák, de ezek az agytörések abból fakadnak, hogy a legtöbb ember fejében nem tudás van, hanem valami baromság. Ennek a leckének az a célja, hogy a szart tudássá változtassuk. :)

Egy kis elmélet

Akkor gyerünk. Kezdjük a legfontosabbal: mi az a modul? Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy szám modulusa egyszerűen ugyanaz a szám, de mínuszjel nélkül vesszük. Ez például a $\left| -5 \jobbra|=5$. Vagy $\left| -129,5\jobbra|=129,5$.

Ilyen egyszerű? Igen, egyszerű. Mi akkor egy pozitív szám modulusa? Itt még egyszerűbb: egy pozitív szám modulusa egyenlő ezzel a számmal: $\left| 5\jobbra|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 $ stb.

\[\left| -a \right|=\left| a\right|\]

Még egy fontos tény: a modulus soha nem negatív. Bármilyen számot veszünk is - akár pozitívat, akár negatívat -, a modulusa mindig pozitívnak (vagy szélsőséges esetben nullának) bizonyul. Ezért szokták a modulust egy szám abszolút értékének nevezni.

Ezen túlmenően, ha kombináljuk a modulus definícióját egy pozitív és negatív számra, akkor megkapjuk a modulus globális definícióját minden számra. Nevezetesen: egy szám modulusa egyenlő ezzel a számmal, ha a szám pozitív (vagy nulla), vagy egyenlő az ellenkező számmal, ha a szám negatív. Ezt felírhatod képletként:

Van egy nulla modul is, de az mindig egyenlő nullával. Ezenkívül a nulla az egyetlen szám, amelynek nincs ellentéte.

Így ha figyelembe vesszük a $y=\left| függvényt x \right|$, és próbálja meg lerajzolni a grafikonját, akkor egy ilyen „daw”-t kap:

Modulusgráf és egyenletmegoldási példa

Erről a képről rögtön látszik, hogy $\left| -m \jobbra|=\left| m \right|$, és a modulábra soha nem esik az x tengely alá. De ez még nem minden: a piros vonal az $y=a$ egyenest jelöli, amely pozitív $a$ esetén egyszerre két gyöket ad: $((x)_(1))$ és $((x) _(2)) $, de erről majd később. :)

A tisztán algebrai definíción kívül létezik egy geometriai is. Tegyük fel, hogy két pont van a számegyenesen: $((x)_(1))$ és $((x)_(2))$. Ebben az esetben a $\left| kifejezés ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ csak a megadott pontok közötti távolság. Vagy ha úgy tetszik, az ezeket a pontokat összekötő szakasz hossza:

A modulus a számegyenes pontjai közötti távolság

Ebből a definícióból az is következik, hogy a modulus mindig nem negatív. De elég a definíciókból és az elméletből – térjünk át a valódi egyenletekre. :)

Alapképlet

Oké, rájöttünk a definícióra. De nem lett könnyebb. Hogyan lehet pontosan ezt a modult tartalmazó egyenleteket megoldani?

Nyugi, csak nyugi. Kezdjük a legegyszerűbb dolgokkal. Gondoljunk valami ilyesmire:

\[\left| x\right|=3\]

Tehát a modulo$x$ 3. Mivel lehet egyenlő $x$? Nos, a definícióból ítélve $x=3$ jól jön nekünk. Igazán:

\[\left| 3\jobbra|=3\]

Vannak más számok is? A sapka arra utal, hogy van. Például $x=-3$ — $\left| -3 \jobbra|=3$, azaz. az előírt egyenlőség teljesül.

Tehát talán ha keresünk, gondolkodunk, több számot találunk? És itt egy kis szünet: több szám nem. $\left| egyenlet Az x \right|=3$-nak csak két gyöke van: $x=3$ és $x=-3$.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Legyen a $x$ változó helyett a $f\left(x \right)$ függvény a modulusjel alatt, jobbra pedig a tripla helyett tegyük tetszőleges szám$a$. Kapjuk az egyenletet:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Nos, hogyan döntesz? Hadd emlékeztesselek: $f\left(x \right)$ egy tetszőleges függvény, az $a$ tetszőleges szám. Azok. egyáltalán! Például:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \jobbra|=-65\]

Nézzük a második egyenletet. Rögtön elmondható róla: nincsenek gyökerei. Miért? Ez így van: mert ehhez megköveteli, hogy a modulus egyenlő legyen egy negatív számmal, ami soha nem történik meg, hiszen már tudjuk, hogy a modulus mindig pozitív szám, vagy szélsőséges esetben nulla.

De az első egyenlettel minden szórakoztatóbb. Két lehetőség van: vagy van egy pozitív kifejezés a modul jele alatt, majd $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, vagy ez a kifejezés továbbra is negatív, ebben az esetben $\left| 2x+1 \jobbra|=-\left(2x+1 \jobbra)=-2x-1$. Az első esetben az egyenletünket a következőképpen írjuk át:

\[\left| 2x+1 \jobbra|=5\Jobbra 2x+1=5\]

És hirtelen kiderül, hogy a $2x+1$ részmodul kifejezés valóban pozitív – egyenlő az 5-ös számmal. biztonságosan megoldhatjuk ezt az egyenletet - a kapott gyök a válasz egy darabja lesz:

Azok, akik különösen hitetlenek, megpróbálhatják behelyettesíteni a talált gyöket az eredeti egyenletbe, és megbizonyosodhatnak arról, hogy valóban pozitív szám lesz a modulus alatt.

Most nézzük meg a negatív részmodul kifejezés esetét:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(igazítás) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Jobbra 2x+1=-5\]

Hoppá! Ismét minden világos: feltételeztük, hogy $2x+1 \lt 0$, és ennek eredményeként azt kaptuk, hogy $2x+1=-5$ - ez a kifejezés valóban kisebb, mint nulla. Megoldjuk a kapott egyenletet, miközben már biztosan tudjuk, hogy a talált gyök megfelel nekünk:

Összesen ismét két választ kaptunk: $x=2$ és $x=3$. Igen, a számítások mennyisége kicsit többnek bizonyult, mint a nagyon egyszerű egyenletben: $\left| x \right|=3$, de alapvetően semmi sem változott. Szóval lehet, hogy van valami univerzális algoritmus?

Igen, létezik ilyen algoritmus. És most elemezzük.

Megszabadulni a modul jelétől

Adjuk meg a $\left| egyenletet f\left(x \right) \right|=a$ és $a\ge 0$ (egyébként, mint már tudjuk, nincsenek gyökök). Ezután a következő szabály szerint megszabadulhat a modulo jeltől:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Így a modulusos egyenletünk ketté válik, de modulus nélkül. Ez az egész technológia! Próbáljunk meg megoldani pár egyenletet. Kezdjük ezzel

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Külön megfontoljuk, hogy mikor van egy tízes plusz a jobb oldalon, és külön, ha mínuszos. Nekünk van:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Két gyökeret kaptunk: $x=1,2$ és $x=-2,8$. Az egész megoldás szó szerint két sort vett igénybe.

Ok, nem kérdés, nézzünk egy kicsit komolyabbat:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Ismét nyissa meg a modult egy plusz és egy mínusz ponttal:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\vége(igazítás)\]

Ismét egy pár sor – és kész a válasz! Mint mondtam, a modulokban nincs semmi bonyolult. Csak emlékeznie kell néhány szabályra. Ezért tovább megyünk, és valóban nehezebb feladatokkal megyünk tovább.

Változó jobb oldali tok

Most nézzük meg ezt az egyenletet:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Ez az egyenlet alapvetően különbözik az összes korábbi egyenlettől. Hogyan? És az, hogy a $2x$ kifejezés az egyenlőségjeltől jobbra van - és nem tudhatjuk előre, hogy pozitív vagy negatív.

Hogyan lehet ilyenkor? Először is egyszer s mindenkorra meg kell értenünk ha az egyenlet jobb oldala negatív, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke- már tudjuk, hogy a modulus nem lehet egyenlő negatív számmal.

Másodszor, ha a jobb oldali rész továbbra is pozitív (vagy egyenlő nullával), akkor pontosan ugyanúgy járhat el, mint korábban: csak nyissa meg a modult külön a pluszjellel és külön a mínuszjellel.

Így megfogalmazunk egy szabályt tetszőleges $f\left(x \right)$ és $g\left(x \right)$ függvényekre:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Az egyenletünkkel kapcsolatban a következőket kapjuk:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nos, valahogy kibírjuk a $2x\ge 0$ követelményt. Végül ostobán helyettesíthetjük az első egyenletből kapott gyököket, és ellenőrizhetjük, hogy az egyenlőtlenség fennáll-e vagy sem.

Tehát oldjuk meg magát az egyenletet:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\vége(igazítás)\]

Nos, a két gyök közül melyik felel meg a $2x\ge 0$ követelménynek? Igen, mindkettő! Ezért a válasz két szám lesz: $x=(4)/(3)\;$ és $x=0$. Ez a megoldás. :)

Gyanítom, hogy az egyik diák már kezdett unatkozni? Nos, vegyünk egy még összetettebb egyenletet:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \jobbra|=x-((x)^(3))\]

Bár gonosznak tűnik, valójában ugyanaz a "modulus egyenlő a függvény" formájú egyenlete:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

És ugyanígy van megoldva:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \jobbra|=x-((x)^(3))\Jobbra \balra\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \jobbra), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Később foglalkozunk az egyenlőtlenséggel - ez valahogy túl gonosz (valójában egyszerű, de nem fogjuk megoldani). Egyelőre vessünk egy pillantást a kapott egyenletekre. Tekintsük az első esetet - ez az, amikor a modul pluszjellel bővül:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nos, itt az a semmi, hogy össze kell gyűjteni mindent a bal oldalon, hozni hasonlókat, és meglátjuk, mi történik. És ez történik:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\vége(igazítás)\]

A $((x)^(2))$ közös tényezőt a zárójelből kivéve egy nagyon egyszerű egyenletet kapunk:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Jobbra \balra[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Itt a szorzat egy fontos tulajdonságát használtuk fel, aminek érdekében az eredeti polinomot faktoráltuk: a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.

Most ugyanígy foglalkozunk a második egyenlettel, amelyet a modul mínuszjellel történő bővítésével kapunk:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \jobbra); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Ismét ugyanaz: a szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Nekünk van:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Nos, három gyökeret kaptunk: $x=0$, $x=1.5$ és $x=(2)/(3)\;$. Nos, mi lesz a végső válasz ebből a készletből? Ehhez ne feledje, hogy van egy további egyenlőtlenségi megszorításunk:

Hogyan kell figyelembe venni ezt a követelményt? Cseréljük be a talált gyököket, és nézzük meg, hogy az egyenlőtlenség érvényes-e ezekre a $x$-okra vagy sem. Nekünk van:

\[\begin(align)& x=0\Jobbra x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\jobbra nyíl x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Jobbra x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\vége(igazítás)\]

Így a $x=1,5$ gyök nem felel meg nekünk. És csak két gyökér fog válaszolni:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Mint látható, még ebben az esetben sem volt semmi nehéz - a modulokkal kapcsolatos egyenleteket mindig az algoritmus szerint oldják meg. Csak jól kell értened a polinomokat és az egyenlőtlenségeket. Ezért áttérünk az összetettebb feladatokra - már nem egy, hanem két modul lesz.

Egyenletek két modullal

Eddig csak a legegyszerűbb egyenleteket tanulmányoztuk - volt egy modul és még valami. Ezt a „valami mást” az egyenlőtlenség másik részébe küldtük, távolabb a modultól, hogy a végén minden olyan egyenletre redukálódjon, mint $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ vagy még egyszerűbb $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

De Óvoda vége – ideje valami komolyabbat fontolóra venni. Kezdjük az ehhez hasonló egyenletekkel:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Ez egy "a modulus egyenlő a modulussal" alakú egyenlet. Alapvetően fontos szempont az egyéb kifejezések és tényezők hiánya: csak egy modul a bal oldalon, egy modul a jobb oldalon - és semmi több.

Az ember most azt gondolná, hogy az ilyen egyenleteket nehezebb megoldani, mint amit eddig tanulmányoztunk. De nem: ezek az egyenletek még könnyebben megoldhatók. Íme a képlet:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Minden! Egyszerűen egyenlőségjelet teszünk az almodul-kifejezések közé úgy, hogy az egyiket plusz vagy mínusz előjellel látjuk el. És akkor megoldjuk a kapott két egyenletet - és készen is vannak a gyökerek! Nincsenek további korlátozások, nincsenek egyenlőtlenségek stb. Minden nagyon egyszerű.

Próbáljuk meg megoldani ezt a problémát:

\[\left| 2x+3 \jobbra|=\left| 2x-7 \jobbra|\]

Elemi Watson! A modulok megnyitása:

\[\left| 2x+3 \jobbra|=\left| 2x-7 \jobbra|\Jobbra 2x+3=\pm \left(2x-7 \jobbra)\]

Tekintsünk minden esetet külön:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Jobbra 2x+3=-2x+7. \\\vége(igazítás)\]

Az első egyenletnek nincs gyöke. Mert mikor van $3=-7$? Milyen $x$ értékekre? „Mi a fasz az a $x$? Megköveztek? Egyáltalán nincs $x$” – mondod. És igazad lesz. Olyan egyenlőséget kaptunk, amely nem függ a $x$ változótól, ugyanakkor maga az egyenlőség helytelen. Ezért nincsenek gyökerek.

A második egyenletnél minden kicsit érdekesebb, de nagyon-nagyon egyszerű is:

Mint látható, minden szó szerint pár sorban dőlt el – nem is vártunk mást egy lineáris egyenlettől. :)

Ennek eredményeként a végső válasz: $x=1$.

Nos, hogyan? Nehéz? Természetesen nem. Próbáljunk meg valami mást:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|\]

Ismét van egy egyenletünk, mint a $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Ezért azonnal átírjuk, felfedve a modul jelét:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Talán most valaki megkérdezi: „Hé, miféle hülyeség? Miért van plusz-mínusz a jobb oldalon, és miért nem a bal oldalon? Nyugi, mindent elmagyarázok. Valóban, jó értelemben át kellett volna írnunk az egyenletünket a következőképpen:

Ezután ki kell nyitni a zárójeleket, az egyenlőségjelből egy irányba mozgatni az összes tagot (mivel az egyenlet nyilvánvalóan mindkét esetben négyzet alakú), majd meg kell keresni a gyököket. De el kell ismerned: ha a „plusz vagy mínusz” három kifejezés előtt van (különösen, ha az egyik kifejezés négyzet alakú kifejezés), ez valahogy bonyolultabbnak tűnik, mint az a helyzet, amikor a „plusz vagy mínusz” csak két kifejezés előtt van.

De semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy az eredeti egyenletet a következőképpen írjuk át:

Mi történt? Igen, semmi különös: csak felcserélték a bal és a jobb oldalt. Egy apróság, ami a végén kicsit leegyszerűsíti az életünket. :)

Általában megoldjuk ezt az egyenletet, figyelembe véve a plusz és mínusz opciókat:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Jobbra ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Jobbra ((x)^(2))-2x+1=0. \\\vége(igazítás)\]

Az első egyenlet gyöke: $x=3$ és $x=1$. A második általában egy pontos négyzet:

\[((x)^(2))-2x+1=((\bal(x-1 \jobb))^(2))\]

Ezért egyetlen gyöke van: $x=1$. De ezt a gyökeret már korábban megkaptuk. Így csak két szám kerül be a végső válaszba:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Küldetés teljesítve! Leveheted a polcról és megeheted egy pitét. 2 van belőle, az átlagod. :)

Fontos jegyzet. Azonos gyökök jelenléte a modul bővítésének különböző változatainál azt jelenti, hogy az eredeti polinomok faktorokra bomlanak, és ezek között a tényezők között szükségszerűen lesz egy közös. Igazán:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|; \\&\left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\vége(igazítás)\]

A modul egyik tulajdonsága: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (azaz a szorzat modulusa egyenlő a modulus szorzatával), így az eredeti egyenlet átírható

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|\]

Amint látja, valóban van egy közös tényezőnk. Most, ha az összes modult összegyűjti az egyik oldalon, akkor ezt a szorzót kiveheti a zárójelből:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|; \\&\left| x-1 \jobbra|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|=0; \\&\left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Nos, most emlékeztetünk arra, hogy a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \jobbra|=1. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Így az eredeti, két modulból álló egyenletet a két legegyszerűbb egyenletre redukáltuk, amelyekről a lecke legelején beszéltünk. Az ilyen egyenletek néhány sorban megoldhatók. :)

Ez a megjegyzés szükségtelenül bonyolultnak és a gyakorlatban alkalmazhatatlannak tűnhet. A valóságban azonban sokkal összetettebb feladatokkal találkozhat, mint amelyeket ma elemezünk. Bennük a modulok kombinálhatók polinomokkal, aritmetikai gyökökkel, logaritmusokkal stb. És ilyen helyzetekben nagyon-nagyon hasznos lehet az egyenlet általános mértékének csökkentése oly módon, hogy valamit kiveszünk a zárójelből. :)

Most egy másik egyenletet szeretnék elemezni, ami első pillantásra őrültségnek tűnhet. Sok diák „ragaszkodik” hozzá – még azok is, akik úgy vélik, hogy jól értik a modulokat.

Ez az egyenlet azonban még könnyebben megoldható, mint amit korábban gondoltunk. És ha megérti, miért, akkor kap egy újabb trükköt az egyenletek modulokkal történő gyors megoldásához.

Tehát az egyenlet:

\[\left| x-((x)^(3)) \jobbra|+\left| ((x)^(2))+x-2 \jobbra|=0\]

Nem, ez nem elírás: ez egy plusz a modulok között. És meg kell találnunk, hogy melyik $x$-ra egyenlő két modul összege nullával. :)

Mi a probléma? És a probléma az, hogy minden modul egy pozitív szám, vagy szélsőséges esetben nulla. Mi történik, ha összeadunk két pozitív számot? Nyilvánvalóan ismét egy pozitív szám:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Az utolsó sor ötletet adhat: az egyetlen eset, amikor a modulusok összege nulla, az az, ha minden modul egyenlő nullával:

Mikor egyenlő a modulus nullával? Csak egy esetben - ha az almodul kifejezés egyenlő nullával:

\[((x)^(2))+x-2=0\jobbra \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\jobbra \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Így van három pontunk, ahol az első modulus nullára van állítva: 0, 1 és -1; valamint két pont, ahol a második modul nullázódik: −2 és 1. Azonban mindkét modult egyszerre kell nulláznunk, ezért a talált számok közül ki kell választanunk azokat, amelyek mindkét halmazban szerepelnek. Nyilvánvalóan csak egy ilyen szám van: $x=1$ - ez lesz a végső válasz.

felosztási módszer

Nos, már egy csomó feladattal foglalkoztunk, és rengeteg trükköt tanultunk. Szerinted ennyi? De nem! Most megvizsgáljuk a végső technikát - és egyben a legfontosabbat. Szó lesz az egyenletek modulusos felosztásáról. Miről lesz szó? Menjünk vissza egy kicsit, és nézzünk meg néhány egyszerű egyenletet. Például ez:

\[\left| 3x-5\jobbra|=5-3x\]

Elvileg már tudjuk, hogyan kell megoldani egy ilyen egyenletet, mert ez egy szabványos $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. De próbáljuk meg kicsit más szemszögből nézni ezt az egyenletet. Pontosabban tekintsük a modul jele alatti kifejezést. Hadd emlékeztesselek arra, hogy bármely szám modulusa lehet egyenlő magával a számmal, vagy ellentétes is lehet ezzel:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Valójában ez a kétértelműség az egész probléma: mivel a modulus alatti szám változik (változótól függ), nem világos számunkra, hogy pozitív vagy negatív.

De mi van akkor, ha először azt kívánjuk, hogy ez a szám pozitív legyen? Például követeljük meg, hogy $3x-5 \gt 0$ - ebben az esetben garantáltan pozitív számot kapunk a modulusjel alatt, és ettől a modulustól teljesen megszabadulhatunk:

Így az egyenletünk lineárissá válik, ami könnyen megoldható:

Igaz, mindezeknek a megfontolásoknak csak a $3x-5 \gt 0$ feltétel mellett van értelme - mi magunk vezettük be ezt a követelményt, hogy egyértelműen felfedjük a modult. Helyettesítsük be a talált $x=\frac(5)(3)$-t ebbe a feltételbe, és ellenőrizzük:

Kiderül, hogy a megadott $x$ értéknél a követelményünk nem teljesül, mert kifejezés egyenlőnek bizonyult nullával, és szigorúan nagyobbnak kell lennie nullánál. Szomorú. :(

De nem baj! Hiszen van még egy lehetőség $3x-5 \lt 0$. Sőt: van még $3x-5=0$ eset is - ezt is figyelembe kell venni, különben hiányos lesz a megoldás. Tehát vegyük figyelembe a $3x-5 \lt 0$ esetet:

Nyilvánvaló, hogy a modul mínuszjellel fog megnyílni. Ekkor azonban furcsa helyzet adódik: ugyanaz a kifejezés fog kilógni az eredeti egyenlet bal és jobb oldalán is:

Vajon mire lesz egyenlő az ilyen $x$ a $5-3x$ kifejezés a $5-3x$ kifejezéssel? Az ilyen egyenletektől nyilván még a kapitány is megfulladna a nyáltól, de tudjuk, hogy ez az egyenlet egy azonosság, i.e. a változó bármely értékére igaz!

Ez pedig azt jelenti, hogy bármelyik $x$ megfelel nekünk. Van azonban egy korlátozásunk:

Más szóval, a válasz nem egyetlen szám lesz, hanem egy teljes intervallum:

Végül még egy esetet kell figyelembe venni: $3x-5=0$. Itt minden egyszerű: a modulus alatt nulla lesz, és a nulla modulusa is egyenlő nullával (ez közvetlenül következik a definícióból):

De akkor az eredeti egyenlet $\left| A 3x-5 \right|=5-3x$ így lesz átírva:

Ezt a gyökeret már megkaptuk fent, amikor a $3x-5 \gt 0$ esetet vettük figyelembe. Sőt, ez a gyök a $3x-5=0$ egyenlet megoldása - ez az a megszorítás, amit mi magunk vezettünk be a modulus nullázására. :)

Így az intervallumon kívül az intervallum legvégén fekvő számmal is elégedettek leszünk:

Gyökerek kombinálása az egyenletekben a modulussal

Végső válasz összesen: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nem túl gyakran látni ekkora baromságot egy meglehetősen egyszerű (lényegében lineáris) modulusos egyenletre adott válaszban Nos, szokja meg: a modul összetettsége abban rejlik, hogy az ilyen egyenletekben a válaszok teljesen megjósolhatatlanok lehetnek.

Sokkal fontosabb valami más: most bontottunk le egy univerzális algoritmust egy modulusos egyenlet megoldására! És ez az algoritmus a következő lépésekből áll:

Egyenlítse az egyenletben szereplő minden modult nullával. Nézzünk néhány egyenletet;
Oldja meg ezeket az egyenleteket, és jelölje meg a gyököket a számegyenesen. Ennek eredményeként az egyenes több intervallumra lesz felosztva, amelyek mindegyikén egyedileg bővül az összes modul;
Oldja meg az egyes intervallumok eredeti egyenletét, és kombinálja a válaszokat!

Ez minden! Már csak egy kérdés marad: mi a teendő magával az első lépésben kapott gyökerekkel? Tegyük fel, hogy két gyökünk van: $x=1$ és $x=5$. Három részre osztják a számsort:

Számegyenes felosztása intervallumokra pontok segítségével

Tehát mik az intervallumok? Nyilvánvaló, hogy három van belőlük:

Bal szélső: $x \lt 1$ - maga az egység nincs benne az intervallumban;
Központi: $1\le x \lt 5$ - itt egy benne van az intervallumban, de öt nincs benne;
A jobb szélső: $x\ge 5$ – az öt csak itt szerepel!

Szerintem már érted a mintát. Minden intervallum tartalmazza a bal végét, és nem tartalmazza a jobb végét.

Első pillantásra egy ilyen lemez kényelmetlennek, logikátlannak és általában valami őrültnek tűnhet. De higgyétek el: egy kis gyakorlás után rá fog jönni, hogy ez a legmegbízhatóbb megközelítés, ugyanakkor nem zavarja a modulok egyértelműen feltárását. Jobb egy ilyen sémát használni, mint minden alkalommal gondolkodni: adja meg a bal / jobb végét az aktuális intervallumnak, vagy „dobja” a következőre.

Itt ér véget a lecke. Tölts le feladatokat önmegoldáshoz, gyakorláshoz, hasonlítsd össze a válaszokkal - és találkozunk a következő leckében, amely a modulokkal való egyenlőtlenségeknek lesz szentelve. :)

Ebben a cikkben részletesen elemezzük egy szám abszolút értéke. Különféle definíciókat adunk egy szám modulusára, bemutatjuk a jelöléseket és grafikus illusztrációkat adunk. Ennek során vegye figyelembe különféle példák egy szám modulusának meghatározása definíció szerint. Ezt követően felsoroljuk és indokoljuk a modul főbb tulajdonságait. A cikk végén szó lesz a modul meghatározásáról és elhelyezkedéséről. összetett szám.

Oldalnavigáció.

Számmodulus - definíció, jelölés és példák

Először bemutatjuk modulus kijelölés. Az a szám modulja így lesz írva, azaz a számtól balra és jobbra függőleges vonalakat teszünk, amelyek a modul jelét képezik. Mondjunk egy-két példát. Például a modulo -7 felírható így: ; a 4,125-ös modult , a modult pedig úgy írják, mint .

A modul következő definíciója vonatkozik -ra, tehát -ra és egész számokra, és racionálisakra, és irracionális számok, ami a készlet alkotórészeit illeti valós számok. Egy komplex szám modulusáról beszélünk in.

Meghatározás.

Modulusa a vagy maga az a szám, ha a pozitív szám, vagy a −a szám, az a szám ellentéte, ha a negatív szám, vagy 0, ha a=0 .

Egy szám modulusának hangos definícióját gyakran a következő formában írják le , ez a jelölés azt jelenti, hogy ha a>0 , ha a=0 , és ha a<0 .

A rekord tömörebb formában is ábrázolható . Ez a jelölés azt jelenti, hogy ha (a nagyobb vagy egyenlő, mint 0 ), és ha a<0 .

Rekord is van . Itt külön meg kell magyarázni azt az esetet, amikor a=0. Ebben az esetben van , de −0=0 , mivel a nullát önmagával ellentétes számnak tekintjük.

hozzuk példák egy szám modulusának megtalálására adott meghatározással. Például keressük meg a 15-ös és a számok moduljait. Kezdjük a megtalálással. Mivel a 15-ös szám pozitív, modulusa értelemszerűen megegyezik ezzel a számmal, azaz . Mi egy szám modulusa? Mivel egy negatív szám, akkor a modulusa egyenlő a számmal ellentétes számmal, vagyis a számmal . Ily módon,.

A bekezdés zárásaként egy következtetést adunk, amelyet nagyon kényelmes a gyakorlatban alkalmazni egy szám modulusának megtalálásakor. Egy szám modulusának meghatározásából az következik egy szám modulusa egyenlő a modulus előjele alatti számmal, függetlenül annak előjelétől, és a fent tárgyalt példákból ez nagyon jól látható. A hangos állítás megmagyarázza, miért hívják egy szám modulusát is a szám abszolút értéke. Tehát egy szám modulusa és egy szám abszolút értéke egy és ugyanaz.

Egy szám modulusa mint távolság

Geometriailag egy szám modulusa úgy értelmezhető távolság. hozzuk egy szám modulusának meghatározása távolságban.

Meghatározás.

Modulusa a a távolság a koordinátaegyenes origójától az a számnak megfelelő pontig.

Ez a meghatározás összhangban van egy szám modulusának az első bekezdésben megadott meghatározásával. Magyarázzuk meg ezt a pontot. Az origó és a pozitív számnak megfelelő pont közötti távolság egyenlő ezzel a számmal. A nulla az origónak felel meg, tehát az origó és a 0 koordinátájú pont távolsága nulla (nem kell egyetlen szegmenset sem elhalasztani, hogy az O pontból a pontba jussunk 0 koordinátával). Az origótól a negatív koordinátájú pontig mért távolság egyenlő az adott pont koordinátájával ellentétes számmal, mivel egyenlő az origó és annak a pontnak a távolságával, amelynek koordinátája ellentétes szám.

Például a 9-es szám modulusa 9, mivel az origó és a 9-es koordinátájú pont távolsága kilenc. Vegyünk egy másik példát. A −3,25 koordinátájú pont 3,25 távolságra van az O ponttól, tehát .

A szám modulusának hangos definíciója két szám különbségének modulusának egy speciális esete.

Meghatározás.

Két szám különbségi modulusa a és b egyenlő az a és b koordinátájú koordinátaegyenes pontjai közötti távolsággal.

Azaz, ha az A(a) és B(b) koordinátaegyenes pontjai adottak, akkor az A ponttól a B pontig tartó távolság egyenlő az a és b számok különbségének modulusával. Ha az O pontot (referenciapontot) vesszük B pontnak, akkor megkapjuk a bekezdés elején megadott szám modulusának definícióját.

Egy szám modulusának meghatározása a számtani négyzetgyökön keresztül

Néha találtak a modulus meghatározása a számtani négyzetgyökön keresztül.

Például számítsuk ki a −30 számok moduljait és ennek alapján. Nekünk van . Hasonlóképpen kiszámítjuk a kétharmad modulusát: .

Egy szám modulusának az aritmetikai négyzetgyökben kifejezett meghatározása is összhangban van a jelen cikk első bekezdésében megadott meghatározással. Mutassuk meg. Legyen a pozitív szám, és −a negatív. Azután És , ha a=0 , akkor .

Modul tulajdonságai

A modulnak számos jellemző eredménye van - modul tulajdonságait. Most bemutatjuk a fő és leggyakrabban használtakat. Ezen tulajdonságok alátámasztásakor egy szám távolsági modulusának meghatározására fogunk támaszkodni.

Kezdjük a legnyilvánvalóbb modul tulajdonsággal − egy szám modulusa nem lehet negatív szám. Szó szerinti formában ennek a tulajdonságnak bármely a szám alakja van. Ez a tulajdonság nagyon könnyen igazolható: egy szám modulusa a távolság, a távolság pedig nem fejezhető ki negatív számként.

Térjünk át a modul következő tulajdonságára. Egy szám modulusa akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ez a szám nulla. A nulla modulus definíció szerint nulla. A nulla az origónak felel meg, a koordinátaegyenes egyetlen más pontja sem felel meg nullának, mivel minden valós szám egyetlen ponthoz van társítva a koordinátaegyenesen. Ugyanezen okból kifolyólag a nullától eltérő bármely szám az origótól eltérő pontnak felel meg. És az origótól az O ponttól eltérő pontig mért távolság nem egyenlő nullával, mivel két pont távolsága akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ezek a pontok egybeesnek. A fenti érvelés bizonyítja, hogy csak a nulla modulusa egyenlő nullával.

Lépj tovább. Az ellentétes számoknak egyenlő moduljai vannak, azaz bármely a számhoz. Valójában a koordinátaegyenes két pontja, amelyek koordinátái ellentétes számok, azonos távolságra vannak az origótól, ami azt jelenti, hogy az ellentétes számú modulok egyenlőek.

A következő modul tulajdonság: két szám szorzatának modulusa egyenlő e számok moduljainak szorzatával, azaz . Definíció szerint az a és b számok szorzatának modulusa vagy a b, ha , vagy −(a b), ha . A valós számok szorzásának szabályaiból következik, hogy az a és b számok modulusainak szorzata vagy a b , , vagy −(a b) , ha , ami a figyelembe vett tulajdonságot bizonyítja.

Az a modulusa b-vel egyenlő az a modulusa b modulusával való osztásának hányadosával, azaz . Igazoljuk a modul ezen tulajdonságát. Mivel a hányados egyenlő a szorzattal, akkor . Az előző tulajdonság alapján megvan . Már csak az egyenlőség használata marad, amely a szám modulusának meghatározása miatt érvényes.

A következő modultulajdonság egyenlőtlenségként van felírva: , a , b és c tetszőleges valós számok. Az írott egyenlőtlenség nem más, mint háromszög egyenlőtlenség. Ennek tisztázása érdekében vegyük a koordinátaegyenes A(a) , B(b) , C(c) pontjait, és tekintsük az ABC degenerált háromszöget, amelynek csúcsai ugyanazon az egyenesen vannak. Definíció szerint a különbség modulusa megegyezik az AB szakasz hosszával, - az AC szakasz hosszával és - a CB szakasz hosszával. Mivel a háromszög egyik oldalának hossza nem haladja meg a másik két oldal hosszának összegét, az egyenlőtlenség , ezért az egyenlőtlenség is fennáll.

Az imént bizonyított egyenlőtlenség sokkal gyakoribb a formában . Az írott egyenlőtlenséget általában a modul külön tulajdonságának tekintik a következő megfogalmazással: „ Két szám összegének modulusa nem haladja meg e számok modulusainak összegét". De az egyenlőtlenség közvetlenül következik az egyenlőtlenségből, ha b helyett −b-t teszünk bele, és c=0-t veszünk.

Komplex számmodulus

Adjunk komplex szám modulusának meghatározása. Legyen nekünk adott összetett szám, algebrai formában írva, ahol x és y néhány valós szám, amelyek egy adott z komplex szám valós és képzetes részét jelentik, és egy képzeletbeli egység.