Egyenlő nullával:

.

Egy ortogonális rendszer, ha teljes, a tér alapjául szolgálhat. Ebben az esetben bármely elem dekompozíciója kiszámítható a következő képletekkel: , ahol .

Az az eset, amikor az összes elem normáját ortonormális rendszernek nevezzük.

Ortogonalizáció

Minden teljes lineárisan független rendszer egy véges dimenziós térben alap. Az egyszerű alapról tehát át lehet térni az ortonormális alapra.

Ortogonális dekompozíció

Egy vektortér vektorainak ortonormális alapon történő felbontásakor a skalárszorzat számítása leegyszerűsödik: , ahol és .

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi az "Ortogonális rendszer" más szótárakban:

1) Ó... Matematikai Enciklopédia

- (görög ortogoniosz téglalap) egy (elválasztható) L2(a,b) Hilbert-térhez tartozó véges vagy megszámlálható függvényrendszer (négyzetesen integrálható függvények) és teljesíti a feltételeket A g(x) függvény meghívása. súlyú O. s. f., * jelentése ...... Fizikai Enciklopédia

Az ORTOGONÁLIS TRANSFORMÁCIÓS szakaszon definiált függvényrendszer??n(x)?, n=1, 2,... lineáris transzformáció euklideszi vektor tér, amely megőrzi vektorok hosszát vagy (ami ezzel egyenértékű) skaláris szorzatát ... Nagy enciklopédikus szótár

Függvényrendszer (φn(x)), n = 1, 2, ..., amely az [a, b] szakaszon van definiálva, és teljesíti a következő ortogonalitási feltételt: k≠l esetén, ahol ρ(x) valamilyen függvény súlynak nevezik. Például trigonometrikus rendszer 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... enciklopédikus szótár

Függvényrendszer ((fn(x)), n=1, 2, ..., amely az [a, b] szakaszon van definiálva, és kielégíti a k ​​nyomkövetési, ortogonalitási feltételét, amely nem egyenlő l-lel, ahol p(x) egy nem határfüggvény , amelyet súlynak neveznek. Például: trigonometrikus rendszer 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. súllyal ... ... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Függvényrendszer ((φn (x)), n = 1, 2,..., merőleges ρ (x) súllyal az [a, b] szakaszon, azaz olyan, hogy Példák. Trigonometrikus rendszer 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF 1 súllyal a [ π, π] intervallumon. Bessel … Nagy szovjet enciklopédia

Az ortogonális olyan koordináták, amelyekben a metrikus tenzor átlós alakú. ahol d A q = (q1, q², …, qd) ortogonális koordinátarendszerekben a koordinátafelületek merőlegesek egymásra. Különösen ben Descartes-rendszer koordináták ... ... Wikipédia

ortogonális többcsatornás rendszer- - [L.G. Sumenko. Angol orosz információs technológiai szótár. M .: GP TsNIIS, 2003.] Témák információtechnológia általában EN ortogonális multiplex ...

(fotogrammetriai) képkoordináta-rendszer- Jobb oldali merőleges térrendszer fotogrammetriai képen a kiindulási jelek képeivel rögzített koordináták. [GOST R 51833 2001] A fotogrammetria témakörei ... Műszaki fordítói kézikönyv

rendszer- 4.48 kölcsönható elemek rendszerkombinációja egy vagy több kitűzött cél elérése érdekében 1. megjegyzés a bejegyzéshez: A rendszer tekinthető terméknek vagy az általa nyújtott szolgáltatásoknak. 2. megjegyzés A gyakorlatban…… A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája

Meghatározás. Vektoroka Ésb egymásra merőlegesnek (merőlegesnek) nevezzük, ha azok skaláris szorzat egyenlő nullával, azaz.a × b = 0.

Nem nulla vektorokhoz a És b a nulla skaláris szorzat azt jelenti, hogy cos j= 0, azaz . A nulla vektor ortogonális bármely vektorra, mert a × 0 = 0.

A feladat. Legyen és ortogonális vektorok. Ekkor természetes, hogy egy olyan téglalap átlóját tekintjük, amelynek oldalai és . Bizonyítsd

azok. egy téglalap átlójának hosszának négyzete egyenlő a két nem párhuzamos oldala hosszának négyzetösszegével(Pitagorasz tétel).

Meghatározás. Vektoros rendszera 1 ,…, a m-t ortogonálisnak nevezzük, ha ennek a rendszernek bármely két vektora merőleges.

Így egy ortogonális vektorrendszerhez a 1 ,…,a m az egyenlőség igaz: a én × a j= 0 at én¹ j, én= 1,…, m; j= 1,…,m.

Tétel 1.5. A nem nulla vektorokból álló ortogonális rendszer lineárisan független. .

□ Bizonyítsuk be ellentmondással. Tegyük fel, hogy nem nulla vektorok ortogonális rendszere a 1 , …, a m lineárisan függő. Azután

l 1 a 1 + …+l ma m= 0 , ahol . (1,15)

Legyen például l 1 ¹ 0. Szorozzuk meg a 1 az egyenlőség mindkét oldala (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+l m a m × a 1 = 0.

Az első kivételével minden tag nullával egyenlő a rendszer ortogonalitása miatt a 1 , …, a m. Akkor l 1 a 1× a 1 =0, innen következik a 1 = 0 , ami ellentmond a feltételnek. Feltevésünk tévesnek bizonyult. Ezért a nullától eltérő vektorok ortogonális rendszere lineárisan független. ■

A következő tétel érvényes.

Tétel 1.6. Az R n térben mindig létezik egy bázis, amely abból áll ortogonális vektorok(ortogonális alap)
(nincs bizonyíték).

Az ortogonális bázisok elsősorban azért kényelmesek, mert egy tetszőleges vektor kiterjesztési együtthatói ilyen bázisokban könnyen meghatározhatók.

Legyen szükséges egy tetszőleges vektor dekompozíciójának megtalálása b ortogonális alapon e 1 ,…,e n. Állítsuk össze ennek a vektornak a kiterjesztését az eddig ismeretlen kiterjesztési együtthatókkal ezen az alapon:

Szorozzuk meg ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát skalárisan a vektorral e egy . A vektorok skaláris szorzatának 2° és 3° axiómái alapján azt kapjuk, hogy

Mivel a bázisvektorok e 1 ,…,e n kölcsönösen ortogonálisak, akkor a bázisvektorok összes skaláris szorzata az első kivételével nullával egyenlő, azaz. az együtthatót a képlet határozza meg

Az (1.16) viszontegyenlőséget más bázisvektorokkal megszorozva egyszerű képleteket kapunk a vektor kiterjesztési együtthatóinak kiszámításához b :

Az (1.17) képleteknek azért van értelme, mert .

Meghatározás. Vektora normalizáltnak (vagy mértékegységnek) nevezzük, ha hossza egyenlő 1, azaz (a , a )= 1.

Bármely nem nulla vektor normalizálható. Legyen a ¹ 0 . Ekkor , és a vektor egy normalizált vektor.

Meghatározás. Vektoros rendszer e 1 ,…,e n-t ortonormálisnak nevezzük, ha ortogonális és a rendszer minden vektorának hossza 1, azaz

Mivel az R n térnek mindig van ortogonális bázisa, és ennek a bázisnak a vektorai normalizálhatók, ezért R n-nek mindig van ortonormális bázisa.

Az R n tér ortonormális bázisára példa a vektorok rendszere e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) az (1.9) egyenlőséggel meghatározott skalárszorzattal. Ortonormális alapon e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) képletek (1.17) a vektor dekompozíciójának koordinátáinak meghatározásához b a legegyszerűbb formája van:

Legyen a És b két tetszőleges vektor az R n térben ortonormális bázissal e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Jelölje a vektorok koordinátáit! a És b alapon e 1 ,…,e n illetőleg keresztül a 1 ,…,a nÉs b 1 ,…, b nés keresse meg ezen vektorok skaláris szorzatának kifejezését a koordinátáik alapján ezt az alapot, azaz Tegyünk úgy, mintha

Az utolsó egyenlőségből a skaláris szorzat axiómái és az (1.18) összefüggések alapján azt kapjuk, hogy

Végre megvan

Ily módon ortonormális alapon bármely két vektor skaláris szorzata egyenlő ezen vektorok megfelelő koordinátáinak szorzatának összegével.

Tekintsünk most egy teljesen tetszőleges (általában nem ortonormális) bázist az R n n-dimenziós euklideszi térben, és keressük meg két tetszőleges vektor skaláris szorzatának kifejezését. a És b ezeknek a vektoroknak a koordinátáin keresztül a megadott alapon. f 1 ,…,f n Az R euklideszi térben bármely két vektor skaláris szorzata egyenlő volt ezen vektorok megfelelő koordinátáinak szorzatának összegével, szükséges és elegendő, hogy az alap f 1 ,…,f n ortonormális volt.

Valójában az (1,20) kifejezés akkor és csak akkor lesz (1,19) akkor, ha az alap ortonormalitását megalapozó összefüggések teljesülnek. f 1 ,…,f n.

Ha bármelyik két, egymásra merőleges, egységnyi hosszúságú vektort választunk a síkon (7. ábra), akkor egy tetszőleges vektor ugyanabban a síkban e két vektor irányába kibontható, azaz alakban ábrázolható.

ahol a számok egyenlők a vektor vetületeivel a tengelyek irányaira Mivel a tengelyre vetítés egyenlő a tengellyel bezárt szög hosszának és koszinuszának szorzatával, ezért a skaláris szorzat definícióját felidézve , tudunk írni

Hasonlóképpen, ha be háromdimenziós tér válasszunk tetszőleges három egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektort, akkor ebben a térben egy tetszőleges vektor ábrázolható

Egy Hilbert-térben figyelembe lehet venni ennek a térnek a páronkénti ortogonális vektorainak rendszereit is, azaz függvényeket.

Az ilyen függvényrendszereket ortogonális függvényrendszereknek nevezzük, és fontos szerepet játszanak az elemzésben. A matematikai fizika különféle problémáiban, integrálegyenletekben, közelítő számításokban, egy valós változó függvényelméletében stb. találkozhatunk velük. készíteni általános fogalom Hilbert tér.

Adjunk pontos meghatározások. Funkciórendszer

ortogonálisnak nevezzük, ha ennek a rendszernek bármely két függvénye ortogonális egymásra, azaz ha

A háromdimenziós térben megköveteltük, hogy a rendszer vektorainak hossza eggyel legyen. Felidézve a vektor hosszának definícióját, azt látjuk, hogy Hilbert-tér esetén ez a követelmény a következőképpen van felírva:

A (13) és (14) követelményeket kielégítő függvényrendszert ortogonálisnak és normalizáltnak nevezzük.

Mondjunk példákat ilyen függvényrendszerekre.

1. Az intervallumon vegyük figyelembe a függvények sorrendjét

Ebből a sorozatból minden két függvény ortogonális egymásra. Ezt a megfelelő integrálok egyszerű kiszámításával ellenőrizzük. Egy vektor hosszának négyzete a Hilbert-térben a függvény négyzetének integrálja. Így a sorozatvektorok hosszának négyzetei

az integrálok lényege

azaz vektorsorozatunk ortogonális, de nem normalizált. A sorozat első vektorának hossza és minden

a többinek hossza van. Az egyes vektorokat a hosszukkal elosztva ortogonális és normalizált rendszert kapunk trigonometrikus függvények

Ez a rendszer történetileg az egyik első és legfontosabb példája az ortogonális rendszereknek. Euler, D. Bernoulli, D'Alembert munkáiban merült fel a húrrezgések problémájával kapcsolatban. Ennek tanulmányozása alapvető szerepet játszott az elemzés egészének kialakításában.

Egy ortogonális trigonometrikus függvényrendszer megjelenése a húrrezgések problémája kapcsán nem véletlen. A közeg kis oszcillációinak minden egyes problémája egy bizonyos ortogonális függvényrendszerhez vezet, amely leírja az adott rendszer úgynevezett természetes rezgéseit (lásd 4. §). Például egy gömb rezgésének problémájával kapcsolatban megjelennek az úgynevezett gömbfüggvények, egy körmembrán vagy henger rezgésének problémájával kapcsolatban az úgynevezett hengeres függvények stb.

2. Adhatunk példát egy ortogonális függvényrendszerre, amelynek minden függvénye polinom. Ilyen például a Legendre-polinomok sorozata

azaz van (konstans tényezőig) a sorrendi deriváltja. Felírjuk ennek a sorozatnak az első néhány polinomját:

Nyilvánvaló, hogy általában létezik fokszámú polinom. Az olvasóra bízzuk annak ellenőrzését, hogy ezek a polinomok ortogonális sorozatok-e az intervallumon.

Az ortogonális polinomok általános elméletét (az úgynevezett ortogonális súllyal rendelkező polinomokat) a figyelemre méltó orosz matematikus, P. L. Csebisev dolgozta ki a 19. század második felében.

Bővítés ortogonális függvényrendszerekben. Csakúgy, mint a háromdimenziós térben, minden vektor ábrázolható

mint lineáris kombináció három páronkénti egységnyi hosszúságú ortogonális vektor

a függvénytérben felmerül a probléma egy tetszőleges függvény sorozattá bővítése ortogonális és normalizált függvényrendszer szempontjából, azaz egy függvény alakban való ábrázolása.

Ebben az esetben a (15) sorozatok függvényhez való konvergenciája a Hilbert-tér elemei közötti távolság értelmében értendő. Ez azt jelenti, hogy a sorozat részösszegének a függvénytől való négyzetközép-eltérése nullára hajlik, azaz.

Ezt a konvergenciát általában "átlagos konvergenciának" nevezik.

Az analízis során gyakran találkozunk az ortogonális függvények különféle rendszereinek kiterjesztésével, és fontos módszert jelentenek a matematikai fizika problémáinak megoldásában. Tehát például, ha egy ortogonális rendszer az intervallumon lévő trigonometrikus függvények rendszere

akkor az ilyen bővítés egy függvény klasszikus trigonometrikus sorozattá történő kiterjesztése

Tegyük fel, hogy a (15) bővítés lehetséges bármely függvényre a Hilbert-térből, és keressük meg ennek a bővítésnek az együtthatóit. Ehhez az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan megszorozzuk rendszerünk azonos függvényével. Egyenlőséget kapunk

amelyből annak köszönhetően, hogy at az együttható értéke határozza meg

Látjuk, hogy a közönséges háromdimenziós térhez hasonlóan (lásd ennek a bekezdésnek az elejét), az együtthatók megegyeznek a vektor vetületeivel a vektorok irányaira.

Felidézve a skaláris szorzat definícióját, azt kapjuk, hogy egy függvény bővítési együtthatói az ortogonális és normalizált függvényrendszerben

képletek határozzák meg

Példaként tekintsük a fent megadott ortogonális normalizált trigonometrikus függvényrendszert:

Kaptunk egy képletet egy függvény trigonometrikus sorozatba való kiterjesztésének együtthatóinak kiszámítására, természetesen feltételezve, hogy ez a bővítés lehetséges.

Megállapítottuk egy függvény tágulási együtthatóinak (18) formáját egy ortogonális függvényrendszerben, feltéve, hogy ilyen kiterjesztésre kerül sor. Előfordulhat azonban, hogy egy végtelen ortogonális függvényrendszer nem elegendő ahhoz, hogy bármely függvényt a Hilbert-térből kiterjesszünk. Ahhoz, hogy egy ilyen dekompozíció lehetséges legyen, az ortogonális függvényrendszernek ki kell elégítenie egy további feltételt, az úgynevezett teljességi feltételt.

Egy ortogonális függvényrendszert akkor nevezünk teljesnek, ha nem lehet hozzá egyetlen olyan függvényt hozzáadni, amely nem azonosan nulla és nem merőleges a rendszer összes függvényére.

Könnyű példát hozni egy nem teljes ortogonális rendszerre. Ehhez vegyünk valamilyen ortogonális rendszert, például ugyanazt

trigonometrikus függvényrendszert, és kizárja ennek a rendszernek az egyik funkcióját, például a Fennmaradó végtelen függvényrendszert

továbbra is ortogonális lesz, természetesen nem lesz teljes, mivel az általunk kizárt : függvény ortogonális a rendszer összes függvényére.

Ha a függvényrendszer nem teljes, akkor nem minden függvény bővíthető a Hilbert-térből ennek szempontjából. Valóban, ha egy ilyen rendszerben a rendszer összes függvényére merőleges nulla függvényt próbálunk kiterjeszteni, akkor a (18) képletek alapján minden együttható nulla lesz, míg a függvény nem nulla.

A következő tétel érvényes: ha egy teljes ortogonális és normalizált függvényrendszer adott egy Hilbert-térben, akkor ennek a rendszernek a függvényei alapján bármely függvény sorozattá bővíthető.

Ebben az esetben a tágulási együtthatók megegyeznek a vektorok vetületeivel az ortogonális normalizált rendszer elemeire.

A 2. §-ban található Pitagorasz-tétel a Hilbert-térben lehetővé teszi, hogy érdekes összefüggést találjunk az együtthatók és a függvény között.Jelöljük sorozata első tagjainak különbségével és összegével, ti.

A vektorok olyan részhalmaza $\backslash left\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash right\backslash )\backslash Subset\; H$ hogy ezek közül bármelyik különálló kettő merőleges, azaz pontszorzatuk nulla:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Egy ortogonális rendszer, ha teljes, a tér alapjául szolgálhat. Ebben az esetben bármely elem lebontása $\backslash vec\; a$ képletekkel lehet kiszámítani: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, ahol $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Az az eset, amikor az összes elem norma $||\backslash varphi\_i||=1$, ortonormális rendszernek nevezzük.

Ortogonalizáció

Minden teljes lineárisan független rendszer egy véges dimenziós térben alap. Az egyszerű alapról tehát át lehet térni az ortonormális alapra.

Ortogonális dekompozíció

Ha egy vektortér vektorait ortonormális bázison bontjuk fel, a skaláris szorzat kiszámítása leegyszerűsödik: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, ahol $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$És $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

Lásd még

Írjon véleményt az "Ortogonális rendszer" cikkről

Az ortogonális rendszert jellemző részlet

- Nos, mit akarsz? Manapság mindannyian szerelmesek vagytok. Nos, szerelmes, úgyhogy vedd feleségül! - mondta a grófné dühösen nevetve. - Istennel!
„Nem, anya, nem vagyok szerelmes belé, nem szabad szerelmesnek lennem belé.
„Nos, csak mondd el neki.
- Anya, mérges vagy? Ne haragudj, kedvesem, mit hibáztassak?
„Nem, mi az, barátom? Ha akarod, megyek és elmondom neki – mondta mosolyogva a grófné.
- Nem, én magam, csak tanítok. Neked minden egyszerű – tette hozzá mosolyogva. – És ha látnád, hogyan mondta ezt nekem! Végül is tudom, hogy nem ezt akarta mondani, de véletlenül kimondta.
- Nos, akkor is vissza kell utasítanod.
- Nem, nem kell. Nagyon sajnálom őt! Annyira aranyos.
Nos, fogadd el az ajánlatot. És akkor itt az ideje, hogy férjhez menjünk ”- mondta az anya dühösen és gúnyosan.
– Nem, anya, annyira sajnálom őt. Nem tudom, hogyan mondjam.
"Igen, nincs mit mondanod, én magam mondom" - mondta a grófnő, felháborodva, hogy nagynak merték nézni ezt a kis Natasát.
– Nem, semmi esetre sem, egyedül vagyok, te pedig hallgass az ajtóban – és Natasa a nappalin keresztül berohant a hallba, ahol Denisov ugyanazon a széken ült, a klavikordnál, és eltakarta az arcát. kezek. Könnyű léptei hallatán felugrott.
- Natalie - mondta, és gyors léptekkel közeledett felé -, döntsd el a sorsomat. A kezedben van!
– Vaszilij Dmitrics, nagyon sajnállak!... Nem, de olyan kedves vagy... de ne... ez... de én mindig így foglak szeretni.