Az iránykoszinuszok négyzetösszege eggyel egyenlő.

Ha a vektor iránykoszinuszai ismertek, akkor a koordinátáit a következő képletekkel találhatjuk meg: Hasonló képletek történnek háromdimenziós esetben is - ha ismertek a vektor iránykoszinuszai, akkor a koordinátáit a következő képletekkel találhatjuk meg: képletek:

9 Lineáris függőségÉs lineáris függetlenség vektorok. Síkon és térben alapozva

A vektorok halmazát ún vektoros rendszer.

lineárisan függő, ha vannak számok , akkor nem mindegyik egyenlő egyszerre nullával, így

A vektorok rendszerét ún lineárisan független, ha az egyenlőség csak számára lehetséges, i.e. amikor lineáris kombináció az egyenlőség bal oldalán triviális.

1. Egy vektor is alkot egy rendszert: at - lineárisan függő, és at - lineárisan független.

2. A vektorrendszer bármely részét ún alrendszer.

1. Ha a vektorrendszer nulla vektort tartalmaz, akkor az lineárisan függő

2. Ha egy vektorrendszernek két egyenlő vektora van, akkor lineárisan függő.

3. Ha egy vektorrendszernek két arányos vektora van, akkor az lineárisan függ.

4. Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább az egyik vektor a többi lineáris kombinációja.

5. A lineárisan független rendszerben lévő vektorok lineárisan független alrendszert alkotnak.

6. A lineárisan függő alrendszert tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

7. Ha a vektorrendszer lineárisan független, és egy vektor hozzáadása után kiderül, hogy lineárisan függ, akkor a vektor vektorokkal bővíthető, és ráadásul az egyetlen módja, azaz a tágulási együtthatók egyedileg találhatók.

Alap a síkon és a térben a maximális lineárisan független vektorrendszernek nevezzük a síkon vagy a térben (egy vektor hozzáadása a rendszerhez lineárisan függővé teszi).

Így bázis a síkban bármely két nem-kollineáris vektor egy bizonyos sorrendben, és egy bázis a térben bármely három nem egysíkú vektor egy bizonyos sorrendben.

Legyen térbeli bázis, akkor a T. 3 szerint bármely térvektor egyedi módon bontható fel bázisvektorok szempontjából: . A tágulási együtthatókat a bázisban lévő vektor koordinátáinak nevezzük

Lineáris műveletek írása vektorokra koordinátákkal:

a) összeadás és kivonás: - alap

b) szorzás R számmal:

A képletek a lineáris műveletek tulajdonságából következnek.

10 A bázishoz viszonyított vektorkoordináták. Hortok

Alap szabad vektorok terében V 3 a nem egysíkú vektorok bármely rendezett hármasát hívjuk.

Legyen BAN BEN :egy 1,a 2,egy 3 fix alapja van V 3.

Koordináták vektor b az alaphoz képest BAN BEN a számok rendezett hármasának ( x, y, z), beleértve b=x· egy 1 +yegy 2+za 3.

Kijelölés:b={x, y, z} B Megjegyzés: Egy rögzített vektor koordinátái a megfelelő szabad vektor koordinátái.

1. tétel: A V 3 és az R 3 közötti megfelelés fix alapon egy az egyhez, azaz. b V 3 ! {x, y, z) R3 és ( x, y, z) R 3 ! b V 3 , beleértve b={x, y, z} B

Egy vektor és koordinátái közötti megfelelés ezt az alapot a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. Legyen b 1 ={x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B b1 + b2 ={x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2} B

2. Legyen b={x, y, z} B , λR λ· b={ λ· x, λ· y, λ· z} B

3. Hagyjuk b 1 || b 2, b 1 = {x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B
(itt: tetszőleges szám).

Egységvektor, amely az X tengely mentén van irányítva, jelöli én, egységvektor, amely az Y tengely mentén van irányítva, jelöli j, de egységvektor, amely a Z tengely mentén van irányítva, jelöli k. Vektorok én, j, k hívott orts– egyetlen moduljuk van, azaz
i = 1, j = 1, k = 1

11 skaláris szorzat vektorok. Szög vektorok között. A vektorok ortogonalitásának feltétele

Ez a szám egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.

A vektorok pontszorzata a koordinátáik alapján

Vektorok pontszorzata X, Y, Z és :

ahol az és a vektorok közötti szög; ha valamelyik, akkor

A skaláris szorzat definíciójából következik, hogy ahol például a vektor vetületének értéke a vektor irányára.

Egy vektor skaláris négyzete:

Pont termék tulajdonságai:

Szög vektorok között

A vektorok ortogonalitásának feltételei.

Két vektor a és b merőleges (merőleges), ha skalárszorzatuk nulla a b= 0

Tehát abban az esetben repülőgép probléma vektor

a= (a x ;a y )és b= (b x ;b y )

ortogonálisak, ha a b= a x b x + a y b y = 0

12 vektor termék vektorok, tulajdonságai. A kollineáris vektorok feltétele

Egy vektor és egy vektor keresztszorzata a szimbólummal jelölt vektor, amelyet a következő három feltétel határoz meg:

egy). A vektor modulja , ahol a vektorok közötti szög és ;

2). A vektor merőleges az és a vektorok mindegyikére;

3). A vektor iránya megfelel a "jobb kéz szabályának". Ez azt jelenti, hogy ha a , és vektorokat egy közös kezdetre hozzuk, akkor a vektort ugyanúgy kell irányítani, ahogyan a jobb kéz középső ujját irányítjuk, amelynek hüvelykujja az első tényező mentén van irányítva (vagyis a vektor mentén), a mutatóujj pedig a második mentén (vagyis a vektor mentén). A vektorszorzat a tényezők sorrendjétől függ, nevezetesen: .

A keresztszorzat modulja egyenlő az és vektorokra épített paralelogramma S területével: .

Maga a vektorszorzat kifejezhető a képlettel,

ahol a vektor vektor szorzata.

A vektorszorzat akkor és csak akkor tűnik el, ha a és vektorok kollineárisak. Különösen, .

Ha a koordinátatengelyek rendszere helyes, a és vektorok pedig koordinátáikkal vannak megadva ebben a rendszerben:

akkor egy vektor keresztszorzatát egy vektorral a képlet határozza meg

Egy vektor akkor és csak akkor kollineáris egy nullától eltérő vektorral, ha a koordináták

vektorok arányosak a vektor megfelelő koordinátáival, azaz.

Hasonlóképpen hajtjuk végre a térbeli koordinátáik alapján megadott vektorok lineáris műveleteit.

13 vektorok vegyes szorzata. A tulajdonságait. A vektorok komplanaritási feltétele

Három vektor vegyes szorzata, , egy szám, amely egyenlő egy vektor skaláris szorzatával egy vektorral:

A vegyes termék tulajdonságai:

3° Három vektor akkor és csak akkor egysíkú

4° A vektorok hármasa akkor és csak akkor igaz, ha . Ha , akkor a , és vektorok egy bal oldali vektorhármast alkotnak.

10° Jacobi azonosság:

Ha a , és vektorok koordinátáival vannak megadva, akkor vegyes szorzatukat a képlet számítja ki

Azokat a vektorokat, amelyek párhuzamosak az azonos síkkal, vagy ugyanazon a síkon fekszenek, hívjuk koplanáris vektorok.

A vektorok komplanaritási feltételei

Három vektorok egysíkúak ha vegyes szorzatuk nulla.

Három vektorok egysíkúak ha lineárisan függőek.

15 különböző típusú egyenes és sík egyenletek

A sík bármely egyenese megadható elsőrendű egyenlettel

Ah + Wu + C = 0,

és az A, B állandók egyszerre nem egyenlők nullával. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük az egyenes általános egyenlete. Az értékektől függően A, B állandóés C, a következő speciális esetek lehetségesek:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - a vonal áthalad az origón

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - az egyenes párhuzamos az Ox tengellyel

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - a vonal párhuzamos az Oy tengellyel

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

Az egyenes egyenlete az adott kezdeti feltételektől függően többféle formában is bemutatható.

Def. 1.5.6. Irány koszinusz vektor de nevezzük azoknak a szögeknek a koszinuszait, amelyeket ez a vektor az alapvektorokkal alkot, ill. én , j , k .

Vektor irány koszinusz de = (x, nál nél, z) a következő képletekkel találhatók meg:

Az iránykoszinuszok négyzetösszege egyenlő eggyel:

Vektor irány koszinusz a ortjának koordinátái: .

Legyen az alapvektorok én , j , k közös pontból rajzolva RÓL RŐL. Feltételezzük, hogy az ortok beállítják a tengelyek pozitív irányait Ó, OU, Oz. pontgyűjtés RÓL RŐL (eredet) és ortonormális alap én , j , k hívott Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben. Legyen DE egy tetszőleges pont a térben. Vektor de = OA= x én + y j + z k hívott sugárvektor pontokat DE, ennek a vektornak a koordinátái ( x, y, z) pontkoordinátának is nevezik DE(szimbólum: DE(x, y, z)). Koordinátatengelyek Ó, OU, Oz tengelynek is nevezik abszcissza, tengely ordináta, tengely alkalmazni.

Ha a vektort a kezdőpontjának koordinátái adják meg BAN BEN 1 (x 1 , y 1 , z 1) és a végpont BAN BEN 2 (x 2 , y 2 , z 2), akkor a vektor koordinátái megegyeznek a vég és a kezdet koordinátáinak különbségével: (hiszen ).

Derékszögű derékszögű koordinátarendszerek a síkon és az egyenesen pontosan ugyanúgy vannak meghatározva a megfelelő mennyiségi (dimenzió szerint) változtatásokkal.

Tipikus feladatok megoldása.

1. példa Keresse meg egy vektor hosszának és irányának koszinuszát de = 6én – 2j -3k .

Megoldás. Vektor hossza: . Irány koszinusz: .

2. példa Keresse meg a vektor koordinátáit de , egyenlő hegyesszögeket képezve a koordinátatengelyekkel, ha ennek a vektornak a hossza egyenlő .

Megoldás. Mivel , majd behelyettesítve az (1.6) képletbe, megkapjuk . Vektor de éles szögeket képez a koordinátatengelyekkel, így az orto . Ezért megtaláljuk a vektor koordinátáit .

3. példa Három nem egysíkú vektort adunk meg e 1 = 2én – k , e 2 = 3én + 3j , e 3 = 2én + 3k . Vektor lebontása d = én + 5j - 2k alapon e 1 , e 2 , e 3 .

ezek azoknak a szögeknek a koszinuszai, amelyeket a vektor a koordináták pozitív féltengelyeivel alkot. Az iránykoszinuszok egyértelműen meghatározzák a vektor irányát. Ha egy vektor hossza 1, akkor iránykoszinuszai megegyeznek a koordinátáival. Általában egy vektorhoz koordinátákkal ( a; b; c) irány koszinuszai egyenlők:

ahol a, b, g a vektor által a tengelyekkel alkotott szögek x, y, z illetőleg.

21) Egy vektor bontása vektorok szerint. A koordinátatengely ort-ját , a tengelyeket - , a tengelyeket - -vel jelöljük (1. ábra).

Bármely vektorra, amely a síkban fekszik, a következő felosztás megy végbe:

Ha a vektor térben helyezkedik el, akkor a koordinátatengelyek egységvektoraiban kifejezett bővítés a következőképpen alakul:

22)Pontos termék két nullától eltérő vektort, és azt a számot, amely megegyezik e vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával:

23) Két vektor közötti szög

Ha két vektor közötti szög hegyes, akkor a pontszorzatuk pozitív; ha a vektorok közötti szög tompaszögű, akkor ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata negatív. Két nem nulla vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha ezek a vektorok ortogonálisak.

24) Két vektor párhuzamosságának és merőlegességének feltétele.

A vektorok merőlegességének feltétele
A vektorok akkor és csak akkor merőlegesek, ha belső szorzatuk nulla Két vektor a(xa;ya) és b(xb;yb) adott. Ezek a vektorok merőlegesek lesznek, ha az xaxb + yayb kifejezés = 0.

25) Két vektor vektorszorzata.

Két nem kollineáris vektor vektorszorzata egy c=a×b vektor, amely teljesíti a következő feltételeket: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) A, b, c vektorok alkotják a vektorok jobboldali hármasát.

26) Kollineáris és koplanáris vektorok.

A vektorok kollineárisak, ha az első vektor abszcisszája a második abszcisszához ugyanúgy viszonyul, mint az elsőnek a második ordinátájához. a (xa;igen) És b (xb;yb). Ezek a vektorok kollineárisak, ha x a = xbÉs y a = yb, ahol R.

Vektorok −→ a,−→bés −→ c hívott egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak.

27) Három vektor vegyes szorzata. Vektorok vegyes szorzata- az a vektor skaláris szorzata és a b és c vektorok vektorszorzata. Határozzuk meg az a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1) vektorok vegyes szorzatát!

Megoldás:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Egy sík két pontja közötti távolság. Két adott pont távolsága egyenlő ezen pontok azonos koordinátáinak különbségeinek négyzetgyökével.

29) A szegmens felosztása ezt a tiszteletet. Ha az M(x; y) pont két adott ponton ( , ) és ( , ) átmenő egyenesen fekszik, és adott az az összefüggés, amelyben az M pont osztja a szakaszt, akkor az M pont koordinátáit meghatározzuk. a képletek szerint

Ha az M pont a szakasz felezőpontja, akkor a koordinátáit a képletek határozzák meg

30-31. Egyenes lejtése ennek az egyenesnek a meredekségének érintőjének nevezzük. Az egyenes lejtését általában betűvel jelöljük k. Akkor definíció szerint

Vonalegyenlet meredekséggel hol van a formája k- az egyenes szögegyütthatója, b valami valós szám. A meredekségű egyenes egyenlete bármilyen egyenest meghatározhat, nem párhuzamos a tengellyel Oy(az y tengellyel párhuzamos egyenesnél a meredekség nincs meghatározva).

33. Síkon lévő egyenes általános egyenlete. Típusegyenlet eszik egy egyenes általános egyenlete Oxy. Az A, B és C állandók értékétől függően a következő speciális esetek lehetségesek:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - a vonal áthalad az origón

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - az egyenes párhuzamos az Ox tengellyel

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - a vonal párhuzamos az Oy tengellyel

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

34.Egyenes egyenlete szakaszokban síkon téglalap alakú koordinátarendszerben Oxy hol van a formája aÉs b- nullától eltérő valós számok. Ez a név nem véletlen, mivel a számok abszolút értékei deÉs b egyenlő azon szakaszok hosszával, amelyeknél az egyenes levág koordinátatengelyek ÖkörÉs Oy illetve (a szegmenseket az origótól számítjuk). Így a szakaszokban lévő egyenes egyenlete megkönnyíti ennek az egyenesnek a rajzban történő felépítését. Ehhez a síkon koordinátákkal és téglalap alakú koordinátarendszerben jelöljük meg a pontokat, és vonalzóval kössük össze őket egy egyenessel.

35. Az egyenes normálegyenlete alakja

hol van az egyenes és az origó távolsága;  az egyenes és a tengely közötti szög.

A normálegyenletet az (1) általános egyenletből kaphatjuk meg, ha megszorozzuk a normalizáló tényezővel, a  előjele ellentétes az előjellel, így .

Az egyenes és a koordinátatengelyek közötti szögek koszinuszait iránykoszinuszoknak nevezzük,  az egyenes és a tengely közötti szög,  az egyenes és a tengely közötti szög:

Így a normál egyenlet így írható fel

Távolság a ponttól egyenesre képlet határozza meg

36. Egy pont és egy egyenes távolságát a következőképpen számítjuk ki következő képlet:

ahol x 0 és y 0 a pont koordinátái, A, B és C pedig az egyenes általános egyenletéből származó együtthatók

37. Egy egyenes általános egyenletének felállítása normálra. Az egyenlet és a sík ebben az összefüggésben semmiben nem különbözik egymástól, mint az egyenletekben szereplő tagok számában és a tér dimenziójában. Ezért eleinte mindent elmondok a síkról, a végén pedig az egyenessel kapcsolatban teszek fenntartást.
Legyen adott a sík általános egyenlete: Ax + By + Cz + D = 0.
;. megkapjuk a rendszert: g;Mc=cosb, MB=cosaHozzuk normál formába. Ehhez az egyenlet mindkét részét megszorozzuk az M normalizáló tényezővel. Kapjuk: Max + Mvu + MSz + MD = 0. Ebben az esetben МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa kapjuk a rendszert:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Összeadva a rendszer összes egyenletét, azt kapjuk, hogy M*(A2 + B2 + C2) = 1. Most már csak M-et kell kifejezni innen, hogy megtudjuk, melyik normalizáló tényezővel kell az eredeti általános egyenletet megszorozni, hogy normális legyen. forma:
M \u003d - + 1 / GYÖKÉR KV A2 + B2 + C2
Az MD-nek mindig kisebbnek kell lennie nullánál, ezért az M szám előjelét a D szám előjelével szemben vesszük.
Az egyenes egyenletével minden ugyanaz, csak a C2 kifejezést egyszerűen ki kell venni az M képletéből.

Fejsze + Által + cz + D = 0,

38. Általános egyenlet repülőgép térben alakegyenletnek nevezzük

ahol A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

3D térben Descartes-rendszer koordináták, bármely síkot egy 1. fokú egyenlet (lineáris egyenlet) ír le. És fordítva, bármilyen lineáris egyenlet síkot határoz meg.

40.A sík egyenlete szakaszokban. Téglalap alakú koordinátarendszerben Oxyz háromdimenziós térben a forma egyenlete , ahol a, bÉs c nullától eltérő valós számokat hívunk sík egyenlet szegmensekben. A számok abszolút értékei a, bÉs c egyenlő azoknak a szakaszoknak a hosszával, amelyeket a sík a koordinátatengelyeken levág Ökör, OyÉs Oz illetőleg az eredettől számítva. Számjel a, bÉs c megmutatja, hogy a szakaszok milyen irányban (pozitívan vagy negatívan) vannak ábrázolva a koordinátatengelyeken

41) A sík normálegyenlete.

Egy sík normálegyenlete az egyenlete, alakba írva

ahol , , a sík normáljának iránykoszinuszai, e

p az origó és a sík távolsága. A normál iránykoszinuszainak számításakor figyelembe kell venni, hogy az origóból a síkra irányul (ha a sík átmegy az origón, akkor a normál pozitív irányának megválasztása közömbös).

42) Egy pont és egy sík távolsága.Adja meg a síkot az egyenlet és adott egy pontot. Ekkor egy pont és egy sík távolságát a képlet határozza meg

Bizonyíték. A pont és a sík távolsága definíció szerint a pontból a síkra ejtett merőleges hossza.

Síkok közötti szög

Legyen a és a síkok az és egyenletek által adottak. Meg kell találni e síkok közötti szöget.

A metsző síkok négy kétszöget alkotnak: két tompa és két hegyes vagy négy egyenes, és mindkét tompaszög egyenlő egymással, és mindkét hegyesszög egyenlő egymással. Mindig hegyesszöget fogunk keresni. Értékének meghatározásához veszünk egy pontot a síkok metszésvonalán, és ebben a pontban mindegyikben

síkokra merőlegeseket rajzolunk a metszésvonalra.

Vektor irány koszinusz.

Az a vektor irány koszinuszai azok a szögek koszinuszai, amelyeket a vektor a koordináták pozitív féltengelyével alkot.

Az a vektor iránykoszinuszainak megtalálásához el kell osztani a vektor megfelelő koordinátáit a vektor moduljával.

Ingatlan: Az iránykoszinuszok négyzetösszege eggyel egyenlő.

Így repülőgép probléma esetén Az a = (ax; ay) vektor iránykoszinuszait a következő képletekkel találjuk meg:

Példa egy vektor iránykoszinuszainak kiszámítására:

Határozzuk meg az a = (3; 4) vektor iránykoszinuszait!

Megoldás: |a| =

Tehát be térbeli probléma esetén Az a = (ax; ay; az) vektor iránykoszinuszait a következő képletekkel találjuk meg:

Példa egy vektor iránykoszinuszainak kiszámítására

Határozzuk meg az a = (2; 4; 4) vektor iránykoszinuszait!

Megoldás: |a| =

A vektor térbeli irányát azok a szögek határozzák meg, amelyeket a vektor a koordinátatengelyekkel alkot (12. ábra). Ezen szögek koszinuszait ún a vektor irány koszinuszai: , , . A vetületek tulajdonságaiból:, , . Következésképpen, Ezt könnyű megmutatni 2) bármely egységvektor koordinátái egybeesnek az iránykoszinuszaival: .

"Hogyan találjuk meg egy vektor iránykoszinuszait"

Jelölje alfa, béta és gamma az a vektor által a koordinátatengelyek pozitív irányával alkotott szögeket (lásd 1. ábra). Ezeknek a szögeknek a koszinuszait az a vektor iránykoszinuszainak nevezzük.

Mivel a derékszögű koordinátarendszerben az a koordináták megegyeznek a vektor vetületeivel a koordináta tengelyekre, akkor a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(béta), a3 = |a|cos (gamma). Innen: cos (alfa)=a1||a|, cos(béta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Ezenkívül |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Tehát cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(béta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Meg kell jegyezni az iránykoszinuszok fő tulajdonságát. A vektor iránykoszinuszainak négyzetösszege eggyel egyenlő. Valójában cos^2(alfa)+cos^2(béta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2) + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Első út

Példa: adott: vektor a=(1, 3, 5). Keresse meg iránykoszinuszait. Megoldás. A találtaknak megfelelően kiírjuk: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Így a választ a következő formában írhatjuk fel: (cos(alpha), cos(béta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Második út

Az a vektor iránykoszinuszainak megtalálásakor használhatja a szögek koszinuszainak meghatározásának technikáját a skalárszorzat segítségével. Ebben az esetben az a és a téglalap irányító egységvektorai közötti szögeket értjük Derékszögű koordináták i, j és k. Koordinátáik rendre (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Emlékeztetni kell arra, hogy a vektorok skaláris szorzatát a következőképpen határozzuk meg.

Ha a vektorok közötti szög φ, akkor két szél skaláris szorzata (definíció szerint) egy szám, amely megegyezik a vektorok moduljainak cosφ szorzatával. (a, b) = |a||b|cos f. Ekkor, ha b=i, akkor (a, i) = |a||i|cos(alpha), vagy a1 = |a|cos(alpha). Továbbá minden műveletet az 1. módszerhez hasonlóan hajtunk végre, figyelembe véve a j és k koordinátákat.

MEGHATÁROZÁS

Vektor rendezett pontpárnak nevezzük és (vagyis pontosan ismert, hogy ebben a párban melyik pont az első).

Az első pontot ún a vektor eleje, a második pedig az övé vége.

A vektor kezdete és vége közötti távolságot ún hosszú vagy vektor modul.

Olyan vektort nevezünk, amelynek eleje és vége azonos nullaés jelölése ; hosszát nullának tételezzük fel. Ellenkező esetben, ha a vektor hossza pozitív, akkor hívják nem nulla.

Megjegyzés. Ha egy vektor hossza egyenlő eggyel, akkor ún ortom vagy egységvektorés azt jelöljük.

PÉLDA

A feladat	Ellenőrizze, hogy van-e vektor egyetlen.
Megoldás	Számítsuk ki az adott vektor hosszát, ez egyenlő a koordináták négyzetösszegének négyzetgyökével: Mivel a vektor hossza eggyel egyenlő, akkor a vektor vektor.
Válasz	A vektor egyetlen.

Egy nem nulla vektor is definiálható irányított szegmensként.

Megjegyzés. A nullvektor iránya nincs meghatározva.

Vektor irány koszinusz

MEGHATÁROZÁS

Irány koszinusz néhány vektort azon szögek koszinuszainak nevezzük, amelyeket a vektor a koordinátatengelyek pozitív irányaival alkot.

Megjegyzés. Egy vektor irányát egyértelműen az iránykoszinuszai határozzák meg.

Egy vektor iránykoszinuszainak megtalálásához normalizálni kell a vektort (vagyis el kell osztani a vektort a hosszával):

Megjegyzés. Az egységvektor koordinátái megegyeznek az irány koszinuszaival.

TÉTEL

(Iránykoszinuszok tulajdonsága). Az iránykoszinuszok négyzetösszege egyenlő eggyel: