A Mora körök olyan kördiagramok, amelyek vizuálisan ábrázolják a különböző szakaszokon áthaladó feszültségeket adott pont. A τ n - σ n koordinátarendszerben három (fél) kör, amelyek az abszcissza tengely mentén a fő normálfeszültségek σ 1, σ 2, σ 3 különbségét jelentik (ábra). A (σ 1 -σ 3)/2 sugarú maximális kör két (σ 1 -σ 2)/2 és (σ 2 -σ 3)/2 sugarú belső kört fed le, amelyek a σ 2 pontot érintik. E körök ívei közötti térben lévő pontok koordinátái normálisak és tetszőlegesen orientált területeken érintők. A körök tengelyein rendre . A σ 2 pont helyzetét a Lode - Nadai együttható határozza meg. Hasonlóképpen a γ - ε koordinátájú Mohr-köröket a deformált állapot tanulmányozására építik fel, ahol R 1 = (ε 2 -ε 1) / 2 = 0,5γ 23, R 2 = (ε 1 -ε 3) / 2 = 0,5γ 31 , R 3 \u003d (ε 1 - ε 2) / 2 = 0,5γ 12
Mohr-körök (körkörös feszültségek)
enciklopédikus szótár a kohászatban. - M.: Intermet Engineering. Főszerkesztő N.P. Ljakisev. 2000 .
Nézze meg más szótárakban, hogy mi a "dögvész körei":
Mohr körök- Kördiagramok, amelyek vizuálisan ábrázolják az adott ponton áthaladó különböző szakaszok feszültségeit. A tl-al koordinátarendszerben három (fél) kör, átm. az abszcissza mentén a főnormálok különbségei ... ... Műszaki fordítói kézikönyv
Körök- Körök: Tartalom 1 Települések 1.1 Fehéroroszország 1.2 Oroszország 1.3 Ukrajna ... Wikipédia
Körök (egyértelműsítés)- Települések: Krugi (ukr. Krugi) falu Ukrajnában, a kijevi régió Visgorodi járásában. Krugi (ukr. Krugi) egy falu Ukrajnában, a Vinnitsa régió Tyvrovszkij járásában található. Krugi (fehérorosz Krugi) falu a ... ... Wikipédiában
NAGY-BRITANNIA- (Nagy-Britannia) állam Nyugaton. Európa, a Brit-szigeteken található. Hivatalos név B. Nagy-Britannia és Észak-Írország Egyesült Királysága; gyakran az egész V-t pontatlanul Angliának nevezik (név szerint ... Szovjet történelmi enciklopédia
Nagy-Britannia- I. Nagy-Britannia (Nagy-Britannia) egy sziget az Atlanti-óceánban, amely a Brit-szigetcsoport része (lásd Brit-szigetek). Lásd az Egyesült Királyságot (állam). II Nagy-Britannia (Nagy-Britannia) hivatalos neve United ... ...
Egyesült Királyság (állam)- Egyesült Királyság (Nagy-Britannia); a hivatalos neve Nagy-Britannia és Észak-Írország Egyesült Királysága. ÉN. Általános információ V. szigetállam Európa északnyugati részén; elfoglalja...... Nagy szovjet enciklopédia
Franciaország- (Franciaország) Francia Köztársaság (République Française). I. Általános tudnivalók F. nyugat-európai állapot. F. területét északon az Északi-tenger, a Pas de Calais és a La Manche, nyugaton a Vizcayai-öböl mossa ... ... Nagy szovjet enciklopédia
kommunizmus- A K. szó jelentése: először is olyan társadalmi rend, amelyben a vagyoni viszonyok terén nincs magántulajdon (vagy csak ingatlan), a családi kapcsolatok terén pedig a házasság rendezetlen helyet foglal el ... ... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron
A kommunista tanítások története- A kommunizmus a magántulajdon felszámolását, az ember és a társadalom gazdasági és társadalmi elnyomás alóli felszabadítását hirdető tanok általános neve. A "kommunizmus" szó egyesíti azokat a vallási, erkölcsi és gazdasági tanításokat, ... ... Wikipédia
A vizsgált ponton áthaladó normál n területre ható σ n és τ n feszültségek függése grafikusan megjeleníthető a Mohr-kör diagram (Mohr-körök) segítségével.
LAPOS STRESS ÁLLAPOT. A σ 1 és σ 2 főfeszültségek adottak (lásd a 2. ábrát) . Az OA=σ 1 és OB=σ 2 szegmenseket az előjelek figyelembevételével ábrázoljuk (1. ábra). Az AB szakaszon, mint az átmérőn, kört építünk. A B pontból a σ tengellyel α szöget bezáró egyenest húzunk. Ennek az egyenesnek a körrel való metszéspontjának D pontjának koordinátái adják meg a ferde terület feszültségét: OE=σ n , ED=τ n .
1. kép
Az α x, σ y , τ xy feszültségek adottak (2. ábra). Az OE=σ x és OF=σ y szakaszokat az előjelek figyelembevételével ábrázoljuk. Az E pontból (helyzetétől függetlenül) az ED=τ xy szakaszt ábrázoljuk, az előjelet is figyelembe véve. A C pontból az EF szakaszt kettéosztva, mint a középpontból, CD sugarú kört alkotunk. A BD egyenes határozza meg a σ 1 főfeszültségvektor irányát, a kör σ tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán pedig a főfeszültségek értékeit adják meg: OA=σ 1, OB=σ 2 .
2. ábra.
VOLUME STRESSZ ÁLLAPOT. A szegmensekre három félkör épül, amelyek a σ 1 -σ 3, σ 2 -σ 3, σ 1 -σ 2 főfeszültségek különbségeit ábrázolják, mint az átmérőkön (3. ábra). A σ n és τ n feszültségeket egy ferde terület mentén, amelynek normálja α, β és γ szöget zár be a három főfeszültség irányával, a következő konstrukció határozza meg. Az AE és BF egyenesek a függőlegeshez képest α és γ szögben vannak megrajzolva. A kapott E és F metszéspontokon C 2 E és C 1 F sugarú íveket húzunk a D pontban lévő metszéspontig, melynek koordinátái adják a σ n és τ n feszültségeket. A különböző területek feszültségi állapotait ábrázoló pontok nem hagyják el a három félkör közé zárt területet (az ábrán árnyékolva).
Mohr köre- Ez egy kördiagram, amely vizuálisan ábrázolja az adott ponton áthaladó különböző szakaszok feszültségeit. Otto Christian Mohrról nevezték el. Ez a feszültségtenzor kétdimenziós grafikus értelmezése.
Karl Kuhlmann volt az első, aki grafikus feszültségábrázolást készített egy hajlító vízszintes gerenda hosszanti és keresztirányú feszültségeire. Mohr hozzájárulása ennek a megközelítésnek a sík- és ömlesztett feszültségi állapotokhoz való alkalmazásában, valamint a feszültségkör alapján szilárdsági kritérium meghatározásában.
fizikai jelentése
A szilárd deformálható test részecskéi között belső erők lépnek fel az alkalmazott testre adott reakcióként külső erők: felület és térfogat. Ez a reakció összhangban van Newton második törvényével, amelyet az anyagi tárgyak részecskéire alkalmaznak. Ezen belső erők intenzitásának nagyságát mechanikai igénybevételnek nevezzük. Mivel a test szilárdnak számít, ezek belső erők folyamatosan elosztva a vizsgált objektum teljes térfogatán.
texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \cos ^2 \theta = \frac(1+\cos 2\theta)(2), \qquad \sin ^2 \theta = \frac(1-\cos 2\ theta)(2) \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta
Akkor kaphatsz
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \sigma_\mathrm(n) = \frac(1)(2) (\sigma_x + \sigma_y) + \frac(1)(2) (\sigma_x - \sigma_y )\ cos 2\theta + \tau_(xy) \sin 2\theta
nyírófeszültség Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc a telephely területén is működik Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): dA. Az erők tengelyre vetületeinek egyenlőségéből Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \tau_\mathrm(n)(tengely Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): y") kapunk:
texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \ \begin(align) \sum F_(y") &= \tau_\mathrm(n) dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \ sin \theta \cos \theta - \tau_(xy) dA \cos ^2 \theta + \tau_(xy) dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm(n) &= -( \sigma_x -\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_(xy) \left(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end(align)
Ismeretes, hogy
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\ theta\ cos\theta
Akkor kaphatsz
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \tau_\mathrm(n) = -\frac(1)(2)(\sigma_x - \sigma_y)\sin 2\theta + \tau_(xy)\cos 2 \theta
Írjon véleményt a "Mohr köre" cikkről
Megjegyzések
A Mora-kört jellemző részlet
Akár baleset volt, akár valaki segített, de anyámnak nagy szerencséje volt – egy csodálatos emberhez ment férjhez, egy velencei mágnáshoz, aki... maga is nagyon erős varázsló volt... és akit most nálunk láthat. ...Csillogó, nedves szemekkel Isidora bámulatos apjára nézett, és látható volt, mennyire és önzetlenül szereti őt. Büszke leány volt, aki méltósággal hordozta az évszázadokon át tiszta, fényes érzését, és még ott, távol, új világaiban sem bújt el, és nem jött tőle zavarba. És akkor rájöttem, mennyire szeretnék olyanná válni, mint ő! .. És a szeretet erejében, a boszorkány erejében, és minden másban, amit ez a rendkívüli fényes nő magában hordozott...
És nyugodtan mesélt tovább, mintha észre sem venné sem „túláradó” érzelmeinket, sem lelkünk „kölyökkutya” örömét, amely csodálatos történetét kísérte.
– Anyám ekkor hallott Velencéről... Apám órákon át mesélt neki ennek a városnak a szabadságáról és szépségéről, palotáiról és csatornáiról, titkos kertekről és hatalmas könyvtárakról, hidakról és gondolákról, és sok-sok dologról. több. És lenyűgöző anyám, még mielőtt meglátta volna ezt a csodálatos várost, teljes szívéből beleszeretett... Alig várta, hogy saját szemével lássa ezt a várost! És nagyon hamar valóra vált az álma... Az apja egy csodálatos palotába hozta, tele hűséges és hallgatag szolgákkal, akik elől nem kellett bujkálni. És attól a naptól kezdve anyám órákat tölthetett a kedvenc dolgával, anélkül, hogy félt volna attól, hogy félreértik, vagy ami még rosszabb, megsértődik. Élete kellemes és biztonságos lett. Igazán boldog házaspár voltak, akiknek pontosan egy évvel később kislányuk született. Izidorának hívták... Én voltam.
Nagyon boldog gyerek voltam. És amennyire emlékszem, a világ mindig is szépnek tűnt számomra... Melegség és szeretet vesz körül, kedves és figyelmes emberek között, akik nagyon szerettek. Anya hamar észrevette, hogy hatalmas Ajándékot mutatok ki, sokkal erősebbet, mint ő. Elkezdett tanítani mindenre, amit tudott, és amire a nagymamája tanított. Később pedig édesapám is bekapcsolódott a „boszorkányos” nevelésembe.
Mindezt nem azért mondom el, kedveseim, mert el szeretném mesélni nektek boldog életem történetét, hanem azért, hogy jobban megértsétek, mi következik kicsit később... Különben nem fogjátok átérezni azt a sok borzalmat és fájdalmat. amit nekem és a családomnak el kellett viselnünk..
Amikor betöltöttem a tizenhét évet, a rólam szóló pletykák messze túlmutattak a határokon szülőváros, és nem volt vége azoknak, akik hallani akarták a sorsukat. Nagyon fáradt voltam. Akármilyen tehetséges is voltam, de a napi munka kimerített, és esténként szó szerint leestem a lábamról... Apám mindig kifogásolta az ilyen „erőszakot”, de anyám (aki egykor nem tudta felhasználni az ajándékát a legteljesebb) azt hitte, hogy tökéletes rendben vagyok, és őszintén ki kell dolgoznom a tehetségemet.
Annyi év telt el. Régóta megvan a magánéletem és a csodálatos, szeretett családom. A férjem tanult ember volt, Girolamonak hívták. Azt hiszem, egymásnak szántak bennünket, hiszen az első találkozástól, ami a házunkban történt, szinte soha többé nem váltunk el... Valami apám által ajánlott könyvért jött el hozzánk. Aznap reggel a könyvtárban ültem, és szokásomhoz híven valaki más munkáját tanulmányoztam. Girolamo hirtelen bejött, és amikor meglátott engem, teljesen ledöbbent... Zavarája olyan őszinte és édes volt, hogy megnevettet. Magas és erős barna szemű barna volt, aki abban a pillanatban elpirult, mint egy lány, aki először találkozott a vőlegényével... És azonnal rájöttem, hogy ez az én sorsom. Hamar összeházasodtunk, és soha többé nem váltunk el. Csodálatos férj volt, ragaszkodó és gyengéd, és nagyon kedves. És amikor megszületett a kislányunk, ő is ugyanolyan szerető és gondoskodó apa lett. Így telt el, nagyon boldog és felhőtlen tíz év. Kedves lányunk, Anna vidáman, élénken és nagyon okosan nőtt fel. És már korai tíz évében ő is, hozzám hasonlóan, lassan elkezdte kinyilvánítani az Ajándékot ...
Az élet fényes és csodálatos volt. És úgy tűnt, semmi sem árnyékolhatná be békés létünket szerencsétlenséggel. De féltem... Majdnem egy évig minden éjjel rémálmaim voltak... hátborzongató képek megkínzott embereket és égő tüzeket. Folyton ismétlődött, ismétlődött, ismétlődött... megőrjített. De leginkább egy furcsa férfi képe ijesztett meg, aki állandóan az álmaimba merült, és szó nélkül csak felemésztett mélyfekete szemei égő tekintetével... Ijesztő volt és nagyon veszélyes.
És aztán egy nap eljött... Fekete felhők kezdtek gyülekezni szeretett Velencém tiszta égboltján... Zavaró pletykák, egyre szaporodtak, járták a várost. Az emberek az inkvizíció borzalmairól suttogtak, és a lelket hűsítő, élő emberi máglyákról... Spanyolország már régóta lángolt, „tűzzel és karddal” égette a tiszta emberi lelkeket, Krisztus nevével... És azon túl. Spanyolország, egész Európa lángokban állt... Nem voltam hívő, és soha nem tartottam Krisztust Istennek. De csodálatos Vedun volt, a legerősebb az összes élő közül. És elképesztően tiszta és magas lelke volt. És amit az egyház tett, „Krisztus dicsőségére” ölt, szörnyű és megbocsáthatatlan bűn volt.
Mohr közvetlen problémája az a probléma, hogy ismert főfeszültségekből tetszőleges helyen feszültségeket határozhatunk meg.
Tekintsünk egy elemi térfogatot térfogati feszültség állapot körülményei között, és ennek a térfogatnak a lapjai a fő területek. A fő feszültséggel párhuzamos szekáns platform σ 2 , válasszon egy háromszög alakú prizmát ebből a kötetből:
Egy tetszőleges metszőterület feszültségeinek meghatározásához vegyük figyelembe a prizma elülső felületét
Írjuk fel a prizma lapjára ható erőrendszer egyensúlyi egyenleteit.
A rámpa érintő tengelyéhez 
:
Csökkentjük a közös tényezőket és megszorozzuk az összes tagot 
, kapunk
,
.
(2.2)
A rámpa merőleges tengelyéhez 
:
Végezzük el a következő átalakításokat:
és kap:
.
(2.3)
Nézzük négyzetre a kapott (2.2) és (2.3) kifejezések mindegyik részét:
,
.
A bal és jobb oldali részt párokban összegezve a következőket kapjuk:
.
Ez az egyenlet koordinátákban
egy pont középpontjában álló kör egyenlete 
,
és sugár 
:
A kapott kört ún stressz kör vagy Mora körül. A Mohr-kör koordinátákkal rendelkező pontokban metszi az x tengelyt 1 és 3 .
Határozza meg a pont koordinátáit! D :
,
(2.5)
amely egybeesik a korábban kapott (2.2) és (2.3) képletekkel.
Így minden oldalon ferde szögben a főbb helyszínekre, a Mora körön egy bizonyos pontnak felel meg. Ennek a pontnak a sugara 2-es szöget zár be az x tengellyel , és ennek koordinátái határozzák meg a helyszín feszültségeit És .
Egy feladat.
Keresztmetszetű rúdban A=
5x10 4 m 2, erővel kifeszítve F= 50 kN, határozza meg a normál és nyírófeszültségeket, amelyek egy szögben ferde helyen lépnek fel 
a rúd keresztmetszetéhez:
A keresztmetszet pontjain csak normál feszültségek keletkeznek, vagyis az elemi térfogatnak a pont közelében lévő területe, amely egybeesik ezzel a szakaszsal, a fő:
,
a többi főfeszültség hiányzik, i.e. egy egytengelyű feszültségállapot.
Keressük a feszültségeket egy ferde platformon.
Teljes feszültség vektor p, ezen az oldalon ható, két komponensre bontható: a normál és érintő , melynek értékének meghatározásához a Mohr-kört használjuk.
Jelentkezés koordinátákban
főfeszültségeknek megfelelő pontok 
És 
, és ezekre a pontokra, akárcsak az átmérőre, építjük fel a Mohr-kört:
Félretéve az abszcissza tengelytől az óramutató járásával ellentétes kettős szöget , kapunk egy pontot a körön, amely a ferde platform állapotát mutatja. Ennek a pontnak a koordinátái a kívánt feszültségek, és a (2.4) és (2.5) képletekkel számíthatók ki:
,
.
Inverz Mohr probléma
Mohr inverz problémája a főfeszültségek meghatározása egy tetszőleges helyen ismert feszültségekből. Nézzük meg egy konkrét példán.
Egy feladat.
Határozza meg a fő feszültségeket a rúd veszélyes pontjában, amely hajlítás és csavarás együttes hatásának van kitéve:
A belső erőtényezők diagramjainak elkészítésével arra a következtetésre jutottunk, hogy a rúd veszélyes szakasza a beágyazás azon szakasza, amelyben a legnagyobb hajlítónyomaték hat. M x .
Egy veszélyes szakasz veszélyes pontjának megtalálásához vegye figyelembe a normál és a nyírófeszültségek eloszlását egy veszélyes szakaszon:
Ebben az esetben két egyformán veszélyes pont van - BÉs C, amelyben a maximális normál és tangenciális feszültség hat, amelyek nagysága azonos, de iránya eltérő. Tekintsük a pont stresszállapotát BAN BEN, kiválasztunk egy elemi térfogatot a környezetében, és elhelyezzük a feszültségvektorokat 
És 
a szélein.
Stressz értékek 
És 
képletekkel határozható meg:
,
.
Tekintsük a kiválasztott kockát a feszültségmentes oldalról (felül):
Két egymásra merőleges területet jelölünk
És
. Helyben
viselkedj normálisan 
és nyírófeszültség
. Helyben
csak nyírófeszültség
(a tangenciális feszültségek párosításának törvénye szerint).
A Mohr-kör építésének rendje:
Ábrázoljuk a fő területek helyzetét és a fő feszültségek irányát a vizsgált területen:
Mohr kör sugara
,
akkor a fő hangsúlyozza
,
.
Az ismert német tudós, Mohr egy grafikus módszert javasolt az σ α és τ α feszültségek meghatározására adott σ 1, σ 2 és α esetén síkfeszültségi állapot esetén.
18.1. ábra. Síkfeszültségi állapot esete.
Ehhez válassza ki lapos rendszer koordináták, míg az abszcissza tengelyek a normál feszültségeknek, az ordináta tengelyek pedig a nyírófeszültségeknek felelnek meg
Az x tengelyen σ 1 = OA és σ 2 = OB fektetési feszültségek
Az OA - OB = σ1 - σ2 szakaszok különbségére egy kört építünk, amelynek sugara BC = (σ1 - σ2)/2. az abszcissza tengelyétől az óramutató járásával ellentétes irányú 2α szöget lerakva megkapjuk a kör D pontját, és leengedjük belőle a merőlegest az abszcissza tengelyére - DK
Az eredményül kapott szegmens OK = σ α, a DК szegmens pedig τ α
Mohr körei lehetővé teszik a test stresszállapotának minden típusának elemzését.
18.2. ábra. A feszültségek grafikus meghatározása. Mohr kör.
Egy feladat.
Határozza meg analitikusan és a Mohr-kör segítségével a normál σα és tangenciális τα feszültségeket a hossztengellyel β=60º szöget bezárt AB szakaszban. A rudat P = 20kN erő feszíti, keresztmetszete 200 * 200mm2, α = 90- β
A fő stressz megtalálása 
mivel lineáris feszültségállapot esetét vesszük figyelembe
Mert grafikus definíció feszültségek esetén a σ – τ koordinátarendszert választjuk. A σ tengelyen a kiválasztott skálán ábrázoljuk a σ 1 feszültséget egy OM szakasz formájában, amelyet kettéosztunk, és kört rajzolunk egy szegmenssel. Az M pontból (a Mohr-kör pólusából) az AB-vel párhuzamos egyenest húzunk ill párhuzamos a normálissal AV-nak. Megkapjuk az egyenes és a kör metszéspontjának D pontját. Az OD1 abszcissza σ α =37 MPa, az ordináta DD1 - τ α =21,5 MPa.
ÁLTALÁNOS HOOKE TÖRVÉNY A STRESSZ ÁLLAPOT ÁLTALÁNOS ESETÉBEN.
Az alakváltozások vizsgálatakor ömlesztett feszültség állapot esetén feltételezzük, hogy az anyag engedelmeskedik a Hooke-törvénynek, és az alakváltozások kicsik.
Tekintsünk egy olyan elemet, amelynek homlokméretei egyenlők a * b * c-vel, és a σ 1, σ 2, σ 3 főfeszültségek ezeken a felületeken hatnak.
Minden feszültséget pozitívnak kell tekinteni. A deformáció következtében az elem élei megváltoztatják a hosszukat és egyenlővé válnak a+∆a, b+∆b, c+∆c értékkel. Az elemek élei hosszának növekedésének aránya a kezdeti hosszukhoz viszonyítva megadja a fő relatív nyúlásokat a fő irányokban:
Feszültség hatására σ 1 bordahossz de relatív nyúlást fog kapni
A σ 2 és σ 3 feszültségek az a bordán keresztül hatnak, így megakadályozzák annak megnyúlását. A σ 2, σ 3 borda irányú hatása által okozott deformációk de egyenlő lesz.