Az analitikai mechanika elemei
A megismerési kísérleteim során a világ az emberi természetre jellemző az a vágy, hogy a tudásrendszert ezen a területen redukálják arra a legkisebb szám kiinduló helyzetek. Ez elsősorban a tudományos területekre vonatkozik. A mechanikában ez a vágy olyan alapvető elvek megalkotásához vezetett, amelyekből a főbbek következnek differenciál egyenletek mozgások különböző mechanikai rendszerekhez. Az oktatóanyag ezen szakaszának célja, hogy megismertesse az olvasót ezen elvek némelyikével.
Kezdjük az analitikus mechanika elemeinek tanulmányozását a nem csak a statikában, hanem a dinamikában is előforduló kapcsolatok osztályozási problémájával.
Kapcsolatok besorolása
Kapcsolat – a pontok helyzetére és sebességére vonatkozó bármilyen korlátozás mechanikus rendszer .
A kapcsolatok osztályozása:
Időbeli változás szerint:
- nem helyhez kötött kommunikáció, azok. idővel változó. A térben mozgó támasz a nem stacioner kapcsolatra példa.
- rögzített kommunikáció, azok. nem változik az idő múlásával. A helyhez kötött hivatkozások a „Statika” részben tárgyalt összes hivatkozást tartalmazzák.
A kiszabott kinematikai korlátozások típusa szerint:
- geometriai kapcsolatok korlátozza a pontok pozícióját a rendszerben;
- kinematikai, vagy differenciális csatlakozások korlátozza a pontok sebességét a rendszerben. Ha lehetséges, csökkentse az egyik típusú kapcsolatot egy másikra:
- integrálható, vagy holonomikus(egyszerű) kapcsolat, ha a kinematikai (differenciális) kapcsolat geometriaként ábrázolható. Az ilyen kapcsolatokban a sebességek közötti függések a koordináták közötti függőségre redukálhatók. A csúszás nélkül gördülő henger egy példa az integrálható differenciál kényszerre: a henger tengelyének sebessége összefügg a henger tengelyének sebességével. szögsebesség a jól ismert képlet szerint , vagy , és az integrálást követően a tengely elmozdulása és a henger forgásszöge közötti geometriai összefüggésre redukálódik a formában.
- nem integrálható, vagy nem holonom kapcsolat– ha a kinematikai (differenciális) kapcsolat nem ábrázolható geometriaként. Példa erre egy labda csúszás nélküli gurítása nem egyenes vonalú mozgása során.
Ha lehetséges, "engedd el" a kommunikációból:
- nyakkendőt tartva, amelyek mellett az általuk előírt korlátozásokat mindig betartják, például egy merev rúdra felfüggesztett inga;
- meg nem tartó kapcsolatokat - a korlátozások megsérthetők egy bizonyos típusú rendszermozgásnál, például egy gyűrött cérnára felfüggesztett inga.
Mutassunk be néhány definíciót.
· Lehetséges(vagy virtuális) mozgó(jelölve) elemi (végtelenül kicsi), és olyan, hogy nem sérti a rendszerre támasztott korlátokat.
Példa: a felületen lévő pontnak lehetőség szerint elemi elmozdulásai vannak bármely irányban a referenciafelület mentén anélkül, hogy elszakadna tőle. Egy pont mozgása, amely a felületről való leváláshoz vezet, megszakítja a kapcsolatot, és a definíció szerint nem lehetséges mozgás.
Helyhez kötött rendszerek esetén a szokásos valós (valós) elemi elmozdulás szerepel a lehetséges elmozdulások halmazában.
· Mechanikai rendszer szabadságfokainak száma – a független lehetséges elmozdulások száma.
Tehát, amikor egy pont egy síkon mozog, annak bármely lehetséges mozgása a két merőleges (és így független) komponensével fejeződik ki.
Geometriai kényszerekkel rendelkező mechanikai rendszer esetén a rendszer helyzetét meghatározó független koordináták száma egybeesik a szabadságfokainak számával.
Így a síkon egy pontnak két szabadságfoka van. Szabad anyagi pont – három szabadságfok. Nál nél szabad test– hat (az Euler-szögben végzett fordulatokat hozzáadjuk) stb.
· Lehetséges munka – egy erő elemi munkája egy lehetséges elmozdulásra.
A lehetséges mozgások elve
Ha a rendszer egyensúlyban van, akkor bármelyik pontjára érvényes az egyenlőség, ahol a pontra ható aktív és reakcióerők eredője. Ekkor ezeknek az erőknek az összege bármilyen elmozdulásra szintén nulla 
. Az összes pontot összegezve a következőket kapjuk: 
. Az ideális kötések második tagja nullával egyenlő, ahonnan megfogalmazzuk lehetséges mozgások elve
:
| . | (3.82) |
Ideális korlátokkal rendelkező mechanikai rendszer egyensúlyi feltételei között az összeg elemi művek A rá ható összes aktív erő a rendszer esetleges elmozdulása esetén egyenlő nullával.
A lehetséges elmozdulások elvének értéke egy olyan mechanikai rendszer egyensúlyi feltételeinek megfogalmazásában rejlik (3.81), amelyben nem jelennek meg a kényszerek ismeretlen reakciói.
KÉRDÉSEK AZ ÖNELLENŐRZÉSHEZ
1. Egy pont milyen mozgását nevezzük lehetségesnek?
2. Mit nevezünk az erő lehetséges munkájának?
3. Fogalmazza meg és írja le a lehetséges mozgások elvét!
d'Alembert-elv
Írjuk át a dinamika egyenletét nak nek pontja a mechanikai rendszernek (3.27), áthelyezve a bal oldalt jobbra. Vegyük figyelembe a mennyiséget
A (3.83) egyenletben szereplő erők kiegyensúlyozott erőrendszert alkotnak.
Ezt a következtetést a mechanikai rendszer minden pontjára kiterjesztve jutunk el a megfogalmazáshoz d'Alembert-elv, Jean Leron D'Alembert (1717–1783) francia matematikus és mechanikus nevéhez fűződik, 3.13. ábra:
3.13. ábra
Ha az összes tehetetlenségi erőt hozzáadjuk az adott mechanikai rendszerben ható összes erőhöz, akkor a létrejövő erőrendszer kiegyensúlyozott lesz, és a statika összes egyenlete alkalmazható rá.
Valójában ez azt jelenti, hogy egy dinamikus rendszerből a tehetetlenségi erők (D'Alembert-erők) hozzáadásával egy pszeudo-statikus (majdnem statikus) rendszerbe lépünk át.
A d'Alembert-elv alapján megkaphatjuk a becslést tehetetlenségi erők fővektoraÉs a középpontra vonatkozó fő tehetetlenségi nyomaték mint:
A forgó test tengelyére ható dinamikus reakciók
Tekintsünk egy merev testet, amely egyenletesen forog szögsebességgel ω
az A és B csapágyakban rögzített tengely körül (3.14. ábra). A testtel összekapcsoljuk a vele együtt forgó Axyz tengelyeket, az ilyen tengelyek előnye, hogy ezekre nézve a test tömegközéppontjának és tehetetlenségi nyomatékának koordinátái állandó értékek lesznek. Hagyja, hogy a test cselekedjen adott erőket. Jelöljük mindezen erők fővektorának vetületeit az Axyz tengelyen keresztül
(
stb.), és főbb momentumaik ugyanazokról a tengelyekről - keresztül
( 
stb.); közben, mivel ω
= const, akkor =
0.
3.14. ábra
Dinamikus válaszok meghatározására X A, Y A, Z A, X B, Y B csapágyak, pl. a test forgása során fellépő reakciókat hozzáadjuk a testre ható összes adott erőhöz és a test összes részecskéjének tehetetlenségi erejének kötéseinek reakcióihoz, a középpontba hozva azokat A. Ezután a tehetetlenségi erőket egyenlő erővel fogják képviselni
és az A pontban alkalmazták ,
és egy olyan erőpár, amelynek nyomatéka egyenlő 
.
Ennek a pillanatnak a vetületei a tengelyre nak nekÉs nál nél lesz: 
, 
;
újra itt ,
mert ω
= konst.
Most a (3.86) egyenleteket a d’Alembert-elv szerint az Axyz tengelyre történő vetületekben és AB beállítással =b, kapunk
 .
| (3.87) |
Utolsó egyenlet 
ugyanúgy elégedett, mivel 
.
Fő vektor tehetetlenségi erők , ahol T - testsúly (3,85). Nál nél ω =const tömegközéppont C csak normál gyorsulás , ahol a C pont távolsága a forgástengelytől. Ezért a vektor iránya egybeesik az operációs rendszer irányával . Számítógépes vetítések a koordináta tengelyekés tekintettel arra, hogy hol - a tömegközéppont koordinátáit találjuk:
Az és meghatározásához vegyük figyelembe a test valamilyen tömegű részecskéjét m k , a tengelytől bizonyos távolságra h k . Neki a ω
=const a tehetetlenségi erőnek is csak centrifugális összetevője van 
,
amelynek vetületei, valamint vektorai R", egyenlőek.
1. Általános koordináták és szabadságfokok száma.
Amikor egy mechanikus rendszer mozog, minden pontja nem tud tetszőlegesen mozogni, mivel kapcsolatok korlátozzák őket. Ez azt jelenti, hogy nem minden pont koordinátája független. A pontok helyzetét csak független koordináták megadásával határozzuk meg.
általánosított koordináták. Holonómikus rendszerek (vagyis azok, amelyek kapcsolatait csak koordinátáktól függő egyenletek fejezik ki) esetén a mechanikai rendszer független általánosított koordinátáinak száma egyenlő a szabadságfokok számával ezt a rendszert.
Példák:
Az összes pont helyzetét egyedileg határozza meg a forgásszög
hajtókar.
Egy a szabadság foka.
2. Egy szabad pont helyzetét a térben három, egymástól független koordináta határozza meg. Ezért három szabadságfok.
3. Merev forgó test, helyzetét a forgásszög határozza meg j . Egy szabadságfok.
4. Egy szabad merev test, amelynek mozgását hat egyenlet határozza meg - hat szabadságfok.
2. A mechanikus rendszer lehetséges elmozdulásai.
Ideális kapcsolatok.
Lehetséges Az elmozdulások képzeletbeli végtelenül kicsi elmozdulások, amelyeket egy adott pillanatban a rendszerre szabott kényszerek engednek meg. Egy mechanikai rendszer pontjainak lehetséges elmozdulásait tehát elsőrendű kicsinységi mennyiségeknek tekintjük görbe vonalú mozgások pontokat a pontok pályájához érintőlegesen lefektetett egyenes szakaszok helyettesítik, és jelölik dS.
dS A = dj . OA
Minden ráható erő anyagi pont, adott és reakcióhivatkozásokra vannak felosztva.
Ha a kötések reakcióinak munkájának összege a rendszer bármely lehetséges elmozdulására egyenlő nullával, akkor az ilyen kötéseket ún. ideál.
3. A lehetséges mozgások elve.
Egy ideális kényszerű mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy a rá ható összes aktív erő elemi munkájának összege a rendszer esetleges elmozdulása esetén nullával egyenlő legyen.
Jelentése a lehetséges mozgások elve:
1. Csak az aktív erőket veszik figyelembe.
2. Általános formában megadja bármely mechanikai rendszer egyensúlyi feltételét, míg a statikában a rendszer minden testének egyensúlyi állapotát külön-külön kell figyelembe venni.
Egy feladat.
A forgattyús-csúszka mechanizmus adott helyzetére egyensúlyban keresse meg a nyomaték és az erő közötti összefüggést, ha OA = ℓ.
A dinamika általános egyenlete.
A lehetséges eltolások elve általános módszert ad a statikai problémák megoldására. Másrészt a d'Alembert-elv lehetővé teszi a statika módszereinek alkalmazását dinamikai problémák megoldására. Ezért e két elv egyidejű alkalmazásával általános módszert kaphatunk a dinamikai problémák megoldására.
Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amelyre ideális kényszerek vonatkoznak. Ha a rendszer minden pontjához, kivéve a rájuk ható aktív erőket és a kötések reakcióit, hozzáadjuk a megfelelő tehetetlenségi erőket, akkor a d'Alembert-elv szerint az eredményül kapott erőrendszer egyensúlyban lesz. A lehetséges elmozdulások elvét alkalmazva a következőket kapjuk:
Mivel a kapcsolatok ideálisak, akkor:
Ez az egyenlőség jelképezi általános egyenlet dinamika.
Ebből következik d'Alembert-Lagrange elv- amikor egy rendszer ideális kényszerekkel mozog minden időpillanatban, az összes alkalmazott aktív erő és az összes tehetetlenségi erő elemi munkáinak összege a rendszer bármely lehetséges mozgására nullával egyenlő.
Egy feladat.
A fogaskerekes emelőben 2 súly 2G sugárral R2=R alkalmazott nyomaték M=4GR.
Határozza meg a felemelt teher gyorsulását DE mérés G, figyelmen kívül hagyva a kötél súlyát és a tengelyek súrlódását. Egy dob, amelyre egy kötél van feltekerve, és egy fogaskerék, amelyhez mereven van rögzítve 1 , össztömege van 4Gés forgási sugár r = R. dob sugara RA = Rés fogaskerekek 1
R 1 \u003d 0,5R.
Ábrázoljuk az összes ható erőt, a gyorsulások irányát és az esetleges elmozdulásokat.
________________
Behelyettesítjük a dinamika általános egyenletébe
Az elmozdulást a forgásszögben fejezzük ki δφ 1
Cserélje ki az értékeket
δφ 1 ≠0
Minden gyorsulást fejezzünk ki a kívánt értékkel a Aés egyenlővé tesszük a zárójelben lévő kifejezést nullával
Cserélje ki az értékeket
A lehetséges mozgások elve.
a = 0,15 m
b = 2a = 0,3 m
m = 1,2 Nm ____________________
x V; B helyen; N A ; Mp
Megoldás: Keressük a mozgatható támasz reakcióját DE miért vetjük el gondolatban ezt az összefüggést, cselekvését egy reakcióval helyettesítve N A
A rúd lehetséges mozgása AC a forgása a csuklópánt körül Val vel a sarkon dj. Kernel nap mozdulatlan marad.
Állítsuk össze a munkaegyenletet, figyelembe véve, hogy a test forgása során fellépő erők munkája megegyezik a test forgásközéppontja körüli erőnyomaték és a test forgásszögének szorzatával.
Merev rögzítés reakcióinak meghatározása támaszban NÁL NÉL először találja meg a reakció pillanatát M p. Ehhez elvetjük azt a kényszert, amely megakadályozza a rúd elfordulását nap, a merev rögzítést csuklósan rögzített támasztékra cserélve és nyomatékot alkalmazva M p .
Mondja el a rúdnak egy lehetséges elfordulást egy szögben dj 1.
Állítsa össze a rúd munkaegyenletét! nap:
Határozzuk meg az elmozdulásokat:
A merev rögzítési reakció függőleges komponensének meghatározásához elvetjük azt a kényszert, amely megakadályozza a pont függőleges mozgását NÁL NÉL, a merev rögzítést csúsztathatóra cseréljük (lehetetlen forgatni) és alkalmazzuk a reakciót:
Tájékoztassuk a bal oldalt (a rúd nap csúszkával NÁL NÉL) lehetséges sebesség V B előre mozgás le. Kernel AC forog a pont körül DE .
Készítsük el a művek egyenletét:
A merev lehorgonyzási reakció vízszintes összetevőjének meghatározásához elvetjük azt a kényszert, amely megakadályozza a pont vízszintes elmozdulását NÁL NÉL a merev végződést csúszóra cseréljük és a reakciót alkalmazzuk:
Tájékoztassuk a bal oldalt (csúszka NÁL NÉL rúddal együtt nap) lehetséges sebesség V B előre mozgás balra. A támogatás óta DE hengereken, akkor a jobb oldal ugyanolyan sebességgel halad előre. Következésképpen 
.
Készítsük el a munkák egyenletét minden tervezésre.
A megoldás helyességének ellenőrzésére a teljes rendszerre összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket:
A feltétel teljesül.
Válasz: y B = -14,2 H; XB = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P \u003d 3,33 Nm.
Általános sebességek. Általánosított erők.
Egy mechanikai rendszer összes pontjának helyzetét egyedileg meghatározó független mennyiségeket nevezzük általánosított koordináták. – q
Ha a rendszer rendelkezik S szabadsági fokot, akkor a helyzete meghatározásra kerül Sáltalánosított koordináták:
q1; q2; …; q s .
Amennyiben általánosított koordináták függetlenek egymástól, akkor ezeknek a koordinátáknak az elemi növekményei is függetlenek lesznek:
dq 1; dq 2; …; dq S .
Ugyanakkor az egyes mennyiségek dq 1; dq 2; …; dq S meghatározza a rendszer megfelelő, a többitől független lehetséges mozgását.
Amikor a rendszer mozog, az általánosított koordinátái az idő múlásával folyamatosan változnak, ennek a mozgásnak a törvényét az egyenletek határozzák meg:
, …. ,
Ezek a rendszer mozgásegyenletei általánosított koordinátákban.
Az általánosított koordináták időbeli deriváltjait a rendszer általánosított sebességeinek nevezzük:
A méret a mérettől függ q.
Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amely n anyagi pontból áll, amelyekre erők hatnak F 1 , F 2 , F n. Legyen a rendszer S szabadsági fokát és helyzetét az általánosított koordináták határozzák meg q1; q2; q 3. Mondjunk a rendszernek egy lehetséges mozgást, amelyben a koordináta q 1 növekményt kap dq 1, és a többi koordináta nem változik. Ekkor a k-adik pont sugárvektora elemi növekményt kap (dr k) 1. Ez az a növekmény, amelyet a sugárvektor kap, ha csak a koordináta változik. q 1 az összeggel dq 1. A többi koordináta változatlan marad. Ezért (dr k) 1 számított hogyan privát differenciálmű:
Számítsuk ki az összes alkalmazott erő elemi munkáját:
Vegyük ki a zárójelből dq 1, kapunk:
ahol 
- általánosított erő.
Így, általánosított erő – az általánosított koordináta növekményeinek együtthatója.
Az általánosított erők számítása a lehetséges elemi munka kiszámítására redukálódik.
Ha minden megváltozik q, azután:
A lehetséges eltolások elve szerint a rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő az SdA a k = 0. Általánosított koordinátákban Q1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 Következésképpen, számára rendszer egyensúly szükséges és elégséges, hogy az általánosított erők megfeleljenek a rendszerhez választott lehetséges elmozdulásoknak, és ezáltal az általánosított koordinátáknak, nullával egyenlőek voltak.
Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.
Lagrange-egyenletek.
A mechanikai rendszer általános dinamikai egyenletét felhasználva megtalálhatjuk egy mechanikai rendszer mozgásegyenleteit.
4) határozza meg a rendszer kinetikus energiáját, fejezze ki ezt az energiát általánosított sebességekkel és általánosított koordinátákkal;
5) keresse meg a megfelelő parciális származékait Tés és helyettesítse az egyenletben szereplő összes értéket.
Hatáselmélet.
Egy test mozgását közönséges erők hatására a test sebességének moduljainak és irányainak folyamatos változása jellemzi. Vannak azonban olyan esetek, amikor a test pontjainak sebessége, és így a mozgás mennyisége is szilárd test nagyon rövid időn belül végleges változások érhetők el.
Jelenség, amelynél elhanyagolhatóan rövid ideig a test pontjainak sebessége véges mértékben változik, ún. fúj.
erők, amelyek hatására a becsapódás bekövetkezik ún ütőhangszerek.
Kis ideig t amely során a becsapódás bekövetkezik ún hatásidő.
Mivel a becsapódási erők nagyon nagyok és jelentősen változnak az ütközés során, az ütközéselméletben nem magukat a becsapódási erőket, hanem azok impulzusait tekintik a testek kölcsönhatásának mérőszámának.
Nem ütköző erők impulzusai az idő múlásával t nagyon kicsik és elhanyagolhatóak.
Tétel egy pont lendületének változásáról becsapódáskor:
ahol v a pont sebessége az ütközés elején,
u a pont sebessége az ütközés végén.
A hatáselmélet alapegyenlete.
A pontok elmozdulása nagyon rövid időn belül, vagyis az ütközés során szintén kicsi lesz, ezért a testet mozdulatlannak fogjuk tekinteni.
Tehát a következő következtetéseket vonhatjuk le a becsapódási erőkről:
1) az ütközés során fellépő nem ütési erők hatása elhanyagolható;
2) az ütközés során a test pontjainak elmozdulásai elhanyagolhatók, és a test az ütközés során mozdulatlannak tekinthető;
A lehetséges eltolások elve a statikai problémák dinamikai módszerekkel történő megoldására van megfogalmazva.
Definíciók
kapcsolatokat minden olyan testet, amely korlátozza a vizsgált test mozgását, ún.
Ideál kötéseknek nevezzük, amelyek reakcióinak munkája bármilyen lehetséges elmozdulás esetén nulla.
A szabadságfokok száma Egy mechanikus rendszer azon egymástól független paramétereinek száma, amelyek segítségével a rendszer helyzete egyértelműen meghatározható.
Például egy síkban elhelyezkedő golyónak öt szabadságfoka van, a hengeres csuklónak egy szabadságfoka van.
Általánosságban elmondható, hogy egy mechanikai rendszernek végtelen számú szabadsági foka lehet.
Lehetséges mozgások olyan eltolásoknak fogjuk nevezni, amelyeket egyrészt egymásra épülő kényszerek engednek meg, másrészt végtelenül kicsik.
A forgattyús-csúszka mechanizmus egy szabadságfokkal rendelkezik. A paraméterek lehetséges elmozdulásoknak tekinthetők - , x satöbbi.
Bármely rendszer esetében az egymástól független lehetséges elmozdulások száma megegyezik a szabadságfokok számával.
Legyen valamilyen rendszer egyensúlyban, és az erre a rendszerre felállított kötések ideálisak. Ekkor a rendszer minden pontjára felírhatjuk az egyenletet
,
(102)
ahol 
- anyagi pontra ható aktív erők eredője;
- a kötések eredő reakciói.
Szorozzuk meg (102) skalárisan a lehetséges ponteltolódás vektorával 
,
mivel a kapcsolatok ideálisak, mindig az 
, a pontra ható aktív erők elemi munkájának összege marad
.
(103)
A (103) egyenlet minden anyagi pontra felírható, amit összeadva kapunk
.
(104)
A (104) egyenlet a lehetséges eltolások alábbi elvét fejezi ki.
Egy ideális kényszerű rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rá ható összes aktív erő elemi munkájának összege a rendszer esetleges elmozdulása esetén nullával egyenlő legyen.
A (104) egyenletek száma megegyezik az adott rendszer szabadságfokainak számával, ami ennek a módszernek az előnye.
Általános dinamikai egyenlet (d'Alembert-Lagrange elv)
A lehetséges eltolások elve lehetővé teszi a statikai problémák megoldását dinamikai módszerekkel, másrészt a d'Alembert-elv ad egy általános módszert a dinamikai problémák statikai módszerekkel történő megoldására. E két elv kombinálásával egy általános módszert kaphatunk a mechanikai problémák megoldására, amelyet d'Alembert-Lagrange elvnek neveznek.
.
(105)
Amikor egy rendszer ideális kényszerekkel mozog minden időpillanatban, az összes alkalmazott aktív erő és az összes tehetetlenségi erő elemi munkáinak összege a rendszer bármely lehetséges mozgására nullával egyenlő.
NÁL NÉL elemző forma a (105) egyenlet alakja
Második típusú Lagrange-egyenletek
Általános koordináták (q) Olyan, egymástól független paramétereknek nevezzük, amelyek egy mechanikai rendszer viselkedését egyedileg határozzák meg.
Az általánosított koordináták száma mindig megegyezik a mechanikai rendszer szabadságfokainak számával.
Bármilyen dimenziójú paraméter kiválasztható általánosított koordinátaként.
H 
Például ha egy matematikai inga mozgását vizsgáljuk egy szabadságfokkal, általános koordinátaként q paraméterek elfogadhatók:
x(m), y(m) – pont koordinátái;
s(m) – ívhossz;
(m 2) - szektorterület;
(rad) – elforgatási szög.
Amikor a rendszer mozog, az általánosított koordinátái az idő múlásával folyamatosan változnak
A (107) egyenletek a rendszer mozgásegyenletei általánosított koordinátákban.
Az általánosított koordináták időbeli deriváltjait nevezzük a rendszer általánosított sebessége
.
(108)
Az általánosított sebesség mérete az általánosított koordináta méretétől függ.
Bármilyen más koordináta (derékszögű, poláris stb.) kifejezhető általánosított koordinátákkal.
Az általánosított koordináta fogalma mellett bevezetik az általánosított erő fogalmát is.
Alatt általánosított erőértse azt az értéket, amely egyenlő a rendszerre ható összes erő elemi munkája összegének arányával az általánosított koordináta valamilyen elemi növekményénél ehhez a növekményhez
,
(109)
ahol S az általánosított koordináta indexe.
Az általánosított erő mérete az általánosított koordináta méretétől függ.
Egy geometriai kényszerű mechanikai rendszer mozgásegyenleteinek (107) általánosított koordinátákban történő megtalálásához a második típusú Lagrange-féle differenciálegyenleteket használjuk.
.
(110)
A (110) mozgási energiában T rendszer általánosított koordinátákkal van kifejezve q Sés általánosított sebességek 
.
A Lagrange-egyenletek egységes és meglehetősen egyszerű módszert adnak a dinamikai problémák megoldására. Az egyenletek típusa és száma nem a rendszerben lévő testek (pontok) számától, hanem csak a szabadságfokok számától függ. Ideális kötések esetén ezek az egyenletek lehetővé teszik a kötések minden eddig ismeretlen reakciójának kizárását.
A KAPCSOLATOK OSZTÁLYOZÁSA
A 3. §-ban bevezetett kapcsolatok fogalma nem fedi le minden típusát. Mivel a mechanikai problémák megoldására a vizsgált módszerek is általánosan alkalmazhatók korlátok nélküli rendszerekre, nézzük meg a kényszerek és osztályozásuk kérdését egy kicsit részletesebben.
Linkeknek nevezünk mindenféle korlátozást, amely egy mechanikai rendszer pontjainak helyzetére és sebességére vonatkozik, és függetlenül attól, hogy milyen erők hatnak a rendszerre. Nézzük meg, hogyan osztályozzák ezeket a kapcsolatokat.
Az idővel nem változó kapcsolatokat stacionáriusnak, az időben változókat pedig nem stacionáriusnak nevezzük.
Azokat a kapcsolatokat, amelyek a rendszer pontjainak helyzetére (koordinátáira) korlátozzák, geometrikusnak, azokat, amelyek a rendszer pontjainak sebességére (a koordináták első deriváltjai az időre vonatkoztatva) is korlátoznak, nevezzük. kinematikus vagy differenciális.
Ha a differenciális kapcsolat geometriaiként ábrázolható, azaz az ezzel a kapcsolattal létrehozott sebességek közötti függés a koordináták közötti függőségre redukálható, akkor az ilyen kapcsolatot integrálhatónak, egyébként pedig nem integrálhatónak nevezzük.
A geometriai és integrálható differenciális megszorításokat golonómiai kényszereknek, a nem integrálható differenciális megszorításokat nem holonomikusnak nevezzük.
A megszorítások típusa szerint a mechanikus rendszereket holonomikus (holonom megszorításokkal) és nem holonomikus (nem holonom kényszereket tartalmazó) rendszerekre is felosztják.
Végül megkülönböztetik a visszatartó kötvényeket (az általuk felállított korlátozások a rendszer bármely pozíciójában megmaradnak) és a nem megtartókat, amelyek nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal (amint mondják, a rendszer „meg tud szabadulni” az ilyen kötésektől) . Vegye figyelembe a példákat.
1. A 3. §-ban tárgyalt összes kényszer geometriai (holonikus) és ráadásul stacionárius. ábrán látható mozgó lnft. 271, a, a benne fekvő teherre lesz, ha a terhelés helyzetét az Ox tengelyekhez viszonyítva vesszük figyelembe, egy nem stacionárius geometriai kapcsolat (a kapcsolatot megvalósító kabinpadló idővel megváltoztatja a térbeli helyzetét) .
2 A csúszás nélkül gördülő kerék helyzetét (lásd 328. ábra) a kerék C középpontjának koordinátája és a forgásszög határozza meg. Tekeréskor a feltétel ill
Ez egy differenciális kapcsolat, de a kapott egyenlet integrálva van, és megadja, azaz koordináták közötti kapcsolatra redukál. Ezért a kiszabott kényszer holonikus.
3. Ellentétben a durva síkon csúszás nélkül gördülő labda kerekével, nem csökkenthető az a feltétel, hogy a labda síkot érintő pontjának sebessége nullával egyenlő (ha a labda közepe nem mozdul el egy egyenes) a koordináták közötti néhány függőséghez, amely meghatározza a labda helyzetét. Ez egy példa a nem halogén kötésre. Egy másik példát adnak a szabályozott mozgásra vonatkozó korlátok. Például, ha egy pont (rakéta) mozgására olyan feltételt (csatolást) szabunk, hogy a sebességét bármely pillanatban egy másik mozgó pontra (repülőgépre) kell irányítani, akkor ez a feltétel nem redukálható semmilyen koordinátafüggésre. sem, és a megszorítás nem holonom .
4. A 3. §-ban az ábrán látható csatlakozások. tartanak, és az ábrán. 8. és 9. ábra - nem tartó (a 8. ábrán a a golyó elhagyhatja a felületet, és a 9. ábrán - az A pont felé mozog, összezúzva a fonalat). Figyelembe véve a vissza nem tartó kötvények sajátosságait, a 108., 109. (90. §) és a 146. (125. §) feladatban találkoztunk.
Térjünk át még egy mechanikai elv figyelembevételére, amely egy mechanikai rendszer egyensúlyának általános feltételét határozza meg. Egyensúly alatt (lásd 1. §) a rendszernek azt az állapotát értjük, amelyben az alkalmazott erők hatására minden pontja nyugalomban van az inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest (ún. "abszolút" egyensúlynak tekintjük). Ugyanakkor minden, a rendszerre ráhelyezett kommunikációt stacionernek tekintünk, és ezt a jövőben sem fogjuk minden alkalommal külön kikötni.
Vezessük be a lehetséges munka fogalmát, mint olyan elemi munkát, amelyet egy anyagi pontra ható erő olyan elmozdulásnál végezhet, amely egybeesik ennek a pontnak az esetleges elmozdulásával. Az aktív erő lehetséges működését szimbólummal jelöljük, az N kötés reakció lehetséges hatását pedig szimbólummal
Most adjuk általános meghatározás az ideális kötések fogalma, amelyet már használtunk (ld. 123. §): ideális kötések azok, amelyeknél a rendszer esetleges elmozdulására adott reakcióik elemi munkáinak összege nullával egyenlő, azaz.
A 123. §-ban adott és egyenlőséggel (52) kifejezve a kötések idealitásának feltétele, amikor egyidejűleg stacionáriusak, megfelel a (98) definíciónak, mivel stacionárius kötéseknél minden valós elmozdulás egybeesik a lehetségesek valamelyikével. . Ezért az ideális kapcsolatok példái a 123. §-ban szereplő összes példa.
A szükséges egyensúlyi feltétel meghatározásához bebizonyítjuk, hogy ha egy ideális kényszerű mechanikai rendszer az alkalmazott erők hatására egyensúlyban van, akkor a rendszer esetleges elmozdulása esetén az egyenlőség
hol van az erő és a lehetséges elmozdulás közötti szög.
Jelöljük a rendszer valamely pontjára ható kötések összes (külső és belső) aktív erőinek és reakcióinak eredőit rendre a -n keresztül. Ekkor, mivel a rendszer minden pontja egyensúlyban van, következésképpen ezen erők munkájának összege a pont tetszőleges mozgására szintén nulla lesz, azaz. Ha a rendszer minden pontjára összeállítjuk ezeket az egyenlőségeket, és tagonként összeadjuk, azt kapjuk
De mivel az összefüggések ideálisak, a rendszer pontjainak lehetséges elmozdulásait reprezentálják, akkor a (98) feltétel szerinti második összeg nulla lesz. Ekkor az első összeg is egyenlő nullával, azaz teljesül a (99) egyenlőség. Így bebizonyítottuk, hogy az egyenlőség (99) kifejezi szükséges feltétel rendszer egyensúlya.
Mutassuk meg, hogy ez a feltétel is elegendő, vagyis ha egy mechanikai rendszer nyugalmi pontjaira a (99) egyenletet kielégítő aktív erőket alkalmazunk, akkor a rendszer nyugalmi állapotban marad. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis hogy a rendszer elkezd mozogni, és egyes pontjai valódi elmozdulást hajtanak végre. Ekkor az erők működni fognak ezeken az elmozdulásokon, és a mozgási energia változására vonatkozó tétel szerint ez lesz:
ahol nyilvánvalóan, mivel a rendszer kezdetben nyugalomban volt; ezért, és . De stacionárius kapcsolatoknál a tényleges elmozdulások egybeesnek néhány lehetséges elmozdulással, és ezeknek az elmozdulásoknak is kell lennie valaminek, ami ellentmond a feltételnek (99). Így amikor az alkalmazott erők kielégítik a (99) feltételt, a rendszer nem tud kilépni a nyugalmi állapotból, és ez a feltétel elégséges feltétele az egyensúlynak.
A lehetséges elmozdulások következő elve a bizonyítottból következik: ideális kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszer esetleges elmozdulása esetén a rá ható összes aktív erő elemi munkájának összege egyenlő legyen. nullára. A matematikailag megfogalmazott egyensúlyi feltételt a (99) egyenlőség fejezi ki, amelyet egyenletnek is neveznek lehetséges művek. Ez az egyenlőség analitikus formában is ábrázolható (lásd 87. §):
A lehetséges elmozdulások elve a mechanikai rendszer egyensúlyának általános feltételét állítja fel, amely nem igényli e rendszer egyes részeinek (testeinek) egyensúlyának figyelembevételét, és ideális kötések esetén lehetővé teszi, hogy figyelmen kívül hagyjuk az összes eddig ismeretlen reakciót. kötvények.
A tanfolyamról ismeretes elméleti mechanika, egy tárgy egyensúlyi feltétele lehet erő vagy energia megfogalmazása. Az első lehetőség a fő vektor nullával való egyenlőségének feltétele és a testre ható összes erő és reakció fő momentuma. A második megközelítés (variációs), amelyet a lehetséges elmozdulások elveként hívnak, nagyon hasznosnak bizonyult számos szerkezeti mechanikai probléma megoldásában.
Abszolút merev testekből álló rendszer esetén a lehetséges elmozdulások elve a következőképpen fogalmazódik meg: ha egy abszolút merev testek rendszere egyensúlyban van, akkor bármely lehetséges végtelenül kicsi elmozdulásra az összes külső erő munkájának összege nulla. Lehetséges (vagy virtuális) mozgásnak nevezzük, amely nem sérti a testek kinematikai kapcsolatait és folytonosságát. ábra szerinti rendszerhez. 3.1, a rúdnak csak a támaszhoz viszonyított elforgatása lehetséges. Tetszőleges kis szögben történő elforduláskor erőt és munkát végez 
A lehetséges eltolások elve szerint, ha a rendszer egyensúlyban van, akkor annak lennie kell 
. Helyettesítve itt a geometriai összefüggéseket 
az erőformálásban megkapjuk az egyensúlyi feltételt
A rugalmas testek lehetséges elmozdulásának elve a következőképpen fogalmazódik meg: ha a rugalmas testek rendszere egyensúlyban van, akkor az összes külső ill. belső erők bármely lehetséges infinitezimális elmozduláson nulla. Ez az elv egy rugalmas deformált P rendszer összenergiáján alapul. Ha a szerkezetet statikusan terheljük, akkor ez az energia megegyezik a külső U és belső W erők által végzett munkával, amikor a rendszert áthelyezzük a deformált állapotból. az elsőhöz:
Ezzel a fordítással a külső erők nem változtatják meg értéküket és negatív munkát végeznek U= -F . Ebben az esetben a belső erők nullára csökkennek, és pozitív munkát végeznek, mivel ezek az anyag részecskéinek adhéziós erői, és a külső terheléssel ellentétes irányba irányulnak:
ahol 
- rugalmas alakváltozás fajlagos potenciális energiája; V a test térfogata. Mert lineáris rendszer, ahol . A Lagrange-Dirichlet-tétel szerint a stabil egyensúlyi állapot megfelel a teljes összeg minimumának. helyzeti energia rugalmas rendszer, azaz.
Az utolsó egyenlőség teljes mértékben megfelel a lehetséges eltolások elvének megfogalmazásának. A dU és dW energianövekmény a rugalmas rendszer egyensúlyi állapottól való tetszőleges elmozdulásán (eltérésén) számítható. A linearitás követelményeinek megfelelő szerkezetek kiszámításához a végtelenül kicsi lehetséges d elmozdulás helyettesíthető egy nagyon kicsi végső elmozdulással, amely lehet a szerkezet tetszőlegesen megválasztott erőrendszer által létrehozott deformált állapota. Ezt szem előtt tartva a kapott egyensúlyi feltételt így kell felírni
A külső erők munkája
Tekintsük a külső erők hatásának kiszámításának módszerét a tényleges és lehetséges elmozdulásra. A rúdrendszert és (3.2. ábra, a) erők terhelik, amelyek egyszerre hatnak, és az arány bármikor állandó marad. Ha az általánosított erőt vesszük figyelembe, akkor az érték alapján bármikor kiszámítható az összes többi terhelés (ebben az esetben ). A szaggatott vonal az ezekből az erőkből adódó tényleges rugalmas elmozdulást mutatja. Jelöljük ezt az állapotot 1-es indexszel. Jelöljük az erők alkalmazási pontjainak eltolódását és ezen erők irányát az 1 és állapotokban.
A lineáris rendszer erőkkel és, erőkkel való terhelése során az erők azokkal arányosan növekednek, az elmozdulások és növekednek (3.2. ábra, c). Az erők és az általuk létrehozott elmozdulások tényleges munkája megegyezik a grafikonok területének összegével, azaz. 
. Ezt a kifejezést így írva 
, megkapjuk az általánosított erő és az általánosított elmozdulás szorzatát. Ezen az űrlapon küldheti be
az erők munkája bármilyen terhelés mellett, ha minden terhelés szinkronban változik, azaz értékük aránya állandó marad.
Ezután vegyük figyelembe a külső erők hatását egy esetleges elmozdulásra. Lehetséges elmozdulásként vesszük például a rendszer deformált állapotát, amely egy bizonyos ponton erőhatás eredményeként jön létre (3.2. ábra, b). Ezt az állapotot, amely megfelel az erők alkalmazási pontjainak további elmozdulásának és távolsággal és , 2-vel jelöljük. Erők és , értékük megváltoztatása nélkül virtuális munkát végeznek az elmozdulásokon és (3.2. ábra, c):
Mint látható, az eltolási jelölésben az első index azt az állapotot mutatja, amelyben ezeknek az elmozdulásoknak a pontjai és irányai meg vannak adva. A második index azt az állapotot mutatja, amelyben a mozgást okozó erők hatnak.
F 2 egységnyi erő munkája a tényleges elmozdulásra
Ha az 1-es állapotot tekintjük az F 2 erő lehetséges elmozdulásának, akkor annak virtuális munkája az elmozduláson
A belső erők munkája
Határozzuk meg az 1. állapot belső erőinek munkáját, azaz a 2. állapot erőiből és erőiből a virtuális elmozdulásokon, azaz az F 2 terhelés hatására. Ehhez válasszon ki egy dx hosszúságú rúdelemet (3.2. és 3.3. ábra, a). Mivel a vizsgált rendszer lapos, az elem metszeteiben csak két S és Q z erő, valamint egy Mu hajlítónyomaték hat, amelyek a vágott elemre külső erők. A belső erők olyan összetartó erők, amelyek erőt adnak az anyagnak. Értékükben megegyeznek a külsővel, de az alakváltozással ellentétes irányba irányulnak, ezért terhelés alatti munkájuk negatív (3.3. ábra, b-d, szürkével ábrázolva). Számítsuk ki egymás után az egyes erőtényezők által végzett munkát.
A hosszirányú erők munkája az elmozdulásra, amelyet az F 2 terhelés hatására fellépő S 2 erők hoznak létre (3.2. ábra, b, 3.3, b),
A dx hosszúságú rúd megnyúlását a jól ismert képlet segítségével találjuk meg
ahol A a rúd metszeti területe. Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az előző képletbe, azt találjuk
Hasonlóképpen definiáljuk azt a munkát, amelyet a hajlítónyomaték végez a nyomaték által létrehozott szögelmozduláson (3.3. ábra, c):
A forgásszöget as
ahol J a rúdszakasz tehetetlenségi nyomatéka az y tengelyhez képest. Csere után kapjuk
Határozzuk meg a keresztirányú erő munkáját az elmozdulásra (3.3. ábra, d). A Q z nyíróerő érintőleges feszültségei és eltolódásai nem oszlanak el lineárisan a rúdszakaszon (ellentétben a korábbi terhelési esetekben a normál feszültségekkel és nyúlásokkal). Ezért a nyírási munka meghatározásához figyelembe kell venni a rúd rétegeiben a nyírófeszültségek által végzett munkát.
A Q z erőből származó tangenciális feszültségeket, amelyek a semleges tengelytől z távolságra fekvő rétegben hatnak (3.3. ábra, e), a Zhuravsky-képlet alapján számítjuk ki.
ahol Su a keresztmetszeti terület e réteg feletti részének a statikus nyomatéka az y tengelyhez képest; b a szakasz szélessége a vizsgált réteg szintjén. Ezek a feszültségek egy szögnyi nyírást hoznak létre a rétegben, amelyet a Hooke-törvény szerint a következőképpen határoz meg: 
- nyírási modulus. Ennek eredményeként a réteg vége eltolódik
Az első állapot nyírófeszültségeinek összmunkája, amely ennek a rétegnek a végén hat a második állapot elmozdulásaira, úgy számítható ki, hogy a szorzatot integráljuk a keresztmetszeti területre.
Miután itt behelyettesítettük az és kifejezéseket, megkapjuk
Kivesszük a z-től nem függő integrál értékek alól, megszorozzuk és elosztjuk ezt a kifejezést A-val, megkapjuk
Itt bevezetjük a dimenzió nélküli együtthatót,
csak a konfigurációtól és a szakaszok méretarányától függ. Téglalaphoz \u003d 1,2, I-gerenda és doboz szakaszokhoz (A c - a fal metszete vagy dobozszakaszban - két fal).
Mivel az egyes figyelembe vett terhelési komponensek (S, Q, M) munkája a többi komponens okozta elmozdulásokon nullával egyenlő, akkor az összes belső erő összmunkája a dx hosszúságú rúd vizsgált elemére
| (3.3) |
Egy térbeli rúdrendszer elemének metszetében hat belső erő hat (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), ezért számára a belső erők összmunkájának kifejezése így fog kinézni. ,
Itt M x - nyomaték a rúdban; J T a rúd tehetetlenségi nyomatéka szabad torzióban (geometriai torziós merevség). Az integrandusban az "és" indexek kimaradnak.
A (3.3) és (3.4) képletekben S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 az F (és F (, aS 2 , Q y 2) erők hatásából származó belső erők diagramjainak analitikai kifejezéseit jelöli , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - az F 2 erőből származó belső erők diagramjainak leírása.
Tételek rugalmas rendszerekről
A (3.3) és (3.4) képletek szerkezete azt mutatja, hogy „szimmetrikusak” az 1. és 2. állapothoz képest, azaz az 1. állapot belső erőinek munkája a 2. állapot elmozdulásain megegyezik a belső erők munkájával. a 2. állapot erői az 1. állapot elmozdulásain De a (3.2) szerint 
Ezért, ha a belső erők munkája egyenlő, akkor a külső erők munkája egyenlő - Ezt az állítást reciprocitási munkatételnek nevezzük (Betty tétele, 1872).
F 1 erővel terhelt rúdrendszernél (3.4. ábra, a) lehetséges elmozdulásnak vesszük azt a deformált állapotot, amely az F 2 erővel történő terheléskor keletkezett (3.4. ábra, b). Ennél a rendszernél a Betti-tétel szerint 1- Ha feltesszük, akkor kapjuk
| (3.5) |
Ez a képlet kifejezi Maxwell tételét (1864) az elmozdulások reciprocitásáról: az első egységnyi erő hatópontjának irányában történő elmozdulása, amelyet a második egységnyi erő hatása okoz, egyenlő az alkalmazási pont elmozdulásával. az irányába eső második egységerő, amelyet az első egységnyi erő hatása okoz. Ez a tétel az ábra szerinti rendszerre is alkalmazható. 3.2. Ha beállítjuk = 1 N (3.1.2. szakasz), akkor megkapjuk az általánosított elmozdulások egyenlőségét 
.
Tekintsünk egy statikailag határozatlan rendszert olyan támasztékokkal, amelyek a lehető legmegfelelőbb elmozdulást adják (3.4. ábra, c, d). Az első állapotban a támaszt 1-re toljuk el, a másodikban pedig - beállítjuk a beágyazás elforgatását egy szöggel - Ebben az esetben az első és a , a második - i állapotban reakciók mennek végbe. A munka reciprocitási tétele szerint azt írjuk, hogy Ha beállítjuk 
(itt a dimenzió = m, és az érték dimenzió nélküli), akkor kapjuk
Ez az egyenlőség numerikus, mivel a reakció dimenziója = H, a = N-m. Így az 1. rögzített kötésben az R 12 reakció, amely akkor megy végbe, amikor a 2. kötést eggyel elmozdítja, számszerűen megegyezik azzal a reakcióval, amely a 2. kötésben az 1. kötés egységnyi elmozdulásával megy végbe. Ezt az állítást reakció-reciprocitás tételnek nevezzük.
-ban megfogalmazott tételek ez a szekció, statikusan határozatlan rendszerek analitikai számításaihoz használatosak.
Az elmozdulások meghatározása
Általános elmozdulási képlet
A rúdrendszerben egy adott terhelés hatására bekövetkező elmozdulások kiszámításához (1. állapot) a rendszer segédállapotát kell képezni, amelyben egy egységnyi erő hat, és a kívánt elmozduláson dolgozik (2. állapot). . Ez azt jelenti, hogy a lineáris elmozdulás meghatározásakor egy F 2 = 1 N egységnyi erőt kell megadni, amely ugyanabban a pontban és ugyanabban az irányban hat, amelyben az elmozdulást meg kell határozni. Ha meg kell határozni bármely szakasz elfordulási szögét, akkor ezen a szakaszon egyetlen F 2 = 1 N m nyomatékot alkalmazunk, majd összeállítjuk a (3.2) energiaegyenletet, amelyben a 2. állapotot vesszük fő, és a deformált
 |
az 1. állapot virtuális lépésként kezelendő. Ebből az egyenletből számítjuk ki a kívánt elmozdulást.
Határozzuk meg a B pont vízszintes elmozdulását az ábra szerinti rendszerre. 3.5, a. Ahhoz, hogy a kívánt D 21 elmozdulás belekerüljön a munkák egyenletébe (3.2), főállapotnak vesszük a rendszer F 2 - 1 N egységnyi erő hatására bekövetkező elmozdulását (2. állapot, 3.5. ábra, b). Lehetséges elmozdulásként a szerkezet tényleges deformált állapotát fogjuk figyelembe venni (3.5. ábra, a).
A 2. állapot külső erőinek munkája az 1. állapot elmozdulásain a következőképpen érhető el: (3.2)
ezért a kívánt elmozdulás
Mivel (3.1.4. szakasz) a 2. állapot belső erőinek az 1. állapot elmozdulásaira gyakorolt hatását a (3.3) vagy (3.4) képlet számítja ki. Lapos rúdrendszer belső erőinek munkáját (3.7) kifejezésre (3.3) behelyettesítve azt kapjuk, hogy
Ennek a kifejezésnek a további használatához célszerű bevezetni a belső erőtényezők egyes diagramjainak fogalmát, pl. amelyek közül az első kettő dimenzió nélküli, és a dimenzió . Az eredmény az lesz
Ezeket az integrálokat a ható terhelésből származó megfelelő belső erők eloszlási diagramjainak kifejezéseivel kell helyettesíteni. És és től erők F 2 = 1. A kapott kifejezést Mohr-képletnek nevezzük (1881).
A térbeli rúdrendszerek kiszámításakor a (3.4) képletet kell használni a belső erők összmunkájának kiszámításához, akkor kiderül
Nyilvánvaló, hogy az S, Q y , Q z , M x, M y, M g belső erők diagramjaira és az értékekre vonatkozó kifejezések geometriai jellemzők A, J t, Jy, J szakaszok a megfelelő n-edik szakaszhoz. A mennyiségek jelölésének lerövidítése érdekében az „i” indexet elhagyjuk.
3.2.2. Az elmozdulások meghatározásának sajátos esetei
A (3.8) képlet a sík rúdrendszer általános esetben használatos, de bizonyos esetekben jelentősen leegyszerűsíthető. Vegye figyelembe a végrehajtásának speciális eseteit.
1. Ha a hosszirányú erőkből adódó alakváltozások figyelmen kívül hagyhatók, ami a gerendarendszerekre jellemző, akkor a (3.8) képletet a következőképpen írjuk fel:
2. Ha lapos rendszer csak hajlított vékonyfalú gerendákból áll, amelyek aránya l/h> 5 konzoloknál vagy l/h> 10 fesztávolságnál (I és h a gerenda hossza és szelvénymagassága), akkor általában a hajlítási alakváltozási energia jelentősen megnő. meghaladja a hossz- és nyíróerőkből származó alakváltozási energiát, ezért az elmozdulások számításánál figyelmen kívül hagyhatók. Ekkor a (3.8) képlet felveszi a formát
3. Azon tartóknál, amelyek rúdjai csomóponti terhelés hatására főleg hosszirányú erőhatásokat fejtenek ki, feltételezhetjük, hogy M = 0 és Q = 0. Ekkor a csomópont elmozdulását a képlet alapján számítjuk ki.
Az integrálást az egyes rudak hosszában, az összesítést pedig az összes rúdon hajtják végre. Szem előtt tartva, hogy az S u in i-m rúdés a keresztmetszeti terület nem változik a hossza mentén, leegyszerűsíthetjük ezt a kifejezést:
Ennek a képletnek a látszólagos egyszerűsége ellenére a rácsos elmozdulások analitikai számítása nagyon munkaigényes, mivel meg kell határozni az összes rácsos rúdban lévő erőket a ható terhelésből () és az elmozdulást igénylő ponton alkalmazott egységnyi erőből () találni.
3.2.3. Az elmozdulások meghatározásának módszertana és példák
Tekintsük a Mohr-integrál kiszámítását A. N. Verescsagin (1925) módszerével. A Mohr-integrál alakja (3.8), ahol D 1 , D 2 alakban megjelenhetnek a hajlítónyomatékok, hosszanti vagy keresztirányú erők diagramjai. Az integrandusban legalább az egyik diagram () lineáris vagy darabonként lineáris, mivel egyetlen terhelésből épül fel. Ezért a
 |
Az integrálok közül az első numerikusan egyenlő a részgráf területével (a 3.6. ábrán árnyékolva), a második pedig ennek a területnek a tengelyhez viszonyított statikus nyomatéka. A statikus nyomaték így írható fel, ahol a terület súlypontjának (A pont) helyzetének koordinátája. Az elhangzottak fényében azt kapjuk
(3.13)
Verescsagin szabálya a következőképpen fogalmazódik meg: ha legalább az egyik diagram lineáris a telken, akkor a Mohr-integrált egy tetszőlegesen megadott terület szorzataként számítjuk ki.
A Mathcad környezetben a struktúrák kiszámításakor nincs szükség a Vereshchagin-szabály használatára, mivel az integrált numerikus integrációval is kiszámíthatja.
Példa 3.1(3.7. ábra, a). A gerenda két szimmetrikusan elhelyezkedő erővel van terhelve. Határozza meg az erők alkalmazási pontjainak elmozdulásait!
1. Készítsünk egy diagramot az M 1 hajlítónyomatékokról F 1 erőkből. Támogató reakciók 
Maximális hajlítónyomaték erő hatására
2. Mivel a rendszer szimmetrikus, az erők alatti elhajlások azonosak lesznek. Segédállapotként a gerenda két egységnyi F 2 = 1 N erővel történő terhelését vesszük, ugyanazokon a pontokon, mint az F 1 erők.
(3.7. ábra, b). A hajlítónyomatékok diagramja ehhez a terheléshez hasonló az előzőhöz, és a maximális hajlítónyomaték M 2max = 0,5 (L-b).
3. A rendszernek a második állapot két erővel való terhelését az F 2 általánosított erő és az általánosított elmozdulás jellemzi, amelyek az 1. állapot elmozdulására külső erők munkáját hozzák létre, egyenlő 
. Számítsuk ki az elmozdulást a (3.11) képlet segítségével. A diagramokat a Verescsagin-szabály szerint szakaszokkal megszorozva azt találjuk
Az értékek behelyettesítése után 
kapunk
Példa 3.2. Határozzuk meg az F x erővel terhelt U alakú keret mozgatható támasztékának vízszintes elmozdulását (3.8. ábra, a).
1. Készítsünk egy diagramot a hajlítónyomatékokról az F 1 támasztóerőből 
. Maximális hajlítónyomaték F 1 erő hatására
2. Segédállapotként a B pontban kifejtett egységnyi F 2 vízszintes erővel a gerenda terhelését vesszük (3.8. ábra, b). Ehhez a terhelési esethez elkészítjük a hajlítási nyomatékok diagramját. Támogatási reakciók A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Maximális hajlítónyomaték.
3. Kiszámítjuk az elmozdulást a (3.11) képlet szerint. Függőleges szakaszokon a szorzat nulla. Vízszintes szakaszon az M 1 ábrázolás nem lineáris, de a diagram lineáris. A diagramokat a Verescsagin módszerrel megszorozva kapjuk
A szorzat negatív, mivel a diagramok ellentétes oldalon helyezkednek el. A kapott negatív elmozdulási érték azt jelzi, hogy a tényleges iránya ellentétes az egységnyi erő irányával.
Példa 3.3(3.9. ábra). Keresse meg a kéttámaszú gerenda erő alatti szakaszának elfordulási szögét, és keresse meg az erő helyzetét, amelynél ez a szög a legnagyobb.
1. Készítsünk diagramot az M 1 hajlítónyomatékokról az F 1 erőből. Ehhez megtaláljuk az A 1 támaszreakciót. A rendszer egészére vonatkozó egyensúlyi egyenletből 
A maximális hajlítónyomaték az Fj erő hatására
2. Segédállapotként a gerenda F 2 \u003d 1 Nm nyomatékkal történő terhelését vesszük azon a szakaszon, amelynek elfordulását meg kell határozni (3.9. ábra, b). Ehhez a terhelési esethez elkészítjük a hajlítási nyomatékok diagramját. Támogatási reakciók A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, hajlítónyomatékok
Mindkét momentum negatív, mivel az óramutató járásával megegyező irányban irányulnak. A diagramok feszített szálra épülnek.
3. Kiszámítjuk a forgásszöget a (3.11) képlet alapján, két szakaszon végrehajtva a szorzást,
Jelölve ezt a kifejezést kényelmesebb formában is megkaphatja:
Az elfordulás szögének az F 1 erő helyzetétől való függésének grafikonja az ábrán látható. 3.9, c. Megkülönböztetve ezt a kifejezést, abból a feltételből kapjuk meg az erő azon helyzetét, amelynél az alatta lévő sugár dőlésszöge abszolút értékben a legnagyobb lesz. Ez 0,21 és 0,79 értékeknél fog megtörténni.