3. előadás FNP, parciális deriváltak, differenciál

Mi a legfontosabb, amit az utolsó előadáson tanultunk

Egy euklideszi térből származó argumentum segítségével megtudtuk, mi a függvénye több változónak. Tanulmányozta, mi a határa és a folytonossága egy ilyen funkciónak

Mit fogunk megtanulni ezen az előadáson?

Folytatva az FNP tanulmányozását, megvizsgáljuk ezen függvények parciális deriváltjait és differenciáit. Tanuld meg felírni az érintősík és a felület normáljának egyenletét.

Részleges derivált, teljes differenciális FNP. Egy függvény differenciálhatósága és a parciális deriváltak létezése közötti kapcsolat

Egy valós változó függvényében, a "Határok" és a "Folytonosság" témakörök tanulmányozása után (Bevezetés a matematikai elemzés) a függvény deriváltjait és differenciáljait tanulmányozták. Térjünk rá a hasonló kérdések megfontolására több változó függvényére. Vegye figyelembe, hogy ha az összes argumentum egy kivételével rögzítve van az FRR-ben, akkor az FRR egy argumentum függvényét generálja, amelyhez figyelembe lehet venni egy növekményt, egy differenciált és egy deriváltot. Nevezzük őket részleges növekménynek, részleges differenciálnak és részleges deriváltnak. Térjünk át a pontos definíciókra.

10. definíció. Adjuk meg a változók függvényét, ahol - az euklideszi tér egy eleme és az argumentumok megfelelő növekményei , ,…, . Amikor az értékeket a függvény részleges növekményeinek nevezzük. Egy függvény teljes növekménye az értéke.

Például egy két változóból álló függvény esetén, ahol egy pont a síkon és , az argumentumok megfelelő növekményei, az inkremensek privátak lesznek. Ebben az esetben az érték két változó függvényének teljes növekménye.

11. definíció. Változók függvényének parciális deriváltja változó szerint a függvény e változó általi részleges növekménye és a megfelelő argumentum növekménye arányának határa, ha az 0-ra hajlik.

A 11. definíciót képletként írjuk fel vagy bővítve. (2) Két változó függvényére a 11. definíciót felírhatjuk képletek formájában , . Gyakorlati szempontból ezt a meghatározást azt jelenti, hogy amikor egy változóra vonatkoztatva a parciális deriváltot számítjuk, az összes többi változó fix, és figyelembe vesszük ezt a funkciót egy kiválasztott változó függvényében. Erre a változóra vonatkozóan a szokásos deriváltot vesszük.

4. példa. Egy függvényhez keresse meg a parciális deriváltokat és azt a pontot, ahol mindkét parciális derivált 0.

Döntés . Kiszámoljuk a parciális deriváltokat, és írjuk fel a rendszert a formában Ennek a rendszernek a megoldása két pont és .

Most nézzük meg, hogyan általánosítható a differenciál fogalma az FNP-re. Emlékezzünk vissza, hogy egy változó függvényét differenciálhatónak nevezzük, ha a növekményét a következőképpen ábrázoljuk , míg az érték a függvény növekményének fő része, és differenciáljának nevezzük. Az érték függvénye, azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy , azaz olyan függvény, amely végtelenül kicsi a függvényhez képest. Egy változó függvénye akkor és csak akkor differenciálható egy pontban, ha van deriváltja abban a pontban. Sőt, a és konstans egyenlő ezzel a deriválttal, azaz a képlet érvényes a differenciálra .

Ha az FNP részleges növekményét vesszük figyelembe, akkor csak az egyik argumentum változik, és ez a részleges növekmény egy változó függvényének növekményének tekinthető, azaz ugyanaz az elmélet működik. Ezért a differenciálhatósági feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha van parciális derivált, ebben az esetben a parciális differenciált a .

Mennyi egy több változóból álló függvény teljes differenciája?

12. definíció. Változók funkciója pontban differenciálhatónak nevezzük , ha a növekményét a következőképpen ábrázoljuk: . Ebben az esetben a növekmény fő részét FNP differenciálnak nevezzük.

Tehát az FNP különbség az érték. Tisztázzuk, mit értünk érték alatt , amit végtelenül kicsinek fogunk nevezni az argumentumok növekményéhez képest . Ez egy olyan függvény, amelynek az a tulajdonsága, hogy ha egy kivételével minden növekmény 0, akkor az egyenlőség . Lényegében ez azt jelenti = = + +…+ .

És hogyan függenek össze az FNP differenciálhatóságának feltételei és e függvény parciális deriváltjai létezésének feltételei?

1. tétel. Ha a változók függvénye egy pontban differenciálható , akkor ezen a ponton és egyidejűleg minden változóra parciális deriváltjai vannak.

Bizonyíték. Az egyenlőséget for és formába írjuk és a kapott egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk -vel. A kapott egyenlőségben átmegyünk a határértékre. Ennek eredményeként megkapjuk a szükséges egyenlőséget. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény. A változók függvényének különbségét a képlet számítja ki . (3)

A 4. példában a függvény differenciálja egyenlő volt. Vegye figyelembe, hogy ugyanaz a különbség egy pontban egyenlő . De ha egy pontban , növekményekkel számítjuk ki, akkor a differenciál egyenlő lesz. Vegye figyelembe, hogy a pontos érték adott funkciót azon a ponton egyenlő -val, de ugyanez az érték az 1. differenciál segítségével megközelítőleg kiszámítva egyenlő -val. Látjuk, hogy ha egy függvény növekményét a differenciáljával helyettesítjük, közelíthetjük a függvény értékeit.

De differenciálható-e egy több változóból álló függvény egy ponton, ha abban a pontban parciális deriváltjai vannak. Egy változó függvényétől eltérően erre a kérdésre a válasz nem. Az összefüggés pontos megfogalmazását a következő tétel adja meg.

2. tétel. Ha a változók függvénye a pontban folytonos parciális deriváltak vannak minden változóra vonatkozóan, akkor a függvény ezen a ponton differenciálható.

mint . Minden zárójelben csak egy változó változik, így itt-ott alkalmazhatjuk Lagrange véges növekményképletét. Ennek a képletnek az a lényege, hogy egy változó folytonosan differenciálható függvénye esetén a függvény két ponton lévő értékei közötti különbség megegyezik a derivált értékével egy közbenső pontban, megszorozva a pontok távolságával. Ha ezt a képletet mindegyik zárójelre alkalmazzuk, azt kapjuk, hogy . A parciális deriváltak folytonossága miatt a pontbeli derivált és a pont szerinti derivált az értékekben különbözik a deriváltoktól és a pontban, és 0-ra hajlik, mint 0-ra. De akkor és nyilvánvalóan . A tétel bizonyítást nyert. , és a koordináta Ellenőrizze, hogy ez a pont a felülethez tartozik-e. Írja fel az érintősík egyenletét és a felület normáljának egyenletét a megadott pontban!

Döntés. Igazán, . Az utolsó előadásban már kiszámoltuk ennek a függvénynek a differenciáját egy tetszőleges pontban, at adott pontő egyenlő. Ezért az érintősík egyenlete a vagy alakban, a normál egyenlete pedig a formában lesz felírva .

privát származék függvények z = f(x, y x változóval ennek a függvénynek a deriváltját az y változó állandó értékénél hívjuk meg, vagy z "x"-el jelöljük.

privát származék függvények z = f(x, y) y változóval az y-hoz viszonyított deriváltot az y változó állandó értékénél nevezzük; z "y"-vel van jelölve.

Több változó függvényének egy változóhoz viszonyított parciális deriváltja ennek a függvénynek a megfelelő változóhoz viszonyított deriváltja, feltéve, hogy a többi változót állandónak tekintjük.

teljes differenciálmű a z = f(x, y) függvényt egy bizonyos ponton M(X, y) kifejezésnek nevezzük

,

Ahol és az M(x, y) pontban vannak kiszámítva, és dx = , dy = y.

1. példa

Számítsa ki a függvény teljes differenciáját!

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 az M (1; 2) pontban

Döntés:

1) Keresse meg a részleges származékokat:

2) Számítsa ki a parciális deriváltak értékét az M(1; 2) pontban!

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Kérdések az önkontrollhoz:

1. Mit nevezünk antiderivátumnak? Sorolja fel az antiderivatív tulajdonságait!

2. Mi az ún határozatlan integrál?

3. Sorolja fel a határozatlan integrál tulajdonságait!

4. Sorolja fel az alapvető integrációs képleteket!

5. Milyen integrációs módszereket ismer?

6. Mi a Newton-Leibniz formula lényege?

7. Adja meg a határozott integrál definícióját!

8. Mi a lényege a határozott integrál helyettesítési módszerrel történő kiszámításának?

9. Mi a lényege a határozott integrált részenkénti számítási módszernek?

10. Melyik függvényt nevezzük két változó függvényének? Hogyan jelölik?

11. Melyik függvényt nevezzük három változó függvényének?

12. Melyik halmazt nevezzük egy függvény tartományának?

13. Milyen egyenlőtlenségek segítségével határozható meg egy síkon egy D zárt tartomány?

14. Mit nevezünk a z \u003d f (x, y) függvény parciális deriváltjának az x változóhoz képest? Hogyan jelölik?

15. Mit nevezünk a z \u003d f (x, y) függvény parciális deriváltjának az y változóhoz képest? Hogyan jelölik?

16. Milyen kifejezést nevezünk egy függvény teljes differenciáljának

1.2. témakör Közönséges differenciálegyenletek.

Differenciálegyenletekhez vezető problémák. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal. Általános és privát megoldások. Elsőrendű homogén differenciálegyenletek. Lineáris homogén egyenletek másodrendű állandó együtthatókkal.

7. gyakorlati lecke „Általános és egyedi megoldások keresése differenciál egyenletek elválasztható változókkal"*

8. gyakorlati óra "Lineáris és homogén differenciálegyenletek"

9. gyakorlati lecke "Másodrendű differenciálegyenletek megoldása a állandó együtthatók»*

L4, 15. fejezet, 243–256

Irányelvek

Minden parciális derivált (over xés által y) két változó függvényének az egyik változó függvényének szokásos deriváltja a másik változó fix értékével:

(ahol y= állandó),

(ahol x= const).

Ezért a részleges származékok kiszámítása a következőből történik képletek és szabályok egy változó függvényei deriváltjainak számításához, miközben a másik változót állandónak (konstansnak) tekintjük.

Ha nincs szüksége a példák elemzésére és az ehhez szükséges elméleti minimumra, hanem csak a problémájára van szüksége megoldásra, akkor lépjen online részleges származékkalkulátor .

Ha nehéz arra koncentrálni, hogy a függvényben hol van a konstans, akkor a példa vázlatos megoldásában tetszőleges számot behelyettesíthet a változó helyett egy fix értékű változóval - így gyorsan kiszámolhatja a parciális deriváltot a közönségesnek. egy változó függvényének deriváltja. Csak emlékezni kell arra, hogy a konstanst (egy fix értékű változót) vissza kell állítani a helyére a befejezéskor.

A parciális deriváltak fentebb ismertetett tulajdonsága a vizsgakérdésekben megtalálható parciális derivált definíciójából következik. Ezért az alábbi definíció megismeréséhez nyissa meg az elméleti hivatkozást.

Egy függvény folytonosságának fogalma z= f(x, y) egy pontban ehhez a fogalomhoz hasonlóan van definiálva egy változó függvényére.

Funkció z = f(x, y) folytonosnak nevezzük egy pontban, ha

A különbséget (2) a függvény teljes növekményének nevezzük z(ezt mindkét argumentum növelésével kapjuk meg).

Hagyja a függvényt z= f(x, y) és pont

Ha a funkció megváltozik z akkor fordul elő, ha csak az egyik argumentum változik, pl. x, a másik argumentum rögzített értékével y, akkor a függvény növekszik

a függvény részleges növekményének nevezzük f(x, y) tovább x.

Figyelembe véve a funkcióváltást z attól függően, hogy csak az egyik argumentum változott, valójában egy változó függvényére lépünk át.

Ha van véges határ

akkor a függvény parciális deriváltjának nevezzük f(x, y) érveléssel xés valamelyik szimbólum jelöli

(4)

A részleges növekményt hasonlóan határozzuk meg z tovább y:

és részleges származéka f(x, y) tovább y:

(6)

1. példa

Döntés. Megtaláljuk a parciális deriváltot az "x" változóra vonatkozóan:

(y rögzített);

Megtaláljuk a parciális deriváltot az "y" változóra vonatkozóan:

(x rögzített).

Amint látható, nem mindegy, hogy a változó milyen mértékben van rögzítve: ebben az esetben csak egy szám, amely tényező (mint a szokásos derivált esetében) azzal a változóval, amellyel a részlegeset megtaláljuk. derivált. Ha a rögzített változót nem szorozzuk meg azzal a változóval, amelyre vonatkozóan a parciális deriváltot találjuk, akkor ez a magányos állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékben, mint a szokásos derivált esetében, eltűnik.

2. példa Adott egy függvény

Keressen részleges származékokat

(x) és (y) alapján, és számítsa ki értékeiket a pontban DE (1; 2).

Döntés. Egy fixen y az első tag deriváltja a hatványfüggvény deriváltjaként található ( egy változó derivált függvényeinek táblázata):

.

Egy fixen x az első tag származéka származékként található exponenciális függvény, a második pedig egy állandó származékaként:

Most kiszámítjuk ezeknek a parciális deriváltaknak az értékeit a ponton DE (1; 2):

A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .

3. példa Keresse meg a függvények részleges származékait

Döntés. Egy lépésben megtaláljuk

(y x, mintha a szinusz argumentuma 5 lenne x: ugyanígy a függvény jele előtt 5 jelenik meg);

(x fix, és ebben az esetben tényező a y).

A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .

A három vagy több változóból álló függvény parciális deriváltjait hasonlóan definiáljuk.

Ha minden értékkészlet ( x; y; ...; t) független változókat a halmazból D egynek felel meg bizonyos értéket u sokaktól E, azután u változók függvényének nevezzük x, y, ..., tés jelöljük u= f(x, y, ..., t).

Három vagy több változóból álló függvények esetén nincs geometriai értelmezés.

Több változóból álló függvény parciális deriváltjait is definiáljuk és kiszámítjuk azzal a feltételezéssel, hogy a független változók közül csak az egyik változik, míg a többi fix.

4. példa Keresse meg a függvények részleges származékait

.

Döntés. yés z rögzített:

xés z rögzített:

xés y rögzített:

Keressen saját részleges származékokat, majd tekintse meg a megoldásokat

5. példa

6. példa Keresse meg egy függvény parciális deriváltjait.

Egy több változóból álló függvény parciális deriváltja ugyanaz mechanikai jelentés, mint egy változó függvényének származéka, az a sebesség, amellyel a függvény változik az egyik argumentum változásához képest.

8. példaáramlási mennyiség P utasok vasutak függvényként fejezhető ki

ahol P- az utasok számát, N- a megfelelő pontok lakóinak száma, R– pontok közötti távolság.

Egy függvény parciális deriváltja P tovább R egyenlő

azt mutatja, hogy az utasforgalom csökkenése fordítottan arányos a pontok megfelelő pontjai közötti távolság négyzetével azonos számú lakos esetén.

Részleges derivált P tovább N egyenlő

ábra mutatja, hogy az utasforgalom növekedése arányos az azonos távolságú települések lakosságának kétszeresével.

A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .

Teljes differenciálmű

A parciális derivált és a megfelelő független változó növekményének szorzatát parciális differenciálnak nevezzük. A részleges eltéréseket a következőképpen jelöljük:

Az összes független változó részleges különbségeinek összege adja a teljes differenciát. Két független változó függvényében a teljes különbséget az egyenlőség fejezi ki

(7)

9. példa Keresse meg egy függvény teljes differenciáját

Döntés. A (7) képlet használatának eredménye:

Azt a függvényt, amelynek valamely tartomány minden pontjában teljes differenciál van, abban a tartományban differenciálhatónak nevezzük.

Keresse meg egyedül a teljes különbséget, majd nézze meg a megoldást

Csakúgy, mint egy változó függvényének esetében, egy függvény differenciálhatósága egy bizonyos régióban magában foglalja a folytonosságát ebben a tartományban, de nem fordítva.

Bizonyítás nélkül fogalmazzunk elégséges állapot funkció differenciálhatósága.

Tétel. Ha a funkció z= f(x, y) folyamatos parciális deriváltjai vannak

egy adott régióban, akkor ebben a régióban differenciálható és differenciáját a (7) képlet fejezi ki.

Megmutatható, hogy ahogy egy változó függvénye esetén a függvény differenciálja a függvény növekedésének fő lineáris része, úgy több változós függvény esetén is a teljes differenciál a fő, a független változók növekményeihez képest lineáris, a függvény teljes növekményének része.

Két változó függvényére teljes növekmény függvénynek van formája

(8)

ahol α és β infinitezimálisak és esetén.

Magasabb rendű részleges származékok

Parciális deriváltak és függvények f(x, y) maguk is ugyanazon változók néhány függvénye, és viszont származékai lehetnek különböző változókhoz, amelyeket magasabb rendű parciális deriváltoknak nevezünk.

Gyakorlati munka №2

"Funkció differenciál"

Az óra célja: Tanulj meg példákat és problémákat megoldani egy adott témában.

Elméleti kérdések (kezdő szint):

1. A deriváltak használata a függvények szélsőséges vizsgálatához.

2. Egy függvény differenciálja, geometriai és fizikai jelentése.

3. Teljes differenciálmű sok változó függvényei.

4. A test állapota sok változó függvényében.

5. Hozzávetőleges számítások.

6. Parciális deriváltak és teljes differenciál keresése.

7. Példák e fogalmak használatára a farmakokinetikában, mikrobiológiában stb.

(önképzés)

1. válaszoljon kérdésekre az óra témájában;

2. példákat oldani.

Példák

Különbségek keresése következő funkciókat:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Származékok használata függvények tanulmányozására

Az y = f(x) függvény növekedésének feltétele az [a, b] szakaszon

Az y=f(x) függvény csökkenésének feltétele az [a, b] szakaszon

Az y=f(x) maximális függvény feltétele x= a-nál

f"(a)=0 és f""(a)<0

Ha x \u003d a esetén az f "(a) \u003d 0 és f "(a) \u003d 0 deriváltak, akkor meg kell vizsgálni f "(x)-et az x \u003d a pont közelében. A függvény y \u003d f (x) x \u003d a esetén maximummal rendelkezik, ha az x ponton áthaladva \u003d és az f derivált "(x) előjelet vált "+"-ról "-"-re, minimum esetén - "-"-ról "+"-ra Ha f "(x) nem változtat előjelet az x = a ponton való áthaladáskor, akkor ezen a ponton a függvénynek nincs szélső értéke

Funkció differenciál.

Egy független változó differenciája egyenlő a növekményével:

Függvénydifferenciál y=f(x)

Két függvény összegének (különbségének) differenciálja y=u±v

Két függvény szorzatának differenciálja y=uv

Két függvény hányados-differenciálja y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Funkciónövekedés

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

ahol Δx: az argumentum növekménye.

A függvény értékének hozzávetőleges számítása:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

A különbség alkalmazása közelítő számításokban

A differenciállapot az indirekt mérések abszolút és relatív hibáinak kiszámításához használjuk u = f(x, y, z.). A mérési eredmény abszolút hibája

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

A mérési eredmény relatív hibája

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKCIÓDIFFERENCIÁL.

Funkciókülönbség, mint a függvénynövekmény fő része és. A függvény differenciáljának fogalma szorosan összefügg a derivált fogalmával. Hagyja a függvényt f(x) adott értékeknél folyamatos xés származéka van

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), ahonnan a függvény növekszik Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, ahol a(Dx)® 0 nál nél Dx® 0. Határozzuk meg az infinitezimálisok sorrendjét f¢(x)Dx Dx.:

Ezért végtelenül kicsi f¢(x)Dxés Dx azonos nagyságrendűek, azaz f¢(x)Dx = O.

Határozzuk meg az infinitezimálisok sorrendjét a(Dх)Dх a végtelenül kicsihez képest Dx:

Ezért a végtelenül kicsi a(Dх)Dх kicsinysége nagyobb, mint a végtelenül kicsi Dx, azaz a(Dx)Dx = o.

Így végtelenül kicsi növekmény Df a differenciálható függvény két kifejezés formájában ábrázolható: egy infinitezimális f¢(x)Dx ugyanolyan kicsinységi rendűvel Dxés végtelenül kicsi a(Dх)Dх magasabb rendű kicsinység a végtelenül kicsihez képest Dx. Ez azt jelenti, hogy egyenlőségben Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx nál nél Dx® 0 a második tag "gyorsabban" nullázódik, mint az első, azaz. a(Dx)Dx = o.

Első időszak f¢(x)Dx, tekintetében lineáris Dx, hívott funkció differenciál f(x) azon a ponton xés jelöljük dy vagy df(Olvassa el "de game" vagy "de ef"). Így,

dy = df = f¢(x)Dx.

A differenciálelem analitikus jelentése abban rejlik, hogy egy függvény differenciálja a függvény növekményének fő része Df, lineáris az argumentum növekményéhez képest Dx. Egy függvény differenciálja eltér egy függvény növekményétől egy infinitezimális értékkel, amelynek kicsinysége nagyobb, mint Dx. Igazán, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx vagy Df = df + a(Dx)Dx . Érvelési különbség dx növekedésével egyenlő Dx: dx=Dx.

Példa. Számítsa ki egy függvény differenciálértékét! f(x) = x 3 + 2x, mikor x 1 és 1,1 között változik.

Döntés. Keressünk egy általános kifejezést a függvény differenciáljára:

Értékek helyettesítése dx=Dx=1,1–1= 0,1és x=1 az utolsó képletbe megkapjuk a differenciál kívánt értékét: df½ x=1; = 0,5.

RÉSZDERIVATÍVÁK ÉS DIFFERENCIÁK.

Elsőrendű parciális származékai. A z = f(x,y) függvény elsőrendű parciális deriváltja ) érveléssel x a figyelembe vett ponton (x; y) határnak nevezik

ha létezik.

Egy függvény parciális deriváltja z = f(x, y)érveléssel x a következő karakterek egyikével jelölve:

Hasonlóképpen, a részleges származéka tekintetében nál nél a következő képlettel jelöljük és definiáljuk:

Mivel a parciális derivált egy argumentum függvényének szokásos deriváltja, nem nehéz kiszámítani. Ehhez az összes eddig figyelembe vett differenciálási szabályt fel kell használni, minden esetben figyelembe véve, hogy az argumentumok közül melyiket veszik "állandó számnak" és melyik szolgál "differenciálási változóként".

Megjegyzés. Megtalálni például a parciális deriváltot az argumentum vonatkozásában x – df/dx, elegendő megtalálni a függvény közönséges deriváltját f(x,y), feltételezve, hogy ez utóbbi egy érv függvénye x, a nál nél- állandó; megtalálni df/dy- oda-vissza.

Példa. Keresse meg egy függvény parciális deriváltjainak értékét f(x,y) = 2x2 + y2 azon a ponton P(1;2).

Döntés. Számolás f(x,y) egyetlen argumentum függvény xés a differenciálás szabályait felhasználva azt találjuk

Azon a ponton P(1;2) származékos érték

Ha f(x; y)-t egy y argumentum függvényének tekintjük, azt találjuk

Azon a ponton P(1;2) származékos érték

FELADAT A TANULÓ ÖNÁLLÓ MUNKÁJÁRA:

Keresse meg a következő függvények különbségeit:

Oldja meg a következő feladatokat:

1. Mennyivel csökken egy x = 10 cm oldalú négyzet területe, ha az oldalát 0,01 cm-rel csökkentjük?

2. Adott a testmozgás egyenlete: y=t 3 /2+2t 2, ahol s méterben, t másodpercben van kifejezve. Keresse meg a test által lefedett s utat t=1,92 s alatt a mozgás kezdetétől számítva.

IRODALOM

1. Lobotskaya N.L. A felsőbb matematika alapjai - M .: "Felsőiskola", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika a biológiában és az orvostudományban. Per. angolról. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Orvosi és biológiai fizika feladatgyűjteménye - M .: "Felsőiskola", 1987. C16-20.

Fontolja meg egy függvény megváltoztatását, ha csak az egyik argumentumát növeli − x i, és nevezzük .

Meghatározás 1.7.privát származék függvények argumentum alapján x i hívott .

Megnevezések: .

Így egy több változóból álló függvény parciális deriváltját tulajdonképpen a függvény deriváltjaként definiáljuk egy változó - x i. Ezért a deriváltoknak egy változó függvényére bizonyított összes tulajdonsága érvényes rá.

Megjegyzés. A parciális deriváltak gyakorlati számításánál a szokásos szabályokat használjuk egy változó függvényének differenciálására, feltételezve, hogy az az argumentum, amelyre vonatkozóan a differenciálást végrehajtjuk, változó, a többi argumentum pedig állandó.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y ,

Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai értelmezése.

Tekintsük a felületi egyenletet z = f(x,y)és rajzolj egy síkot x = const. Válasszunk egy pontot a sík és a felület metszésvonalán M (x, y). Ha beállítja az érvet nál nél növekmény Δ nál nélés vegyük figyelembe a T pontot a görbén koordinátákkal ( x, y+Δ y, z+Δy z), akkor az MT szekáns által az O tengely pozitív irányával alkotott szög érintője nál nél, egyenlő lesz . A pontban lévő határértékre átlépve azt kapjuk, hogy a parciális derivált egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet az eredményül kapott görbe érintője a pontban alkot. M az O tengely pozitív irányával y. Ennek megfelelően a parciális derivált egyenlő az O tengellyel bezárt szög érintőjével x a felület metszetéből adódó görbe érintője z = f(x,y) repülőgép y= const.

Meghatározás 2.1. Az u = f(x, y, z) függvény teljes növekményét hívjuk

Meghatározás 2.2. Ha az u \u003d f (x, y, z) függvény növekménye az (x 0, y 0, z 0) pontban a (2.3), (2.4) formában ábrázolható, akkor a függvényt differenciálhatónak nevezzük. ezen a ponton, és a kifejezést a növekmény fő lineáris részének vagy a vizsgált függvény teljes differenciájának nevezzük.

Jelölés: du, df (x 0, y 0, z 0).

Csakúgy, mint egy változó függvénye esetén, a független változók differenciálja is azok tetszőleges növekménye, ezért

Megjegyzés 1. Így a „függvény differenciálható” állítás nem ekvivalens a „függvénynek parciális deriváltjai” kijelentéssel – a differenciálhatóság megköveteli ezen deriváltok folytonosságát is a vizsgált ponton.

4. Érintősík és merőleges a felületre. A differenciál geometriai jelentése.

Hagyja a függvényt z = f(x, y) a pont szomszédságában differenciálható M (x 0, y 0). Ekkor parciális deriváltjai a felület metszésvonalai érintőinek meredekségei z = f(x, y) repülőgépekkel y = y 0és x = x 0, amely magát a felületet érinti z = f(x, y).Írjunk fel egyenletet az ezeken az egyeneseken áthaladó síkra. Az érintők irányvektorai (1; 0; ) és (0; 1; ) alakúak, így a síkra vonatkozó normális vektorszorzatukként ábrázolható: n = (- ,- , 1). Ezért a sík egyenlete a következőképpen írható fel:

ahol z0 = .

Meghatározás 4.1. A (4.1) egyenlettel meghatározott síkot ún érintő sík a függvény grafikonjára z = f(x, y) pontban koordinátákkal (x 0, y 0, z 0).

A (2.3) képletből két változó esetén az következik, hogy a függvény növekménye f pont környékén M a következőképpen ábrázolható:

Ezért a függvénygráf és az érintősík alkalmazásai közötti különbség végtelenül nagyobb, mint ρ, nál nél ρ→ 0.

Ebben az esetben a függvény differenciálja fúgy néz ki, mint a:

ami megfelel az érintősík alkalmazásának növekedése a függvény grafikonjára. Ez a differenciál geometriai jelentése.

Meghatározás 4.2. Nullától eltérő vektor, amely egy pontban az érintősíkra merőleges M (x 0, y 0) felületek z = f(x, y), nak, nek hívják Normál azon a ponton a felszínre.

A vizsgált felület normáljaként célszerű a vektort venni - n = { , ,-1}.