Elosztott paraméterű rendszerek szabad rezgései

A folyamat fő jellemzője szabad rezgések a végtelen számú szabadságfokkal rendelkező rendszerek a természetes frekvenciák és rezgésmódok számának végtelenségében fejeződnek ki. Ez összefügg a matematikai jellegű sajátosságokkal is: a véges számú szabadságfokú rendszerek rezgéseit leíró közönséges differenciálegyenletek helyett itt parciális differenciálegyenletekkel kell számolni. A kezdeti elmozdulásokat és sebességeket meghatározó kezdeti feltételek mellett figyelembe kell venni határviszonyok jellemzi a rendszer rögzítését.

6.1. A rudak hosszirányú rezgései

Egy egyenes vonalú rúd hosszirányú rezgésének elemzésekor (67. ábra, a) abból indulunk ki, hogy a keresztmetszetek laposak maradnak, és a rúdszemcsék nem végeznek keresztirányú mozgásokat, hanem csak hosszanti irányban mozognak.

Hadd u - a rúd aktuális szakaszának hosszirányú elmozdulása rezgések során; ez az elmozdulás a szakasz helyétől (x koordináták) és a t időtől függ. Tehát két változó függvénye van; meghatározása a fő feladat. Egy végtelenül közeli szakasz elmozdulása egyenlő, ezért egy végtelenül kicsi elem abszolút nyúlása egyenlő (67,b ábra), relatív nyúlása pedig.

Ennek megfelelően a hosszirányú erő a szakaszban a koordinátával x formába írható

,(173)

hol van a rúd húzó (nyomó) merevsége. Az N erő két argumentum – a koordináták – függvénye is xés idő t.

Tekintsünk egy rúdelemet, amely két végtelenül közeli szakasz között helyezkedik el (67. ábra, c). Az elem bal oldalára N, a jobb oldalára pedig egy erő hat. Ha a rúd anyagának sűrűségével jelöljük, akkor a vizsgált elem tömege . Ezért a mozgásegyenlet a tengelyre vetítésben x

,

Figyelembe véve(173) és feltételezve A= const , kapjuk

A Fourier-módszert követve a (175) differenciálegyenlet egy sajátos megoldását keressük a formában

,(177)

azok. Tegyük fel, hogy költözik u két függvény szorzataként ábrázolható, amelyek közül az egyik csak az argumentumtól függ x, a másik pedig csak a t argumentumból. Ekkor ahelyett, hogy két u (x, t ) változóból álló függvényt definiálnánk, két X(x ) és T(t ) függvényt kell definiálni, amelyek mindegyike csak egy változótól függ.

A (177)-et (174) behelyettesítve kapjuk

ahol a prímek a differenciálás műveletét jelölik arra vonatkozóan x, és pontok rajta t. Írjuk át ezt az egyenletet így:

Itt a bal oldal csak x-től, a jobb oldal pedig csak t-től függ. Ennek az egyenlőségnek az azonos teljesítéséhez (bármilyen xés t ) szükséges, hogy minden része egyenlő legyen egy állandóval, amelyet a következővel jelölünk:

; .(178)

Ebből két egyenlet következik:

;.(179)

Az első egyenletnek van megoldása:

,(180)

oszcillációs karaktert jelöl, és a (180)-ból világos, hogy az ismeretlen mennyiség a szabad rezgések gyakoriságát jelenti.

A (179) egyenlet második egyenletének van megoldása:

,(181)

a rezgések formájának meghatározása.

A , értékét meghatározó gyakorisági egyenletet a peremfeltételek felhasználásával állítjuk össze. Ez az egyenlet mindig transzcendentális, és végtelen számú gyökere van. Így a sajátfrekvenciák száma végtelen, és minden frekvenciaérték megfelel a saját T n (t ) függvényének, amelyet a függőség határoz meg (180), valamint a saját Xn (x ) függvényét, amelyet a (181) függőség határoz meg. A (177) megoldás csak részleges, és nem ad teljes leírást a mozgásról. A teljes megoldást az összes konkrét megoldás egymásra helyezésével kapjuk meg:

.

Az X n (x ) függvényeket meghívjuk saját funkciókat feladatokat, és leírják saját lengésmódjukat. Nem függenek a kezdeti feltételektől, és teljesítik az ortogonalitási feltételt, amely A=const esetén a következő alakú

, ha .

Tekintsük a peremfeltételek néhány változatát.

Fix rúdvég(68. ábra, a). A végszakaszban az u elmozdulásnak nullának kell lennie; ebből következik, hogy ebben a részben

X=0(182)

Szabad botvég(68b. ábra). A végszakaszban a hosszirányú erő

(183)

egyenlőnek kell lennie nullával, ami akkor lehetséges, ha X"=0 a végszakaszban.

rugalmasan rögzített rúdvég(68. c. ábra).

Mozgáskor u a végrúdnál a támasz rugalmas reakciója lép fel , ahol C kb - a támasz merevsége. A hosszirányú erőre (183) figyelembe véve megkapjuk a peremfeltételt

ha a támasz a rúd bal végén található (68. ábra, c), és

ha a támasz a rúd jobb oldalán található (68. ábra, d).

Tömény tömeg a rúd végén.

A tömeg által kifejtett tehetetlenségi erő:

.

Mivel a (179) egyenletek közül az első szerint , akkor a tehetetlenségi erőt így írhatjuk fel. Megkapjuk a peremfeltételt

,

ha a tömeg a bal végén van (68. ábra, e), és

, (184)

ha a tömeg a jobb végéhez kapcsolódik (68. ábra, f).

Határozzuk meg a konzolrúd sajátfrekvenciáit (68. ábra, a").

(182) és (183) szerint a peremfeltételek

X=0, x=0;

X"=0 amikor x= .

Ezeket a feltételeket egyenként behelyettesítve a (181) oldatba, megkapjuk

A C0 feltétel a frekvenciaegyenlethez vezet:

Ennek az egyenletnek a gyökerei

(n=1,2,…)

határozza meg a természetes frekvenciákat:

(n=1,2,…).(185)

Első (legalacsonyabb) frekvencia n=1-nél:

.

Második frekvencia (ha n=2):

Határozzuk meg a végén tömeggel rendelkező rúd sajátfrekvenciáit (68. ábra, f).

(182) és (184) szerint van

X=0, x=0;

x=-nél.

Ha ezeket a feltételeket behelyettesítjük a (181) megoldásba, a következőt kapjuk:

D=0; .

Következésképpen a gyakorisági egyenlet a (176) figyelembe vételével a következő alakkal rendelkezik

.

Itt a jobb oldal a rúd tömegének a végterhelés tömegéhez viszonyított aránya.

A kapott transzcendentális egyenlet megoldásához valamilyen közelítő módszert kell alkalmazni.

A és a legfontosabb legalacsonyabb gyökér értéke 0,32 és 0,65 lesz.

Kis arány mellett a terhelésnek döntő befolyása van és szép eredmények közelítő megoldást ad

.

Változó keresztmetszetű rudaknál, pl. Аconst-nál a (173) és (174)-ből a mozgásegyenletet a következő formában kapjuk meg

.

Ez a differenciálegyenlet nem oldható meg zárt formában. Ezért ilyen esetekben közelítő módszerekhez kell folyamodni a sajátfrekvenciák meghatározásához.

6.2. Tengelyek torziós rezgései

A folyamatosan elosztott tömegű tengely torziós rezgéseit (69. ábra, a) olyan egyenletek írják le, amelyek szerkezetükben teljesen egybeesnek a rudak hosszirányú rezgéseinek fenti egyenleteivel.

M nyomaték az abszcissza szakaszban x a (173)-hoz hasonló differenciálfüggéssel kapcsolódik a forgásszöghez:

ahol Jp a keresztmetszet poláris tehetetlenségi nyomatéka.

Egy szakaszon távolról dx, a nyomaték (69. ábra, b):

A tengely tömegének a tengelyéhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának intenzitását (azaz egységnyi hosszúságú tehetetlenségi nyomatékot) jelölve (ahol a tengely anyagának sűrűsége) a tengely elemi szakaszának mozgásegyenlete. tengely a következőképpen írható fel:

,

vagy tetszik (174):

.

A (186) kifejezés behelyettesítése itt a következővel Jp=const a (175)-hez hasonlóan kapjuk:

, (187)

A (187) egyenlet általános megoldása, valamint a (175) egyenlet alakja

,

(188)

A sajátfrekvenciákat és a sajátfüggvényeket meghatározott peremfeltételek határozzák meg.

A végek rögzítésének fő eseteiben, hasonlóan a hosszirányú rezgésekhez, azt kapjuk

a) rögzített vég (=0): X=0;

b) szabad vég (M=0): X"=0;

ban ben) rugalmasan rögzített bal vége: СoХ=GJpX "(merevségi együttható);

G) rugalmasan rögzített jobb vége: -CoX=GJpX ";

e) lemez a bal oldalon: (Jo a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a rúd tengelyéhez képest);

f) lemez a jobb oldalon: .

Ha a tengely a bal végén rögzített (x=0), és a jobb vége (x= ) szabad, akkor x=0-nál X=0 és x=-nál X"=0; a sajátfrekvenciákat is hasonlóan határozzuk meg (185 ):

(n=1,2,…).

Ha a bal vége rögzített, és a jobb oldalon van egy lemez, akkor a transzcendentális egyenletet kapjuk:

.

Ha a tengely mindkét vége rögzített, akkor a peremfeltételek x=0 és x= esetén X=0 lesznek. Ebben az esetben a (188)-ból kapjuk

azok.

(n=1,2,…),

innen találjuk a természetes frekvenciákat:

Ha a tengely bal vége szabad, és a jobb oldalon van egy tárcsa, akkor X"=0 x=0-nál; Jo X=GJpX" x=-nél.

A (188) segítségével azt találjuk

C=0; ,

vagy a transzcendentális frekvencia egyenlet:

.

6.3 A gerendák hajlítási rezgései

6.3.1 Alapegyenlet

Az anyagok ellenállási folyamatából a hajlítógerendák differenciális függőségei ismertek:

ahol EJ - hajlítási merevség; y \u003d y (x, t) - eltérítés; M=M(x, t) - hajlítónyomaték; q az elosztott terhelés intenzitása.

(189) és (190) összevonásával kapjuk

.(191)

A szabad rezgések problémájában a rugalmas váz terhelése az elosztott tehetetlenségi erők:

ahol m a nyaláb tömegintenzitása (hosszegységenkénti tömeg), és a (191) egyenlet a következővé válik

.

Egy állandó keresztmetszet speciális esetben, amikor EJ = const , m = const , akkor van:

.(192)

A (192) egyenlet megoldásához a fentiek szerint feltételezzük,

y=X( x )× T( t ).(193)

A (193)-t (192) behelyettesítve az egyenlethez jutunk:

.

Ahhoz, hogy ez az egyenlőség azonos legyen, szükséges, hogy az egyenlőség minden része állandó legyen. Ezt az állandót -val jelölve két egyenletet kapunk:

.(195)

Az első egyenlet azt jelzi, hogy a mozgás frekvenciával oszcilláló.

A második egyenlet határozza meg az oszcillációk alakját. A (195) egyenlet megoldása négy állandót tartalmaz, és alakja

Kényelmes az A. N. Krylov által javasolt általános megoldás írási változata:

(198)

A. N. Krylov funkciói.

Figyeljünk arra, hogy S=1, T=U=V=0 x=0-nál. S,T,U,V függvények az alábbiak szerint kapcsolódnak egymáshoz:

Ezért a származékos kifejezéseket (197) a formában írjuk

(200)

A vizsgált osztály problémáiban a sajátfrekvenciák száma végtelenül nagy; mindegyiknek megvan a maga T n időfüggvénye és saját X n alapfüggvénye. Az általános megoldást a (193) alakú részmegoldások bevetésével kapjuk.

.(201)

A természetes frekvenciák és képletek meghatározásához figyelembe kell venni a peremfeltételeket.

6.3.2. Határviszonyok

Minden rúdvéghez két peremfeltétel adható meg .

Szabad botvég(70. ábra, a). A Q=EJX"""T keresztirányú erő és az M=EJX""T hajlítónyomaték nulla. Ezért a peremfeltételek alakja

X""=0; X"""=0 .(202)

A rúd csuklós vége(70b. ábra). Az y=XT lehajlás és az M=EJX""T hajlítónyomaték nulla. Ezért a peremfeltételek a következők:

X=0; X""=0 .(203)

becsípett vége(70. ábra c). Az y=XT elhajlás és a forgásszög egyenlő nullával. Határfeltételek:

X=0; X"=0. (204)

A rúd végén ponttömeg található(70d. ábra). A tehetetlenségi ereje a (194) egyenlettel a következőképpen írható fel: ; egyenlőnek kell lennie a Q=EJX"""T keresztirányú erővel, tehát a peremfeltételek

; X""=0 .(205)

Az első feltételnél a plusz előjelet abban az esetben fogadjuk el, ha a pontsúly a rúd bal végéhez, a mínusz jelet pedig akkor, ha a rúd jobb végéhez csatlakozik. A második feltétel a hajlítónyomaték hiányából következik.

Rugalmasan alátámasztott rúdvég(70. ábra, e). Itt a hajlítónyomaték nulla, a Q=EJX"""T keresztirányú erő pedig egyenlő a támasz reakciójával (C o -a támasz merevségi együtthatója).

Határfeltételek:

X""=0; (206)

(a mínusz jelet akkor vesszük, ha a rugalmas támasz balra van, és a pluszjelet, ha jobb).

6.3.3. Frekvenciaegyenlet és sajátformák

A peremfeltételek kiterjesztett rögzítése homogén egyenletekhez vezet a C 1 , C 2 , C 3 , C 4 állandókra.

Ahhoz, hogy ezek az állandók ne legyenek egyenlők nullával, a rendszer együtthatóiból álló determinánsnak nullának kell lennie; ez egy frekvenciaegyenlethez vezet. Ezen műveletek során kiderítik a C 1, C 2, C 3, C 4 közötti kapcsolatokat, azaz. a rezgések sajátmódusait meghatározzák (állandó tényezőig).

Kövessük nyomon a gyakorisági egyenletek összeállítását példákon keresztül!

A (203) szerinti csuklós végű gerendához a következő peremfeltételek vannak: X=0; X""=0, ha x=0 és x= . A (197)-(200) felhasználásával az első két feltételből kapjuk: C 1 =C 3 =0. A fennmaradó két feltételt így írhatjuk fel

Ahhoz, hogy C 2 és C 4 ne legyen egyenlő nullával, a determinánsnak nullának kell lennie:

.

Így a frekvenciaegyenletnek megvan a formája

.

A T és U kifejezéseket behelyettesítve kapjuk

Mivel , akkor a végső frekvenciaegyenlet a következőképpen van felírva:

. (207)

Ennek az egyenletnek a gyökerei a következők:

,(n=1,2,3,...).

A (196) figyelembe vételével megkapjuk

.(208)

Térjünk át saját formáink meghatározására. A fentebb felírt homogén egyenletekből a következő összefüggés következik a C 2 és C 4 állandók között:

.

Következésképpen a (197) felveszi a formát

(207) szerint van

,(209)

ahol egy új állandó, amelynek értéke meghatározatlan marad mindaddig, amíg a kezdeti feltételeket figyelembe nem veszik.

6.3.4. A mozgás meghatározása kezdeti feltételekkel

Ha meg kell határozni a kezdeti zavarást követő mozgást, akkor a nyaláb minden pontjára meg kell adni a kezdeti elmozdulásokat és a kezdeti sebességeket is:

(210)

és használja a sajátalakok ortogonalitási tulajdonságát:

.

A (201) általános megoldást a következőképpen írjuk:

.(211)

A sebességet a kifejezés határozza meg

.(212)

A (211) és (212) egyenlet jobb oldali részében, a bal oldali részekben pedig a feltételezett ismert kezdeti elmozdulásokat és sebességeket behelyettesítve megkapjuk.

.

Megszorozzuk ezeket a kifejezéseket és integráljuk a teljes hosszon keresztül

(213)

A jobb oldali végtelen összegek az ortogonalitási tulajdonság miatt eltűntek. A (213)-ból képletek következnek az és állandókra

(214)

Most ezeket az eredményeket a (211) oldattal kell helyettesíteni.

Ismét hangsúlyozzuk, hogy a megfelelő formák léptékének megválasztása nem lényeges. Ha például a (209) saját alakjának kifejezésében egy szor nagyobb értéket veszünk helyette, akkor (214) szor kisebb eredményeket ad; a (211) oldattal való helyettesítés után ezek a különbségek kioltják egymást. Ennek ellenére gyakran használnak normalizált sajátfüggvényeket, amelyek skáláját úgy választják meg, hogy a (214) kifejezések nevezője eggyel egyenlő legyen, ami leegyszerűsíti a és kifejezéseket.

6.3.5. Állandó hosszirányú erő hatása

Tekintsük azt az esetet, amikor az oszcilláló nyaláb olyan N hosszirányú erőt fejt ki, amelynek értéke a rezgési folyamat során nem változik. Ebben az esetben a statikus hajlítási egyenlet bonyolultabbá válik, és alakot ölt (feltételezve, hogy a nyomóerőt pozitívnak tekintjük)

.

Feltételezve és feltételezve a merevséget állandónak, megkapjuk a szabad rezgések egyenletét

.(215)

Még mindig egy adott megoldást fogadunk el a formában

Ekkor a (215) egyenlet két egyenletre bomlik:

Az első egyenlet a megoldás oszcillációs jellegét fejezi ki, a második meghatározza a rezgések alakját, és lehetővé teszi a frekvenciák megtalálását is. Írjuk át így:

(216)

ahol K a (196) képlet határozza meg, és

A (216) egyenlet megoldásának alakja van

Tekintsük azt az esetet, amikor a rúd mindkét végén csuklós támaszték van. Feltételek a bal oldalon adni . Ugyanazokat a feltételeket a jobb oldalon teljesítve azt kapjuk

Ha nullával egyenlő a determináns, amely az és értékek együtthatóiból áll, akkor az egyenlethez jutunk

Ennek a frekvenciaegyenletnek a gyökerei a következők:

Ezért a sajátfrekvenciát az egyenletből határozzuk meg

.

Ezért (217) figyelembe véve azt találjuk

.(219)

Nyújtáskor a frekvencia nő, összenyomásakor csökken. Amikor az N nyomóerő megközelíti a kritikus értéket, a gyök nullára hajlik.

6.3.6. Láncerők hatása

Korábban a hosszirányú erőt adottnak és a rendszer elmozdulásaitól függetlennek tekintették. Egyes gyakorlati problémákban a keresztirányú rezgések folyamatát kísérő hosszirányú erő a gerenda meghajlítása miatt keletkezik, és a támasz reakciójának természetéből adódik. Vegyünk például egy gerendát két csuklósan rögzített tartón. Ha meghajlik, a támasztékok vízszintes reakciói lépnek fel, ami a gerenda megnyúlását okozza; a megfelelő vízszintes erőt nevezzük láncerő. Ha a gerenda keresztirányú rezgéseket okoz, akkor a láncerő idővel változik.

Ha egy t pillanatban a nyaláb elhajlásait a függvény határozza meg, akkor a tengely nyúlása a képlettel meghatározható

.

A megfelelő láncerőt a Hooke-törvény segítségével találhatjuk meg

.

Ezt az eredményt (215) helyettesítjük az N hosszirányú erő helyett (az előjelet figyelembe véve)

.(220)

A kapott nemlineáris integro-differenciál az egyenlet behelyettesítéssel egyszerűsödik

,(221)

hol van az idő dimenzió nélküli függvénye, maximális érték amely tetszőleges számmal egyenlő, például eggyel; oszcillációs amplitúdó.

A (221)-et (220) behelyettesítve megkapjuk a közönséges differenciálegyenletet

,(222)

amelyek együtthatói a következő értékekkel rendelkeznek:

;.

A (222) differenciálegyenlet nemlineáris, ezért a szabad rezgések frekvenciája az amplitúdójuktól függ.

A keresztirányú rezgések frekvenciájának pontos megoldása a forma

ahol a keresztirányú rezgések gyakorisága a láncerők figyelembevétele nélkül számítva; korrekciós tényező az oszcillációs amplitúdó és a keresztmetszet forgási sugarának arányától függően; az érték a referencia irodalomban van megadva.

Ha a keresztmetszet amplitúdója és forgási sugara összehasonlítható, akkor a frekvencia korrekciója jelentőssé válik. Ha például egy kör alakú rúd lengési amplitúdója megegyezik az átmérőjével, akkor , és a frekvencia majdnem kétszerese, mint a támasztékok szabad elmozdulása esetén.

Az eset a tehetetlenségi sugár nulla értékének felel meg, amikor a gerenda hajlítási merevsége eltűnően kicsi - egy húr. Ebben az esetben a képlet bizonytalanságot ad. Ezt a bizonytalanságot feltárva képletet kapunk a húr rezgési frekvenciájára

.

Ez a képlet arra az esetre vonatkozik, amikor egyensúlyi helyzetben a feszültség nulla. A húrrezgések problémáját gyakran más feltételezések alapján vetik fel: feltételezik, hogy az elmozdulások kicsik, és a húzóerő adott és változatlan marad a rezgések során.

Ebben az esetben a gyakoriság képlete alakja

ahol N állandó húzóerő.

6.4. A viszkózus súrlódás hatása

Korábban azt feltételezték, hogy a rudak anyaga ideálisan rugalmas, és nincs súrlódás. Tekintsük a belső súrlódás hatását, feltételezve, hogy viszkózus; akkor a feszültségek és alakváltozások kapcsolatát az összefüggések írják le

;.(223)

Hagyja, hogy egy elosztott paraméterekkel rendelkező rúd szabad hosszirányú rezgéseket hajtson végre. Ebben az esetben a hosszirányú erőt az űrlapba írjuk

A rúdelem mozgásegyenletéből a (174) összefüggést kaptuk

A (224) behelyettesítésével a fő differenciálegyenlethez jutunk

,(225)

amely a (175)-től a viszkózus súrlódási erők hatását kifejező második taggal különbözik.

A Fourier-módszert követve a (225) egyenletre keresünk megoldást a formában

,(226)

ahol a függvény csak x koordináta, a függvény pedig csak t idő.

Ebben az esetben a sorozat minden tagjának teljesítenie kell a feladat peremfeltételeit, és a teljes összegnek is meg kell felelnie a kezdeti feltételeknek. A(226) behelyettesítése a(225)-be, és megköveteli, hogy bármely szám egyenlősége teljesüljön r, kapunk

,(227)

ahol a prímek a koordinátához viszonyított differenciálást jelölik x, és a pontok a t időhöz viszonyított differenciálás.

(227) elosztása a szorzattal , elérkezünk az egyenlőséghez

,(228)

a bal oldal, ami csak a koordinátán múlhat x, és a jobb - csak a t. A (228) egyenlőség azonos teljesüléséhez szükséges, hogy mindkét rész egyenlő legyen ugyanazzal az állandóval, amelyet -vel jelölünk.

Ebből kövesd az egyenleteket

(229)

.(230)

A (229) egyenlet nem függ a K viszkozitási együtthatótól, és különösen ugyanaz marad egy tökéletesen rugalmas rendszer esetén, amikor . Ezért a számok teljesen egybeesnek a korábban találtakkal; azonban, amint az alább látható lesz, az érték a sajátfrekvencia csak hozzávetőleges értékét adja meg. Vegyük észre, hogy a sajátformák teljesen függetlenek a rúd viszkózus tulajdonságaitól, pl. a szabad csillapított rezgések formái egybeesnek a szabad csillapítatlan rezgések formáival.

Most térjünk át a (230) egyenletre, amely leírja a csillapított oszcillációk folyamatát; megoldása így néz ki

.(233)

A (232) kifejezés a csillapítási sebességet, a (233) pedig az oszcillációs frekvenciát határozza meg.

Ily módon komplett megoldás probléma egyenletek

.(234)

Állandó és adott kezdeti feltételek szerint mindig megtalálható. Adjuk meg az összes rúdszakasz kezdeti elmozdulását és kezdeti sebességét a következőképpen:

;,(235)

ahol és vannak ismert függvények.

Ekkor a (211) és (212) szerint van

ezen egyenlőségek mindkét részét megszorozva és a rúd teljes hosszában integrálva megkapjuk

(236)

A sajátalakok ortogonalitási feltétele szerint ezen egyenlőségek jobb oldalán szereplő összes többi tag eltűnik. Most könnyű megtalálni a (236) egyenlőségekből bármely r számra.

Figyelembe véve (232) és (234), megjegyezzük, hogy minél nagyobb a rezgésmód száma, annál gyorsabb a csillapítása. Ezenkívül a (234)-ben szereplő kifejezések csillapított oszcillációkat írnak le, ha van valós szám. A (233)-ból látható, hogy ez csak néhány r kezdeti értékére megy végbe, amíg az egyenlőtlenség

Kellően nagy értékekhez r az egyenlőtlenség (237) megsérül, és a mennyiség képzeletbelivé válik. Ebben az esetben a (234) általános megoldás megfelelő tagjai már nem a csillapított rezgéseket írják le, hanem egy időszakos csillapított mozgást jelentenek. Más szóval, a fluktuációk a szó szokásos értelmében az összegnek csak egy véges részét fejezik ki (234).

Mindezek a kvalitatív következtetések nemcsak a hosszanti rezgések, hanem a torziós és hajlító rezgések esetére is érvényesek.

6.5. Változó keresztmetszetű rudak rezgései

Azokban az esetekben, amikor a rúd megoszló tömege és keresztmetszete a hossza mentén változó, a hosszirányú rezgések egyenlete (175) helyett az egyenletből kell kiindulni.

.(238)

A (187) torziós rezgés egyenletet az egyenlettel kell helyettesíteni

,(239)

és a keresztirányú rezgések egyenlete (192) - az egyenlettel

.(240)

A (238)-(240) egyenletek azonos típusú ;; helyettesítések segítségével a függvény közönséges differenciálegyenleteire redukálhatók

1

Frekvenciamódszert javasoltak a lépcsőzetesen változó keresztmetszetű rudak hosszirányú rezgésének problémájának megoldására, merev akadállyal való ütközéskor fellépő energiadisszipáció figyelembevételével vagy anélkül. A rúd hosszirányú rezgésének egyenlete Laplace szerint transzformálódik nem nulla kezdeti feltételek mellett. megoldva határérték probléma, amely abból áll, hogy megtaláljuk a Laplace-transzformált él hosszirányú erőket az élelmozdulások függvényében. Ezután összeállítjuk a csomópontok egyensúlyának egyenletrendszerét, melynek megoldására amplitúdó-fázis-frekvencia karakterisztikát (APFC) építünk a rúd érdekelt szakaszaira. Az inverz Laplace-transzformációt végrehajtva tranziens folyamatot konstruálunk. Példaként egy véges hosszúságú állandó metszetű rudat veszünk figyelembe. Összehasonlítást adunk az ismert hullámmegoldással. A merev akadállyal való ütközés során a rúd dinamikus kiszámítására javasolt módszer lehetővé teszi az általánosításokat tetszőleges rúdrendszerre korlátlan számú rugalmasan kapcsolódó tömeg jelenlétében, tetszőleges erővel a végein és a hossza mentén. rúd.

frekvencia módszer

a rúd hosszirányú rezgései

1. Biderman, V.L. Alkalmazott elmélet mechanikai rezgések/ V.L. Biderman. – M.: elvégezni az iskolát, 1972. - 416 p.

2. Lavrentiev, M.A. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei / M.A. Lavrentiev, B.V. Sabbat. – M.: Nauka, 1973. – 736 p.

3. Sankin, Yu.N. Dinamikus jellemzők viszkoelasztikus rendszerek elosztott paraméterekkel / Yu.N. Sankin. - Szaratov: Sarat Kiadó. un-ta, 1977. - 312 p.

4. Sankin, Yu.N. A rúdrendszerek nem álló rezgései akadállyal ütközéskor / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; összesen alatt szerk. Yu.N. Sankin. - Uljanovszk: UlGTU, 2010. - 174 p.

5. Sankin, Y.N. Lépésenként változó keresztmetszetű rugalmas rudak hosszirányú rezgései merev akadállyal ütközve \ Yu. N. Sankin és N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, 3. sz., pp. 427-433, 2001.

Tekintsük a lépcsőzetesen változó keresztmetszetű rudak hosszirányú rezgésének problémájának megoldására szolgáló frekvenciamódszert merev akadállyal való ütközéskor bekövetkező energiadisszipáció figyelembevételével vagy anélkül, amelyet összehasonlítunk az ismert hullámmegoldással és a megoldással. rezgésmódok sorozata formájában (14) .

A rúd hosszirányú rezgésének differenciálegyenlete, figyelembe véve a belső ellenállási erőket, a következő:

Állítsuk be a következő perem- és kezdeti feltételeket:

. (2)

Alakítsuk át az (1) egyenletet és a (2) peremfeltételeket Laplace szerint adottra kezdeti feltételek(2). Ekkor a (2) egyenlet és a (2) peremfeltételek a következők szerint lesznek felírva:

; (3)

,

hol vannak a rúd pontjainak Laplace-transzformált elmozdulásai; p a Laplace-transzformációs paraméter.

A (3) egyenlet az energiadisszipáció figyelembevétele nélkül (= 0) a következőképpen alakul:

. (4)

A kapott inhomogén differenciálegyenlethez egy határérték-problémát oldunk meg, amely abból áll, hogy a Laplace-transzformált élhosszirányú erőket az éleltolódások függvényében keressük.

Ehhez figyelembe vesszük a rúd hosszirányú rezgésének homogén egyenletét, figyelembe véve az energia disszipációt

(5)

jelölve

és egy új változóra átlépve (5) helyett kapjuk

(6)

Ha, hol van a frekvencia paraméter, akkor

.

Megoldás homogén egyenlet(6) a következő formában van:

A c1 és c2 integrációs állandók a kezdeti feltételekből származnak:

u = u0 ; N = N0,

Azok. ;

Ez a megoldás a következő átviteli mátrixnak felel meg:

. (7)

A kapott kifejezéseket az átviteli mátrix elemeire behelyettesítve az eltolási módszer képleteibe, megkapjuk:

; (8)

;

Az n és k indexek a rúdszakasz elejét, illetve végét jelzik. Az nk és kn indexű geometriai és fizikai állandók pedig a rúd egy meghatározott szakaszára vonatkoznak.

A rudat elemekre bontva a (8) képlet segítségével megalkotjuk a csomópontok dinamikus egyensúlyának egyenleteit. Ezek az egyenletek egyenletrendszerek ismeretlen csomóponteltolódásokhoz. Mivel a megfelelő együtthatókat pontos integrációval kapjuk, a rúd szakaszainak hossza nincs korlátozva.

Az eredményül kapott egyenletrendszert megoldva a rúd számunkra érdekes szakaszaira felépítjük az amplitúdó-fázis-frekvencia karakterisztikát. Ezek az AFC-k egy egyoldalú Fourier-transzformáció grafikus képeként tekinthetők, amely egybeesik a Laplace-transzformációval impulzív műveletek hatására. Mivel a megfelelő kifejezések összes szinguláris pontja a képzeletbeli tengelytől balra fekszik, az inverz transzformációt a beállítással hajthatjuk végre, azaz. a megépített AFC segítségével. Az AFC megalkotásának feladata, ahol a kezdeti sebességek és a rúd sűrűségének szorzata erőként jelenik meg, segédeszköz. Általában az AFC-ket perturbáló erők hatására építik fel, majd az inverz Laplace-transzformációt numerikus integrációval vagy más módon hajtják végre.

Mint egyszerű példa Tekintsünk egy l hosszúságú egyenes rudat, amely hosszirányban V0 sebességű merev akadályba ütközik (1. ábra).

Határozzuk meg a rúd pontjainak elmozdulását az ütközés után. Feltételezzük, hogy az ütközés után az akadály és a rúd közötti érintkezés megmarad, pl. rúd visszapattanása nem következik be. Ha a kapcsolat nem tartó, akkor a probléma darabonként lineárisnak tekinthető. A másik megoldásra való átmenet kritériuma a sebesség előjelének változása az érintkezési pontban.

Lavrentiev M.A. monográfiájában Shabat B.V. a (4) egyenlet hullámmegoldása adott:

és megtalálta az eredetit

, (9)

hol van az egységlépés függvény.

A probléma megoldásának egy másik megközelítése a -ban leírt frekvenciamódszerrel valósítható meg. Erre a problémára a következőkre lesz szükségünk:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Keressük az eredetit (11)

Oldjuk meg ugyanazt a problémát frekvencia módszerrel. Az 1. csomópont egyensúlyi egyenletéből:

(12)

képletet kapunk a rúd végének mozgatására .

Ha az állandó keresztmetszetű tesztrudat két tetszőleges l1 és l2 hosszúságú szakaszra osztjuk (lásd 1. ábra), akkor a csomópontok egyensúlyának feltételei a következők lesznek:

(13)

A (13) rendszer megoldása eredményeként az 1. és 2. szakasz (U1 és U2) elmozdulások fázisválaszának grafikonját kapjuk. Tehát az éleltolódás képe zárt formában, figyelembe véve az energiadisszipációt, a (12) és (13) esetén egybeesik, és a következő formában van:

. (14)

Ellenőrizzük az eredmények egybeesését a rúd végén. ábrán. A 2. ábra a (10) megoldás grafikonját mutatja x = l0,1 esetén és a (13) megoldási rendszer eredményeként. Tökéletesen illeszkednek.

A diszkrét Fourier transzformáció felhasználható a tranziens folyamat meghatározására. Az eredményt úgy kaphatjuk meg, hogy t=0…-nál numerikus integrációt hajtunk végre a képlettel

. (15)

Az AFC-n (lásd a 2. ábrát) csak egy látható tekercs jelenik meg jelentősen. Ezért a sorozat egy tagját (15) kell venni. A 3. ábra grafikonjaiból látható, hogy a megoldás (9) és a rezgésmódok szerinti megoldás (11) mennyire pontosan esik egybe a javasolt frekvenciamegoldással. A hiba nem haladja meg a 18%-ot. Az ebből eredő eltérést az magyarázza, hogy a (9) és (11) megoldás nem veszi figyelembe a rúd anyagában bekövetkező energiadisszipációt.

Rizs. 3. Átmeneti folyamat a rúd végének esetében; 1, 2, 3 - a (9), (11), (15) képletek szerint összeállított gráfok.

mint több összetett példa Tekintsük egy lépcsős rúd (4. ábra) hosszirányú rezgésének problémáját, amelynek végén teher van, merev akadálynak V0 sebességgel ütközve, és legyen a terhelés tömege egyenlő a szomszédos szakasz tömegével. a rúdról:.

Rizs. 4. Lépcsőzetes rúd hosszanti oszcillációinak számítási sémája a végén terheléssel

Bemutatjuk a rúd 1,2,3 karakterisztikus metszeteit, melyekben az elmozdulásokat számoljuk. Összeállítunk egy feloldó egyenletrendszert:

(16)

A (16) megoldási rendszer eredményeként megkapjuk az AFC grafikonokat (5. ábra) a második és harmadik szakasz elmozdulásaira (U2 () illetve U3 (). A számításokat az alábbi állandó értékekkel végeztük: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. A kapott AFC-ken csak két látható fordulat mutatkozik jelentősen. Ezért a tranziens folyamat felépítésénél a kiválasztott szakaszokban a (16) sorozat két tagját vesszük figyelembe. Ehhez először meg kell határoznia

Rizs. 5. ábra. Az elmozdulások AFC egy lépcsős rúd második és harmadik szakaszában (lásd 4. ábra)

Hasonlóképpen a (15) képlet szerint tranziens folyamatot hozunk létre.

Következtetés: kidolgoztak egy módszert a rudak hosszirányú rezgésének kiszámítására akadállyal való ütközéskor.

Ellenőrzők:

Lebegyev A.M., a műszaki tudományok doktora, egyetemi docens, az Uljanovszki Felsőoktatási Egyetem professzora repülőiskola(Intézmény), Uljanovszk.

Antonets I.V., a műszaki tudományok doktora, Uljanovszk állam professzora technikai Egyetem, Uljanovszk.

Bibliográfiai link

Yuganova N.A. MEREV AKADÁLYOKKAL ÜTKÖDŐ RUDAK HOSSZ-REZGÉSE // Kortárs kérdések tudomány és oktatás. - 2014. - 2. sz.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (hozzáférés dátuma: 2020.01.15.). Felhívjuk figyelmüket a Természettudományi Akadémia kiadója által kiadott folyóiratokra.

Ebben a részben megvizsgáljuk a homogén rúd hosszirányú rezgésének problémáját. A rúd egy hengeres (különösen prizmás) alakú test, amelynek nyújtásához vagy összenyomásához ismert erőt kell kifejteni. Feltételezzük, hogy minden erő a rúd tengelye mentén hat, és a rúd minden keresztmetszete (23. ábra) csak a rúd tengelye mentén mozog transzlációsan.

Ez a feltételezés általában akkor indokolt, ha a rúd keresztirányú méretei a hosszához képest kicsik, és a rúd tengelye mentén ható erők viszonylag kicsik. A gyakorlatban a hosszanti rezgések leggyakrabban akkor lépnek fel, amikor a rudat először kissé megfeszítik, vagy fordítva, összenyomják, majd magára hagyják. Ebben az esetben szabad hosszirányú rezgések keletkeznek benne. Vezessük le ezeknek a rezgéseknek az egyenleteit.

Irányítsuk az abszcissza tengelyt a rúd tengelye mentén (23. ábra); nyugalmi állapotban a rúd végein abszcisszák vannak.. Tekintsük a metszetet; - az abszcissza nyugalmi állapotban van.

Ennek a szakasznak az eltolódását bármely t időpontban egy függvény jellemzi, amelynek megtalálásához differenciálegyenletet kell alkotnunk. Mindenekelőtt a rúd szakaszokkal határolt szakaszának relatív nyúlását találjuk meg, ha a nyugalmi szakasz abszcisszája magasabb rendű egyenlő

Ezért a rúd relatív nyúlása az abszcissza szakaszban t időpontban egyenlő

Feltételezve, hogy a nyúlást okozó erők engedelmeskednek a Hooke-törvénynek, megkapjuk a keresztmetszetre ható T feszítőerő nagyságát:

(5.2)

ahol a rúd keresztmetszeti területe, és a rúd anyagának rugalmassági modulusa (Young modulusa). Az (5.2) képletet jól ismernie kell az olvasó számára az anyagok szilárdsági pályájából.

Ennek megfelelően a szakaszra ható erő egyenlő

Mivel az erők helyettesítik a rúd elvetett részeinek hatását, eredőjük egyenlő a különbséggel

Figyelembe véve a rúd kiválasztott szakaszát anyagi pont tömeggel, ahol a rúd térfogatsűrűsége, és alkalmazva rá Newton második törvényét, összeállítjuk az egyenletet

A jelöléssel redukálva és bevezetve megkapjuk a rúd szabad hosszirányú rezgésének differenciálegyenletét

Ha ezenfelül azt feltételezzük, hogy a rúdra egységnyi térfogatra számított, a rúd tengelye mentén ható külső erő hat, akkor az (5 3) összefüggés jobb oldalához hozzáadunk egy tagot, és az (5.4) egyenlet a forma

ami pontosan egybeesik a húr kényszerrezgéseinek egyenletével.

Térjünk most rá a probléma kezdeti és peremfeltételeinek megállapítására, és vegyük figyelembe a gyakorlatban a legérdekesebb esetet, amikor a rúd egyik vége rögzített, a másik szabadon van.

A szabad végén a peremfeltételnek más formája lesz. Mivel ezen a végén nincsenek külső erők, ezért a szakaszon ható T erőnek is nullának kell lennie, azaz.

Az oszcillációk azért fordulnak elő, mert a kezdeti pillanatban a rúd deformálódott (megnyúlt vagy összenyomódott), és bizonyos kezdeti sebességeket kaptak a rúd pontjai. Ezért ismernünk kell a rúd keresztmetszeteinek pillanatnyi elmozdulását

valamint a rúd pontjainak kezdeti sebességei

Tehát az egyik végén rögzített rúd szabad hosszirányú rezgésének problémája, amely a kezdeti összenyomás vagy feszültség miatt keletkezik, elvezetett minket az egyenlethez.

kezdeti feltételekkel

és peremfeltételek

Ez az utolsó feltétel a különbség matematikai pont a vizsgált probléma nézete a két végén rögzített húr rezgésének problémájából.

A megfogalmazott problémát a Fourier-módszerrel fogjuk megoldani, azaz az (5.8) egyenletnek olyan konkrét megoldásait keressük, amelyek teljesítik az (5.8) peremfeltételeket, a formában

Mivel a megoldás további menete a 3. §-ban már vázoltakhoz hasonló, rövid jelzésekre szorítkozunk. A függvényt differenciálva, a kapott kifejezéseket (5.6)-ba behelyettesítve és a változókat szétválasztva kapjuk

(Az olvasóra bízzuk annak megállapítását, hogy a peremfeltételek miatt a jobb oldali konstans nem lehet pozitív szám vagy nulla.) Az egyenlet általános megoldásának formája van.

A funkcióra támasztott feltételek miatt lesz

A nullával nem azonos megoldásokat csak akkor kapjuk meg, ha a feltétel teljesül, azaz a esetén, ahol k veheti fel az értékeket

Tehát a probléma sajátértékei a számok

Mindegyiknek megvan a maga funkciója

Mint már tudjuk, bármelyik sajátfüggvényt megszorozzuk egy tetszőleges konstanssal, megoldást kapunk az egyenletre a megadott peremfeltételekkel. Könnyen ellenőrizhető a k szám megadásával negatív értékeket, nem csak előjellel kapunk új sajátfüggvényeket (például ha a sajátfüggvénytől eltérő függvényt kapunk),

Először is bizonyítsuk be, hogy az (5.11) sajátfüggvények ortogonálisak az intervallumban. Valóban, at

Ha akkor

A sajátfüggvények ortogonalitása más módon is igazolható, anélkül, hogy explicit kifejezéseikre támaszkodnánk, hanem csak differenciálegyenletés éli usuviumok. Legyen és két különböző sajátértékek, és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények. Értelemszerűen ezek a függvények kielégítik az egyenleteket

és élviszonyok. Szorozzuk meg az első egyenletet a másodikkal, és vonjuk ki az egyiket a másikból.

> Hosszanti hullámok

Ismerje meg a terjedést, az irányt és a sebességet hosszanti hullám: mely hullámok longitudinálisak, hogyan terjednek, példák és ingadozások, hogyan keletkeznek, grafikon.

Néha a longitudinális hullámokat kompressziós hullámoknak nevezik. oszcillálni a terjedés irányába.

Tanulási feladat

• Határozza meg a longitudinális hullámtípus tulajdonságait és példáit!

Főbb pontok

• A longitudinális hullámok oszcillációi a terjedés irányában valósulnak meg, de túl kicsik és egyensúlyi helyzetűek, így nem mozdítják el a tömeget.
• Ez a típus a terjedési tengely mentén energiát szállító impulzusoknak tekinthető.
• Ezek nyomáshullámokként is érzékelhetők, jellegzetes tömörítéssel és ritkítással.

Feltételek

• A ritkaság egy anyag sűrűségének csökkenése (elsősorban folyadék esetében).
• Hosszanti - a tengely hosszának irányában.
• A tömörítés a sűrűség növekedését jelenti.

Példa

Mik azok a longitudinális hullámok? A legjobb példa erre a hanghullám. Tartalmazza a levegő összenyomásából származó impulzusokat.

Hosszanti hullámok

A rezgés irányában a hosszanti hullámok egybeesnek a mozgás irányával. Vagyis a közeg mozgása a hullámmozgással azonos irányban helyezkedik el. Néhány longitudinális hullámot kompressziósnak is neveznek. Ha kísérletezni szeretne, akkor csak vegyen egy Slinky játékot (rugós), és tartsa mindkét végén. A tömörítés és a gyengülés pillanatában az impulzus a végére fog mozdulni.

Az összenyomott Slinky a longitudinális hullám egy példája. Ugyanabban az irányban terjed, mint a rezgések

Hosszanti (és keresztirányú) nem mozdítja el a tömeget. A különbség az, hogy a közegben lévő minden részecske, amelyen keresztül egy longitudinális hullám terjed, a terjedési tengely mentén oszcillál. Ha a Slinkyre gondol, akkor a tekercsek pontokban oszcillálnak, de nem mozognak a rugó hosszában. Ne felejtsük el, hogy nem tömeget szállítanak ide, hanem energiát lendület formájában.

Egyes esetekben az ilyen hullámok nyomáshullámként működnek. A hang kiváló példa. Közeg (leggyakrabban levegő) összenyomásakor keletkeznek. Longitudinális hanghullámok - váltakozó nyomáseltérés a kiegyensúlyozott nyomástól, ami helyi kompressziós és ritkulási területekhez vezet.

A közegben lévő anyagot egy hanghullám periodikusan elmozdítja és oszcillál. A hang előállításához a levegő részecskéit egy bizonyos mértékig össze kell tömöríteni. Így alakulnak ki keresztirányú hullámok. A fülek érzékenyen reagálnak a különböző nyomásokra, és a hullámokat hangokká alakítják.

A rúd alatt a П=0х[О, /] hengert értjük, amikor ÉN" diamD. Itt D- terület bekapcsolva Koordináta sík Oh 2 x 3 (62. ábra). A rúd anyaga homogén és izotróp, az Ox tengelye átmegy a metszet súlypontján D. A külső test erők mezeje f(r, ÉN)\u003d / (X |, /) e, ahol e az Ox tengely egységvektora. Legyenek a henger oldalfelületére ható külső felületi erők nullával egyenlők, azaz. Ra= 0 be dd x

Ekkor a (4.8)-ból az következik, hogy 1=0 egyenlőség

Saját nyomtatványok X k(j) kényelmes a normalizálás annak a /^() térnek a normájával, amelyhez a függvény tartozik v(s, I), mivel minden időpillanatban létezik és korlátozza a kinetikus energia funkcionális

ahol S- a régió területe D. Nekünk van

X*(s) = Jj- sin^-l az R 0 = ji)(s, /) sebességek terében: v(s,t)e

Ennek eredményeként egy |l r *(^)| ortonormális bázist kapunk ,

ahol b a „- Kronecker szimbólum: Funkciók X k *(s), k= 1,2, a természetes oszcilláció normál formái, és u*, k= 1, 2, ..., - a végtelen számú szabadságfokú rendszer természetes rezgési frekvenciái.

Végezetül megjegyezzük, hogy az u(s, /) függvény a H, = rendszer konfigurációs teréhez tartozik (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), ahol / ^ "OO, /]) a függvények Szobolev tere, amely a szegmens első deriváltjainak négyzeteivel összegezhető. Az R tér a funkcionális definíciós tartománya helyzeti energia rugalmas deformációk

és a vizsgált probléma általános megoldásait tartalmazza.