Ma arra hívjuk Önt, hogy fedezze fel és rajzoljon meg velünk egy függvénygrafikont. A cikk alapos tanulmányozása után nem kell sokáig izzadnia egy ilyen feladat elvégzéséhez. Egy függvény feltárása és grafikonjának felépítése nem egyszerű, a munka terjedelmes, maximális odafigyelést és számítási pontosságot igényel. Az anyag észlelésének megkönnyítése érdekében fokozatosan tanulmányozzuk ugyanazt a funkciót, elmagyarázzuk minden tevékenységünket és számításunkat. Üdvözöljük a matematika csodálatos és lenyűgöző világában! Megy!

Tartomány

Egy függvény feltárásához és ábrázolásához ismernie kell néhány definíciót. A függvény a matematika egyik alap (alap)fogalma. Több változó (kettő, három vagy több) közötti függést tükrözi változásokkal. A függvény a halmazok függését is mutatja.

Képzeljük el, hogy két olyan változónk van, amelyeknek bizonyos változási tartománya van. Tehát y x függvénye, feltéve, hogy a második változó minden értéke a második egy értékének felel meg. Ebben az esetben az y változó függő, és függvénynek nevezzük. Szokásos azt mondani, hogy az x és y változók ben vannak. Ennek a függőségnek a jobb érthetősége érdekében elkészítjük a függvény grafikonját. Mi az a függvénygráf? Ez egy pontkészlet Koordináta sík ahol minden x értéke y egy értékének felel meg. A grafikonok különbözőek lehetnek - egyenes vonal, hiperbola, parabola, szinuszos és így tovább.

Egy függvénygráfot nem lehet feltárás nélkül ábrázolni. Ma megtanuljuk, hogyan végezzünk kutatást és rajzoljunk függvénygrafikont. Nagyon fontos a jegyzetelés a tanulmányozás során. Így sokkal könnyebb lesz megbirkózni a feladattal. A legkényelmesebb tanulmányi terv:

1. Tartomány.
2. Folytonosság.
3. Páros vagy páratlan.
4. Periodikaság.
5. Aszimptoták.
6. Nullák.
7. Állandóság.
8. Emelkedő és csökkenő.
9. Extrémek.
10. Konvexitás és homorúság.

Kezdjük az első ponttal. Keressük meg a definíciós tartományt, vagyis azt, hogy milyen intervallumokon létezik a függvényünk: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Esetünkben a függvény létezik x tetszőleges értékére, vagyis a definíciós tartomány R. Ezt xОR-ként írhatjuk fel.

Folytonosság

Most a folytonossági függvényt vizsgáljuk meg. A matematikában a „folytonosság” kifejezés a mozgástörvények tanulmányozása eredményeként jelent meg. Mi a végtelen? Tér, idő, néhány függőség (például az S és t változók függése mozgási problémákban), a felmelegített tárgy hőmérséklete (víz, serpenyő, hőmérő stb.), egy folytonos vonal (azaz egy amely anélkül rajzolható meg, hogy levenné a ceruzáról).

Egy gráfot akkor tekintünk folytonosnak, ha egy ponton nem szakad meg. Az ilyen grafikonok egyik legszembetűnőbb példája a szinuszhullám, amely a képen látható ez a szekció. A függvény egy x0 ponton folytonos, ha több feltétel teljesül:

• egy függvény egy adott pontban van definiálva;
• a jobb és a bal határ egy pontban egyenlő;
• a határérték egyenlő a függvény értékével az x0 pontban.

Ha legalább egy feltétel nem teljesül, a függvény megszakad. És azokat a pontokat, ahol a függvény megszakad, töréspontoknak nevezzük. Példa egy függvényre, amely grafikus megjelenítéskor „megszakad”: y=(x+4)/(x-3). Ráadásul y nem létezik az x = 3 pontban (mivel lehetetlen nullával osztani).

Az általunk vizsgált függvényben (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) minden egyszerűnek bizonyult, mivel a grafikon folyamatos lesz.

Páros Páratlan

Most vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Kezdjük egy kis elmélettel. A páros függvény olyan függvény, amely az x változó bármely értékére (az értéktartományból) teljesíti az f (-x) = f (x) feltételt. Példák:

• x modul (a gráf úgy néz ki, mint egy bukó, a gráf első és második negyedének felezője);
• x négyzet (parabola);
• koszinusz x (koszinusz hullám).

Vegye figyelembe, hogy ezek a grafikonok az y tengelyhez képest szimmetrikusak.

Mit nevezünk akkor páratlan függvénynek? Ezek azok a függvények, amelyek teljesítik a feltételt: f (-x) \u003d - f (x) az x változó bármely értékére. Példák:

• hiperbola;
• köbös parabola;
• sinusoid;
• érintő és így tovább.

Vegye figyelembe, hogy ezek a függvények szimmetrikusak a pontra (0:0), vagyis az origóra. A cikk e részében elmondottak alapján a páros és páratlan függvénynek rendelkeznie kell a következő tulajdonsággal: x a definícióhalmazhoz tartozik és -x is.

Vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Láthatjuk, hogy egyik leírásnak sem felel meg. Ezért a függvényünk se nem páros, se nem páratlan.

Aszimptoták

Kezdjük egy meghatározással. Az aszimptota olyan görbe, amely a lehető legközelebb van a grafikonhoz, vagyis a távolság egy ponttól nullára hajlik. Háromféle aszimptota létezik:

• függőleges, vagyis párhuzamos tengelyek y;
• vízszintes, azaz párhuzamos az x tengellyel;
• ferde.

Ami az első típust illeti, ezeket a sorokat néhány ponton meg kell keresni:

• rés;
• a tartomány végeit.

Esetünkben a függvény folytonos, a definíciós tartomány pedig R. Ezért nincsenek függőleges aszimptoták.

Egy függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája van, amely megfelel a következő követelménynek: ha x a végtelenbe vagy mínusz végtelenbe hajlik, és a határérték egy bizonyos számmal (például a) egyenlő. Ebben az esetben y=a a vízszintes aszimptota. Az általunk vizsgált függvényben nincsenek horizontális aszimptoták.

Ferde aszimptota csak akkor létezik, ha két feltétel teljesül:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Ekkor a következő képlettel lehet megtalálni: y=kx+b. Ismétlem, esetünkben nincsenek ferde aszimptoták.

Funkció nullák

A következő lépés a függvény grafikonjának vizsgálata nullákra. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a függvény nulláinak megtalálásával kapcsolatos feladat nemcsak a függvény tanulmányozása és ábrázolása során merül fel, hanem önálló feladatés az egyenlőtlenségek feloldásának módja. Előfordulhat, hogy meg kell találnia egy függvény nulláját egy grafikonon, vagy matematikai jelölést kell használnia.

Ezen értékek megtalálása segít a függvény pontosabb ábrázolásában. Ha beszélni egyszerű nyelv, akkor a függvény nullája az x változó értéke, amelynél y=0. Ha egy függvény nulláit keresi egy grafikonon, akkor ügyeljen azokra a pontokra, ahol a gráf metszi az x tengellyel.

A függvény nulláinak megtalálásához a következő egyenletet kell megoldani: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. A szükséges számítások elvégzése után a következő választ kapjuk:

jel állandóság

A függvény (grafika) tanulmányozásának és felépítésének következő lépése az előjelállandóság intervallumainak megtalálása. Ez azt jelenti, hogy meg kell határoznunk, hogy a függvény mely intervallumokon vesz fel pozitív, és melyik intervallumokon negatív értéket. Az előző részben található függvények nullái segítenek ebben. Tehát fel kell építenünk egy egyenest (a grafikontól külön), és el kell osztanunk rajta a függvény nulláit a megfelelő sorrendben a legkisebbtől a legnagyobbig. Most meg kell határoznia, hogy a kapott intervallumok közül melyiknek van „+” jele, és melyiknek „-”.

Esetünkben a függvény pozitív értéket vesz fel az intervallumokon:

• 1-től 4-ig;
• 9-től a végtelenig.

Negatív jelentése:

• mínusz végtelentől 1-ig;
• 4-től 9-ig.

Ezt meglehetősen könnyű meghatározni. Helyettesíts be tetszőleges számot az intervallumból a függvénybe, és nézd meg, milyen előjel a válasz (mínusz vagy plusz).

Funkció Növekvő és Csökkenő

Egy függvény feltárásához és felépítéséhez meg kell találnunk, hogy a grafikon hol fog növekedni (Oy-n felfelé menni), és hova esik (lekúszni az y tengely mentén).

A függvény csak akkor növekszik, ha az x változó nagyobb értéke y nagyobb értékének felel meg. Vagyis x2 nagyobb, mint x1, és f(x2) nagyobb, mint f(x1). És egy teljesen ellentétes jelenséget figyelünk meg egy csökkenő függvényben (minél több x, annál kevesebb y). A növekedés és csökkenés intervallumának meghatározásához meg kell találnia a következőket:

• terjedelem (már megvan);
• származéka (esetünkben: 1/3(3x^2-28x+49);
• oldja meg az 1/3(3x^2-28x+49)=0 egyenletet.

A számítások után a következő eredményt kapjuk:

Azt kapjuk, hogy a függvény mínusz végtelenről 7/3-ra és 7-ről végtelenre növekszik, 7/3-ról 7-re csökken.

Extrémek

A vizsgált y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) függvény folytonos, és az x változó bármely értékére létezik. A szélsőpont ennek a függvénynek a maximumát és minimumát mutatja. Esetünkben ilyenek nincsenek, ami nagyban leegyszerűsíti az építési feladatot. Egyébként a derivált függvény használatával is megtalálhatók. Miután megtalálta, ne felejtse el megjelölni őket a diagramon.

Konvexitás és homorúság

Folytatjuk az y(x) függvény tanulmányozását. Most ellenőriznünk kell a konvexitást és a homorúságot. E fogalmak definíciói meglehetősen nehezen érzékelhetők, jobb mindent példákkal elemezni. A teszthez: egy függvény konvex, ha nem csökkenő függvény. Egyetértek, ez érthetetlen!

Meg kell találnunk a másodrendű függvény deriváltját. A következőt kapjuk: y=1/3(6x-28). Most egyenlővé tesszük a jobb oldalt a nullával, és megoldjuk az egyenletet. Válasz: x=14/3. Megtaláltuk az inflexiós pontot, vagyis azt a helyet, ahol a gráf konvexről konkávra változik, vagy fordítva. A mínusz végtelentől a 14/3-ig terjedő intervallumban a függvény konvex, a 14/3-tól a plusz végtelenig pedig konkáv. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a grafikonon az inflexiós pont legyen sima és lágy, ne legyenek éles sarkok.

További pontok meghatározása

Feladatunk a függvénygráf feltárása és ábrázolása. A tanulmányt befejeztük, most nem lesz nehéz a függvényt ábrázolni. A koordinátasíkon egy görbe vagy egyenes pontosabb és részletesebb reprodukálásához több segédpont is található. Elég könnyű kiszámolni őket. Például vegyük x=3-at, oldjuk meg a kapott egyenletet, és keressük meg y=4-et. Vagy x=5 és y=-5 és így tovább. Annyi további pontot vehet fel, amennyire szüksége van az építkezéshez. Ezek közül legalább 3-5 megtalálható.

Ábrázolás

Meg kellett vizsgálnunk az (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y függvényt. A számítások során minden szükséges jelölés a koordinátasíkon megtörtént. Már csak egy gráfot kell felépíteni, vagyis az összes pontot összekapcsolni egymással. A pontok összekapcsolása zökkenőmentes és pontos, ez ügyesség kérdése - egy kis gyakorlás és az időbeosztása tökéletes lesz.

A függvény tanulmányozásának és grafikonjának felépítésének egyik lehetséges sémáját a probléma megoldásának következő szakaszaira bontjuk: 1. Függvénytartomány (O.O.F.). 2. Egy függvény töréspontjai, jellegük. Függőleges aszimptoták. 3. Páros, páratlan, periodikus függvények. 4. A gráf és a koordinátatengelyek metszéspontjai. 5. A függvény viselkedése a végtelenben. Vízszintes és ferde aszimptoták. 6. Egy függvény monotonitási intervallumai, maximum és minimum pontjai. 7. A görbe domborúságának irányai. Inflexiós pontok. 8. A függvény grafikonja. 1. példa Ábrázolja az y \u003d 1 függvényt. (Maria Anieei vereiora vagy curl). - a teljes numerikus tengely. 2. Nincsenek töréspontok; nincsenek függőleges aszimptoták. 3. A függvény páros: így a grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre \ nem periodikus. A függvény paritásából következik, hogy elegendő a grafikonját az x ^ 0 félegyenesre ábrázolni, majd az y tengelyre tükrözni. 4. X = 0 esetén Yx van, így a függvény grafikonja az y > 0 felső félsíkban található. A függvény grafikonjának szerkesztési sémája Függvények vizsgálata extrémumra deriváltokkal magasabb rendű Az egyenletek gyökereinek kiszámítása az akkordok és érintők módszereivel, hogy a grafikonnak van vízszintes aszimptotája y \u003d O, nincsenek ferde aszimptoták. Tehát a függvény növekszik, és csökken, amikor. Az x = 0 pont kritikus. Amikor x áthalad az x \u003d 0 ponton, az y "(x) derivált előjelét mínuszról pluszra változtatja. Ezért az x \u003d 0 pont a maximális pont, y (Q) \u003d I. Ez az eredmény meglehetősen nyilvánvaló: / (x) \u003d T ^ IV *. A második derivált eltűnik az x pontokban \u003d. Tanulmányozzuk az x \u003d 4- pontot (továbbiakban a szimmetria argumentum). Nálunk van: a görbe lefelé konvex; at kapjuk (a görbe felfelé konvex). Ezért az x pont \u003d \u003d - a függvény inflexiós pont grafikonja. A vizsgálat eredményeit táblázatban foglaljuk össze: Inflexiós pont max Inflexiós pont - a teljes valós tengely, kivéve a pontot 2. A függvény szakadási pontja Így van az x = 0 egyenes - a függőleges aszimptota 3. A függvény nem páros és nem páratlan [függvény általános helyzetben), nem periodikus. Feltételezve azt kapjuk, hogy a függvény grafikonja a (-1,0) pontban metszi az Ox tengelyt, nincs ferde és vízszintes aszimptota. hol van a kritikus pont. A függvény második deriváltja egy pontban van, tehát x = a minimumpont. A második derivált egy pontban uul-ba változik, és ezen a ponton áthaladva megváltoztatja az előjelét. Ezért a pont a görbe inflexiós pontja. Mert) e) a görbe konvexitása lefelé irányul; mert -nekünk van. a görbe domborúsága felfelé irányul. A vizsgálat eredményeit táblázatban foglaljuk össze: Nem létezik Nem létezik Inflexiós pont Nem létezik. A tórusz derivált függőleges aszimptotája x = e,/2-nél eltűnik. és amikor x áthalad ezen a ponton, y "előjelet változtat Ezért a görbe inflexiós pontjának abszcisszája. A vizsgálat eredményeit táblázatban foglaljuk össze: Inflexiós pont. A függvény grafikonja a 37. ábrán látható. 4. Példa Grafikonon ábrázolja a teljes numerikus tengely függvényét, a 2. típusú függvény pont pontszakadása nélkül.Km óta, akkor a függvény grafikonjának közvetlen függőleges aszimptotája.A függvény általános helyzetben van, nem- periodikus.Ha y \u003d 0, akkor van, ahonnan a függvény grafikonja pontban metszi az x tengelyt Ezért a függvény grafikonjának ferde aszimptotája van A kapott feltételből - egy kritikus pont. az y" \u003d D\u003e 0 függvény származéka mindenhol a definíciós tartományban, különösen a pontban - a függvény minimális pontjában. 7. Mivel a függvény definíciós tartományában mindenhol a gráf konvexitása lefelé irányul. A vizsgálat eredményeit táblázatban foglaljuk össze: Nem létezik Nem létezik Nem létezik. x \u003d 0 - függőleges aszimptota A függvény grafikonja a 2. ábrán látható. 5. példa: Ábrázolja a teljes számtengely függvényét. 2. Folyamatos mindenhol. Nincsenek függőleges aszimptoták. 3. általános álláspont, nem időszakos. Így a függvény grafikonja ferde aszimptotájú, a derivált egy pontban eltűnik, és nem létezik. Amikor x áthalad a ponton) a derivált nem változtat előjelet, így az x = 0 pontban nincs szélsőérték. Amikor az x pont áthalad a ponton, a derivált) „+”-ról So-ra vált előjelet, a függvénynek van maximuma. Amikor x áthalad az x \u003d 3 (x\u003e I) ponton, az y "(x) derivált előjelet vált, azaz az x \u003d 3 pontban a függvénynek minimuma van. 7. Keresse meg a második deriváltját magasabb rendű egyenletek gyökeinek kiszámítása akkord- és érintőmódszerrel Az y "(x)" második derivált nem létezik az x = 0 pontban, és amikor x áthalad az x = 0 y ponton, az előjelet +-ról +-ra változtatja úgy, hogy a görbe pontja (0,0) olyan pont, ahol nincs függőleges érintő inflexiós pont Az x = 3 pontban nincs inflexió. Az x > 0 félsíkban mindenhol felfelé irányul a görbe konvexitása 39. § 7. Extrém függvények vizsgálata magasabb rendű deriváltak segítségével A függvények maximum- és minimumpontjainak megtalálásához a Taylor-képlet használható. ki xq-nek van egy n-edrendű, az x0 pontban folytonos deriváltja Legyen 0. Ekkor ha az n szám páratlan, akkor az x0 pontban lévő f (x) függvénynek nincs szélsőértéke; ha n páros, akkor az x0 pontban az f(x) függvénynek maximuma van, ha f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 >0, ami az intervallumban van, a különbség - /(x0) megtartja előjelét. A Taylor-formulával mint feltétellel, akkor (1)-ből kapjuk folyamatos funkcióúgy létezik, hogy az () intervallumban nem változik, és egybeesik az /(n)(ho) előjellel. Tekintsük a lehetséges eseteket: 1) n páros szám és / Ekkor I tehát (2) alapján. A definíció szerint ez azt jelenti, hogy az o pont az f(r) függvény minimumpontja. 2) n páros és. Ekkor ezzel együtt lesz i és Ezért az i pont ebben az esetben az f(r) függvény maximumának pontja lesz. 3) n páratlan szám, /- Ekkor x > x0 esetén a > előjel egybeesik /(n)(ro) előjelével, r esetén pedig ellentétes. Ezért tetszőlegesen kicsi 0 esetén az f(r) - f(r0) különbség előjele nem lesz azonos minden x e-re (r0 - 6, r0 + t). Ebből következően ebben az esetben az f(r) függvénynek nincs stremumja a th pontban. Példa. Tekintsük az A függvényeket. Könnyen belátható, hogy az x = 0 pont mindkét függvény kritikus pontja. Az y = x4 függvényre az x = 0 pontban lévő nullától eltérő deriváltok közül az első a 4. rendű derivált: Így itt n = 4 páros u. Ezért az x = 0 pontban az y = x4 függvénynek van minimuma. Az y = x) függvény esetében az x = 0 pontban lévő nullától eltérő deriváltok közül az első a harmadrendű derivált. Tehát ebben az esetben n = 3 páratlan, és az x = 0 pontban az y = x3 függvénynek nincs szélsőértéke. Megjegyzés. A Taylor-formula segítségével bebizonyítható a következő tétel, amely kifejezi elegendő feltételeket inflexiós pontok. "12. Tétel. Legyen az r0 pont valamelyik szomszédságában lévő /(r) függvénynek n-edrendű, az xq pontban folytonos deriváltja. Mo(x0, f(xo)) a gráf inflexiós pontja Az y = f(x) függvénynek a legegyszerűbb példája a §8. Egyenletek gyökeinek kiszámítása húrok és érintők módszerével A feladat az egyenlet valódi gyökerének megtalálása Tegyük fel, hogy a következő feltételek teljesülnek: 1) az f(x) függvény folytonos az [a, 6] szakaszon; 2) az /(a) és f(b) számok ellentétes előjelűek: 3) az [a, 6] szakaszon vannak f "(x) és f "(x) deriváltak, amelyek állandó előjelet őriznek meg ezen az intervallumon. Az 1) és 2. feltételből a Bolzano-Cauchy-tétel (220. o.) értelmében az következik, hogy a függvény f(x) legalább egy £ € ( a, b) pontban eltűnik, azaz az (1) egyenletnek legalább egy valós gyöke £ van az (a, b) intervallumban. jel, akkor f(x) monoton [a, b] és ezért az int rvale (a, b) az (1) egyenletnek csak egy valós gyöke van. Tekintsünk egy módszert az (I) egyenlet £ € (a, 6) egyedi valós gyökének közelítő értékének bármilyen pontosságú kiszámítására. Négy eset lehetséges (40. ábra): 1) Fig. 40 A határozottság kedvéért vegyük azt az esetet, amikor az [a, 6) szakaszon f \ x) > 0, f "(x) > 0 (41. ábra). Kössük össze az A (a, / (a) pontokat! ) és B (b, f(b)) egy A B húrral. Ez az A és B pontokon átmenő egyenes szakasza, amelynek egyenlete y \u003d 0, a 41. ábrából könnyen megtaláljuk. hogy az a \ pont mindig azon az oldalon lesz, ahonnan az f (x) és f "(x) előjelek ellentétesek. Rajzoljunk most egy érintőt az y \u003d f (x) görbére a B pontban (b, f(b)), azaz az ^AB ív azon végén, ahol f(x) és /"(x) azonos előjelű. Ez egy lényeges feltétel: enélkül a metszéspont érintője az x tengely egyáltalán nem ad közelítést a szükséges gyökhöz. A b\ pont, amelyben az érintő metszi az x tengelyt, t és b között helyezkedik el, ugyanazon az oldalon, mint a 6, és jobb közelítés a Ezt az érintőt az egyenlet határozza meg. Feltételezve, hogy (3) y = 0, azt kapjuk Függvények Extrém függvények vizsgálata magasabb rendű deriváltokkal Egyenletek gyökeinek kiszámítása húrok és érintők módszerével Így van. Adjuk meg előre a £ gyök C abszolút közelítési hibáját. Aj és 6 hozzávetőleges értékének abszolút hibájához, a £ gyökhöz a |6i - ai| értéket vehetjük fel. Ha ez a hiba nagyobb a megengedettnél, akkor a szegmenst eredetinek véve azt találjuk következő közelítések gyökér hol. Ezt a folyamatot folytatva két közelítő értékű sorozatot kapunk: az (an) és (bn) szekvenciák monotonok és korlátosak, ezért van határuk. Legyen Megmutatható, hogy ha a fent megfogalmazott feltételek teljesülnek, 1 az egyetlen gyöke az egyenletnek / Példa. Keresse meg a gyökér (r2 - 1 = 0 egyenletek a szakaszon. Így minden feltétel teljesül, amely biztosítja egyetlen gyökér létezését (x2 - 1 = 0 egyenletek a szakaszon. és a módszernek működnie kell. esetünkben 8 a = 0, b = 2. Amikor n \u003d I a (4)-ből és (5)-ből, akkor azt kapjuk, hogy Amikor n \u003d 2, azt kapjuk, hogy mi ad közelítést a gyökér pontos értékéhez (abszolút hibával Gyakorlatok Funkciógráfok ábrázolása: Keresse meg a legnagyobb és legkisebb érték függvények adott intervallumokon: Fedezze fel a függvények viselkedését a szomszédságban adott pontokat magasabb rendű származékok felhasználásával: Válaszok

Ha a feladatban el kell végezni az f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 függvény teljes tanulmányozását a gráf felépítésével, akkor ezt az elvet részletesen megvizsgáljuk.

Egy ilyen típusú probléma megoldásához a main tulajdonságait és grafikonjait kell használni elemi függvények. A kutatási algoritmus a következő lépéseket tartalmazza:

A definíciós tartomány megtalálása

Mivel a kutatás a függvény területén folyik, ezzel a lépéssel kell kezdeni.

1. példa

A megadott példa a nevező nulláit keresi, hogy kizárja őket a DPV-ből.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ennek eredményeként kaphat gyököket, logaritmusokat stb. Ekkor az ODZ-t a g (x) ≥ 0 egyenlőtlenséggel, a log a g (x) logaritmusra a g (x) > 0 egyenlőtlenséggel kereshetjük a g (x) 4 típusú páros fok gyökére.

ODZ határok vizsgálata és vertikális aszimptoták keresése

Függőleges aszimptoták vannak a függvény határain, amikor az ilyen pontokban az egyoldali határok végtelenek.

2. példa

Tekintsük például az x = ± 1 2 határpontokat.

Ezután tanulmányozni kell a függvényt, hogy megtaláljuk az egyoldalú határértéket. Ekkor azt kapjuk, hogy: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = határ x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ez azt mutatja, hogy az egyoldali határértékek végtelenek, ami azt jelenti, hogy az x = ± 1 2 egyenesek a gráf függőleges aszimptotái.

A függvény vizsgálata páros vagy páratlan esetén

Ha az y (- x) = y (x) feltétel teljesül, a függvényt párosnak tekintjük. Ez arra utal, hogy a gráf szimmetrikusan helyezkedik el O y-hoz képest. Ha az y (- x) = - y (x) feltétel teljesül, a függvényt páratlannak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy a szimmetria a koordináták origójához tartozik. Ha legalább egy egyenlőtlenség meghiúsul, megkapjuk a függvényt Általános nézet.

Az y (- x) = y (x) egyenlőség teljesülése azt jelzi, hogy a függvény páros. A konstrukciónál figyelembe kell venni, hogy O y-hoz képest szimmetria lesz.

Az egyenlőtlenség megoldására növekedési és csökkenési intervallumokat használunk f "(x) ≥ 0, illetve f" (x) ≤ 0 feltételekkel.

1. definíció

Stacionárius pontok pontok, amelyek a deriváltot nullára fordítják.

Kritikus pontok olyan belső pontok a tartományból, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik.

A döntés meghozatalakor a következő szempontokat kell figyelembe venni:

• az f "(x) > 0 alakú egyenlőtlenség meglévő növekedési és csökkenési intervallumaira a kritikus pontokat nem tartalmazza a megoldás;
• azokat a pontokat, ahol a függvény véges derivált nélkül definiálunk, bele kell foglalni a növekedési és csökkenési intervallumokba (például y \u003d x 3, ahol az x \u003d 0 pont határozza meg a függvényt, a derivált értéke végtelen ezen a ponton y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 benne van a növekedési intervallumban);
• a nézeteltérések elkerülése érdekében az Oktatási Minisztérium által javasolt matematikai szakirodalom használata javasolt.

Kritikus pontok felvétele a növekedési és csökkenési intervallumokba abban az esetben, ha azok kielégítik a függvény tartományát.

2. definíció

Mert a függvény növekedési és csökkenési intervallumainak meghatározásakor meg kell találni:

• derivált;
• kritikus pontok;
• a definíciós tartományt a kritikus pontok segítségével intervallumokra bontani;
• határozzuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokban, ahol + a növekedés és - a csökkenés.

3. példa

Keresse meg az f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) tartomány deriváltját 2.

Megoldás

A megoldáshoz szüksége van:

• stacionárius pontok keresése, ebben a példában x = 0 ;
• keresse meg a nevező nulláit, a példa a nulla értéket veszi fel x = ± 1 2 -nél.

A numerikus tengely pontjait feltesszük, hogy meghatározzuk az egyes intervallumok deriváltját. Ehhez elegendő bármely pontot kivenni az intervallumból, és számítást végezni. Ha az eredmény pozitív, a grafikonon a +-t rajzoljuk, ami a függvény növekedését, a - pedig a csökkenését jelenti.

Például f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ami azt jelenti, hogy a bal oldali első intervallumnak + jele van. Vegye figyelembe a számot vonal.

Válasz:

• a - ∞ intervallumon a függvény növekedése tapasztalható; - 1 2 és (- 1 2 ; 0 ] ;
• az intervallum csökkenése [0; 1 2) és 1 2; +∞ .

Az ábrán a + és - használatával a függvény pozitivitása és negativitása látható, a nyilak pedig csökkenő és növekszik.

A függvény szélsőpontjai azok a pontok, ahol a függvény definiálva van, és amelyeken keresztül a derivált előjelet vált.

4. példa

Ha egy példát veszünk figyelembe, ahol x \u003d 0, akkor a benne lévő függvény értéke f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Amikor a derivált előjele +-ról -ra változik, és áthalad az x \u003d 0 ponton, akkor a (0; 0) koordinátákkal rendelkező pontot tekintjük a maximális pontnak. Ha a jelet -ról +-ra változtatjuk, akkor a minimum pontot kapjuk.

A konvexitást és a konkávitást az f "" (x) ≥ 0 és f "" (x) ≤ 0 alakú egyenlőtlenségek megoldásával határozzuk meg. Ritkábban használják a homorúság helyett a kidudorodó, a kidudorodás helyett a kidudorodást.

3. definíció

Mert a homorúság és a domborúság hézagainak meghatározása szükséges:

• keresse meg a második származékot;
• keresse meg a második derivált függvényének nulláit;
• szakítsa meg a definíciós tartományt az intervallumokra megjelenő pontokkal;
• határozza meg a rés előjelét.

5. példa

Keresse meg a második deriváltot a definíciós tartományból.

Megoldás

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Megtaláljuk a számláló és a nevező nulláit, ahol példánkkal azt kapjuk, hogy az x nevező nullái = ± 1 2

Most pontokat kell feltennie a számegyenesre, és meg kell határoznia a második derivált előjelét minden intervallumból. Ezt értjük

Válasz:

• a függvény konvex a -1 2 intervallumból; 12;
• a függvény homorú a résekből - ∞ ; - 1 2 és 1 2 ; +∞ .

4. definíció

inflexiós pont egy x 0 alakú pont; f(x0) . Ha van érintője a függvény grafikonjához, akkor amikor áthalad x 0-n, a függvény előjelét az ellenkezőjére váltja.

Más szóval, ez egy olyan pont, amelyen a második derivált áthalad és előjelet vált, és magukban a pontokban egyenlő nullával, vagy nem létezik. Minden pontot a függvény tartományának tekintünk.

A példában látható volt, hogy nincsenek inflexiós pontok, mivel a második derivált az x = ± 1 2 pontokon áthaladva előjelet változtat. Ők viszont nem tartoznak a meghatározás tartományába.

Vízszintes és ferde aszimptoták keresése

Ha egy függvényt végtelenben határozunk meg, akkor vízszintes és ferde aszimptotákat kell keresni.

5. definíció

Ferde aszimptoták egyenes vonalak ábrázolják egyenlettel adott y = k x + b , ahol k = lim x → ∞ f (x) x és b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Ha k = 0 és b nem egyenlő a végtelennel, azt találjuk, hogy a ferde aszimptota lesz vízszintes.

Más szóval, az aszimptoták azok a vonalak, amelyeket a függvény grafikonja a végtelenben közelít. Ez hozzájárul a függvény grafikonjának gyors felépítéséhez.

Ha nincsenek aszimptoták, de a függvény mindkét végtelenben definiálva van, akkor ki kell számítani a függvény határát ezeken a végteleneken, hogy megértsük, hogyan fog viselkedni a függvény grafikonja.

6. példa

Példaként vegyük ezt figyelembe

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

vízszintes aszimptota. A funkció kutatása után elkezdheti felépíteni.

Függvény értékének kiszámítása köztes pontokban

A legpontosabb ábrázolás érdekében ajánlatos a függvény több értékét megtalálni a közbenső pontokban.

7. példa

Az általunk vizsgált példából meg kell találni a függvény értékeit az x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 pontokban. Mivel a függvény páros, azt kapjuk, hogy az értékek egybeesnek az ezekben a pontokban lévő értékekkel, azaz x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Írjuk és oldjuk meg:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

A függvény maximumának és minimumának, inflexiós pontjainak, köztes pontjainak meghatározásához aszimptoták felépítése szükséges. A kényelmes kijelölés érdekében a növekedés, csökkenés, konvexitás, homorúság intervallumait rögzítik. Tekintsük az alábbi ábrát.

A megjelölt pontokon át kell húzni a grafikonvonalakat, amelyek segítségével a nyilakat követve közelebb kerülhetünk az aszimptotákhoz.

Ezzel a függvény teljes tanulmányozása véget ért. Vannak olyan esetek, amikor néhány elemi függvényt készítenek, amelyekhez geometriai transzformációkat használnak.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Először próbálja meg megtalálni a funkció hatókörét:

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszokat:

Rendben? Szép munka!

Most próbáljuk meg megtalálni a függvény tartományát:

Megtalált? Összehasonlítás:

Megegyezett? Szép munka!

Dolgozzunk újra a grafikonokkal, csak most egy kicsit nehezebb - megtalálni a függvény tartományát és a függvény tartományát is.

Hogyan lehet megtalálni a tartományt és a funkció tartományát (speciális)

Íme, mi történt:

A grafikával szerintem rájöttél. Most próbáljuk meg megtalálni a függvény tartományát a képletekkel összhangban (ha nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, olvassa el az erről szóló részt):

Sikerült? Ellenőrzés válaszol:

1. , mivel a gyökérkifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie.
2. , mivel nem lehet nullával osztani, és a gyök kifejezés nem lehet negatív.
3. , hiszen, illetve mindenre.
4. mert nullával nem lehet osztani.

Van azonban még egy pillanat, amit még nem sikerült megoldani...

Hadd ismételjem meg a meghatározást, és összpontosítsak rá:

Megjegyezte? A „csak” szó nagyon-nagyon fontos eleme definíciónknak. Megpróbálom az ujjakon elmagyarázni.

Tegyük fel, hogy van egy egyenes által adott függvényünk. . Amikor ezt az értéket behelyettesítjük a "szabályunkba", és megkapjuk azt. Egy érték egy értéknek felel meg. Akár egy táblázatot is készíthetünk különféle értékekből, és ennek ellenőrzésére ábrázolhatunk egy adott függvényt.

"Néz! - azt mondod - "" kétszer találkozik!" Tehát lehet, hogy a parabola nem függvény? Nem, ez!

Az a tény, hogy a "" kétszer fordul elő, korántsem ok arra, hogy a parabolát kétértelműséggel vádoljuk!

A helyzet az, hogy a számítás során egy meccset kaptunk. És ha ezzel számolunk, egy játékot kaptunk. Tehát ez így van, a parabola egy függvény. Nézd meg a táblázatot:

Megvan? Ha nem, akkor itt van egy valós példa számodra, messze a matematikától!

Tegyük fel, hogy van egy csoport pályázónk, akik találkoztak a dokumentumok benyújtásakor, és mindegyikük egy beszélgetés során elmondta, hol él:

Egyetértek, teljesen reális, hogy több srác él ugyanabban a városban, de lehetetlen, hogy egy ember egyszerre több városban éljen. Ez mintegy logikus ábrázolása a "parabolánknak" - Ugyanannak az y-nek több különböző x felel meg.

Most jöjjön egy példa, ahol a függőség nem függvény. Tegyük fel, hogy ugyanezek a srácok elmondták, milyen szakokra jelentkeztek:

Nálunk teljesen más a helyzet: egy ember könnyedén jelentkezhet egy vagy több irányra. Azaz egy elem készletek kerülnek levelezésbe több elem készletek. Illetőleg, ez nem funkció.

Teszteljük tudásunkat a gyakorlatban.

Határozza meg a képek alapján, hogy mi a függvény és mi nem:

Megvan? És itt van válaszol:

• A függvény - B,E.
• Nem függvény - A, B, D, D.

Kérded miért? Igen, ezért:

Minden ábrán, kivéve BAN BEN)És E) több van egyért!

Biztos vagyok benne, hogy most könnyen meg lehet különböztetni egy függvényt a nem függvénytől, megmondhatja, mi az argumentum és mi a függő változó, valamint meghatározhatja az argumentum és a függvény hatókörét. Térjünk át a következő részre – hogyan definiáljunk függvényt?

A funkció beállításának módjai

Mit gondolsz, mit jelentenek a szavak "beállítás funkció"? Így van, ez azt jelenti, hogy mindenkinek el kell magyarázni, hogy ebben az esetben milyen funkcióról beszélünk. Sőt, úgy magyarázd, hogy mindenki jól értsen, és az emberek által a te magyarázatod szerint rajzolt függvénygrafikonok ugyanazok legyenek.

Hogyan tudom ezt megtenni? Hogyan állítsunk be egy funkciót? A legegyszerűbb módja, amelyet ebben a cikkben már többször használtak - képlet segítségével.Írunk egy képletet, és egy értéket behelyettesítve kiszámoljuk az értéket. És amint emlékszel, a képlet egy törvény, egy szabály, amely szerint számunkra és egy másik személy számára is világossá válik, hogyan válik X-ből Y.

Általában pontosan ezt csinálják - a feladatokban képletekkel definiált kész függvényeket látunk, de vannak más módok is a függvény beállítására, amiről mindenki megfeledkezik, és ezért felvetődik a „hogyan tud még beállítani egy függvényt?” összezavarja. Nézzünk meg mindent sorban, és kezdjük az elemzési módszerrel.

A függvény meghatározásának analitikus módja

Az analitikai módszer egy függvény feladata egy képlet segítségével. Ez a leguniverzálisabb, legátfogóbb és legegyértelműbb módszer. Ha van képlete, akkor abszolút mindent tud a függvényről - készíthet rajta értéktáblázatot, készíthet grafikont, meghatározhatja, hol nő és hol csökken a függvény, általában, fedezze fel. teljesen.

Tekintsünk egy függvényt. mit számít?

"Mit jelent?" - kérdezed. most elmagyarázom.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a jelölésben a zárójelben lévő kifejezést argumentumnak nevezzük. Ez az érv pedig bármilyen kifejezés lehet, nem feltétlenül egyszerű. Ennek megfelelően, bármilyen legyen is az argumentum (zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe.

Példánkban ez így fog kinézni:

Vegyünk egy másik feladatot, amely a vizsgán megjelenő funkció meghatározásának analitikai módszeréhez kapcsolódik.

Keresse meg a kifejezés értékét, at.

Biztos vagyok benne, hogy először megijedtél, amikor megláttál egy ilyen kifejezést, de semmi ijesztő nincs benne!

Minden ugyanaz, mint az előző példában: bármi legyen is az argumentum (zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe. Például egy funkcióhoz.

Mit kell tenni a példánkban? Ehelyett írnod ​​kell, és a - helyett:

rövidítse le a kapott kifejezést:

Ez minden!

Önálló munkavégzés

Most próbálja meg saját maga megtalálni a következő kifejezések jelentését:

1. , ha
2. , ha

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszainkat: Megszoktuk, hogy a függvénynek van formája

Példánkban is így definiáljuk a függvényt, de analitikusan lehetséges például implicit módon definiálni a függvényt.

Próbálja meg saját maga megépíteni ezt a funkciót.

Sikerült?

Így építettem fel.

Milyen egyenlethez jutottunk?

Jobb! Lineáris, ami azt jelenti, hogy a grafikon egy egyenes lesz. Készítsünk egy táblázatot annak meghatározására, hogy mely pontok tartoznak a vonalunkhoz:

Éppen erről beszéltünk... Egy többnek felel meg.

Próbáljuk meg lerajzolni, mi történt:

Funkciója van annak, amit kaptunk?

Így van, nem! Miért? Próbálj meg egy kép segítségével válaszolni erre a kérdésre. Mit kaptál?

"Mert egy érték több értéknek felel meg!"

Milyen következtetést vonhatunk le ebből?

Így van, egy függvény nem mindig fejezhető ki kifejezetten, és ami függvénynek van "álcázva", az nem mindig függvény!

A függvény meghatározásának táblázatos módja

Ahogy a neve is sugallja, ez a módszer egy egyszerű lemez. Igen igen. Mint amit már készítettünk. Például:

Itt azonnal észrevett egy mintát - Y háromszor nagyobb, mint X. És most a „gondolkozz nagyon jól” feladat: szerinted egy táblázat formájában megadott függvény egyenértékű a függvénnyel?

Ne beszéljünk sokáig, hanem rajzoljunk!

Így. Mindkét módon adott függvényt rajzolunk:

Látod a különbséget? Nem a megjelölt pontokról van szó! Nézze meg közelebbről:

most láttad? Amikor táblázatos módon állítjuk be a függvényt, akkor a grafikonon csak azokat a pontokat tükrözzük, amelyek a táblázatban szerepelnek, és az egyenes (mint esetünkben) csak rajtuk halad át. Amikor egy függvényt analitikus módon definiálunk, tetszőleges pontot vehetünk, és a funkciónk nem korlátozódik ezekre. Itt van egy ilyen funkció. Emlékezik!

Grafikus módszer egy függvény felépítésére

A függvények grafikus elkészítésének módja nem kevésbé kényelmes. Megrajzoljuk a függvényünket, és egy másik érdeklődő megtalálja, hogy y mi egyenlő egy bizonyos x-nél, és így tovább. A grafikus és analitikai módszerek a leggyakoribbak.

Itt azonban emlékezni kell arra, amiről a legelején beszéltünk - nem minden koordináta-rendszerben megrajzolt „pörgés” függvény! Emlékezett? Minden esetre idemásolom a függvény meghatározását:

Általában az emberek általában pontosan azt a három módszert nevezik meg a függvény megadásának, amelyet elemeztünk - analitikus (képlet segítségével), táblázatos és grafikus, teljesen megfeledkezve arról, hogy egy függvény leírható szóban is. Mint ez? Igen, nagyon könnyű!

A funkció szóbeli leírása

Hogyan írjuk le a funkciót szóban? Vegyük a legutóbbi példánkat - . Ez a függvény úgy írható le, hogy "x minden valós értéke a hármas értékének felel meg." Ez minden. Semmi bonyolult. Természetesen tiltakozni fog – „olyan sokan vannak összetett funkciók amit egyszerűen lehetetlen szóban megkérdezni!” Igen, vannak ilyenek, de vannak olyan függvények, amelyeket egyszerűbb szóban leírni, mint képlettel beállítani. Például: "x minden természetes értéke a benne lévő számjegyek különbségének felel meg, míg a számbevitelben szereplő legnagyobb számjegyet vesszük a minuendnek." Most nézzük meg, hogyan valósul meg a gyakorlatban a funkció szóbeli leírása:

Egy adott szám legnagyobb számjegye - rendre - csökken, majd:

A funkciók fő típusai

Most térjünk át a legérdekesebbre - megvizsgáljuk azokat a fő függvénytípusokat, amelyekkel az iskolai és az intézeti matematika során dolgozott / dolgozott és fog dolgozni, vagyis megismerjük őket, úgymond, és Add nekik rövid leírás. Olvasson többet az egyes funkciókról a megfelelő részben.

Lineáris függvény

Az űrlap függvénye ahol, - valós számok.

Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, tehát a konstrukció lineáris függvény két pont koordinátáinak megtalálására redukálódik.

Az egyenes helyzete a koordinátasíkon a meredekségtől függ.

A függvény hatóköre (más néven argumentumtartomány) - .

Az értéktartomány a.

másodfokú függvény

Az űrlap függvénye, hol

A függvény grafikonja parabola, amikor a parabola ágai lefelé, amikor - felfelé irányulnak.

Sok ingatlan másodfokú függvény a diszkrimináns értékétől függ. A diszkriminánst a képlet számítja ki

A parabola helyzete a koordinátasíkon az értékhez és az együtthatóhoz képest az ábrán látható:

Tartomány

Az értékek tartománya az adott függvény szélsőértékétől (a parabola csúcsától) és az együtthatótól (a parabola ágainak irányától) függ.

Fordított arányosság

A képlet által adott függvény, ahol

A számot fordított arányossági tényezőnek nevezzük. Az értéktől függően a hiperbola ágai különböző négyzetekben vannak:

Tartomány - .

Az értéktartomány a.

ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

1. A függvény egy olyan szabály, amely szerint a halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a halmaz egyedi elemét.

• - ez egy függvényt jelölő képlet, vagyis az egyik változó függőségét a másiktól;
• - változó vagy argumentum;
• - függő érték - megváltozik, ha az argumentum megváltozik, vagyis egyesek szerint bizonyos képlet, amely egy mennyiségnek a másiktól való függőségét tükrözi.

2. Érvényes argumentumértékek, vagy egy függvény hatóköre az, ami összefügg azzal a lehetőséggel, amely alatt a függvénynek értelme van.

3. A függvényértékek tartománya- ez milyen értékeket igényel, érvényes értékekkel.

4. A funkció négyféleképpen állítható be:

• elemző (képletekkel);
• táblázatos;
• grafikus
• szóbeli leírás.

5. A függvények fő típusai:

• : , ahol valós számok;
• : , ahol;
• : , ahol.

Elég gyakran tudatában matematikai elemzés a következő megfogalmazással találhat feladatot: "Fedezze fel a funkciót és ábrázolja". Ez a megfogalmazás önmagáért beszél, és a feladatot két szakaszra bontja:

• 1. szakasz: funkciókutatás;
• 2. szakasz: a vizsgált függvény ábrázolása.

Az első szakasz a legterjedelmesebb, és magában foglalja a definíció- és értéktartományok, a függvény szélsőségeinek, a gráf inflexiós pontjainak stb.

Az ábrázolás célját megelőző $y=f(x)$ függvény kutatásának teljes terve a következő pontokat tartalmazza:

• A $D_(y)$ függvény hatókörének és a függvény $E_(y)$ érvényes értékeinek tartományának megkeresése.
• A függvény típusának meghatározása: páros, páratlan, általános.
• A függvény grafikonjának a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak meghatározása.
• A függvénygráf aszimptotáinak megkeresése (függőleges, ferde, vízszintes).
• Függvény monotonitási intervallumainak és szélsőpontjainak keresése.
• Konvexitási intervallumok, a gráf konkávitása és az inflexiós pontok keresése.

A $D_(y) $ függvény tartományának keresése azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az intervallumokat, amelyeken adott funkciót létezik (meghatározott). Ez a feladat általában az ODZ (elfogadható értékek tartománya) megtalálására redukálódik, amely alapján $D_(y) $ keletkezik.

1. példa

Keresse meg a $y=\frac(x)(x-1) $ függvény tartományát.

Keressük meg a vizsgált függvény ODZ-jét, azaz! azon változó értékei, amelyeknél a nevező nem megy nullára.

ODZ: $x-1\ne 0\Jobbra x\ne 1$

Írjuk fel a definíciós tartományt: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.

1. definíció

A $y=f(x)$ függvény akkor is érvényes, ha a következő $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $ egyenlőség teljesül.

2. definíció

A $y=f(x)$ függvény páratlan, ha a következő $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $ egyenlőség teljesül.

3. definíció

Azt a függvényt, amely se nem páros, se nem páratlan, általános függvénynek nevezzük.

2. példa

Határozza meg a függvények típusát: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

1) $y=\frac(x)(x-1)$

$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, ezért van egy általános függvényünk.

2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $

$f(-x)=f(x)$, ezért van páros függvényünk.

3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

$f(-x)\ne -f(x)$, ezért van egy páratlan függvényünk.

A függvénygráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak meghatározása magában foglalja a metszéspontok megtalálását: OX tengellyel ($y=0$), OY tengellyel ($x=0$).

3. példa

Keresse meg a $y=\frac(x+2)(x-1) $ függvény koordinátatengelyeivel való metszéspontokat.

1. az OX tengellyel ($y=0$)

$\frac(x+2)(x-1) =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; pontot szerez (-2;0)

1. OY tengellyel ($x=0$)

$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, megkapjuk a pontot (0;-2)

A függvény vizsgálatának szakaszában kapott eredmények alapján grafikont építünk. Néha az első szakaszban kapott pontok nem elegendőek a függvény ábrázolásához, akkor további pontokat kell találni.

4. példa

Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.

1. Definíciós tartomány: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
2. Tartomány: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
3. Páros, páratlan függvények :\ \

Általános funkció, pl. se nem páros, se nem páratlan.

4) Metszéspont koordinátatengelyekkel:

az OY tengellyel: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, ezért a gráf a (0;1) ponton halad át.

az OX tengellyel: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( racionális gyökerei Nem)

5) Grafikon aszimptoták:

Nincsenek függőleges aszimptoták, mivel $D_(y) =\( x|x\in R\) $

A ferde aszimptotákat $y=kx+b$ formában kell keresni.

$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1) (x) =\infty $. Ezért nincsenek ferde aszimptoták.

6) Növekvő, csökkenő funkció; szélsőségek:

\ \[\begin(tömb)(l) (y"=0\jobbra 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(array)\]

Jelöljük a pontokat a számtengelyen, helyezzük el az első derivált előjeleit, és megjegyezzük a függvény viselkedését:

1. kép

A függvény a következővel nő: $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ és $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, csökken $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.

$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - maximális pont; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1172$

$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - minimum pont; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23 172 $

7) A grafikon konvexitása, konkávsága:

\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Jobbra 6x-12=0\Jobbra x=2) \end(tömb)\]

Jelöljük a pontokat a számtengelyen, helyezzük el a második derivált előjeleit, és megjegyezzük a függvény grafikonjának viselkedését:

2. ábra.

A grafikon konvex felfelé $(-\infty ;2]$, lefelé $

8) Függvénygrafikon:

3. ábra