1

Frekvenciamódszert javasoltak a lépcsőzetesen változó keresztmetszetű rudak hosszirányú rezgésének problémájának megoldására, merev akadállyal való ütközéskor fellépő energialeadás figyelembevételével vagy anélkül. A rúd longitudinális rezgésének egyenlete Laplace szerint transzformálódik nullától eltérő kezdeti feltételek mellett. Megoldásra került egy határérték-probléma, ami abból áll, hogy a Laplace-transzformált élhosszirányú erőket az élelmozdulások függvényében keressük. Ezután összeállítjuk a csomópontok egyensúlyának egyenletrendszerét, amelynek megoldására amplitúdó-fázis-frekvencia karakterisztikát (APFC) építünk fel a rúd érdekelt szakaszaira. Az inverz Laplace-transzformációt végrehajtva tranziens folyamatot konstruálunk. Példaként egy véges hosszúságú állandó metszetű rudat veszünk figyelembe. Összehasonlítást adunk az ismert hullámmegoldással. A merev akadállyal való ütközés során a rúd dinamikus kiszámításának javasolt módszere lehetővé teszi az általánosításokat tetszőleges rúdrendszerre korlátlan számú rugalmasan kapcsolódó tömeg jelenlétében, tetszőleges erővel a végein és a hossza mentén. rúd.

frekvencia módszer

a rúd hosszirányú rezgései

1. Biderman, V.L. Alkalmazott elmélet mechanikai rezgések/ V.L. Biderman. – M.: Gimnázium, 1972. - 416 p.

2. Lavrentiev, M.A. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei / M.A. Lavrentiev, B.V. Sabbat. – M.: Nauka, 1973. – 736 p.

3. Sankin, Yu.N. Elosztott paraméterekkel rendelkező viszkoelasztikus rendszerek dinamikus jellemzői / Yu.N. Sankin. - Szaratov: Sarat Kiadó. un-ta, 1977. - 312 p.

4. Sankin, Yu.N. A rúdrendszerek nem álló rezgései akadállyal ütközéskor / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; összesen alatt szerk. Yu.N. Sankin. - Uljanovszk: UlGTU, 2010. - 174 p.

5. Sankin, Y.N. Lépésenként változó keresztmetszetű rugalmas rudak hosszirányú rezgései merev akadállyal ütközve \ Yu. N. Sankin és N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, 3. sz., pp. 427-433, 2001.

Tekintsük a lépcsőzetesen változó keresztmetszetű rudak hosszirányú rezgésének problémájának megoldására szolgáló frekvencia módszert merev akadállyal való ütközéskor fellépő energialeadás figyelembevételével vagy anélkül, amelyet összehasonlítunk az ismert hullámmegoldással és a megoldással. rezgésmódok sorozata formájában (14) .

A rúd hosszirányú rezgésének differenciálegyenlete, figyelembe véve a belső ellenállási erőket, a következőképpen alakul:

Állítsuk be a következő határt és kezdeti feltételek:

. (2)

Alakítsuk át az (1) egyenletet és a (2) peremfeltételeket Laplace szerint adott (2) kezdeti feltételekre. Ekkor a (2) egyenlet és a (2) peremfeltételek a következőképpen lesznek felírva:

; (3)

,

hol vannak a rúd pontjainak Laplace-transzformált elmozdulásai; p a Laplace-transzformációs paraméter.

A (3) egyenlet az energiadisszipáció figyelembevétele nélkül (0-nál) a következőképpen alakul:

. (4)

Az így kapott inhomogén differenciálegyenlethez egy határérték-problémát oldunk meg, amely abból áll, hogy a Laplace-transzformált élhosszirányú erőket az éleltolódások függvényében keressük.

Ehhez figyelembe vesszük a rúd hosszirányú rezgésének homogén egyenletét, figyelembe véve az energia disszipációt

(5)

jelölve

és egy új változóra átlépve (5) helyett kapjuk

(6)

Ha, hol van a frekvencia paraméter, akkor

.

Megoldás homogén egyenlet(6) a következő formában van:

A c1 és c2 integrációs állandók a kezdeti feltételekből származnak:

u = u0 ; N = N0,

Azok. ;

Ez a megoldás a következő átviteli mátrixnak felel meg:

. (7)

A kapott kifejezéseket az átviteli mátrix elemeire behelyettesítve az eltolási módszer képleteibe, kapjuk:

; (8)

;

Az n és k indexek a rúd szakaszának elejét és végét jelzik. Az nk és kn indexű geometriai és fizikai állandók pedig a rúd egy meghatározott szakaszára vonatkoznak.

A rudat elemekre bontva a (8) képlet segítségével megalkotjuk a csomópontok dinamikus egyensúlyának egyenleteit. Ezek az egyenletek egyenletrendszerek ismeretlen csomóponteltolódásokhoz. Mivel a megfelelő együtthatókat pontos integrációval kapjuk, a rúd szakaszainak hossza nincs korlátozva.

Az eredményül kapott egyenletrendszert -re megoldva megszerkesztjük az amplitúdó-fázis-frekvencia karakterisztikát a rúd számunkra érdekes szakaszaira. Ezek az AFC-k egy egyoldalú Fourier-transzformáció grafikus képeként tekinthetők, amely egybeesik a Laplace-transzformációval impulzív műveletek hatására. Mivel a megfelelő kifejezések összes szinguláris pontja a képzeletbeli tengelytől balra fekszik, az inverz transzformációt a beállítással hajthatjuk végre, azaz. a megépített AFC segítségével. Az AFC megalkotásának feladata, ahol a kezdeti sebességek és a rúd sűrűségének szorzata erőként jelenik meg, segédeszköz. Általában az AFC-ket perturbáló erők hatására állítják elő, majd az inverz Laplace-transzformációt numerikus integrációval vagy más módon hajtják végre.

Egyszerű példaként vegyünk egy l hosszúságú egyenes rudat, amely V0 sebességgel hosszirányban ütközik egy merev akadállyal (1. ábra).

Határozzuk meg a rúd pontjainak elmozdulását az ütközés után! Feltételezzük, hogy az ütközés után az akadály és a rúd közötti érintkezés megmarad, pl. rúd visszapattanása nem következik be. Ha a kapcsolat nem megtart, akkor a probléma darabonként lineárisnak tekinthető. A másik megoldásra való átmenet kritériuma a sebesség előjelének változása az érintkezési pontban.

Lavrentiev M.A. monográfiájában Shabat B.V. a (4) egyenlet hullámmegoldása adott:

és megtalálta az eredetit

, (9)

hol van az egységlépés függvény.

A probléma megoldásának egy másik megközelítése a -ban leírt frekvenciamódszerrel valósítható meg. Erre a problémára a következőkre lesz szükségünk:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Keressük az eredetit (11)

Oldjuk meg ugyanazt a problémát frekvencia módszerrel. Az 1. csomópont egyensúlyi egyenletéből:

(12)

képletet kapunk a rúd végének mozgatására .

Ha az állandó keresztmetszetű tesztrudat két tetszőleges l1 és l2 hosszúságú szakaszra osztjuk (lásd 1. ábra), akkor a csomópontok egyensúlyának feltételei a következők:

(13)

A (13) rendszer megoldása eredményeként az 1. és 2. szakasz (U1 és U2) elmozdulások fázisválaszának grafikonját kapjuk. Tehát az éleltolódás képe zárt formában, figyelembe véve az energiadisszipációt, a (12) és (13) esetén egybeesik, és a következő formában van:

. (14)

Ellenőrizzük az eredmények egybeesését a rúd végén. ábrán A 2. ábra a (10) megoldás grafikonját mutatja x = l0,1 esetén és a (13) megoldási rendszer eredményeként. Tökéletesen illeszkednek.

A diszkrét Fourier-transzformáció segítségével megkaphatjuk a tranziens folyamatot. Az eredményt a t=0…-nál végzett numerikus integrációval kaphatjuk meg a képlettel

. (15)

Az AFC-n (lásd a 2. ábrát) csak egy látható tekercs jelenik meg jelentősen. Ezért a sorozat egy tagját (15) kell venni. A 3. ábra grafikonjain jól látható, hogy a (9) megoldás és a rezgésmódok szerinti megoldás (11) mennyire pontosan esik egybe a javasolt frekvenciamegoldással. A hiba nem haladja meg a 18%-ot. Az ebből eredő eltérést az magyarázza, hogy a (9) és (11) megoldás nem veszi figyelembe a rúd anyagában bekövetkező energiadisszipációt.

Rizs. 3. Átmeneti folyamat a rúd végének esetében; 1, 2, 3 - a (9), (11), (15) képletek szerint összeállított gráfok.

mint több összetett példa Tekintsük egy lépcsős rúd (4. ábra) hosszirányú rezgésének problémáját a végén terheléssel, merev akadálynak V0 sebességgel ütközve, és legyen a terhelés tömege egyenlő a szomszédos szakasz tömegével. a rúdról:.

Rizs. 4. Egy lépcsős rúd hosszirányú rezgésének számítási sémája a végén terheléssel

Bemutatjuk a rúd 1,2,3 karakterisztikus szakaszait, amelyekben az elmozdulásokat számoljuk. Összeállítunk egy feloldó egyenletrendszert:

(16)

A (16) megoldási rendszer eredményeként megkapjuk az AFC grafikonokat (5. ábra) a második és harmadik szakasz elmozdulásaira (U2 () illetve U3 (). A számításokat az alábbi állandó értékekkel végeztük: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. A kapott AFC-ken csak két látható fordulat mutatkozik jelentősen. Ezért a tranziens folyamat felépítésénél a kiválasztott szakaszokban a (16) sorozat két tagját vesszük figyelembe. Ehhez először meg kell határoznia

Rizs. 5. ábra. Az elmozdulások AFC egy lépcsős rúd második és harmadik szakaszában (lásd: 4. ábra)

Hasonlóképpen a (15) képlet szerint tranziens folyamatot hozunk létre.

Következtetés: kidolgoztak egy módszert a rudak hosszirányú rezgésének kiszámítására akadállyal való ütközéskor.

Ellenőrzők:

Lebegyev A.M., a műszaki tudományok doktora, egyetemi docens, az Uljanovszki Felsőoktatási Egyetem professzora repülőiskola(Intézmény), Uljanovszk.

Antonets I.V., a műszaki tudományok doktora, Uljanovszk állam professzora technikai Egyetem, Uljanovszk.

Bibliográfiai hivatkozás

Yuganova N.A. MEREV AKADÁLYOKKAL ÜTKEZŐ RUDAK HOSSZ-REZGÉSE // Kortárs kérdések tudomány és oktatás. - 2014. - 2. sz.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (hozzáférés dátuma: 2020.01.15.). Felhívjuk figyelmüket a Természettudományi Akadémia kiadója által kiadott folyóiratokra.

MEGHATÁROZÁS

Hosszanti hullám- ez egy hullám, melynek terjedése során a közeg részecskéi a hullámterjedés irányába elmozdulnak (1. ábra, a).

A longitudinális hullám előfordulásának oka a kompresszió/kiterjesztés, pl. a közeg ellenállása térfogatának változásával szemben. Folyadékokban vagy gázokban az ilyen deformáció a közeg részecskéinek ritkulásával vagy tömörödésével jár együtt. A longitudinális hullámok bármilyen közegben terjedhetnek - szilárd, folyékony és gáz halmazállapotú.

Példák hosszanti hullámok hullámok egy rugalmas rúdban vagy hanghullámok gázokban.

keresztirányú hullámok

MEGHATÁROZÁS

keresztirányú hullám- ez egy hullám, melynek terjedése során a közeg részecskéi a hullám terjedésére merőleges irányban elmozdulnak (1b. ábra).

A keresztirányú hullám oka a közeg egyik rétegének a másikhoz viszonyított nyírási deformációja. Amikor egy keresztirányú hullám egy közegben terjed, gerincek és vályúk keletkeznek. Folyadékok és gázok, ellentétben szilárd anyagok, nem rendelkeznek rugalmassággal a rétegek nyírásához képest, azaz. ne álljon ellen az alakváltozásnak. Ezért a keresztirányú hullámok csak szilárd testekben terjedhetnek.

A keresztirányú hullámok példái a kifeszített kötélen vagy egy húron haladó hullámok.

A folyadék felszínén a hullámok nem hosszirányúak és nem keresztirányúak. Ha feldobunk egy úszót a víz felszínére, láthatjuk, hogy körkörösen mozog, ringatózva a hullámokon. Így a folyadék felületén lévő hullámnak keresztirányú és hosszanti összetevői is vannak. A folyadék felszínén speciális típusú hullámok is felléphetnek - az ún felszíni hullámok. A felületi feszültség hatásának és erejének eredményeként keletkeznek.

Példák problémamegoldásra

1. PÉLDA

A feladat

Határozza meg a keresztirányú hullám terjedésének irányát, ha az úszó egy adott időpontban az ábrán jelzett sebességű irányt mutat!

Megoldás

Készítsünk rajzot. Rajzoljuk meg a hullám felszínét az úszó közelében egy bizonyos időintervallum elteltével, figyelembe véve, hogy ezalatt az úszó lement, mivel az adott pillanatban lefelé irányult. Folytatva a sort jobbra és balra, megmutatjuk a hullám helyzetét időpontban. Összehasonlítva a hullám helyzetét a kezdeti időpillanatban (folytonos vonal) és az időpillanatban (szaggatott vonal), arra a következtetésre jutunk, hogy a hullám balra terjed.

Tekintsünk egy egyenletes hosszúságú rudat, azaz egy hengeres vagy más alakú testet, amelynek nyújtásához vagy hajlításához bizonyos erőt kell kifejteni. Az utolsó körülmény megkülönbözteti a legvékonyabb rudat is a húrtól, amely, mint tudjuk, szabadon hajlik.

Ebben a fejezetben a jellemzők módszerét a rúd hosszirányú rezgésének vizsgálatára alkalmazzuk, és csak olyan rezgések vizsgálatára szorítkozunk, amelyeknél a keresztmetszetek a rúd tengelye mentén haladva laposak és párhuzamosak maradnak a rúddal. egymást (6. ábra). Ez a feltételezés akkor indokolt, ha a rúd keresztirányú méretei kicsik a hosszához képest.

Ha a rudat kissé megfeszítik vagy összenyomják a hossztengely mentén, majd magára hagyják, akkor hosszirányú rezgések lépnek fel benne. Irányítsuk a tengelyt a rúd tengelye mentén, és tegyük fel, hogy nyugalmi helyzetben a rúd végei egy ponton vannak. Jelölje ennek a szakasznak az időpillanatbeli elmozdulásával, akkor az abszcissza metszet elmozdulása egyenlő lesz

Innen jól látható, hogy a rúd relatív nyúlását az x abszcissza metszetben a derivált fejezi ki.

Feltételezve most, hogy a rúd kis rezgéseket hajt végre, ebben a szakaszban kiszámíthatjuk a Real feszültséget a Hooke-törvény alkalmazásával, és azt találjuk, hogy

ahol a rúd anyagának rugalmassági modulusa, keresztmetszete. Vegyük a rúd elemét, mellékelve

két szakasz között, melyek nyugalmi abszciszái rendre egyenlőek. Erre az elemre az ezekben a szakaszokban kifejtett, a tengely mentén irányú feszítőerők hatnak. Ezen erők eredője értéke

és végig is irányította . Másrészt az elem gyorsulása egyenlő, így felírhatjuk az egyenlőséget

hol a rúd térfogatsűrűsége. Elhelyezés

és ezzel redukálva megkapjuk egy homogén rúd hosszirányú rezgésének differenciálegyenletét

Ennek az egyenletnek az alakja azt mutatja, hogy a rúd longitudinális oszcillációi hullám jellegűek, és a hosszanti hullámok terjedésének a sebességét a (4) képlet határozza meg.

Ha térfogategységére számolva külső erő is hat a rúdra, akkor (3) helyett kapjuk

Ez a rúd kényszerű hosszirányú rezgésének egyenlete. Mint a dinamikában általában, egy (6) mozgásegyenlet nem elegendő teljes definíció rúd mozgása. Be kell állítani a kezdeti feltételeket, azaz be kell állítani a rúdszakaszok elmozdulásait és sebességüket a kezdeti időpontban

hol és előre meghatározott funkciókat intervallumban (

Ezenkívül meg kell adni a peremfeltételeket a rúd végén. Például.

A rúd olyan test, amelynek egyik mérete, amelyet hosszantinak neveznek, a hosszirányra merőleges síkban jelentősen meghaladja a méreteit, azaz. keresztméretek. A rúd fő tulajdonsága a hosszirányú összenyomással (feszítéssel) és hajlítással szembeni ellenállás. Ez a tulajdonság alapvetően különbözteti meg a rudat a húrtól, amely nem nyúlik meg és nem ellenáll a hajlításnak. Ha a rúd anyagának sűrűsége minden pontján azonos, akkor a rudat homogénnek nevezzük.

Általában a zárt hengeres felülettel határolt kiterjesztett testeket rudaknak tekintjük. Ebben az esetben a keresztmetszeti terület állandó marad. Pontosan egy ilyen homogén hosszúságú rúd viselkedését vizsgáljuk meg l, feltételezve, hogy csak összenyomásnak vagy feszítésnek van kitéve, miközben engedelmeskedik Hooke törvényének. A rúd kis hosszirányú deformációinak vizsgálatakor az ún síkszelvények hipotézise. Ez abban rejlik, hogy a keresztmetszetek, amelyek a rúd mentén nyomás vagy feszítés hatására mozognak, laposak és egymással párhuzamosak maradnak.

Irányítsuk a tengelyt x a rúd hossztengelye mentén (19. ábra), és feltételezzük, hogy a kezdeti pillanatban a rúd végei a pontokon vannak x=0És x=l. Vegyük a rúd tetszőleges szakaszát a koordinátával x. Jelölje u(x,t) ennek a szakasznak az időbeli elmozdulását t, majd a szakasz eltolása a koordinátával ugyanakkor egyenlő lesz

Ezután a rúd relatív nyúlása a metszetben x egyenlő lesz

Ennek a nyúlásnak az ellenállási ereje a Hooke-törvény szerint egyenlő lesz

ahol E a rúd anyagának rugalmassági modulusa (Young modulusa), és S- keresztmetszeti terület. Egy hosszúságú rúd szakaszának határainál dx erők hatnak rá T xÉs T x + dx, a tengely mentén irányítva x. Ezen erők eredője egyenlő lesz

,

és a vizsgált rúdszakasz gyorsulása , akkor a rúd ezen szakaszának mozgásegyenlete így fog kinézni:

, (67)

ahol ρ – a rúd anyagának sűrűsége. Ha ez a sűrűség és a Young-modulus állandó, akkor megadhatja az értéket úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát elosztja sdx, végre kap egy rúd hosszirányú rezgésének egyenlete hiányában külső erők

(68)

Ez az egyenlet alakjában hasonló a a húr keresztirányú rezgésének egyenleteés a rá vonatkozó megoldási módok megegyeznek az együtthatóval a ezek az egyenletek különböző mennyiségeket képviselnek. A string egyenletben a mennyiség a 2 olyan törtet jelent, amelynek számlálójában állandó húrfeszítő erő van - T, a nevezőben pedig a lineáris sűrűség ρ , és a string egyenletben a Young modulus a számlálókban és a nevezőben van – térfogati rúd anyagsűrűsége ρ . Ezért és fizikai jelentése mennyiségeket a ezekben az egyenletekben más. Ha egy húrnál ez az együttható egy kis keresztirányú elmozdulás terjedési sebessége, akkor egy rúdnál ez egy kis hosszirányú feszültség vagy összenyomás terjedési sebessége, és ún. hangterjedési sebesség, mivel ezzel a sebességgel terjednek a hangot reprezentáló kis hosszanti rezgések a rúd mentén.

A (68) egyenlethez be vannak állítva a kezdeti feltételek, amelyek meghatározzák a rúd bármely szakaszának elmozdulását és elmozdulási sebességét a kezdeti időpontban:

Korlátozott rúd esetén a végeinél történő rögzítés vagy erő kifejtésének feltételeit a nyomtatvány tartalmazza peremfeltételek 1., 2. és 3. fajta.

Az első típusú peremfeltételek határozzák meg a hosszirányú elmozdulást a rúd végén:

Ha a rúd végei mozdulatlanul vannak rögzítve, akkor (6) . Ebben az esetben, csakúgy, mint a beszorult húr rezgésének problémájában, a változók szétválasztásának módszerét alkalmazzuk.

A második típusú peremfeltételek esetén a rúd végein rugalmas erők vannak beállítva, amelyek a Hooke-törvény szerinti deformáció eredményeként jönnek létre az idő függvényében. A (66) képlet szerint ezek az erők egy állandó tényezőig egyenlők a deriválttal u x, ezért ezek a származékok a végén az idő függvényeiként vannak megadva:

Ha a rúd egyik vége szabad, akkor ezen a végén u x = 0.

A harmadik típusú peremfeltételek olyan feltételekként ábrázolhatók, amelyek mellett a rúd mindkét végére egy rugó csatlakozik, amelynek másik vége egy adott időtörvény szerint mozog a tengely mentén. θ (t), amint az az ábrán látható. 20. Ezek a feltételek a következőképpen írhatók fel

, (72)

ahol k 1 és k 2 - rugók merevsége.

Ha a rúdra a tengely mentén külső erő is hat p(x,t) térfogategységre számolva, akkor az (50) egyenlet helyett érdemes írni inhomogén egyenlet

,

Ami a -val való elosztás után a következő alakot veszi fel

, (73)

ahol . A (73) egyenlet egy rúd kényszerű hosszirányú rezgésének egyenlete, amelyet az egyenlettel analóg módon oldunk meg. kényszerű rezgések húrok.

Megjegyzés. Meg kell jegyezni, hogy mind a húr, mind a rúd valódi testek modelljei, amelyek a valóságban mind a húr, mind a rúd tulajdonságait mutathatják, attól függően, hogy milyen körülmények között helyezkednek el. Ráadásul a kapott egyenletek nem veszik figyelembe az ellenállási erőket környezetés belső súrlódási erők, amelyek eredményeként ezek az egyenletek csillapítatlan rezgéseket írnak le. A csillapító hatás figyelembevételére a legegyszerűbb esetben a sebességgel arányos, a mozgással ellentétes irányba ható disszipatív erőt alkalmazunk, pl. sebesség. Ennek eredményeként a (73) egyenlet felveszi a formát

(74)

MECHANIKA

UDC 531.01/534.112

EGY RÚDACSOMAG HOSSZ-REZGÉSE

A.M. Pavlov, A.N. Temnov

MSTU im. N.E. Bauman, Moszkva, az Orosz Föderáció email: [e-mail védett]; [e-mail védett]

A folyékony rakéták dinamikájának kérdéseiben fontos szerep a rakéta mozgásának stabilitásának problémáját játssza el hosszirányú rugalmas oszcillációk esetén. Az ilyen oszcillációk megjelenése önrezgések létrejöttéhez vezethet, amelyek ha a rakéta hosszirányban instabil, akkor annak gyors pusztulásához vezethet. Megfogalmazzák a rakétacsomag longitudinális oszcillációinak problémáját, számítási modellként egy rúdcsomagot használnak. Feltételezhető, hogy a rakétatartályokban lévő folyadék „befagyott”, azaz. a megfelelő folyadékmozgásokat nem veszik figyelembe. Megfogalmazzák a vizsgált probléma teljes energiamérleg törvényét, és megadják annak operátori nyilatkozatát. Megadunk egy numerikus példát, amelyhez meghatározzuk a frekvenciákat, valamint megszerkesztjük és elemzik a sajátmódusokat.

Kulcsszavak: hosszanti rezgések, rezgések gyakorisága és alakja, rúdcsomag, teljes energiaegyensúly törvénye, önadjunkt operátor, rezgésspektrum, POGO.

RUDAK RENDSZERE HOSSZANTI REZGÉSEK A.M. Pavlov, Al. Temnov

Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, Moszkva, Orosz Föderáció e-mail: [e-mail védett]; [e-mail védett]

A folyékony üzemanyagú rakéták dinamikájának kérdésében fontos szerepet játszik a rakéta mozgásstabilitási problémája a hosszanti rugalmas rezgések megjelenésével. Az ilyen jellegű rezgések előfordulása önrezgéseket válthat ki, amelyek a rakéta hosszirányú instabilitása esetén a rakéta gyors pusztulását okozhatják. A folyékony tüzelőanyag-rakéta hosszirányú rezgésének problémáját a csomagséma alapján a csomagrudak, mint számítási modell felhasználásával fogalmaztuk meg. Feltételezhető, hogy a rakétatartályokban lévő folyadék „befagyott”, azaz. a folyadék megfelelő mozgását nem tartalmazza. Erre a problémára megfogalmaztam az energiatakarékossági elvet és megadtam annak operátori stádiumát. Van egy numerikus példa, amelyre meghatározták a frekvenciákat, felépítették és elemezték az Eigen rezgés formáit.

Kulcsszavak: longitudinális módusok rezgések, saját módusok és frekvenciák, rúdmodell, energiamegmaradási elv, önadjungált operátor, vibrációs spektrum, POGO.

Bevezetés. Jelenleg Oroszországban és külföldön a hasznos teher szükséges pályára állítása érdekében gyakran használnak olyan hordozórakétákat (LV), amelyek csomagelrendezése azonos, a központi blokk körül egyenletesen elosztott oldalsó blokkokkal.

A csomagszerkezetek oszcillációinak tanulmányozása bizonyos nehézségekbe ütközik az oldalsó és a központi blokkok dinamikus működésével kapcsolatban. A hordozórakéta elrendezésének szimmetriája esetén egy csomagkonstrukció blokkjainak összetett, térbeli kölcsönhatása véges számú rezgéstípusra osztható, amelyek közül az egyik a központi és oldalsó blokkok hosszirányú rezgései. A longitudinális rezgések matematikai modellje hasonló kialakítás vékony falú rudak csomagja formájában a munka részletesen megvizsgálja. Rizs. 1. A központi séma

egy rúdcsomag jelentős rezgései, kiegészítve az A.A. által végzett vizsgálatot. Szánalmas.

A probléma megfogalmazása. Tekintsük egy l0 hosszúságú központi rúdból és N azonos hosszúságú, j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, j = 1, 2,..., N oldalsó rúdból álló rúdcsomag egyéb hosszirányú rezgéseit, amelyek A pont (xA = l) (1. ábra) k merevségű központi rugóelemekkel.

Vezessünk be egy fix OX referenciakeretet, és tegyük fel, hogy az EFj (x) rudak merevsége, az mj (x) eloszlási tömeg és a q (x,t) perturbáció korlátozott funkciók x koordináták:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Az x koordinátájú rudak keresztmetszetein Uj (x, t) elmozdulások jelenjenek meg, amelyeket az egyenletek határoznak meg

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

peremfeltételek a normál erők hiányára a rudak végein

3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

a rudakban fellépő normál erők egyenlőségének feltételei,

EF-3 = F x = l

rugóelemek rugalmas erői

FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

az elmozdulások egyenlőségének feltétele a központi rúd xa pontjában

W (ha-o) \u003d W (ha + o) és a kezdeti feltételek

W y (x, 0) - W (x); , _

u(x, 0) = u(x),

ahol u(x, 0) = "q^1(x, 0).

A teljes energiaegyensúly törvénye. A (2) egyenletet megszorozzuk u(x, t)-vel, integráljuk az egyes rudak hosszát, és a peremfeltételek (3) és az illesztési feltétel (4) segítségével összeadjuk az eredményeket. Ennek eredményeként azt kapjuk

(( 1 ^ [ (diL 2

tz (x) "BT" (x +

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ⩽ Г „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Yo N (x - -)(nem - Uj)2 dx

= / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6)

ahol 8(x - y) a Dirac delta függvény. A (6) egyenletben a göndör zárójelben szereplő első tag a rendszer T (¿) kinetikus energiája, a második a rudak deformációjából adódó Pr (£), a harmadik pedig a Pk potenciális energia. (£) a rugóelemek, amelyek rugalmas alakváltozások jelenlétében rudak így írhatók fel

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey.

A (6) egyenlet azt mutatja, hogy a vizsgált mechanikai rendszer egységnyi idő alatti összenergiájának változása egyenlő a teljesítménnyel

külső hatás. q (x,t) külső zavar hiányában megkapjuk a teljes energia megmaradásának törvényét:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Kezelői beállítás. Az energiamérleg törvénye azt mutatja, hogy tetszőleges t időre az Uj (x, t) függvények az L2j(; m3 (x)) Hilbert-tér elemeinek tekinthetők, amelyeket ¡i hosszon a skalárszorzat határoz meg.

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

és a vonatkozó rendelet.

Vezessük be a H Hilbert teret, amely egyenlő az L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N ortogonális összeggel, az U = (uo, Ui,..., uN)m vektorfüggvényt és az operátort A reláció szerint a H térben cselekvő

AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

-n meghatározott operátorok

a (3) és (4) feltételeket kielégítő függvények B (A33) C H beállítása.

Az eredeti (1)-(5) feladat a kezdeti feltételekkel együtt így írható fel

Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7)

ahol f (*) = ((*) ,51 (*),..., Yam (¿)) azaz.

Lemma. 1. Ha az első két feltétel (1) teljesül, akkor a (7) evolúciós feladatban szereplő A operátor egy korlátlan, önadjungált, pozitív határozott operátor a H térben.

(Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n.

2. Az A operátor létrehoz egy HA energiateret, amelynek normája megegyezik a rúdcsomag potenciális lengési energiájának kétszeresével.

3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

A fenti eredményekből következik, hogy az A operátor energianormáját a (8) képlet fejezi ki.

Az evolúciós probléma megoldhatósága. Megfogalmazzuk a következő tételt.

Tétel 1. Legyen a feltételek

U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H),

akkor a (7) feladatnak egyedi gyenge U (t) megoldása van a képlettel definiált szakaszon

U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 f (£) külső zavar hiányában teljesül az energiamegmaradás törvénye

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Egy rúdcsomag természetes rezgései. Tegyük fel, hogy a külső erők tere nem hat a rúdrendszerre: f (t) = 0. Ebben az esetben a rudak mozgását szabadnak nevezzük. A rudak szabad mozgásait, amelyek az exp (iwt) törvény szerint függenek a t időtől, sajátoszcillációnak nevezzük. A (7) U (x, t) = U (x) eiWU egyenletet figyelembe véve megkapjuk az A operátor spektrális problémáját:

AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (kilenc)

Az A operátor tulajdonságai lehetővé teszik, hogy tételt fogalmazzunk meg a sajátfüggvények spektrumáról és tulajdonságairól.

2. Tétel. A (9) rúdcsomag természetes rezgéseire vonatkozó spektrális probléma diszkrét pozitív spektrummal rendelkezik

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

és sajátfüggvényrendszer (Uk (x))^=0, teljes és merőleges a H és HA terekben, míg a következő képleteket ortogonalitás:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/U^) d*+

K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

A spektrális probléma vizsgálata homogén rúdcsomag esetén. Az m-(x, t) eltolási függvényt m-(x, t) = m-(x) formában ábrázolva a változók szétválasztása után minden rúdra spektrális feladatokat kapunk:

^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

amit mátrix alakban írunk fel

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t«

u = (u0, u1, u2,..., u') azaz.

A kapott eredmények megoldása és elemzése. Jelöljük a középső rúd elmozdulási függvényeit a szakaszban u01-nek, a szakaszban pedig u02-nek (g). Ebben az esetben az u02 függvénynél a koordináták origóját a / koordinátájú pontra mozgatjuk. Minden rúdra ábrázoljuk a (10) egyenlet megoldását a formában

A (11)-ben szereplő ismeretlen állandók megtalálásához a fent megfogalmazott peremfeltételeket használjuk. A homogén peremfeltételekből néhány állandó meghatározható, nevezetesen:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

Ennek eredményeként meg kell találni N + 3 állandót: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Ehhez N + 3 egyenletet oldunk meg N + 3 ismeretlenre.

A kapott rendszert mátrix alakban írjuk fel: (A) (C) = (0) . Itt (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m az ismeretlenek vektora; (A) - karakterisztikus mátrix,

cos (L1) EF0 L sin (L1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 év 00 00 0 000 év

a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1/2^;

7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + baglyoknak ((A "1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0.

A nem triviális megoldás megtalálásához változónak vesszük a C01 € M konstanst Két lehetőségünk van: C01 = 0; C01 = 0.

Legyen С01 = 0, akkor С03 = С04 = 0. Ebben az esetben nemtriviális megoldást kaphatunk, ha 7 = 0 (12) a járulékos feltétel mellett

£ c-1 = 0, (13)

amelyet a (12) rendszer harmadik egyenletéből kaphatunk. Ennek eredményeként egy egyszerű frekvenciaegyenletet kapunk

EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P +

zz y \ V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

egybeesik az egyik végén rugalmasan rögzített rúd frekvenciaegyenletével, amely az első részrendszernek tekinthető.

Ebben az esetben az oldalrudak (13) feltételt kielégítő összes lehetséges mozgáskombinációja feltételesen felosztható a különböző fáziskombinációknak megfelelő csoportokra (a vizsgált esetben a fázist az S.d előjele határozza meg). Ha az oldalsó rudakat azonosnak vesszük, akkor két lehetőségünk van:

1) Cd \u003d 0, akkor az ilyen kombinációk száma n különböző N esetén az n \u003d N 2 képlettel számítható ki, ahol az osztási függvény maradék nélkül;

2) a C-állandók bármelyike ​​(vagy bármelyik) egyenlő 0-val, akkor a lehetséges kombinációk száma nő, és a képlettel meghatározható

£ [(N - m) oszt 2].

Legyen Coi = 0, akkor Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), ahol c és y komplexei a (12)-ben. A (12) rendszerből még a következőket kapjuk: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), azaz. minden állandót C01-en keresztül fejezünk ki. A frekvenciaegyenlet alakját veszi fel

EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) -

K2 cos | ía!-,1 L

Példaként vegyünk egy négy oldalrúddal rendelkező rendszert. A fent leírt módszeren kívül ennél a példánál felírhatja a teljes rendszerre vonatkozó frekvenciaegyenletet úgy, hogy az A mátrix determinánsát kiszámítja és nullával egyenlővé teszi. Bemutatjuk a formáját

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+

L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) -

4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0.

ábrán láthatók a transzcendentális frekvenciaegyenletek grafikonjai a fenti esetekben. 2. Kiindulási adatoknak a következő adatokat vettük: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; /=23; /o = 33 m. A vizsgált séma első három rezgési frekvenciájának értékeit az alábbiakban adjuk meg:

n................................................

és rad/s................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Rizs. 2. Transzcendentális frekvenciaegyenletek diagramjai Coi = 0 (i) és Coi = 0 (2) esetén

Mutassuk be a kapott megoldásoknak megfelelő rezgésmódokat (általános esetben a rezgésmódok nincsenek normalizálva). ábrán láthatók az első, második, harmadik, negyedik, 13. és 14. frekvenciának megfelelő hullámformák. 3. Az első oszcillációs frekvencián az oldalrudak azonos alakúak, de páronként ellenfázisban oszcillálnak.

3. ábra. Az oldalsó (1) és a középső (2) rudak rezgésmódja az elsőnek megfelelő V = 3,20 Hz (a), a második V = 5,02 Hz (b), a harmadik V = 10,11 Hz (c), a negyedik V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) és 14. V = 50,88 Hz (e) frekvenciák

(3. ábra, a), a másodiknál ​​- a központi rúd oszcillál, az oldalsók pedig ugyanabban a formában oszcillálnak fázisban (3. ábra, b). Megjegyzendő, hogy a vizsgált rúdrendszer első és második rezgési frekvenciája egy szilárd testekből álló rendszer rezgéseinek felel meg.

Amikor a rendszer a harmadik sajátfrekvenciával oszcillál, akkor először csomópontok jelennek meg (3c. ábra). A harmadik és az azt követő frekvenciák (3d. ábra) a rendszer már rugalmas oszcillációinak felelnek meg. A rugalmas elemek hatásának csökkenésével járó rezgések gyakoriságának növekedésével a rezgések gyakorisága és formái részlegesek (3. ábra, e, f).

ábrán láthatók olyan függvénygörbék, amelyeknek az abszcissza tengellyel való metszéspontjai transzcendentális egyenletek megoldásai. 4. Az ábra szerint a rendszer természetes rezgésfrekvenciái a parciális frekvenciák közelében helyezkednek el. Ahogy fentebb megjegyeztük, a frekvencia növekedésével a sajátfrekvenciák konvergenciája a részleges frekvenciákkal növekszik. Ennek eredményeként a frekvenciák, amelyeken az egész rendszer rezeg, feltételesen két csoportra oszthatók: az oldalrúd részfrekvenciáihoz közeli frekvenciákra és a központi rúd részfrekvenciáihoz közeli frekvenciákra.

Következtetések. Megfontoljuk a rudak csomagjának hosszanti rezgésének problémáját. A szállított tulajdonságai határérték problémaés spektruma sajátértékek. A spektrális probléma megoldása a tetszőleges szám egységes oldalrudak. Numerikus példaként megkeresik az első rezgési frekvenciák értékeit, és megszerkesztik a megfelelő formákat. Feltárásra kerültek a megszerkesztett rezgésmódok néhány jellemző tulajdonsága is.

Rizs. 4. Függvénygörbék, amelyek metszéspontjai az abszcissza tengellyel transzcendentális egyenletek megoldásai, Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) esetén egybeesnek az első részrendszerrel (a rugalmas elemre rögzített oldalrúd) az x = I pontban és a második részrendszerben (5) (a központi rúd négy rugalmas elemre van rögzítve az A pontban)

IRODALOM

1. Kolesnikov K.S. Rakéta dinamikája. M.: Mashinostroenie, 2003. 520 p.

2. Ballisztikus rakéták és hordozórakéták / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin et al. M.: Drofa, 2004. 511 p.

3. Rabinovich B.I. Bevezetés az űrhajóhordozó rakéták dinamikájába. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 p.

4. Parameter study on POGO stability of liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. évf. 48. Is. 3. P. 537-541.

5. Balakirev Yu.G. Folyékony hajtóművel működő hordozórakéták longitudinális oszcillációinak elemzési módszerei // Cosmonautics and Rocket Engineering. 1995. No. 5. S. 50-58.

6. Balakirev Yu.G. Sajátosságok matematikai modell csomagolt folyékony-hajtóanyagú rakéta, mint irányítás tárgya // A modern gépészet szilárdságának válogatott problémái. 2008. S. 43-55.

7. Dokuchaev L.V. Módszerek fejlesztése a csomagtervű hordozórakéta dinamikájának tanulmányozására, szimmetriájuk figyelembevételével // Cosmonautics and Rocket Engineering. 2005. No. 2. S. 112-121.

8. Pozhalostin A.A. Hozzávetőleges analitikai módszerek kidolgozása rugalmas héjak természetes és kényszerrezgéseinek kiszámítására folyadékkal: Cand. ... Dr. tech. Tudományok. M., 2005. 220 p.

9. Kerin S.G. Lineáris differenciál egyenletek Banach terekben. M.: Nauka, 1967. 464 p.

10. Kopachevsky I.D. A matematikai fizika operátori módszerei. Szimferopol: OOO "Forma", 2008. 140 p.

Kolesnikov K.S. Dinamika rakéta. Moszkva, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., szerk. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Moszkva, Drofa Publ., 2003. 511 p.

Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moszkva, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Paramétertanulmány a folyékony üzemanyagú rakéta POGO stabilitásával kapcsolatban. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48, iss. 3, pp. 537-541.

Balakirev Yu.G. Folyékony hajtóanyagú hordozórakéták hosszirányú rezgésének elemzési módszerei. Kosm. i rockettostr. , 1995, 1. sz. 5, pp. 50-58 (orosz nyelven).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moszkva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (idézett pp. 43555.).

Dokuchaev L.V. A klaszteres hordozórakéta dinamikájának vizsgálati módszereinek továbbfejlesztése szimmetriájukat figyelembe véve. Kosm. i rockettostr. , 2005, sz. 2, pp. 112-121 (orosz nyelven).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye differenciál "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p.

A cikk 2014. április 28-án érkezett a szerkesztőséghez

Pavlov Arseniy Mikhailovich - a Moszkvai Állami Műszaki Egyetem "Űrhajók és hordozórakéták" tanszékének hallgatója. N.E. Bauman. A rakéta- és űrtechnológia területére specializálódott.

MSTU im. N.E. Baumash, Orosz Föderáció, 105005, Moszkva, 2. Baumanskaya st., 5.

Pavlov A.M. - a Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem "Spacecrafts and Launch Vehicles" tanszékének hallgatója. A rakéta- és űrtechnológia szakértője. Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moszkva, 105005 Orosz Föderáció.

Temnov Alekszandr Nyikolajevics – Ph.D. Fiz.-Matek. Sci., a Moszkvai Állami Műszaki Egyetem Űrhajók és hordozórakéták Tanszékének docense. N.E. Bauman. Több mint 20 szerzője tudományos munkák a folyadék- és gázmechanika, valamint a rakéta- és űrtechnológia területén. MSTU im. N.E. Baumash, Orosz Föderáció, 105005, Moszkva, 2. Baumanskaya st., 5.

Temnov A.N. - Cand. sci. (Phys.-Math.), assoc. a Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem "Űrhajók és hordozórakéták" tanszékének professzora. Több mint 20 publikáció szerzője a folyadék- és gázmechanika, valamint a rakéta- és űrtechnológia területén.

Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moszkva, 105005 Orosz Föderáció.