Kényszerrezgéseknek nevezzük azokat a rezgéseket, amelyek a rendszerben egy külső hajtóerő hatására, periodikusan változó erő hatására lépnek fel, amelyet hajtóerőnek nevezünk.

A hajtóerő jellege (időfüggősége) eltérő lehet. Ez egy olyan erő lehet, amely a harmonikus törvény szerint változik. Például egy hanghullám, amelynek forrása egy hangvilla, megüti a dobhártyát vagy a mikrofon membránját. A légnyomás harmonikusan változó ereje kezd hatni a membránra.

A hajtóerő lehet lökés vagy rövid impulzus. Például egy felnőtt hintáztatja a gyermeket, időnként meglökve abban a pillanatban, amikor a hinta valamelyik szélső helyzetbe kerül.

A mi feladatunk annak kiderítése, hogyan oszcillációs rendszer periodikusan változó hajtóerő hatására.

1. § A hajtóerő a harmonikus törvény szerint változik

F cont = - rv xés hajtóereje F ki \u003d F 0 sin wt.

Newton második törvénye így van leírva:

Az (1) egyenlet megoldását a formában keressük, ahol az (1) egyenlet megoldása, ha nem lenne jobb oldala. Látható, hogy a jobb oldal nélkül az egyenlet a csillapított rezgések általunk ismert egyenletévé alakul, aminek a megoldását már ismerjük. Kellően hosszú időre a rendszerben az egyensúlyi helyzetből fellépő szabad rezgések gyakorlatilag elhalnak, és csak a második tag marad az egyenlet megoldásában. Ezt a megoldást az űrlapon fogjuk keresni
Csoportosítsuk a kifejezéseket másképp:

Ennek az egyenlőségnek mindenkor fennállnia kell t időpontban, ami csak akkor lehetséges, ha a szinuszban és a koszinuszban lévő együttható nulla.

Tehát a test, amelyre a hajtóerő hat, a harmonikus törvény szerint változva rezgőmozgást végez a hajtóerő frekvenciájával.

Vizsgáljuk meg részletesebben a kényszerrezgések amplitúdójának kérdését:

1 Az állandósult állapotú kényszerrezgések amplitúdója nem változik az idő múlásával. (Hasonlítsa össze a szabad csillapított rezgések amplitúdójával).

2 A kényszerrezgések amplitúdója egyenesen arányos a hajtóerő amplitúdójával.

3 Az amplitúdó a rendszerben lévő súrlódástól függ (A d-től, a d csillapítási tényező pedig az r légellenállási együtthatótól függ). Minél nagyobb a súrlódás a rendszerben, annál kisebb az erőltetett rezgések amplitúdója.

4 A kényszerrezgések amplitúdója a w hajtóerő frekvenciájától függ. Hogyan? Tanulmányozzuk az A(w) függvényt.

Amikor w = 0 (állandó erő hat a rezgőrendszerre), a test elmozdulása időben változatlan (figyelembe kell venni, hogy ez az állandósult állapotra vonatkozik, amikor a természetes rezgések már majdnem kialudtak).

· Ha w ® ¥, akkor, amint jól látható, az A amplitúdó nullára hajlik.

Nyilvánvaló, hogy a hajtóerő bizonyos frekvenciájánál a kényszerrezgések amplitúdója legmagasabb érték(adott d-hez). A kényszerrezgések amplitúdójának éles növekedésének jelensége at bizonyos értéket A hajtóerő frekvenciáját mechanikai rezonanciának nevezzük.

Érdekes módon az oszcillációs rendszer minőségi tényezője ebben az esetben azt mutatja meg, hogy a rezonancia amplitúdója hányszor haladja meg a test egyensúlyi helyzetből való elmozdulását állandó F 0 erő hatására.

Látjuk, hogy mind a rezonanciafrekvencia, mind a rezonanciaamplitúdó függ a d csillapítási tényezőtől. Ahogy d nullára csökken, a rezonanciafrekvencia növekszik, és a rendszer w 0 természetes rezgésének frekvenciájára hajlik. Ebben az esetben a rezonancia amplitúdója nő, és d = 0 esetén a végtelenbe fordul. Természetesen a gyakorlatban a rezgések amplitúdója nem lehet végtelen, hiszen az ellenállási erők mindig a valós oszcillációs rendszerekben hatnak. Ha a rendszer csillapítása alacsony, akkor megközelítőleg feltételezhetjük, hogy a rezonancia a természetes rezgések frekvenciáján következik be:

ahol a vizsgált esetben a hajtóerő és a test egyensúlyi helyzetből való elmozdulása közötti fáziseltolódás.

Könnyen belátható, hogy az erő és az elmozdulás közötti fáziseltolódás a rendszerben lévő súrlódástól és a külső hajtóerő frekvenciájától függ. Ez a függőség az ábrán látható. Látható, hogy a< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitív.

A szögtől való függés ismeretében megkaphatjuk a hajtóerő frekvenciájától való függést.

A sajátnál lényegesen kisebb külső erő frekvenciákon az elmozdulás kissé elmarad a fázisban lévő hajtóerőtől. A külső erő frekvenciájának növekedésével ez a fáziskésleltetés növekszik. Rezonancia esetén (ha kicsi) a fáziseltolódás egyenlő lesz. A >>-nál az elmozdulás és az erő ingadozása ellenfázisban történik. Egy ilyen függőség első pillantásra furcsának tűnhet. Ennek a ténynek a megértéséhez térjünk át az erőltetett rezgések folyamatában zajló energiaátalakításokra.

2. § Energiaátalakítások

Mint már tudjuk, a rezgés amplitúdóját az oszcillációs rendszer összenergiája határozza meg. Korábban kimutatták, hogy a kényszerrezgések amplitúdója az idő múlásával változatlan marad. Ez azt jelenti, hogy az oszcillációs rendszer teljes mechanikai energiája nem változik az idő múlásával. Miért? Hiszen a rendszer nincs lezárva! Két erő – egy külső, periodikusan változó erő és egy ellenállási erő – olyan munkát végez, amely megváltoztatja a rendszer összenergiáját.

Próbáljuk meg kitalálni, mi a baj. A külső hajtóerő ereje a következőképpen érhető el:

Látjuk, hogy az oszcillációs rendszert energiával tápláló külső erő ereje arányos a lengés amplitúdójával.

Az ellenállási erő munkája miatt az oszcillációs rendszer energiájának csökkennie kell, belső energiává alakulva. Ellenállási erő:

Nyilvánvaló, hogy a húzóerő ereje arányos az amplitúdó négyzetével. Ábrázoljuk mindkét függőséget a grafikonon.

Ahhoz, hogy az oszcillációk egyenletesek legyenek (az amplitúdó időben nem változik), a külső erő periódus alatti munkájának kompenzálnia kell a rendszer energiaveszteségeit az ellenállási erő munkája miatt. A teljesítménygráfok metszéspontja éppen ennek az üzemmódnak felel meg. Képzeljük el, hogy valamilyen oknál fogva az erőltetett rezgések amplitúdója csökkent. Ez oda vezet, hogy a külső erő pillanatnyi ereje nagyobb lesz, mint a veszteségek ereje. Ez az oszcillációs rendszer energiájának növekedéséhez vezet, és az oszcillációs amplitúdó visszaállítja korábbi értékét.

Hasonlóképpen látható, hogy az oszcillációs amplitúdó véletlenszerű növekedésével a veszteségi teljesítmény meghaladja a külső erő erejét, ami a rendszer energiájának csökkenéséhez, következésképpen az amplitúdó csökkenéséhez vezet. .

Térjünk vissza az elmozdulás és a rezonancia hajtóereje közötti fáziseltolódás kérdéséhez. Már bemutattuk, hogy az elmozdulás elmarad, ami azt jelenti, hogy az erő -vel megelőzi az elmozdulást. Másrészt a harmonikus rezgések folyamatában a sebesség-vetítés mindig a koordinátát vezeti. Ez azt jelenti, hogy rezonancia esetén a külső hajtóerő és a sebesség ugyanabban a fázisban oszcillál. Tehát minden pillanatban társrendezők! A külső erő által végzett munka ebben az esetben mindig pozitív. minden az oszcillációs rendszer energiával való feltöltésére megy.

3. § Nem szinuszos periodikus hatás

Az oszcillátor kényszerrezgései nem csak szinuszos, hanem időszakos külső hatások hatására is lehetségesek. Ebben az esetben az állandósult állapotú oszcillációk általában nem szinuszosak, hanem periódusos mozgást jelentenek, amelynek periódusa megegyezik a külső hatás periódusával.

Külső hatás lehet például az egymást követő lökések (emlékezzünk arra, hogyan „lengette” a felnőtt a hintán ülő gyereket). Ha a külső sokkok időszaka egybeesik a természetes oszcillációk időszakával, akkor a rendszerben rezonancia léphet fel. Ebben az esetben az oszcillációk szinte szinuszosak lesznek. A rendszernek minden egyes nyomásnál átadott energia pótolja a rendszer súrlódás miatt elveszett teljes energiáját. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben lehetségesek a lehetőségek: ha a tolás során leadott energia egyenlő vagy meghaladja az időszakra vonatkozó súrlódási veszteségeket, akkor a rezgések vagy állandósult állapotúak lesznek, vagy amplitúdójuk nő. Ez jól látható a fázisdiagramon.

Nyilvánvaló, hogy a rezonancia akkor is lehetséges, ha a sokkok ismétlődési periódusa többszöröse a természetes rezgések periódusának. Ez a külső hatás szinuszos jellege miatt lehetetlen.

Másrészt, még ha a sokkfrekvencia egybeesik a sajátfrekvenciával, előfordulhat, hogy nem figyelhető meg a rezonancia. Ha csak a periódusonkénti súrlódási veszteség haladja meg a rendszer által a tolás során kapott energiát, akkor a rendszer összenergiája csökken, és a rezgések csillapodnak.

4. § Paraméteres rezonancia

Az oszcillációs rendszerre gyakorolt ​​külső hatás lecsökkenthető magának az oszcillációs rendszernek a paramétereinek periodikus változására. Az így gerjesztett rezgéseket parametrikusnak, magát a mechanizmust pedig nevezzük parametrikus rezonancia .

Mindenekelőtt próbáljunk meg választ adni arra a kérdésre: lehetséges-e a rendszerben már meglévő kis ingadozásokat meglendíteni úgy, hogy bizonyos paramétereit periodikusan, bizonyos módon megváltoztatjuk.

Példaként vegyük fontolóra egy személy hintázását. Lábait a „szükséges” pillanatokban hajlítva és kiegyenesítve tulajdonképpen megváltoztatja az inga hosszát. Szélsőséges helyzetekben az ember guggol, ezáltal enyhén csökkenti az oszcillációs rendszer súlypontját, középső helyzetben az ember felegyenesedik, megemelve a rendszer súlypontját.

Annak megértéséhez, hogy egy személy miért hintázik egyszerre, vegye figyelembe a hintán álló személy rendkívül leegyszerűsített modelljét - egy közönséges kis ingát, vagyis egy kis súlyt egy könnyű és hosszú szálon. A súlypont felemelésének és süllyesztésének szimulálásához a szál felső végét egy kis lyukon vezetjük át, és azokban a pillanatokban húzzuk meg a cérnát, amikor az inga átmegy az egyensúlyi helyzeten, és ugyanennyivel engedjük le a menetet. amikor az inga áthalad a szélső helyzeten.

A menetfeszítő erő munkája a periódusra (figyelembe véve azt a tényt, hogy periódusonként kétszer történik a teher felemelése és leengedése, valamint hogy D l << l):

Kérjük, vegye figyelembe, hogy zárójelben nem más, mint az oszcillációs rendszer háromszoros energiája. Ez az érték egyébként pozitív, ezért a feszítőerő munkája (a mi munkánk) pozitív, a rendszer összenergiájának növekedéséhez, ezáltal az inga kilengéséhez vezet.

Érdekes módon az energia egy periódus alatti relatív változása nem attól függ, hogy az inga gyengén vagy erősen leng. Ez nagyon fontos, és itt van az ok. Ha az ingát „nem pumpálják fel” energiával, akkor a súrlódási erő hatására minden periódusra elveszíti az energiájának egy részét, és a rezgések csillapodnak. És ahhoz, hogy az oszcillációk tartománya növekedjen, szükséges, hogy a megszerzett energia meghaladja a súrlódás leküzdéséhez elvesztett energiát. És ez a feltétel, mint kiderült, ugyanaz - mind kis amplitúdónál, mind nagynál.

Például, ha egy periódusban a szabad rezgések energiája 6%-kal csökken, akkor ahhoz, hogy egy 1 m hosszú inga lengései ne csillapodjanak fel, elegendő a hosszát középhelyzetben 1 cm-rel csökkenteni, és növelni. ugyanannyival szélső helyzetben.

Vissza a hintához: ha egyszer elkezdesz hintázni, nem kell egyre mélyebbre guggolni - mindig ugyanúgy guggolj, és egyre magasabbra fogsz repülni!

*** Istenem megint!

Mint már említettük, az oszcillációk parametrikus felépítéséhez teljesíteni kell a DE > A periódusonkénti súrlódás feltételt.

Keresse meg a súrlódási erő munkáját az időszakra!

Látható, hogy az inga felemelésének relatív értékét a felépítéshez a rendszer minőségi tényezője határozza meg.

5. § A rezonancia jelentősége

A kényszerrezgéseket és a rezonanciát széles körben használják a mérnöki tudományokban, különösen az akusztikában, az elektrotechnikában és a rádiótechnikában. A rezonanciát mindenekelőtt akkor használják, ha a különböző frekvenciájú rezgések nagy halmazából egy bizonyos frekvenciájú rezgéseket akarnak kiválasztani. A rezonanciát nagyon gyenge, periodikusan ismétlődő mennyiségek vizsgálatára is használják.

Bizonyos esetekben azonban a rezonancia nemkívánatos jelenség, mivel nagy alakváltozásokhoz és szerkezetek tönkremeneteléhez vezethet.

6. § Példák problémamegoldásra

1. feladat Rugóinga kényszerlengései külső szinuszos erő hatására.

Egy m = 10 g tömegű terhelést k = 10 N/m merevségű rugóra függesztettünk fel, és a rendszert r = 0,1 kg/s ellenállási együtthatójú viszkózus közegbe helyeztük. Hasonlítsa össze a rendszer saját- és rezonanciafrekvenciáját! Határozzuk meg az inga rezgésének amplitúdóját rezonancia esetén F 0 = 20 mN amplitúdójú szinuszos erő hatására.

Megoldás:

1 Az oszcilláló rendszer sajátfrekvenciája a szabad rezgések frekvenciája súrlódás nélkül. A természetes ciklikus frekvencia , rezgési frekvencia .

2 A rezonanciafrekvencia a külső hajtóerő azon frekvenciája, amelynél a kényszerrezgések amplitúdója meredeken növekszik. A rezonancia ciklikus frekvencia , ahol a csillapítási együttható egyenlő .

Így a rezonancia frekvencia . Könnyen belátható, hogy a rezonanciafrekvencia kisebb, mint a sajátja! Az is látható, hogy minél kisebb a súrlódás a rendszerben (r), annál közelebb van a rezonanciafrekvencia a sajátjához.

3 A rezonancia amplitúdója az

2. feladat Egy oszcillációs rendszer rezonanciaamplitúdója és minőségi tényezője

Egy m = 100 g tömegű terhelést k = 10 N/m merevségű rugóra függesztettek fel, és a rendszert viszkózus közegbe helyezték, amelynek légellenállási együtthatója.

r = 0,02 kg/s. Határozza meg az oszcillációs rendszer minőségi tényezőjét és az inga rezgésének amplitúdóját rezonancia esetén F 0 = 10 mN amplitúdójú szinuszos erő hatására! Határozza meg a rezonanciaamplitúdó és a statikus elmozdulás arányát állandó F 0 = 20 mN erő hatására, és hasonlítsa össze ezt az arányt a minőségi tényezővel.

Megoldás:

1 Az oszcillációs rendszer minőségi tényezője , ahol a logaritmikus csillapítás csökkenése.

A logaritmikus csillapítás csökkenése .

Megtaláljuk az oszcillációs rendszer minőségi tényezőjét.

2 A rezonancia amplitúdója az

3 A statikus elmozdulás állandó F 0 = 10 mN erő hatására .

4 A rezonanciaamplitúdó és a statikus elmozdulás aránya állandó F 0 erő hatására egyenlő

Könnyen belátható, hogy ez az arány egybeesik az oszcillációs rendszer minőségi tényezőjével

3. feladat Nyaláb rezonanciarezgései

A villanymotor súlyának hatására a konzolos tartály, amelyre fel van szerelve, meggörbült. A motor armatúrájának hány fordulatszámánál állhat fenn a rezonancia veszélye?

Megoldás:

1 A motor teste és a gerenda, amelyre fel van szerelve, időszakos lökéseket tapasztal a motor forgó armatúrájának oldaláról, és ezért kényszerrezgéseket hajt végre az ütések gyakoriságával.

A rezonancia akkor figyelhető meg, ha az ütések ismétlődési gyakorisága egybeesik a nyaláb és a motor rezgésének természetes frekvenciájával. Meg kell találni a nyaláb-motoros rendszer természetes rezgési frekvenciáját.

2 Az oszcilláló rendszer gerenda - motor analógja lehet egy függőleges rugós inga, amelynek tömege megegyezik a motor tömegével. A rugóinga természetes rezgési frekvenciája . De a rugó merevsége és a motor tömege nem ismert! Hogyan legyen?

3 A rugóinga egyensúlyi helyzetében a terhelés gravitációs erejét a rugó rugalmassági ereje egyensúlyozza ki.

4 Megtaláljuk a motor armatúrájának forgását, i.e. lökés frekvencia

4. feladat Rugóinga kényszerrezgései periodikus ütések hatására.

A k = 20 N/m merevségű csavarrugóra egy m = 0,5 kg tömegű súlyt függesztenek fel. Az oszcillációs rendszer logaritmikus csillapítási csökkenése . Rövid rándításokkal akarják lendíteni a súlyt, F = 100 mN erővel τ = 0,01 s ideig a súlyra hatva. Mekkora legyen az ütések ismétlődésének gyakorisága, hogy a kettlebell amplitúdója a legnagyobb legyen? Milyen pillanatokban és milyen irányba kell tolni a kettlebellt? Milyen amplitúdóig lehet így lendíteni a kettlebellt?

Megoldás:

1 Kényszerrezgések bármely időszakos műveletnél előfordulhatnak. Ebben az esetben az állandó oszcilláció a külső hatás ismétlődési sebességével történik. Ha a külső sokkok időszaka egybeesik a természetes rezgések gyakoriságával, akkor a rendszerben rezonancia lép fel - az oszcillációk amplitúdója a legnagyobb lesz. Esetünkben a rezonancia kialakulásához az ütések ismétlődési periódusának egybe kell esnie a rugóinga lengési periódusával.

A logaritmikus csillapítási csökkenés kicsi, ezért kicsi a súrlódás a rendszerben, és az inga viszkózus közegben való rezgési periódusa gyakorlatilag egybeesik az inga vákuumban való rezgési periódusával:

2 Nyilvánvalóan az ütések irányának egybe kell esnie a kettlebell sebességével. Ebben az esetben a rendszert energiával feltöltő külső erő munkája pozitív lesz. És a rezgések inogni fognak. A rendszer által az ütközés során kapott energia

akkor lesz a legnagyobb, ha a terhelés átmegy az egyensúlyi helyzeten, mert ebben a helyzetben az inga sebessége a legnagyobb.

Tehát a rendszer ütés hatására a leggyorsabban leng a terhelés mozgásának irányába, amikor áthalad az egyensúlyi helyzeten.

3 Az oszcillációs amplitúdó növekedése leáll, ha az ütközés során a rendszerre átadott energia egyenlő lesz a súrlódásból eredő energiaveszteséggel a következő időszakban: .

Az időszakra vonatkozó energiaveszteséget az oszcillációs rendszer minőségi tényezőjén keresztül találjuk meg

ahol E az oszcillációs rendszer teljes energiája, amely így számítható ki.

A veszteségek energiája helyett az ütközés során a rendszer által kapott energiát helyettesítjük:

Az oszcilláció során a maximális sebesség . Ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy .

§7 Feladatok az önálló megoldáshoz

"Kényszerrezgések" teszt

1 Milyen rezgéseket nevezünk erőltetettnek?

A) külső, periodikusan változó erők hatására fellépő rezgések;

B) A rendszerben külső nyomás hatására fellépő rezgések;

2 Az alábbi rezgések közül melyik kényszerített?

A) Egy rugóra felfüggesztett terhelés rezgése az egyensúlyi helyzetből való egyszeri eltérés után;

B) A hangszóró diffúzor rezgése a vevő működése közben;

C) Egy rugóra felfüggesztett terhelés oszcillációja a terhelésre egyszeri ütközés után egyensúlyi helyzetben;

D) Az elektromos motor testének rezgése működése közben;

E) Zenét hallgató ember dobhártyájának rezgései.

3 A sajátfrekvenciájú oszcillációs rendszerre külső hajtóerő hat, amely a törvény szerint változik. Az oszcillációs rendszerben a csillapítási együttható . Milyen törvény szerint változik a test koordinátája időben?

C) A kényszerlengés amplitúdója változatlan marad, mivel a rendszer súrlódásból eredő energiaveszteségeit a külső hajtóerő munkája miatti energianyereség kompenzálja.

5 A rendszer kényszerlengéseket hajt végre szinuszos erő hatására. Adja meg minden tényezők, amelyektől ezeknek az oszcillációknak az amplitúdója függ.

A) A külső hajtóerő amplitúdójából;

B) Egy rezgő energiarendszer jelenléte egy külső erő hatásának kezdete pillanatában;

C) magának az oszcillációs rendszernek a paraméterei;

D) Súrlódás az oszcillációs rendszerben;

E) Természetes rezgések létezése a rendszerben abban a pillanatban, amikor a külső erő hatni kezd;

E) Az oszcillációk létrejöttének ideje;

G) A külső hajtóerő frekvenciái.

6 Egy m tömegű rúd erőltetett harmonikus rezgéseket hajt végre egy vízszintes síkban T periódussal és A amplitúdóval. Súrlódási tényező μ. Milyen munkát végez a külső hajtóerő a T periódussal egyenlő idő alatt?

A) 4 μmgA; B) 2 μmgA; C) μmgA; D) 0;

E) Nem lehet választ adni, mivel a külső hajtóerő nagysága nem ismert.

7 Tegyen helyes állítást!

A rezonancia az a jelenség...

A) A külső erő frekvenciájának egybeesése az oszcillációs rendszer sajátfrekvenciájával;

B) Az erőltetett rezgések amplitúdójának éles növekedése.

Az állapot alatt rezonancia figyelhető meg

A) A súrlódás csökkentése az oszcillációs rendszerben;

B) A külső hajtóerő amplitúdójának növekedése;

C) A külső erő frekvenciájának egybeesése az oszcillációs rendszer sajátfrekvenciájával;

D) Amikor a külső erő frekvenciája egybeesik a rezonanciafrekvenciával.

8 A rezonancia jelensége megfigyelhető a ...

A) Bármely oszcillációs rendszerben;

B) Szabad lengéseket végző rendszerben;

C) Önoszcilláló rendszerben;

D) Olyan rendszerben, amely kényszerített rezgéseket hajt végre.

9 Az ábrán a kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciától való függésének grafikonja látható. A rezonancia olyan frekvencián lép fel,...

10 Különböző viszkózus közegekben három azonos inga hajt végre kényszerített rezgéseket. Az ábra ezen ingák rezonanciagörbéit mutatja. Melyik inga tapasztalja a legnagyobb ellenállást a viszkózus közegből a lengési folyamat során?

A) 1; B) 2; IN 3;

D) Nem lehet választ adni, mivel a kényszerrezgések amplitúdója a külső erő frekvenciáján kívül annak amplitúdójától is függ. A feltétel nem mond semmit a külső hajtóerő amplitúdójáról.

11 Az oszcillációs rendszer természetes rezgésének periódusa egyenlő T 0 -val. Mennyi lehet az ütések ismétlődési periódusa, hogy a rezgések amplitúdója meredeken megnőjön, azaz rezonancia keletkezzen a rendszerben?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) A hintát tetszőleges frekvenciájú lökésekkel lendítheted.

12 Öcséd hintán ül, rövid lökésekkel ringatod. Mennyi legyen az utórengések időszaka, hogy a folyamat a leghatékonyabban menjen végbe? A lengés természetes lengésének periódusa T 0 .

D) A hintát bármilyen frekvenciájú lökéssel lendítheti.

13 Öcséd hintán ül, rövid lökésekkel ringatod. Milyen helyzetben kell a lendítést megtenni és milyen irányba kell tolni, hogy a folyamat a leghatékonyabban menjen végbe?

A) Nyomja be a hinta legfelső helyzetét az egyensúlyi helyzet irányába;

B) Nyomja be a hinta legfelső helyzetét az egyensúlyi helyzetből kiindulva;

B) Nyomja egyensúlyi helyzetben a hinta mozgásának irányába;

D) Bármilyen pozícióban tolhatod, de mindig a lengés irányába.

14 Úgy tűnik, ha egy csúzliból lövöldözünk a hídon, saját rezgéseivel, és sok lövést készítünk, erősen megrázható, de ez nem valószínű, hogy sikerül. Miért?

A) A híd tömege (tehetetlensége) nagy a csúzliból származó "golyó" tömegéhez képest, a híd nem tud elmozdulni az ilyen ütések hatására;

B) A csúzli „golyó” ütközési ereje olyan kicsi, hogy a híd nem tud elmozdulni ilyen becsapódások hatására;

C) Az egy ütéssel a hídra átadott energia sokkal kisebb, mint a súrlódásból adódó energiaveszteség az adott időszakban.

15 Egy vödör vizet cipelsz. A vödörben lévő víz megingat és kifröccsen. Mit lehet tenni, hogy ez ne forduljon elő?

A) Integetni a kezével, amelyben a vödör található, járással időben;

B) Változtassa meg a mozgás sebességét úgy, hogy a lépések hosszát változatlanul hagyja;

C) Időnként álljon meg, és várja meg, amíg a víz rezgései lecsillapodnak;

D) Ügyeljen arra, hogy mozgás közben a vödörrel ellátott kéz szigorúan függőlegesen legyen.

Feladatok

1 A rendszer 1000 Hz frekvenciájú csillapított rezgéseket hajt végre. Határozza meg a frekvenciát v0 természetes rezgések, ha a rezonanciafrekvencia

2 Határozza meg, mennyi D v a rezonanciafrekvencia eltér a sajátfrekvenciától v0= 1000 Hz egy oszcillációs rendszernél, amelyet d = 400s -1 csillapítási együttható jellemez.

3 Egy 100 g tömegű, 10 N/m merevségű rugóra felfüggesztve viszkózus közegben kényszerlengéseket hajt végre r = 0,02 kg/s ellenállási együtthatóval. Határozza meg a csillapítási tényezőt, a rezonanciafrekvenciát és az amplitúdót! A hajtóerő amplitúdója 10 mN.

4 A kényszerített harmonikus rezgések amplitúdói w 1 = 400 s -1 és w 2 = 600 s -1 frekvenciákon egyenlők egymással. Határozza meg a rezonanciafrekvenciát!

5 A teherautók az egyik oldalról bemennek egy földúton lévő gabonaraktárba, kipakolnak és azonos sebességgel, de a másik oldalon hagyják el a raktárt. A raktár melyik oldalán van több kátyú az úton, mint a másikon? Hogyan határozható meg, hogy a raktár melyik oldaláról a bejáratot és melyik kijáratot határozza meg az út állapota? Válaszát indokolja

A mechanikai energia elvesztése minden rezgőrendszerben a súrlódási erők jelenléte miatt elkerülhetetlen, ezért az energia kívülről történő "szivattyúzása" nélkül a rezgések csillapításra kerülnek. Számos alapvetően eltérő módszer létezik a csillapítatlan rezgésekből álló oszcillációs rendszer létrehozására. Nézzük meg közelebbről csillapítatlan rezgések külső periodikus erő hatására. Az ilyen rezgéseket kényszerítettnek nevezzük. Folytassuk a harmonikus inga mozgásának tanulmányozását (6.9. ábra).

A korábban figyelembe vett rugalmas erők és viszkózus súrlódás mellett a labdára külső hatás hat kényszerítő periodikus erő, amely a harmonikus törvény szerint változik

frekvenciát, amely eltérhet az inga természetes frekvenciájától ω o. Ennek az erőnek a természete ebben az esetben nem fontos számunkra. Ilyen erőt többféleképpen lehet létrehozni, például úgy, hogy elektromos töltést adunk a labdának, és külső váltakozó elektromos térbe helyezzük. A labda mozgásegyenlete a vizsgált esetben a következőképpen alakul

Elosztjuk a golyó tömegével, és az előző jelölést használjuk a rendszer paramétereihez. Ennek eredményeként azt kapjuk kényszerrezgés egyenlet:

ahol f o = F o /m a külső hajtóerő amplitúdóértékének és a labda tömegének aránya. A (3) egyenlet általános megoldása meglehetősen körülményes, és természetesen függ a kezdeti feltételektől. A (3) egyenlettel leírt labda mozgásának természete érthető: a hajtóerő hatására rezgések keletkeznek, amelyek amplitúdója megnő. Ez az átmeneti rendszer meglehetősen bonyolult, és a kezdeti feltételektől függ. Egy bizonyos idő elteltével az oszcillációs rezsim kialakul, amplitúdójuk nem változik. Pontosan állandósult állapotú oszcilláció, sok esetben az elsődleges érdek. Nem foglalkozunk a rendszer állandósult állapotba való átállásával, hanem e rezsim jellemzőinek leírására és tanulmányozására összpontosítunk. A probléma ilyen megfogalmazásával nincs szükség a kezdeti  feltételek meghatározására, hiszen a számunkra érdekes steady-state rezsim nem függ a kezdeti feltételektől, jellemzőit teljes mértékben maga az egyenlet határozza meg. Hasonló helyzettel találkoztunk, amikor egy test mozgását vizsgáltuk állandó külső erő és viszkózus súrlódási erő hatására.

Egy idő után a test állandó, egyenletes sebességgel mozog v = F o /β , amely nem függ a kezdeti feltételektől, és teljesen meghatározza a mozgásegyenlet. Kezdeti feltételek határozza meg az állandó mozgásra való átmenet módot. A józan ész alapján joggal feltételezhető, hogy az állandósult rezgésmódban a labda a külső hajtóerő frekvenciájával rezeg. Ezért a (3) egyenlet megoldását a hajtóerő frekvenciájával harmonikus függvényben kell keresni. Először is megoldjuk a (3) egyenletet, figyelmen kívül hagyva az ellenállási erőt

Próbáljuk megtalálni a megoldását harmonikus függvény formájában

Ehhez kiszámítjuk a test sebességének és gyorsulásának időfüggőségét, a mozgástörvény származékaiként

és behelyettesítjük értékeiket a (4) egyenletbe

Most már vághatsz költsége. Ezért ez a kifejezés bármikor valódi azonossággá változik, feltéve, hogy a feltétel

Így a (4) egyenlet (5)  formájú megoldására vonatkozó feltételezésünk igazolódott: az állandósult oszcillációs módot a függvény írja le.

Vegye figyelembe, hogy az együttható A a kapott (6) kifejezés szerint egyaránt lehet pozitív (for ω < ω o) és negatív (for ω > ω o). Az előjelváltozás az oszcillációs fázis változásának felel meg π (a változás okát kicsit később tisztázzuk), ezért az oszcillációk amplitúdója ennek az együtthatónak a modulusa |A|. Az állandó rezgések amplitúdója a várakozásoknak megfelelően arányos a hajtóerő nagyságával. Ráadásul ez az amplitúdó komplex módon függ a hajtóerő frekvenciájától. Ennek a függőségnek a sematikus diagramja az ábrán látható. 6.10

Rizs. 6.10 Rezonanciagörbe

Ahogy a (6) képletből következik, és jól látható a grafikonon, ahogy a hajtóerő frekvenciája megközelíti a rendszer sajátfrekvenciáját, az amplitúdó meredeken növekszik. Az amplitúdó ilyen növekedésének oka egyértelmű: a hajtóerő "időben" nyomja a labdát, a frekvenciák teljes egybeesésével az egyensúlyi állapot hiányzik - az amplitúdó a végtelenségig nő. Természetesen a gyakorlatban lehetetlen ilyen végtelen növekedést megfigyelni: Először, ez magának az oszcillációs rendszernek a pusztulásához vezethet, Másodszor, nagy oszcillációs amplitúdók mellett a közeg ellenállási erői sem elhanyagolhatók. A kényszerrezgések amplitúdójának meredek növekedését, amikor a hajtóerő frekvenciája megközelíti a rendszer rezgésének sajátfrekvenciáját, rezonancia jelenségnek nevezzük. Most folytassuk a kényszerrezgések egyenletének megoldásának keresését, figyelembe véve az ellenállási erőt

Természetesen ebben az esetben is a hajtóerő frekvenciájával harmonikus függvény formájában kell a megoldást keresni. Könnyen belátható, hogy a megoldás keresése az (5) formában ebben az esetben nem vezet sikerre. Valójában a (8) egyenlet, ellentétben a (4) egyenlettel, tartalmazza a részecskesebességet, amelyet a szinuszfüggvény ír le. Ezért a (8) egyenletben szereplő időrész nem csökken. Ezért a (8) egyenlet megoldását egy harmonikus függvény általános alakjában kell ábrázolni

amelyben két paraméter A oÉs φ a (8) egyenlet segítségével kell megtalálni. Paraméter A o az erőltetett rezgések amplitúdója, φ − fáziseltolódás a változó koordináta és a változó hajtóerő között. Az összeg koszinuszának trigonometrikus képletével a (9) függvény ekvivalens formában ábrázolható

amely két paramétert is tartalmaz B=A o cosφÉs C = -A o sinφ meg kell határozni. A (10) függvény segítségével explicit kifejezéseket írunk a részecske sebességének és gyorsulásának időfüggőségére

és behelyettesítjük a (8) egyenletbe:

Írjuk át ezt a kifejezést így

Ahhoz, hogy a (13) egyenlőség bármikor fennálljon, szükséges, hogy a koszinuszban és a szinuszban lévő együtthatók nullával egyenlőek legyenek. E feltétel alapján két lineáris egyenletet kapunk a (10) függvény paramétereinek meghatározására:

Ennek az egyenletrendszernek a megoldásának megvan a formája

A (10) képlet alapján meghatározzuk a kényszerrezgések jellemzőit: az amplitúdót

fázis késés

Alacsony csillapításnál ez a függőség éles maximummal rendelkezik, amikor a hajtóerő frekvenciája megközelíti ω a rendszer természetes frekvenciájára ω o. Így ebben az esetben is előfordulhat rezonancia, ezért a konstruált függéseket gyakran nevezik rezonanciagörbének. A gyenge csillapítás figyelembevétele azt mutatja, hogy az amplitúdó nem növekszik a végtelenségig, maximális értéke a csillapítási együtthatótól függ - az utóbbi növekedésével a maximális amplitúdó gyorsan csökken. Az oszcillációs amplitúdó ebből eredő függése a hajtóerő frekvenciájától (16) túl sok független paramétert tartalmaz ( f o , ω o , γ ) a rezonanciagörbe teljes családjának megalkotása érdekében. Mint sok esetben, ez a függőség jelentősen leegyszerűsíthető a "dimenzió nélküli" változókra való áttéréssel. Alakítsuk át a (16) képletet a következő alakra

és jelöljük

− relatív frekvencia (a hajtóerő frekvenciájának és a rendszerrezgések sajátfrekvenciájának aránya);

− relatív amplitúdó (az oszcillációk amplitúdójának és az eltérés nagyságának aránya A o = f/ω o 2 nulla frekvencián);

egy dimenzió nélküli paraméter, amely meghatározza a csillapítás mértékét. Ezekkel a jelölésekkel a (16) függvény nagymértékben leegyszerűsödik

mivel csak egy paramétert tartalmaz − δ . A (16 b) függvénnyel leírt egyparaméteres rezonanciagörbe-család összeállítható, különösen egyszerűen számítógép segítségével. Egy ilyen konstrukció eredménye az ábrán látható. 629.

rizs. 6.11

Megjegyzendő, hogy a „szokásos” mértékegységekre való áttérés a koordinátatengelyek léptékének elemi megváltoztatásával valósítható meg. Megjegyzendő, hogy a hajtóerő frekvenciája, amelynél a kényszerrezgések amplitúdója maximális, a csillapítási együtthatótól is függ, ez utóbbi növekedésével enyhén csökken. Végül hangsúlyozzuk, hogy a csillapítási együttható növekedése a rezonanciagörbe szélességének jelentős növekedéséhez vezet. A pont rezgései és a hajtóerő közötti fáziseltolódás az oszcillációk gyakoriságától és csillapítási együtthatójától is függ. Ennek a fáziseltolódásnak a szerepével részletesebben megismerkedünk, amikor megvizsgáljuk az energia átalakulását a kényszerrezgések folyamatában.

a szabad csillapítatlan rezgések frekvenciája egybeesik a sajátfrekvenciával, a csillapított rezgések frekvenciája valamivel kisebb, mint a saját frekvencia, és a kényszerrezgések frekvenciája a hajtóerő frekvenciájával esik egybe, és nem a saját frekvenciával.

Kényszerített elektromágneses rezgések

kénytelen olyan rezgéseknek nevezzük, amelyek az oszcillációs rendszerben külső periodikus hatás hatására lépnek fel.

6.12. ábra. Áramkör kényszerített elektromos rezgésekkel

Tekintsük az elektromos rezgőkörben végbemenő folyamatokat ( ábra.6.12) külső forráshoz csatlakozik, amelynek EMF-je a harmonikus törvénytől függően változik

,

ahol  m a külső EMF amplitúdója,

 az EMF ciklikus frekvenciája.

Jelölje U C feszültség a kondenzátoron, és én - áramerősség az áramkörben. Ebben az áramkörben a változó EMF mellett  (t) továbbra is érvényes EMF önindukció  L az induktorban.

Az önindukció EMF egyenesen arányos az áramerősség változásának sebességével az áramkörben

.

A kimenethez kényszerrezgések differenciálegyenlete egy ilyen áramkörben keletkező, a második Kirchhoff-szabályt használjuk

.

Ellenállási feszültség R megtalálni Ohm törvénye alapján

.

Az elektromos áram erőssége megegyezik a vezető keresztmetszetén egységnyi idő alatt átfolyó töltéssel

.

Következésképpen

.

Feszültség U C a kondenzátoron egyenesen arányos a kondenzátorlapok töltésével

.

Az önindukció EMF-je a töltés időbeli második deriváltján keresztül ábrázolható

.

A feszültségek és az emf-ek behelyettesítése Kirchhoff második szabályába

.

Ennek a kifejezésnek mindkét oldalát elosztva ezzel Lés a tagokat a derivált sorrendjének csökkenésének mértéke szerint elosztva egy másodrendű differenciálegyenletet kapunk

.

Vezessük be a következő jelölést és kapjuk meg

a csillapítási együttható,

az áramkör természetes rezgésének ciklikus frekvenciája.

. (1)

Az (1) egyenlet az heterogén másodrendű lineáris differenciálegyenlet. Az ilyen típusú egyenletek az oszcillációs rendszerek széles osztályának (elektromos, mechanikus) viselkedését írják le külső periodikus hatás (külső EMF vagy külső erő) hatására.

Az (1) egyenlet általános megoldása az általános megoldás összege q 1 homogén differenciálegyenlet (2)

(2)

és bármilyen konkrét megoldás q 2 heterogén egyenletek (1)

.

Egyfajta általános megoldás homogén a (2) egyenlet a csillapítási együttható értékétől függ  . Gyenge csillapítás esetére vagyunk kíváncsiak  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

ahol BÉs  A 0 a kezdeti feltételek által adott állandók.

A (3) megoldás az áramkör csillapított rezgéseit írja le. A (3)-ban szereplő értékek:

a csillapított rezgések ciklikus frekvenciája;

a csillapított rezgések amplitúdója;

a csillapított rezgések fázisa.

Az (1) egyenlet egy adott megoldását keressük a frekvenciával megegyező frekvenciájú harmonikus rezgés formájában.  külső periodikus hatás - EMF, és fáziskésés  Tőle

ahol
az erőltetett rezgések amplitúdója, amely a frekvenciától függ.

Helyettesítjük (4)-et (1)-be, és megkapjuk az azonosságot

A rezgések fázisainak összehasonlításához a trigonometrikus redukciós képleteket használjuk

.

Ekkor az egyenletünket átírjuk a formába

A kapott azonosság bal oldali fluktuációit ábrázoljuk a formán vektor diagram (rizs.6.13)..

A harmadik tag, amely a kapacitás ingadozásának felel meg TÓL TŐL, amelynek van egy fázisa (  t –  ) és amplitúdója
, egy jobbra irányított vízszintes vektort jelent.

6.13. ábra. vektor diagram

A bal oldal első tagja, amely az induktivitás oszcillációinak felel meg L, a vektordiagramon egy vízszintesen balra irányított vektorral ábrázoljuk (amplitúdója
).

A második tag, amely az ellenállás rezgésének felel meg R, egy függőlegesen felfelé irányuló vektort jelent (amplitúdója
), mert fázisa /2-vel elmarad az első tag fázisától.

Mivel az egyenlőségjeltől balra lévő három rezgés összege harmonikus rezgést ad
, akkor a diagramon lévő vektorösszeg (téglalap átló) egy amplitúdójú rezgést ábrázol és fázis  t, amely be van kapcsolva  megelőzve a harmadik tag oszcillációinak fázisát.

Egy derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel segítségével megtalálhatja az amplitúdót A( )

(5)

És tg mint az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya.

. (6)

Következésképpen a (4) megoldás az (5) és (6) figyelembe vételével a formát ölti

. (7)

Differenciálegyenlet általános megoldása(1) az összeg q 1 és q 2

. (8)

A (8) képlet azt mutatja, hogy amikor periodikus külső EMF-et alkalmazunk az áramkörre, abban két frekvenciájú rezgések keletkeznek, pl. csillapítatlan rezgések a külső EMF frekvenciájával  és csillapított rezgések frekvenciával
. A csillapított rezgések amplitúdója
idővel elhanyagolhatóvá válik, és csak kényszerrezgések maradnak az áramkörben, amelyek amplitúdója nem függ az időtől. Következésképpen az állandó kényszerű rezgéseket a (4) függvény írja le. Azaz kényszerített harmonikus rezgések lépnek fel az áramkörben, amelynek frekvenciája megegyezik a külső hatás frekvenciájával és amplitúdójával
, ettől a frekvenciától függően ( rizs. 3de) törvény (5) szerint. Ebben az esetben a kényszerrezgés fázisa lemarad  a kényszertől.

Differenciálva a (4) kifejezést az idő függvényében, megtaláljuk az áramerősséget az áramkörben

ahol
az áramerősség amplitúdója.

Ezt a kifejezést az áramerősségre írjuk a formába

, (9)

ahol
–fáziseltolódás az áram és a külső emf között.

A (6) és rizs. 2

. (10)

Ebből a képletből az következik, hogy az áram és a külső emf közötti fáziseltolódás állandó ellenállás mellett függ R, a hajtó EMF frekvenciájának arányából  és az áramkör sajátfrekvenciája  0 .

Ha  <  0 , akkor az áram és a külső EMF közötti fáziseltolás  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Ha  >  0, akkor  > 0. Az áramingadozások szöggel elmaradnak az EMF fázisingadozásai mögött  .

Ha  =  0 (rezonancia frekvencia), azután  \u003d 0, azaz az áramerősség és az EMF ugyanabban a fázisban rezeg.

Rezonancia- ez a rezgések amplitúdójának éles növekedésének jelensége, amikor a külső, hajtóerő frekvenciája egybeesik az oszcillációs rendszer természetes frekvenciájával.

A rezonanciánál  =  0 és az oszcillációs periódus

.

Figyelembe véve, hogy a csillapítási együttható

,

a rezonancia minőségi tényezőjének kifejezéseit kapjuk T = T 0

,

másrészről

.

A rezonancia induktivitásának és kapacitásának feszültségamplitúdója az áramkör minőségi tényezőjével fejezhető ki

, (15)

. (16)

A (15)-ből és (16)-ból látható, hogy at  =  0, a kondenzátoron lévő feszültség amplitúdója és az induktivitás K a külső emf amplitúdójának szorzata. Ez egy sorozat tulajdonsága RLC hurok egy bizonyos frekvenciájú rádiójel elkülönítésére szolgál
a rádiófrekvenciák spektrumából a rádióvevő átalakítása során.

A gyakorlatról RLC az áramkörök más áramkörökhöz, mérőműszerekhez vagy erősítő eszközökhöz csatlakoznak, további csillapítást hozva a RLCáramkör. Ezért a minőségi tényező valós értéke a betöltött RLCáramkör alacsonyabbnak bizonyul, mint a képlettel becsült minőségi tényező

.

A minőségi tényező valós értéke a következőképpen becsülhető meg

6.14. ábra. A minőségi tényező meghatározása a rezonanciagörbéből

,

ahol  f az a sávszélesség, amelyben az amplitúdó a maximális érték 0,7-e ( rizs. 4).

Kondenzátor feszültség U C, aktív ellenálláson U Rés az induktoron U L maximumot ér el a különböző frekvenciákon, ill

,
,
.

Ha kicsi a csillapítás  0 >>  , akkor ezek a frekvenciák gyakorlatilag egybeesnek, és feltételezhetjük, hogy

.

A kényszerrezgések azok, amelyek egy oszcillációs rendszerben külső, periodikusan változó erő hatására lépnek fel. Ez az erő általában kettős szerepet tölt be: először is megrázza a rendszert, és bizonyos mennyiségű energiát ad neki; másodszor, időszakonként pótolja az energiaveszteséget (energiafogyasztást), hogy leküzdje az ellenállási és súrlódási erőket.

Hagyja, hogy a hajtóerő idővel változzon a törvény szerint:

Állítsunk össze egy mozgásegyenletet egy ilyen erő hatására rezgő rendszerre. Feltételezzük, hogy a rendszerre hatással van a kvázi rugalmas erő és a közeg húzóereje is (ami kis rezgések feltételezése esetén érvényes). Ekkor a rendszer mozgásegyenlete így fog kinézni:

Behelyettesítés után - a rendszer rezgésének sajátfrekvenciája, akkor egy nem homogén, 2. rendű lineáris differenciálegyenletet kapunk:

A differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy az általános megoldás nem homogén egyenlet egyenlő a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának összegével.

A homogén egyenlet általános megoldása ismert:

Vektordiagram segítségével megbizonyosodhat arról, hogy ez a feltevés igaz, valamint meghatározhatja az „a” és a „j” értékeit.

Az oszcilláció amplitúdóját a következő kifejezés határozza meg:

A „j” értéke, amely a kényszerrezgés fáziskésésének nagysága az azt okozó hajtóerőtől, szintén a vektordiagramból van meghatározva, és ez:

Végül az inhomogén egyenlet egy adott megoldása a következő formában lesz:

Ez a függvény összegezve adja az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását, amely leírja a rendszer viselkedését kényszerrezgések során. A (2) kifejezés a folyamat kezdeti szakaszában, az ún. rezgések felállítása során játszik jelentős szerepet (1. ábra). Idővel az exponenciális tényező miatt a második tag szerepe (2) egyre inkább csökken, és kellő idő elteltével elhanyagolható, csak az (1) tagot tartva a megoldásban.

1. ábra.

Így az (1) függvény az állandó, kényszerített rezgéseket írja le. Ezek harmonikus rezgések, amelyek frekvenciája megegyezik a hajtóerő frekvenciájával. A kényszerrezgések amplitúdója arányos a hajtóerő amplitúdójával. Adott oszcillációs rendszer esetén (w 0 és b) az amplitúdó a hajtóerő frekvenciájától függ. Az erőltetett rezgések fázisban elmaradnak a hajtóerőtől, és a "j" késés mértéke a hajtóerő frekvenciájától is függ. Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fizika tanfolyam: oktatóanyag egyetemek számára. - 4. kiadás, Rev. - M.: Feljebb. iskola, 2012. - 428 p.

A kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciájától való függése oda vezet, hogy egy adott rendszerre meghatározott frekvencián az oszcillációs amplitúdó eléri a maximális érték. Az oszcillációs rendszer ezen a frekvencián különösen érzékeny a hajtóerő hatására. Ezt a jelenséget rezonanciának, a megfelelő frekvenciát pedig rezonanciafrekvenciának nevezik.

Számos esetben egy oszcilláló rendszer rezeg egy külső erő hatására, amelynek munkája időszakonként kompenzálja a súrlódás és egyéb ellenállások miatti energiaveszteséget. Az ilyen rezgések gyakorisága nem magának az oszcilláló rendszernek a tulajdonságaitól függ, hanem a periódusos erő változásának gyakoriságától, amelynek hatására a rendszer rezgéseit kifejti. Ebben az esetben kényszerrezgésekkel van dolgunk, vagyis olyan rezgésekkel, amelyeket külső erők hatására rendszerünkre kényszerítenek.

A zavaró erők, következésképpen a kényszeringadozások forrásai igen változatosak.

Maradjunk a természetben és a technikában fellépő zavaró erők természeténél. Mint már említettük, elektromos gépek, gőz- vagy gázturbinák, gyorsan forgó lendkerekek stb. a forgó tömegek kiegyensúlyozatlansága miatt a forgórészek kilengését, az épületek alapjainak padlózatát stb. A dugattyús gépek, amelyek magukban foglalják a belső égésű motorokat és a gőzgépeket is, egyes alkatrészek (például egy dugattyú), kipufogógázok vagy gőz folyamatos oda-vissza mozgása miatt időszakos zavaró erők forrásai.

Általában a zavaró erők a gép fordulatszámának növekedésével nőnek, így a nagy sebességű gépeknél rendkívül fontossá válik a rezgések elleni küzdelem. Ezt gyakran egy speciális rugalmas alap létrehozásával vagy a gép rugalmas felfüggesztő szerkezetével végzik. Ha a gépet mereven rögzítik az alapra, akkor a gépre ható zavaró erők szinte teljesen átkerülnek az alapra, majd a talajon keresztül tovább az épületbe, amelybe a gép be van szerelve, valamint a közeli szerkezetekre.

A kiegyensúlyozatlan erők alapra gyakorolt ​​hatásának csökkentése érdekében szükséges, hogy a gép természetes rezgési frekvenciája a rugalmas alapon (párnán) lényegesen kisebb legyen, mint a zavaró erők frekvenciája, amelyet a gép fordulatszáma határoz meg. gép.

A hajó kényszerlengésének, a hajók dőlésszögének oka olyan hullám, amely időszakosan fut egy úszó hajón. A vízhullámok hatására a hajó egészének gördülése mellett a hajótest egyes részeinek kényszerrezgését (rezgését) is megfigyelik. Az ilyen rezgések oka a hajó főmotorjának, amely a légcsavart forgatja, valamint a segédmechanizmusok (szivattyúk, dinamók stb.) kiegyensúlyozatlansága. A hajószerkezetek működése során kiegyensúlyozatlan tömegű tehetetlenségi erők lépnek fel, amelyek ismétlési gyakorisága a gép fordulatszámától függ. Ezen túlmenően, a hajó kényszerrezgéseit okozhatja a légcsavarlapátok időszakos becsapódása a hajótestre. Sommerfeld A., Mechanika. Ї Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", 2001. Ї168 p.

A híd kényszerrezgéseit okozhatja, ha egy embercsoport lépésben halad rajta. A vasúti híd oszcillációi az elhaladó gőzmozdony hajtókerekeit összekötő ikrek hatására léphetnek fel. A gördülőállomány (villamos mozdony, gőzmozdony vagy dízelmozdony és kocsik) kényszeringadozását okozó okok közé tartozik a kerekek időszakosan ismétlődő ütközései a vasúti csomópontokkal. Az autók kényszerrezgéseit a kerekek ismétlődő ütközései okozzák az útfelület egyenetlenségein. A felvonók és a bányák emelőállványai kényszerrezgései az emelőgép egyenetlen működése, a köteleket feltekercselt dobok szabálytalan alakja miatt stb. A tápvezetékek kényszerrezgéseit okozza, magas épületek, az árbocok és a kémények ki vannak téve a széllökéseknek.

Különösen érdekesek a repülőgépek kényszerrezgései, amelyeket különféle okok okozhatnak. Itt mindenekelőtt a légcsavarcsoport működéséből adódó rezgéseket kell szem előtt tartani. A forgattyús mechanizmus, a járó motorok és a forgó légcsavarok kiegyensúlyozatlansága miatt időszakos lökések lépnek fel, amelyek támogatják az erőltetett rezgéseket.

A fentebb tárgyalt külső periodikus erők hatása által okozott kilengések mellett eltérő jellegű külső hatások is megfigyelhetők a repülőgépeken. Különösen a repülőgép elejének rossz áramvonalasságával kapcsolatos rezgések. A szárnyon lévő felépítmények körüli rossz áramlás vagy a szárny egyenetlen kapcsolata a repülőgép törzsével (testtel) örvényképződményekhez vezet. A légörvények, amelyek elszakadnak, lüktető áramlást hoznak létre, amely eléri a farok egységet, és megremeg. A repülőgép ilyen rázkódása bizonyos repülési körülmények között fordul elő, és ütések formájában nyilvánul meg, amelyek nem egészen rendszeresen, 0,5-1 másodperc után fordulnak elő.

Ezt a fajta oszcillációt, amely főként a repülőgép alkatrészeinek vibrációja miatt keletkezik a repülőgép szárnya és más elülső részei körüli áramlás turbulenciája miatt, "dörzsölésnek" nevezik. A szárnyleállás okozta becsapódás jelensége különösen akkor veszélyes, ha a repülőgép farokrészét érő becsapódások periódusa közel esik a repülőgép farok vagy törzsének szabad oszcillációi időszakához. Ebben az esetben a "csiszoló" oszcillációk erősen megnövekednek.

Nagyon érdekes csiszolási eseteket figyeltek meg, amikor csapatokat dobtak le egy repülőgép szárnyáról. Az emberek megjelenése a szárnyon örvényképződéshez vezetett, ami a repülőgép rezgését okozta. A kétüléses repülőgépen a tollazat csiszolásának másik esetét az okozta, hogy egy utas ült a hátsó kabinban, és a kiálló fej hozzájárult a légáramban lévő örvények kialakulásához. Utas hiányában a hátsó kabinban nem észleltek kilengést.

Fontosak a légcsavar hajlítási oszcillációi is, amelyeket aerodinamikai természetű zavaró erők okoznak. Ezek az erők abból a tényből erednek, hogy a légcsavar forgása során minden fordulatnál kétszer halad át a szárny elülső élén. A légáram sebessége a szárny közvetlen közelében és attól bizonyos távolságban eltérő, ezért a légcsavarra ható aerodinamikai erőknek a légcsavar minden fordulatára periodikusan kétszer kell változniuk. Ez a körülmény az izgalom oka keresztirányú rezgések légcsavarlapátok.

Ellentétben a szabad oszcillációkkal, amikor a rendszer csak egyszer kap (amikor a rendszert eltávolítjuk a -ból), kényszerrezgések esetén a rendszer ezt az energiát egy külső periodikus erőforrásból veszi fel folyamatosan. Ez az energia pótolja a leküzdésre fordított veszteségeket, így a teljes no változatlan marad.

A kényszer rezgések, a szabad rezgésektől eltérően, bármilyen frekvencián előfordulhatnak. egybeesik az oszcillációs rendszerre ható külső erő frekvenciájával. Így a kényszerrezgések gyakoriságát nem magának a rendszernek a tulajdonságai, hanem a külső hatás gyakorisága határozza meg.

Kényszerrezgés például a gyerekhinta rezgése, a varrógép tűjének rezgése, az autómotor hengerének dugattyújának rezgése, egyenetlen úton haladó autó rugóinak rezgései stb.

Rezonancia

MEGHATÁROZÁS

Rezonancia- ez a kényszer rezgések meredek növekedésének jelensége, amikor a hajtóerő frekvenciája megközelíti az oszcillációs rendszer természetes frekvenciáját.

Rezonancia lép fel, mert külső erő, időben eljárva szabad rezgések, mindig ugyanabban az irányban van az oszcilláló testtől, és pozitív munkát végez: az oszcilláló test energiája megnő, és megnő. Ha a külső erő „nem időben” hat, akkor ez az erő felváltva végez negatív vagy pozitív munkát, és ennek eredményeként a rendszer energiája jelentéktelenül változik.

Az 1. ábra a kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciájától való függését mutatja. Látható, hogy ez az amplitúdó egy adott frekvenciaértéknél eléri a maximumot, pl. at , ahol az oszcillációs rendszer sajátfrekvenciája. Az 1. és 2. görbe a súrlódási erő nagyságában különbözik. Alacsony súrlódásnál (1. görbe) a rezonanciagörbe éles maximummal rendelkezik, nagyobb súrlódási erőnél (2. görbe) nincs ilyen éles maximum.

Gyakran találkozunk a rezonancia jelenségével Mindennapi élet. Ha az ablakok megremegtek a szobában, amikor egy nehéz teherautó elhaladt az utcán, ez azt jelenti, hogy az ablakok természetes frekvenciája megegyezik a gép frekvenciájával. Ha a tenger hullámai rezonanciában vannak a hajó időszakával, akkor a dőlésszög különösen erős lesz.

A rezonancia jelenségével olyan hidak, épületek és egyéb építmények tervezésekor kell számolni, amelyek terhelés alatt rezgést tapasztalnak, ellenkező esetben bizonyos feltételek mellett ezek a szerkezetek tönkremenhetnek. A rezonancia azonban hasznos lehet. A rezonancia jelenségét akkor használják, amikor a rádióvevőt egy bizonyos sugárzási frekvenciára hangolják, valamint sok más esetben.

Példák problémamegoldásra

1. PÉLDA

A feladat	Egy 1 kg tömegű vízszintes inga rugójának végén változó erő hat, melynek rezgési frekvenciája 16 Hz. Rezonancia figyelhető meg, ha a rugósebesség 400 N/m.
Megoldás	Határozzuk meg az oszcillációs rendszer sajátfrekvenciáját a következő képlettel: Hz Mivel a külső erő frekvenciája nem egyenlő a rendszer sajátfrekvenciájával, a rezonanciajelenség nem lesz megfigyelhető.
Válasz	A rezonancia jelenség nem figyelhető meg.

2. PÉLDA

A feladat	Az autó mennyezetétől 1 m hosszú menetre egy kis golyó van felfüggesztve. Milyen sebességnél fog a labda különösen erősen rezegni a kerekek síncsuklókra gyakorolt ​​ütközésekor? Sínhossz 12,5 m.
Megoldás	A labda kényszerrezgéseket hajt végre, amelynek gyakorisága megegyezik a kerekek síncsuklókba ütköző frekvenciájával: Ha a golyó méretei kicsik a menet hosszához képest, akkor a rendszer jöhet szóba, melynek sajátfrekvenciája: a kényszerített csillapítatlan rezgések amplitúdója rezonancia esetén maximális, azaz. amikor . Így lehet írni:

Ebben a leckében mindenki tanulmányozhatja az "Energia átalakulása közben" témát oszcilláló mozgás. csillapított rezgések. Kényszer rezgések. Ebben a leckében azt fogjuk megvizsgálni, hogy milyen energiaátalakulás megy végbe az oszcilláló mozgás során. Ennek érdekében egy fontos kísérletet végzünk vízszintes rugós ingarendszerrel. Megvitatjuk a csillapított lengésekkel és a kényszerrezgéssel kapcsolatos kérdéseket is.

A leckét az "Energia átalakítása lengő mozgás során" témának szentelték. Ezenkívül megvizsgáljuk a csillapított és kényszerített lengésekkel kapcsolatos kérdést.

Ismerjük meg ezt a kérdést a következő fontos kísérlettel. A rugóra egy test van rögzítve, amely vízszintesen oszcillálhat. Az ilyen rendszert vízszintes rugós ingának nevezik. Ebben az esetben a gravitáció hatása figyelmen kívül hagyható.

Rizs. 1. Vízszintes rugós inga

Feltételezzük, hogy a súrlódási erők rendszerében nincsenek ellenállási erők. Ha ez a rendszer egyensúlyban van, és nem történik rezgés, akkor a test sebessége 0, és a rugó nem deformálódik. Ebben az esetben ennek az ingának nincs energiája. De amint a test az egyensúlyi ponthoz képest jobbra vagy balra eltolódik, ebben az esetben az energiakommunikációt végezzük ebben az oszcillációs rendszerben. Mi történik ebben az esetben? A következő történik: a rugó deformálódik, hossza megváltozik. Potenciális energiát adunk a tavasznak. Ha most elengedi a terhelést, ne tartsa, akkor az egyensúlyi helyzet felé kezd elmozdulni, a rugó kiegyenesedni kezd, és a rugó deformációja csökken. A test sebessége növekedni fog, és az energiamegmaradás törvénye szerint a rugó potenciális energiája a test mozgásának kinetikai energiájává alakul.

Rizs. 2. Rugós inga lengési szakaszai

Deformáció A rugó ∆x értékét a következőképpen határozzuk meg: ∆x = x 0 - x. Ha figyelembe vesszük az alakváltozást, azt mondhatjuk, hogy az összes potenciális energia a rugóban tárolódik: .

A rezgések során a potenciális energia folyamatosan átalakul a rúd mozgási energiájává: .

Például amikor a rúd áthalad az x 0 egyensúlyi ponton, a rugó deformációja 0, azaz. ∆x=0, ezért a rugó potenciális energiája 0, és a rugó összes potenciális energiája a rúd mozgási energiájává alakult: E p (B pontban) \u003d E k (A pontban). Vagy .

E mozgás eredményeként a potenciális energia mozgási energiává alakul. Ekkor lép életbe az úgynevezett tehetetlenség jelensége. Egy bizonyos tömegű test tehetetlensége révén áthalad az egyensúlyi ponton. A test sebessége csökkenni kezd, és a deformáció, a rugó megnyúlása nő. Arra lehet következtetni kinetikus energia a test csökken, és a rugó potenciális energiája ismét növekedni kezd. Beszélhetünk a mozgási energia potenciállá átalakulásáról.

Amikor a test végül megáll, a test sebessége 0 lesz, és a rugó deformációja maximális lesz, ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a test összes mozgási energiája a rugó potenciális energiájává változott. . A jövőben minden megismétlődik az elejétől. Ha egy feltétel teljesül, egy ilyen folyamat folyamatosan megy végbe. Mi ez a feltétel? Ez a feltétel a súrlódás hiánya. De a súrlódási erő, az ellenállási erő minden rendszerben jelen van. Ezért az inga minden további mozgásával energiaveszteség lép fel. Dolgoznak a súrlódási erő leküzdése érdekében. Súrlódási erő a Coulomb-Amonton törvényhez: F TP \u003d μ.N.

Ha már a rezgésekről beszélünk, mindig emlékeznünk kell arra, hogy a súrlódási erő ahhoz vezet, hogy fokozatosan az adott rezgésrendszerben tárolt összes energia belső energiává alakul. Ennek eredményeként az oszcillációk leállnak, és ha a rezgések leállnak, akkor az ilyen rezgéseket csillapítottnak nevezzük.

csillapított rezgések - rezgések, amelyek amplitúdója csökken annak következtében, hogy az oszcillációs rendszer energiáját az ellenállási és súrlódási erők leküzdésére fordítják.

Rizs. 3. A csillapított rezgések grafikonja

A következő típusú oszcilláció, amelyet figyelembe fogunk venni, az ún. kényszerű rezgések. Kényszer rezgések Olyan rezgéseknek nevezzük, amelyek egy adott rezgőrendszerre ható periodikus, külső erő hatására lépnek fel.

Ha az inga oszcillál, akkor ahhoz, hogy ezek az oszcillációk ne álljanak le, minden alkalommal külső erőnek kell hatnia az ingára. Például saját kezünkkel az ingára ​​hatunk, mozgatjuk, toljuk. Feltétlenül szükséges némi erővel fellépni, és pótolni az energiaveszteséget. Tehát a kényszerrezgések azok a rezgések, amelyek külső hajtóerő hatására lépnek fel. Az ilyen rezgések gyakorisága egybeesik a külső ható erő frekvenciájával. Amikor külső erő kezd hatni az ingára, a következő történik: eleinte a rezgések kicsi amplitúdójúak lesznek, de fokozatosan ez az amplitúdó növekszik. És amikor az amplitúdó állandó értéket kap, akkor az oszcillációs frekvencia is állandó értéket kap, azt mondják, hogy ilyen rezgéseket állapítottak meg. Kényszer rezgések jöttek létre.

alapított kényszerű rezgések pont a külső hajtóerő munkája miatti energiaveszteséget pótolni.

Rezonancia

Van egy nagyon fontos jelenség, amely meglehetősen gyakran megfigyelhető a természetben és a technikában. Ezt a jelenséget rezonanciának nevezik. A „rezonancia” latin szó, és oroszra „válasz”-nak fordítják. Rezonancia (a lat.resono - „válaszolok”) - a rendszer kényszerrezgésének amplitúdójának növekedésének jelensége, amely akkor következik be, amikor az erő külső hatásának frekvenciája megközelíti az inga vagy ennek a rezgőrendszernek a természetes rezgésének frekvenciáját .

Ha van egy inga, amelynek saját hossza, tömege vagy rugómerevsége van, akkor ennek az ingának megvannak a saját rezgései, amelyeket a frekvencia jellemez. Ha egy külső hajtóerő kezd hatni erre az ingára, és ennek az erőnek a frekvenciája kezd megközelíteni az inga sajátfrekvenciáját (egybeesik vele), akkor az oszcillációs amplitúdó élesen megnövekszik. Ez a rezonancia jelensége.

Egy ilyen jelenség következtében az oszcillációk olyan nagyok lehetnek, hogy a test, maga az oszcillációs rendszer összeomlik. Ismert eset, amikor a hídon átsétáló katonák sora egy ilyen jelenség következtében egyszerűen lerombolta a hidat. Egy másik eset, amikor a légtömegek mozgása, kellően erős széllökések következtében összeomlott egy híd az Egyesült Államokban. Ez is a rezonancia jelensége. A híd oszcillációi, saját rezgéseik egybeestek a széllökések gyakoriságával, a külső hajtóerővel. Emiatt az amplitúdó annyira megnőtt, hogy a híd összeomlott.

Ezt a jelenséget igyekeznek figyelembe venni a szerkezetek, mechanizmusok tervezésekor. Például, amikor egy vonat mozog, a következők fordulhatnak elő. Ha egy kocsi mozog, és ez a kocsi mozgásának ütemére inogni kezd, akkor az oszcillációk amplitúdója annyira megnőhet, hogy a kocsi kisiklhat. Összeomlás lesz. Ennek a jelenségnek a jellemzésére görbéket használnak, amelyeket rezonánsnak neveznek.

Rizs. 4. Rezonanciagörbe. Görbe csúcs - maximális amplitúdó

Természetesen a rezonanciát nem csak harcolni kell, hanem felhasználni is. Leginkább az akusztikában használják. Ahol van nézőtér, színházterem, koncertterem, ott számolnunk kell a rezonancia jelenségével.

A további irodalom listája:

Ismered a rezonanciát? // Quantum. - 2003. - 1. sz. - P. 32-33 Fizika: Mechanika. 10. évfolyam: Proc. a fizika elmélyült tanulmányozására / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky és mások; Szerk. G.Ya. Myakishev. - M.: Túzok, 2002. Alapfokú fizika tankönyv. Szerk. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974