Ha f (x, t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0), akkor ezt az egyenletet nevezzük homogén, másképp - heterogén.

A peremfeltételek típusától függően a hőegyenlet problémái három típusra oszthatók. Tekintsük az általános esetet ( α i 2 + β i 2 ≠ 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1,\;2))).

Ha α i = 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)), akkor ezt a feltételt nevezzük az első típusú állapot, ha β i = 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2)) - második fajta, és ha α i (\displaystyle \alpha _(i))És β i (\displaystyle \beta _(i)) nullától eltérőek, akkor a feltétel harmadik fajta. Innen kapunk feladatokat a hőegyenlethez - az első, második és harmadik határ.

Maximális elv

Legyen egy függvény a térben D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)), kielégíti a homogén hővezetési egyenletet ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0), és D (\displaystyle D)- tiltott terület. A maximum elv kimondja, hogy a függvény u (x, t) (\displaystyle u(x,\;t)) szélsőséges értékeket vehet fel akár a kezdeti időpontban, akár a régió határán D (\displaystyle D).

Megjegyzések

A rúdban történő hőterjedés matematikai modelljének megalkotásakor a következő feltételezéseket tesszük:

1) a rúd sűrűségű homogén vezető anyagból készül ρ ;

2) a rúd oldalfelülete hőszigetelt, vagyis a hő csak a tengely mentén terjedhet Ó;

3) a rúd vékony - ez azt jelenti, hogy a hőmérséklet a rúd bármely keresztmetszetének minden pontján azonos.

Tekintsük a rúd egy részét a szegmensen [ x, x + ∆x] (lásd a 6. ábrát) és használja a hőmennyiség megmaradásának törvénye:

A teljes hőmennyiség a szegmensben [ x, x + ∆x] = a határokon áthaladó teljes hőmennyiség + a belső források által termelt teljes hőmennyiség.

Az a teljes hőmennyiség, amelyet a rúd egy szakaszára át kell adni annak érdekében, hogy a hőmérsékletet megemelje ∆U, a következő képlettel számítjuk ki: ∆Q=CρS∆x∆U, ahol TÓL TŐL- az anyag fajlagos hőkapacitása (= az a hőmennyiség, amelyet az anyag 1 kg-jára jelenteni kell ahhoz, hogy a hőmérséklete 1 °C-kal emelkedjen), S- keresztmetszeti terület.

A rúdszakasz bal végén áthaladó hőmennyiség az idő alatt ∆t(hőáramot) a következő képlettel számítjuk ki: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, ahol k- az anyag hővezető képességének együtthatója (= az egységnyi hosszúságú és egységnyi keresztmetszeti területű rúdon másodpercenként átáramló hőmennyiség, amelynek ellentétes végein 1 °-os hőmérséklet-különbség van). Ebben a képletben a mínusz jel különleges magyarázatot igényel. Az a tény, hogy az áramlás akkor tekinthető pozitívnak, ha a növekedés irányába irányul. x, ez pedig azt jelenti, hogy a ponttól balra x a hőmérséklet magasabb, mint a jobb oldalon, vagyis U x< 0 . Ezért annak érdekében Q1 pozitív volt, mínusz jel van a képletben.

Hasonlóképpen a rúdszakasz jobb oldalán áthaladó hőáramlást a következő képlettel számítjuk ki: Q 2 \u003d -kSU x (x +∆x,t)∆t.

Ha feltételezzük, hogy a rúdban nincsenek belső hőforrások, és a hőmegmaradás törvényét alkalmazzuk, akkor a következőt kapjuk:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Ha ezt az egyenlőséget elosztjuk S∆x∆tés törekedj ∆хÉs ∆t nullához a következők lesznek:

Innentől a hővezetési egyenlet alakja

U t \u003d a 2 U xx,

ahol a termikus diffúzió együtthatója.

Abban az esetben, ha a rúd belsejében hőforrások vannak, folyamatosan sűrűn elosztva q(x,t), inhomogén hővezetési egyenletet kapunk

U t = a 2 U xx + f(x,t),
ahol .

Kiindulási feltételek és peremfeltételek.

Csak a hőegyenlethez egy kezdeti feltétel U| t=0 = φ(x)(vagy egy másik bejegyzésben U(x,0) = φ(x)) és fizikailag azt jelenti, hogy a rúd kezdeti hőmérséklet-eloszlása ​​alakja φ(x). Síkbeli vagy térbeli hővezetési egyenletek esetén a kezdeti feltétel ugyanaz, csak a függvény φ két vagy három változótól függ.

A peremfeltételek a hőegyenlet esetében ugyanolyan alakúak, mint a hullámegyenletnél, de fizikai jelentésük már más. Feltételek első fajta (5) azt jelenti, hogy a hőmérséklet a rúd végein van beállítva. Ha nem változik az idő múlásával, akkor g 1 (t) ≡ T 1És g 2 (t) ≡ T 2, ahol T 1És T 2- állandó. Ha a végeket állandóan nulla hőmérsékleten tartják, akkor T 1 \u003d T 2 = 0és a feltételek ugyanazok lesznek. Határviszonyok második fajta (6) határozza meg a hőáramot a rúd végein. Különösen, ha g 1 (t) = g 2 (t) = 0, akkor a feltételek egységessé válnak. Fizikailag azt jelentik, hogy a hőcsere a külső környezettel nem a végeken keresztül történik (ezeket a feltételeket a végek hőszigetelésének feltételeinek is nevezik). Végül a peremfeltételek harmadik fajta (7) megfelel annak az esetnek, amikor a Newton-törvény szerint a rúd végein keresztül megy végbe a hőcsere a környezettel (emlékezzünk arra, hogy a hőegyenlet levezetésénél az oldalfelületet hőszigeteltnek tekintettük). Igaz, a hőegyenlet esetében a (7) feltételek egy kicsit másképp vannak felírva:

A környezettel való hőcsere fizikai törvénye (Newton törvénye) az, hogy az egységnyi felületen egységnyi idő alatt áthaladó hőáram arányos a test és a környezet hőmérséklet-különbségével. Így a rúd bal végére egyenlő Itt h1 > 0- a környezettel való hőcsere együtthatója, g 1 (t)- környezeti hőmérséklet a bal oldalon. A mínusz jel ugyanazon okból kerül be a képletbe, mint a hőegyenlet levezetésekor. Másrészt az anyag hővezető képessége miatt az ugyanazon a végén áthaladó hőáram egyenlő.A hőmennyiség megmaradásának törvényét alkalmazva kapjuk:

Hasonlóképpen a (14) feltételt a rúd jobb végén kapjuk, csak az állandót λ2 eltérő lehet, mivel általánosságban elmondható, hogy a bal és a jobb oldali végeket körülvevő környezet eltérő.

A peremfeltételek (14) általánosabbak, mint az első és a második típusú feltételek. Ha feltételezzük, hogy egyik végén sem történik hőcsere a közeggel (vagyis a hőátbocsátási tényező nulla), akkor a második típusú feltételt kapjuk. Egy másik esetben tegyük fel, hogy például a hőátbocsátási tényező h1, nagyon nagy.

Írjuk át a (14) feltételt a -ra x = 0 mint és törekedjünk. Ennek eredményeként az első típusú feltétellel rendelkezünk:

A peremfeltételeket hasonlóan fogalmazzák meg nagyobb számú változóra. A sík lemezben a hőterjedés problémája esetén a feltétel azt jelenti, hogy a szélein a hőmérsékletet nullán tartják. Ugyanígy a feltételek külsőleg nagyon hasonlóak, de az első esetben ez azt jelenti, hogy egy sík lemezről van szó, és a szélei hőszigeteltek, a második esetben pedig azt, hogy a testben a hőterjedés problémáját veszik figyelembe. felülete pedig hőszigetelt.

A hőegyenlet első kezdeti határérték-feladatának megoldása.

Tekintsük a hőegyenlet homogén első kezdeti határérték-problémáját:

Keress megoldást az egyenletre

U t = U xx , 0 0,

a peremfeltételek kielégítése

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

és a kezdeti állapot

Oldjuk meg ezt a problémát Fourier-módszerrel.

1. lépés. A (15) egyenletre a formában fogunk megoldásokat keresni U(x,t) = X(x)T(t).

Keressük a parciális deriváltokat:

Helyettesítse ezeket a származékokat az egyenletbe, és válassza el a változókat:

A fő lemma szerint azt kapjuk

ez azt jelenti

Most már megoldhatja ezeket a közönséges differenciálegyenleteket. Figyeljünk arra, hogy a (16) peremfeltételek felhasználásával nem a b) egyenlet általános megoldását, hanem a megfelelő peremfeltételeket kielégítő konkrét megoldásokat lehet keresni:

2. lépés Oldjuk meg a Sturm-Liouville problémát

Ez a probléma egybeesik az itt tárgyalt Sturm-Liouville problémával előadások 3. Emlékezzünk vissza, hogy ennek a problémának a sajátértékei és sajátfüggvényei csak a számára léteznek λ>0.

A sajátértékek a következők

A sajátfüggvények azok (Lásd a probléma megoldását)

ANALITIKAI MÓDSZEREK A HŐVEZETÉSI EGYENLET MEGOLDÁSÁRA

Jelenleg nagyon sok egydimenziós hővezetési problémát sikerült analitikusan megoldani.

A.V.Lykov például négy módszert vesz figyelembe a hőegyenlet megoldására egy egydimenziós feladatban: a változók szétválasztásának módszerét, a források módszerét, a műveleti módszert, a véges integrál transzformációk módszerét.

A jövőben csak az első módszerre fogunk összpontosítani, amely a legnagyobb elterjedtségben részesült.

A változók szétválasztásának módja a hőegyenlet megoldásában

A hővezetés differenciálegyenlete egydimenziós probléma körülményei között és hőforrások nélkül a következő formában:

T /? f \u003d a? 2 t/?x 2 .(3.1)

Ez az egyenlet egy homogén differenciálegyenlet speciális esete, állandó együtthatókkal két x és φ változó valamelyik t függvényére:

Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek az egyenletnek egy adott megoldása a kifejezés

t = C exp (bx + cf).(3.3)

Igazán:

• t/ax = bC exp (bx + wf), t/aph = sc exp (bx + wf);
• ? 2 t /? x 2 \u003d b 2 C exp (bx + wf);
• ? 2 t /? f 2 \u003d 2 C exp (bx + wf);? 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + wf).(3.4)

Az utolsó hét egyenlet együttes megoldása azt adja

a 1 b 2 + b 1 bc + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0. (3.5)

Az utolsó egyenletet együttható egyenletnek nevezzük.

Áttérve a (3.1) egyenletre és összehasonlítva azt a (3.2) egyenlettel, arra a következtetésre jutunk, hogy

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0; a 1 = - a; l 1 = 1. (3.6)

Az együtthatók (3.5) egyenlete a (3.1) egyenlet adott esetére a következő alakot ölti:

B 2 a + c = 0 (3,7)

c = b 2 a.(3.8)

Így az adott megoldás (3.3) a (3.1) differenciálegyenlet integrálja, és a (3.8) figyelembevételével a következő alakot ölti

t = C exp (b 2 aph + bx). (3.9)

Ebben az egyenletben beállíthatja a számok tetszőleges értékét C, b, a számára.

A (3.9) kifejezés szorzatként ábrázolható

t = C exp (b 2 aph) exp (bx), (3,10)

ahol az exp (b 2 aph) tényező csak a φ idő függvénye, az exp (bx) pedig csak az x távolság függvénye:

exp (b 2 aph) \u003d f (f); exp (bx) \u003d q (x). (3.11)

A φ idő növekedésével a hőmérséklet minden ponton folyamatosan növekszik, és magasabb lehet az előre meghatározottnál, ami gyakorlati problémáknál nem fordul elő. Ezért általában csak olyan 6-os értékeket veszünk, amelyekre a 6 2 negatív, ami akkor lehetséges, ha a 6 pusztán képzeletbeli. Elfogad

b = ± iq,(3,12)

ahol q egy tetszőleges valós szám (korábban q a fajlagos hőáramot jelentette),

Ebben az esetben a (3.10) egyenlet a következő formában jelenik meg:

t \u003d C exp (- q 2 aph) exp (± iqx). (3.13)

A jól ismert Euler-képletre hivatkozva

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3,14)

és ennek felhasználásával transzformáljuk a (3.13) egyenletet. Két megoldást kapunk komplex formában:

Összeadjuk a (3.15) egyenletek bal és jobb oldali részét, majd az összeg bal és jobb részében elválasztjuk a valós részeket a képzeletbeli részektől, és egyenlítjük őket. Ekkor két megoldást kapunk:

Bemutatjuk a jelölést:

(C 1 + C 2)/2 = D; (C 1 - C 2)/2 = C(3,17)

akkor két megoldást kapunk, amelyek kielégítik a (3.1) hőkülönbözeti egyenletet:

t 1 \u003d D exp (- q 2 af) cos (qx); t 2 \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx). (3.18)

Ismeretes, hogy ha a kívánt függvénynek két konkrét megoldása van, akkor ezeknek a konkrét megoldásoknak az összege is kielégíti az eredeti (3.1) differenciálegyenletet, azaz ennek az egyenletnek a megoldása

t \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx) + D exp (- q 2 af) cos (qx), (3.19)

és az ezt az egyenletet kielégítő általános megoldás a következő formában írható fel:

Bármely q m , q n , C i , D i értéke a (3.20) egyenletben kielégíti a (3.1) egyenletet. Ezen értékek megválasztásának specifikációját az egyes gyakorlati problémák kezdeti és peremfeltételei határozzák meg, a qm és qn értékeit pedig a peremfeltételekből, a C i és D i értékeket pedig a peremfeltételek határozzák meg. a kezdetieket.

A (3.20) hőegyenlet általános megoldása mellett, amelyben két függvény szorzata játszódik le, amelyek közül az egyik függ x-től, a másik pedig φ-től, vannak olyan megoldások is, amelyekben ilyen szétválasztás nem lehetséges, pl.

Mindkét megoldás kielégíti a hőegyenletet, amelyet könnyű ellenőrizni úgy, hogy először φ-re, majd kétszer x-re differenciáljuk, és az eredményt behelyettesítjük differenciálegyenlet (3.1).

Egy különleges példa a falban nem álló hőmérsékleti mezőre

Vegyünk egy példát a fent kapott megoldás alkalmazására.

Kezdeti adatok.

• 1. Adott egy 2X = 0,80 m vastagságú betonfal.
• 2. A falat körülvevő közeg hőmérséklete u = 0°C.
• 3. A kezdeti pillanatban a fal hőmérséklete minden pontban F(x)=1°C.
• 4. A fal hőátbocsátási tényezője b = 12,6 W / (m 2 ° C); a fal hővezetési tényezője l=0,7W/(m °C); fal anyagsűrűsége c=2000kg/m 3; fajlagos hőkapacitás c=1,13 10 3 J/(kg °C); termikus diffúziós együttható a=1,1·10 -3 m 2 /h; relatív hőátbocsátási tényező b/l = h=18,0 1/m. A kezdeti időpont után 5 órával meg kell határozni a hőmérséklet eloszlását a falban.

Megoldás. Áttérve az általános megoldásra (3.20) és szem előtt tartva, hogy a kezdeti és az azt követő hőmérséklet-eloszlás szimmetrikus a fal tengelyéhez képest, arra a következtetésre jutunk, hogy ebben az általános megoldásban a szinuszsorozat eltűnik, és x = X esetén ez lesz a forma

Az értékeket a peremfeltételek alapján határozzuk meg (itt további magyarázat nélkül), és a 3.1. táblázatban adjuk meg.

A 3.1 táblázat értékeinek birtokában a képlet segítségével megtaláljuk a kívánt értéktartományt

3.1. táblázat A (3.24) képletben szereplő függvények értékei

azaz D1 = 1,250; D2 \u003d - 0,373; D3 = 0,188; D4 \u003d - 0,109; D5 = 0,072.

A kezdeti hőmérséklet-eloszlás a vizsgált falban a következő formában lesz:

Ahhoz, hogy a számított hőmérséklet-eloszlást a kezdeti pillanat után 5 órával kapjuk meg, meg kell határozni egy értéksort az 5 óra utáni időre, ezeket a számításokat a 3.2. táblázat tartalmazza.

3.2. táblázat A (3.23) képletben szereplő függvények értékei

A falvastagság hőmérséklet-eloszlásának végső kifejezése 5 órával a kezdeti pillanat után

A 3.1. ábra a falvastagság hőmérséklet-eloszlását mutatja a kezdeti időpillanatban és 5 óra elteltével, az általános megoldás mellett itt láthatók a privátok is, római számokkal a sorozatok egymást követő tagjainak megfelelő privát görbéket jelölve (3.25 ) és (3.26).

3.1. ábra.

A gyakorlati feladatok megoldása során általában nem kell a fal minden pontján meghatározni a hőmérsékletet. Korlátozhatja magát a hőmérséklet kiszámítására csak egy pontra, például egy pontra a fal közepén. Ebben az esetben a (3.23) képlet szerinti számítási munka mennyisége jelentősen csökken.

Ha a fenti esetben a kezdeti hőmérséklet nem 1 ° C, hanem T c, akkor a (3.20) egyenlet a következőt veszi fel

A hőegyenlet megoldása különböző peremfeltételek mellett

Nem adunk következetes menetet a hőegyenlet megoldására más peremfeltételekre, amelyek gyakorlati jelentőséggel bírnak egyes problémák megoldásában. Az alábbiakban ezek feltételeinek megfogalmazására szorítkozunk a rendelkezésre álló kész megoldások bemutatásával.

Kezdeti adatok. A fal vastagsága 2X. A kezdeti pillanatban minden pontján, kivéve a felületet, a hőmérséklet Тс. A felület hőmérséklete 0°С a számítás teljes időtartama alatt.

Meg kell találni t = f(x, φ).

A mozdíthatatlan tározót a legnagyobb vízsűrűségű (Тс = 4°С) hőmérsékletű jég borította. A tározó mélysége 5 m (X = 5 m). Számítsa ki a víz hőmérsékletét a tartályban 3 hónappal a fagyás után. Az állóvíz termikus diffúziója a = 4,8 10 -4 m 2 / h. Alul, azaz x = 0-nál nincs hőáramlás.

A számítási periódus alatt (f=3·30·24=2160 h) a felület hőmérsékletét állandó értéken tartjuk és nullával egyenlő, azaz x = X T p = 0°C-on. A teljes számítást a táblázat foglalja össze. 3 és 4. Ezek a táblázatok lehetővé teszik a hőmérsékleti értékek kiszámítását a kezdeti pillanattól számított 3 hónap elteltével a fenékhez közeli mélységekben, majd 1 m után magasabban, azaz t 0 (alul) = 4°C; t 1 \u003d 4 °C; t2=3,85 °C; t3=3,30 °C; t4=2,96 °C; t 5 (pov) \u003d 0 °C.

3.3. táblázat

3.4. táblázat

Amint láthatja, az abszolút csendes vízben a hőmérsékleti zavarok nagyon lassan hatolnak be a mélységbe. Természetes körülmények között, a jégtakaró alatti víztestekben mindig megfigyelhetők az áramlatok, akár gravitációs (folyó), akár konvektív (különböző sűrűségű), vagy végül a talajvíz beáramlása miatt. E természeti adottságok sokféleségét figyelembe kell venni a gyakorlati számításoknál, és ezekre a számításokra vonatkozó ajánlások megtalálhatók a kézikönyvekben és K. I. Rossinsky munkáiban.

A test az egyik oldalon határolt (félsík). A φ = 0 időpontban a test hőmérséklete minden pontban egyenlő T c-vel. A φ > 0 idő minden pillanatában a testfelületen a T p = 0°C hőmérséklet megmarad.

Meg kell találni a hőmérséklet-eloszlást a test vastagságában és a szabad felületen keresztüli hőveszteséget az idő függvényében: t = f (x, f),

Megoldás. Hőmérséklet bárhol a testben és bármikor

hol van a Gauss integrál. Ennek függvénytől függő értékeit a 3.5. táblázat tartalmazza.

3.5. táblázat

A gyakorlatban a megoldás azzal kezdődik, hogy meghatározzuk azt az összefüggést, amelyben x és φ adott a problémafelvetésben.

Az egységnyi testfelület által a környezetnek elvesztett hő mennyiségét a Fourier-törvény határozza meg. A teljes elszámolási időszakra a kezdeti pillanattól az elszámolásig

A kezdeti pillanatban a talaj hőmérséklete a felszíntől egészen a jelentős mélységig állandó volt, és 6 °C volt. Ekkor a talajfelszín hőmérséklete 0°C-ra csökkent.

Meg kell határozni a talaj hőmérsékletét 0,5 m mélységben 48 óra elteltével a talaj termikus diffúziós együtthatójának a = 0,001 m 2 / h értékével, valamint meg kell becsülni a hőveszteség mennyiségét felszínre ez idő alatt.

A (3,29) képlet szerint talajhőmérséklet 0,5 m mélységben 48 óra elteltével t=6 0,87=5,2°C.

Az egységnyi talajfelület által elvesztett teljes hőmennyiség l = 0,35 W / (m ° C) hővezetési együtthatóval, c = 0,83 10 3 J / (kg ° C) fajlagos hőkapacitással és c = 1500 sűrűséggel kg / m 3 -et a (3.30) képlettel határozzuk meg: Q \u003d l,86 10 6 J / m 2.

integrált hővezető képességű hőtest

3.2. ábra

Az egyik oldalon (félsíkon) határolt test felületi hőmérséklete valamilyen külső hatás hatására periodikusan nulla körüli ingadozásokon megy keresztül. Feltételezzük, hogy ezek az oszcillációk harmonikusak, azaz a felület hőmérséklete koszinusz hullám mentén változik:

ahol az oszcilláció időtartama (periódus), T 0 a felületi hőmérséklet,

T 0 max -- a maximális eltérése.

Meg kell határozni a hőmérsékleti mezőt az idő függvényében.

A hőmérséklet-ingadozás amplitúdója x-ről a következő törvény szerint változik (3.2. ábra):

Példa a 3. feladatra. A száraz homokos talaj felszínének év közbeni hőmérséklet-változását koszinuszos lefutás jellemzi. Ebben az esetben az éves középhőmérséklet 6°C, az átlagtól való maximális eltérés nyáron és télen eléri a 24°C-ot.

Meg kell határozni a talaj hőmérsékletét 1 m mélységben abban a pillanatban, amikor a felszínen a hőmérséklet 30°C (feltételesen 1/VII).

A koszinusz (3.31) kifejezése ehhez az esethez (felületi hőmérséklet) T 0 max \u003d 24 0 C-on a következő alakot ölti:

T 0 \u003d 24 cos (2rf / 8760) + 6.

Tekintettel arra, hogy a talajfelszín éves átlagos hőmérséklete 6 ° C, és nem nulla, mint a (3.32) egyenletben, a számítási egyenlet a következő formában jelenik meg:

Feltételezve a talajra a termikus diffúziós együtthatót a = 0,001 m 2 / h, és szem előtt tartva, hogy a probléma állapotától függően szükséges a számítási időszak végén (a kezdeti pillanattól számított 8760 óra elteltével) meghatározni a hőmérsékletet. ), találunk

A számítási kifejezés (3,34) a következő formában lesz: t \u003d 24e -0,6 0,825 + 6 \u003d 16,9 ° С.

Ugyanebben az 1 m-es mélységben az éves hőmérséklet-ingadozás maximális amplitúdója a (3.33) kifejezés szerint

T 1 max \u003d 24e -0,6 \u003d 13,2 ° С,

és a maximális hőmérséklet 1 m mélységben

t 1 max \u003d T x max + 6 \u003d 13,2 + 6 \u003d 19,2 ° С.

Összegzésként megjegyezzük, hogy a vizsgált problémák és megközelítések felhasználhatók a meleg víz tározóba juttatásával kapcsolatos kérdések megoldásában, valamint a vízhozam meghatározásának kémiai módszerében és egyéb esetekben.

Az eljárás matematikai leírása (matematikai modellje) alapján a hőmérsékleti mező és a hőáram kiszámítására szolgáló képleteket az álló és nem stacionárius hővezetés speciális problémáinál kapjuk meg. A modell alapja a hővezetés differenciálegyenlete, amelyet a termodinamika első főtétele nem működő testekre, valamint a Fourier-hővezetési törvény felhasználásával vezetünk le. A fizikai folyamatok differenciálegyenletét általában bizonyos, a folyamatot leegyszerűsítő feltevésekkel vezetik le. Ezért a kapott egyenlet csak az elfogadott feltevéseken belül írja le a folyamatok osztályát. Minden konkrét feladatot a megfelelő egyediségi feltételek írnak le. Így a hővezetési folyamat matematikai leírása tartalmaz egy differenciális hővezetési egyenletet és az egyediség feltételeit.

Tekintsük a hővezetési differenciálegyenlet levezetését a következő feltevésekkel:

• a) a test homogén és anizotróp;
• b) a hővezetési tényező a hőmérséklettől függ;
• c) a vizsgált térfogat hőmérséklet-változással összefüggő deformációja magához a térfogathoz képest nagyon kicsi;
• d) a test belsejében egyenletesen oszlanak el belső hőforrások q v = f(x, y, z, m) = const;
• e) a test makrorészecskéinek nincs egymáshoz viszonyított mozgása (konvekció).

Az elfogadott jellemzőkkel rendelkező testben elemi térfogatot választunk ki, élekkel ellátott paralelepipedon formájában dx, dy, dz, határozottan ortogonális koordinátarendszerben orientált (14.1. ábra). A termodinamika első törvényének megfelelően a munkát nem végző testeknél a belső energia változása dU anyagok a kiosztott mennyiségben idővel dx egyenlő a szolgáltatott hőmennyiséggel

Rizs. 14.1.

térfogat a hővezetés miatt dQ x , és a belső források által kibocsátott hő dQ2".

A termodinamikából ismert, hogy az anyag belső energiájának változása egy térfogatban dV alatt dx egyenlő

ahol dG = p dv- az anyag tömege; p - sűrűség; tól től - fajlagos tömeghőkapacitás (összenyomható folyadékokhoz c = cv (izokór hőkapacitás)).

A belső források által felszabaduló energia mennyisége,

ahol qv - belső hőforrások térfogatsűrűsége, W / m 3.

A térfogatba hővezető képességgel belépő hőáram a koordinátatengelyek iránya szerint három komponensre oszlik: Ellentétes oldalakon keresztül lesz a hő

mennyiségben kell eltávolítani A betáplált és az elvitt hőmennyiség különbsége megegyezik a belső energia hővezető képességből adódó változásával dQ v Ezt az értéket a koordinátatengelyek mentén lévő komponensek összegeként ábrázoljuk:

Ezután az x tengely irányában van

Amennyiben -

hőáram-sűrűség ellentétes goanokon.

Funkció qx+dx folytonos a figyelembe vett intervallumban dxés Taylor sorozattal bővíthető:

Ha a sorozat első két tagjára szorítkozunk, és behelyettesítjük a (14.6)-ba, megkapjuk

Hasonlóképpen kapjuk:

A (14.8)-(14.10) helyett (14.4) van

A (14.2), (14.3) és (14.11) értékeket (14.1) behelyettesítve a belső források figyelembevételével differenciálegyenletet kapunk a hővezetéssel történő hőátadásra:

A hővezetés Fourier-törvénye szerint a hőáram-sűrűség koordinátatengelyeire vonatkozó vetületekre kifejezéseket írunk:

ahol X x, X y, X z- hővezetési együtthatók a koordinátatengelyek irányában (anizotrop test).

Ha ezeket a kifejezéseket (14.12) behelyettesítjük, azt kapjuk

A (14.13) egyenletet a hőmérséklettől független fizikai tulajdonságokkal rendelkező anizotróp testek hővezetési differenciálegyenletének nevezzük.

Ha elfogadja x= const, és a test izotróp, a hőegyenlet alakot ölt

Itt de = Х/(ср), m 2 / s, - termikus diffúzió,

amely egy anyag fizikai paramétere, amely a fűtési vagy hűtési folyamatok hőmérséklet-változási sebességét jellemzi. A magas hődiffúzivitási együtthatójú, ceteris paribus anyagból készült testek gyorsabban felmelegszenek és lehűlnek.

Hengeres koordinátarendszerben az állandó fizikai tulajdonságokkal rendelkező izotróp test hőkülönbség-egyenlete a következőképpen alakul:

ahol g, z,Ф - radiális, axiális és szögkoordináták.

A (14.13), (14.14) és (14.15) egyenletek a legáltalánosabb formában írják le a hővezetés folyamatát. A konkrét feladatok eltérőek egyediség feltételei, azaz a vizsgált folyamat jellemzőinek leírása.

az egyértelműség feltételei. A hővezető képesség fizikai fogalmai alapján elkülöníthetőek a folyamatot befolyásoló tényezők: az anyag fizikai tulajdonságai; a test mérete és alakja; kezdeti hőmérséklet-eloszlás; hőátadási feltételek a test felszínén (határán). Így az egyediségfeltételek fizikai, geometriai, kezdeti és határ (határ) feltételekre oszlanak.

fizikai feltételek adottak az anyag fizikai paraméterei X, s, p és a belső források megoszlása.

Geometriai kifejezések beállítják annak a testnek az alakját és lineáris méreteit, amelyben a folyamat végbemegy.

Kezdeti feltételek adott a test hőmérséklet-eloszlása ​​a kezdeti időpontban t= /(x, y, z) m = 0-nál. A kezdeti feltételek fontosak a nem stacionárius folyamatok figyelembevételekor.

A test határán zajló hőátadás jellegétől függően a perem(perem)feltételek négy típusra oszthatók.

Az első típusú peremfeltételek. A hőmérséklet-eloszlás a felületen be van állítva t n a folyamat során

Egy adott esetben a felületi hőmérséklet állandó maradhat (/n = const).

Az első típusú peremfeltételek például a kontaktfűtés során a rétegelt lemez ragasztásánál, a forgácslap és farostlemez préselésénél stb.

A második típusú peremfeltételek. Beállítják a hőáram-sűrűség értékek eloszlását a testfelületen a folyamat során

Egy adott esetben a felületen a hőáram állandó maradhat (

A harmadik típusú peremfeltételek konvektív hőátadásnak felel meg a felületen. Ilyen körülmények között be kell állítani annak a folyadéknak a hőmérsékletét, amelyben a test található, Tf = /(t), és az oc hőátbocsátási tényezőt. Általános esetben a hőátbocsátási tényező változó érték, ezért változásának törvényét a = / (t) kell beállítani. Egy speciális eset lehetséges: / f = const; a = konst.

A negyedik fajtájú peremfeltételek jellemezze a különböző hővezetési együtthatójú testek hőcseréjének körülményeit ideális érintkezésükkor, amikor a hőátadás hővezető képességgel történik, és az érintkezési felület ellentétes oldalain a hőáramok egyenlőek:

Az elfogadott fizikai feltevések, az ezek alapján levezetett egyenlet és az egyediség feltételei a hővezetési folyamatok analitikus leírását (matematikai modelljét) alkotják. A kapott modell egy adott probléma megoldására való felhasználásának sikere attól függ, hogy az elfogadott feltevések és egyediségi feltételek mennyire felelnek meg a valós feltételeknek.

A (14.14) és (14.15) egyenletet egyszerűen analitikusan oldjuk meg egy egydimenziós stacionárius termikus rezsimre. A megoldásokat az alábbiakban tárgyaljuk. Kétdimenziós és háromdimenziós stacionárius folyamatokhoz közelítő numerikus módszereket alkalmaznak

A (14.13) - (14.15) egyenletek nemstacionárius termikus rezsim körülményei között történő megoldására számos módszert alkalmaznak, amelyeket a szakirodalom részletesen tárgyal. Ismertek pontos és közelítő analitikai módszerek, numerikus módszerek stb.

A hőegyenlet numerikus megoldása főként véges különbség módszerrel történik. Az egyik vagy másik megoldási mód kiválasztása a probléma körülményeitől függ. Az analitikai módszerekkel történő megoldás eredményeként olyan képletek születnek, amelyek alkalmasak egy sor mérnöki probléma megfelelő körülmények közötti megoldására. A numerikus módszerek lehetővé teszik a hőmérsékleti mező meghatározását t=f(x, y, z, m) diszkrét hőmérsékleti értékek halmazaként különböző pontokon, meghatározott időpontokban egy adott feladathoz. Ezért előnyösebb az analitikai módszerek alkalmazása, de ez nem mindig lehetséges többdimenziós problémák és összetett peremfeltételek esetén.