Hipotézisek a hajlításban. Semleges réteg, görbületi sugár, görbület, deformációk és normál feszültségek eloszlása ​​a rúd keresztmetszetének magassága mentén. Nyírási feszültségek síknál keresztirányú hajlítás rudak. A gerendák számítása hajlítószilárdságra. Hajlító mozgások.

Normál feszültségek tiszta egyenes kanyarral. Mivel a normál feszültségek csak a hajlítónyomatékoktól függenek, a számítási képlet levezetése a tiszta hajlításra vonatkoztatva is elvégezhető. Megjegyzendő, hogy a rugalmasságelmélet módszerei segítségével pontos függést kaphatunk a normál feszültségekre tiszta hajlítás esetén, de ha ezt a problémát az anyagok ellenállási módszereivel oldjuk meg, akkor szükséges néhány feltevést bevezetni.

Három ilyen hipotézis létezik a hajlításra:

1) hipotézis lapos szakaszok(Bernoulli hipotézise) - a deformáció előtti sík szakaszok deformáció után laposak maradnak, de csak egy bizonyos egyeneshez képest forognak, amit a gerenda szakasz semleges tengelyének nevezünk. Ebben az esetben a sugárnyaláb szálai, amelyek a semleges tengely egyik oldalán fekszenek, megnyúlnak, a másikon pedig összenyomódnak; a semleges tengelyen fekvő szálak nem változtatják hosszukat;

2) a normál feszültségek állandóságának hipotézise - a semleges tengelytől y távolságra ható feszültségek állandóak a gerenda szélességében;

3) az oldalsó nyomások hiányának hipotézise - a szomszédos hosszanti szálak nem nyomják egymást.

Rizs. 28. Bernoulli sejtése

Statikus síkhajlítási probléma. A szelvényben a hajlítónyomaték a gerenda keresztmetszet elemi területein fellépő összes σ.dA elemi belső normálerő nyomatékának összege (29. ábra), a semleges tengelyhez viszonyítva: .

Ez a kifejezés a síkhajlítási probléma statikus oldalát jelenti. De nem használható normál feszültségek meghatározására, mivel a keresztmetszeten átívelő feszültségeloszlás törvénye ismeretlen.

Rizs. 29. A probléma statikus oldala

A síkhajlítási feladat geometriai oldala. Emeljük ki a dz hosszúságú gerendaelemet két keresztmetszetűvel. Terhelés alatt a semleges tengely meghajlik (görbületi sugár ρ), és a szakaszokat a semleges vonalakhoz képest dθ szöggel elforgatjuk. A semleges réteg szálak szegmensének hossza változatlan marad (30. ábra, b):

Rizs. 30. A feladat geometriai oldala:
a - gerenda elem; b - a semleges tengely görbülete; c - diagram σ.dA; d - ε ábrázolás

Határozzuk meg a semleges rétegtől y távolságra lévő szálszakasz hosszát

dz 1 = (ρ + y)dθ .

A relatív nyúlás ebben az esetben lesz

A függés a síkhajlítás problémájának geometriai oldalát tükrözi, amelyből látható, hogy a hosszszálak alakváltozásai a szelvény magassága mentén lineáris törvény szerint változnak.

A szálak azon halmazát, amelyek hossza nem változik a gerenda hajlítása során, semleges rétegnek nevezzük.

Azt az egyenest, ahol a gerenda keresztmetszete metszi a gerenda semleges rétegét, semleges metszetvonalnak nevezzük.

A síkhajlítás problémájának fizikai oldala. Hooke törvényét használva arra axiális feszültség, kapunk

A σ értéket behelyettesítve a síkhajlítási feladat statikus oldalát tükröző kifejezésbe, megkapjuk

Ha behelyettesítjük az értéket az eredeti képletben, azt kapjuk

(13)

Ez a kifejezés tükrözi a síkhajlítási probléma fizikai oldalát, ami lehetővé teszi a normál feszültségek kiszámítását a metszet magassága mentén.

Bár ezt a kifejezést tiszta hajlítás esetére kaptuk, de amint azt az elméleti ill kísérleti tanulmányok, sík keresztirányú hajlításra is használható.

Semleges vonal. A semleges vonal helyzetét az egyenlőség feltételétől a normálerő nulláig határozzuk meg a gerenda tiszta hajlítású szakaszaiban

Mivel M x ≠ 0 és I x ≠ 0, szükséges, hogy az integrál egyenlő legyen nullával. Ez az integrál a szakasz statikus nyomatékát jelenti a semleges tengely körül. Mivel a szakasz statikus nyomatéka csak viszonyítva nulla központi tengely, ezért a lapos hajlítás semleges vonala egybeesik a szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyével.

Nyírófeszültségek. A sík keresztirányú hajlítású gerendaszakaszokban fellépő nyírófeszültségeket a függőség határozza meg:

(14)

ahol Q a keresztirányú erő a vizsgált gerendaszakaszban; S xo - a szakasz levágott részének területének statikus nyomatéka a sugár semleges tengelyéhez képest; b - szakasz szélessége a vizsgált rétegben; Ix a szakasz tehetetlenségi nyomatéka a semleges tengelyhez képest.

A nyírófeszültségek a szelvény szélső szálaiban nullával egyenlőek, a semleges réteg szálaiban pedig maximálisak.

A gerendák számítása hajlítószilárdságra. A gerenda szilárdsága akkor biztosított, ha a következő feltételek teljesülnek:

(15)

A maximális normál hajlítófeszültségek azokon a szakaszokon jelentkeznek, ahol a legnagyobb hajlítónyomaték hat, a szakasz semleges tengelytől legtávolabbi pontjain

A maximális nyírófeszültségek a gerenda azon szakaszaiban jelentkeznek, ahol a legnagyobb keresztirányú erő hat

A τmax nyírófeszültségek általában kicsik a σmax-hoz képest, és általában nem veszik figyelembe a számításoknál. A nyírófeszültség-tesztet csak rövid gerendákra végezzük.

Hajlító mozgások. A merevség számítása alatt értendő a gerenda rugalmas megfelelőségének értékelése az alkalmazott terhelés hatására, és olyan keresztmetszeti méretek kiválasztása, amelyeknél az elmozdulások nem haladják meg a szabványok által meghatározott határértékeket.

Hajlítási merevség állapota

A szelvény súlypontjának a gerenda tengelyére merőleges irányú elmozdulását elhajlásnak nevezzük. Az elhajlást W betű jelzi.

A legnagyobb kitérést a fesztávban vagy a gerenda konzolján elhajlási nyílnak nevezzük, és a ƒ betű jelzi.

Injekció q, amellyel minden szakasz elfordul az eredeti helyzetéhez képest, és ez a forgásszög.

A forgásszöget akkor tekintjük pozitívnak, ha a szakaszt az óramutató járásával ellentétes irányba forgatjuk

A metszet elfordulási szöge megegyezik az ugyanazon szakaszban a Z koordináta mentén történő elhajlás deriváltjának értékével, azaz:

Nyaláb rugalmas vonalegyenlete

(16)

A nyaláb rugalmas vonalának differenciálegyenletének megoldására három módszer létezik. Ez a módszer közvetlen integráció, a Clebsch módszer és a kezdeti paraméterek módszere.

Közvetlen integrációs módszer. A nyaláb rugalmas vonalának egyenletének első integrálása után egy kifejezést kapunk a forgásszögek meghatározására:

Másodszor integrálva kifejezéseket találnak az elhajlások meghatározására:

A C és D integráció konstansainak értékeit ebből határozzuk meg kezdeti feltételek gerendatartókon

Clebsch módszer. Az egyenletek elkészítéséhez a következő alapvető feltételeknek kell teljesülniük:

• a koordináták origójának minden szakasz esetében a gerenda bal szélső végén kell lennie;
• a gerenda rugalmas vonala differenciálegyenletének integrálását a konzolok kinyitása nélkül kell végrehajtani;
• ha egy külső koncentrált M nyomaték szerepel az egyenletben, akkor azt meg kell szorozni (Z - a), ahol a annak a szakasznak a koordinátája, amelyben a nyomaték érvényesül;
• az elosztott terhelés megszakadása esetén a gerenda végéig kiterjesztik, és a tényleges terhelési viszonyok helyreállítására ellentétes irányú „kompenzáló” terhelést vezetnek be.

Kezdeti paraméterek módszere

Forgásszögekhez

(17)

A kanyarokhoz:

(18)

ahol θ a metszet elfordulási szöge; w - elhajlás; θo - forgásszög az origónál; w0 - elhajlás az origónál; dі a koordináták kezdőpontja és a gerenda i-edik támasza közötti távolság; ai a koordináták kezdőpontja és az Mi koncentrált nyomaték alkalmazási pontja közötti távolság; bi a koordináták kezdőpontja és a koncentrált Fi erő alkalmazási pontja közötti távolság; сi - távolság a koordináták origójától az elosztott terhelés qi szakaszának kezdetéig; Ri és Mpi - reakció és reaktív momentum a gerendatartókban.

Az elhajlás meghatározása egyszerű esetekre

Rizs. 31. Példák gerendaterhelésekre

Az elmozdulások számítása Mohr-módszerrel

Ha nem kell ismerni a gerenda görbe vonalának egyenletét, hanem csak egy külön szakasz lineáris vagy szögeltolódásai szükségesek, akkor a legkényelmesebb a Mohr-módszert alkalmazni Gerendák és síkvázak esetében a Mohr-integrál a következő formában van:

ahol δ a szükséges elmozdulás (lineáris vagy szögletes); M p , M i - hajlítónyomatékok analitikus kifejezései adott és egységnyi erőből; EJ x - a gerenda szakasz merevsége a hajlítási síkban. Az elmozdulások meghatározásakor a rendszer két állapotát kell figyelembe venni: 1 - tényleges állapot, külső terhelés mellett; 2 - segédállapot, amelyben a gerenda kioldódik a külső terhelés alól, és egységnyi erőt fejtenek ki a szakaszra, amelynek elmozdulását meghatározzák, ha lineáris elmozdulást, vagy egységnyi nyomatékot, ha szögelmozdulást határoznak meg ( 32. ábra).

Rizs. 32. A mozgások meghatározása:
a - tényleges állapot; b, c - segédállapotok

A Mohr-képlet például megkapható. a lehetséges elmozdulások elvét alkalmazva.

Rizs. 33. Keretábra:
a - erő hatása alatt; b - belső erőfeszítések

Tekintsük a sémát (33a. ábra), amikor az A pontban egységnyi erőt fejtünk ki a kívánt ΔA elmozdulás irányában, belső erőtényezőket okozva a rendszer keresztmetszetében (33. ábra, b). A lehetséges elmozdulások elvének megfelelően ezeknek a belső erőtényezőknek az esetleges elmozdulásokra gyakorolt ​​hatásának meg kell egyeznie egy lehetséges δΔA elmozdulásra gyakorolt ​​egységnyi erővel:

Választ lehetséges mozgások arányos a valósokkal:

Csere után pedig a következőket kapjuk:

Tekintve, hogy

elérkezünk Mohr képletéhez

(19)

amely a rúdrendszerekben esetlegesen általánosított elmozdulások meghatározására szolgál.

Abban az esetben, ha a gerenda csak hajlításra működik (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), az (1) kifejezés a következőképpen alakul:

(20)

Verescsagin szabálya lehetővé teszi, hogy a Mohr-féle képletekben a közvetlen integrációt az úgynevezett diagramok szorzásával helyettesítsük. A Mohr-integrál kiszámításának módszerét a közvetlen integráció helyettesítésével a megfelelő diagramok szorzásával Verescsagin-módszernek (vagy szabálynak) nevezik, amely a következőkből áll: ahhoz, hogy két diagramot, amelyek közül legalább az egyik egyenes vonalú, megszorozzon, meg kell szorozza meg az egyik diagram területét a másik diagram ordinátájával, amely az első súlypontja alatt helyezkedik el (az ordinátákat csak egyenes diagramokból használjuk). Az összetett alakú diagramok számos egyszerűre oszthatók: téglalapra, háromszögre, másodfokú parabolára stb. (34. ábra).

Rizs. 34. A legegyszerűbb diagramok

Verescsagin szabályának érvényessége.

Rizs. 35. Diagram szorzási séma:
a - tetszőleges diagram; b - egyenes vonalú

Két hajlítónyomaték diagramot adunk meg, amelyek közül az egyik Mk tetszőleges alakú, a másik Mi pedig egyenes vonalú (35. ábra). Feltételezzük, hogy a rúd keresztmetszete állandó. Ebben az esetben

Az Mkdz értéke az Mk diagram dω elemi területe (árnyékolt). Kapunk

De Mi = ztg α, ezért

A kifejezés az Mk diagram területének statikus momentuma az O ponton áthaladó y tengelyhez képest, egyenlő ωkΖc-vel, ahol ωk a nyomatékdiagram területe; Ζс - az y tengely és az M k diagram súlypontja közötti távolság. Az ábrán jól látszik:

z c \u003d M i /tg α,

ahol Mi az Mi diagram ordinátája, amely az Mk diagram súlypontja alatt helyezkedik el (a C pont alatt).

(21)

A (21) képlet képviseli a Mohr-integrál kiszámításának szabályát: az integrál egyenlő a görbe diagram területének és az egyenes diagramból vett ordináta szorzatával, amely a görbe diagram súlypontja alatt helyezkedik el.

A gyakorlatban előforduló görbe vonalú diagramok számos egyszerűre oszthatók: téglalapra, háromszögre, szimmetrikus másodfokú parabolára stb.

A diagramok részekre bontásával elérhető, hogy szorozva minden diagram egyszerű szerkezetű legyen.

Elmozdulás számítási példa. Meg kell határozni a fesztáv közepén az elhajlást és az egyenletesen elosztott teherrel terhelt gerenda bal oldali tartószakaszának forgásszögét (36. ábra, a) Mohr-Vereshchagin módszerrel.

Tekintsük a gerenda 3 állapotát: a terhelési állapot (megosztott terhelés hatására q;) megfelel az Mq diagramnak (36. ábra, b), és két egyedi állapotot: a C pontban kifejtett erő hatására ( diagram, 36. ábra, c), és a B pontban alkalmazott nyomaték (rajz, 36. ábra, d).

A nyaláb eltérítése a fesztáv közepén:

Figyeljük meg, hogy a diagramok szorzása a gerenda felén történik, majd a szimmetria miatt az eredmény megduplázódik. A B pontban lévő metszet elfordulási szögének kiszámításakor az Mq diagram területét megszorozzuk a diagram súlypontja alatti ordinátájával (1/2, 9. ábra, d), mert a cselekmény egyenesen változik:

Rizs. 36. Számítási példa:
a - adott gerenda séma; b - a pillanatok terhelési diagramja;
ban ben - egyetlen diagram egyetlen erőből; d - egyetlen pillanattól kezdve

Általános esetben (változó keresztmetszetű rúd, összetett rendszer terhelések) a Mohr-integrált numerikus integrálással határozzuk meg. Sok gyakorlatilag fontos esetben, amikor a metszet merevsége állandó a rúd hosszában, a Mohr-integrál kiszámítható a Verescsagin-szabály segítségével. Tekintsük a Mohr-integrál definícióját az a-tól 6-ig terjedő szakaszban (9.18. ábra).

Rizs. 9.18. Verescsagin szabálya a Mohr-integrál kiszámítására

Az egyetlen erőtényezőből származó nyomatékdiagramok egyenes szakaszokból állnak. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy a területen belül

ahol A és B az egyenes paraméterei:

A vizsgált állandó keresztmetszetű szakaszon a Mohr-integrál alakja

ahol F a görbe alatti terület (a hajlítási nyomatékok területe külső erők z) szakaszon.

hol van a terület súlypontjának abszcisszán.

Az egyenlőség (109) akkor érvényes, ha a telken belül nem vált előjelet, és a telekterület elemének tekinthető. Most a (107)-(109) relációkból kapjuk

Pillanat egyetlen terhelésből a szakaszon

A Vereschagin-szabály használatához egy segédtáblázat látható az ábrán. 9.19.

Megjegyzések. 1. Ha a helyszínen a külső erők hatásából származó diagram lineáris (például koncentrált erők és nyomatékok hatására), akkor a szabály fordított formában is alkalmazható: a diagram területe egy egységből erőtényezőt megszorozzuk a terület súlypontjának megfelelő diagram ordinátájával. Ez a fenti bizonyításból következik.

2. Verescsagin szabálya kiterjeszthető a Mohr-integrálra Általános nézet((103) egyenlet).

Rizs. 9.19. A nyomatékdiagramok súlypontjainak területei és helyzete

Rizs. 9.20. Példák az elhajlás és az elforgatási szögek meghatározására a Verescsagin-szabály szerint

A fő követelmény ebben az esetben a következő: a szakaszon belül az egyetlen terhelésből származó belső erőtényezőknek kell lenniük lineáris függvények a rúd tengelye mentén (diagramok linearitása!).

Példák. 1. Határozza meg a kihajlást a konzolrúd A pontjában koncentrált M nyomaték hatására (9.20. ábra, a).

Az A pontban az elhajlást a képlet határozza meg (a rövidség kedvéért az indexet elhagyjuk)

A mínusz jel annak köszönhető, hogy van különböző jelek.

2. Határozza meg az elhajlást a konzolos rúd A pontjában megosztott terhelés hatására.

Az elhajlást a képlet határozza meg

A külső terhelésből származó M hajlítónyomaték és Q nyíróerő diagramja az 1. ábrán látható. 9.20, b, ezen az ábrán alul látható diagramok egységnyi erő hatására. Következő megtaláljuk

3. Határozzuk meg a koncentrált nyomatékkal terhelt kéttámaszú gerenda A pontban az elhajlást és a B pontban a forgásszöget (9.20. ábra).

Az elhajlást a képlet határozza meg (a nyírási alakváltozást figyelmen kívül hagyjuk)

Mivel az egységnyi erőből származó nyomaték diagramja nem egy vonallal van ábrázolva; akkor az integrál két részre oszlik:

A B pontban a forgásszög egyenlő

Megjegyzés. A fenti példákból látható, hogy Verescsagin módszere in egyszerű esetek lehetővé teszi az elhajlás és a forgásszög gyors meghatározását. Csak egy előjeles szabály alkalmazása fontos. Ha egyetértünk abban, hogy egy rúd hajlításánál hajlítónyomaték diagramokat ábrázolunk egy „feszített szálon” (lásd 9.20. ábra), akkor azonnal könnyen látható a pozitív és negatív nyomatékértékek.

Külön előnye a Verescsagin-szabálynak, hogy nemcsak botokhoz, hanem keretekhez is használható (17. szakasz).

A Verescsagin-szabály alkalmazásának korlátai.

Ezek a megszorítások a (110) képlet levezetéséből következnek, de figyeljünk rájuk még egyszer.

1. Az egyetlen terhelésből származó hajlítónyomaték diagramját egyetlen egyenes alakban kell ábrázolni. ábrán 9.21, egy olyan esetet mutatunk be, amikor ez a feltétel nem teljesül. A Mohr-integrált az I. és II. szakaszra külön kell kiszámítani.

2. A szakaszon belüli külső terhelésből származó hajlítónyomatéknak egy előjelűnek kell lennie. ábrán A 9.21, b azt az esetet mutatja, amikor a Verescsagin-szabályt minden szakaszra külön kell alkalmazni. Ez a korlátozás nem vonatkozik az egyetlen terheléstől származó pillanatra.

Rizs. 9.21. Korlátozások a Verescsagin-szabály használatakor: a - a diagram törést tartalmaz; b - a telek különböző jelekkel rendelkezik; c - a rúdnak különböző szakaszai vannak

3. A rúd szelvényen belüli merevségének állandónak kell lennie, ellenkező esetben az integrációt külön kell kiterjeszteni az állandó merevségű szakaszokra. Az állandó merevség korlátai a ábrázolással elkerülhetők.

2013_2014 tanév II félév 2.6. sz. előadás 12. oldal

A gerendák deformációja hajlítás közben. A gerenda hajlított tengelyének differenciálegyenlete. A kezdeti paraméterek módszere. Rugalmas egyenes univerzális egyenlete.

6. Gerendák alakváltozása lapos hajlításnál

6.1. Alapfogalmak és definíciók

Tekintsük a gerenda deformációját lapos hajlítás alatt. A terhelés hatására a gerenda tengelye meghajlik az erők hatássíkjában (a sík x 0y), miközben a keresztmetszeteket egy bizonyos mértékben elforgatjuk és eltoljuk. A gerenda ívelt tengelyét hajlítás közben ún ívelt tengely vagy rugalmas vonal.

A gerendák hajlítás közbeni deformációját két paraméter írja le:

elhajlás(y) - a gerenda szakasz súlypontjának elmozdulása merőleges irányban

rizs. 6.1 a tengelyéhez.

Ne keverje össze az elhajlást y koordinátával y gerenda szakaszpontok!

A nyaláb legnagyobb eltérítését eltérítési nyílnak nevezzük ( f= y max);

2) szakasz elfordulási szöge() - az a szög, amellyel a szakasz az eredeti helyzetéhez képest elfordul (vagy a rugalmas vonal érintője és a nyaláb kezdeti tengelye közötti szög).

Általános esetben egy adott pontban a nyaláb eltérítése a koordináta függvénye z és a következő egyenlettel írható fel:

Ezután a gerenda hajlított tengelyének érintője és a tengely közötti szög x a következő kifejezésből lesz meghatározva:

.

Mivel a szögek és az elmozdulások kicsik, feltételezhetjük, hogy

a szelvény elfordulási szöge a nyaláb elhajlásának első deriváltja a szelvény abszcissza mentén.

6.2. A gerenda görbe tengelyének differenciálegyenlete

A hajlítás jelenségének fizikai természete alapján kijelenthetjük, hogy a folytonos nyaláb görbe tengelyének folytonos és sima (törés nélküli) görbének kell lennie. Ebben az esetben a gerenda egyik vagy másik szakaszának deformációját annak rugalmas vonalának görbülete, azaz a gerenda tengelyének görbülete határozza meg.

Korábban képletet kaptunk a gerenda hajlítás közbeni görbületének (1/ρ) meghatározására

.

Másrészt a tanfolyamtól felsőbb matematika Ismeretes, hogy a síkgörbe görbületének egyenlete a következő:

.

E kifejezések megfelelő részeit egyenlővé téve azt kapjuk, hogy differenciálegyenlet a gerenda hajlított tengelye, amelyet a gerenda hajlított tengelyének pontos egyenletének nevezünk

Az elhajlások koordinátarendszerében z0 y amikor a tengely y felfelé irányul, a pillanat jele határozza meg a második származékának előjelét y tovább z.

Ennek az egyenletnek az integrálása nyilvánvalóan nehézségeket okoz. Ezért általában leegyszerűsített formában írják, figyelmen kívül hagyva a zárójelben szereplő értéket az egységhez képest.

Azután a sugár rugalmas vonalának differenciálegyenlete a következő formában fogjuk figyelembe venni:

(6.1)

A (6.1) differenciálegyenlet megoldását úgy találjuk meg, hogy mindkét részét integráljuk a változóhoz z:

(6.2)

(6.3)

Integrációs állandók C 1 , D Az 1-et a peremfeltételekből találjuk meg - a gerenda rögzítésének feltételeit, míg a gerenda minden szakaszára meghatározzák az állandókat.

Tekintsük ezen egyenletek megoldásának eljárását egy konkrét példa segítségével.

D anno:

Konzolos gerenda hossza l, keresztirányú erővel terhelve F. gerenda anyaga ( E), szakaszának alakja és méretei ( én x) is ismertnek minősülnek.

RÓL RŐL határ forgásszög változás törvénye ( z) és az elhajlás y(z) gerendákat a hossza mentén és azok értékeit jellemző metszetekben.

Megoldás

a) határozza meg a reakciókat a terminációban!

b) metszetmódszerrel meghatározzuk a belső hajlítónyomatékot:

c) határozza meg a gerenda szakaszok elfordulási szögét

Állandó C 1 a rögzítés feltételeiből azt találjuk, hogy egy merev rögzítésnél az elforgatási szög egyenlő nullával, akkor


(0) = 0  C 1 =0.

Határozza meg a sugár szabad végének forgási szögét ( z = l) :

A mínusz jel azt jelzi, hogy a szakasz az óramutató járásával megegyező irányban elfordult.

d) határozza meg a gerenda elhajlását:

Állandó D 1 a rögzítés feltételeiből azt találjuk, hogy egy merev rögzítésnél az elhajlás egyenlő nullával, akkor

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Keresse meg a gerenda szabad végének elhajlását ( x= l)

.

A mínusz jel azt jelzi, hogy a szakasz lement.

Az Ön szolgálatában. De az axiómákat: "ha azt akarod, hogy a munkát jól végezzék, csináld magad" még nem törölték. A helyzet az, hogy a különféle kézikönyvekben és kézikönyvekben néha elírások vagy hibák vannak, így a kész képletek használata nem mindig jó.

11. A forgásszög meghatározása.

Az épületszerkezet, esetünkben a gerendák kihajlása az egyetlen empirikusan legkönnyebben, elméletileg legnehezebb érték. Amikor megterheltük a vonalzót (ujjal vagy értelmünk erejével megnyomtuk), szabad szemmel láttuk, hogy az uralkodó megereszkedett:

11.1. ábra. A gerenda keresztmetszet súlypontjának elmozdulása a gerenda középpontjában és az egyik tartón a keresztmetszet súlypontján átmenő hossztengely elfordulási szöge.

Ha empirikusan szeretnénk meghatározni az elhajlás mértékét, akkor elegendő lenne megmérni a távolságot az asztaltól, amelyen a könyvek fekszenek (az ábrán nem látható) a vonalzó tetejéig vagy aljáig, majd terhelést alkalmazunk és megmérjük. az asztal és a vonalzó teteje vagy alja közötti távolság. A távolságok különbsége a szükséges elhajlás (a képen az elhajlás értékét narancssárga vonal jelzi):

1. fénykép.

De próbáljunk meg ugyanerre az eredményre jutni, a sopromat elmélet tüskés útját követve.

Mivel a gerenda meg van hajlítva (a szó jó értelmében), kiderül, hogy a gerenda összes pontjának keresztmetszete súlypontjain áthaladó hossztengely és a terhelés alkalmazása előtt egybeesett a tengellyel x, eltolódott. Ez a keresztmetszet súlypontjának elmozdulása a tengely mentén nál nél sugárelhajlásnak nevezzük f. Ezen kívül nyilvánvaló, hogy a támasztékon ez a leghosszabb tengely most egy bizonyos szöget zár be θ a tengelyhez x, és a koncentrált terhelés hatáspontjában az elfordulás szöge = 0, mivel a terhelés középen történik, és a gerenda szimmetrikusan meghajlik. A forgásszöget általában "" θ "és elhajlás" f"(sok anyagszilárdságról szóló kézikönyvben az elhajlást így jelölik" ν ", "w " vagy bármilyen más karaktert, de nekünk, gyakorlóknak kényelmesebb a megjelölést használni" f"az SNiP-ben elfogadva).

Még nem tudjuk, hogyan határozzuk meg ezt az elhajlást, de azt tudjuk, hogy a gerendára ható terhelés hajlítónyomatékot hoz létre. A hajlítónyomaték pedig belső normál nyomó- és húzófeszültségeket hoz létre a gerenda keresztmetszetein. Ugyanezek belső feszültségek oda vezet, hogy a gerenda felső részében összenyomódik, alsó részében megfeszül, miközben a gerenda hossza a keresztmetszetek súlypontjain átmenő tengely mentén változatlan marad, felső részén a gerenda hossza csökken, az alsó részen pedig növekszik, és minél távolabbi keresztmetszetek pontjai a hossztengelytől, annál nagyobb lesz az alakváltozás. Ezt az alakváltozást az anyag egy másik jellemzője, a rugalmassági modulus segítségével határozhatjuk meg.

Ha veszünk egy pólyagumit, és megpróbáljuk kinyújtani, azt tapasztaljuk, hogy a gumi nagyon könnyen nyúlik, és tudományosan is jelentős mértékben deformálódik kis terhelés hatására is. Ha ugyanezt a vonalzónkkal próbáljuk megtenni, akkor aligha lehet még tizedmilliméternyire is megnyújtani a kezünkkel, még akkor sem, ha a vonalzóra több tucatszor nagyobb terhelést teszünk, mint a gumikötésnél. Bármely anyagnak ezt a tulajdonságát Young-modulus írja le, amelyet gyakran egyszerűen rugalmassági modulusnak neveznek. fizikai jelentése A Young-modulus a számított szerkezet legnagyobb megengedett terhelésénél körülbelül a következő: A Young-modulus a normál feszültségek arányát mutatja, (amelyek a megengedett legnagyobb terhelés mellett megegyeznek az anyag ilyen terhelés melletti relatív alakváltozással szembeni tervezési ellenállásával:

E = R/∆ (11.1.1)

ez pedig azt jelenti, hogy az anyagnak a rugalmas alakváltozások területén végzett munkája során a belső normálfeszültségek értéke, amelyek nem elvont módon, hanem egy jól meghatározott keresztmetszeti területen hatnak, figyelembe véve a relatív alakváltozást, nem meghaladják a rugalmassági modulus értékét:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

esetünkben a gerenda téglalap alakú, tehát S = b h, ahol b a gerenda szélessége, h a gerenda magassága.

Young modulusát Pascalban vagy kgf / m 2 -ben mérik. Az építőanyagok túlnyomó többségénél a rugalmassági modulusokat empirikusan határozzák meg, az adott anyag modulusának értékét egy kézikönyvből, ill. Pivot tábla .

Az alakváltozás mértékének meghatározása egy olyan keresztmetszet esetében, amelyre egyenletesen elosztott terhelés vagy a keresztmetszet súlypontjában koncentrált erő hat, nagyon egyszerű. Egy ilyen szakaszon normál nyomó- vagy húzófeszültségek keletkeznek, amelyek a ható erővel megegyező értékűek, ellentétes irányúak és állandóak a gerenda teljes magasságában (az egyik axióma szerint elméleti mechanika):

507.10.1. ábra

és ekkor nem nehéz meghatározni a relatív alakváltozást, ha a gerenda geometriai paraméterei (hossz, szélesség és magasság) ismertek, a (11.1.2) képlet legegyszerűbb matematikai transzformációi a következő eredményt adják:

Δ = Q/(S· E)(11.2.1) vagy Δ = q h/(S· E) (11.2.2)

Mivel a számított ellenállás azt mutatja, hogy mit maximum töltés egy adott területen alkalmazható, akkor ebben az esetben a szerkezetünk teljes keresztmetszetére koncentrált terhelés hatását tekinthetjük. Egyes esetekben fontos meghatározni az alakváltozásokat a koncentrált terhelés alkalmazásának helyén, de most ezeket az eseteket nem vesszük figyelembe. A teljes deformáció meghatározásához meg kell szorozni az egyenlet mindkét oldalát a gerenda hosszával:

Δl = Q l/(b h E)(11.2.3) vagy Δl = q h l/(b h E) (11.2.4)

De az általunk vizsgált esetben a gerenda keresztmetszeteit nem a keresztmetszet súlypontjára ható koncentrált erő, hanem egy hajlítónyomaték befolyásolja, amely a következő terhelésként ábrázolható:

149.8.3. ábra

Ilyen terhelés mellett a maximális belső feszültségek és ennek megfelelően a maximális alakváltozások a gerenda legfelső és legalsó részében lépnek fel, középen nem lesz deformáció. Megtaláltuk az ilyen megosztott terhelés eredőjét és a koncentrált erő hatásvállát az előző részben (), amikor meghatároztuk a gerenda ellenállási nyomatékát. Ezért most minden nehézség nélkül meg tudjuk határozni a teljes deformációt a gerenda legfelső és legalsó részén:

Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E) (11.3.1)

Δx \u003d M x / (W K) (11.3.2)

mivel W \u003d b h 2/6 (10.6)

Ugyanezt a képletet más módon is megkaphatjuk. Mint tudjuk, a gerenda keresztmetszetének modulusának meg kell felelnie a következő feltételnek:

W ≥ M/R (10.3)

Ha ezt a függőséget egyenletnek tekintjük, és az R értéket ΔE-re cseréljük ebben az egyenletben, akkor a következő egyenletet kapjuk:

W=M/ΔE (11.4.1)

M = WΔE(11.4.2) a Δ = M/(W E)(11.4.5) és ennek megfelelően Δx \u003d M x / (W K) (11.3.2)

Az imént definiált deformáció eredményeként a gerendánk így nézhet ki:

11.2. ábra. A gerenda feltételezett (az egyértelműség kedvéért) deformációja

vagyis az alakváltozások hatására a keresztmetszet legfelső és legalsó pontja Δx-el eltolódik. Ez pedig azt jelenti, hogy az alakváltozás nagyságának és a gerenda magasságának ismeretében meg tudjuk határozni a keresztmetszet θ elfordulási szögét a gerendatartón. Az iskolai geometria tantárgyból tudjuk, hogy a lábak aránya derékszögű háromszög(esetünkben a Δх és h/2 szárak) egyenlők a θ szög érintőjével:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ \u003d 2 M x / (h W K) (11.5.3)

Ha felidézzük, hogy a tehetetlenségi nyomaték a keresztmetszet ellenállási nyomatéka, megszorozva a súlypont és a metszet szélső pontja közötti távolsággal, vagy fordítva, akkor az ellenállási nyomaték a tehetetlenségi nyomaték osztva távolság a súlyponttól a szakasz legszélső pontjáig:

W = I/(ó/2)(10.7) ill I = Wh/2 (10.7.2)

akkor az ellenállási nyomatékot tehetetlenségi nyomatékkal helyettesíthetjük:

tgφ \u003d M x / (I E) (11.5.4)

bár ezt nem kellett megtenni, de így majdnem ugyanazt kaptuk az elforgatási szög képletében, mint amilyen az összes anyagszilárdságról szóló tankönyvben és segédkönyvben szerepel. A fő különbség az, hogy általában a forgásszögről beszélünk, és nem a szög érintőjéről. És bár kis alakváltozások esetén a szög érintőjének és a szögnek az értékei összehasonlíthatók, a szög és a szög érintője azonban különböző dolgok (egyes kézikönyvekben azonban, például: Fesik SP " Kézikönyv az anyagok szilárdságáról" Kijev: Budivelnik. - Az érintőről a szögre való 1982-es átmenetet említik, bár véleményem szerint kellő magyarázat nélkül). Sőt, hogy nagyon pontosak legyünk, ily módon meghatározzuk a hosszirányú deformáció és a gerenda magasságának arányát

A számított elemek nem mindig téglalap keresztmetszetűek, mint a mi általunk vizsgált vonalzó. Különféle melegen hengerelt profilok, faragott és nem faragott rönkök és bármi más használható gerendaként és áthidalóként. Mindazonáltal a tehetetlenségi nyomaték számítási elveinek megértése lehetővé teszi, hogy meghatározza a tehetetlenségi nyomatékot bármely, még nagyon összetett geometriai alakzat keresztmetszete esetén is. Az esetek túlnyomó többségében nem szükséges magát a tehetetlenségi nyomatékot kiszámítani, összetett metszetű fémprofiloknál (sarkok, csatornák, I-gerendák stb.) a tehetetlenségi nyomatékot, valamint az ellenállási nyomatékot , határozza meg választék . A kerek ovális, háromszög alakú metszet és néhány más típusú metszet elemeinél a tehetetlenségi nyomaték a megfelelő értékből határozható meg. asztal .

Ha figyelembe vesszük a teljes gerenda teljes deformációját, i.e. teljes hosszában l , akkor nyilvánvaló, hogy a terheléseink hatására a teljes alakváltozás nem lehet csak a gerenda egyik oldalán, ahogy az a 11.3.a ábrán látható:

11.3. ábra.

Mivel a terhelés középen ér a gerendánkra, aminek következtében a terhelés hatására a támaszokon fellépő reakciók egyenlőek egymással, és mindegyik egyenlő az alkalmazott terhelés felével, valószínűbb, hogy alatt ilyen körülmények között a teljes alakváltozás a 11.3.b ábrán látható módon fog kinézni, majd a mi konkrét esetünkben a keresztmetszet dőlésszöge az egyes támaszokon:

tgθ = M x/(2IE) (11.5.5)

Eddig egyszerű grafikus-analitikai módszerrel határoztuk meg a forgásszög tangensét, és abban az esetben, amikor a terhelést középen érik a gerenda, jól jártunk. De mindenféle lehetőség van a gerenda terhelésének alkalmazására, és bár a teljes deformáció mindig egyenlő lesz Δl, de a tartókon a keresztmetszetek dőlésszöge eltérő lehet. Ha közelebbről megvizsgáljuk a (11.5.4) és (11.5.5) képleteket, látni fogjuk, hogy a pillanat értékét valamikor megszorozzuk az értékkel. x, amely az elméleti mechanika szempontjából nem különbözik az „erő válla” fogalomtól. Kiderült, hogy a forgásszög érintőjének meghatározásához meg kell szoroznunk a pillanat értékét a pillanat hatásának vállával, ami azt jelenti, hogy a „váll” fogalma nemcsak erőre, hanem a pillanatra is. Amikor az Arkhimédész által felfedezett, az erő hatásának vállának fogalmát használtuk, azt is feltételeztük, hogy ez meddig vezethet. Az 5.3. ábrán látható módszer a nyomatékkar = = értékét adta meg x/2. Most próbáljuk meg más módon (gráf-analitikai módszerrel) meghatározni a pillanat vállát. Itt szükségünk lesz a csuklós tartókon lévő gerendához épített diagramokra:

149.7.1 ábra 149.7.2 ábra

Az anyagok ellenállásának elmélete lehetővé teszi, hogy a 149.7.1. ábrán látható "M" diagrammal jellemezhető belső normálfeszültségeket egy állandó merevségű gerendára vonatkozóan valamilyen külső fiktív terhelésnek tekintsük. Ekkor az "M" diagram területe a gerenda elejétől a fesztáv közepéig a gerenda anyagának fiktív támaszreakciója egy egyenletesen változó terhelésre. És a fiktív hajlítónyomaték az "M" diagram területe, megszorozva az "M" diagram súlypontja és a figyelembe vett pont távolságával. Mivel a fesztáv közepén a hajlítónyomaték értéke Ql/4, egy ilyen alakzat területe Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16 lesz. És ha ezt az értéket elosztjuk az EI merevséggel, akkor megkapjuk a forgásszög érintőjének értékét.

Előre tekintve meghatározzuk az elhajlás értékét. Az "M" háromszögdiagram súlypontja és a fesztáv közepe közötti távolság l/6, ekkor a fiktív hajlítónyomaték (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/ 6 = Ql 3 /48. Ekkor az elhajlás f = Ql 3 /48EI. És mivel a nyomatékdiagram a gerenda alján található, egy ilyen fiktív terhelés végül negatív értéket ad a forgási szögnek és az elhajlásnak, ami általában logikus, mivel egy ilyen terhelési hatás mellett az elhajlás - elmozdulás a keresztmetszet súlypontja az y tengelyen lesz lefelé.

A grafikus-analitikai módszer jellegzetessége, hogy a számítások száma tovább csökkenthető. Ehhez meg kell szoroznia egy fiktív terhelés diagramjának területét a diagram súlypontja és a koordináták kezdőpontja közötti távolsággal, nem pedig a tengely figyelembe vett pontjával. Például a fenti esetre (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

Egyenletes eloszlású terhelés mellett a nyomatékdiagramot ismertetjük másodfokú parabola, nehezebb meghatározni egy ilyen alak területét és a súlypont távolságát, de ehhez geometriai ismeretekre van szükségünk, hogy meg tudjuk határozni bármely ábra területét és egy ilyen alak súlypontjának helyzete.

Így kiderül, hogy egy olyan gerendára, amelyre koncentrált terhelés hat a gerenda közepén x = l / 2-nél:

tgθ \u003d M (x / 2) / (EI) \u003d ((Ql / 4) (l / 4)) / (EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.1)

Amit most csináltunk, azt integrációnak nevezzük, mert ha a "Q" diagram (149.7.1. ábra) értékét megszorozzuk a terhelés hosszával, akkor meghatározzuk egy "Q" oldalú téglalap területét és x, míg ennek a téglalapnak a területe egyenlő az "M" értékkel a pontban x.

Elméletileg kiderül, hogy a nyalábunkra összeállított egyik nyomatékegyenlet integrálásával tudjuk meghatározni a forgásszög érintőjének értékét. Maximális érték a két csuklós tartón lévő gerenda forgásszögének érintője, amelyekre koncentrált terhelés hat középen (149.7.1. ábra), x \u003d l / 2

tgθ = ∫Mdx/(EI)= ∫Axdx/(EI)\u003d Ax 2 / (2EI) \u003d (Q / 2) (l / 2) 2 / (2EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.2)

ahol DE a támogató reakció Q/2

Megosztott terhelés esetén a nyomatékegyenlet integrálása: q(l/2) x - qx 2 /2 a gerenda bal oldala a következő eredményt adja:

tgθ =∫Mdx/(EI)\u003d q (l / 2) (l / 2) 2 / (2EI) -q (l / 2) 3 / (6EI) \u003d ql 3 / (24EI) (11.6.3)

Ugyanezt az eredményt kapjuk a gráf-analitikai módszer alkalmazásakor is.

Amikor meghatároztuk az elfordulási szöget, az áttekinthetőség kedvéért azt feltételeztük, hogy a gerenda deformálódott az 5.2 ábrán látható módon, majd a 11.3.b ábrán látható módon, majd megállapítottuk, hogy ha nincs második támaszték, akkor a gerenda megfordult. az első támasztékok, de a valóságban van egy második támasz és ezért a gerenda ilyen módon (a gerendára ható terhelésünkkel) nem deformálható. Mivel a támasztékon nincs nyomaték, és ennek megfelelően nincsenek belső feszültségek, amelyek megváltoztathatnák a gerenda geometriai alakját, a tartón lévő gerenda geometriai alakja változatlan marad, és a gerenda mentén növekvő belső feszültségek deformálják a gerenda geometriai alakját. egyre többet sugároz, és ez oda vezet, hogy a gerenda a csuklós támaszok körül forog, és ez a forgási szög megegyezik a θ keresztmetszet dőlésszögével (mivel paralelepipedon gerendáról beszélünk):

11.4. ábra. Valódi gerenda deformáció.

Ha egyszerűen ábrázoljuk egy középen koncentrált terhelésű gerenda elfordulási szögeit a gerenda bal és jobb részének egyenletei szerint, akkor a diagram így fog kinézni:

11.5. ábra.

Ez a diagram csak az 5.3.a ábrán látható gerendára lenne helyes. Nyilván a mi esetünkben nem így nézhet ki a diagram, és a helyes diagram felépítéséhez figyelembe kell venni, hogy a gerenda keresztmetszete mindkét támaszon van lejtéssel, és ez a meredekség értékben azonos , de eltérő irányban, és a gerenda keresztmetszetének lejtése középen \u003d 0. Ha a diagramot lecsökkentjük Ql 2 /16EI értékre, amelyet a gerenda bal oldalára vonatkozó nyomatékegyenlet integrálásával kapunk, és amely pontosan mutatja a keresztmetszet dőlésszögét a tartón, akkor megkapjuk a tartó diagramját. következő űrlap:

11.6. ábra.

Ez a diagram teljesen pontosan mutatja a keresztmetszetek elfordulási szögének változását a teljes gerenda mentén, és a forgásszög érintőjének értéke a gerenda bal oldali tartóján nem más, mint egy bizonyos állandó 1-től, amit az integráció helyes végrehajtása esetén kapunk. És akkor a gerenda forgásszögének egyenlete adott terhelés mellett a szakaszon 0így fog kinézni:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) (11.6.5)

Az elosztott terhelésű gerenda elfordulási szögeinek diagramja vizuálisan nem különbözik a koncentrált terhelésű gerenda elfordulási szögeinek diagramjától, az egyetlen különbség az, hogy a gerenda elfordulási szögeinek diagramja elosztott teherrel egy köbös parabola. Az egyenletesen elosztott terhelésű gerenda elfordulási szögegyenlete a következőképpen néz ki:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) - qx 3 / (6EI) (11.6.6)

Az egyenletben szereplő jelekről. A "-" azt jelenti, hogy az egyenlet figyelembe vett tagja mintegy megpróbálja elforgatni a gerendát az óramutató járásával ellentétes irányban a vizsgált keresztmetszethez képest, és a "+" - az óramutató járásával megegyező irányba. Az elforgatási szögek diagramjából azonban látható, hogy az érték tgθ A negatívnak kell lennie. Így ha a szakasznak az óramutató járásával megegyező irányú meredeksége van az x tengelyhez képest, akkor az negatív lesz, ha pedig az óramutató járásával ellentétes, akkor pozitív.

Nos, most a legfontosabb, hogy szükségünk volt ezekre a szétszerelésekre a keresztmetszet elfordulási szögével, hogy meghatározzuk a gerenda elhajlását.

12. Az elhajlás definíciója.

A 11.4. ábrán látható, hogy a h/2 és Δx szárú háromszög hasonló a szárral rendelkező háromszöghöz x a második láb pedig egyenlő f+y, ami azt jelenti, hogy most meg tudjuk határozni az elhajlás értékét:

tgθ = (f + y)/X (12.1)

f + y = tgθ X(12.2.1) vagy f + y \u003d M x X / (2EI) (12.2)

kis értékekhez x jelentése nál nél közel 0, de a szakasz távolabbi pontjain az érték nál nél növeli. Jelentése nál nél- ez a hatás a második támasz jelenléte eltérítésének nagyságára. Vegye figyelembe, hogy ez az érték nál nélábra mutatja a különbséget a gerenda hossztengelyének valós meredeksége és a gerenda hossztengelyének meredeksége között, ha a gerendát egyszerűen elforgatjuk a tartó körül, és kiderül, hogy az érték nál nél forgásszögétől függ. Ezen kívül ismét egy olyan egyenletet kaptunk, amelyben az elhajlás értéke egy ponton függ a forgásszög érintőjétől (12.2.1) és így kiderül, hogy a forgásszögnek is van "hatásválla" . Például y \u003d f / 2-vel (ha az 1. kép bal oldalát nézi, akkor valahol a sugár közepén lesz) a következő képletet kapjuk az elhajlás meghatározásához:

f \u003d M x 2 / (3EI) (12.3.1)

De nem feltételezünk semmit, hanem az integrációt fogjuk használni. Ha integráljuk a nyaláb bal oldalára vonatkozó nyomatékegyenletet, akkor megkapjuk az értéket nál nél(telek nál nél türkiz színben látható az 1. képen):

y \u003d ∫ ∫ ∫ (Q / 2) dx \u003d 2 (Q / 2) (l / 2) 3 / 6EI \u003d Ql 3 / (96EI) (12.3.2)

vagy a lila diagram területe a gerenda bal oldalán (5.5. ábra), de szükségünk van a gerenda bal oldali részén található kék diagram területére (5.6. ábra), amely a terület kétszerese a lila diagramból. Ilyen módon:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2) (l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Nagyon könnyű megmagyarázni, hogy a kék telek területe miért kétszer nagyobb, mint a lila telek területe. A háromszög területe egyenlő az azonos oldalú téglalap területének 1/2-ával, a négyzet parabolával leírt ábra területe a téglalap területének 1/3-a ugyanazokkal az oldalakkal. Ha kibontjuk a lila parcellát, egy téglalapot kapunk, amelyet a kék és lila parcellák alkotnak. Ennek megfelelően, ha a téglalap területéből kivonjuk az 1/3-ot, akkor 2/3-ot kapunk. Ennek a logikai sorozatnak van egy folytatása - a köbös parabolával leírt ábra területe az azonos oldalú téglalap területének 1/4-e, és így tovább.

Az elhajlás értékét más módon is megtalálhatjuk. A 11.4 ábrából és a (12.2) képletekből az következik, hogy:

f x = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l / 2 \u003d - (Ql 2 / 16EI) l / 2 + (Ql 3 / 96EI) \u003d - (Ql 3 / 48EI) (12.3.5)

Ebben az esetben a "-" jel azt jelzi, hogy a gerenda keresztmetszetének középpontja lefelé mozog a tengely mentén nál nél a tengelyről x. És most vissza az 1. fényképhez. Egy diagram látható a gerenda hossztengelye alatt nál nél, ezt az értéket az l/2 pontban vontuk ki a (12.3.3) egyenlet megoldása során. Sőt, kiderül, hogy az arány között fÉs nál nél az előző integráció együtthatójától függ, pl. y = kf vagy f = y/k. Amikor integráltuk az erőegyenletet, az 1/2 együtthatót kaptuk. Ugyanezt az értéket kaptuk azonban, amikor meghatároztuk a pillanatnyi tőkeáttételt. Ha ezt a logikai sorozatot folytatjuk, akkor kiderül, hogy az elosztott terheléstől való elhajlás meghatározásakor az 1/3-os együtthatót kell használnunk, azaz a gerenda közepén az elhajlást a következő képlettel számíthatjuk ki:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3∫∫∫∫ qdx \u003d (2 (qlx 3/6) - 3 (qx 4/24)) / EI \u003d 5ql 4 / (384EI) (12.4.4)

f x = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f l / 2 \u003d (- ql 3 x / 24 + (qlx 3 / 6) - ( qx 4 / 24)) / EI \u003d - 5ql 4 / (384EI) (12.4.6)

Ebben az esetben a "-" jel azt jelenti, hogy a keresztmetszet súlypontja lefelé mozog a tengely mentén nál nél.

Jegyzet: Az elhajlás meghatározására javasolt módszer némileg eltér az általánosan elfogadottaktól, mivel igyekeztem a tisztaságra koncentrálni.

Ha az elhajlást grafikus-analitikai módszerrel határozzuk meg, akkor a fiktív terhelés területe - a négyzetparabola által leírt nyomatékdiagram - (a 378.1 táblázat szerint) (2ql 2 / (8 3)) l / 2 = ql 3 / 24. A diagram súlypontja és az origó távolsága pedig 5/8. Ekkor a fiktív nyomaték (ql3/24)(5l/(8 2)) = 5ql 4 /384.

Természetesen a nem középen lévő gerendára is lehet koncentrált terhelést kifejteni, az elosztott terhelés nemcsak egyenletesen oszlik el, és nem hat a gerenda teljes hosszában, és a gerenda tartókra való rögzítésének lehetőségei is eltérőek. De ezért léteznek kész képletek használni őket.

Engedje meg! - Azt fogod mondani: - Mindez jó, de mi van a nyírófeszültségekkel? Végül is az y tengely mentén hatnak, ezért valamilyen módon befolyásolniuk kell az elhajlást!

Rendben. A nyírófeszültségek befolyásolják az elhajlást, azonban az l/h > 10 arányú gerendáknál ez a hatás nagyon jelentéktelen, ezért megengedett az ebben a cikkben leírt módszer alkalmazása az elhajlás meghatározására.

De ez még nem minden, ahogy már mondtuk, meglehetősen egyszerű az elhajlás értékének empirikus meghatározása a cikk elején leírt módszerrel. Mivel nem volt jobb kéznél, vettem egy fából készült vonalzót, aminek a prototípusát oly sokáig leírtam (lásd 1. kép). A fa vonalzó mérete körülbelül 91,5 cm, szélessége b=4,96 cm és magassága h=0,32 cm (a magasság és a szélesség tolómérővel lett meghatározva). Ezután a vonalzót a támaszokra tettem, miközben a támaszok közötti távolság kb 90 cm volt és így l = 90 cm fesztávú gerendát kaptam.Saját súlyának hatására a vonalzó természetesen egy kicsit meghajlott , de egy ilyen kis elhajlás nem érdekelt. Mérőszalaggal (1 mm-es pontossággal) megmértem a padló és a vonalzó alja közötti távolságot (77,65 cm), majd középre feltételesen koncentrált terhelést alkalmaztam (egy kb 52 grammos mérőpoharat 250-el helyeztem el) gramm vizet a közepén), és megmérte a távolságot a padlótól a vonalzó aljáig terhelés alatt (75,5 cm). A különbség a két mérés között a kívánt elhajlás volt. Így az empirikusan meghatározott elhajlás nagysága 77,65 - 75,5 = 2,15 cm. Már csak meg kell találni a fa rugalmassági modulusát, meghatározni egy adott szakasz tehetetlenségi nyomatékát és pontosan kiszámítani a terhelést. E rugalmassági modulus fára = 10 5 kgf / cm 2, téglalap alakú szakasz tehetetlenségi nyomatéka I z = bh 3 /12 = 4,98 0,32 3 /12 = 0,01359872 cm 4, teljes terhelés - 0,302 kg.

Az elhajlás számítása a képlet alapján a következőt adta: f = Ql 3 / (48EI) = 0,302 90 3 / (48 10 5 0,0136) = 3,37 cm Emlékeztetni kell arra, hogy az empirikusan meghatározott kitérés: f = 2,15 cm. Talán figyelembe kellett volna venni a függvény első deriváltjának - a forgási szög érintőjének - eltérítésére gyakorolt ​​hatást? Végül is a dőlésszög a fotó alapján meglehetősen nagy.

Ellenőrzés: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0,302 90 2 /(16 10 5 0,0136) = 0,11233. Ekkor az (542,12) képlet szerint f = 3,37/((1 + 0,112 2) 3/2) = 3,307 cm. minden bizonnyal van befolyás, de nem haladja meg a 2%-ot vagy a 0,63 mm-t.

Az eredmény eleinte meglepett, de aztán több magyarázat is volt az eltérésre, különösen középen a vonalzó keresztmetszete nem téglalap alakú, mivel a vonalzó az idő és a víz hatására deformálódott, ill. A tehetetlenségi nyomaték egy ilyen metszetnél nagyobb, mint a téglalap alakúnál, ráadásul a vonalzó nem fenyőből, hanem keményebb fafajtából készül, aminél magasabbra kell venni a rugalmassági modulust. És tudományos szempontból egy eredmény egyáltalán nem elég ahhoz, hogy bármilyen törvényszerűségről beszéljünk. Ezt követően I = 2,02 cm 4 tehetetlenségi nyomatékú, 2 m-nél hosszabb, 2 m fesztávú farúd lehajlási értékét ellenőriztem a rúd közepére alkalmazott 2 kg terhelés mellett, majd az elméletileg és empirikusan meghatározott lehajlási érték tizedmilliméterre esett. Természetesen lehetne folytatni a kísérleteket, de úgy történt, hogy előttem már több száz ember csinálta ezt, és a gyakorlatban olyan eredményeket értek el, amelyek nagyon közel állnak az elméletihez. És ha figyelembe vesszük, hogy ideális esetben izotróp anyagok csak elméletben léteznek, akkor ezek nagyon jó eredmények.

Az elfordulás szögének meghatározása az elhajláson keresztül.

Határozza meg egy csuklós gerenda elfordulási szögének értékét, amelyet csak a hajlítónyomaték befolyásol M az egyik tartón, például a tartón DE olyan egyszerűnek tűnik, mint:

tgθ x \u003d - tgθ A + Mx / (EI) - Ax 2 / (2EI) (13.1.1)

ahol A \u003d M / l, (B = - M/l), de ehhez ismerni kell a támaszon lévő elfordulási szöget DE, de nem ismerjük, de segít kiszámítani, ha megértjük, hogy a támasztékokon az elhajlás nulla lesz, majd:

f A = tgθ Bl - Bl 3/(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B = tgθ A l + Ml 2 / (2EI) - Al 3 / (6EI) \u003d 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Amint látja, azon a támasztékon, amelyre a hajlítónyomaték vonatkozik, a forgásszög kétszerese az ellenkező támaszon lévő forgásszögnek, ez egy nagyon fontos minta, amely a jövőben nagyon hasznos lesz számunkra.

Ha a súlyponton lévő gerendára nincs koncentrált terhelés, vagy az eloszlás egyenetlen, akkor a támasztékok elfordulási szögeit elhajlás útján határozzák meg, a fenti példának megfelelően. Más szóval, a kezdeti paraméterek értékeit a megoldás során határozzák meg

6. TÉMA

HAJLÍTÁS ALATT AZ ELTOZÁSOK MEGHATÁROZÁSA. A GERENDÁK MEREVSÉGÉRE SZÁMÍTÁSA

6.1. A rugalmas vonal fogalma. Elhajlás és forgásszög. Rugalmas egyenes differenciálegyenlete. Hajlítási merevség állapota

A hajlított gerendák működésének megítéléséhez nem elég csak azokat a feszültségeket ismerni, amelyek adott terhelés hatására a gerenda szakaszaiban keletkeznek. A számított feszültségek lehetővé teszik a rendszer szilárdságának ellenőrzését. A nagyon erős gerendák azonban használhatatlanok lehetnek a nem megfelelő merevség miatt. Ha a gerenda terhelés hatására erősen meghajlik, akkor a rugalmas gerendákkal rendelkező szerkezet működése során nehézségek lépnek fel, és emellett nagy amplitúdójú gerendarezgések, ugyanakkor jelentős többletfeszültségek léphetnek fel.

Alatt merevség meg kell érteni a szerkezeti elemek és gépalkatrészek külső terhelésnek ellenálló képessége látható alakváltozások nélkül. A merevség számítása abból áll, hogy értékeljük a gerenda rugalmas megfelelőségét az alkalmazott terhelések hatására, és olyan keresztmetszeti méreteket kell kiválasztani, amelyeknél az elmozdulások nem haladják meg a szabványok által meghatározott határértékeket. Egy ilyen számítás elvégzéséhez meg kell tanulni, hogyan kell kiszámítani a gerenda szakaszok elmozdulását bármilyen külső terhelés hatására.

Tekintsük a gerenda deformációját egyszerű hajlítás esetén. A gerenda tengelye (6.1. ábra, a) az egyik fő tehetetlenségi síkban (a DIV_ADBLOCK65 síkban) elhelyezkedő terhelés hatására

Pont https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" width="13" height="15">.gif" width="24" height="19 src=">.gif "width="13" height="15">. Ha egy pontban egy görbe gerenda tengelyének érintőjét húzzuk, akkor az egy szöggel elfordul a tengely kezdeti helyzetéhez képest. idővel a pontban lévő szakasz azonos szöggel fog elfordulni, tehát három mennyiség- , és egy tetszőleges nyalábkeresztmetszet elmozdulási összetevői. A szelvény súlypontjának a gerenda tengelyére merőleges irányú elmozdulását ún. elhajlás. A legnagyobb elhajlást ún megereszkedikés betűvel van jelölve.

Szög https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" width="24" height="19 src=">.

Font-weight:normal"> 6.1. ábra

A gerendák merevségének ellenőrzése abból a követelményből áll, hogy a maximális elhajlás font-weight:normal"> .

A https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" width="17" height="15 src="> szám értéke 1000.

Ez azt mutatja, hogy a hajlítási alakváltozások általában kicsik a gerenda fesztávjához képest. Ez lehetővé teszi bizonyos egyszerűsítések végrehajtását. Először is, kis eltérésekkel font-weight:normal">font-weight:normal">Másodszor a vízszintes elmozdulások elhanyagolhatók, mivel ezek lényegesen kisebbek https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5. gif" width="45" height="15 src=">). Ehhez a számításokhoz a 6.1. b ábrán látható feltételes eltolási sémát fogjuk használni. E séma szerint minden pont merőlegesen mozog a a gerenda hossztengelye.

Az alakváltozások teljes képének meghatározásához szükség van egy rugalmas egyenes egyenletének meghatározására

A nyaláb íves tengelyének fizikai jellege alapján kijelenthetjük, hogy a rugalmas vonalnak folytonos és sima görbének kell lennie, ezért a függvénynek és annak első deriváltjának folytonosnak kell lennie a nyaláb teljes tengelyében. Az elhajlás és az elfordulási szög a gerendák szakaszainak elmozdulása a hajlítás során. A gerenda egyik vagy másik szakaszának deformációját a görbülete határozza meg.

A normál hajlítófeszültségek képletének levezetésekor összefüggést kaptunk a görbület és a hajlítónyomaték között:

font-weight:normal"> A felsőbb matematikából a következő egyenlet ismert egy síkgörbe görbületére:

Font-weight:normal"> A görbület értékét behelyettesítve a (6.2) egyenletbe, és a koordinátát az elhajlásra cserélve megkapjuk a gerenda rugalmas vonalának pontos differenciálegyenletét:

Font-weight:normal">Ennek a nemlineáris differenciálegyenletnek az integrálása nagy nehézségekkel jár, tekintettel arra, hogy a gyakorlatban kis elhajlásokkal kell számolni, és a tengely érintőjének dőlésszögeinek érintői kicsi, az első származék négyzete https://pandia.ru/text/79/355/images/image024_4.gif" width="101 height=48" height="48"> (6.5)

A (6.5) egyenlet két előjele azért van beállítva, mert a görbület előjele nem feltétlenül esik egybe a hajlítónyomaték előjelével. A görbület előjele a koordinátatengelyek irányától függ. A hajlítónyomaték előjelét a megfeszített szálak elhelyezkedésétől függően választottuk. Így például abban az esetben, ha a tengely felfelé irányul, egy pozitív nyomaték (6.2. ábra, a) pozitív görbületnek, a negatív nyomaték pedig negatív görbületnek felel meg.

Font-size:14.0pt"> 6.2. ábra

Így abban az esetben, ha a tengely felfelé irányul, a görbület és a hajlítónyomaték előjelei egybeesnek. Ezért a differenciálegyenletben az előjelet veszik“ + ” . Ha a tengely EN-US" style="font-size: 14.0pt">“- ” .

6.2. Rugalmas egyenes közelítő (alap) differenciálegyenletének közvetlen integrálásának módszere

A feladatot analitikai módszerrel megoldva a (6.5) közelítő differenciálegyenlet egymás utáni integrálásával számítjuk ki az elfordulási szögeket és az elhajlásokat. A (6.5) egyenletet először integrálva az elforgatási szög kifejezését kapjuk:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" width="12" height="23">

ahol font-family:Symbol">- integrációs állandó.

Másodszor integrálva megkapjuk az eltérítés kifejezését:

font-size:14.0pt">.gif" width="17" height="17 src=">- integrációs állandók.

A (6.6) és (6.7) integrálok kiszámításához először analitikus kifejezéseket kell írni a hajlítónyomatékra és a merevségre. Integrációs állandók a peremfeltételekből találhatók, amelyek a körülményektől függenekgerendaszakaszok határainak mozgatása.

Nézzünk néhány példát a gerenda rugalmas egyenesének közelítő egyenletének közvetlen integrálásának módszerére.

6.1. példa.Határozza meg a 6.3. ábrán látható gerenda B szakaszának elhajlását és elfordulási szögét!

Font-size:14.0pt"> 6.3. ábra

Megoldás:

; .

- jobbra.

.

„+” jel

5. Az egyenletet először integráljuk. Kapunk:

HU-US" style="font-size: 14.0pt">.(de)

HU-US" style="font-size: 14.0pt">.(b)

Mivel az elhajlás és az elfordulás szöge a beágyazásban egyenlő nullával, az integrálási állandók meghatározásához határviszonyok hasonló:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" width="37" height="19 src=">font-size:14.0pt"> Az (a) egyenlet azt mutatja, hogy az állandó a forgásszög az origónál (A szakasz). Az (a) egyenletbe beállítva azt kapjuk, hogy . A (b) egyenletből az következik, hogy az állandó betűméret: 14,0 pt; font-family:Symbol">-elhajlás az origónál..gif" width="43" height="19 src=">.

Így a következő kifejezéseket kapjuk az elhajlásra és az elfordulási szögre:

,

.

Az első egyenletben behelyettesítve megtaláljuk az eltérítési nyilat:

.

A második egyenletbe behelyettesítve megtaláljuk a maximális forgásszöget

"-" jel az elhajlásnál azt jelzi, hogy iránya nem esik egybe a tengely pozitív irányával. Jel“ - ” az elforgatási szög kifejezés azt mutatja, hogy a B szakasz nem az óramutató járásával ellentétes, hanem az óramutató járásával megegyező irányban forgott.

6.2. példa.Határozzuk meg a kéttámaszú gerenda kihajlását és az A és B tartószakaszok elfordulási szögeit (6.4. ábra).

Font-size:14.0pt"> 6.4. ábra

Megoldás:

1. Az egyensúlyi feltételekből meghatározzuk a hordozóreakciókat:

2. Kijelöljük a koordináták origóját a gerenda bal végén, kombinálva az A ponttal. A tengelyt felfelé irányítjuk, a tengelyt- jobbra.

3. Összeállítjuk a hajlítónyomaték egyenletét a szakaszban:

.

4. Feltételezve, hogy a gerenda merevsége állandó, felírjuk a gerenda rugalmas vonalának közelítő differenciálegyenletét:

.

„+” jel az egyenletben a rugalmas egyenest vettük, mert a tengely felfelé irányul.

5. Az egyenletet először integráljuk. Kapunk:

HU-US" style="font-size: 14.0pt">.(ban ben)

Újra integrálva megkapjuk az elhajlás egyenletét a szakaszban:

HU-US" style="font-size: 14.0pt">.(G)

Az integráció állandóit a peremfeltételekből találjuk meg:

A https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">font-size:14.0pt"> behelyettesítésével a (d) egyenletbe, és egyenlővé teszi nulla eltérítést kapunk; behelyettesítve ugyanabban az egyenletben: https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" width="16" height="19">:

Az integrációs állandók talált értékeit behelyettesítjük a (c) és (d) egyenletbe, és megkapjuk az elfordulási szögek és az elhajlások egyenleteit:

;

.

Az első egyenletbe behelyettesítve a https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src="> elemet, megkapjuk az A és B szakasz elforgatási szögeit, illetőleg:

; .

A terhelés szimmetriája miatt a maximális az elhajlás a gerenda közepén lesz. A font-size:14.0pt"> behelyettesítése a második egyenletbe .

Az előző példához hasonlóan a jel“ - ” az elhajlásnál azt jelzi, hogy iránya nem esik egybe a tengely pozitív irányával EN-US style="font-size:14.0pt"">“- ” a forgásszög kifejezésében azt mutatja, hogy az A szakasz nem a jel ellen, hanem az óramutató járásával megegyező irányba fordult“ + ” a forgatási szög kifejezésben font-size:14.0pt">6.3. példa. A 6.5. ábrán látható gerenda végén lévő B szakaszban hányszor nagyobb az elhajlás, mint a gerenda közepén lévő C szakaszban.?

HU-US" style="font-size:14.0pt"> 6.5. ábra

Megoldás:

Használjuk a 6.1. példában kapott eredményeket. Írjuk fel az eltérítés végső kifejezését:

és behelyettesítjük a C és B pont koordinátáit ebbe az egyenletbe.

Itt: https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" width="264" height="101 src=">;