Azokban az esetekben, amikor a cselekmény Mz 1 (vagy Mz) egyenesek határolják. Lényegében ez egy gráf-analitikai számítási módszer határozott integrál két függvény szorzatából f(x) és φ (x), amelyek közül például φ (x), lineáris, azaz megvan a formája

Tekintsük a gerenda olyan szakaszát, amelyen belül az egyetlen terhelés hajlítónyomatékainak diagramja egy egyenesre korlátozódik Mz 1 = kx+ b, és adott terhelésből a hajlítónyomaték valamilyen tetszőleges törvény szerint változik Mz. Aztán ezen a régión belül

A második integrál a terület ω diagramok Mz a vizsgált területen, és az első ennek a területnek a tengelyhez viszonyított statikus nyomatéka yés ezért egyenlő a terület szorzatával ω súlypontjának koordinátájához xc. És így,

.

Itt kxc+ b- ordináta yc diagramok Mz 1 a terület súlypontja alatt ω . Ennélfogva,

.

Munka ω yc mikor lesz pozitív ω és yc az ábrázolás tengelyének egyik oldalán találhatók, és negatívak, ha ennek a tengelynek az ellenkező oldalán vannak.

Szóval, által Verescsagin módszer az integrációs műveletet területszorzás váltja fel ω ordinánként egy diagram yc a második (szükségképpen lineáris) diagram, amely a terület súlypontja alatt van ω .

Fontos mindig emlékezni arra, hogy a diagramok ilyen „szorzása” csak abban a szakaszban lehetséges, amelyet a diagram egy egyenes vonala korlátoz, amelyből az ordinátát vettük. yc. Ezért a gerenda szakaszok elmozdulásának Verescsagin módszerrel történő kiszámításakor a Mohr-integrált a gerenda teljes hosszában le kell cserélni az olyan szakaszok integráljainak összegére, amelyeken belül az egyetlen terhelés nyomatékdiagramja nem törődik. Azután

.

A Verescsagin módszer sikeres alkalmazásához olyan képletekre van szükség, amelyekkel a területek kiszámíthatók ω és koordináták xc súlypontjaik. táblázatban megadva. A 8.1-es adatok csak a legtöbbnek felelnek meg egyszerű esetek gerenda terhelés. A hajlítónyomatékok bonyolultabb diagramjai azonban egyszerű ábrákra, területekre bonthatók ω én, és koordináták yci amelyek ismertek, majd keresse meg a terméket ω yc egy ilyen összetett diagramhoz a területek szorzatainak összegzésével ω én részeit a megfelelő koordinátákhoz yci. Ez azzal magyarázható, hogy a szorozható diagram részekre bontása egyenértékű a függvény ábrázolásával Mz(x) az integrálban (8.46) integrálok összegeként. Egyes esetekben a réteges diagramok felépítése leegyszerűsíti a számításokat, azaz mindegyikből külső erőkés a párok külön.

Ha mindkét cselekmény Mzés Mz 1 lineáris, végeredmény szorzásuk nem attól függ, hogy az első diagram területét megszorozzuk-e a második ordinátájával, vagy fordítva, a második területét az első ordinátájával.

Az elmozdulások Vereschagin módszer szerinti gyakorlati kiszámításához szükséges:

1) készítsen egy diagramot a hajlítónyomatékokról egy adott terhelésből (fődiagram);

3) készítsen egy diagramot a hajlítónyomatékokról egyetlen terhelésből (egy diagram);

4) az adott terhelések diagramjait külön területekre osztja fel ω énés kiszámítja az ordinátákat yCi egyetlen diagram e területek súlypontjai alatt;

5) komponálni egy művet ω ényCiés összegezze őket.

8.1. táblázat.

Telek típusa Mz	Négyzet ω	A súlypont koordinátája xc
(*) - Ezek a képletek nem érvényesek ilyen terhelési esetre

EE "BSUIR"

Mérnökgrafika Tanszék

„MOZGÁSOK MEGHATÁROZÁSA MÓRA MÓDSZERÉVEL. VERESCHAGIN SZABÁLYA"

MINSZK, 2008

Nézzünk most egy általános módszert az elmozdulások meghatározására, amely bármilyen terhelés mellett bármilyen lineárisan deformálható rendszerre alkalmas. Ezt a módszert a kiváló német tudós, O. Mohr javasolta.

Legyen például meg kell határozni az ábrán látható gerenda A pontjának függőleges elmozdulását. 7.13, a. Az adott (terhelési) állapotot k betűvel jelöljük. Válasszunk egy segédállapotot ugyanannak a gerendának egységnyivel

az A pontban és a kívánt mozgás irányában ható erő. A segédállapotot i betűvel jelöljük (7.13.,6. ábra).

Számítsuk ki a külső ill belső erők segédállapot a rakományállapot erői által okozott elmozdulásoknál.

A külső erők munkája egyenlő lesz egységnyi erő és a kívánt elmozdulás ya szorzatával

és a belső erők munkája abszolút értékben egyenlő az integrállal

(1)

A (7.33) képlet a Mohr-formula (Mohr-integrál), amely lehetővé teszi egy lineárisan deformálható rendszer bármely pontjában az elmozdulás meghatározását.

Ebben a képletben a MiMk integrandus pozitív, ha mindkét hajlítónyomaték előjele azonos, és negatív, ha Mi és Mk. különböző jelek.

Ha az A pontban határoznánk meg a szögeltolódást, akkor i állapotban az A pontban eggyel egyenlő nyomatékot (méret nélkül) kell alkalmazni.

Bármilyen (lineáris vagy szögletes) elmozdulást Δ betűvel jelölve a Mohr-képletet (integrál) a formába írjuk.

(2)

Általános esetben az Mi és Mk analitikai kifejezése eltérő lehet a gerenda különböző szakaszaiban vagy általában a rugalmas rendszerben. Ezért a (2) képlet helyett az általánosabb képletet kell használni

(3)

Ha a rendszer rúdjai nem hajlításban, hanem feszítésben (kompresszióban) működnek, mint például a rácsos tartókban, akkor a Mohr-képlet alakja

(4)

Ebben a képletben a NiNK szorzat pozitív, ha mindkét erő húzó, vagy mindkettő nyomó. Ha a rudak egyidejűleg működnek hajlításban és feszítésben (kompresszióban), akkor szokásos esetekben, mint az összehasonlító számítások mutatják, az elmozdulások csak hajlítónyomatékok figyelembevételével határozhatók meg, mivel a hosszirányú erők hatása nagyon kicsi.

Ugyanezen okokból, amint azt korábban említettük, szokásos esetekben figyelmen kívül hagyhatjuk a nyíróerők hatását.

A Mohr-integrál közvetlen kiszámítása helyett használhatja a gráfelemző technikát "a diagramok szorzásának módszerét", vagy Verescsagin szabályát.

Tekintsünk két hajlítónyomaték diagramot, amelyek közül az egyik Mk tetszőleges alakú, a másik Mi pedig egyenes vonalú (7.14. ábra, a és b).

(5)

Az MKdz értéke az Mk diagram dωk elemi területe (az ábrán árnyékolva). És így,

(6)

ennélfogva,

(8)

De az Mk diagram területének statikus nyomatékát jelenti az O ponton áthaladó valamely y tengelyhez képest, egyenlő ωkzc-vel, ahol ωk a nyomatékdiagram területe; zc az y tengely és az Mk diagram súlypontja közötti távolság. A rajzon látható, hogy

ahol Msi az Mi diagram ordinátája, amely az Mk diagram súlypontja alatt helyezkedik el (a C pont alatt). Ennélfogva,

(10)

azaz a kívánt integrál egyenlő az Mk diagram területének (bármilyen körvonallal) és az Msi egyenes diagram súlypontja alatt elhelyezkedő ordinátájának szorzatával. Az ωкМсi értéke pozitívnak tekinthető, ha mindkét diagram a rúd ugyanazon oldalán található, és negatívnak, ha különböző oldalakon található. A diagramok szorzásának pozitív eredménye azt jelenti, hogy a mozgás iránya egybeesik egy egységnyi erő (vagy nyomaték) irányával.

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az Msi ordináta szükségszerűen egyenes vonalú diagramban történik. Abban az esetben, ha mindkét diagram egyenes vonalú, akkor bármelyik területét meg lehet szorozni a másik megfelelő ordinátájával.

Változó keresztmetszetű rudaknál a Verescsagin-féle diagramok szorzási szabálya nem alkalmazható, mivel ebben az esetben az integráljel alól már nem lehet kivenni az EJ értékét. Ebben az esetben az EJ-t a szakasz abszcissza függvényében kell kifejezni, majd ki kell számítani a Mohr-integrált (1).

A rúd merevségének fokozatos változtatásával minden szakaszra külön-külön (saját EJ értékkel) elvégzik az integrálást (vagy a diagramok szorzását), majd az eredményeket összesítik.

táblázatban. Az 1. ábra a legegyszerűbb diagramok területének értékeit és a súlypontjuk koordinátáit mutatja.

Asztal 1

Telek típusa	Telek területe	Távolság a súlyponttól

A számítások felgyorsítása érdekében diagramokhoz használhatunk kész szorzótáblákat (2. táblázat).

Ebben a táblázatban a megfelelő elemi diagramok metszéspontjában lévő cellákban ezen diagramok szorzásának eredményeit adjuk meg.

Egy összetett diagram elemire bontásakor, a táblázatban bemutatva. Az 1. és 7.2. ábrákon szem előtt kell tartani, hogy a paraboladiagramok csak egy megosztott terhelés hatásából származnak.

Azokban az esetekben, amikor egy komplex diagramban görbült metszeteket koncentrált nyomatékok, erők és egyenletesen elosztott terhelés egyidejű hatásából kapunk, a hibák elkerülése érdekében a komplex diagramot először „rétegezni” kell, azaz fel kell osztani számos független diagram: koncentrált nyomatékok, erők hatásából és egyenletes eloszlású terhelés hatásából.

Alkalmazhatunk más technikát is, amely nem igényli a diagramok rétegezését, csak a diagram ívelt részét kell kiválasztani a szélső pontjait összekötő húr mentén.

Mindkét módszert egy konkrét példával mutatjuk be.

Legyen például meg kell határozni a gerenda bal végének függőleges elmozdulását (7.15. ábra).

A terhelés teljes diagramja az ábrán látható. 7.15 a.

7.2. táblázat

ábrán látható az egységnyi erő hatásának diagramja az A pontban. 7.15, város

Az A pont függőleges elmozdulásának meghatározásához meg kell szorozni a diagramot a terhelésből az egységnyi erő diagramjával. Megjegyezzük azonban, hogy a teljes diagram BC metszetében a görbe vonalas diagramot nemcsak egyenletesen eloszló terhelés hatására kaptuk, hanem koncentrált P erő hatására is. Ennek eredményeként a BC szakaszban ott van már nem a 7.1 és 7.2 táblázatban megadott elemi paraboladiagram lesz, hanem lényegében egy összetett diagram, amelyre a táblázatokban szereplő adatok nem érvényesek.

Ezért a komplex diagramot fel kell osztani az ábra szerint. ábrán bemutatott elemi diagramokon, 7.15. 7.15b és 7.15c.

ábra szerinti telek. 7.15, b csak koncentrált erőből származott, az ábra szerinti diagram. 7.15, c - csak egyenletesen elosztott terhelés hatására.

Most a táblázat segítségével megszorozhatja a diagramokat. 1 vagy 2.

Ehhez meg kell szorozni a háromszög diagramot az ábra szerint. ábra szerinti háromszög alakú telken 7,15, b. 7.15, d és ehhez adjuk hozzá a 2. ábrán látható paraboladiagram szorzatának eredményét. ábra szerinti BC metszet trapézdiagramján, 7.15. 7.15, d, mivel az AB szakaszban az ábra szerinti diagram ordinátái. 7,15, egyenlők nullával.

Mutassuk meg most a diagramok szorzásának második módját. Tekintsük újra az ábrán látható diagramot. 7.15 a. Az origót a B szakaszban vesszük. Mutassuk meg, hogy az LMN görbén belül a hajlítónyomatékok az LN egyenesnek megfelelő hajlítónyomatékok és az LNML paraboladiagram hajlítónyomatékainak algebrai összegeként kaphatók meg, ugyanúgy, mint egy a hosszúságú egyszerű gerenda, egyenletesen elosztott q terheléssel:

A középső legnagyobb ordináta a következő lesz.

Ennek bizonyítására felírjuk a hajlítónyomaték tényleges kifejezését a B ponttól z távolságra lévő szakaszra

(DE)

Írjuk most ugyanabba a szakaszba a hajlítónyomaték kifejezését, amelyet az LN egyenes és az LNML parabola ordinátáinak algebrai összegeként kapunk.

Egy LN egyenes egyenlete

ahol k ennek az egyenesnek a meredeksége

Ezért az LN egyenes és az LNMN parabola egyenletének algebrai összegeként kapott hajlítónyomaték-egyenlet alakja

ami megegyezik az (A) kifejezéssel.

Ha diagramokat szoroz a Verescsagin-szabály szerint, a BLNC trapézt meg kell szoroznia a BC szakasz egyetlen diagramjának trapézével (lásd 7.15. ábra, d), és ki kell vonni az LNML paraboladiagram (terület) szorzatának eredményét. trapéz egyetlen diagramból. A diagramok rétegezésének ez a módja különösen előnyös, ha a diagram ívelt szakasza a gerenda valamelyik középső szakaszán található.

7.7. példa. Határozza meg a konzolos gerenda függőleges és szögeltolódását a terhelés alkalmazási helyén (7.16. ábra).

Döntés. Készítünk egy diagramot a hajlítási nyomatékokról a rakomány állapotára (7.16. ábra, a).

A függőleges elmozdulás meghatározásához egységnyi erővel választjuk ki a gerenda segédállapotát a terhelés alkalmazási pontján.

Ebből az erőből készítjük a hajlítónyomatékok diagramját (7.16. ábra, b). A függőleges mozgást a Mohr-módszer szerint határozzuk meg

A terhelésből származó hajlítónyomaték értéke

A hajlítónyomaték értéke egységnyi erőből

Ezeket az MP és Mi értékeket behelyettesítjük az integráljelbe, és integráljuk

Ugyanezt az eredményt korábban más módon kaptuk.

A pozitív elhajlási érték azt jelzi, hogy a P terhelés alkalmazási pontja lefelé mozdul el (az egységnyi erő irányába). Ha az egységnyi erőt alulról felfelé irányítanánk, akkor Mi = 1z lenne, és az integrálás eredményeként mínusz előjelű kitérést kapnánk. A mínusz jel azt mutatná, hogy a mozgás nem felfelé, hanem lefelé történik, ahogy a valóságban is.

Most kiszámítjuk a Mohr-integrált úgy, hogy a diagramokat a Verescsagin-szabály szerint megszorozzuk.

Mivel mindkét diagram egyenes vonalú, nem mindegy, hogy melyik diagramból vegyük ki a területet és melyik az ordinátát.

A rakománydiagram területe egyenlő

Ennek a diagramnak a súlypontja 1/3 l távolságra van a végződéstől. alatt elhelyezkedő egységnyi erőből határozzuk meg a nyomatékdiagram ordinátáját

a rakomány diagram súlypontja. Könnyen ellenőrizhető, hogy egyenlő-e 1/3 literrel.

Ennélfogva.

Ugyanezt az eredményt kapjuk az integrálok táblázatából is. A diagramok szorzásának eredménye pozitív, mivel mindkét diagram a rúd alján található. Következésképpen a terhelés alkalmazási pontja lefelé tolódik el, azaz az egységnyi erő elfogadott iránya mentén.

A szögeltolódás (elfordulási szög) meghatározásához a sugár segédállapotát választjuk ki, melyben a nyaláb végén eggyel egyenlő koncentrált nyomaték hat.

Erre az esetre elkészítjük a hajlítónyomatékok diagramját (7.16. ábra, c). A diagramok szorzásával határozzuk meg a szögeltolódást. Rakományterület diagram

A diagram ordinátái egyetlen pillanatból mindenhol egyenlőek eggyel, ezért a metszet kívánt forgási szöge egyenlő

Mivel mindkét diagram alul található, a diagramok szorzásának eredménye pozitív. Így a gerenda végszakasza az óramutató járásával megegyező irányban forog (egyetlen pillanat irányába).

Példa: Határozza meg az elhajlást a D pontban a Mohr-Vereshchagin módszerrel az ábrán látható gerendára. 7.17..

Döntés. A terhelésből rétegezett diagramot készítünk a momentumokról, azaz az egyes terhelések hatásából külön diagramokat készítünk. Ebben az esetben a diagramok többszörözésének megkönnyítése érdekében célszerű réteges (elemi) diagramokat építeni a szelvényhez képest, amelyek elhajlását jelen esetben a D szakaszhoz viszonyítva határozzuk meg.

ábrán A 7.17. ábra az A reakcióból (AD szakasz) és a P \u003d 4 T terhelésből (DC szakasz) származó hajlítónyomatékok diagramját mutatja. A telkek tömörített szálra épülnek.

ábrán A 7.17, b a B reakcióból (BD szelvény), a bal oldali egyenletes eloszlású terhelésből (AD szelvény) és a BC szakaszra ható egyenletesen elosztott terhelésből származó nyomatékok diagramjait mutatja. Ez a diagram az ábrán látható. 7.17, b a DC szakaszban alulról.

Ezután kiválasztjuk a gerenda segédállapotát, amelyhez a D pontban, ahol az elhajlást határozzuk meg, egységnyi erőt alkalmazunk (7.17. ábra, c). Az egységnyi erőből származó nyomatékok diagramja az ábrán látható. 7.17, d) Most megszorozzuk a diagramokat 1-től 7-ig a 8-as és 9-es diagramokkal, a diagramszorzótáblák segítségével, figyelembe véve az előjeleket.

Ebben az esetben a gerenda egyik oldalán lévő diagramokat pluszjellel, a gerenda ellentétes oldalán lévő diagramokat pedig mínuszjellel szorozzuk.

Az 1-es és a 8-as telek szorzásakor azt kapjuk, hogy

Az 5-ös parcellát megszorozva a 8-assal, kapjuk

A 2. és 9. parcellák szorzata azt eredményezi

Szorozzuk meg a 4-es és 9-es diagramot

Szorozzuk meg a 6. és 9. ábrát

A diagramok szorzásának eredményeit összegezve megkapjuk

A mínusz jel azt mutatja, hogy a D pont nem lefelé mozog, mivel az egységerő irányul, hanem felfelé.

Ugyanezt az eredményt kaptuk korábban az univerzális egyenlet segítségével.

Természetesen ebben a példában csak az AD szakaszban lehetett a diagramot rétegezni, mivel a DB szakaszban a teljes diagram egyenes vonalú, és nem kell rétegezni. A BC szakaszban nincs szükség delaminálásra, mivel a diagram ebben a szakaszban nullával egyenlő egységnyi erőből. A BC szelvény diagramjának rétegezése szükséges a C pontbeli elhajlás meghatározásához.

Példa. ábrán látható törött rúd A szakaszának függőleges, vízszintes és szögeltolódásait határozza meg! 7.18, a. A rúd függőleges szakaszának metszetmerevsége - EJ1 szakasz merevsége a vízszintes szakaszban - EJ2.

Döntés. A terhelésből elkészítjük a hajlítási nyomatékok diagramját. ábrán látható. 7.18b (lásd a 6.9. példát). Az A szakasz függőleges elmozdulásának meghatározásához kiválasztjuk a rendszer segédállapotát, az ábrán látható módon. 7.18, c. Az A pontban egységnyi függőleges erő hat lefelé.

Az ehhez az állapothoz tartozó hajlítási nyomatékok diagramja az ábrán látható. 7.18, c.

A függőleges mozgást a Mohr-módszer szerint határozzuk meg, diagramok szorzó módszerével. Mivel a függőleges rúdon segédállapotban nincs M1 diagram, ezért csak a vízszintes rúdra vonatkozó diagramokat szorozzuk meg. A rakomány állapotból a telek területét, a segédállapotból az ordinátát vesszük. A függőleges mozgás az

Mivel mindkét diagram alul található, a szorzás eredményét pluszjellel vesszük. Következésképpen az A pont lefelé mozog, azaz ugyanúgy, ahogyan egységnyi függőleges erő irányul.

Az A pont vízszintes elmozdulásának meghatározásához olyan segédállapotot választunk, amelynek vízszintes egységnyi ereje balra irányul (7.18. ábra, d). Ugyanitt mutatják be ennek az esetnek a pillanatait.

Az MP és M2 diagramokat megszorozzuk, és megkapjuk

A diagramok szorzásának eredménye pozitív, mivel a szorzott diagramok a rudak ugyanazon az oldalán helyezkednek el.

A szögeltolódás meghatározásához a rendszer segédállapotát választjuk ki az ábra szerint. 7.18.5 és ábrázolja ennek az állapotnak a hajlítónyomatékait (ugyanabban az ábrán). Az MP és M3 diagramokat megszorozzuk:

A szorzás eredménye pozitív, mivel a szorzott diagramok az egyik oldalon helyezkednek el.

Ezért az A szakasz az óramutató járásával megegyező irányban forog

Ugyanezeket az eredményeket kapjuk táblázatok használatával
diagramok szorzása.

ábrán látható a deformált rúd nézete. 7,18, e, miközben az elmozdulások jelentősen megnövekednek.

IRODALOM

Feodosiev V.I. Az anyagok szilárdsága. 1986

Beljajev N.M. Az anyagok szilárdsága. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Eszközök, számítógépes rendszerek mechanizmusainak számítása, tervezése. 1991

Rabotnov Yu.N. A deformálható mechanikája szilárd test. 1988

Stepin P.A. Az anyagok szilárdsága. 1990

Kézzel írt feljegyzései pedig a Posolsky Prikaz jegyzőjének kezébe kerültek, akitől kapták őket. Egyéb életrajzi információk csak magából az Utazás szövegéből származnak. Miért nevezte Afanasy Nikitin művét "Utazás a három tengeren túl"-nak? A szerző maga adja meg nekünk a választ erre a kérdésre: „Íme, megírtam bűnös „Utazásomat a három tengeren túl”, a Derben (Kaszpi-tenger) 1. tengerét, Doria ...

Megjegyzi, hogy minden kommunikációs aktus végrehajtásának elengedhetetlen feltétele legyen "a beszélő és a hallgató valóságának kölcsönös ismerete, amely a nyelvi kommunikáció alapja", a nyelvészetben a "háttértudás" elnevezést kapták. Helyes megjegyzése szerint „egy adott anyanyelvben az ilyesmit jelölő szó jelentése a közép-európai kultúra szempontjából ...

Egyenes rudakból álló gerendákhoz és rúdrendszerekhez, egyállapotú belső erők N k , M kés Q k vannak lineáris függvények vagy az egyes rudak teljes hosszában, vagy egyes szakaszaiban. A rakomány állapotának belső erői Np, MRés QP tetszőleges változási törvényei lehetnek a rudak hossza mentén. Ha a gerendák és rudak állandó vagy lépcsőzetes állandó merevséggel rendelkeznek EF, EJés gf, akkor a Mohr-képletben szereplő integrálok számítása elvégezhető a belső erők diagramjai segítségével.

Tekintsük például a hajlítási nyomatékok diagramjait ÚRés M toállandó merevségű egyenes rúdban (8.31. ábra). rakomány diagram ÚR tetszőleges, és egyetlen diagram M - lineáris. A koordináták origóját a diagramvonal metszéspontjába helyezzük M to tengellyel Ó. Ugyanakkor a hajlítási nyomaték M to törvényi változások M k = xtga. A (8.22) képletben szereplő tga/EU konstans értéket kivesszük az integrál előjelből és a rúd hosszára integrálva kapjuk

Érték M P dx = dQ. P a rakománydiagram területi eleme Úr. Ebben az esetben magát az integrált a diagramterület statikus momentumának tekinthetjük ÚR a tengelyről OU, ami

ahol Q.p- telek területe x s - súlypontjának abszcisszán. Figyelembe véve, hogy x c tga = s-kor, megkapjuk a végeredményt:

ahol te - ordináta vonalrajzban M to a görbe vonalú diagram területének súlypontja alatt M p ( rizs. 8.31).

A Mohr-féle képlet integrálszámításának módszerét a (8.23) képlet segítségével Verescsagin-szabálynak vagy a diagramok „szorzásának” szabályának nevezik. A (8.23) képlet szerint két diagram "szorzásának" eredménye megegyezik a nemlineáris diagram területének szorzatával a lineáris diagramban lévő súlypontja alatti ordinátával. Ha a vizsgált területen mindkét diagram lineáris, akkor a "szorzás" során bármelyik területét kiveheti. Az egyértelmű diagramok „szorzásának” eredménye pozitív, a különböző értékű diagramoké pedig negatív.

Két trapéz „szorzásának” eredménye (8.32. ábra) a következő képlettel ábrázolható:

A Verescsagin-szabály alkalmazásakor az összetett diagramokat egyszerű ábrákra kell osztani, amelyekhez ismert a súlypont területe és helyzete. A válaszfalelemek leggyakrabban háromszögek és négyzetes parabolák (egyenletes terhelések esetén). ábrán láthatók a felosztási diagramok példái. 8.33.

Az egyértékű vagy többértékű trapézok két háromszögre oszthatók (8.33. ábra, a) Négyzet alakú parabola ordinátákkal aés b a szakasz elején és végén két egyértékű vagy többértékű háromszögre és egy négyzetes parabolára van osztva nulla kezdeti és végső értékkel (8.33. ábra, b). Területét a képlet határozza meg

ahol q- az egyenletesen elosztott terhelés intenzitása.

A Verescsagin-szabály nem alkalmazható, ha mindkét diagram nem lineáris (például görbe tengelyű rudak esetén), valamint változó merevségű rudak esetén EJ. Ebben az esetben az elmozdulások Mohr-módszerrel történő meghatározásakor egy analitikai ill numerikus számítás integrálok a (8.20) képletben.

8.7. példa.Állandó merevségű konzolos gerendához EJ= const (8.34. ábra, a) határozza meg az elhajlást a szakaszon NÁL NÉLés a szelvény forgásszöge VAL VEL.

Készítsünk diagramot a hajlítónyomatékokról ÚR adott terhelések hatásától (8.34. ábra, b). A szükséges elmozdulások meghatározásához a szekcióban alkalmazzuk NÁL NÉL egységnyi erő R\u003d 1, a C szakaszban - egyetlen pillanat M= 1 és készítsünk M egységdiagramokat, és M 2(8.34. ábra, c, d). rakomány diagram M p a második szakaszon háromszögre és négyzetes parabolára osztjuk.

A rakomány- és egységdiagramokat a Verescsagin-szabály segítségével „megszorozzuk” egymás között. Diagramok „szorzásakor”. M pés M x az első részvételnél a (8.24) képletet használjuk. A számítások eredményeként a következőket kapjuk:

Az elmozdulások irányai egybeesnek az egyes terhelések hatásirányaival. A gerenda eltérítése a szakaszban NÁL NÉL lefelé, és a C szakasz az óramutató járásával megegyezően forog.

8.8. példa.Állandó merevségű csuklós gerendához (8.35. ábra, a) határozza meg az elhajlást a Xi szakaszban, a szelvény elfordulási szögét NÁL NÉL.

rakomány diagram M pábrán látható. 8.35 óra b. Alkalmazzuk egységnyi erőt a C szakaszban, a szakaszban NÁL NÉL - egyetlen pillanat, és készítsen egyetlen diagramot M xés M 2(8.35. ábra, c, d). A rakománydiagram "megszorzása". M p egyetlen diagrammal megtaláljuk a szükséges elmozdulásokat:

A diagramok „szorzásához” a második részben a (8.24) képletet használtuk. keresztmetszet NÁL NÉL

8.9. példa.Állandó merevségű konzolos csuklós gerendához (8.36. ábra, a) határozzuk meg a C szakaszban az elhajlást és a szelvény elfordulási szögét D.

Határozzuk meg támogató reakciókat adott terhelések hatására:

Készítsünk rakománydiagramot M p(8.36. ábra, b). A megfelelő egyedi diagramok a jHa ábrán láthatók. 8.36 ban ben, G. A cselekmény "szorzása". ÚR diagramokkal M xés M 2, keresse meg a szükséges elmozdulásokat:

keresztmetszet Val vel feljebb lép, szakasz D az óramutató járásával ellentétes irányban forog.

8.10. példa. Lépcsőzetes állandó merevségű gerendához, közbenső csuklópánttal (8.37. ábra, a) határozza meg a metszetben a kölcsönös elfordulási és elhajlási szöget NÁL NÉL.

Törjük a gerendát a csapágyba és a hordott részekre (8.37. ábra, b)és határozzuk meg a gerenda alátámasztási reakcióit LV

rakomány diagram M pés a megfelelő egyedi diagramok az 1-1. 8.37 ban ben, g, d. Vegye figyelembe, hogy a közbenső zsanérban lévő szakaszok kölcsönös elfordulási szögének meghatározásához egy páros egyetlen nyomatékot alkalmaznak (a csuklópánt bal és jobb oldalán).

A cselekmény "szorzása". ÚR egyedi diagramokkal, és figyelembe véve a merevség fokozatos változását a területeken ABés nap, megtalálja:

8.11. példa. Különböző merevségű rudakat tartalmazó konzolos keretnél (8.38. ábra, i) meghatározzuk a C pont függőleges és vízszintes elmozdulását, valamint a szelvény elfordulási szögét. NÁL NÉL.

Diagram Minimálbérábrán látható a külső terhelés. 8.38, b. Az elmozdulások meghatározásakor nem veszik figyelembe a hosszanti és keresztirányú erők hatását.

Telek M x, M 2és M 3 szakaszonként alkalmazott egységerőktől és nyomatékoktól Val velés NÁL NÉL,ábrán látható. 8.38, c, d, d. A rakománydiagram "megszorzása". M p az egyes rudak hosszán belüli egyetlen diagrammal meghatározzuk a szükséges elmozdulásokat:

Szakasz forgatás NÁL NÉL az óramutató járásával ellentétes irányban történik. A C pont vízszintes elmozdulása nulla.

8.12. példa. Különböző merevségű rudakat tartalmazó csuklós kerethez (8.39. ábra, a) határozza meg a C pont függőleges és a pont vízszintes elmozdulását NÁL NÉL.

Határozzuk meg a támogató reakciókat:

A terhelést és a hozzá tartozó egyedi diagramokat az ábra mutatja. 8.39 b, c, d. A diagramokat az egyes rudak hosszán belül "megszorozva" azt kapjuk, hogy:

Összegzésként bemutatjuk a konzolos és csuklós gerendák elhajlásának és elfordulási szögeinek értékeit egyszerű terhelések esetén.

A mozgások meghatározása. O. Mohr módszere Simpson módszerrel kombinálva (képlet)

Bármilyen mozgás meghatározásához (lineáris vagy szögletes) Mohr módszerében gerendát figyelembe véve két állapotban: valós és segéd. Segédállapot a következőképpen kapjuk meg: először a teljes adott terhelést el kell távolítani, majd egy „egységnyi erőtényezőt” kell alkalmazni azon a helyen, ahol az elmozdulás meghatározásához szükséges, és ennek a kívánt elmozdulásnak az irányában. Sőt, amikor meghatározzuk lineáris mozgás (sugáreltérítés), akkor "egyetlen erőtényezőnek" vesszük koncentrált erő, és ha meg akarod találni forgásszög, akkor jelentkezni kell koncentrált pár.

Továbbá mindkét állapot (azaz a valós és a segédállapot) ugyanazon tetszőleges szakaszában a hajlítónyomaték analitikus kifejezéseit állítják össze, amelyeket behelyettesítenek az ún. "Mohr integrál":

ahol: jel Σ terjed tovább minden webhely gerendák,

a EI - hajlítás merevség Helyszín bekapcsolva.

Sok esetben A Mohr-integráció elkerülhetőés módszert alkalmazni diagramok „szorzása”.. Ezen módszerek egyike az Simpson mód, amely felett a Mohr-integrál értéke egy hosszszakaszon ℓ által számított következő képletet:

Itt van jelölve: a, bés val vel - az aktuális állapot hajlítónyomatékainak diagramjának szélső, illetve átlagos ordinátája M,

a hajlítónyomaték diagram szélső és középső ordinátája, de csak segédállapot.

Aláírási szabály: ha mindkét „szorzott” ordináta két diagramon található a telek tengelyének egyik oldalán (azaz azonos előjelűek), akkor a termékük elé kell tennünk a jelet "plusz: mi van ha ők különböző oldalakon a cselekmény tengelyétől, majd a mű elé helyezzük a táblát "mínusz".

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a diagramok „szorzásának” módszerei (a Simpson-módszeren kívül még ismert Verescsagin módszere) csak akkor alkalmazhatók, ha vannak két feltétel:

1. A gerenda hajlítási merevségének a vizsgált területen állandónak kell lennie (EI= Const),
2. Ebben a szakaszban a két pillanatdiagram közül az egyiknek kell lennie szükségszerűen lineáris. Ebben az esetben mindkét diagramnak nem kell lennie törés.

Ha több oldal van a két feltételt kielégítő gerendán az elmozdulások meghatározására szolgáló képlet a következőképpen alakul:

Ha az eredmény számításokat pozitívnak bizonyul, tehát a kívánt mozgás iránya egybeesik az "egyetlen erőtényező" irányával(), és ha az eredmény negatív, akkor a kívánt mozgás ezzel a tényezővel ellentétes irányba történik.

Simpson képlete, kifejezésekkel írva pillanatok, így néz ki: az elmozdulások (elhajlás vagy forgásszög) egyenlőek

ahol li – szakasz hossza;

EIi – gerenda merevsége Helyszín bekapcsolva;

M F – hajlítónyomatékok értékei a terhelési diagramból, illetve telek;

– a hajlítónyomatékok értékei egyetlen diagramból, illetőleg elején, közepén és végén webhely.

A diagramok szorzásakor hasznos lesz meghatározni hajlítónyomatékok ordináta görbéi:

, ahol

Feladat

Határozza meg a metszet elfordulási szögét a bal oldali tartón φ! DE

1) Találd meg támogatja az aktuális állapot reakcióit .

2) Épület diagram az aktuális állapot pillanatairólM.

3) Segédállapot kiválasztása a φ forgásszög meghatározására DE.

4) A segédállapot támogató reakcióinak megtalálása

A mínusz jelre reagálunk.

5) A segédállapot momentumainak diagram készítése:

6) "Szokszorozó" cselekmények

Mivel az egyik (nevezetesen) lineáris az egész span, és nincs törés, és a diagram M törés nélkül is, akkor csak egy szakasz lesz a Simpson képletben, és akkor

A pluszjel azt jelzi, hogy a szakasz DE az "egyetlen pillanat" felé fordul

prosopromat.ru

Simpson képlete az elmozdulások meghatározására

Az elmozdulás Simpson-képlet segítségével történő meghatározásához a következőket kell tennie:

1. Épít rakomány diagram pillanatok (minden külső terhelés hatásából származó pillanatok cselekménye).
2. Épít egyetlen telek pillanatok. Ehhez abban a szakaszban, ahol meg kell határozni a lineáris elmozdulást (elhajlást), egységnyi erőt kell alkalmazni, és meg kell határozni a szögelmozdulást - egyetlen nyomatékot, és ebből az egyetlen tényezőből ábrázolni kell a hajlítónyomatékokat.
3. Szorozzuk meg a diagramokat (terhelés és mértékegység) a képlet szerint, amelyet Simpson-képletnek neveznek:

ahol l i- szakasz hossza;

EI i- a gerenda merevsége a helyszínen;

szállítmány diagramok, ill

a hajlítónyomatékok értékei egyetlen diagramok, ill

Ha a diagramok ordinátái elhelyezkednek a gerenda tengelyének egyik oldalán, akkor a szorzásnál a „+” jelet veszik figyelembe, ha másból, akkor a „-” jelet.

prosopromat.ru

2.8 A diagramok szorzásának alapvető lehetőségei

Nyilvánvalóan az alkalmazott változatosság
terhelések és geometriai sémák
tervez vezet a különböző, a
geometria nézőpontja, szorozva
diagramok. A Verescsagin-szabály végrehajtására
ismernie kell a geometria területét
súlypontjaik alakjai és koordinátái.
A 29. ábra néhány főbb
gyakorlatban felmerülő lehetőségek
számításokat.

Bonyolult alakú telkek szorzása
egyszerűbbekre kell bontani.
Például két telek szorzásához,
trapéz alakú, szükséged van az egyikre
háromszögre és téglalapra osztva,
megszorozzuk mindegyik területét
a második diagram ordinátája, található
a megfelelő súlypont alatt,
és add össze az eredményeket. Hasonlóképpen
a görbevonal szorzására is szolgálnak
trapéz bármely lineáris diagramra.

Ha a fenti lépéseket megtette
ban ben Általános nézet, akkor kapunk ilyenért
nehéz esetek alkalmas képletek
gyakorlati számításokban való felhasználása
(30. ábra). Tehát a szorzás eredménye
két trapéz (30. ábra, a):

Rizs. 29

A (2.21) képlettel megszorozhatjuk és
„csavartnak” tűnő diagramok
trapézok (30.,b ábra), hanem a termék
szemközti oldalon található ordináták
diagramok tengelyeiből, előjellel figyelembe véve
mínusz.

Ha a szorzott diagramok valamelyike ​​körvonalazódik
tovább négyzet parabola(ami megfelel
a terhelés egyenletesen oszlik el
terhelés), majd a -val való szorzáshoz
a második (szükségképpen lineáris) diagram
összegnek tekintjük (30. ábra c) ill
különbség (30. ábra, d) trapéz és
parabola diagram. Eredmény
szorzást mindkét esetben meghatározzuk
képlet:

de f értéke ebben az esetben meg van határozva
eltérően (30. ábra, c, d).

Rizs. harminc

Előfordulhatnak olyan esetek, amikor egyik sem
szorzott diagramok nem
egyenes vonalú, de legalább az egyik
szaggatott egyenes vonalak határolják.
Az ilyen diagramok szorzására
előre szegmensekre osztva
amelyek mindegyikén belül legalább
legalább egy telek egyenes.

Fontolja meg a szabály használatát
Verescsagin konkrét példákon.

15. példa Határozza meg az elhajlást at
a fesztáv közepe és a bal oldal forgásszöge
terhelt gerenda referencia szakasza
egyenletesen elosztott terhelés
(31. ábra, a), a Verescsagin módszerrel.

A számítási módszer sorrendje
Vereshchagin - ugyanaz, mint a módszerben
Mora, vegyük tehát a három állapotot
gerendák: rakomány - működés közben
elosztott terhelés q; neki
megfelel az M q diagramnak (31b. ábra),
és két egyedi állapot – az akció alatt
erő
a C pontban alkalmazva (diagram
,
31. ábra, c) és nyomaték
,
a B pontban alkalmazva (diagram
,
31d. ábra).

A nyaláb eltérítése a fesztáv közepén:

Hasonló eredmény született
korábban Mohr módszerével (lásd a 13. példát). Kellene
figyelj arra a tényre
diagramok szorzását végeztük el
a sugár felét, majd a szimmetria miatt
az eredmény megduplázódott. Ha a terület
a teljes diagramból M q szorozzuk meg
a súlypontja alatt
diagram ordináta
(
a
31. ábra c), akkor az elmozdulás mértéke lesz
teljesen más és rossz
diagram
szaggatott vonal határolja. A
az ilyen megközelítés elfogadhatatlansága
fent emlitett.

És a szakasz elfordulási szögének kiszámításakor
a B pontban megszorozhatja az M q diagram területét a középpontja alatt találhatóval.
gravitációs ordináta diagram
(
,
31. ábra, d), mivel a diagram
egyenes vonallal határolva:

Ez az eredmény is egyezik a
módszerrel korábban kapott eredményt
Mora (lásd a 13. példát).

Rizs. 31

16. példa Határozza meg a vízszintes
és az A pont függőleges elmozdulása in
keret (32. ábra, a).

Mint az előző példában, megoldani
három megfontolandó feladat
keretállapotok: rakomány és két egyedi.
A megfelelő M F nyomatékok diagramja
első állapot, bemutatva
32b. ábra. A vízszintes kiszámításához
mentén az A pontban elmozdulásokat alkalmazunk
a kívánt mozgás iránya (pl.
vízszintesen) erő
,
és a függőleges kiszámításához
elmozduló erő
függőlegesen alkalmazzuk (32. ábra, c, e).
Megfelelő parcellák
és
ábrán láthatók a 32., d, f.

Az A pont vízszintes mozgása:

Számításkor

az AB szakaszon trapéz (epure M F)
háromszögre és téglalapra osztva,
ami után a háromszög a diagramból
"szorozva"
ezen figurák mindegyikéhez. A repülőgép-részlegen
görbe vonalú trapéz van osztva
görbe vonalú háromszög és téglalap,
valamint diagramok szorzásához az SD részben
(2.21) képletet használjuk.

A számítás során kapott "-" jel

,
azt jelenti, hogy az A pont halad
vízszintes nem balra (ebbe az irányba
alkalmazott erő
),
hanem jobbra.

Itt a "-" jel azt jelenti, hogy a pont
Lefelé mozog, nem felfelé.

Vegye figyelembe, hogy a pillanatok egyetlen diagramja,
erőből épült

,
megvan a hossz és az egység mérete
pillanatokból felépült pillanatok diagramjai
,
mérettelenek.

17. példa. Határozza meg a függőlegest
A pont elmozdulása sík-térbeli
rendszerek (33a. ábra).

23. ábra

Mint ismeretes (lásd 1. fejezet), a keresztirányú
sík-térbeli rudak keresztmetszete
rendszerek merülnek fel három belső
erőtényezők: keresztirányú erő Q y ,
M x hajlítónyomaték és nyomaték
pillanat M kr. A befolyás óta
elmozdulásonkénti nyíróerő
kissé (lásd a 14. példát,
27. ábra), akkor az elmozdulás számításánál
Mohr és Verescsagin módszere hattól
csak két kifejezés maradt.

A probléma megoldásához diagramokat készítünk
hajlítónyomatékok M x,q és nyomaték
nyomatékok M kr, q külső terheléstől
(33. ábra, b), majd az A pontban erőt alkalmazunk
a kívánt mozgás irányába,
azok. függőleges (33. ábra, c), és épít
hajlítónyomatékok egyes diagramjai
és nyomatékot
(33d. ábra).
Nyilak a nyomaték diagramokon
csavarási irányok láthatók
releváns oldalak
lapos-térrendszer.

Az A pont függőleges mozgása:

A nyomaték diagramjainak szorzásakor
a terméket „+” jellel látjuk el,
ha a nyilak irányt mutatnak
torziós, egyirányú, és a "jellel"
- " - másképp.

studfiles.net

Diagramok szorzása Verescsagin módszerrel

A számításhoz a következő műveleteket kell végrehajtani:

1. Szerkessze meg a hajlítónyomatékok görbéit! úrés Mk illetve a gerenda adott és egyszeri terheléseiből. A gerenda komplex terhelésével (19. ábra, a) következik: vagy diagram úr egyszerű részekre bontva, amelyeknél ismert a terület nagysága és a súlypont helyzete (19. ábra, b), vagy (lehetőleg) ábrázoljuk úr rétegzett formában (19. kép, c).

Ha a gerendának lépcsőzetesen változó szakasza van, a diagram úr ezen felül szakaszokra kell osztani, amelyeken belül a szelvény merevsége állandó.

2. Mindegyik szakaszon szorozza meg az egyik diagram (például diagramok) ω területét Úr) az ordinátához KISASSZONY egyéb telkek (például telkek Mk) az első diagram súlypontja alá, és a kapott szorzatot elosztjuk a j lépéstényezővel.

Ugyanakkor az ordináta KISASSZONY diagramra kell venni, amely a vizsgált területen lineáris törvény szerint változik (megszakítás nélkül). Ha a diagram szaggatott vonal, akkor szakaszokra kell osztani, amelyeken belül lineárisnak bizonyul.

3. Számítsa ki a (2) bekezdésben meghatározott kifejezések összegét!

A vizsgált módszer mozgásának meghatározására szolgáló képlet

ahol az összegzést a gerenda minden szakaszán elvégzik

Egyes diagramok súlypontjainak területeit és koordinátáit a táblázat tartalmazza. 11. A gyakran előforduló rakományok és az egyes diagramok szorzatának eredményeit a táblázat tartalmazza. 12.

Példa. Határozza meg a forgásszöget ­ cheniya NÁL NÉL lépcsős gerenda (lásd 19. ábra, a).

Az A és B támogatási reakciók meghatározása után , diagramot készíteni úrábrán. tizenkilenc, bés ban ben nem rétegzett és rétegzett diagramok láthatók Úr. A terhelés alól felszabaduló gerenda B pontjára egyetlen nyomatékot alkalmazva egyetlen diagramot készítünk M1(19. d ábra).

A Mr rétegdiagram segítségével a 36. képlet és táblázat szerint. 12 határozza meg a B szakasz kívánt forgási szögét:

Ábra. 20

Példa. Határozzuk meg egy állandó keresztmetszetű gerenda elhajlását a K pontban (20. ábra, a).

A gerenda adott terhelésétől megszabadított K pontra egységnyi erőt kifejtve megszerkesztjük az Mk hajlítónyomatékok egységdiagramját (20. ábra, b).
Meghatározva a támasztó reakciókat adott terhelésből

vágja le a konzolt, és cserélje ki árammal qa és nyomaték (20. ábra, c).

Készítsünk M rétegdiagramot (minden terheléstípusból külön-külön), megközelítve egyetlen diagram töréspontját Mk mindkét oldalon (20. ábra, én ).

A (36) képlet szerint a táblázat segítségével. 12 határozza meg a szükséges elmozdulást

Megrendelési megoldás Fizetési mód

funnystudy.com

Nyaláb elmozdulásának meghatározása a Simpson-képlet segítségével

Egy gerenda esetében az I-gerenda metszetének szilárdsági feltételből történő kiválasztása után határozzuk meg az A, B, C pontokban a lineáris és szögelmozdulásokat.

Adott:a= 2 m,b= 4 m, s = 3 m,F= 20 kN, M = 18 kNm,q=6 kN/m, σadm= 160 MPa, E = 210 5 MPa

1) Rajzoljuk a gerenda diagramját, meghatározzuk a támasztó reakciókat. A kemény felmondásnál van 3 reakció - függőleges és vízszintes, szintén horgonypont. Mivel nincsenek vízszintes terhelések, a megfelelő reakció nulla. Az E pont reakcióinak megtalálása érdekében összeállítjuk egyensúlyi egyenletek.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(a jel azt jelzi

Találjuk ki rögzítési nyomaték merev rögzítésben, amelyre bármely kiválasztott pontra vonatkozóan megoldjuk a pillanatok egyenletét.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(a jel azt jelzi a reakció ellenkező irányú, ezt mutatjuk be az ábrán)

2) Megépítjük az M F terhelési diagramot - az adott terhelés nyomatékainak diagramját.

A pillanatdiagramok megalkotásához azt találjuk pillanatok jellemző pontokon. NÁL NÉL B pont pillanatok meghatározása jobbról és balról egyaránt, mivel ezen a ponton egy pillanatot alkalmaznak.

A pillanat diagramjának felépítése egy megosztott terhelés hatásvonalán (szakaszok AB és BC) szükségünk van további pontokat hogy megrajzoljuk a görbét. Határozzuk meg a pillanatokat középen ezeket a területeket. Ezek az AB és BC szakaszok felezőpontjai 15,34 kNm és 23,25 kNm. Mi építkezünk rakomány diagram.

3) Egy pontban a lineáris és szögeltolódások meghatározásához ezen a ponton kell alkalmazni, az első esetben egységnyi erő (F=1)és ábrázolja a pillanatokat, a második esetben, egyetlen pillanat (M = 1) és ábrázolja a pillanatdiagramot. Az egységterhelésekből diagramokat készítünk minden ponthoz - A, B és C.

4) Az elmozdulások meghatározásához a Simpson-képletet használjuk.

ahol l i - szakasz hossza;

EI i- a gerenda merevsége a helyszínen;

M F– a hajlítónyomatékok értékei a terhelési diagramból, ill a szakasz elején, közepén és végén;

– hajlítónyomatékok értékei egyetlen diagramból, ill a szakasz elején, közepén és végén.

Ha a diagramok ordinátái a nyaláb tengelyének egyik oldalán helyezkednek el, akkor a szorzásnál a „+” jelet veszik figyelembe, ha különbözőek, akkor a „-” jelet.

Ha az eredmény a „-” jellel derült ki, akkor a kívánt irányú mozgás nem esik egybe a megfelelő egységnyi erőtényező irányával.

Fontolgat a Simpson-formula alkalmazása az A pontban lévő elmozdulások meghatározásának példáján.

Határozzuk meg elhajlás, a terhelési diagram szorzata a diagrammal egységnyi erőből.

Az elhajlás kiderült "-" jellel a szükséges elmozdulást jelenti iránya nem esik egybe az egységnyi erő irányával (felfelé irányítva).

Határozzuk meg forgásszög, a terhelési diagramot egyetlen pillanatból megszorozva a diagrammal.

A forgásszög az "-" jellel ez azt jelenti, hogy a kívánt irányú mozgás nem esik egybe a megfelelő egyetlen momentum irányával (az óramutató járásával ellentétes irányban).

5) A konkrét elmozdulási értékek meghatározásához ki kell választani egy szakaszt. Kiválasztjuk az I-gerenda szakaszát

ahol Mmax- Ezt maximális nyomaték a terhelési nyomaték diagramon

Szortiment szerint választunk 30. sz. I-gerenda szélesség x \u003d 472 cm 3 és I x \u003d 7080 cm 4

6) Pontokban határozzuk meg az elmozdulásokat, leleplező szelvény merevsége: E - az anyag hosszirányú rugalmassági modulusa vagy Young-modulus (2 10 5 MPa),Jx- axiális nyomaték szakasztehetetlenség

Elhajlás az A pontban (felfelé)

Forgási szög (óramutató járásával ellentétes)

Ha építeni kell ívelt sugártengely, akkor a gerendát terhelés nélkül húzzuk, és a pontokon a megfelelő irányú elhajlásokat ábrázoljuk - sima görbét építünk - a gerenda görbe tengelyét.

prosopromat.ru

Diagramok szorzása szabály, módszer vagy Mora-Verescsagin módszer szerint

Hé! Ebben a cikkben megtanuljuk meghatározni a keresztmetszetek elmozdulását a hajlítás során: az elhajlásokat és a forgási szögeket Vereshchagin módszere (módszere, szabálya) szerint. Sőt, ezt a szabályt széles körben alkalmazzák nemcsak az elmozdulások meghatározásánál, hanem a rendszerek statikus határozatlanságának az erő módszerrel történő feltárásánál is. Elmondom ennek a módszernek a lényegét, a változó bonyolultságú diagramok szorzását és azt, hogy mikor érdemes ezt a módszert használni.

Mit kell tudni a lecke anyagainak sikeres elsajátításához?

Feltétlenül tudni kell, hogyan épül fel a hajlítási nyomatékok rajza, mert ebben a cikkben ezzel a diagrammal fogunk dolgozni.

Verescsagin és módszere, szabálya vagy módszere

A.K. Verescsagin 1925-ben a Mohr-integrál (képletének) egyszerűbb megoldását javasolta. Két függvény integrálása helyett a diagramok szorzását javasolta: az egyik diagram területét meg kell szorozni a második diagram ordinátájával az első súlypontja alatt. Ez a módszer akkor használható, ha az egyik diagram egyenes, a második bármilyen lehet. Ezenkívül az ordinátát egyenes vonalú diagramnak vesszük. Ha mindkét diagram egyenes vonalú, akkor teljesen mindegy, hogy melyik területet és melyik ordinátát vegyük fel. Így a Verescsagin szerinti telkeket a következő képlet szerint szorozzuk meg:​

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline (M ) )_( C ) \)​

A diagramok szorzata Vereschagin szerint: C - az első diagram súlypontja, ωс - az első diagram területe, Mc - a második diagram ordinátája az első súlypontja alatt.

A telkek területe és súlypontja

A Verescsagin módszer alkalmazásakor a teljes telekterületet nem egyszerre, hanem részenként, a telkeken belül veszik fel. A hajlítónyomatékok diagramja egyszerű ábrákra tagolódik.

Bármely diagram csak három alakzatra rétegezhető: téglalap, derékszögű háromszögés egy parabola szegmens.

Diagramok szorzása Verescsagin szerint

A cikk ezen blokkjában a diagramok szorzásának speciális eseteit mutatom be Verescsagin szerint.

Téglalapból téglalapba

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M ) =( b\cdot h\cdot c ) \)​

Téglalapból háromszögbe

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

háromszögből téglalapba

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M ) =( \frac (1)(2) \cdot b\cdot h\cdot c) \)​

szegmens téglalaponként

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)​

Szegmens háromszögenként

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M ) =( \frac (q\cdot (l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac (1)(2) \cdot c ) \)​

A diagramok egyszerű ábrákra való rétegzésének sajátos esetei

A cikknek ebben a blokkjában bemutatom a diagramok egyszerű ábrákra való rétegzésének sajátos eseteit, hogy Verescsagin szerint megszorozzák őket.

Téglalap és háromszög

Két háromszög

Két háromszög és egy szakasz

Háromszög, téglalap és szegmens

Példa az elmozdulások meghatározására: elhajlások és forgásszögek Verescsagin szerint

Most azt javaslom, hogy vegyünk egy konkrét példát a keresztmetszetek elmozdulásának kiszámítására: azok elhajlásai és elfordulási szögei. Vegyünk egy acélgerendát, amely mindenféle terheléssel van terhelve, és határozzuk meg a C szakasz kihajlását, valamint az A szakasz elfordulási szögét.

Hajlító pillanatok ábrázolása

Először is kiszámítjuk és ábrázoljuk a hajlítónyomaték diagramot:

Egységes nyomatékdiagramok felépítése

Most minden egyes kívánt elmozduláshoz egységterhelést kell alkalmazni (egy dimenzió nélküli érték eggyel egyenlő), és egységdiagramokat kell készíteni:

• Az elhajláshoz egységnyi erőt alkalmazunk.
• Az elforgatási szögeknél egyedi nyomatékokat alkalmaznak.

Ráadásul ezeknek a terheléseknek az iránya sem fontos! A számítás megmutatja a helyes mozgásirányt.

Például a számítás után az elhajlás értéke pozitívnak bizonyult, ami azt jelenti, hogy a szakasz elmozdulásának iránya egybeesik az előzőleg alkalmazott erő irányával. Ugyanez vonatkozik a fordulási szögekre is.

A cselekmények szorzása Verescsagin szerint

Végül előkészítő munka: a hajlítási nyomatékok diagramjának felépítése, elemi figurákba rétegzése és a kívánt elmozdulások helyén és irányában alkalmazott terhelésekből egyedi diagramok készítése közvetlenül a megfelelő diagramok szorzásához vezethet.

Ahogy fentebb már írtuk, vonaldiagramok tetszőleges sorrendben megszorozható, azaz vegye ki bármely telek területét: a fő vagy az egyes, és szorozza meg a másik ordinátájával. De általában, hogy ne keveredjen össze a számításokban, a területeket veszik hajlítónyomatékok alapdiagramja, ebben a leckében ugyanezt a szabályt fogjuk betartani.

C szakasz lehajlás meghatározása

Megszorozzuk a megfelelő diagramokat balról jobbra, és kiszámítjuk a C szakasz elhajlását a Mohr-Vereshchagin módszerrel:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( x ) ) \]

Képzelje el, hogy a számított gerenda keresztmetszete 24-es számú I-gerenda a GOST 8239-89 szerint, akkor a gerenda elhajlása egyenlő lesz:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x ) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )Н\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0,289 cm \]

A C szakasz elfordulási szögének meghatározása

Megszorozzuk a megfelelő diagramokat balról jobbra, és kiszámítjuk a C szakasz elfordulási szögét a Mohr-Vereshchagin szabály szerint:

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3) \cdot 1)=-\frac (3kN(m)^(2))(E(I)_(x))\]

\[ ( ( \theta ) )_( C )=-\frac (3kN(m)^(2))(E(I)_(x)) =-\frac (3\cdot (10)^(7) )H\cdot (cm)^(3))(2\cdot (10)^(7)\frac (H)((cm)^(2)) \cdot 3460(cm)^(4)) =- 0,0004rad \]

sopromats.ru

Trapéz és Simpson képletek

Használjuk
Verescsagin szorzási szabálya
két egyenes vonalú diagram, amelyek alakja
trapéz. Osszuk fel mindkét trapézt
háromszögek, amelyek területei és
a súlypontok helyzete könnyű
határozottak.

Diagram
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Diagram

Mi
kapott képlet
trapéz,
alapján
amely a művei az illető
diagramok bal és jobb ordinátái
kettős, és kereszttermékek
ordinátákat vegyen egyes, és a kapott eredményt
szorozzuk meg az összeget a hossz egyhatodával
diagram.

Fontolgat
a terhelési diagram bemutatásakor
négyzet parabola, és egyetlen diagram
- trapéz.

ω P.S.

Mentén
a szélső ordinátákkal az átlagokat jelöljük.

Törjük össze
görbe vonalú diagram egy trapézon és
parabola szegmens.

Termeljünk
a megfelelő számok szorzata.

Kifejezés
én T
nekünk van. Találjuk ki
.

Négyzet
parabola szegmens:

Ordináta
egyetlen telek a súlypont alatt
parabola szegmens:

Után
helyettesítéseket kapunk képlet
Simpson:

Munka
két diagram egyenlő a szorzatok összegével
szélső ordináta és négyes
az átlagos ordináták szorzata, szorozva
a diagramok hosszának egyhatoda.

§7. Statikailag határozatlan rúdrendszerek (sns) erőszámítása.

Statikusan
meghatározhatatlan rendszerek (SNS) rendelkeznek
előnyei és hátrányai összehasonlítva
statikusan meghatározott rendszerekkel
(SOS).

Előnyök:

SNA
nagyobb a túlélőképességük
terhelési működés, mint az SOS. NÁL NÉL
SOS minden elem gyakorlatilag
egyformán stresszesek, ezért vannak
erőtartalékok csak belül
biztonsági tényező k
=1,5
– 2. Ha legalább egy elem megy
határállapotig, az egész szerkezetet
szempontjából érvénytelen lesz
az alakváltozás vagy összeomlás kiszámításának normái.
Az SNS egy egyenlőtlen feszültségű szerkezet
és az átmenet során a legstresszesebb
elem a határállapotba,
az erőfeszítések újraelosztása történik
a kevésbé stresszesek fokozott terhelésétől
elemeket.

SNS,
a redundáns kapcsolatok jelenléte miatt és a túlzott
az egyes elemek merevsége, kisebb
deformatív, mint az SOS, azaz. nekik kevesebb
lineáris szögmozgások.

Hátrányok:

SNA
nehezebb kiszámítani, mint az SOS-t, amely
felesleg jelenléte miatt
(extra) linkek. A számítás bonyolultsága
SNS arányos a harmadik hatvány
az extra csatlakozások száma, pl.
.
Például ha két rendszerhez n 1 =1,
n 2 =4 ,
azután
t 1 = α ,
t 2 =64α,
azok. a számítási idő 64-szeresére nő.

NÁL NÉL
SNS erőeloszlás elemekben
geometriai méretüktől függ,
amelynek meghatározása viszont
az ellenállás fő feladata
anyagokat. Így van
előzetes időpont egyeztetés szükségessége
hajlítási merevség és keresztirányú
az egyes rudak szakaszai: (E Y) k =α k (E Y),
ami kétértelműséghez vezet
konstruktív megoldások.

Több
sikeres merevségi feladatokat, attól függően
az ellenállás feladatai lényegének megértésétől
anyagok további létrehozásához vezetnek
optimális kialakítások.

NÁL NÉL
Az SNS nehéznek tűnhet
kiszámítható méretben
stressz-feszültség állapot,
hőmérsékletváltozások okozzák
és független támogatási tervezet. változás
az egyik elem hőmérséklete okozza
termikus feszültségek megjelenése
minden SNS rúdban. Ugyanaz, mint a pontatlanság
az egyik rúd gyártása ill
egy kötés elmozdulása okozza a megjelenést
beépítési feszültségek minden rúdban.
Az SOS-ben ilyen feszültségek nem merülnek fel.

Fontolgat
az SNA kiszámításának fő módszerei, amikor
statikus terhelések.

A Mohr-módszer hátránya, hogy a (2.18) és (2.19) képletek integranduskifejezéseiben szereplő belső erőtényezők értékeit általános formában z függvényeiként kell megkapni, ami már kettővel is meglehetősen munkaigényessé válik. vagy három válaszfal szakasz gerendákban és különösen keretekben.

Kiderül, hogy ez a hiányosság elkerülhető, ha a Mohr-képletekben a közvetlen integrációt az ún. diagramok szorzásával. Ilyen csere akkor lehetséges, ha a szorzott diagramok legalább egyike egyenes vonalú. Ezt a feltételt minden egyenes vonalú rudakból álló rendszer teljesíti. Valójában az ilyen rendszerekben az általánosított egységerőből összeállított diagram mindig egyenes vonalú lesz.

A Mohr-integrál kiszámításának módszere cserével közvetlen integráció a megfelelő diagramok szorzását nevezzük módszer (vagy szabály) Verescsagin és a következőkből áll: két diagram megszorzásához, amelyek közül legalább az egyik egyenes, meg kell szorozni egy diagram területét (ha van görbe vonalú diagram, akkor a területét meg kell szorozni) a másik diagram ordinátája, amely az első súlypontja alatt helyezkedik el.

Bizonyítsuk be ennek a szabálynak az érvényességét. Tekintsünk két diagramot (28. ábra). Legyen az egyik (Mn) rakomány és görbe vonalú, a második pedig egységrakománynak felel meg és lineáris.

A 28. ábrából az következik, hogy Helyezzük be az értékeket a kifejezésbe

ahol az Mn diagram területdifferenciálja.

Rizs. 28

Az integrál a terület statikus nyomatéka az O - O1 tengelyhez képest, miközben:

ahol zc a terület súlypontjának abszcissza, akkor:

Tekintettel arra, hogy a következőket kapjuk:
(2.20)
A (2.20) kifejezés két diagram szorzásának eredményét határozza meg, nem pedig az elmozdulást. Az elmozdulás megszerzéséhez ezt az eredményt el kell osztani az integráljel alatti belső erőtényezőknek megfelelő merevséggel.

A diagramok sokszorosításának főbb lehetőségei

Nyilvánvaló, hogy az alkalmazott terhelések változatossága és a szerkezetek geometriai sémái eltérő, geometriai szempontból sokszorosított diagramokhoz vezetnek. A megvalósításhoz Verescsagin szabályai területet kell ismerni geometriai formákés súlypontjaik koordinátái. A 29. ábra a gyakorlati számítások során felmerülő főbb lehetőségeket mutatja be.

Mert diagram szorzásösszetett formájúak, azokat egyszerűekre kell bontani. Például két trapézszerű diagram megszorzásához az egyiket háromszögre és egy téglalapra kell osztani, és mindegyik területét meg kell szorozni a megfelelő középpont alatt található második diagram ordinátájával. a gravitációt, és add hozzá az eredményeket. Ugyanez történik egy görbe trapéz tetszőleges lineáris diagrammal való szorzásakor.

Ha a fenti műveleteket általános formában hajtjuk végre, akkor az ilyen összetett esetekre olyan képleteket kapunk, amelyek kényelmesek a gyakorlati számításokhoz (30. ábra). Tehát két trapéz szorzásának eredménye (30. ábra, a):

(2.21)

Rizs. 29

A (2.21) képlet szerint meg lehet szorozni a "csavart" trapéznek tűnő diagramokat (30. ábra, b), de ebben az esetben a diagramok tengelyeinek ellentétes oldalán elhelyezkedő ordináták szorzatát veszik fel. mínuszjellel kell figyelembe venni.

Ha az egyik szorzott telkek négyzetes parabolával körvonalazódik (amely egyenletesen elosztott terhelés melletti terhelésnek felel meg), majd a második (szükségképpen lineáris) diagrammal való szorzásnál összegnek (30. ábra, c) vagy különbségnek (30. ábra) tekintjük. d) a trapéz- és paraboladiagramokból. A szorzás eredményét mindkét esetben a következő képlet határozza meg:
(2.22)

de f értékét különböző módon határozzuk meg (30. ábra, c, d).

Rizs. harminc

Vannak esetek, amikor a szorzott diagramok egyike sem egyenes, de legalább az egyiket szaggatott egyenesek határolják. Az ilyen diagramok szorzásához először szakaszokra osztják őket, amelyek mindegyikén belül legalább egy diagram egyenes vonalú.
Fontolja meg a használatát Verescsagin szabályai konkrét példákon.

15. példa Határozza meg az egyenletes eloszlású teherrel terhelt gerenda bal oldali tartószakaszának a fesztáv középső kihajlását és forgásszögét (31. ábra, a), Verescsagin módjára.

Számítási sorrend Verescsagin módjára- ugyanaz, mint a Mohr-módszernél, ezért a gerenda három állapotát vesszük figyelembe: terhelés - q elosztott terhelés hatására; ez megfelel az Mq diagramnak (31,b ábra), és két egyedi állapotnak - a C pontban kifejtett erő hatására (diagram , 31. ábra, c), és a B pontban kifejtett nyomatéknak (diagram , ábra). 31, d) pont.

A nyaláb eltérítése a fesztáv közepén:

Hasonló eredményt kaptunk korábban Mohr-módszerrel (lásd a 13. példát). Figyelni kell arra, hogy a diagramok szorzása a gerenda felére történt, majd a szimmetria miatt az eredmény megduplázódott. Ha a teljes diagram Mq területét megszorozzuk a diagram súlypontja alatt elhelyezkedő ordinátájával (31. ábra, c), akkor az elmozdulás mértéke teljesen más és helytelen lesz, mivel a diagram korlátozott. szaggatott vonallal. Az ilyen megközelítés elfogadhatatlanságára fentebb már utaltunk.

És a B pontban lévő szakasz elfordulási szögének kiszámításakor megszorozhatja az Mq diagram területét a diagram súlypontja alatt található ordinátájával (31. ábra, d), mivel a diagram korlátozott. egyenes vonallal:

Ez az eredmény is egybeesik a korábban Mohr-féle módszerrel kapott eredménnyel (lásd a 13. példát).

Rizs. 31

16. példa Határozza meg az A pont vízszintes és függőleges elmozdulását a keretben (32. ábra, a).

Az előző példához hasonlóan a probléma megoldásához a keret három állapotát kell figyelembe venni: rakományt és két egyedi állapotot. Az első állapotnak megfelelő MF nyomatékok diagramja a 32b. A vízszintes elmozdulás kiszámításához az A pontban a kívánt elmozdulás irányában (azaz vízszintesen), a függőleges elmozdulás kiszámításához pedig függőlegesen (32. ábra, c, e) erőt fejtünk ki. A megfelelő és diagramok a 32. ábrán láthatók, d, f.

Az A pont vízszintes mozgása:

Az AB szakaszon történő számításkor a trapézt (MF rajz) egy háromszögre és egy téglalapra osztják, majd a diagram háromszögét "megszorozzák" ezen számok mindegyikével. A BC szakaszon a görbe vonalú trapéz egy görbe vonalú háromszögre és egy téglalapra van osztva, és a (2.21) képlet segítségével szorozzuk meg az SD szakaszon lévő diagramokat.

A számítás során kapott "-" jel azt jelenti, hogy az A pont vízszintesen nem balra mozog (ebbe az irányba erő hat), hanem jobbra.