Az antiderivatív függvény megtalálásának problémájára nem mindig van megoldás, miközben bármilyen függvényt megkülönböztethetünk. Ez magyarázza a hiányt univerzális módszer integráció.

Ebben a cikkben példákat tekintünk meg részletes döntéseket alapvető módszerek a határozatlan integrál megtalálására. Az egyes integrációs módszerekre jellemző integrandustípusokat is csoportosítjuk.

Oldalnavigáció.

Közvetlen integráció.

Az antiderivatív függvény megtalálásának fő módszere kétségtelenül a közvetlen integráció az antiderivált táblázat és a határozatlan integrál tulajdonságainak felhasználásával. Az összes többi módszert csak arra használjuk, hogy az eredeti integrált táblázatos formába hozzuk.

Példa.

Keresse meg a függvény antideriváltjainak halmazát.

Megoldás.

Írjuk be a függvényt a formába.

Mivel a függvényösszeg integrálja egyenlő az integrálok összegével, akkor

A numerikus együttható az integráljelből kivehető:

Az integrálok közül az első táblázatosra redukálódik, így az exponenciális függvény antideriváltjai táblázatából megkapjuk .

A második integrál megtalálásához a hatványfüggvény antiderivált táblázatát használjuk és uralkodni . azaz .

Következésképpen,

ahol

Integráció helyettesítési módszerrel.

A módszer lényege, hogy bevezetünk egy új változót, ennek a változónak a segítségével fejezzük ki az integrandust, és ennek eredményeként az integrál táblázatos (vagy egyszerűbb) alakjához jutunk.

Nagyon gyakran a helyettesítési módszer segít a trigonometrikus függvények és a gyökökkel való függvények integrálásakor.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Vezessünk be egy új változót. Fejezzük ki x-et z-vel:

Elvégezzük a kapott kifejezések behelyettesítését az eredeti integrálba:

A rendelkezésünkre álló antiderivatívek táblázatából .

Marad az eredeti x változóhoz való visszatérés:

Válasz:

Nagyon gyakran a helyettesítési módszert használják trigonometrikus függvények integrálásakor. Például egy univerzális trigonometrikus helyettesítés lehetővé teszi, hogy az integrandust tört racionális formává alakítsuk.

A helyettesítési módszer lehetővé teszi az integrációs szabály magyarázatát .

Ekkor bevezetünk egy új változót

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti integrálba:

Ha elfogadjuk és visszatérünk az eredeti x változóhoz, akkor azt kapjuk

A differenciálmű jele alá hozva.

A differenciáljel alá történő összesítés módja az integrandus formára való redukálásán alapul . Ezután a helyettesítési módszert alkalmazzuk: bevezetünk egy új változót, és miután megtaláltuk az új változó antideriváltját, visszatérünk az eredeti változóhoz, azaz

A kényelem kedvéért tegyük a szemünk elé differenciálok formájában, így könnyebben át lehet alakítani az integrandust, valamint az antiderivált táblázatot, hogy lássuk, milyen formára kell konvertálni az integrandust.

Például keressük meg a kotangens függvény antideriváltjainak halmazát.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

Az integrandus trigonometriai képletekkel konvertálható:

A derivált táblázatot tekintve arra a következtetésre jutunk, hogy a számlálóban lévő kifejezés a differenciáljel alá hozható , ezért

Azaz .

Akkor hagyd . Az antiderivatívek táblázatából azt látjuk . Visszatérve az eredeti változóhoz .

Magyarázat nélkül a következőképpen írják a megoldást:

Integráció alkatrészek szerint.

A részenkénti integráció az integrandus termékként való bemutatásán, majd a képlet alkalmazásán alapul. Ez a módszer nagyon hatékony integrációs eszköz. Az integránstól függően az alkatrészenkénti integrálás módszerét néha többször egymás után kell alkalmazni, amíg eredményt nem kapunk. Például keressük meg az arctangens függvény antideriváltjainak halmazát.

Példa.

Számítsa ki a határozatlan integrált!

Megoldás.

Akkor hagyd

Megjegyzendő, hogy a v(x) függvény megtalálásakor nem adunk hozzá tetszőleges C állandót.

Most a részenkénti integráció képletét alkalmazzuk:

Az utolsó integrált úgy számítjuk ki, hogy a differenciál előjele alatt összegezzük.

Azóta . Ezért

Következésképpen,

ahol .

Válasz:

A részenkénti integráció fő nehézségeit a választás okozza: az integrandus melyik részét tekintsük u(x) függvénynek és melyiket d(v(x)) differenciálnak. Mindazonáltal számos szabványos irányelvet javasolunk, hogy ismerkedjen meg az Alkatrészenkénti integráció részben.

Hatványkifejezések integrálásakor, például vagy , ismétlődő képleteket használnak, amelyek lehetővé teszik a fokozat csökkentését lépésről lépésre. Ezeket a képleteket részenkénti egymást követő többszörös integrációval kapjuk. Javasoljuk, hogy ismerkedjen meg az ismétlődő képletekkel történő integrációról szóló szakaszban.

Végezetül szeretném összefoglalni a cikk teljes anyagát. Az alapok alapja a közvetlen integráció módszere. A helyettesítés, a differenciál jele alá helyezés és a részenkénti integrálás módja lehetővé teszi az eredeti integrál táblázatossá tételét.

Áttekintést adunk a számítási módszerekről határozatlan integrálok. Megfontolásra kerülnek az integrálás főbb módszerei, amelyek magukban foglalják az összeg és a különbség integrálását, az integrál előjelből a konstans kiemelését, a változó megváltoztatását és a részenkénti integrálást. Szintén figyelembe kell venni speciális módszereket és technikákat a törtek, gyökök, trigonometrikus ill exponenciális függvények.

Tartalom

Összeg (különbség) integrációs szabály

A konstans kivonása az integráljelből

Legyen c x-től független állandó. Ekkor kivehető az integráljelből:

Változó helyettesítés

Legyen x egy t változó függvénye, x = φ(t) , akkor
.
Vagy fordítva, t = φ(x) ,
.

Változóváltás segítségével nem csak egyszerű integrálokat számíthatunk ki, hanem a bonyolultabbak számítását is leegyszerűsíthetjük.

Részenkénti integráció szabálya

Törtek integrálása (racionális függvények)

Vezessünk be egy jelölést. Legyen P k (x), Q m (x), R n (x) k, m, n fokú polinomokat az x változóhoz képest.

Tekintsünk egy olyan integrált, amely polinomok törtrészéből áll (az úgynevezett racionális függvény):

Ha k ≥ n, akkor először ki kell választani a tört egész részét:
.
Az S k-n (x) polinom integrálját az integráltáblázatból számítjuk ki.

Az integrál marad:
, ahol m< n .
Kiszámításához az integrandust egyszerű törtekre kell bontani.

Ehhez meg kell találnia az egyenlet gyökereit:
Q n (x) = 0.
A kapott gyökök felhasználásával a nevezőt a tényezők szorzataként kell ábrázolnia:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Itt s az x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... együtthatója .

Ezután bontsa fel a törtet a legegyszerűbbre:

Integrálva egyszerűbb integrálokból álló kifejezést kapunk.
Az űrlap integráljai

táblázatos helyettesítésre redukálódnak t = x - a .

Tekintsük az integrált:

Alakítsuk át a számlálót:
.
Az integrandusba behelyettesítve egy olyan kifejezést kapunk, amely két integrált tartalmaz:
,
.
Először a t \u003d x 2 + ex + f helyettesítést táblázattá redukáljuk.
A második a redukciós képlet szerint:

az integrálra redukálódik

Adjuk a nevezőjét a négyzetek összegére:
.
Majd behelyettesítéssel az integrál

táblázatban is szerepel.

Irracionális függvények integrálása

Vezessünk be egy jelölést. Jelölje R(u 1 , u 2 , ... , u n) az u 1 , u 2 , ... , u n változók racionális függvényét. Azaz
,
ahol P, Q polinomok az u 1 , u 2 , ... , u n változókban.

Tört lineáris irracionalitás

Tekintsük az űrlap integráljait:
,
ahol a racionális számok, m 1 , n 1 , ..., m s , n s egész számok.
Legyen n az r 1 , ..., r s számok közös nevezője.
Ezután az integrált behelyettesítéssel a racionális függvények integráljára redukáljuk:
.

Integrálok differenciális binomiálisokból

Tekintsük az integrált:
,
ahol m, n, p racionális számok, a, b valós számok.
Az ilyen integrálok három esetben redukálódnak racionális függvények integráljaivá.

1) Ha p egész szám. Behelyettesítés x = t N , ahol N az m és n törtek közös nevezője.
2) Ha egész szám. Behelyettesítés a x n + b = t M, ahol M a p nevezője.
3) Ha egy egész szám. Behelyettesítés a + b x - n = t M , ahol M a p nevezője.

Ha a három szám közül egyik sem egész, akkor Csebisev tétele szerint az ilyen alakú integrálok nem fejezhetők ki véges kombinációval elemi függvények.

Bizonyos esetekben hasznos lehet az integrált először csökkenteni az m és p kényelmesebb értékeire. Ezt az öntési képletekkel lehet megtenni:
;
.

Egy négyzetháromság négyzetgyökét tartalmazó integrálok

Itt figyelembe vesszük az űrlap integráljait:
,

Euler helyettesítések

Az ilyen integrálok a három Euler-helyettesítés egyikének racionális függvényeinek integráljaira redukálhatók:
, ha a > 0;
, ha c > 0;
, ahol x 1 az a x 2 + b x + c = 0 egyenlet gyöke. Ha ennek az egyenletnek valódi gyökerei vannak.

Trigonometrikus és hiperbolikus helyettesítések

Közvetlen módszerek

A legtöbb esetben az Euler-helyettesítések hosszabb számítási időt eredményeznek, mint a közvetlen módszerek. Közvetlen módszerekkel az integrál a következő típusok egyikére redukálódik.

gépelek

Az űrlap integrálja:
,
ahol P n (x) egy n fokú polinom.

Az ilyen integrálokat a határozatlan együtthatók módszerével találjuk meg, a következő azonosság használatával:

Ezt az egyenletet differenciálva és a bal és a jobb oldalt egyenlővé tesszük, megkapjuk az A i együtthatót.

II típusú

Az űrlap integrálja:
,
ahol P m (x) egy m fokú polinom.

Helyettesítés t = (x - α) -1 ez az integrál az előző típusra redukálódik. Ha m ≥ n, akkor a törtnek egész résznek kell lennie.

III típusú

A harmadik és legnehezebb típus:
.

Itt cserét kell végrehajtania:
.
Ekkor az integrál a következő formában lesz:
.
Továbbá az α, β állandókat úgy kell megválasztani, hogy a t-nél az együtthatók eltűnjenek:
B = 0, B1 = 0.
Ekkor az integrál kétféle integrál összegére bomlik:
;
,
amelyeket helyettesítésekkel integrálnak:
z 2 = A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Általános eset

Transzcendentális (trigonometrikus és exponenciális) függvények integrálása

Előre megjegyezzük, hogy a trigonometrikus függvényekre alkalmazható módszerek hiperbolikus függvényekre is alkalmazhatók. Emiatt a hiperbolikus függvények integrálását külön nem vesszük figyelembe.

Cos x és sin x racionális trigonometrikus függvényeinek integrálása

Tekintsük az űrlap trigonometrikus függvényeinek integráljait:
,
ahol R egy racionális függvény. Ez magában foglalhatja az érintőket és a kotangenseket is, amelyeket szinuszokon és koszinuszokon keresztül kell átalakítani.

Az ilyen funkciók integrálásakor három szabályt érdemes szem előtt tartani:
1) ha R( cosx, sinx) az egyik mennyiség előtti előjelváltozásból szorozva -1-gyel cos x vagy bűn x, akkor a másikat célszerű t-vel jelölni.
2) ha R( cosx, sinx) nem változik az egyidejű előjelváltáshoz képest cos xÉs bűn x, akkor hasznos feltenni cser x = t vagy ctg x = t.
3) a helyettesítés minden esetben egy racionális tört integráljához vezet. Sajnos ez a helyettesítés hosszabb számításokat eredményez, mint az előzőek, adott esetben.

Cos x és sin x hatványfüggvényeinek szorzata

Tekintsük az űrlap integráljait:

Ha m és n racionális számok, akkor az egyik permutáció t = bűn x vagy t= cos x az integrál az integráljára redukálódik differenciális binomiális.

Ha m és n egész számok, akkor az integrálokat részenkénti integrálással számítjuk ki. Ennek eredménye az a következő képleteket szereplők:

;
;
;
.

Integráció alkatrészek szerint

Az Euler-képlet alkalmazása

Ha az integrandus lineáris az egyik függvényhez képest
cos ax vagy sinax, akkor célszerű az Euler-képletet alkalmazni:
e iax = cos ax + isin ax(ahol i 2 = - 1 ),
ezt a funkciót helyettesítve ezzel eiaxés az igazi kiemelése (cserekor cos ax) vagy képzeletbeli rész(cserekor sinax) az eredményből.

Referenciák:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Feladatok gyűjteménye on felsőbb matematika, "Lan", 2003.

Lásd még:

Mivel most csak a határozatlan integrálról fogunk beszélni, a „határozatlan” kifejezést a rövidség kedvéért elhagyjuk.

Az integrálok kiszámításának (vagy ahogy mondják, a függvények integrálásának) megtanulásához először meg kell tanulnia az integrálok táblázatát:

Asztal 1. Integrálok táblázata

2. ( ), u>0. 2a. (α=0); 2b. (a=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Ezenkívül szüksége lesz arra, hogy kiszámítsa a származékát adott funkciót, ami azt jelenti, hogy emlékeznie kell a differenciálás szabályaira és a fő elemi függvények származéktáblázatára:

2. táblázat. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata:

6.a .

(bűn És) = cos És  És (kötözősaláta u) = – bűn És És

És szükségünk van arra is, hogy megtaláljuk egy függvény differenciálját. Emlékezzünk arra, hogy a függvény különbsége
képlet alapján keresse meg
, azaz egy függvény differenciálja egyenlő e függvény deriváltjának és argumentuma differenciáljának szorzatával. Célszerű szem előtt tartani a következő ismert összefüggéseket:

3. táblázat. Különbségek táblázata

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Ezenkívül használhatja ezeket a képleteket, mind balról jobbra, mind jobbról balra olvasva.

Nézzünk meg egymás után három alapvető integrálszámítási módszert. Az elsőt úgy hívják közvetlen integrációs módszer. A határozatlan integrál tulajdonságainak használatán alapul, és két fő technikát tartalmaz: integrál bővítése algebrai összeggé egyszerűbb és a differenciálmű jele alá hozva, és ezek a módszerek önállóan és kombinálva is használhatók.

DE) Fontolgat algebrai összegfelbontás- ez a technika magában foglalja az integrandus azonos transzformációit és a határozatlan integrál linearitási tulajdonságait:
És .

1. példa Integrálok keresése:

de)
; b)
;

ban ben)
G)

e)
.

Megoldás.

de)Az integrandust úgy alakítjuk át, hogy tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel:

Itt a fokok tulajdonságát használjuk:
.

b) Először transzformáljuk a tört számlálóját, majd a számlálót elosztjuk a nevező tagjával:

Itt is használatos a fokozatok tulajdonsága:
.

Íme a használt ingatlan:
,
.

.

Itt az 1. táblázat 2. és 5. képletét használjuk.

2. példa Integrálok keresése:

de)
; b)
;

ban ben)
G)

e)
.

Megoldás.

de)Átalakítjuk az integrandust a trigonometrikus azonosság segítségével:

.

Itt ismét a számlálónak a nevezővel való tagolását, valamint az 1. táblázat 8. és 9. képletét használjuk.

b) Hasonlóképpen transzformáljuk az identitás segítségével
:

.

c) Először tagonként osztjuk el a számlálót a nevezővel, és vegyük ki a konstansokat az integráljelből, majd használjuk a trigonometrikus azonosságot
:

d) Alkalmazza a fokozatcsökkentés képletét:

,

e) Trigonometrikus azonosságok segítségével transzformáljuk:

B) Tekintsük az integrációs technikát, amelyet p kivonás a differenciál jele alatt. Ez a technika a határozatlan integrál invariancia tulajdonságán alapul:

ha
, akkor bármilyen differenciálható függvényre És = És(x) bekövetkezik:
.

Ez a tulajdonság lehetővé teszi a legegyszerűbb integrálok táblázatának jelentős bővítését, mivel ennek a tulajdonságnak köszönhetően az 1. táblázat képletei nem csak a független változóra érvényesek. És, hanem abban az esetben is, amikor És egy másik változó differenciálható függvénye.

Például,
, de szintén
, És
, És
.

Vagy
És
, És
.

A módszer lényege, hogy kivonjuk egy adott függvény differenciálját egy adott integrandusból úgy, hogy ez a megkülönböztetett differenciál a kifejezés többi részével együtt táblázatos képletet alkosson ehhez a függvényhez. Ha szükséges, megfelelő konstansok adhatók hozzá egy ilyen transzformációhoz. Például:

(az utolsó példában az ln(3 + x 2) ln|3 + helyett x 2 | , mivel a 3 + kifejezés x 2 mindig pozitív).

3. példa Integrálok keresése:

de)
; b)
; ban ben)
;

G)
; e)
; e)
;

g)
; h)
.

Megoldás.

de) .

Itt az 1. táblázat 2a, 5a és 7a képletét használjuk, amelyek közül az utolsó kettőt a differenciáljellel helyettesítve kapjuk meg:

Integrálja a nézetfunkciókat
nagyon gyakran előfordul bonyolultabb függvények integráljainak számításakor. Annak érdekében, hogy a fent leírt lépéseket ne ismételje meg minden alkalommal, javasoljuk, hogy emlékezzen az 1. táblázatban megadott megfelelő képletekre.

.

Itt az 1. táblázat 3. képletét használjuk.

c) Hasonlóképpen, figyelembe véve, hogy , átalakítjuk:

.

Itt az 1. táblázatban szereplő Forma 2-t használjuk.

G)

.

e) ;

e)

.

g);

h)

.

4. példa Integrálok keresése:

de)
b)

ban ben)
.

Megoldás.

a) Alakítsuk át:

Itt az 1. táblázat 3. képlete is használatos.

b) Használja a redukciós képletet
:

Itt az 1. táblázat 2a és 7a képletét használjuk.

Itt az 1. táblázat 2. és 8. képletével együtt a 3. táblázat képleteit is használjuk:
,
.

5. példa Integrálok keresése:

de)
; b)

ban ben)
; G)
.

Megoldás.

a) A munka
kiegészíthető (lásd a 3. táblázat 4. és 5. képletét) a függvény differenciáljára
, ahol deÉs b- bármilyen állandó,
. Valóban, hol
.

Akkor nálunk van:

.

b) A 3. táblázat 6. képletével megvan
, szintén
, ami azt jelenti, hogy a jelenlét a termék integrandjában
tippet jelent: a differenciáljel alá egy kifejezést kell hozzáadni
. Ezért kapunk

c) A b) pont szerint a termék
kiegészíthető a függvény differenciáljával
. Akkor kapjuk:

.

d) Először az integrál linearitási tulajdonságait használjuk:

6. példa Integrálok keresése:

de)
; b)
;

ban ben)
; G)
.

Megoldás.

de)Tekintettel arra
(3. táblázat 9. képlete), átalakítjuk:

b) A 3. táblázat 12. képletével kapjuk

c) A 3. táblázat 11. képletét figyelembe véve transzformáljuk

d) A 3. táblázat 16. képletével a következőt kapjuk:

.

7. példa Integrálok keresése:

de)
; b)
;

ban ben)
; G)
.

Megoldás.

de)A példában bemutatott összes integrálnak van egy közös jellemzője: az integrandus négyzetes trinomit tartalmaz. Ezért ezen integrálok kiszámításának módszere ugyanazon a transzformáción fog alapulni - a teljes négyzet kiválasztásán ebben a négyzetes hármasban.

.

b)

.

ban ben)

G)

A differenciáljel alatti összegzés módszere egy általánosabb integrálszámítási módszer, az úgynevezett helyettesítési módszer vagy változóváltás szóbeli megvalósítása. Valójában minden alkalommal, amikor az 1. táblázat megfelelő képletét választottuk a differenciáljel alá helyezés eredményeként kapott függvényhez, gondolatban a betűre cseréltük. És funkciót a differenciáljel alatt. Ezért, ha a differenciál jele alá történő összesítéssel történő integráció nem működik túl jól, akkor közvetlenül megváltoztathatja a változót. Erről bővebben a következő bekezdésben.

Közvetlen integráció

A határozatlan integrálok számítását az integrálok és alapvető tulajdonságaik táblázata segítségével ún közvetlen integráció.

1. példa Keressük meg az integrált

.

A határozatlan integrál második és ötödik tulajdonságát alkalmazva megkapjuk

.(*)

Ezután a képletek segítségévelII, W,IV, VIIItáblázatok és az integrálok harmadik tulajdonsága, az integrálok minden tagját külön-külön találjuk:

= ,

,

Ezeket az eredményeket behelyettesítjük (*) és az összes állandó összegét jelölve(Z TÓL TŐL 1 +7TÓL TŐL 2 +4TÓL TŐL 3 +2TÓL TŐL 4 +TÓL TŐL 5) levél TÓL TŐL, végre megkapjuk:

Ellenőrizzük az eredményt differenciálással. Keresse meg az eredményül kapott kifejezés származékát:

Megkaptuk az integrandust, amely bizonyítja, hogy az integráció helyes.

2. példa . Találjuk ki

.

Az integrálok táblázata mutatja a következménytIIIde a képletből III:

Ennek a következménynek a használatához megtaláljuk a függvény differenciálját a kitevőben:

Ennek a differenciálnak a létrehozásához elegendő az integrál alatti tört nevezőjét megszorozni a számmal 2 (nyilván, hogy a tört ne változzon, meg kell szorozni 2 és számláló). Az integráljelből a konstans tényező kivétele után készen áll a táblázatos képlet alkalmazásáraIIIde:

.

Vizsgálat:

tehát az integráció helyes.

3. példa . Találjuk ki

Mivel a másodfokú függvény differenciálja a számlálóban lévő kifejezésből szerkeszthető, a nevezőben a következő függvényt kell megkülönböztetni:

.

A differenciálmű létrehozásához elég a számlálót megszorozni 4-gyel (a nevezőt is megszorozzuk 4 és vegyük ki a nevezőnek ezt a tényezőjét az integrálból). Ennek eredményeként a táblázatos képletet tudjuk majd használnix:

Vizsgálat:

,

azok. az integráció helyes.

4. példa . Találjuk ki

Jegyezzük meg, hogy most az a másodfokú függvény, amelynek differenciálja létrehozható a számlálóban, egy radikális kifejezés. Ezért a képlet használatához ésszerű lenne az integrandust hatványfüggvényként felírniénintegrált táblázatok:

Vizsgálat:

Következtetés: az integrál helyesen található.

Példa 5. Találjuk ki

Vegye figyelembe, hogy az integrandus tartalmazza

funkció ; és annak differenciálja. De a tört egyben a teljes radikális kifejezés differenciálja is (egy előjelig):

Ezért célszerű a tört alakban ábrázolni fokok:

Ezután a számlálót és a nevezőt (-1) megszorozva megkapjuk a hatványintegrált (táblázatos képletén):

Az eredmény megkülönböztetésével megbizonyosodunk arról, hogy az integráció megfelelően történik.

6. példa Találjuk ki

Könnyen belátható, hogy ebben az integrálban a kifejezésből a gyökfüggvény differenciálja nem kapható meg numerikus együtthatók segítségével. Igazán,

,

ahol k -állandó. De tapasztalatból 3. példa , meg lehet alkotni egy olyan integrált, amely formailag egybeesik a formulávalxaz integrálok táblázatából:

Példa 7. Találjuk ki

Figyeljünk arra, hogy a számlálóban könnyen létrehozható a köbfüggvény differenciáld(x 3 ) = 3 x 2 dx. Ekkor lehetőséget kapunk a táblázatos képlet használatáraVI:

8. példa Találjuk ki

Ismeretes, hogy a függvény deriváltjaív bűn x egy töredék

azután

.

Ebből arra a következtetésre jutunk, hogy a kívánt integrálnak hatványintegrál alakja van: , amibenés =ív bűn x, ami azt jelenti

Példa 9 . A megtalálásért

használja ugyanazt a táblázatot képlet énés az a tény

Kap

10. példa . Találjuk ki

Mivel a kifejezés a függvény differenciálja, akkor a képlet segítségévelén integrálok tábláit kapjuk

11. példa. Az integrál megtalálásához

sorrendben használd: trigonometrikus képlet

,

a tény, hogy a

és képlet IIintegrált táblázatok:

12. példa . Találjuk ki

.

A kifejezés óta

a függvény differenciálja , majd ugyanazt a képletet használvaII, kapunk

Példa 13 . Keressük meg az integrált

Figyeljük meg, hogy a számlálóban a változó mértéke eggyel kisebb, mint a nevezőben. Ez lehetővé teszi, hogy különbséget hozzon létre a számlálóbannévadó. Találjuk ki

.

Miután kivettük az integrál előjelből a konstans tényezőt, megszorozzuk az integrandus számlálóját és nevezőjét (-7-tel), így kapjuk:

(Itt ugyanazt a képletet használtukIIintegrálok táblázatából).

14. példa Keressük meg az integrált

.

Jelöljük a számlálót más formában: 1 + 2 x 2 = (1 + x 2 )+ x 2 és végezzünk tagonkénti osztást, amely után az integrálok ötödik tulajdonságát és a formulát használjukénÉs VIII táblázatok:

15. példa Találjuk ki

Az integrál előjeléből kivesszük a konstans tényezőt, a számlálóban kivonjuk és összeadjuk az 5-öt, majd végrehajtjuk a számláló taggal való osztását a nevezővel, és az integrál ötödik tulajdonságát használjuk:

Az első integrál kiszámításához az integrálok harmadik tulajdonságát használjuk, és a második integrált olyan formában ábrázoljuk, amely alkalmas a képlet alkalmazására.IX:

16. példa Találjuk ki

Vegyük észre, hogy a számlálóban a változó kitevője eggyel kisebb, mint a nevezőben (ami jellemző a deriváltra), ami azt jelenti, hogy a nevező differenciálja a számlálóban szerkeszthető. Keressük meg a kifejezés differenciálját a nevezőben:

d(x2- 5)=(x 2 - 5)" dx= 2 xdx .

A számlálóban a nevező különbségének megszerzéséhez nincs elegendő 2-es állandó tényező. Az integrandust megszorozzuk és elosztjuk 2-vel, és kivesszük az állandó tényezőt -

az integráljelhez

itt vagyunk használtIItáblázatos integrál.

Tekintsünk egy hasonló helyzetet a következő példában.

17. példa. Találjuk ki

.

Számítsa ki a nevező különbségét:

.

Hozzuk létre a számlálóban az integrálok negyedik tulajdonságával:

=

Bonyolultabb helyzetet is figyelembe kell venni példa 19.

18. példa, Találjuk ki

.

Kijelölünk egy teljes négyzetet a nevezőben:

Kap

.

A nevezőben a teljes négyzet kiválasztása után a képletekhez hasonló formájú integrált kaptunkVIIIÉs IXintegrálok táblázatai, de a képlet nevezőjébenVIIIa teljes négyzetek tagjai azonos előjelűek, és az integrálunk nevezőjében a tagok előjelei eltérőek, bár nem esnek egybe a kilencedik formula előjeleivel. A nevezőben lévő kifejezések előjeleinek teljes egybeesése a képletben lévő jelekkelIXúgy sikerül, hogy a (-1) együtthatót kiveszi az integrálból. Tehát a képlet alkalmazásáhozIXintegráltáblázatokat, a következő tevékenységeket végezzük:

1) vegye ki (-1) a zárójelből a nevezőben, majd vegye ki az integrálból;

2) keresse meg a kifejezés differenciálját

3) hozza létre a talált különbséget a számlálóban;

4) ábrázolja a 2-es számot olyan formában, amely alkalmas a képlet alkalmazásáraIX táblázatok:

Azután

Használata IXaz integrálok táblázatának képletét kapjuk

19. példa. Találjuk ki

.

Felhasználva az előző két példában az integrálkeresés során szerzett tapasztalatokat és az azokban kapott eredményeket, meglesz

.

Általánosítsunk néhány, a megoldás eredményeként szerzett tapasztalatot példák 17,18,19.

Tehát, ha megvan az alak integrálja

(példa 18 ), azután, a nevezőben a teljes négyzetet kiemelve eljuthatunk valamelyik táblázatos képlethezVIII vagy IX.

Az űrlap integrálja

(példa 19 ) miután a számlálóban létrehoztuk a nevező deriváltját, két integrálra bomlik: az első ilyen alakú

( példa 17 ), képletP, a második pedig a következő alakú

(példa 18 ), valamelyik képlet szerint vettükVIII vagy IX.

20. példa . Találjuk ki

.

Az űrlap integrálja

táblázatos képletek formájára redukálhatóx vagy XI, kiemelve a teljes négyzetet a radikális kifejezésben. BAN BEN a mi esetünk

= .

A gyökérkifejezésnek van kifejezési formája

Ugyanez történik az űrlap integráljainak kiszámításakor is

,

ha az egyik kitevő pozitív páratlan szám, a másik pedig tetszőleges valós szám (példa 23 ).

Példa 23 . Találjuk ki

Az előző példa tapasztalatait és az azonosságot felhasználva

2 sin 2 φ \u003d l - cos 2 φ, 2 cos 2 φ \u003d l + cos 2 φ

A kapott összeget behelyettesítve az integrál alá, megkapjuk

Az antiderivatív függvényeket nem mindig tudjuk kiszámítani, de a differenciálási probléma bármelyik függvényre megoldható. Éppen ezért nincs egyetlen integrálási módszer, amely bármilyen típusú számításhoz használható lenne.

Ennek az anyagnak a keretein belül példákat elemezünk a határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák megoldására, és megnézzük, hogy az egyes módszerek mely integrandustípusokra alkalmasak.

Közvetlen integrációs módszer

Az antiderivatív függvény kiszámításának fő módszere a közvetlen integráció. Ez a művelet a határozatlan integrál tulajdonságain alapul, és a számításokhoz szükségünk van egy antiderivált táblázatra. Más módszerek csak abban segíthetnek, hogy az eredeti integrál táblázatos formába kerüljön.

1. példa

Számítsd ki az f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 függvény antideriváltjainak halmazát!

Megoldás

Először változtassuk meg a függvény alakját a következőre: f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Tudjuk, hogy a függvényösszeg integrálja egyenlő lesz ezen integrálok összegével, ami azt jelenti:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Levezetünk egy numerikus együtthatót az integráljelen túl:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Az első integrál megtalálásához az antiderivatívek táblázatára kell hivatkoznunk. Ebből vesszük a ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1 értéket

A második integrál megtalálásához szükségünk van a ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C hatványfüggvény antiderivált táblázatára, valamint a ∫ f k x + b d x = 1 k F (k x + b) + C szabályra.

Ezért ∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

A következőket kaptuk:

∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

ahol C = C 1 + 3 2 C 2

Válasz:∫ f (x) d x = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Külön cikket szenteltünk a közvetlen integrációnak az antiderivált táblázatok segítségével. Javasoljuk, hogy tekintse meg.

Helyettesítő módszer

Egy ilyen integrációs módszer abból áll, hogy az integrandust egy kifejezetten erre a célra bevezetett új változóval fejezzük ki. Ennek eredményeként az integrál táblázatos alakját kell kapnunk, vagy csak egy kevésbé összetett integrált.

Ez a módszer nagyon hasznos, ha függvényeket gyökökkel vagy trigonometrikus függvényekkel kell integrálni.

2. példa

Számítsa ki a ∫ 1 x 2 x - 9 d x határozatlan integrált.

Megoldás

Adjunk hozzá még egy z = 2 x - 9 változót. Most x-et z-ben kell kifejeznünk:

z 2 \u003d 2 x - 9 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d d z 2 + 9 2 \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d 1 zd 2 z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Vegyük az antiderivált táblázatot, és megtudjuk, hogy 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Most vissza kell térnünk az x változóhoz, és meg kell kapnunk a választ:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Válasz:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Ha x m (a + b x n) p alakú irracionalitású függvényeket kell integrálnunk, ahol m , n , p értékei racionális számok, akkor fontos egy kifejezést helyesen összeállítani egy új változó bevezetéséhez. Erről bővebben az integrációról szóló cikkben olvashat irracionális függvények.

Mint fentebb említettük, a helyettesítési módszer kényelmesen használható, ha integrálni kell trigonometrikus függvény. Például univerzális behelyettesítéssel egy kifejezést tört racionális formába hozhatunk.

Ez a módszer megmagyarázza a ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C integrációs szabályt.

Hozzáadunk még egy z = k · x + b változót. A következőket kapjuk:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

Most vesszük a kapott kifejezéseket, és hozzáadjuk a feltételben megadott integrálhoz:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Ha felvesszük C 1 k = C-t és visszatérünk az eredeti x változóhoz, akkor a következőt kapjuk:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Az összegzés módja a differenciál jele alatt

Ez a módszer az integrandusnak az f (g (x)) d (g (x)) formájú függvényté való átalakításán alapul. Ezt követően behelyettesítést végzünk, bevezetve egy új z = g (x) változót, megkeressük annak antideriváltját és visszatérünk az eredeti változóhoz.

∫ f(g(x)) d(g(x)) = g(x) = z = ∫ f(z) d(z) == F(z) + C = z = g(x) = F( g(x)) + C

A problémák gyorsabb megoldása érdekében ezzel a módszerrel tartsa kéznél a derivált táblázatot differenciálok formájában és egy antiderivált táblázatot, hogy megtalálja azt a kifejezést, amelyre az integrandus redukálva lesz.

Elemezzük azt a problémát, amelyben ki kell számítani a kotangens függvény antideriváltjainak halmazát.

3. példa

Számítsa ki a ∫ c t g x d x határozatlan integrált.

Megoldás

Átalakítjuk az eredeti kifejezést az integrál alatt az alapvető trigonometrikus képletekkel.

c t g x d x = cos s d x sin x

Megnézzük a derivált táblázatot, és azt látjuk, hogy a számlálót a cos x d x = d (sin x) differenciál jele alá lehet vinni, ami azt jelenti:

c t g x d x \u003d cos x d x sin x \u003d d sin x sin x, azaz. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Tegyük fel, hogy sin x = z , ebben az esetben ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Az antiderivatívek táblázata szerint ∫ d z z = ln z + C . Most térjünk vissza az eredeti ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C változóhoz.

A teljes megoldást röviden a következőképpen írhatjuk le:

∫ c t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Válasz: ∫ t g x d x = ln sin x + C-vel

A differenciáljel-módszert nagyon gyakran használják a gyakorlatban, ezért javasoljuk, hogy olvasson el egy külön cikket.

Alkatrészenkénti integráció módja

Ez a módszer azon alapul, hogy az integrandust egy f (x) dx = u (x) v "xdx = u (x) d (v (x)) formájú szorzattá alakítjuk, ami után a képlet ∫ u (x) d ( v (x)) \u003d u (x) v (x) - ∫ v (x) du (x) Ez egy nagyon kényelmes és gyakori megoldási módszer. Néha az egy feladatba történő részleges integrációt többször is alkalmazni kell, mielőtt megkapjuk a kívánt eredményt.

Elemezzük azt a problémát, amelyben ki kell számítani az arctangens antideriváltjainak halmazát.

4. példa

Számítsa ki a ∫ a r c t g (2 x) d x határozatlan integrált.

Megoldás

Tegyük fel, hogy u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , ebben az esetben:

d (u (x)) = u "(x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Amikor kiszámoljuk a v (x) függvény értékét, ne adjunk hozzá tetszőleges C állandót.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Az így kapott integrált a differenciáljel alatti összegzés módszerével számítjuk ki.

Mivel ∫ arctan (2 x) dx = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x arctan (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2, akkor 2 xdx = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ arctg (2 x) dx = x arctg (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2 = = x arctg (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x arctg (2 x ) - 1 4 log 1 + 4 x 2 + C

Válasz:∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Az ilyen módszer alkalmazásának fő nehézsége az, hogy meg kell választani, hogy melyik részt vegyük a differenciálhoz, és melyik részt az u (x) függvényhez. A részenkénti integráció módjáról szóló cikkben adunk néhány tanácsot ebben a kérdésben, amelyeket érdemes elolvasni.

Ha meg kell találnunk egy tört-racionális függvény antideriváltjainak halmazát, akkor először az integrandust egyszerű törtek összegeként kell ábrázolnunk, majd az így kapott törteket integrálnunk kell. További részletekért lásd az egyszerű törtek integrálásával foglalkozó cikket.

Ha integrálunk egy sin 7 x d x vagy d x (x 2 + a 2) 8 alakú hatványkifejezést, akkor hasznosak lesznek számunkra azok a rekurzív formulák, amelyek fokozatosan csökkenthetik a fokot. Ezek az alkatrészek egymást követő többszörös integrációjával származnak. Javasoljuk, hogy olvassa el az „Integráció visszatérő képletekkel” című cikket.

Foglaljuk össze. A problémák megoldásához nagyon fontos a közvetlen integráció módszerének ismerete. Más módszerek (különbségjel alá vonás, helyettesítés, részenkénti integrálás) szintén lehetővé teszik az integrál egyszerűsítését, táblázatos formába hozását.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt