Hasonlóképpen, mint egy anyagi pont esetében, levezetünk egy tételt a rendszer impulzusának változásáról különböző formákban.
Átalakítjuk az egyenletet (tétel a tömegközéppont mozgásáról mechanikus rendszer)
a következő módon:
;
A kapott egyenlet a mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt differenciális formában fejezi ki: egy mechanikai rendszer impulzusának időbeli deriváltja egyenlő a fővektorral. külső erők hat a rendszerre .
A derékszögű koordinátatengelyekre vetítéseknél:
; 
; 
.
Az utolsó egyenlet mindkét részének integráljait időben figyelembe véve egy mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt kapunk integrál formában: egy mechanikai rendszer impulzusának változása megegyezik a mechanikai rendszer impulzusának változása a fővektor impulzusával. a rendszerre ható külső erők .
.
Vagy a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve:
; 
; 
.
A tétel következményei (a lendület megmaradásának törvényei)
Az impulzusmegmaradás törvényét a rendszer impulzus-változására vonatkozó tétel speciális eseteiként kapjuk meg a külső erők rendszerének jellemzőitől függően. A belső erők bármiek lehetnek, mivel nem befolyásolják a lendület változását.
Két eset lehetséges:
1. Ha a rendszerre ható összes külső erő vektorösszege egyenlő nullával, akkor a rendszer impulzusának nagysága és iránya állandó.
2. Ha a külső erők fővektorának vetülete bármely koordinátatengelyre és/vagy és/vagy egyenlő nullával, akkor a mozgásmennyiség vetülete ugyanazon tengelyeken állandó érték, azaz. és/vagy és/vagy.
Hasonló rekordok készíthetők egy anyagi pontra és egy anyagi pontra.
A feladat. Egy fegyvertől, amelynek tömege M, egy tömeglövedék vízszintes irányban kirepül m sebességgel v. Találd meg a sebességet V fegyverek lövés után.
Döntés. A fegyver-lövedék mechanikai rendszerre ható minden külső erő függőleges. Ennélfogva a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel következménye alapján a következőket kapjuk: .
A mechanikus rendszer mozgásának mértéke a lövés előtt:
A mechanikus rendszer mozgásának mértéke a lövés után:
.
A kifejezések megfelelő részeit egyenlővé téve azt kapjuk
.
A „-” jel a kapott képletben azt jelzi, hogy a lövés után a fegyver a tengellyel ellentétes irányba gurul vissza. Ökör.
2. PÉLDA Egy F keresztmetszetű csőből V sebességgel áramlik ki egy sűrűségű folyadéksugár, és szögben ütközik egy függőleges falnak. Határozza meg a folyadék nyomását a falon.
DÖNTÉS. Alkalmazzuk az impulzus impulzus változásának tételét integrál formában a tömegű folyadék térfogatára m falnak ütközik egy időn keresztül t.
MESHCSERSKY-EGYENLET
(változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete)
A modern technikában előfordulnak olyan esetek, amikor egy pont és egy rendszer tömege a mozgás során nem marad állandó, hanem változik. Így például az űrrakéták repülése során az égéstermékek kilökődése és a rakéták egyes felesleges részei miatt a tömegváltozás eléri a teljes kezdeti érték 90-95% -át. De nem csak az űrtechnika lehet példa a változó tömeg mozgásának dinamikájára. A textiliparban jelentős változás áll be a különböző orsók, orsók, tekercsek tömegében korszerű gép- és gépfordulatszámon.
Tekintsük a tömegváltozással kapcsolatos főbb jellemzőket egy változó tömegű test transzlációs mozgásának példájával. A dinamika alaptörvénye nem alkalmazható közvetlenül változó tömegű testre. Ezért kapunk differenciál egyenletek változó tömegű pont mozgása, alkalmazva a rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt.
Legyen egy tömegpont m+dm sebességgel mozog. Ekkor valamilyen tömegű részecske pontjától való leválás következik be dm sebességgel halad.
A test mozgásának mértéke a részecske leválása előtt:
Egy testből és egy levált részecskéből álló rendszer mozgásának mértéke a leválás után:
Ekkor a lendület változása:
A rendszer lendületének változására vonatkozó tétel alapján:
Jelöljük az értéket - a részecske relatív sebességét:
Jelöli 
az érték R reaktív erőnek nevezzük. A sugárerő a motor tolóereje, amely a fúvókából felszabaduló gáz miatt következik be.
Végre megkapjuk
-
Ez a képlet egy változó tömegű test dinamikájának alapegyenletét fejezi ki (Meshchersky-féle képlet). Az utolsó képletből következik, hogy egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenletei ugyanolyan alakúak, mint egy állandó tömegű ponté, kivéve a tömegváltozás miatt a pontra ható további reaktív erőt.
A változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete azt jelzi, hogy ennek a testnek a gyorsulása nemcsak külső erők hatására jön létre, hanem a reaktív erő hatására is.
A reaktív erő olyan erő, amely hasonló a lövöldöző személy által érezhető erőhöz – pisztollyal lövéskor a kéz érzi; puskából lövéskor a váll érzékeli.
Ciolkovszkij első képlete (egyfokozatú rakétához)
Egy változó tömegű pont vagy egy rakéta csak egy reaktív erő hatására haladjon egyenes vonalban. Mivel sok modern sugárhajtóműhöz 
, ahol a motor kialakítása által megengedett legnagyobb reaktív erő (motor tolóerő); a motorra ható gravitációs erő a Föld felszíne. Azok. A fentiek lehetővé teszik a Meshchersky-egyenletben szereplő összetevő figyelmen kívül hagyását, és a további elemzéshez az egyenlet elfogadását a következő formában:
Jelöli:
Üzemanyag-tartalék (folyékony hajtóanyagú sugárhajtóműveknél - a rakéta száraz tömege (a maradék tömege, miután az összes üzemanyag kiég);
A rakétáról levált részecskék tömege; között változónak tekinthető.
Írjuk fel az egyenletet egyenes vonalú mozgás változó tömegű pontok a következő formában
.
Mivel a rakéta változó tömegének meghatározására szolgáló képlet
Ezért egy pont mozgásegyenletei 
Mindkét rész integrálját véve megkapjuk
ahol - jellemző sebesség- ez az a sebesség, amelyet a rakéta tolóerő hatására elér, miután az összes részecske kitör a rakétából (folyékony hajtóanyagú sugárhajtóműveknél - miután az összes üzemanyag kiégett).
Az integráljelből kivéve (ami a jól ismert alapján tehető meg felsőbb matematika középérték tétel) az átlagsebesség a rakétából kilökődő részecskék.
A következőket tartalmazza n anyagi pontok. Hadd emeljünk ki néhány pontot ebből a rendszerből Mj tömegével mj. Ismeretes, hogy ezen a ponton külső és belső erők hatnak.
Alkalmazza egy pontra Mj mindennek eredménye belső erők F j iés minden külső erő eredője F j e(2.2. ábra). A kiválasztott anyagponthoz Mj(szabadpontként) felírjuk az impulzusváltozás tételét differenciál alakban (2.3):
Hasonló egyenleteket írunk fel a mechanikai rendszer minden pontjára (j=1,2,3,…,n).
2.2. ábra
Rakjunk össze mindent n egyenletek:
∑d(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j × V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)
Itt ∑mj ×Vj =Q a mechanikai rendszer lendülete;
∑ F j e = R e – fő vektor a mechanikai rendszerre ható minden külső erő;
∑ F j i = R i =0- a rendszer belső erőinek fővektora (a belső erők tulajdonsága szerint nullával egyenlő).
Végül a mechanikai rendszer esetében megkapjuk
dQ/dt = Re. (2.11)
A (2.11) kifejezés egy mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tétel differenciális formában (vektoros kifejezésben): egy mechanikai rendszer impulzusvektorának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorával.
A (2.11) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve kifejezéseket kapunk a mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételhez koordináta (skaláris) kifejezésben:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
azok. egy mechanikai rendszer impulzusának bármely tengelyre vetítésének időbeli deriváltja egyenlő a mechanikai rendszerre ható összes külső erő fővektorának erre a tengelyre való vetületével.
A (2.12) egyenlőség mindkét oldalát megszorozva ezzel dt, a tételt egy másik differenciálformában kapjuk meg:
dQ = R e × dt = δS e, (2.13)
azok. egy mechanikai rendszer impulzusának különbsége egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorának elemi impulzusával (az elemi impulzusok összegével)..
Az egyenlőség (2.13) integrálása a 0-tól az időtartományig t, egy tételt kapunk egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról véges (integrális) formában (vektoros kifejezésben):
Q - Q 0 \u003d S e,
azok. egy mechanikai rendszer mozgásának véges időn belüli változása megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható összes külső erő fővektorának összimpulzusával (a teljes impulzusok összegével)..
A (2.14) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve a tételhez kifejezéseket kapunk vetületekben (skaláris kifejezésben):
azok. a mechanikai rendszer impulzusának tetszőleges tengelyre vetületének véges idő alatt bekövetkező változása megegyezik az összes külső erő fővektorának teljes impulzusának (a teljes impulzusok összegének) ugyanarra a tengelyre történő vetületével. ugyanannyi ideig hat a mechanikai rendszerre.
A figyelembe vett (2.11) - (2.15) tételből kövessük a következő következtetéseket:
- Ha egy R e = ∑ F j e = 0, azután Q = állandó– megvan a mechanikai rendszer impulzusvektorának megmaradásának törvénye: ha a fővektor Újra egy mechanikai rendszerre ható összes külső erő nullával egyenlő, akkor ennek a rendszernek a lendületvektora nagyságrendben és irányában állandó marad, és egyenlő a kezdeti értékével Q0, azaz Q = Q0.
- Ha egy R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), azután Q x = állandó- megvan a mechanikai rendszer lendületének tengelyére való vetület megmaradásának törvénye: ha a mechanikai rendszerre ható összes erő fővektorának bármely tengelyre vetülete nulla, akkor a vetület ugyanarra a tengelyre ennek a rendszernek az impulzusvektora állandó értékű lesz, és egyenlő az erre a tengelyre történő vetítéssel a kezdeti impulzusvektor, azaz. Qx = Q0x.
Az impulzusváltozás tételének differenciálformája anyagrendszer fontos és érdekes alkalmazásai vannak a kontinuummechanikában. A (2.11)-ből megkaphatjuk az Euler-tételt.
A rendszer mozgásának nagyságát, mint vektormennyiséget, a (4.12) és (4.13) képlet határozza meg.
Tétel. A rendszer lendületének időbeli deriváltja az geometriai összeg minden rá ható külső erő.
A derékszögű tengelyek vetületeiben skaláris egyenleteket kapunk.
Írhatsz vektort
(4.28)
és skaláris egyenletek
Amelyek a rendszer impulzusának változásáról szóló tételt integrál formában fejezik ki: a rendszer impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása megegyezik az azonos időtartamú impulzusok összegével. A feladatok megoldása során gyakrabban használják a (4.27) egyenleteket
A lendület megmaradásának törvénye
Tétel megváltoztatása perdület
Egy pont középponthoz viszonyított impulzusimpulzusának változásáról szóló tétel: egy pont szögimpulzusának fix középponthoz viszonyított időbeli deriváltja egyenlő az ugyanahhoz a középponthoz viszonyított erőpontra ható vektornyomatékkal.
vagy 
(4.30)
Összehasonlítva (4.23) és (4.30) azt látjuk, hogy a és vektorok momentumai ugyanazzal a függéssel kapcsolódnak össze, mint maguk a vektorok, és össze vannak kötve (4.1. ábra). Ha az egyenlőséget az O középponton átmenő tengelyre vetítjük, akkor azt kapjuk
(4.31)
Ez az egyenlőség egy pont tengely körüli impulzusnyomatékának tételét fejezi ki.
|
(4.32)
Ha a (4.32) kifejezést az O középponton átmenő tengelyre vetítjük, akkor olyan egyenlőséget kapunk, amely a tengely körüli impulzusimpulzus változására vonatkozó tételt jellemzi.
(4.33)
A (4.10)-et a (4.33) egyenlőségbe behelyettesítve felírhatjuk a forgó differenciálegyenletét. szilárd test(kerekek, tengelyek, tengelyek, rotorok stb.) háromféle formában.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Így a kinetikus nyomaték változásáról szóló tételt célszerű felhasználni a technikában igen elterjedt merev test mozgásának, körüli forgásának vizsgálatára. rögzített tengely.
A rendszer impulzusimpulzusának megmaradásának törvénye
1. Engedjük be a (4.32) kifejezést.
Ekkor a (4.32) egyenletből következik, hogy , i.e. ha a rendszerre ható összes külső erő nyomatékainak összege relatív ezt a központot egyenlő nullával, akkor a rendszer szögimpulzusa ehhez a középponthoz képest számszerűen, irányában pedig állandó lesz.
2. Ha , akkor . Így, ha a rendszerre ható külső erők nyomatékainak összege valamely tengelyhez képest nulla, akkor a rendszer e tengelyhez viszonyított kinetikus nyomatéka állandó érték lesz.
Ezek az eredmények a szögimpulzus megmaradásának törvényét fejezik ki.
Forgó merev test esetén a (4.34) egyenlőségből következik, hogy ha , akkor . Innen a következő következtetésekre jutunk:
Ha a rendszer változhatatlan (abszolút merev test), akkor ennek következtében és és a merev test egy rögzített tengely körül állandó szögsebességgel forog.
Ha a rendszer változtatható, akkor . Növekedéssel (ekkor a rendszer egyes elemei eltávolodnak a forgástengelytől) a szögsebesség csökken, mert , és csökkenésével növekszik, így változó rendszer esetén belső erők segítségével lehet változtatni a szögsebességet.
Második feladat D2 ellenőrzési munka a rendszer tengely körüli kinetikai nyomatékának változásáról szóló tételnek szenteljük.
D2 feladat
Egy homogén vízszintes platform (kerek R sugarú vagy téglalap alakú, R és 2R oldalakkal, ahol R = 1,2 m) kg tömegű szögsebességgel forog a z függőleges tengely körül, amely a platform C tömegközéppontjától kb. a távolság OC = b (D2.0 – D2.9 ábra, D2 táblázat); ábrán láthatók az összes téglalap alakú platform méretei. D2.0a (felülnézet).
Abban a pillanatban, amikor egy kg tömegű D teher mozogni kezd a platform csúszdáján (belső erők hatására) a törvény szerint, ahol s méterben, t másodpercben van kifejezve. Ezzel egyidejűleg egy M nyomatékú (newtonométerben megadott) erőpár hatni kezd a platformokon; M-nél< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Határozzuk meg a tengely tömegét figyelmen kívül hagyva a függőséget pl. platform szögsebessége az idő függvényében.
Minden ábrán a D terhelés olyan helyzetben látható, ahol s > 0 (amikor s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Útvonalak. D2 feladat - a rendszer szögimpulzusának változására vonatkozó tétel alkalmazásáról. Amikor a tételt platformból és teherből álló rendszerre alkalmazzuk, a rendszer z tengely körüli impulzusnyomatékát a platform és a terhelés nyomatékainak összegeként határozzuk meg. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a terhelés abszolút sebessége a relatív és a hordozható sebesség összege, pl. . Ezért a rakomány mozgásának mennyisége 
. Ekkor használhatjuk a Varignon-tételt (statika), amely szerint ; ezeket a nyomatékokat ugyanúgy számítjuk ki, mint az erőnyomatékokat. A megoldás menetét részletesebben a D2 példa ismerteti.
A feladat megoldása során célszerű a segédrajzon a peron felülnézetét (z végétől) ábrázolni, ahogy az a 1. ábrán látható. D2.0,a - D2.9,a.
Egy m tömegű lemez tehetetlenségi nyomatéka a lemezre merőleges és a tömegközéppontján átmenő Cz tengely körül egyenlő: olyan téglalap alakú lemez esetén, amelynek oldalai és
;
R sugarú kerek betéthez
| Állapotszám | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 példa. Egy homogén vízszintes platform (téglalap alakú 2l és l oldalakkal), tömeggel, mereven rögzítve van egy függőleges tengelyhez, és vele együtt forog egy tengely körül. z szögsebességgel (E2a ábra ). Ebben a pillanatban egy M nyomaték kezd hatni a tengelyre, ellenkező irányban ; ugyanakkor rakomány D az ereszcsatornában található massza AB azon a ponton VAL VEL, az s = CD = törvény szerint mozogni kezd a csúszdán (belső erők hatására). F(t).
Adott: m 1 \u003d 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - méterben, t - másodpercben), M= kt, ahol k=6 Nm/s. Határozza meg: - az emelvény szögsebességének változásának törvényét!
Döntés. Vegyünk egy mechanikus rendszert, amely egy platformból és egy rakományból áll D. A w meghatározásához alkalmazzuk a rendszer impulzusimpulzusának a tengely körüli változására vonatkozó tételt z:
(1)
Ábrázoljuk a rendszerre ható külső erőket: a reakció gravitációs erőit és az M nyomatékot. Mivel a és erők párhuzamosak a z tengellyel, és a reakciók ezt a tengelyt metszik, a z tengelyhez viszonyított nyomatékuk egyenlő nullára. Ekkor a pillanatnyi pozitív irányt figyelembe véve (azaz óramutató járásával ellentétes irányban) megkapjuk 
és az (1) egyenlet ezt a formát ölti majd.
Tekintsünk egy anyagi pontokból álló rendszert. Állítsunk össze mozgásdifferenciálegyenleteket (13) ehhez a rendszerhez, és adjuk hozzá ezeket tagonként. Akkor kapunk
A belső erők tulajdonságának utolsó összege nulla. Kívül,
Végül megtaláljuk
A (20) egyenlet a rendszer lendületének változásáról szóló tételt differenciális formában fejezi ki: a rendszer impulzusának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő geometriai összegével. Előrejelzésekben tovább koordinátatengelyek akarat:
Keressük a tétel egy másik kifejezését. Legyen az idő pillanatában a rendszer impulzusa egyenlő és abban a pillanatban egyenlő lesz vele. Ezután a (20) egyenlőség mindkét oldalát megszorozva és integrálva azt kapjuk, hogy
mivel a jobb oldali integrálok külső erők impulzusait adják.
A (21) egyenlet a rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt integrál formában fejezi ki: a rendszer impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása egyenlő a külső erőrendszerre ható impulzusok összegével. ugyanannyi ideig.
A koordinátatengelyekre vetítésekben ez lesz:
Mutassuk meg az összefüggést a bizonyított tétel és a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel között. Mivel tehát ezt az értéket behelyettesítve a (20) egyenlőségbe, és figyelembe véve, hogy megkapjuk, azaz a (16) egyenletet.
Ezért a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel és a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel lényegében két különböző formák ugyanaz a tétel. Azokban az esetekben, amikor egy merev test (vagy testek rendszerének) mozgását tanulmányozzuk, ezen formák bármelyike egyaránt használható, és a (16) egyenlet általában kényelmesebb. Folyamatos közegnél (folyadék, gáz) a feladatok megoldásánál általában a rendszer lendületének változásáról szóló tételt alkalmazzák. Ennek a tételnek fontos alkalmazásai vannak a hatáselméletben (lásd XXXI. fejezet) és a sugárhajtás(lásd 114. §).
Hagyja, hogy az anyagi pont az erő hatására mozogjon F. Meg kell határozni ennek a pontnak a mozgását a mozgó rendszerhez képest Oxyz(cm. összetett mozgás anyagi pont), amely ismert módon mozog egy rögzített rendszerhez képest O 1 x 1 y 1 z 1 .
A dinamika alapegyenlete stacionárius rendszerben
Egy pont abszolút gyorsulását a Coriolis-tétel szerint írjuk le
ahol a abs– abszolút gyorsulás;
a rel– relatív gyorsulás;
a sáv– hordozható gyorsítás;
a mag a Coriolis-gyorsulás.
Írjuk át a (25)-öt figyelembe véve (26)
Bemutatjuk a jelölést 
- hordozható tehetetlenségi erő, 
a Coriolis-féle tehetetlenségi erő. Ekkor a (27) egyenlet felveszi a formát
A tanulmányozandó dinamika alapegyenlete relatív mozgás(28) ugyanúgy írható, mint az abszolút mozgásnál, csak a transzlációs és Coriolis tehetetlenségi erőket kell hozzáadni a pontra ható erőkhöz.
Az anyagpontdinamika általános tételei
Számos probléma megoldása során használhatja a Newton második törvénye alapján kapott előre elkészített nyersdarabokat. Ebben a részben az ilyen problémamegoldó módszereket kombináljuk.
Tétel egy anyagi pont lendületének változásáról
Bemutatjuk a következő dinamikus jellemzőket:
1. Egy anyagi pont mozgásának mennyisége egy vektormennyiség, amely egyenlő egy pont tömegének és sebessége vektorának szorzatával
.
(29)
2. Erőimpulzus
Elemi Erő Impulzus- vektormennyiség, amely egyenlő az erővektor elemi időintervallum szorzatával
(30).
Azután teljes impulzus
.
(31)
Nál nél F=const kapunk S=ft.
A véges időtartam alatti teljes impulzus csak két esetben számítható ki, amikor a pontra ható erő állandó vagy időfüggő. Más esetekben az erőt az idő függvényében kell kifejezni.
Az impulzus (29) és az impulzus (30) dimenzióinak egyenlősége lehetővé teszi közöttük mennyiségi kapcsolat megállapítását.
Tekintsük egy M anyagi pont mozgását a cselekvés alatt önkényes erő F tetszőleges úton.
O 
UD: 
.
(32)
A (32) változókat elkülönítjük és integráljuk
.
(33)
Ennek eredményeként (31) figyelembe véve azt kapjuk, hogy
.
(34)
A (34) egyenlet a következő tételt fejezi ki.
Tétel: Egy anyagi pont impulzusának változása egy bizonyos időtartam alatt megegyezik a pontra ható erő impulzusával ugyanabban az időintervallumban.
A feladatok megoldása során a (34) egyenletet ki kell vetíteni a koordináta tengelyekre
Ezt a tételt akkor célszerű alkalmazni, ha a megadott és ismeretlen mennyiségek között ott van a ponttömeg, annak kezdeti és végsebessége, erők és mozgási idő.
Tétel egy anyagi pont szögimpulzusának változásáról
M 
egy anyagi pont lendületének pillanata a középponthoz viszonyítva egyenlő a pont és a kar lendületi modulusának szorzatával, azaz. legrövidebb távolság (merőleges) a középponttól a sebességvektorral egybeeső egyenesig
,
(36)
.
(37)
Az erőnyomaték (ok) és a lendület (hatás) nyomatéka közötti kapcsolatot a következő tétel állapítja meg.
Legyen adott tömegű M pont m erő hatása alatt mozog F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Számítsuk ki (39) deriváltját!
.
(40)
A (40) és (38) kombinálásával végül megkapjuk
.
(41)
A (41) egyenlet a következő tételt fejezi ki.
Tétel: Egy anyagi pont szögimpulzusvektorának valamely középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a pontra ható erő ugyanazon középponthoz viszonyított nyomatékával.
A feladatok megoldásánál a (41) egyenletet a koordinátatengelyekre kell vetíteni
A (42) egyenletekben az impulzus- és erőnyomatékokat a koordinátatengelyekhez viszonyítva számítjuk ki.
A (41)-ből az következik a szögimpulzus megmaradásának törvénye (Kepler-törvény).
Ha egy anyagi pontra ható erőnyomaték bármely középponthoz képest nullával egyenlő, akkor a pont e középponthoz viszonyított szögimpulzusa megtartja nagyságát és irányát.
Ha egy 
, azután 
.
A tételt és a megmaradási törvényt a feladatokban használjuk görbe vonalú mozgás, különösen a központi erők hatására.