Az erőrendszer adott középpontba hozása. Az erőt egy pontra hozni

Tetszőlegesen elhelyezkedő erők lapos rendszere.

Az erőpárok egyensúlyának feltételei.

Ha bekapcsolva szilárd Mivel a térben tetszőlegesen több erőpár helyezkedik el, így a paralelogramma szabályt egymás után minden két erőpár momentumra alkalmazva tetszőleges számú erőpár helyettesíthető egy ekvivalens erőpárral, amelynek nyomatéka egyenlő. az adott erőpárok nyomatékainak összegére.

Tétel. A merev testre ható erőpárok kiegyenlítéséhez szükséges és elegendő, hogy az erőpárok nyomatékainak vetületeinek algebrai összege mindhárom koordinátatengelyen nullával egyenlő legyen.

Tekintsük az erőátvitel esetét egy tetszőleges pontra, amely nem esik az erő hatásvonalán.

Vegyük a C pontban kifejtett F erőt. Ezt az erőt önmagával párhuzamosan kell átvinni egy O pontba. Két F "és F" erőt fejtünk ki az O pontban, ellentétes irányú, egyenlő értékű és az adott erővel párhuzamosan. F, azaz F "\u003d F "\u003d F. Ezen erők O pontjában történő alkalmazásától a test állapota nem változik, mivel ezek kölcsönösen kiegyensúlyozottak. Az így kapott három erőből álló rendszert úgy tekinthetjük, mint amely az O pontban kifejtett F" erőből és egy M = Fa nyomatékú FF" erőpárból áll. Ezt az erőpárt ún csatolt, a válla pedig egyenlő az F erő vállával az O ponthoz képest.

Így ha az F erőt egy olyan pontra csökkentjük, amely nem esik az erő hatásvonalán, akkor egy ekvivalens rendszert kapunk, amely egy olyan erőből áll, amely nagyságrendben és irányúban megegyezik az F erővel, és egy ehhez kapcsolódó erőpár, amelynek nyomatéka megegyezik ennek az erőnek a pontdobásokhoz viszonyított nyomatékával:

Az erőcsökkentés példájaként vegyük figyelembe az F erő hatását a beszorult rúd C végére (28. ábra, b). Miután az F erőt a beszorított szakasz O pontjába visszük, megtaláljuk benne az adott F1 erőt egyenlő és azzal párhuzamosan, valamint a hozzákapcsolt M nyomatékot, amely egyenlő az adott F erő O referenciaponthoz viszonyított nyomatékával. ,

1.4.2 Öntés lapos rendszer erőket egy adott pontra

A leírt módszer egy erőt egy adott pontba hozni tetszőleges számú erőre alkalmazható. Tegyük fel, hogy az A, B, C és D test pontjaiban (30. ábra) F1, F2, F3, F4 erők fejtik ki hatásukat.

Ezeket az erőket a sík O pontjába kell vinni. Adjuk meg először az A pontban kifejtett F1 erőt. Az O pontban két vele párhuzamos, ellentétes irányú F1 "és F1" erőt fejtünk ki. Az F1 erő bevitele eredményeképpen az F1 "erőt kapjuk. Az O pontban kifejtett F1 "F1" erőpár a1 vállal. Ugyanezt megtéve a B pontban kifejtett F2 erővel, megkapjuk az O pontban kifejtett F2 erőt, és egy erőpárt a váll a2 stb.

Az A, B, C és D pontokban kifejtett lapos erőrendszert az O pontban kifejtett konvergáló F1, F2, F3, F4 erőkkel és a nyomatékokkal egyenlő nyomatékú erőpárokkal helyettesítettük. adott erőket az O pontról:

Az egy pontban konvergáló erők egy F "ch erővel helyettesíthetők, egyenlő geometriai összeg alkatrészek,

Ezt az erőt, amely egyenlő az adott erők geometriai összegével, nevezzük az erőrendszer fővektoraés jelölje F "ch.

Következésképpen általános esetben egy lapos erőrendszert egy adott O pontra való redukció eredményeképpen egy ekvivalens rendszer vált fel, amely egy erőből (fővektor) és egy párból (főmomentum) áll.

Ezt meg kell érteni fő vektor F "ch ennek az erőrendszernek az eredője, mivel ez a rendszer nem ekvivalens egyetlen F "ch erővel. Csak abban az esetben, amikor Lényege eltűnik, a fővektor ennek az erőrendszernek az eredője lesz. Mivel a fővektor egyenlő egy adott rendszer erőinek geometriai összegével, sem a modul, sem annak iránya nem függ a redukciós középpont megválasztásától. Az Mg főnyomaték értéke és előjele a redukciós középpont helyzetétől függ, mivel az alkotópárok vállai az erők kölcsönös helyzetétől és attól a ponttól (középponttól), amelyhez viszonyítva a nyomatékokat veszik.

Az erőrendszer csökkentése a következő esetekben fordulhat elő:
1. - általános eset; a rendszer a fővektorra és a főmomentumra redukálódik.
2.; a rendszert a rendszer fővektorával egyenlő eredőre redukáljuk.
3.; a rendszer olyan erőpárra redukálódik, amelynek nyomatéka megegyezik a főnyomatékkal.
4. ; a rendszer egyensúlyban van, azaz egy lapos erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy fővektora és főmomentuma egyidejűleg nulla legyen.

Bizonyítható, hogy általános esetben, amikor mindig van egy pont, amelyre nézve az erők főnyomatéka nulla.

Tekintsünk egy lapos erőrendszert, amelyet az O pontra redukálunk, azaz az O pontban alkalmazott fővektorral és a főnyomatékkal helyettesítjük. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a főmomentum az óramutató járásával megegyező irányban irányul, azaz. Ezt a főmomentumot ábrázoljuk egy FF" erőpárral, melynek modulját a fővektor moduljával egyenlőnek választjuk, azaz . A párat alkotó erők egyikét az O redukciós középpontban alkalmazzuk, a másik erő a C pontban, amelynek helyzetét a következő feltétel határozza meg: Ezért.

Az erőrendszer középpontba helyezése

Kérdések

6. előadás

3. Egyensúlyi feltételek tetszőleges erőrendszerhez

1. Tekintsünk egy tetszőleges erőrendszert . Válasszon egy tetszőleges pontot RÓL RŐL a redukciós középpontra és a tovább tétellel párhuzamos átvitel erők, a rendszer összes erejét átadjuk adott pont, ne felejtse el hozzáadni egy csatolt erőpárt az egyes erők átvitelekor.

Az így kapott konvergáló erőrendszert az eredeti erőrendszer fővektorával egyenlő erővel helyettesítjük. Az átvitel során kialakult erőpárok rendszerét egy olyan erőpár helyettesíti, amelynek nyomatéka megegyezik az összes erőpár nyomatékainak geometriai összegével (azaz az eredeti erőrendszer középponthoz viszonyított nyomatékainak geometriai összegével) RÓL RŐL).

Az ilyen pillanatot úgy hívják az erőrendszer fő momentuma az O középpont körül (1.30. ábra).

Rizs. 1.30. Az erőrendszer középpontba helyezése

Tehát bármely erőrendszer mindig csak két erőtényezővel helyettesíthető - fővektor és főmomentum egy tetszőlegesen kiválasztott vonatkoztatási középponthoz képest . Nyilvánvaló, hogy az erőrendszer fővektora nem függ a redukciós középpont megválasztásától (azt mondják, hogy a fővektor invariáns a redukciós középpont kiválasztásához képest). Az is nyilvánvaló, hogy a főmomentumnak nincs ilyen tulajdonsága, ezért mindig meg kell jelölni, hogy a főmomentum melyik középpont tekintetében van meghatározva.

2. Az erőrendszer legegyszerűbb formába hozása

További egyszerűsítési lehetőség tetszőleges rendszerek az erők fővektoruk és a főmomentum értékétől, valamint a redukciós középpont sikeres megválasztásától függ. Ebben az esetben a következő esetek lehetségesek:

a) , . Ebben az esetben a rendszer egy nyomatékú erőpárra redukálódik, amelynek értéke nem függ a redukciós középpont megválasztásától.

b) , . A rendszert olyan eredőre redukáljuk, amely egyenlő -vel, amelynek hatásvonala áthalad a középponton RÓL RŐL.

c), és egymásra merőlegesek. A rendszer egy eredőre redukálódik, amely egyenlő , de nem halad át a középponton RÓL RŐL(1.31. ábra).

Rizs. 1.31. Az erőrendszert az eredőhöz hozzák

Helyettesítsük a főmomentumot egy erőpárral, amint az ábra mutatja. 1.31. Határozzuk meg R attól a feltételtől, hogy M 0 = R h. Ekkor a statika második axiómája alapján elvetjük a pontban ható két erő kiegyensúlyozott rendszerét. RÓL RŐL.

d) párhuzamosak. A rendszer egy dinamikus csavarra van hajtva, amelynek tengelye a középen halad át RÓL RŐL(1.32. ábra).

Rizs. 1.32. dinamikus csavar

e) és nem egyenlők nullával, ugyanakkor a fővektor és a főmomentum nem párhuzamos és nem merőleges egymásra. A rendszert a dinamikus csavarhoz hozzák, de a tengely nem megy át a középponton RÓL RŐL(1.33. ábra).

Rizs. 1.33. Az erőrendszer csökkentésének legáltalánosabb esete

Az erőrendszer redukciójának tétele:

Egy abszolút merev testre ható bármely erőrendszer helyettesíthető egyetlen erővel R, egyenlő ennek az erőrendszernek a fővektorával, és egy tetszőlegesen kiválasztott O középpontra vonatkoztatva, és egy erőpár egy nyomatékkal L O , egyenlő az erőrendszer fő momentumával az O középpont körül.

Egy adott erőrendszer ilyen egyenértékű helyettesítése erővel Rés pár erő egy pillanattal LÓ hívj az erőrendszer középpontba helyezése O.

Tekintsünk itt egy speciális esetet, amikor egy sík erőrendszert hozunk az O középpontba, amely ugyanabban a síkban van. Ebben az esetben az erőrendszert egy erő és egy erőpár helyettesíti, amelyek a rendszer erőinek hatássíkjában helyezkednek el. Ennek az erőpárnak a nyomatéka LO algebrai mennyiségnek tekinthető, és az ábrákon ívnyíl (lapos erőrendszer algebrai főmomentuma) ábrázolja.

Egy lapos erőrendszer középpontba helyezése eredményeként a következő esetek lehetségesek:

ha R = 0, L O = 0 tehát ezt a rendszert egy egyensúlyi;
ha az értékek közül legalább az egyik R vagy L O nem egyenlő nullával, akkor az erőrendszer nincs egyensúlyban.
Ahol:

16 kérdés. Egyensúlyi egyenlet

Egy merev test egyensúlyához sík erőrendszer hatására szükséges és elegendő, hogy ennek az erőrendszernek a fővektora és algebrai főnyomatéka nullával egyenlő legyen, azaz R\u003d 0, L O \u003d 0, ahol O bármely középpont, amely a rendszer erőinek hatássíkjában található.

Az eredményül kapott analitikai egyensúlyi feltételeket (egyensúlyi egyenletek) egy lapos erőrendszerre a következő három formában lehet megfogalmazni:

Az egyensúlyi egyenletek fő formája:

egy tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy az egyes koordinátatengelyekre ható összes erő vetületének összege és algebrai nyomatékainak összege bármely olyan középponthoz képest, amely a tengely hatássíkjában helyezkedik el. az erők egyenlőek nullával:

Fix = 0; F iy = 0; M O ( F i) = 0. (I)

Az egyensúlyi egyenletek második formája:

tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy a két A és B középpont körüli összes erő algebrai nyomatékainak összege és az Ox tengelyre való vetületeinek összege, amely nem merőleges az Ox-re tengely, legyen egyenlő nullával:

Fix = 0; M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0. (II)

Az egyensúlyi egyenletek harmadik formája (három momentum egyenlete):

egy tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erő algebrai nyomatékainak összege bármely háromra vonatkoztatva A, B központokés C, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek, egyenlők nullával:

M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0; M C ( F i) = 0. (III)

Az (I) formájú egyensúlyi egyenletek alapvetőnek tekinthetők, mivel használatukkor nincs korlátozás a koordinátatengelyek és a nyomatékközéppont megválasztására vonatkozóan.

Kérdés

Varignon tétele. Ha a vizsgált erők síkrendszerét egy eredőre redukáljuk, akkor ennek az eredőnek bármely ponthoz viszonyított nyomatéka megegyezik az adott rendszerben magához a ponthoz viszonyított összes erő nyomatékainak algebrai összegével. Tegyük fel, hogy az erőrendszer az O ponton átmenő eredő R-re redukálódik. Vegyünk most egy másik O 1 pontot a redukció középpontjaként. Az erre a pontra vonatkozó főnyomaték (5.5) egyenlő az összes erő nyomatékának összegével: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). Ezzel szemben M O1Z =M Olz (R), (5.12) van, mivel az O redukciós középpont főnyomatéka nulla (M Oz =0). Az (5.11) és (5.12) összefüggéseket összehasonlítva M O1z (R)=åM OlZ (F k) kapjuk; (5.13) h.e.d. A Varignon-tétel segítségével megtalálhatja az eredő hatásvonalának egyenletét. Alkalmazzuk az eredő R 1-et valamilyen O 1 pontban x és y koordinátákkal (5.5. ábra), és ismerjük az F o fővektort és az M Oya főmomentumot az origó redukciós középpontjában. Mivel R 1 \u003d F o, akkor az eredő összetevői az x és y tengely mentén: R lx \u003d F Ox \u003d F Ox i és R ly \u003d F Oy \u003d F oy j. A Varignon-tétel szerint az eredő origóhoz viszonyított nyomatéka egyenlő az origó redukciós középpontjában lévő főnyomatékkal, azaz M oz \u003d M Oz (R 1) \u003d xF Oy -yF Ox. (5.14). Az M Oz , F Ox és F oy értékek nem változnak, ha az eredő alkalmazási pontját a hatásvonala mentén mozgatjuk, ezért az (5.14) egyenletben szereplő x és y koordináták az aktuális koordinátáknak tekinthetők. az eredő hatásvonaláról. Így az (5.14) egyenlet az eredő hatásvonalának egyenlete. F ox ≠0 esetén átírható y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox) alakra.

Kérdés

megszüntetése egyik test a másikba (például egy rúd egy rögzített falba) nem teszi lehetővé adott test mozgatni és forgatni a másikhoz képest. Megszűnés esetén az erőreakció R A nem az egyetlen tényező a test és a támasz közötti kölcsönhatásban. Ezen az erőn kívül a beágyazási reakciót egy előre ismeretlen M A nyomatékú erőpár is meghatározza. Ha erőt R A bemutatja az összetevőit x A , Y A , akkor a terminációs reakció megtalálásához három ismeretlen skaláris mennyiséget kell meghatározni: X A , Y A , M A .

Mondjunk példákat párhuzamos eloszlású erők lapos rendszereinek eredővel való helyettesítésére.

Egy ilyen erőrendszer esetén az intenzitás állandó értéke: q = konst.

A statikai problémák megoldása során ez az erőrendszer helyettesíthető koncentrált eredő erővel K, abszolút értékben megegyezik a q intenzitás és az AB = a szakasz hosszának szorzatával (Q = q · a), és az AB szakasz közepére alkalmazzuk.

Egy ilyen erőrendszernél a q intenzitás nullától változó változó maximális érték q max a lineáris törvény szerint.

Eredő K Ennek az erőrendszernek abszolút értéke egyenlő Q =0,5 a q max értékkel, és az AB szakaszt AK-hoz képest osztó K pontban érvényesül: KB = 2:1.

19. Kompozit szerkezetek számítása
1.1. Számítás egy testrendszer különálló testekre bontásával
1.1.1. A testek rendszerét a C belső kapcsolat külön testekre osztja, és mérlegeli azok egyensúlyát.
1.1.2. Minden kapcsolatot eldobnak az egyes testekről, és cselekvésüket reakciókkal helyettesítik. Az adott mechanizmusokban a következő típusú kapcsolatokat alkalmazzák: rögzített axiális csukló (a reakció az X, Y koordinátatengelyekkel párhuzamos komponensekre bomlik); mozgatható axiális csuklópánt (az N reakció merőleges a tartófelületre, attól elfelé irányul); merev lezárás (a reakció a rögzített X, Y csukló és egy reaktív erőpár reakciójának kombinációja
m) A belső C csukló reakciójának összetevői a rendszer különböző testeire vonatkoztatva a hatás és a reakció elve szerint abszolút értékűek és ellentétes irányúak. Az elosztott terhelést az intervallum közepén kifejtett koncentrált erő helyettesíti, amely egyenlő a q terhelési intenzitás és az intervallum hosszának szorzatának modulusával.
1.1.3. Állítson össze egyensúlyi egyenleteket, beleértve a szabványos tengelyekre vetítések egyenleteit és a nyomatékegyenleteket (számított és ellenőrzés). A számított nyomatékegyenlet középpontját a cselekvési vonalak metszéspontjában választjuk meg maximális szám ismeretlen reakciók, tesztegyenlet - a cselekvési vonalak metszéspontjában híres erők, amelyen a nem tesztelt ismeretlen reakciók egyike sem megy át. Javasoljuk az egyensúlyi egyenletek felállítását az erők egymás utáni figyelembevételével az alábbiak szerint: határozzuk meg az α hegyesszöget az erővonal és az egyik tengely egyenese között; az erővetület ezen a tengelyen cos α-t, a második tengelyen sin α-t fog tartalmazni; a vetítés pozitív, ha az erővektornak a tengellyel bezárt szöge hegyes, és negatív, ha tompa; határozza meg az erő vállát, leengedve a merőlegest a középponttól az erő hatásvonaláig, és a pillanat jelét a váll forgásirányában a középpont körüli erővel (amikor a vállat az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk, a pillanat negatív, az óramutató járásával ellentétes a pozitív). Az erő tetszőleges helyzetében a nyomaték meghatározásához a koordinátatengelyekkel párhuzamos komponensekre bontják (nagyságuk megegyezik az erő megfelelő vetületeivel), és ezeknek az összetevőknek a nyomatékainak összegét a Varignon segítségével találjuk meg. tétel.
Így mindegyik testre 3 számított és 1 ellenőrző egyenlet kerül összeállításra.
1.1.4. Oldjon meg egy 6 számítási egyenletrendszert ismeretlen reakciókra!
A talált reakciókat behelyettesítjük az ellenőrző egyenletekbe, a kapott összeg modulja nem haladhatja meg a 0,02 Rav értéket, ahol Rav a vizsgált reakciók moduljainak átlagértéke.
1.2. Számítás a megszilárdulási elv alapján
1.2.1. Cserélje ki a belső csuklópántot egy merev csuklóval, és vegye figyelembe a kapott test egyensúlyát. A második a rendszer egyik testének minősül (1.1.1. pont).
1.2.2. Az 1.1.2. pontban leírtak szerint készítsen rajzot mindegyik vizsgált testre.
1.2.3. Az első testhez 3 számított és 1 ellenőrző egyenlet készül az 1.1.3. ponthoz hasonlóan. A második testhez a C középponthoz viszonyított erőnyomatékok egy számítási egyenlete van összeállítva.
1.2.4 Oldjon meg egy 4 számítási egyenletből álló rendszert, és végezzen ellenőrzést az 1.1.4. 2.

2. Számítás a lehetséges mozgások elve alapján A kötések reakcióit úgy határozzuk meg, hogy sorra veszik őket.

20. Kar egyensúlyi állapota Testek stabilitása borulás közben. A támaszpont és az egyenes vonal közötti távolságot, amely mentén az erő hat, ennek az erőnek a vállának nevezzük. Jelölje F1 és F2 a kart a terhek oldaláról ható erőket (lásd a 25.2. ábra jobb oldalán lévő diagramokat). Jelöljük ezeknek az erőknek a vállát l1-nek, illetve l2-nek. Kísérleteink kimutatták, hogy a kar akkor van egyensúlyban, ha a karra ható F1 és F2 erők hajlamosak ellentétes irányba forgatni, és az erők moduljai fordítottan arányosak ezen erők vállával: F1 / F2 \u003d l2 / l1. A testek stabilitása borulás közben. Ezek azok a feladatok, amelyek a különféle emelőszerkezetek tervezésénél és működésük biztonságos feltételeinek kiszámításánál merülnek fel, amelyeket az e mechanizmusokkal való munkavégzés szabályai rögzítenek. Ezeknek a nem túl nehéz feladatoknak a lapos erőrendszerek megoldásának sajátossága, hogy megoldásuk során nem állítanak össze egyensúlyi egyenleteket. Külön-külön meghatározzák a következőket: a) borulási nyomaték (Mopr) - azon erők nyomatékainak összege, amelyek a kérdéses mechanizmust a rajzra vetített valamely tengelyhez (támaszpontok) képest felborítják; c) tartónyomaték (Iszap) - a felborulást megakadályozó erők nyomatékainak összege. A mechanizmus stabil működéséhez szükséges, hogy a tartási nyomaték bizonyos mozgástérrel nagyobb legyen, mint a borulásé. A Mud, / Mopr =k arányt általában stabilitási együtthatónak nevezik. A k értékének természetesen nagyobbnak kell lennie egynél. Különféle emelőmechanizmusok és működésük különböző körülményei esetén a stabilitási együttható értékét az SNiP, TU és más forrásokból határozzák meg. Ezt az együtthatót figyelembe véve számításokat végeznek az ellensúly terhelés értékére vagy a mechanizmuson elfoglalt helyzetére vonatkozóan, kiszámítják az opciókat - a gém milyen nyúlványán és milyen terhelésekkel biztonságos a munka. Az alábbiakban egy példát mutatunk be az egyik stabilitási probléma megoldására. Különösen fontos az elemi stabilitási számítások elvégzése gyártási körülmények között, amikor a rendelkezésre álló daru maximális terhelésével kell dolgozni.

21 Csúszási súrlódás. A súrlódás törvényei. Súrlódási együttható. A mozgó testek között az érintkezés síkjában csúszósúrlódási erő lép fel. Ennek oka elsősorban az érintkező felületek érdessége és a préselt testek tapadása. A mérnöki számításoknál általában empirikusan megállapított törvényszerűségeket alkalmaznak, amelyek bizonyos fokú pontossággal tükrözik a súrlódási erő hatását. Ezeket a mintázatokat a csúszósúrlódás (Coulomb) törvényeinek nevezzük. A következőképpen fogalmazhatók meg.
1. Amikor az egyik testet a másikhoz viszonyítva próbáljuk elmozdítani az érintkezés síkjában, F súrlódási erő keletkezik, amelynek modulusa nullától Fmax-ig tetszőleges értéket vehet fel, azaz 0<=F<=Fmax . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.
2. A maximális súrlódási erő egyenlő az f súrlódási tényező és az N normál nyomáserő szorzatával: Fmax=fN.
Az f súrlódási tényező egy dimenzió nélküli mennyiség, amely az érintkező testek anyagától és felületeinek állapotától (érdesség, hőmérséklet, páratartalom stb.) függ. Határozza meg empirikusan.
Vannak statikus súrlódási és csúszósúrlódási együtthatók, és ez utóbbi általában a csúszási sebességtől is függ. A statikus súrlódási együttható egy olyan Fmax maximális súrlódási erőnek felel meg, amelynél az egyensúly határállapota van. A külső erők legkisebb növekedése is mozgást okozhat. A statikus súrlódási együttható általában valamivel nagyobb, mint a csúszósúrlódási együttható. A csúszási sebesség növekedésével a csúszási súrlódási tényező értéke először kissé csökken, majd gyakorlatilag változatlan marad. A súrlódási együttható értékei egyes súrlódási pároknál a következők: fa a fán 0,4-0,7; fém fémhez 0,15-0,25; acél jégen 0,027.
3. A maximális súrlódási erő meglehetősen széles tartományban nem függ az érintkező felületek területétől.
A csúszó súrlódási erőt néha száraz súrlódási erőnek is nevezik.

Szög és súrlódó kúp

Egy valós (durva) kapcsolat reakciója két összetevőből fog állni: a normál reakcióból és a rá merőleges súrlódási erőből. Következésképpen a teljes reakció bizonyos szögben eltér a normáltól a felület felé. Amikor a súrlódási erő nulláról F pr-re változik, az R erő N-ről R pr-re változik, és a normálhoz bezárt szöge nulláról egy bizonyos határértékre nő (26. ábra).

26. ábra

Azt a legnagyobb szöget, amelyet a teljes durva kötés reakciója bezár a felület normáljával, nevezzük súrlódási szög. A rajzon látható, hogy

Mivel innen a következő összefüggést találjuk a súrlódási szög és a súrlódási együttható között:

Egyensúlyi állapotban az R teljes reakció a nyíróerőktől függően a súrlódási szögön belül bárhol végbemehet. Amikor az egyensúly korlátozóvá válik, a reakció egy szöggel eltér a normálistól.

Súrlódó kúp a kúpnak nevezzük, amelyet egy durva kötés korlátozó reakcióereje ír le a normál reakció iránya körül.

Ha egy durva felületen fekvő testre P erő hat, amely szöget zár be a normállal (27. ábra), akkor a test csak akkor fog elmozdulni, ha a Psin nyíróerő nagyobb (a súlyt figyelmen kívül hagyva N=Pcos-nak tekintjük a test). De az az egyenlőtlenség, amelyben csak a számára teljesül, i.e. nál nél . Ezért egyetlen olyan erő sem tudja mozgatni a testet egy adott felület mentén, amely a normálal szöget zár be, mint a súrlódási szög. Ez magyarázza a testek beszorulásának vagy önfékezésének jól ismert jelenségeit.

27. ábra

A szilárd test durva felületen való egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a szilárd testre ható aktív erők eredőjének hatásvonala a súrlódási kúpon belül vagy annak generatrixa mentén haladjon át annak tetején.

A testet nem lehet kiegyensúlyozatlanítani semmilyen modulo aktív erővel, ha a hatásvonala a súrlódási kúpon belül halad át.

gördülési súrlódás

A gördülési súrlódás eredete a következőképpen ábrázolható. Amikor egy golyó vagy henger egy másik test felületén gördül, az enyhén belenyomódik ennek a testnek a felületébe, miközben maga kissé összenyomódik. Így a guruló test állandóan, mintegy felgördül a dombon.

33. ábra

Ugyanakkor az egyik felület metszeteinek leválása a másiktól, és a felületek között ható tapadási erők ezt megakadályozzák. Mindkét jelenség gördülési súrlódási erőket okoz. Minél keményebbek a felületek, annál kisebb a benyomódás és a gördülési súrlódás.

gördülési súrlódás ellenállásnak nevezzük, amely akkor lép fel, amikor az egyik test egy másik felületére gördül.

Amíg a korcsolyapálya nyugalomban van; amikor elkezdődik a gurulás.

A képletben szereplő k lineáris mennyiséget ún gördülési súrlódási együttható. A k értékét általában centiméterben mérik. A k együttható értéke a testek anyagától függ, és empirikusan határozzuk meg.

A gördülés közbeni gördülési súrlódási tényező az első közelítésben függetlennek tekinthető a görgő szögsebességétől és síkbeli csúszási sebességétől.

Sín mentén haladó kocsikerék esetén k=0,5 mm.

Vegye figyelembe a hajtott kerék mozgását.

A kerékgördülés akkor indul el, ha a QR>M vagy Q>M max /R=kN/R feltétel teljesül

A kerékcsúszás akkor indul el, ha a Q>F max =fN feltétel teljesül.

Általában a hozzáállás és a gördülés a csúszás előtt kezdődik.

Ha , akkor a kerék gördülés nélkül csúszik a felületen.

A legtöbb anyag aránya sokkal kisebb, mint a statikus súrlódási együttható. Ez megmagyarázza, hogy a technikában, amikor csak lehetséges, igyekeznek a csúszást gördüléssel helyettesíteni (kerekek, görgők, golyóscsapágyak stb.).

Az F erőnyomaték egy adott O ponthoz viszonyítva a vállára ható erő nagyságának szorzata, azaz az O pontból az erő hatásvonalára ejtett merőleges hosszának a szorzata.

Ha az F erő egy adott O pont körül a testet az óramutató járásával megegyező irányban ellentétes irányba forgatja, akkor egyetértünk abban, hogy az F erőnek az O ponthoz viszonyított nyomatékát pozitívnak tekintjük; ha az erő arra törekszik, hogy a testet az O pont körül az óramutató járásával megegyező irányban forgatja, akkor az ehhez a ponthoz viszonyított erőnyomaték negatívnak tekinthető. Következésképpen,

Ha az F erő hatásvonala átmegy egy adott O ponton, akkor az F erő e pont körüli nyomatéka nullával egyenlő.

A síkon tetszőlegesen elhelyezkedő erők összeadása kétféleképpen hajtható végre:

1) szekvenciális összeadás;

2) az adott erőrendszer tetszőlegesen kiválasztott központba hozása.

Az első módszer akkor válik nehézkessé, amikor nagy számok erők kifejezése, és nem alkalmazható az erők térbeli rendszerére, míg a második módszer általános, egyszerűbb és kényelmesebb.

Ha adott egy erőrendszer, amely tetszőlegesen helyezkedik el egy síkban, akkor ezeket az erőket átvisszük egy tetszőlegesen kiválasztott O pontba ebben a síkban, amelyet redukciós középpontnak nevezünk, és megkapjuk az ebben a középpontban alkalmazott erőt.

és egy pár egy pillanattal

Egy adott rendszer erőinek geometriai összegét ennek az erőrendszernek az egyenlő vektorának nevezzük.

Egy lapos rendszer erőnyomatékainak algebrai összegét a hatássík valamely O pontjához képest ezen erőrendszer főmomentumának nevezzük ehhez az O ponthoz képest.

A fő momentum a redukció középpontjának megváltozásával változik; a főmomentum függését a vonatkoztatási középpont megválasztásától a következő képlet fejezi ki:

ahol és két különböző referenciaközpont.

Mivel az R erő és a nyomatékpár, amely ennek a síkbeli erőrendszernek az O középpontra való redukciójából adódik, ugyanabban a síkban fekszenek, ezért redukálhatók egy adott ponton kifejtett erőre. Ez az erő az adott sík erőrendszer eredője.

Így, ha , akkor az erőrendszer egy olyan eredőre redukálódik, amely nem megy át az O redukciós középponton. Ebben az esetben az eredő pillanata bármely ponthoz képest egyenlő lesz az összes nyomaték algebrai összegével ezek az erők ugyanarra a pontra vonatkoztatva (Varignon tétele).

Ha a koordináták origóját a redukció középpontjában választjuk, és ismerjük a koordinátatengelyekre ható összes erő vetületét és ezen erők alkalmazási pontjainak koordinátáit, akkor az eredő pillanatát a képlet határozza meg.

Ha az erőrendszer adott középpontba hozása eredményeként kiderül, hogy ennek a rendszernek a fővektora nulla, és a főnyomatéka különbözik a nullától, akkor ez a rendszer egy erőpárnak felel meg. , és a rendszer fő momentuma megegyezik ennek a párnak a pillanatával, és ebben az esetben nem függ a választott hivatkozási központtól. Ha ezután a rendszert az O redukciós középpontban alkalmazott eredőre redukáljuk.

Ha és , akkor az erőrendszer egyensúlyban van. A lapos rendszer erőinek összeadásakor tapasztalt összes esetet táblázat formájában ábrázolhatjuk. 3.

3. táblázat

A következő bekezdésben megvizsgáljuk a lapos erőrendszer egyensúlyát, és most térjünk át a lapos rendszer erőinek összeadásával kapcsolatos problémák megoldására.

13. példa Adott négy erő lapos rendszere, ezen erők X és Y vetületei a koordinátatengelyekre, alkalmazásuk pontjainak x, y koordinátái a táblázatban vannak megadva. 4.

4. táblázat

Hozd ezt a rendszert az origóhoz, majd keresd meg az eredő hatásvonalát.

Megoldás. Keressük meg az adott erőrendszer fővektorának vetületeit a koordinátatengelyekre a (14) képlet szerint!

A fő momentumot a (15) képlet határozza meg.

Legyen a kívánt eredő hatásvonalának egy pontja. Azután

Másrészt a Varignon-tétel alapján a következőket kapjuk:

Következésképpen,

Ez az eredő hatásvonalának egyenlete.

14. példa Határozzuk meg egy szabályos hatszög oldalaira ható négy erő eredőjét, amelyek irányát az 1. ábra mutatja! 30 ha .

Megoldás. Válasszuk a hatszög О középpontját redukciós középpontnak, és keressük meg ennek az erőrendszernek az R fővektorát és az О középponthoz viszonyított főmomentumát. Mivel ekkor az R fővektor egyenlő , és a főnyomaték

Az O ponthoz viszonyított erőnyomaték meghatározásához leengedjük az SM merőlegest az O pontból ennek az erőnek a hatásvonalába. Mivel az erő hajlamos a hatszöget az O pont körül az óramutató járásával megegyező irányba forgatni, akkor

A leírt módszer egy erőt egy adott pontba hozni tetszőleges számú erőre alkalmazható. Tegyük fel, hogy az A, B, C és D test pontjaiban (30. ábra) F1, F2, F3, F4 erők fejtik ki hatásukat. Ezeket az erőket a sík O pontjába kell vinni. Adjuk meg először az A pontban kifejtett F1 erőt. Az O pontban két vele párhuzamos, ellentétes irányú F1 "és F1" erőt fejtünk ki. Az F1 erő bevitele eredményeképpen az F1 "erőt kapjuk. Az O pontban kifejtett F1 "F1"" erőpár a1 vállra. Ugyanezt megtéve a B pontban kifejtett F2 erővel, megkapjuk az F2" erőt az O pontban, és egy erőpárt az a2 vállal, stb. Lapos erőrendszer az A, B, C és D pontokban, az O pontban kifejtett F1, F2, F3, F4 konvergáló erőket és az erőpárokat a adott erők az O pontra:
Az egy pontban konvergáló erők egy F "ch erővel helyettesíthetők, amely egyenlő az összetevők geometriai összegével,
Ezt az erőt, amely egyenlő az adott erők geometriai összegével, nevezzük az erőrendszer fővektoraés jelölje F "ch.

Az erőpárok összeadásának szabálya alapján ezek helyettesíthetők a kapott párral, amelynek nyomatéka megegyezik az adott erők O pont körüli nyomatékainak algebrai összegével és ún. Kiemel a referenciaponthoz képest
Következésképpen általános esetben egy lapos erőrendszert egy adott O pontra való redukció eredményeképpen egy ekvivalens rendszer vált fel, amely egy erőből (fővektor) és egy párból (főmomentum) áll. Meg kell tanulnunk, hogy az F "ch" fővektor ennek az erőrendszernek az eredője, mivel ez a rendszer nem ekvivalens egyetlen F "ch erővel. Csak egy adott esetben, amikor a főmomentum eltűnik, a fővektor lesz ennek az erőrendszernek az eredője. Mivel a fővektor egyenlő egy adott rendszer erőinek geometriai összegével, sem a modul, sem annak iránya nem függ a redukciós középpont megválasztásától. Az Mg főnyomaték értéke és előjele a redukciós középpont helyzetétől függ, mivel az alkotópárok vállai az erők kölcsönös helyzetétől és attól a ponttól (középponttól), amelyhez viszonyítva a nyomatékokat veszik.

Bizonyítható, hogy általános esetben, amikor mindig van egy pont, amelyre nézve az erők főnyomatéka nulla.

Rendezzünk egy erőpárt úgy, hogy az F "" erő az F "ch" fővektorral ellentétes irányba irányuljon. Az O pontban két egymással egyenlő, egymással ellentétes erőnk van, F "ch és F" "egy egyenes mentén. ; eldobhatók (a harmadik axióma szerint). Ezért a C pont tekintetében a vizsgált erőrendszer főmomentuma egyenlő nullával, és a rendszert az eredőre redukáljuk. Tétel az eredő momentumáról (Varignon tétel)Általános esetben egy tetszőleges lapos erőrendszert az F "ch fővektorra és a kiválasztott redukciós középponthoz viszonyított Mgl főnyomatékra redukálunk, és a főnyomaték egyenlő az adott nyomatékok algebrai összegével. erők az O ponthoz képest:

Kimutatták, hogy meg lehet választani azt a redukciós középpontot, amelyhez képest a rendszer főmomentuma nulla lesz, és az erőrendszer egy eredőre csökken, amely abszolút értékben egyenlő a fővektorral. Határozzuk meg az eredő nyomatékát az O ponthoz képest. Tekintettel arra, hogy az F erő OS karja egyenlő -val, akkor azt kapjuk, hogy .

Két mennyiség, külön-külön egyenlő a harmadikkal, egyenlő egymással, ezért az előző egyenletekből megtaláljuk.

A kapott egyenlet a Varignon-tételt fejezi ki: az eredő sík erőrendszer tetszőleges ponthoz viszonyított nyomatéka megegyezik az alkotó erők ugyanarra a pontra vonatkozó nyomatékainak algebrai összegével.

Varignon tételéből következik, hogy egy lapos erőrendszer főmomentuma bármely ponthoz képest, amely az eredő hatásvonalán fekszik, egyenlő nullával.

17. Keresztmetszeti terület statikus nyomatéka A szakasz statikus pillanatai SxÉs Sy főként a keresztmetszeti terület középpontjának helyzetének meghatározására szolgálnak és központi tengelyek.

Tekintsük a statikus nyomatékok változását a tengelyek párhuzamos átvitelével (1.1. ábra). Ismertnek tekintve F, SxÉs Sy a 0XY koordinátarendszerben definiáljuk a statikus momentumokat Sx1, S y1új tengelyekkel kapcsolatban x 1, y 1.

Rizs. 1.1

Az arányokat figyelembe véve x 1 \u003d x - aÉs y 1 = y - b kapunk: ill Sx1 = Sx-bF; Sy1 = Sy-aF;(1.1) Az x 1, y 1 tengelyek úgy választhatók, hogy a következő feltételek teljesüljenek: S x1 = 0, S y1 = 0. tengelyek, amelyre nézve a szakasz statikus nyomatékai egyenlők nullával, központinak nevezzük. A központi tengelyek metszéspontját ún a szakasz súlypontja. Ha S x1 = 0 és S y1 = 0, az (1.1) kifejezésből a metszetterület középpontjának koordinátáit az x, y segédtengelyekhez viszonyítva a képletek határozzák meg (jelöljük xc = a, yc = b ):

(1.2)

Ennek megfelelően, ha ismert az F terület és a metszetterület középpontjának helyzete (xc , yc koordináták) a 0xy koordinátarendszerben, akkor a metszet x, y tengelyekhez viszonyított statikus nyomatékai meghatározhatók kifejezésekből ( 1.2): Sx = F y c ; Sy = F x c. (1.3) Megmutatható, hogy a metszetterület középpontján átmenő bármely tengely körüli statikus nyomaték nullával egyenlő. Amikor meghatározzák központ terület összetett szakasz a következő eljárást alkalmazzuk: 1) a szakaszt n részre osztjuk, a területekre (F i) és azon középpontok helyzetére (C i), amelyek területe ismert; 2) beállítunk egy segédkoordináta-rendszert, amelyben meghatározzuk ezen részek területeinek (x ci , y ci) középpontjainak koordinátáit; 3) az összetett szakasz koordinátáit a következő képletekkel kell kiszámítani: