Ha egy szilárd test található a Föld felszínének közelében, akkor ennek a testnek minden anyagi pontjára a gravitáció hat. Ugyanakkor a test méretei a Föld méretéhez képest olyan kicsik, hogy a test összes részecskéjére ható gravitációs erők egymással párhuzamosnak tekinthetők.

Középen (pont TÓL TŐL) a test összes pontjára kiterjedő párhuzamos gravitációs erőrendszereket nevezzük gravitáció középpontja szilárd test , és minden anyagi pontja gravitációs erőinek összegét ún gravitáció fellépni rajta

A merev test súlypontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

hol vannak a rá ható gravitáció alkalmazási pontjainak koordinátái k-th anyagi pont.

Egy homogén testhez:

ahol V az egész test térfogata;

V k- hangerő k-adik részecske.

Egyenletes vékony lemezhez:

ahol S a lemez területe;

S k- terület k-ó a tányér része.

A vonalhoz:

ahol L- a teljes vonal hossza;

L k- hossza k a sor th része.

A testek súlypontjainak koordinátáinak meghatározására szolgáló módszerek:

Elméleti

Szimmetria. Ha egy homogén testnek van síkja, tengelye vagy szimmetriaközéppontja, akkor a súlypontja vagy a szimmetriasíkban, vagy a tengelyen, vagy a szimmetria középpontjában található.

Hasítás. Ha a test véges számú ilyen részre osztható, amelyek mindegyikére ismert a tömegközéppont helyzete, akkor az egész test súlypontjának koordinátái közvetlenül kiszámíthatók a fenti képletek segítségével.

Kiegészítés. Ez a módszer a particionálási módszer speciális esete. Kivágással rendelkező testekre vonatkozik, ha a kivágás és a kivágás nélküli test súlypontja ismert. A számításokban „-” jellel szerepelnek.

Integráció. Ha a test nem osztható olyan alkatrészekre, amelyeknek a súlypontja ismert, akkor az univerzális integrációs módszert alkalmazzuk.

kísérleti

akasztásos módszer. A testet két vagy három pont függeszti fel, függőleges vonalakat húzva belőlük. Metszéspontjuk a tömegközéppont.

Súlymérési módszer. Test Különböző részek a skálára helyezve, ezáltal meghatározva támogató reakciókat. Állíts össze egyensúlyi egyenleteket, amelyekből meghatározzák a súlypont koordinátáit.

Elméleti módszerek alkalmazása, meghatározási képletek súlypont koordináták a leggyakrabban homogén testek:

körív

Kilátás: Ezt a cikket eddig 11269 alkalommal olvasták

Pdf Nyelv kiválasztása... Orosz Ukrán Angol

Rövid áttekintés

A teljes anyag fent, a nyelv kiválasztása után letölthető

Áttekintés

Emelőkar olyan merev test, amelynek elmozdíthatatlan forgástengelye van, és erre a tengelyre merőleges síkban fellépő erők hatása alatt áll.

Ha a kar nyugalomban van, akkor a karra ható összes erő nyomatékainak algebrai összege a referenciaponthoz képest nulla

Önkényes sík erőrendszer - ez egy olyan erőrendszer, amelynek hatásvonalai egymástól függetlenül helyezkednek el egy síkban.

A Poinsot-módszerrel az O redukciós középpontban egy erőrendszert és egy párrendszert kapunk, amelyek mindegyikének nyomatékai megegyeznek a megfelelő erőnek a redukció középpontjához viszonyított nyomatékaival.

Fő vektorrendszer vektornak nevezzük, amely egyenlő geometriai összeg a rendszer összes ereje.

A rendszer lényege a síkban lévő O középponthoz viszonyítva a rendszer O redukciós középpontjához viszonyított erőnyomatékainak algebrai összegének nevezzük.

A fővektor nem függ az O redukciós középpont megválasztásától. Az erők főnyomatéka a redukció középpontjától függ.

A statika alaptétele az erőrendszer hozzáállásáról ezt a központot : Az abszolút merev testre ható tetszőleges síkbeli erőrendszer, ha egy tetszőlegesen megválasztott O középpontra redukálódik, helyettesíthető a rendszer fővektorával megegyező és az O redukciós középpontban alkalmazott erővel, egy pár pedig egy nyomaték megegyezik a rendszer fő momentumával az O középpont körül.

A redukció esetei lapos rendszer egyszerűbb formára kényszeríti

Egyensúlyi feltételek tetszőleges síkbeli erőrendszerhez.

1. Geometriai egyensúlyi feltételek : egyensúlyi laphoz önkényes rendszer erők szükségesek és elegendőek ahhoz fő vektorés a rendszer főmomentuma nullával egyenlő volt

2. Analitikai egyensúlyi feltételek .

Az egyensúlyi feltételek alapformája: Egy tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erő vetületeinek összege koordinátatengelyekés az erők hatássíkjában lévő tetszőleges középpont körüli momentumaik összege nullával egyenlő.

Az egyensúlyi feltételek második formája: Egy tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy bármely két A és B középpont körül fellépő erők nyomatékainak összege és az AB egyenesre nem merőleges tengelyre vetületeinek összege egyenlő nullával.

Az egyensúlyi feltételek harmadik formája (három momentum egyenlete): Egy lapos tetszőleges erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy bármely három, nem egy egyenesen fekvő A, B és C középpont körül fellépő erők nyomatékainak összege nullával egyenlő legyen.

Párhuzamos Erők Központja

Egy irányba irányított párhuzamos erőrendszer nem egyensúlyozható vagy redukálható erőpárra, mindig van eredője.

Az eredő hatásvonala párhuzamos az erőkkel. Alkalmazási pontjának helyzete a rendszer erőinek alkalmazási pontjainak nagyságától és helyzetétől függ.

Párhuzamos Erők Központja - C pont a párhuzamos erők eredő rendszerének alkalmazási pontja.
A párhuzamos erők középpontjának helyzetét - C pont - ennek a pontnak a koordinátái határozzák meg

A merev test súlypontja és koordinátái

A test súlypontja - ehhez a testhez változatlanul kapcsolódó geometriai pont, amelyre a test egyes részecskéi gravitációs erőinek eredője érvényesül, pl. testsúly a térben.

A súlypont koordinátáit a C () párhuzamos erők középpontjának koordinátáihoz hasonlóan határozzuk meg, amelyeket a test részecskéinek gravitációs erői alkotnak.

Egy homogén test súlypontjának helyzete csak a geometriai alakjától és méretétől függ, és nem függ a testet alkotó anyag tulajdonságaitól.

A lapos alakzatot alkotó elemi területek szorzatának és egy bizonyos tengelytől való távolságuk algebrai értékeinek összegét a lapos alakzat területének statikus nyomatékának nevezzük.

Statikus pillanat egy lapos alakzat területe egyenlő az ábra területének szorzatával a súlypont és a tengely közötti algebrai távolsággal. A statikus nyomaték mértékegysége [cm3].
egy lapos alakzat területének statikus nyomatéka az ábra súlypontján átmenő tengelyhez képest nullával egyenlő.

A testtömeg a test egyes részecskéinek gravitációs erőinek eredője.

A súlypont helyzetének meghatározására szolgáló módszerek .

1. Szimmetriás módszer : Ha egy homogén testnek van síkja, tengelye vagy szimmetriaközéppontja, akkor a súlypont vagy a szimmetriasíkban, vagy a szimmetriatengelyen, vagy a szimmetriaközéppontban található. egy hosszúságú vonal van a közepén. A sugarú kör (vagy kör) súlypontja a középpontjában van, azaz. az átmérők metszéspontjában. A paralelogramma, rombusz vagy paralelepipedon súlypontja az átlók metszéspontjában van. A szabályos sokszög súlypontja egy beírt vagy körülírt kör középpontjában van.
2. Stakeout módszer : Ha a test véges sok elemre (térfogatra, síkra, vonalra) osztható, amelyek mindegyikére ismert a tömegközéppont helyzete, akkor az egész test súlypontjának koordinátái meghatározhatók az elemek értékeinek közvetlen ismerete a képletekből
3. Kiegészítő módszer (negatív síkok): Ha a testnek vannak vágott elemei, akkor az elemekre bontáskor a vágott részt (terület, térfogat) levonjuk az összesből, i.e. A vágott elemek negatív terület- vagy térfogatértékeket kapnak

Formátum: pdf

Méret: 700 KV

Nyelv: orosz, ukrán

Példa a homlokkerekes fogaskerék számítására
Példa a homlokkerekes fogaskerék számítására. Megtörtént az anyagválasztás, a megengedett feszültségek számítása, az érintkezési és hajlítószilárdság számítása.

Példa a sugárhajlítási probléma megoldására
A példában a keresztirányú erők és a hajlítónyomatékok diagramjait ábrázoljuk, veszélyes szakaszt találunk, és egy I-gerenda van kiválasztva. A feladatban a diagramok differenciális függőségek felhasználásával történő felépítését elemeztem, összehasonlító elemzés a gerenda különböző keresztmetszete.

Példa a tengelycsavarodás problémájának megoldására
A feladat egy acéltengely szilárdságának vizsgálata adott átmérőhöz, anyaghoz és megengedett feszültségekhez. A megoldás során a nyomatékok, nyírófeszültségek és csavarási szögek diagramjai készülnek. A tengely önsúlyát nem veszik figyelembe

Példa a rúd feszítésének-tömörítésének problémájának megoldására
A feladat egy acélrúd szilárdságának vizsgálata adott megengedett feszültségeknél. A megoldás során hosszirányú erők, normálfeszültségek és elmozdulások diagramjai készülnek. A rúd önsúlyát nem vesszük figyelembe

A kinetikus energia megmaradás tételének alkalmazása
Példa a megmaradási tétel alkalmazásának problémájának megoldására kinetikus energia mechanikus rendszer

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása a megadott mozgásegyenletek szerint
Példa egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározásával kapcsolatos probléma megoldására adott egyenletek mozgások

Merev test pontjai sebességének és gyorsulásának meghatározása síkpárhuzamos mozgás közben
Példa a merev test pontjai sebességének és gyorsulásának meghatározására síkpárhuzamos mozgás közben

A téma viszonylag könnyen elsajátítható, de rendkívül fontos az anyagok szilárdsági menetének tanulmányozásakor. Itt a fő figyelmet a lapos és geometriai formák, valamint a szabványos hengerelt profilok problémáinak megoldására kell fordítani.

Kérdések az önkontrollhoz

1. Mi a párhuzamos erők középpontja?

A párhuzamos erők középpontja az a pont, amelyen keresztül az eredő párhuzamos erőrendszer egyenese hat adott pontokat, ezen erők irányának bármilyen változása esetén a térben.

2. Hogyan találjuk meg a párhuzamos erők középpontjának koordinátáit?

A párhuzamos erők középpontjának koordinátáinak meghatározásához a Varignon-tételt használjuk.

Tengely relatív x

Mx(R) = ΣMx(Fk), - y C R = Σy kFk És y C = Σy kFk /Σ Fk .

Tengely relatív y

M y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk És x C = Σx kFk /Σ Fk .

A koordináta meghatározásához z C , forgassa el az összes erőt 90°-kal úgy, hogy párhuzamosak legyenek a tengellyel y (1.5. ábra, b). Azután

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk És z C = Σz kFk /Σ Fk .

Ezért a párhuzamos erők középpontjának sugárvektorának meghatározására szolgáló képlet alakot ölt

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Mi a test súlypontja?

Gravitáció középpontja - szilárd testtel állandóan összefüggő pont, amelyen keresztül a test részecskéire ható gravitációs erők eredője a test bármely helyén a térben áthalad. A szimmetriaközépponttal rendelkező homogén test (kör, golyó, kocka stb.) esetében a súlypont a test szimmetriaközéppontjában található. A merev test súlypontjának helyzete egybeesik tömegközéppontjának helyzetével.

4. Hogyan találjuk meg a téglalap, háromszög, kör súlypontját?

A háromszög súlypontjának megtalálásához meg kell rajzolnia egy háromszöget - egy ábrát, amely három szegmensből áll, amelyek három ponton kapcsolódnak egymáshoz. Mielőtt megtalálná az ábra súlypontját, vonalzóval kell megmérnie a háromszög egyik oldalának hosszát. Az oldal közepére tegyen egy jelet, majd kösse össze a szemközti csúcsot és a szakasz közepét egy mediánnak nevezett vonallal. Ismételje meg ugyanezt az algoritmust a háromszög második oldalával, majd a harmadikkal. A munkád eredménye három medián lesz, amelyek egy pontban metszik egymást, és ez lesz a háromszög súlypontja. Ha meg kell határozni egy homogén szerkezetű kerek korong súlypontját, akkor először keresse meg a kör átmérőinek metszéspontját. Ő lesz a súlypont adott test. Figyelembe véve az olyan figurákat, mint a labda, a karika és az egyenruha kocka alakú, nyugodtan kijelenthetjük, hogy a karika súlypontja az ábra közepén lesz, de pontjain kívül a golyó súlypontja a gömb geometriai középpontja, és ez utóbbi esetben a súlypontja a téglalap alakú paralelepipedon átlóinak metszéspontja.

5. Hogyan találjuk meg a sík összetett szakasz súlypontjának koordinátáit?

Felosztási módszer: ha egy lapos alak véges számú ilyen részre osztható, amelyek mindegyikére ismert a tömegközéppont helyzete, akkor a teljes ábra súlypontjának koordinátáit a képletek határozzák meg:

X C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

ahol x k, y k az ábra részeinek súlypontjainak koordinátái;

s k - területeik;

S \u003d s k - a teljes ábra területe.

6. Súlypont

1. Milyen esetben elegendő egy koordinátát számítással meghatározni a súlypont meghatározásához?

Az első esetben a súlypont meghatározásához elegendő egy koordináta meghatározása A testet véges számú részre osztjuk, amelyek mindegyikére a súlypont helyzete C és terület S ismert. Például egy test síkra vetítése xOy (1. ábra) két sík figuraként ábrázolható területekkel S1 És S2 (S = S 1 + S 2 ). Ezen alakzatok súlypontjai a pontokon vannak C 1 (x 1 , y 1) És C 2 (x 2, y 2) . Ekkor a test súlypontjának koordinátái az

Mivel az ábrák középpontjai az y tengelyen vannak (x = 0), csak a koordinátát találjuk Minket.

2 Hogyan veszik figyelembe a 4. ábrán látható furat területét az ábra súlypontjának meghatározására szolgáló képletben?

Negatív tömeg módszer

Ez a módszer abból áll, hogy a szabad üregekkel rendelkező testet szilárdnak, a szabad üregek tömegét pedig negatívnak tekintjük. A test súlypontjának koordinátáinak meghatározására szolgáló képletek formája nem változik.

Így a szabad üregekkel rendelkező test súlypontjának meghatározásakor a felosztás módszerét kell alkalmazni, de az üregek tömegét negatívnak kell tekinteni.

van ötleted a párhuzamos erők középpontjáról és annak tulajdonságairól;

tud képletek lapos alakzatok súlypontjának koordinátáinak meghatározására;

képesnek lenni határozza meg az egyszerű síkidomok súlypontjának koordinátáit geometriai formákés szabványos hengerelt profilok.

A KINEMATIKA ÉS DINAMIKA ELEMEI
Egy pont kinematikájának tanulmányozása után ügyeljen arra, hogy egy pont egyenetlen és egyenletes egyenes vonalú mozgását mindig a normál (centripetális) gyorsulás jellemzi. Nál nél előre mozgás test (amelyet bármely pontjának mozgása jellemez), egy pont kinematikájának összes képlete alkalmazható. A rögzített tengely körül forgó test szögértékeinek meghatározására szolgáló képletek teljes szemantikai analógiát mutatnak a transzlációsan mozgó test megfelelő lineáris értékeinek meghatározására szolgáló képletekkel.

Téma 1.7. Pontkinematika
A téma tanulmányozásakor ügyeljen a kinematika alapfogalmaira: gyorsulás, sebesség, út, távolság.

Kérdések az önkontrollhoz

1. Mi a nyugalom és a mozgás fogalmának relativitása?

A mechanikai mozgás egy test vagy (részei) térbeli mozgásának időbeli változása a többi testhez képest. Eldobott kő repülése, kerék forgása - példák mechanikus mozgás.

2. Határozza meg a kinematika alapfogalmait: pálya, távolság, út, sebesség, gyorsulás, idő!

A sebesség egy pont mozgásának kinematikai mértéke, amely a térbeli helyzetében bekövetkezett változás sebességét jellemzi. A sebesség vektormennyiség, azaz nem csak a modul (skaláris komponens), hanem a térbeli irány is jellemzi.

A fizikából ismeretes, egyenletes mozgás esetén a sebesség az egységnyi idő alatt megtett út hosszával határozható meg: v = s / t = const (feltételezzük, hogy az út origója és az idő egybeesik). Nál nél egyenes vonalú mozgás a sebesség mind modulusban, mind irányban állandó, vektora egybeesik a pályával.

A sebesség mértékegysége a rendszerben SI a hossz/idő arány határozza meg, azaz m/s.

A gyorsulás egy időpont sebességének változásának kinematikai mértéke. Más szóval, a gyorsulás a sebesség változásának mértéke.
A sebességhez hasonlóan a gyorsulás is vektormennyiség, vagyis nemcsak a modul, hanem a térbeli irány is jellemzi.

Az egyenes vonalú mozgásnál a sebességvektor mindig egybeesik a pályával, ezért a sebességváltozás vektora is egybeesik a pályával.

A fizika tananyagából ismert, hogy a gyorsulás a sebesség időegységenkénti változása. Ha rövid ideig Δt a pont sebessége Δv-vel változott, akkor az átlagos gyorsulás erre az időtartamra: a cp = Δv/Δt.

Az átlagos gyorsulás nem ad képet a sebességváltozás valódi nagyságáról az egyes időpillanatokban. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy minél rövidebb a vizsgált időtartam, amely alatt a sebességváltozás bekövetkezett, annál közelebb lesz a gyorsulás értéke a valódihoz (pillanatnyi).
Innen a definíció: a valódi (pillanatnyi) gyorsulás az a határ, amelyre az átlagos gyorsulás hajlik, amikor Δt nullára hajlik:

a = lim a cf t→0-nál vagy lim Δv/Δt = dv/dt.

Tekintettel arra, hogy v \u003d ds / dt, a következőt kapjuk: a \u003d dv / dt \u003d d 2 s / dt 2.

Valódi gyorsulás egyenes vonalú mozgásban egyenlő a sebesség első deriváltjával vagy a koordináta második deriváltjával (a mozgás kezdőpontjától való távolság) az idő függvényében. A gyorsulás mértékegysége a méter osztva egy másodperc négyzetével (m/s 2).

Röppálya- egy vonal a térben, amely mentén egy anyagi pont mozog.
Út az út hossza. A megtett út l egyenlő a test által bizonyos t idő alatt megtett pálya ívének hosszával. Az útvonal skaláris érték.

Távolság meghatározza egy pont helyzetét a pályáján, és valamilyen origóból mérik. A távolság algebrai mennyiség, hiszen a pont origóhoz viszonyított helyzetétől és a távolságtengely elfogadott irányától függően lehet pozitív és negatív is. A távolsággal ellentétben a pont által megtett utat mindig az határozza meg pozitív szám. Az út csak akkor esik egybe a távolság abszolút értékével, ha a pont mozgása az origóból indul és egy irányban követi az utat.

A pontmozgás általános esetben az út egyenlő a pont által adott időtartam alatt megtett távolságok abszolút értékeinek összegével:

3. Milyen módokon adható meg egy pont mozgástörvénye?

1. Egy pont mozgásának természetes beállítása.

A mozgás megadásának természetes módszerével feltételezzük, hogy meghatározzuk egy olyan pont mozgásának paramétereit egy mozgó vonatkoztatási rendszerben, amelynek kezdete egybeesik a mozgó ponttal, és a tengelyek az érintő, a normál és a binormális a pont pályája minden pozíciójában. Egy pont mozgási törvényének természetes módon történő beállításához szükséges:

1) ismerje a mozgás pályáját;

2) állítsa be a referenciapontot ezen a görbén;

3) pozitív mozgásirányt kell kialakítani;

4) adja meg egy pont mozgásának törvényét ezen a görbe mentén, azaz! kifejezni az origótól a görbe pontjának adott időpontban elfoglalt helyzetéhez mért távolságot ∪OM=S(t) .

2.Vektor módon pontmozgási feladatok

Ebben az esetben egy pont helyzetét a síkon vagy a térben egy vektorfüggvény határozza meg. Ezt a vektort egy origónak választott fix pontból ábrázoljuk, vége határozza meg a mozgó pont helyzetét.

3. Egy pont mozgásának meghatározására szolgáló koordináta módszer

A kiválasztott koordinátarendszerben a mozgó pont koordinátái az idő függvényében vannak megadva. Téglalapban Descartes-rendszer koordináták, ezek lesznek az egyenletek:

4. Hogyan irányul a pont valódi sebességének vektora görbe vonalú mozgás során?

Egy pont egyenetlen mozgása esetén sebességének modulusa idővel változik.
Képzeljünk el egy pontot, amelynek mozgását természetes módon az s = f(t) egyenlet adja meg.

Ha rövid Δt időintervallumban a pont meghaladta a Δs utat, akkor annak átlagsebesség egyenlő:

vav = ∆s/∆t.

Az átlagsebesség nem ad képet az adott időpillanatban való valódi sebességről (a valódi sebességet egyébként pillanatnyinak nevezik). Nyilvánvaló, hogy minél rövidebb időintervallumra határozzák meg az átlagsebességet, annál közelebb lesz az értéke a pillanatnyi sebességhez.

A valódi (pillanatnyi) sebesség az a határ, amelyre az átlagsebesség hajlik, amikor Δt nullára hajlik:

v = lim v cf t→0-nál vagy v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Így a valódi sebesség számértéke v = ds/dt.
Egy pont bármely mozgásának valódi (pillanatnyi) sebessége egyenlő a koordináta első deriváltjával (azaz a mozgás kezdőpontjától való távolsággal) az idő függvényében.

Amikor Δt nullára hajlik, Δs is nullára hajlik, és amint azt már megtudtuk, a sebességvektor tangenciálisan lesz irányítva (vagyis egybeesik a v valódi sebességvektorral). Ebből az következik, hogy a v p feltételes sebességvektor határa, amely megegyezik a pont eltolási vektorának egy végtelenül kis időintervallumhoz viszonyított arányának határával, egyenlő a pont valódi sebességvektorával.

5. Hogyan irányul a pont érintő- és normálgyorsulása?

A gyorsulásvektor iránya egybeesik a sebességváltozás irányával Δ = - 0

A tangenciális gyorsulás egy adott pontban érintőlegesen irányul a pont pályájára; ha a mozgás felgyorsult, akkor a tangenciális gyorsulási vektor iránya egybeesik a sebességvektor irányával; ha a mozgás lassú, akkor a tangenciális gyorsulásvektor iránya ellentétes a sebességvektor irányával.

6. Milyen mozgást végez a pont, ha az érintőleges gyorsulás nulla, és a normál nem változik az idő múlásával?

Egyenletes görbe vonalú mozgás azzal jellemezve, hogy a sebesség számértéke állandó ( v= konst), a sebesség csak irányban változik. Ebben az esetben a tangenciális gyorsulás nulla, hiszen v= konst(b. ábra),

és a normál gyorsulás nem egyenlő nullával, hiszen r - végső érték.

7. Hogyan néznek ki a kinematikai gráfok egységes ill egyenletes mozgás?

Egyenletes mozgással a test bármely egyenlő időintervallumban egyenlő távolságokat tesz meg. Az egyenletes egyenes vonalú mozgás kinematikai leírásához a koordinátatengely ÖKÖR kényelmesen elhelyezhető a mozgásvonal mentén. A test helyzetét egyenletes mozgás közben egy koordináta beállításával határozzuk meg x. Az elmozdulásvektor és a sebességvektor mindig a koordinátatengellyel párhuzamosan irányul ÖKÖR. Ezért az egyenes vonalú mozgás közbeni elmozdulás és sebesség a tengelyre vetíthető ÖKÖRés vetületeiket tekintsük algebrai mennyiségeknek.

Egyenletes mozgásnál az út aszerint változik lineáris függőség. koordinátákban. A grafikon egy ferde vonal.

A téma tanulmányozása eredményeként a hallgatónak:

van ötleted térről, időről, pályáról; átlagos és valós sebesség;

tud egy pont mozgásának megadásának módjai; pont mozgásának paraméterei egy adott pálya mentén.

Merev test súlypontja

gravitáció középpontja A merev test egy geometriai pont, amely mereven kapcsolódik ehhez a testhez, és a test egyes elemi részecskéire ható párhuzamos gravitációs erők középpontja (1.6. ábra).

Ennek a pontnak a sugárvektora

1.6. ábra

Egy homogén testnél a test súlypontjának helyzete nem függ az anyagtól, hanem a test geometriai alakja határozza meg.

Ha egy homogén test fajsúlya γ , a test elemi részecskéjének tömege

Pk = γΔVk (P = γV)

helyettesítse a képletben a meghatározásához r C , nekünk van

Ahonnan a tengelyekre vetítve és a határig áthaladva megkapjuk egy homogén térfogat súlypontjának koordinátáit

Hasonlóképpen a területtel rendelkező homogén felület súlypontjának koordinátáira S (1.7. ábra, a)

1.7. ábra

Egy homogén hosszúságú egyenes súlypontjának koordinátáira L (1.7. ábra, b)

A súlypont koordinátáinak meghatározására szolgáló módszerek

A korábban kapott általános képletek alapján meg lehet adni a szilárd testek súlypontjainak koordinátáinak meghatározására szolgáló módszereket:

1.8. ábra

1.9. ábra

11. Kinematikai alapfogalmak. Pontkinematika. Egy pont mozgásának meghatározására szolgáló módszerek. Pont sebessége és gyorsulása.

Kinematikai alapfogalmak

Kinematika- a mechanika olyan ága, amely a testek mozgását vizsgálja anélkül, hogy figyelembe venné a mozgást okozó okokat.

A kinematika fő feladata egy test helyzetének meghatározása az idő bármely pillanatában, ha ismert a kezdeti időpillanatbeli helyzete, sebessége és gyorsulása.

mechanikus mozgás- ez a testek (vagy testrészek) térbeli egymáshoz viszonyított helyzetének időbeli változása.

A mechanikai mozgás leírásához referenciarendszert kell választani.

Referenciatest- egy test (vagy testek csoportja), amelyet ebben az esetben állónak tekintünk, és amelyhez képest más testek mozgását tekintjük.

Referencia rendszer- ez a referenciatesthez tartozó koordinátarendszer, és az idő mérésének választott módszere (1. ábra).

A test helyzete az r⃗ r→ sugárvektor vagy koordináták segítségével határozható meg.

Sugár vektor r⃗ r→ pontok Μ - az origót összekötő irányított egyenes szakasz RÓL RŐL ponttal Μ (2. ábra).

Koordináta x pont Μ a pont sugárvektora végének vetülete Μ tengelyenként Ó. Általában téglalap alakú koordinátarendszert használnak. Ebben az esetben a pont helyzete Μ egy egyenesen a síkot és a térben egy ( x), két ( x, nál nél) és három ( x, nál nél, z) számok - koordináták (3. ábra).

Az alapszakon a fizikusok egy anyagi pont mozgásának kinematikáját tanulmányozzák.

Anyagi pont- olyan test, amelynek méretei adott feltételek mellett elhanyagolhatók.

Ezt a modellt olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a vizsgált testek lineáris méretei sokkal kisebbek, mint az összes többi távolság egy adott feladatban, vagy amikor a test előrehalad.

Fordítási a test mozgásának nevezzük, amelyben a test bármely két pontján áthaladó egyenes úgy mozog, hogy párhuzamos marad önmagával. A transzlációs mozgás során a test minden pontja ugyanazokat a pályákat írja le, és bármikor azonos sebességgel és gyorsulással rendelkezik. Ezért egy test ilyen mozgásának leírásához elegendő egy tetszőleges pontjának mozgását leírni.

A továbbiakban a „test” szó „anyagi pontként” fog érteni.

Azt a vonalat, amelyet egy mozgó test egy bizonyos vonatkoztatási rendszerben ír le, nevezzük röppálya. A gyakorlatban a pálya alakját matematikai képletekkel állítják be ( y = f(x) - pályaegyenlet) vagy az ábrán ábrázolva. A pálya típusa a referenciarendszer megválasztásától függ. Például az egyenletesen és egyenes vonalban mozgó autóban egy szabadon eső test röppályája egy egyenes függőleges vonal az autóvázban, és egy parabola a Föld keretében.

A pálya típusától függően egyenes és görbe vonalú mozgást különböztetünk meg.

Út s- skalár fizikai mennyiség, amelyet a test által meghatározott pálya hossza határozza meg egy bizonyos ideig. Az út mindig pozitív: s > 0.

mozgóΔr⃗ Δr→ testek meghatározott ideig - a kezdeti (pontot) összekötő egyenes irányított szakasza M 0) és végső (pont M) testhelyzet (lásd: 2. ábra):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→–r→0,

ahol r⃗ r→ és r⃗ 0 r→0 a test sugárvektorai ezekben az időpillanatokban.

Az elmozdulás vetítése a tengelyre Ökör

Δrx=Δx=x–x0 Δrx=Δx=x–x0

Ahol x 0 és x- a test koordinátái az idő kezdeti és végső pillanatában.

Az eltolási modulus nem lehet több, mint egy útvonal

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Az egyenlőségjel az egyenes vonalú mozgás esetére vonatkozik, ha a mozgás iránya nem változik.

A test elmozdulásának és kezdeti helyzetének ismeretében megtalálhatjuk a t időpontban elfoglalt helyzetét:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Sebesség

A hυ⃗ i hυ→i átlagsebesség egy vektorfizikai mennyiség, amely számszerűen egyenlő az elmozdulás és az elmozdulás időtartama közötti arányával, és az elmozdulás mentén irányul (4. ábra):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

A sebesség SI mértékegysége méter per másodperc (m/s).

Az ezzel a képlettel talált átlagsebesség csak a pálya azon részén jellemzi a mozgást, amelyre meghatározva van. A pálya egy másik részén más lehet.

Néha az útvonal átlagos sebességét használják

hυi=sΔt hυi=sΔt

Ahol s a Δ időintervallumban megtett út t. Az átlagos útsebesség skaláris érték.

Azonnali sebesség υ⃗ υ→ test - a test sebessége egy adott időpontban (vagy a pálya adott pontjában). Egyenlő azzal a határértékkel, amelyre az átlagsebesség egy végtelenül kicsi időintervallumban υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Itt r⃗ ′ r→ ′ a sugárvektor időbeli deriváltja.

A tengelyen lévő vetületben Ó:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

A test pillanatnyi sebessége a mozgás irányának minden pontjában érintőlegesen irányul a pályára (lásd 4. ábra).

Gyorsulás

Átlagos gyorsulás- egy fizikai mennyiség, amely számszerűen egyenlő a sebességváltozás és a bekövetkezett idő arányával:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

A ha⃗ i ha→i vektor a Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) sebességváltozási vektorral párhuzamosan a pálya konkávsága felé irányul (5. ábra).

Azonnali Boost:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

A gyorsulás SI mértékegysége méter per másodperc négyzet (m/s2).

Általában azonnali gyorsulás a sebességhez képest szögben irányítva. A pálya ismeretében meg lehet határozni a sebesség irányát, de a gyorsulást nem. A gyorsulás irányát a testre ható eredő erők iránya határozza meg.

Egyenes vonalú mozgásban növekvő modulo sebességgel (6. ábra, a) az a⃗ a→ és a υ⃗ 0 υ→0 vektorok (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) és a gyorsulási vetület a a mozgás pozitív.

Csökkenő sebességi modulusú egyenes vonalú mozgásnál (6. ábra, b) az a⃗ a→ és a υ⃗ 0 υ→0 vektorok irányai ellentétesek (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0), a gyorsulási vetület pedig a mozgás iránya negatív.

A vektor a⃗ a→ at görbe vonalú mozgás két komponensre bontható, amelyek az a⃗ τ a→τ sebesség mentén és az a⃗ n a→n sebességre merőlegesek (1.7. ábra), a⃗ τ a→τ - érintőleges gyorsulás, amely a sebességmodul változási sebességét jellemzi görbe vonalú mozgás során, a⃗ na→n - normál gyorsulás, amely a sebességvektor irányváltoztatási sebességét jellemzi görbe vonalú mozgás során Gyorsulási modulus a=a2τ+a2n−−−−−− √ a=aτ2+an2.

Egy pont mozgásának meghatározására szolgáló módszerek

Egy pont mozgásának meghatározásához az alábbi három módszer egyikét használhatja:

1) vektor, 2) koordináta, 3) természetes.

1. Vektoros módszer egy pont mozgásának meghatározására.

Legyen a lényeg M valamilyen vonatkoztatási rendszerhez képest mozog Oxyz. Ennek a pontnak a helyzete bármikor meghatározható az origóból húzott sugárvektorának beállításával RÓL RŐL pontosan M(3. ábra).

3. ábra

Amikor a pont mozog M a vektor idővel mind abszolút értékben, mind irányban változni fog. Ezért egy változó vektor (függvényvektor) a t argumentumtól függően:

Az egyenlőség határozza meg egy pont mozgásának törvényét vektoros formában, mivel lehetővé teszi a megfelelő vektor létrehozását és a mozgó pont helyzetének meghatározását.

A vektor végeinek lokusza, i.e. hodográf Ez a vektor határozza meg a mozgó pont pályáját.

2. Egy pont mozgásának meghatározására szolgáló koordináta módszer.

Egy pont helyzete közvetlenül meghatározható derékszögű koordinátáival x, y, z(3. ábra), amely a pont elmozdulásakor idővel megváltozik. Egy pont mozgástörvényét ismerni, i.e. helye a térben bármely időpillanatban, ismerni kell a pont koordinátáinak értékeit minden időpillanatban, pl. ismeri a függőségeket

x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).

Az egyenletek egy téglalap alakú pont mozgásegyenletei Derékszögű koordináták. Meghatározzák egy pont mozgásának törvényét koordináta módon mozgási feladatok.

A pályaegyenlet megszerzéséhez ki kell zárni a t paramétert a mozgásegyenletek közül.

A mozgásmeghatározás vektor- és koordinátamódszerei között könnyű kapcsolatot teremteni.

A vektort a koordinátatengelyek mentén komponensekre bontjuk:

ahol r x , r y , r z - vektor vetületek a tengelyre; – a tengelyek mentén irányított egységvektorok, a tengelyek orthusai.

Mivel a vektor eleje az origóban van, a vektor vetületei megegyeznek a pont koordinátáival M. Ezért

Ha a pont mozgását a poláris koordináták

r=r(t), φ = φ(t),

ahol r a poláris sugár, φ a közötti szög poláris tengelyés poláris sugár, akkor ezek az egyenletek a pontpálya egyenletét fejezik ki. A t paramétert kiküszöbölve azt kapjuk

r = r(φ).

1. példa Egy pont mozgását az egyenletek adják meg

4. ábra

Az idő kizárásához a paraméter t, az első egyenletből sin2t=x/2, a második cos2t=y/3 egyenletből találjuk. Ezután négyzet alakúra tesszük és hozzáadjuk. Mivel sin 2 2t+cos 2 2t=1, azt kapjuk, hogy . Ez egy 2 cm-es és 3 cm-es féltengelyű ellipszis egyenlete (4. ábra).

Pont kezdő pozíciója M 0 (mikor t\u003d 0) az x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm koordináták határozzák meg.

1 mp után pont a helyén lesz M 1 koordinátákkal

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Jegyzet.

Egy pont mozgása más koordinátákkal is megadható. Például hengeres vagy gömb alakú. Ezek között nemcsak lineáris méretek, hanem szögek is lesznek. Ha szükséges, tankönyvekből ismerkedhet meg a hengeres és gömbkoordinátákkal történő mozgás feladatával.

3. Egy pont mozgásának megadásának természetes módja.

5. ábra

A mozgás megadásának természetes módját célszerű alkalmazni olyan esetekben, amikor a mozgási pont pályája előre ismert. Hagyja a görbét AB a pont pályája M amikor a referenciarendszerhez képest elmozdul Oxyz(5. ábra) Válasszunk egy fix pontot ezen a pályán RÓL RŐL", amelyet origónak veszünk, és beállítjuk a pozitív és negatív referenciairányokat a pályán (mint a koordináta tengelyén).

Ezután a pont helyzete M a pályán a görbe vonalú koordináta egyedileg határozza meg s, ami egyenlő a pont távolságával RÓL RŐL' lényegre törő M a pálya íve mentén mérve és a megfelelő előjellel felvéve. A pont mozgatásakor M pozíciókba költözik M 1 , M 2 ,... . ezért a távolság s idővel változni fog.

Egy pont helyzetének megismerése M a pályán bármikor, ismernie kell a függőséget

Az egyenlet egy pont mozgásának törvényét fejezi ki M a pálya mentén. Az s= f(t) függvénynek egyértékűnek, folytonosnak és differenciálhatónak kell lennie.

Az s ívkoordináta pozitív vonatkoztatási iránya esetén a pont mozgási irányát veszik fel abban a pillanatban, amikor elfoglalja az O pozíciót. Emlékeztetni kell arra, hogy az s \u003d f (t) egyenlet nem határozza meg a egy pont mozgása a térben, hiszen egy pont térbeli helyzetének meghatározásához jobban meg kell ismerni a pont pályáját a rajta lévő pont kezdeti helyzetével és rögzített pozitív irányával. Így egy pont mozgását természetes módon adottnak tekintjük, ha ismert a pálya és a pont pálya menti mozgásának egyenlete (vagy törvénye).

Fontos megjegyezni, hogy az s pont ívkoordinátája eltér a pont által a pálya mentén megtett σ úttól. A pont mozgása során egy bizonyos σ utat halad át, ami a t idő függvénye. A megtett σ távolság azonban csak akkor esik egybe az s távolsággal, ha az s = f(t) függvény az idővel monoton módon változik, azaz. amikor a pont ugyanabba az irányba mozog. Tegyük fel, hogy az M pont M 1 -ből M 2 -be megy. Az M1-ben lévő pont helyzete a t 1 időnek, az M2-ben lévő pont helyzete pedig a t 2 időnek felel meg. Bontsuk fel a t 2 - t 1 időintervallumot nagyon kis ∆t 1 (i = 1,2, …n) időintervallumokra úgy, hogy mindegyikben a pont egy irányba mozogjon. Jelöljük az ív koordinátájának megfelelő növekményét ∆s i -vel. A pont által megtett σ út pozitív érték lesz:

Ha egy pont mozgását koordinátaszerűen adjuk meg, akkor a megtett távolságot a képlet határozza meg

ahol dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Következésképpen,

2. példa A pont egyenes vonalban mozog, az s=2t+3 (cm) törvény szerint (6. ábra).

6. ábra

A mozgás elején, t=0-nál s=OM 0 =s 0 =3 cm Ponthelyzet M 0-t hívnak kezdő pozíció. t=1 s-nál s=OM 1=5 cm.

Természetesen 1 mp alatt. a pont megtett egy távolságot M 0 M 1 = 2 cm. Szóval s- ez nem a pont által megtett út, hanem az origótól a pontig mért távolság.

Pontsebesség vektor

Egy pont mozgásának egyik fő kinematikai jellemzője egy vektormennyiség, amelyet egy pont sebességének neveznek. A pontsebesség fogalma egyenletes egyenes vonalú mozgásnál az elemi fogalmak közé tartozik.

Sebesség- a test mechanikai állapotának mértéke. A testhelyzet változásának sebességét jellemzi egy adott vonatkoztatási rendszerhez képest, és vektorfizikai mennyiség.

A sebesség mértékegysége m/s. Gyakran más mértékegységeket is használnak, például km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Egy pont mozgását egyenletesnek nevezzük, ha a pont sugárvektorának növekményei azonos időintervallumokra egyenlők egymással. Ha a pont pályája egyenes, akkor a pont mozgását egyenes vonalúnak nevezzük.

Az egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz

∆r= v∆t, (1)

ahol v egy állandó vektor.

Vektor v az egyenes sebességének nevezzük és egyenletes mozgás teljesen meghatározza azt.

Az (1) összefüggésből látható, hogy az egyenes vonalú és egyenletes mozgás sebessége olyan fizikai mennyiség, amely meghatározza egy pont egységnyi idő alatti mozgását. Az (1)-től van

vektor iránya vábrán látható. 6.1.

6.1. ábra

Egyenetlen mozgás esetén ez a képlet nem megfelelő. Először mutassuk be egy pont átlagos sebességének fogalmát egy bizonyos időszak alatt.

Legyen a mozgó pont az idő t terhes M, amelyet a sugárvektor határozza meg, és abban a pillanatban, amikor t 1 a pozícióba kerül M 1 vektor határozza meg (7. ábra). Ekkor egy pont mozgását egy ∆t=t 1 -t időtartam alatt egy vektor határozza meg, amelyet a pont mozgási vektorának nevezünk. Egy háromszögből OMM 1 azt mutatja, hogy ; Következésképpen,

Rizs. 7

A pont eltolási vektorának a megfelelő időintervallumhoz viszonyított aránya ad egy vektorértéket, amit a ∆t időintervallumban abszolút értékben és irányban átlagolt pontsebességnek nevezünk:

Egy pont sebessége adott t időpontban az a v vektormennyiség, amelyre a v cf átlagsebesség hajlik, ha a ∆t időintervallum nullára hajlik:

Tehát egy pont sebességvektora egy adott időpillanatban egyenlő a pont sugárvektorának időbeli első deriváltjával.

Mivel a szekáns korlátozó iránya MM 1 érintő, akkor a pont sebességvektora egy adott időpillanatban tangenciálisan irányul a pont mozgási irányú pályájára.

Egy pont sebességének meghatározása a mozgásmeghatározás koordinátamódszerével

Pontsebességvektor, ha r x =x, r y =y, r z =z, azt kapjuk:

Így a pontsebesség koordinátatengelyekre vonatkozó vetületei egyenlők a pont megfelelő koordinátáinak időbeli első deriváltjaival.

A sebességvetületek ismeretében a képletek segítségével megtaláljuk annak modulusát és irányát (azaz a v vektor által a koordinátatengelyekkel alkotott α, β, γ szögeket)

Tehát egy pont sebességének számértéke egy adott időpontban egyenlő a távolság első deriváltjával (görbe koordináta) s pontokat az időben.

A sebességvektor az általunk előre ismert pálya érintője mentén irányul.

Egy pont sebességének meghatározása természetes mozgásmeghatározási módszerrel

A sebességérték határértékként definiálható (∆r a húr hossza MM 1):

ahol ∆s az ív hossza MM egy . Az első határérték eggyel egyenlő, a második határ a ds/dt derivált.

Ezért egy pont sebessége a mozgástörvény első deriváltja:

A sebességvektor, amint azt korábban megállapítottuk, érintőlegesen a pályára irányul. Ha a sebesség értéke jelenleg nagyobb, mint nulla, akkor a sebességvektor pozitív irányba van irányítva.

Pontgyorsulási vektor

Gyorsulás- a sebesség változási sebességét jellemző vektorfizikai mennyiség. Megmutatja, hogy mennyit változik a test sebessége időegység alatt.

A gyorsulás SI mértékegysége a méter per másodperc négyzet. a megfelelő időintervallumhoz ∆t határozza meg az átlagos pontgyorsulás vektorát ezen az időintervallumon:

Az átlagos gyorsulás vektorának iránya megegyezik a vektorral, azaz. a pálya homorúsága felé irányul.

Egy pont gyorsulása egy adott időpontban t azt a vektorértéket nevezzük, amelyre az átlagos gyorsulás hajlik, amikor a ∆t időintervallum nullára hajlik: Egy pont gyorsulási vektora egy adott pillanatban egyenlő a sebességvektor első deriváltjával vagy a sugár második deriváltjával -a pont vektora az idő függvényében.

Egy pont gyorsulása csak akkor nulla, ha a pont sebessége v mind nagyságrendben, mind irányban állandó: ez csak egyenes és egyenletes mozgásnak felel meg.

Nézzük meg, hogyan helyezkedik el a vektor a pont pályájához képest. Egyenes vonalú mozgás esetén a vektor azon egyenes mentén irányul, amelyen a pont mozog. a pálya konkávsága felé irányul, és a pontban a pálya érintőjén átmenő síkban fekszik Més egy szomszédos pont érintőjével párhuzamos egyenes M 1 (8. ábra). Abban a határban, amikor a pont M hajlamos M, ez a sík az úgynevezett összefüggő sík pozícióját foglalja el, azaz. olyan sík, amelyben a pálya érintőjének végtelenül kicsi elforgatása következik be egy mozgó pont elemi elmozdulásával. Ezért általános esetben a gyorsulásvektor az összefüggő síkban fekszik, és a görbe homorúsága felé irányul.

Gyorsulás meghatározása a mozgásmeghatározás koordinátamódszerével

A tengelyen lévő vetületben lévő pont gyorsulási vektorát kapjuk:

azok. egy pont gyorsulásának vetülete a koordinátatengelyekre egyenlő a sebesség vetületeinek első deriváltjával vagy az időpont megfelelő koordinátáinak második deriváltjával. A gyorsulás modulja és iránya megtalálható a képletekből

10. ábra

Az a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 gyorsulás vetületei. Mivel a gyorsulási vektor vetülete a tengelyre x egyenlő nullával, és a tengelyen y- negatív, akkor a gyorsulásvektor függőlegesen lefelé irányul, és értéke állandó, nem függ az időtől.

Arkhimédész első felfedezése a mechanikában a súlypont fogalmának bevezetése volt, i.e. bizonyítja, hogy bármely testben van egyetlen pont, ahol a súlya koncentrálható anélkül, hogy az egyensúlyi állapotot megsértené.

A test tömegközéppontja egy merev test azon pontja, amelyen a test elemi tömegeire ható összes gravitációs erő eredője a tér bármely pontján áthalad.

A mechanikai rendszer súlypontja azt a pontot nevezzük, amelyhez képest a rendszer összes testére ható teljes gravitációs nyomaték egyenlő nullával.

Egyszerűen fogalmazva, gravitáció középpontja- ez az a pont, amelyre a gravitációs erő hat, függetlenül a test helyzetétől. Ha a test egységes, gravitáció középpontjaáltalában a test geometriai középpontjában helyezkedik el. Így egy homogén kocka vagy homogén gömb súlypontja egybeesik geometriai középpont ezek a testek.

Ha a test méretei kicsik a Föld sugarához képest, akkor feltételezhetjük, hogy a test összes részecskéjének gravitációs ereje párhuzamos erőrendszert alkot. Eredményüket ún gravitáció, és ezeknek a párhuzamos erőknek a középpontja a test súlypontja.

A test súlypontjának koordinátái a képletekkel határozhatók meg (7.1. ábra):

, , ,

ahol - testsúly x i, y i, z i– elemi részecske koordinátái, súlya P i;.

A test súlypontjának koordinátáinak meghatározására szolgáló képletek szigorúan véve csak akkor pontosak, ha a testet végtelen számú, végtelenül kis súlyú elemi részecskére osztjuk. P i. Ha a részecskék száma, amelyekre a test mentálisan fel van osztva véges, akkor ezek a képletek általában közelítőek, mivel a koordináták x i, y i, z i ebben az esetben csak szemcseméret-pontossággal határozhatók meg. Minél kisebbek ezek a részecskék, annál kisebb hibát fogunk elkövetni a súlypont koordinátáinak kiszámításakor. Pontos kifejezésekre csak a határértékre való átlépés eredményeként juthatunk, amikor az egyes részecskék mérete nullára hajlik, és számuk korlátlanul növekszik. Mint tudják, egy ilyen határt határozott integrálnak neveznek. Ezért a testek súlypontjainak koordinátáinak tényleges meghatározása általános esetben az összegek megfelelő integrálokkal való helyettesítését és az integrálszámítás módszereinek alkalmazását igényli.

Ha egy merev testben vagy mechanikai rendszerben a tömeg nem egyenletesen oszlik el, akkor a súlypont arra a részre tolódik el, ahol nehezebb.

Egy test súlypontja még csak nem is mindig magában a testben található. Így például a bumeráng súlypontja valahol középen van a bumeráng végei között, de magán a bumeráng testén kívül.

A rakomány rögzítéséhez nagyon fontos a súlypont helyzete. Ezen a ponton fejtik ki a mozgás során a terhelésre ható gravitációs és tehetetlenségi erőket. Minél magasabban van egy test vagy mechanikai rendszer súlypontja, annál hajlamosabb a felborulásra.

A test súlypontja egybeesik a tömegközépponttal.