BEÁLLÍTÁSI PONT MOZGÁS MÓDJA

Egy pont sebességének meghatározása

A sebesség egy vektormennyiség, amely egy adott vonatkoztatási rendszerben egy pont sebességét és mozgási irányát jellemzi.

Nál nél vektor módon mozgásfeladat, egy mozgó pont helyzetét minden időpillanatban a sugárvektor határozza meg, amely az idő függvénye. Hagyja pillanatnyilag t pont helyet foglal el M, határozza meg a sugárvektor , és abban a pillanatban - a pozíció M 1 , amelyet a sugárvektor határozza meg (8.6. ábra). Egy háromszögből OMM 1,

.

Rizs. 8.6 ábra. 8.7

Egy pont mozgatásakor a sugárvektor növekszik:

Az utolsó két egyenlőségből következik, hogy a ponteltolódási vektor a pontsugárvektor növekménye az időintervallumban t.

Az eltolásvektor és az időintervallum aránya t, amely során ez a mozgás bekövetkezett, a pont képzeletbeli mozgásának átlagsebességének vektora az akkord mentén MM 1:

A vektor iránya megegyezik Δ irányával. Csökkenő Δ időintervallum mellett tés nullához közeledve a Δ vektor is nullára hajlik, és a vektor - bizonyos határig. Ez a határ a pont pillanatnyi sebességvektora t:

.

Mivel Δ t- növekmény skaláris argumentum t, és Δ a vektorfüggvény növekménye , akkor az at reláció határa az on vektor deriváltja t:

Ily módon a pont sebességvektora egy adott pillanatban egyenlő a pont sugárvektorának időbeli deriváltjával.

A vektor az akkord mentén van irányítva MM 1 pont mozgásának irányában. Amikor Δ t nulla pontra megy M 1 egy pontra hajlik M, azaz a szekáns határhelyzete MM 1 az érintő.

Ebből következik, hogy a pontsebességvektor tangenciálisan irányul a pályára a pont mozgásának irányában.

Amikor egy pont görbe vonalú pályán mozog, a sebességvektor iránya folyamatosan változik (8.8. ábra).

Pont sebessége egyenetlen görbe vonalú mozgás mind nagyságrendben, mind irányban változik.

Jegyezze fel a mozgópont számos pozícióját a pályán M 1 , M 2 , M 3 , M 4. ábra, és mutasd meg ezekben a pozíciókban a pont sebességét (8.8. ábra, a).

Kiválasztás az űrben néhányat fix pont RÓL RŐL 1 , ebből a pontból félretesszük a sebességekkel geometriailag egyenlő vektorokat (8.8. ábra, b). Ha egy pontból RÓL RŐL 1 tegye félre az összes pontpozíciónak megfelelő sebességet M a görbén AB,és ezeknek a vektoroknak a végeit összekötjük, egy vonalat kapunk CD, lény sebességhodográf.

Ily módon a sebességhodográf egy mozgó pont sebességvektorai végeinek helye, a térben ugyanabból a tetszőleges pontból ábrázolva.

Ábrán ábrázoljuk. 8,9, de pont pályája ABés sebessége bármely pillanatban t, és az ábrán. 8,9, b - sebességhodográf CD ez a pont.

Menjünk át a lényegen RÓL RŐL 1 koordináta tengely X, Y, Z, párhuzamos a főtengelyekkel x,y,z. Ekkor bármely pont sugárvektora N sebességhodográf CD lesz a sebesség és a hodográf pontok koordinátái X, Y, Z egyenlő lesz a koordinátatengelyekre vonatkozó sebesség-vetületekkel:

Ezek az egyenletek parametrikus egyenletek sebességhodográf.

Egy pont gyorsulásának meghatározása

Egy pont egyenetlen görbe vonalú mozgása esetén sebességének modulusa és iránya megváltozik. Egy pont gyorsulása jellemzi a modul változásának sebességét és a pont sebességének irányát.

Tegyük fel, hogy akkoriban t pont helyet foglal el Més van sebessége, és időben állást foglal M 1 és sebességgel rendelkezik (8.10. ábra, a).

Határozzuk meg a sebességvektor növekményét a Δ időintervallumban t. Ehhez tegye félre a pontot M sebességet, és ezen a ponton készítsünk egy paralelogrammát, amelynek egyik oldala a sebesség lesz , az átló pedig a sebesség.

Ekkor a paralelogramma második oldala a sebességvektor növekménye lesz, hiszen

.

A sebességvektor növekményét elosztjuk a Δ időintervallummal t, megkapjuk a pont átlagos gyorsulásának vektorát erre az intervallumra:

Ennek a vektornak van egy iránya, ezért a görbe homorúsága felé irányul. Sebességhodográf megépítésével CD(13,b ábra), tegye félre a sebességeket vÉs v 1 , sebességvektor növekmény , valamint az akkord mentén irányított átlagos gyorsulásvektor NN 1 sebességhodográf. Az a határ, amelyre az átlagos gyorsulási vektor hajlik, amikor Δ t nullára hajlik, a pont gyorsulási vektora α adott időpontban t: a pályát érintő ponton átmenő síkban van Més a pont érintőjével párhuzamos egyenes M 1 (10a. ábra). Ennek a síknak a határhelyzete, ahogy a pont hajlik M 1 a lényegre M hívott összefüggő sík.

Ebből következik, hogy pont gyorsulási vektor található ban ben összefüggő sík, és a görbe homorúsága felé irányul.

Ha a görbe lapos, akkor az érintősík a görbe síkja és a gyorsulásvektor ebben a síkban található.

Egy pont sebessége egy vektor, amely minden adott pillanatban meghatározza a pont sebességét és mozgási irányát.

Sebesség egyenletes mozgás egy pont által egy bizonyos idő alatt megtett út és ezen időtartam értékének aránya határozza meg.

Sebesség; Inog, befolyás; t- idő.

A sebesség mértékegysége a hosszúság mértékegysége, osztva egy időegységgel: m/s; cm/s; km/h stb.

Egyenes vonalú mozgás esetén a sebességvektor a pálya mentén a mozgása irányába irányul.

Ha egy pont egyenlőtlen időközönként egyenlőtlen utakat tesz meg, akkor ezt a mozgást egyenetlennek nevezzük. A sebesség változó, és az idő függvénye.

Egy pont átlagos sebessége egy adott időtartam alatt egy olyan egyenletes egyenes vonalú mozgás sebessége, amelynél a pont ugyanazt a mozgást kapná ez alatt az idő alatt, mint a tekintett mozgása során.

Tekintsünk egy M pontot, amely a törvény által megadott görbevonalú pályán mozog

A t időintervallum alatt az M pont az M 1 pozícióba kerül az MM 1 ív mentén. Ha a t időintervallum kicsi, akkor az MM 1 ív helyettesíthető egy húrral, és az első közelítésben megkereshetjük átlagsebesség pont mozgása

Ez a sebesség az M ponttól az M 1 pontig tartó húr mentén irányul. A valódi sebességet úgy találjuk meg, hogy elérjük a határt, amikor? t> 0

Amikor?t> 0, a határvonalban lévő húr iránya egybeesik az M pontban lévő pálya érintőjének irányával.

Így egy pont sebességének értéke az útnövekmény és a megfelelő időintervallum arányának határa, mivel az utóbbi nullára hajlik. A sebesség iránya egybeesik az adott pontban a pálya érintőjével.

pont gyorsulás

Figyeljük meg, hogy általános esetben görbe vonalú pálya mentén haladva egy pont sebessége irányában és nagyságában is változik. Az egységnyi idő alatti sebességváltozást a gyorsulás határozza meg. Más szóval, egy pont gyorsulása olyan mennyiség, amely a sebesség időbeli változásának mértékét jellemzi. Ha egy t időintervallumra a sebesség egy értékkel változik, akkor az átlagos gyorsulás

Egy pont valódi gyorsulása egy adott t időpontban az az érték, amelyre az átlagos gyorsulás hajlik, amikor? t\u003e 0, azaz

A nullára hajló időintervallumnál a gyorsulásvektor mind nagyságrendben, mind irányban megváltozik, a határáig tartva.

A gyorsulás dimenziója

A gyorsulás m/s 2 -ben fejezhető ki; cm/s 2 stb.

Általános esetben, amikor egy pont mozgását természetes módon adjuk meg, a gyorsulásvektor általában két komponensre bomlik, amelyek a pont pályájának érintője és a normál mentén irányulnak.

Ekkor egy pont gyorsulása t időpontban a következőképpen ábrázolható

Jelöljük az alkotói határokat és -vel.

A vektor iránya nem függ a t időintervallum nagyságától.

Ez a gyorsulás mindig egybeesik a sebesség irányával, azaz érintőlegesen irányul a pont pályájára, ezért tangenciális vagy tangenciális gyorsulásnak nevezzük.

A pont gyorsulásának második összetevője a pálya érintőjére merőlegesen irányul ezen a ponton a görbe homorúsága felé, és befolyásolja a sebességvektor irányának változását. Ezt a gyorsulási komponenst ún normál gyorsulás.

Mivel a vektor számértéke megegyezik a pontsebesség növekedésével a vizsgált?t időintervallumban, akkor a tangenciális gyorsulás számértéke

Egy pont érintőleges gyorsulásának számértéke megegyezik a sebesség számértékének időbeli deriváltjával. Egy pont normál gyorsulásának számértéke egyenlő a pont sebességének négyzete osztva a görbület megfelelő pontjában lévő pálya görbületi sugarával

Egy pont nem egyenletes görbe vonalú mozgása esetén a teljes gyorsulás geometriailag a tangenciális és normál gyorsulásokból tevődik össze.

Például egy autó, amely elindul, gyorsabban mozog, ahogy növeli a sebességét. A kiindulási ponton az autó sebessége nulla. A mozgás elindításakor az autó egy bizonyos sebességre felgyorsul. Ha lassítani kell, az autó nem tud azonnal megállni, hanem egy ideig. Ez azt jelenti, hogy az autó sebessége nullára csökken - az autó lassan mozog, amíg teljesen meg nem áll. De a fizikában nem szerepel a "lassulás" kifejezés. Ha a test mozog, csökken a sebesség, ezt a folyamatot is hívják gyorsulás, de "-" jellel.

Átlagos gyorsulás a sebesség változásának és annak az időtartamnak az aránya, amely alatt ez a változás bekövetkezett. Számítsa ki az átlagos gyorsulást a következő képlettel:

hol van . A gyorsulásvektor iránya megegyezik a sebességváltozás irányával Δ = - 0

ahol 0 a kezdeti sebesség. Az adott időpontban t1(lásd az alábbi ábrát) a testnek 0 . Az adott időpontban t2 a testnek van sebessége. A vektorkivonás szabálya alapján meghatározzuk a Δ = - 0 sebességváltozás vektorát. Innen számítjuk ki a gyorsulást:

.

Az SI rendszerben a gyorsulás mértékegysége 1 méter per másodperc per másodpercnek (vagy méter per másodperc négyzetnek) nevezik:

.

A méter per másodperc négyzetben egy egyenes vonalban mozgó pont gyorsulása, amelynél ennek a pontnak a sebessége 1 s alatt 1 m/s-kal nő. Más szóval, a gyorsulás határozza meg a test sebességének 1 s alatti változásának mértékét. Például, ha a gyorsulás 5 m / s 2, akkor a test sebessége másodpercenként 5 m / s-kal nő.

A test azonnali gyorsulása ( anyagi pont) adott időpillanatban - ez egy fizikai mennyiség, amely egyenlő azzal a határértékkel, amelyre az átlagos gyorsulás hajlik, amikor az időintervallum 0-ra hajlik. Más szóval, ez a test által egy nagyon kis periódus alatt kifejtett gyorsulás idő:

.

A gyorsulás iránya megegyezik a Δ sebesség változásával rendkívül kis időintervallumokban, amelyek során a sebesség változik. A gyorsulásvektor egy adott vonatkoztatási rendszerben a megfelelő koordinátatengelyekre vetítésekkel állítható be (a X, a Y, a Z vetületek).

Gyorsított egyenes vonalú mozgás a test sebessége nő modulo, azaz. v 2 > v 1, és a gyorsulásvektor iránya megegyezik a 2. sebességvektorral.

Ha a test modulo sebessége csökken (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем lassulás(a gyorsulás negatív, és< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Ha egy görbevonalú pálya mentén mozgás történik, akkor a sebesség modulusa és iránya megváltozik. Ez azt jelenti, hogy a gyorsulásvektor 2 komponensként van ábrázolva.

Érintő (tangenciális) gyorsulás nevezzük a gyorsulásvektornak azt a komponensét, amely a mozgáspályának egy adott pontjában érintőlegesen irányul a pályára. A tangenciális gyorsulás a sebesség modulo változásának mértékét írja le görbe vonalú mozgás közben.

Nál nél érintőleges gyorsulási vektorokτ (lásd a fenti ábrát) az irány megegyezik az irányával lineáris sebesség vagy azzal ellentétes. Azok. a tangenciális gyorsulás vektora ugyanazon a tengelyen van, mint az érintőkör, amely a test pályája.

Bevezetünk egy τ egységvektort, amely az A mozgó ponthoz kapcsolódik, és a pályára érintőlegesen irányul a növekvő ívkoordináta irányába (1.6. ábra). Nyilvánvaló, hogy τ változóvektor: l-től függ. Az A pont v sebességvektora tangenciálisan irányul a pályára, így a következőképpen ábrázolható

ahol v τ =dl/dt a v vektor vetülete a τ vektor irányába, v τ pedig egy algebrai mennyiség. Ráadásul |v τ |=|v|=v.

pont gyorsulás

Differenciáld (1.22) az idő függvényében

(1.23)

Alakítsuk át ennek a kifejezésnek az utolsó tagját

(1.24)

Határozzuk meg a τ vektor dl-lel való növekményét (1.7. ábra).

ábrából látható. 1,7, szög , honnan , és at .

Az 1. pontban a görbületi középpont felé irányított pályára a normál n egységvektorát bevezetve felírjuk az utolsó egyenlőséget vektor formában.

Az (1.23)-at behelyettesítjük (1.24)-be, az így kapott kifejezést pedig (1.22)-be. Ennek eredményeként azt találjuk

(1.26)

Itt az első kifejezést hívják érintő a τ , a második - Normál a n .

Ily módon teljes gyorsulás a pontokat úgy ábrázolhatjuk geometriai összegérintőleges és normál gyorsulások.

Teljes Pont gyorsítási modul

(1.27)

A sebességvektorral α szöget bezáró pálya konkávsága felé irányul, és.

Ha az α szög hegyes, akkor tgα>0, tehát dv/dt>0, mivel v 2 /R>0 mindig.

Ebben az esetben a sebesség nagysága idővel növekszik - a mozgást ún felgyorsult(1.8. ábra).

Abban az esetben, ha a sebesség idővel nagysága csökken, a mozgást nevezzük lassú(1.9. ábra).

Ha az α=90° szög, tgα=∞, azaz dv/dt=0. Ebben az esetben a sebesség nagysága nem változik az idő múlásával, és a teljes gyorsulás egyenlő lesz a centripetálissal.

(1.28)

Különösen az egyenruha teljes gyorsulása forgó mozgás(R=const, v=const) igen centripetális gyorsulás, nagysága egyenlő egy n \u003d v 2 /R-rel, és mindig a középpontba irányul.

Az egyenes vonalú mozgásnál éppen ellenkezőleg, a test teljes gyorsulása megegyezik a tangenciális gyorsulással. Ebben az esetben a n =0, mivel egy egyenes vonalú pálya végtelenül nagy sugarú körnek tekinthető, és amikor R→∞; v2/R=0; a n=0; a=a τ .

Most legyen ismert a függvény. ábrán 5.10
És
 a mozgó pont sebességvektorai pillanatokban tés  t. Hogy megkapjuk a sebességvektor növekményét
mozgassa a vektort párhuzamosan
pontosan M:

Egy pont átlagos gyorsulása egy időtartam alatt  t a sebességvektor növekményének aránya
az időintervallumhoz t:

Következésképpen, egy pont gyorsulása egy adott időpillanatban egyenlő a pont sebességvektorának első időbeli deriváltjával vagy a sugárvektor második időbeli deriváltjával

. (5.11)

pont gyorsulás ez egy vektormennyiség, amely a sebességvektor időbeli változásának sebességét jellemzi.

Építsünk sebességhodográfot (5.11. ábra). Definíció szerint a sebességhodográf az a görbe, amelyet a sebességvektor vége megrajzol, amikor a pont elmozdul, ha a sebességvektort ugyanabból a pontból ábrázoljuk.

Egy pont sebességének meghatározása a mozgása megadásának koordináta módszerével

Adjuk meg egy pont mozgását koordináta módon Descartes-rendszer koordináták

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Egy pont sugara-vektora egyenlő

.

Mivel az egységvektorok
állandó, akkor definíció szerint

. (5.12)

Jelöljük a sebességvektor vetületeit a tengelyekre Ó, OUÉs Ozát V x , V y , V z

(5.13)

Az (5.12) és (5.13) egyenlőségeket összevetve megkapjuk

(5.14)

A következőkben az idő deriváltját egy ponttal jelöljük felülről, azaz

.

A pontsebesség-modult a képlet határozza meg

. (5.15)

A sebességvektor irányát az iránykoszinuszok határozzák meg:

Egy pont gyorsulásának meghatározása a mozgását megadó koordináta módszerrel

A Descartes-koordináta-rendszer sebességvektora az

.

Definíció szerint

Jelöljük a gyorsulásvektor vetületeit a tengelyekre Ó, OUÉs Ozát de x , de y , de z rendre, és bontsa ki a sebességvektort a tengelyek mentén:

. (5.17)

Az (5.16) és (5.17) egyenlőségeket összehasonlítva megkapjuk

A pontgyorsulási vektor modulusát a pontsebességvektor modulusához hasonlóan számítjuk ki:

, (5.19)

a gyorsulási vektor iránya pedig az iránykoszinuszok:

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása mozgásának természetes megadásával

Ez a módszer természetes tengelyeket használ, amelyek origója a pont aktuális pozíciójában van M a pályán (5.12. ábra) és az egységvektorokon Egységvektor érintőlegesen a pályára irányítva az ív pozitív vonatkoztatása, az egységvektor irányába a pálya főnormálja mentén a homorúsága, az egységvektor felé irányítva a binormális mentén a pontban lévő pályára irányítva M.

Hortok És feküdj be összefüggő sík, orts És ban ben normál repülő, orts És  be egyengető sík.

A keletkező triédert természetesnek nevezzük.

Legyen adott egy pont mozgástörvénye s = s(t).

sugárvektor pontokat M valamely fix pont tekintetében az idő összetett függvénye lesz
.

A differenciálgeometriából ismertek a Serre-Fresnet formulák, amelyek kapcsolatot teremtenek a természetes tengelyek egységvektorai és a görbe vektorfüggvénye között.

ahol  a pálya görbületi sugara.

A sebesség definícióját és a Serre Frenet képletet felhasználva a következőket kapjuk:

. (5.20)

Jelölve a sebesség vetületét az érintőre és figyelembe véve, hogy a sebességvektor tangenciális irányú, megvan

. (5.21)

Az (5.20) és (5.21) egyenlőségeket összehasonlítva képleteket kapunk a sebességvektor nagyságrendi és irányú meghatározására

Érték pozitív, ha a pont M a pozitív ív referenciairányában mozog sés egyébként negatív.

A gyorsulás definícióját és a Serre Frenet képletet felhasználva a következőket kapjuk:

Jelölje a pontgyorsulás vetületét érintőhöz , fő normál és binormális
illetőleg.

Akkor a gyorsulás az

Az (5.23) és (5.24) képletekből az következik, hogy a gyorsulásvektor mindig az összefüggő síkban fekszik, és az irányokba tágul. És :

(5.25)

Gyorsulás vetítése érintőre
hívott tangens vagy érintőleges gyorsulás. A sebesség nagyságának változását jellemzi.

A gyorsulás vetítése a fő normálisra
hívott normál gyorsulás. A sebességvektor irányú változását jellemzi.

A gyorsulási vektor modulusa egyenlő
.

Ha És egy jel, akkor a pont mozgása felgyorsul.

Ha És különböző előjelekkel, akkor a pont mozgása lassú lesz.