Most legyen ismert a függvény. ábrán 5.10
És
 a mozgó pont sebességvektorai pillanatokban tés  t. Hogy megkapjuk a sebességvektor növekményét
mozgassa a vektort párhuzamosan
pontosan M:

Egy pont átlagos gyorsulása egy időtartam alatt  t a sebességvektor növekményének aránya
az időintervallumhoz t:

Következésképpen, egy pont gyorsulása egy adott időpillanatban egyenlő a pont sebességvektorának első időbeli deriváltjával vagy a sugárvektor második időbeli deriváltjával

. (5.11)

pont gyorsulás ez egy vektormennyiség, amely a sebességvektor időbeli változásának sebességét jellemzi.

Építsünk sebességhodográfot (5.11. ábra). Definíció szerint a sebességhodográf az a görbe, amelyet a sebességvektor vége megrajzol, amikor a pont elmozdul, ha a sebességvektort ugyanabból a pontból ábrázoljuk.

Egy pont sebességének meghatározása a mozgása megadásának koordináta módszerével

Adjuk meg egy pont mozgását koordináta módon Descartes-rendszer koordináták

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Egy pont sugara-vektora egyenlő

.

Mivel az egységvektorok
állandó, akkor definíció szerint

. (5.12)

Jelöljük a sebességvektor vetületeit a tengelyekre Ó, OUÉs Ozát V x , V y , V z

(5.13)

Az (5.12) és (5.13) egyenlőségeket összevetve megkapjuk

(5.14)

A következőkben az idő deriváltját egy ponttal jelöljük felülről, azaz

.

A pontsebesség-modult a képlet határozza meg

. (5.15)

A sebességvektor irányát az iránykoszinuszok határozzák meg:

Egy pont gyorsulásának meghatározása a mozgását megadó koordináta módszerrel

A sebességvektor a derékszögű koordinátarendszerben az

.

Definíció szerint

Jelöljük a gyorsulásvektor vetületeit a tengelyekre Ó, OUÉs Ozát de x , de y , de z rendre, és bontsa ki a sebességvektort a tengelyek mentén:

. (5.17)

Az (5.16) és (5.17) egyenlőségeket összehasonlítva megkapjuk

A pontgyorsulási vektor modulusát a pontsebességvektor modulusához hasonlóan számítjuk ki:

, (5.19)

a gyorsulási vektor iránya pedig az iránykoszinuszok:

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása mozgásának természetes megadásával

Ez a módszer természetes tengelyeket használ, amelyek origója a pont aktuális pozíciójában van M a pályán (5.12. ábra) és az egységvektorokon Egységvektor érintőlegesen a pályára irányítva az ív pozitív vonatkoztatása, az egységvektor irányába a pálya főnormálja mentén a homorúsága, az egységvektor felé irányítva a binormális mentén a pontban lévő pályára irányítva M.

Hortok És feküdj be összefüggő sík, orts És ban ben normál repülő, orts És  be egyengető sík.

A keletkező triédert természetesnek nevezzük.

Legyen adott egy pont mozgástörvénye s = s(t).

sugárvektor pontokat M valamely fix pont tekintetében az idő összetett függvénye lesz
.

A differenciálgeometriából ismertek a Serre-Fresnet képletek, amelyek kapcsolatot teremtenek a természetes tengelyek egységvektorai és a görbe vektorfüggvénye között.

ahol  a pálya görbületi sugara.

A sebesség definícióját és a Serre Frenet képletet felhasználva a következőket kapjuk:

. (5.20)

Jelölve a sebesség vetületét az érintőre és figyelembe véve, hogy a sebességvektor tangenciális irányú, megvan

. (5.21)

Az (5.20) és (5.21) egyenlőségeket összehasonlítva képleteket kapunk a sebességvektor nagyságrendi és irányú meghatározására

Érték pozitív, ha a pont M a pozitív ív referenciairányában mozog sés egyébként negatív.

A gyorsulás definícióját és a Serre Frenet képletet felhasználva a következőket kapjuk:

Jelölje a pontgyorsulás vetületét érintőhöz , fő normál és binormális
illetőleg.

Akkor a gyorsulás az

Az (5.23) és (5.24) képletekből az következik, hogy a gyorsulásvektor mindig az összefüggő síkban fekszik, és az irányokba tágul. És :

(5.25)

Gyorsulás vetítése érintőre
hívott tangens vagy érintőleges gyorsulás. A sebesség nagyságának változását jellemzi.

A gyorsulás vetítése a fő normálisra
hívott normál gyorsulás. A sebességvektor irányú változását jellemzi.

A gyorsulási vektor modulusa egyenlő
.

Ha És egy jel, akkor a pont mozgása felgyorsul.

Ha És különböző előjelekkel, akkor a pont mozgása lassú lesz.

A mechanikai mozgás a pontok és testek térbeli helyzetének időbeli változása bármely fő testhez képest, amelyhez a vonatkoztatási rendszer kapcsolódik. A kinematika a pontok és testek mechanikai mozgását vizsgálja, függetlenül az ezeket a mozgásokat okozó erőktől. Bármely mozgás, akárcsak a pihenés, relatív, és a vonatkoztatási rendszer megválasztásától függ.

Egy pont pályája egy mozgó pont által leírt folytonos egyenes. Ha a pálya egy egyenes, akkor a pont mozgását egyenes vonalúnak, ha pedig görbének nevezzük, akkor görbe vonalúnak. Ha a pálya sík, akkor a pont mozgását laposnak nevezzük.

Egy pont vagy test mozgása adottnak vagy ismertnek tekinthető, ha minden időpillanathoz (t) meg lehet adni a pont vagy test helyzetét a kiválasztott koordinátarendszerhez képest.

Egy pont helyzetét a térben a következő feladat határozza meg:

a) pontpályák;

b) az O 1 távolság leolvasásának kezdete a pálya mentén (11. ábra): s = O 1 M - az M pont görbe vonalú koordinátája;

c) az s távolságok pozitív leolvasásának iránya;

d) egy pont mozgásának egyenlete vagy törvénye egy pálya mentén: S = s(t)

Pont sebessége. Ha egy pont egyenlő időközönként egyenlő távolságot tesz meg, akkor a mozgását egyenletesnek nevezzük. Az egyenletes mozgás sebességét egy pont által meghatározott idő alatt megtett z út és ennek az időtartamnak az arányával mérjük: v = s / 1. Ha egy pont egyenlőtlen időközönként egyenlőtlen utakat tesz meg, akkor mozgását egyenetlennek nevezzük. A sebesség ebben az esetben is változó, és az idő függvénye: v = v(t). Tekintsük az A pontot, amely egy adott pályán egy bizonyos s = s(t) törvény szerint mozog (12. ábra):

A t t időtartamra A az A1 pozícióba került az AA ív mentén. Ha kicsi a Δt időintervallum, akkor az AA 1 ív helyettesíthető húrral, és első közelítésben a pontmozgás átlagsebessége v cp = Ds/Dt. Az átlagsebesség a t. A és t. A 1 húr mentén irányul.

A pont valódi sebessége a pályára érintőlegesen irányul, algebrai értékét pedig az út első időbeli deriváltja határozza meg:

v = limΔs/Δt = ds/dt

A pontsebesség mértékegysége: (v) = hosszúság/idő, pl. m/s. Ha a pont az s görbe vonalú koordináta növekedésének irányába mozog, akkor ds > 0, és ebből v > 0, különben ds< 0 и v < 0.

Pontgyorsulás. Az egységnyi idő alatti sebességváltozást a gyorsulás határozza meg. Tekintsük az A pont mozgását görbe vonalú pálya mentén Δt időben A pozícióból A 1 pozícióba. Az A helyzetben a pont v sebességgel, az A 1 helyzetben pedig v 1 sebességgel rendelkezett (13. ábra). azok. a pont sebessége nagyságban és irányban változott. A geometriai különbséget, a Δv sebességeket úgy találjuk meg, hogy az A pontból v 1 vektort állítunk össze.

Egy pont gyorsulását vektornak nevezzük, amely egyenlő a pont sebességvektorának első deriváltjával az idő függvényében:

A talált a gyorsulásvektor két egymásra merőleges komponensre bontható, kivéve a mozgási pálya érintőjét és normálját. A tangenciális gyorsulás a 1 irányában egybeesik a sebességgel a gyorsított mozgás során, vagy ellentétes azzal a cserélt mozgás során. A sebességérték változását jellemzi, és egyenlő a sebességérték időbeli deriváltjával

Az a normálgyorsulási vektor a görbére merőlegesen a normál mentén a pálya konkávsága felé irányul, és modulja egyenlő a pontsebesség négyzetének és a pálya görbületi sugarának arányával az alatta lévő pontban. megfontolás.

A normál gyorsulás jellemzi a sebesség változását
irány.

Teljes gyorsulás értéke: , m/s 2

A pontmozgás típusai gyorsulástól függően.

Egyenruha egyenes vonalú mozgás (tehetetlenségi mozgás) jellemzője, hogy a mozgás sebessége állandó, a pálya görbületi sugara pedig a végtelen.

Azaz r = ¥, v = const, akkor ; és ezért . Tehát, amikor egy pont tehetetlenséggel mozog, akkor a gyorsulása nulla.

Egyenes vonalú, nem egyenletes mozgás. A pálya görbületi sugara r = ¥, és n = 0, ezért a = a t és a = a t = dv/dt.

Legyen megadva az M pont mozgása vektor módon, azaz a pont sugárvektora az idő függvényében

Egy változó vektor vége által leírt egyenest, amelynek eleje egy adott fix pontban van, e vektor hodográfjának nevezzük. Innen és a pálya definíciójából a következő szabály következik: egy pont pályája a sugárvektorának hodográfja.

Legyen egy pillanatban t a pont elfoglalja az M pozíciót, és van egy sugárvektora, és egy pillanatban - egy pozíció és egy sugárvektor (78. ábra).

Egy vektor, amely összeköti az egymást követő pontpozíciókat a megadottal

pillanatok, az időpont eltolási vektorának nevezzük. Az eltolási vektort az (5) vektorfüggvény értékeivel fejezzük ki:

Ha az eltolási vektort elosztjuk az intervallum értékével, akkor megkapjuk a pont időbeli átlagsebességének vektorát

Most csökkentjük az intervallumot, nullára fordítva. Azt a határt, amelyre az átlagsebességvektor az intervallum korlátlan csökkenésével hajlik, a pont sebességének t pillanatban vagy egyszerűen a 0 pont sebességének nevezzük. A sebességre vonatkozóan elmondottaknak megfelelően a következőt kapjuk:

Tehát egy pont sebességvektora megegyezik a sugárvektorának időbeli deriváltjával:

Mivel a határban (at ) a szekáns érintővé válik, arra a következtetésre jutunk, hogy a sebességvektor tangenciálisan irányul a pályára a pont mozgásának irányában.

Általános esetben egy pont sebessége is változó, és a sebesség változásának sebességére lehet kíváncsi. A sebességváltozás mértékét a pont gyorsulásának nevezzük.

Az a gyorsulás meghatározásához választunk egy fix A pontot, és abból ábrázoljuk az u sebességvektort különböző időpillanatokban.

Az a vonal, amelyet az N sebességvektor vége ír le, a sebességhodográf (79. ábra). A sebességvektor változása abban nyilvánul meg, hogy az N geometriai pont a sebességhodográf mentén mozog, és ennek a mozgásnak a sebessége értelemszerűen az M pont gyorsulásaként szolgál.

1. Egy adott vonatkoztatási rendszerben egy pont mozgásának meghatározására szolgáló módszerek

A pontkinematika fő feladatai:

1. Egy pont mozgásának megadásának módjainak leírása.

2. Egy pont mozgásának kinematikai jellemzőinek (sebesség, gyorsulás) meghatározása egy adott mozgástörvény szerint.

mechanikus mozgás − az egyik test helyzetének megváltozása a másikhoz képest (hivatkozási test), amely egy koordináta-rendszerhez kapcsolódik referenciarendszer .

A vizsgált vonatkoztatási keretben egy mozgó pont egymást követő pozícióinak lokuszát nevezzük röppálya pontokat.

Indítson mozgást − módot ad arra, hogy a kiválasztott vonatkoztatási rendszerhez képest bármely pillanatban meghatározzuk egy pont helyzetét. A pont mozgásának meghatározásának fő módjai a következők:

vektor, koordináta és természetes .

1.Vektoros módja a mozgás beállításának (1. ábra).

A pont helyzetét az abból húzott sugárvektor határozza meg fix pont a referenciatesthez kapcsolódó: − pontmozgás vektoregyenlete.

2. A mozgás beállításának koordinált módja (2. ábra).

Ebben az esetben a pont koordinátáit az idő függvényében adjuk meg:

- pont mozgásegyenletei koordináta alakban.

Ezt és parametrikus egyenletek egy mozgó pont pályái, amelyekben az idő paraméter szerepét tölti be. Ahhoz, hogy egyenletét explicit formában írjuk le, ki kell zárni belőlük. Térbeli pálya esetén, kivéve, a következőt kapjuk:

Lapos pálya esetén

kiküszöbölve kapjuk:

Vagy .

3. A mozgás meghatározásának természetes módja (3. ábra).

Ebben az esetben állítsa be:

1) pontpálya,

2) referenciapont a pályán,

3) pozitív referencia irány,

4) az ívkoordináta változásának törvénye: .

Ez a módszer kényelmesen használható, ha a pont pályája előre ismert.

2. Sebesség és gyorsulási pont

Tekintsük egy pont mozgását egy kis időn keresztül(4. ábra):

Ekkor − egy pont átlagos sebessége egy ideig.

Egy pont sebessége egy adott pillanatban az átlagos sebesség határaként található :

Pontsebesség − a mozgásának kinematikai mértéke, egyenlő e pont sugárvektorának időbeli deriváltja a vizsgált referenciakeretben.

A sebességvektor tangenciálisan irányul a pont mozgási irányú pályájára.

Az átlagos gyorsulás a sebességvektor rövid időn belüli változását jellemzi(5. ábra).

Egy pont gyorsulása egy adott időpontban az átlagos gyorsulás határa :

Pontgyorsulás − sebessége változásának mértéke, egyenlő a deriválttal időben ennek a pontnak a sebességétől vagy az időpont sugárvektorának második deriváltjától .

Egy pont gyorsulása a sebességvektor nagyságrendi és irányú változását jellemzi. A gyorsulásvektor a pálya konkávsága felé irányul.

3. Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása koordináta módon mozgási feladatok

A mozgásmeghatározás vektoros módszere és a koordinátamódszer közötti kapcsolatot a reláció adja meg

(6. ábra).

A sebesség definíciójából:

A koordinátatengelyekre vonatkozó sebességvetületek megegyeznek a megfelelő koordináták időbeli deriváltjaival

, , . .

A modult és a sebesség irányát a következő kifejezések határozzák meg:

Itt és lent a fenti pont az idő függvényében történő differenciálást jelöli

A gyorsulás definíciójából:

A koordinátatengelyekre vonatkozó gyorsulási vetületek megegyeznek a megfelelő koordináták második időbeli deriváltjával:

, , .

A gyorsulás modulját és irányát a következő kifejezések határozzák meg:

, , .

4 Egy pont sebessége és gyorsulása a mozgás meghatározásának természetes módjával

4.1 Természetes tengelyek.

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása természetes mozgásmeghatározási módszerrel

A természetes tengelyek (érintő, főnormál, binormális) egy mozgó derékszögű koordináta-rendszer tengelyei, amelyek origója a mozgó pontban van. Helyüket a mozgás pályája határozza meg. Az érintő (egységvektorral) érintőlegesen az ívkoordináta referencia pozitív irányába irányul, és az átmenő szekáns határhelyzeteként található. adott pont(9. ábra). Egy érintkező sík halad át az érintőn (10. ábra), amelyet a sík határhelyzeteként találunk. p ahogy az M1 pont az M pont felé hajlik. A normálsík merőleges az érintőre. A normál és az összefüggő sík metszésvonala a főnormál. A főnormál egységvektora a pálya konkávsága felé irányul. A binormális (egységvektorral) merőleges az érintőre és a főnormálra úgy, hogy az orts , és a vektorok jobb oldali hármasát alkotják. Koordinátasíkok A bevezetett mozgó koordináta-rendszer (összefüggő, normál és egyenirányító) természetes háromszöget alkot, amely merev testként mozog a mozgó ponttal. Térbeli mozgását a pálya és az ívkoordináta változásának törvénye határozza meg.

A pontsebesség definíciójából

ahol , az érintő egységvektora.

Azután

, .

Algebrai sebesség − a sebességvektor vetítése az ívkoordináta időbeli deriváltjával megegyező érintőre. Ha a derivált pozitív, akkor a pont az ívkoordináta referencia pozitív irányába mozog.

A gyorsulás definíciójából

− irányvektor és

A derivált csak a pálya típusa határozza meg egy adott pont közelében, míg az érintő elfordulási szögét figyelembe véve azt kapjuk, hogy

És miért van rá szükség. Már tudjuk, mi a vonatkoztatási rendszer, a mozgás relativitáselmélete és az anyagi pont. Nos, ideje továbblépni! Itt áttekintjük a kinematika alapfogalmait, összegyűjtjük a leghasznosabb képleteket a kinematika alapjairól, és gyakorlati példát adunk a probléma megoldására.

Oldjuk meg a következő problémát: Egy pont 4 méter sugarú körben mozog. A mozgásának törvényét az S=A+Bt^2 egyenlet fejezi ki. A=8m, B=-2m/s^2. Milyen időpontban normál gyorsulás pont 9 m/s^2? Keresse meg a sebességet, érintőleges és teljes gyorsulás pont erre az időpontra.

Megoldás: tudjuk, hogy a sebesség meghatározásához fel kell venni a mozgástörvény első deriváltját, és a normál gyorsulás egyenlő a sebesség és a kör sugarának privát négyzetével, amelyen a pont mozog. . Ezzel a tudással felvértezve megtaláljuk a kívánt értékeket.

Segítségre van szüksége a problémák megoldásához? Professzionális diákszolgálat készen áll a biztosítására.