Adjuk a kinematika alapképleteit anyagi pont, ezek levezetése és az elmélet bemutatása.

Tartalom

Lásd még: Példa a probléma megoldására (pont mozgásának meghatározására szolgáló koordináta módszer)

Anyagi pont kinematikájának alapképletei

Bemutatjuk az anyagi pont kinematikájának alapképleteit. Ezt követően a levezetésüket és az elmélet bemutatását adjuk meg.

Egy anyag M pont sugárvektora téglalap alakú koordinátarendszerben Oxyz :
,
ahol egységvektorok (orthok) vannak az x, y, z tengelyek irányában.

Pont sebessége:
;
.
.
Mértékegységvektor a pontútvonal érintőjének irányában:
.

Pontgyorsulás:
;
;
;
; ;

Érintő (tangenciális) gyorsulás:
;
;
.

Normál gyorsulás:
;
;
.

Egységvektor a pontpálya görbületi középpontja felé (a főnormál mentén):
.

.

Sugárvektor és pontpálya

Tekintsük egy M anyagi pont mozgását. Egy rögzített téglalap alakú Oxyz koordinátarendszert választunk, amelynek középpontja valamilyen fix O pontban van. Ekkor az M pont helyzetét a koordinátái egyértelműen meghatározzák (x, y, z). Ezek a koordináták az anyagi pont sugárvektorának összetevői.

Az M pont sugárvektora az O rögzített koordinátarendszer origójából az M pontba húzott vektor.
,
hol vannak az egységvektorok az x, y, z tengelyek irányában.

Ahogy a pont mozog, a koordináták idővel változnak. Vagyis ezek az idő függvényei. Aztán az egyenletrendszer
(1)
által adott görbe egyenletének tekinthető parametrikus egyenletek. Egy ilyen görbe egy pont pályája.

Egy anyagi pont pályája az az egyenes, amelyen a pont mozog.

Ha a pont egy síkban mozog, akkor kiválaszthatja a tengelyeket és a koordinátarendszereket úgy, hogy azok ebben a síkban legyenek. Ekkor a pályát két egyenlet határozza meg

Egyes esetekben az idő kizárható ezekből az egyenletekből. Ekkor a pályaegyenletnek meglesz kedves függőség:
,
hol van valami funkció. Ez a függőség csak változókat és . Nem tartalmaz paramétert.

Anyagpont sebesség

Egy anyagi pont sebessége a sugárvektorának időbeli deriváltja.

A sebesség és a derivált definíciója szerint:

Az idő deriváltjait a mechanikában egy pont jelöli a szimbólum felett. Helyettesítse itt a sugárvektor kifejezését:
,
ahol kifejezetten jeleztük a koordináták időfüggőségét. Kapunk:

,
ahol
,
,

- sebesség vetületek a koordináta tengelyekre. Ezeket a sugárvektor összetevőinek időbeli differenciálásával kapjuk meg
.

Ily módon
.
Sebesség modul:
.

Érintő az útvonalhoz

TÓL TŐL matematikai pont nézetben az (1) egyenletrendszer egy paraméteres egyenletekkel adott egyenes (görbe) egyenletének tekinthető. Ebben a tekintetben az idő paraméter szerepet játszik. A tanfolyamról matematikai elemzés ismert, hogy a görbe érintőjének irányvektorának összetevői vannak:
.
De ezek a pontsebességvektor összetevői. Azaz az anyagi pont sebessége érintőlegesen irányul a pályára.

Mindez közvetlenül kimutatható. Legyen a pont az adott pillanatban a sugárvektorral egy pozícióban (lásd az ábrát). És pillanatnyilag - egy sugárvektorral rendelkező helyzetben. Húzzon egyenes vonalat a pontokon keresztül. Definíció szerint az érintő olyan egyenes, amelyre az egyenes hajlamos, amikor .
Bemutatjuk a jelölést:
;
;
.
Ekkor a vektort az egyenes mentén irányítjuk.

Hajlításkor az egyenes az érintőhöz, a vektor pedig a pont időpillanatbeli sebességéhez:
.
Mivel a vektor az egyenes mentén, az egyenes pedig pontban van, akkor a sebességvektor az érintő mentén irányul.
Vagyis az anyagi pont sebességvektora a pálya érintője mentén irányul.

Bemutatjuk egységnyi hossz érintő irányvektor:
.
Mutassuk meg, hogy ennek a vektornak a hossza egyenlő eggyel. Valóban, azóta
, azután:
.

Ekkor a pontsebességvektor a következőképpen ábrázolható:
.

Anyagi pontgyorsulás

Egy anyagi pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja.

Az előzőhöz hasonlóan megkapjuk a gyorsulási összetevőket (gyorsulási vetületeket a koordináta tengelyekre):
;
;
;
.
Gyorsító modul:
.

Érintő (tangenciális) és normál gyorsulások

Most vizsgáljuk meg a gyorsulásvektor irányának kérdését a pályához képest. Ehhez alkalmazza a következő képletet:
.
Differenciáld az idő függvényében a termékdifferenciálási szabály segítségével:
.

A vektor tangenciálisan irányul a pályára. Milyen irányba irányul az idő deriváltja?

A kérdés megválaszolásához azt a tényt használjuk, hogy a vektor hossza állandó és egyenlő eggyel. Ekkor a hosszának négyzete is egyenlő eggyel:
.
Itt és lent a zárójelben lévő két vektor jelöl skaláris szorzat vektorok. Differenciáld az utolsó egyenletet az idő függvényében:
;
;
.
Mivel a és vektorok skaláris szorzata egyenlő nullával, ezek a vektorok merőlegesek egymásra. Mivel a vektor érinti az utat, a vektor merőleges az érintőre.

Az első komponenst érintőleges vagy tangenciális gyorsulásnak nevezzük:
.
A második komponenst normál gyorsulásnak nevezzük:
.
Ekkor a teljes gyorsulás:
(2) .
Ez a képlet a gyorsulás két, egymásra merőleges komponensre bontása - a pálya érintője és az érintőre merőleges.

Azóta
(3) .

Érintő (tangenciális) gyorsulás

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (2) skalár ehhez:
.
Mert akkor. Azután
;
.
Ide tesszük:
.
Innentől egyértelmű, hogy érintőleges gyorsulás egyenlő a teljes gyorsulás vetületével a pálya érintőjének irányára, vagy ami megegyezik, a pont sebességének irányára.

Egy anyagi pont érintőleges (tangenciális) gyorsulása a teljes gyorsulásának vetülete a pálya érintőjének irányára (vagy a sebesség irányára).

A szimbólum azt a tangenciális gyorsulásvektort jelöli, amely a pálya érintője mentén irányul. Ekkor egy skaláris érték egyenlő a teljes gyorsulásnak az érintő irányára vetítésével. Lehet pozitív és negatív is.

Helyettesítve a következőket kínáljuk:
.

Helyettesítsd be a képletben:
.
Azután:
.
Azaz a tangenciális gyorsulás egyenlő a pont sebességi modulusának időbeli deriváltjával. Ily módon érintőleges gyorsulás a pont sebességének abszolút értékének változásához vezet. A sebesség növekedésével a tangenciális gyorsulás pozitív (vagy a sebesség mentén irányul). A sebesség csökkenésével a tangenciális gyorsulás negatív (vagy ellentétes a sebességgel).

Most vizsgáljuk meg a vektort.

Fontolgat egységvektor a pálya érintője. Az origóját a koordinátarendszer origójába helyezzük. Ekkor a vektor vége egységnyi sugarú gömbön lesz. Anyagi pont mozgatásakor a vektor vége ezen a gömbön fog mozogni. Vagyis az eredete körül fog forogni. Legyen a vektor pillanatnyi forgási szögsebessége időben. Ekkor a deriváltja a vektor végének mozgási sebessége. A vektorra merőlegesen irányul. Alkalmazzuk a forgó mozgás képletét. Vektor modulus:
.

Most vegye figyelembe a pont helyzetét két közeli alkalommal. Legyen az adott pillanatban a pont a pozícióban, az idő pillanatában pedig a pozícióban. Legyen és ezekben a pontokban a pályára érintőlegesen irányított egységvektorok. A pontokon keresztül és a vektorokra merőleges síkokat rajzolunk és. Legyen egy egyenes, amelyet ezeknek a síkoknak a metszéspontja alkot. Dobj egy merőlegest egy pontból egy egyenesre. Ha a és a pontok helyzete elég közel van egymáshoz, akkor a pont mozgása a tengely körüli sugarú kör mentén történő forgásnak tekinthető, amely az anyagi pont pillanatnyi forgástengelye lesz. Mivel a és vektorok merőlegesek a és síkra, a síkok közötti szög egyenlő a és a vektorok közötti szöggel. Ekkor a pont tengely körüli pillanatnyi forgási sebessége megegyezik a vektor pillanatnyi forgási sebességével:
.
Itt van a távolság a pontok és a között.

Így megtaláltuk a vektor időderiváltjának modulusát:
.
Amint azt korábban jeleztük, a vektor merőleges a vektorra. A fenti okfejtésből látható, hogy a pálya pillanatnyi görbületi középpontja felé irányul. Ezt az irányt főnormálnak nevezzük.

Normál gyorsulás

Normál gyorsulás

a vektor mentén irányítva. Mint megtudtuk, ez a vektor az érintőre merőlegesen, a pálya pillanatnyi görbületi középpontja felé irányul.
Legyen egy anyagi pontból a pálya pillanatnyi görbületi középpontjába (a főnormál mentén) irányított egységvektor. Azután
;
.
Mivel mindkét vektor és ugyanaz az irány - a pálya görbületi középpontja felé, akkor
.

A képletből (2) nekünk van:
(4) .
A képletből (3) keresse meg a normál gyorsulás modulusát:
.

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (2) skalár ehhez:
(2) .
.
Mert akkor. Azután
;
.
Ez azt mutatja, hogy a normálgyorsulás modulusa megegyezik a teljes gyorsulásnak a főnormál irányára vetített vetületével.

Egy anyagi pont normál gyorsulása a teljes gyorsulásának vetülete a pálya érintőjére merőleges irányra.

Cseréljük le. Azután
.
Azaz a normál gyorsulás a pont sebességének irányváltozását okozza, és ez összefügg a pálya görbületi sugarával.

Innen megtalálja a pálya görbületi sugarát:
.

Végül megjegyezzük, hogy a képlet (4) átírható a következő formában:
.
Itt a képletet alkalmaztuk vektor termék három vektor:
,
amelybe bekeretezték
.

Így kaptunk:
;
.
Tegyük egyenlőségjelet a bal és a jobb oldali rész moduljai között:
.
De a és a vektorok egymásra merőlegesek. Ezért
.
Azután
.
Ez a differenciálgeometriából jól ismert képlet a görbék görbületére.

Lásd még:

Példát veszünk egy probléma megoldására egy pont összetett mozgásával. A pont egyenes vonalban mozog a lemez mentén. A tányér körül forog rögzített tengely. Meghatározzuk a pont abszolút sebességét és abszolút gyorsulását.

Tartalom

A feladat

Egy téglalap alakú lemez egy rögzített tengely körül forog a φ = törvény szerint 6 t 2 - 3 t 3. A φ szög leolvasásának pozitív irányát az ábrákon egy ívnyil jelzi. OO forgástengely 1 a lemez síkjában fekszik (a lemez a térben forog).

Az M pont a BD egyenes mentén mozog a lemez mentén. Relatív mozgásának törvénye adott, azaz az s = AM = függés 40 (t - 2 t 3) - 40(s - centiméterben, t - másodpercben). Távolság b = 20 cm. Az ábrán az M pont abban a helyzetben látható, ahol s = AM > 0 (S-nek< 0 Az M pont az A) pont másik oldalán van.

Határozzuk meg az M pont abszolút sebességét és abszolút gyorsulását t időpontban! 1 = 1 s.

Útvonalak. Ez a feladat az összetett mozgás pontokat. Megoldásához a sebességek összeadásáról és a gyorsulások összeadásáról szóló tételeket kell használni (Coriolis-tétel). Minden számítás elvégzése előtt meg kell határozni a feladat feltételeinek megfelelően, hogy az M pont hol helyezkedik el a lemezen t időpontban 1 = 1 s, és pontosan ebben a helyzetben rajzoljunk egy pontot (és nem az ábrán látható tetszőlegesen a feladatra).

A probléma megoldása

Adott: b= 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40 (t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 s.

Megtalálni: v abs , a abs

Egy pont helyzetének meghatározása

Határozza meg a pont helyzetét a t = t időpontban 1 = 1 s.
s= 40 (t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 1 3) - 40 \u003d -80 cm.
Mert s< 0 , akkor az M pont közelebb van a B ponthoz, mint a D-hez.
|DE| = |-80| = 80 cm.
Rajzot készítünk.

A sebességösszeadás tétele szerint egy pont abszolút sebessége az vektor összege relatív és hordozható sebességek:
.

Egy pont relatív sebességének meghatározása

Határozza meg a relatív sebességet!. Ehhez feltételezzük, hogy a lemez álló helyzetben van, és az M pont adott mozgást végez. Azaz az M pont a BD egyenes mentén mozog. Differenciálva az s-t a t idő függvényében, megkapjuk a sebesség vetületét a BD irányra:
.
t = t időpontban 1 = 1 s,
cm/s.
Mivel , akkor a vektor a BD -vel ellentétes irányba irányul . Vagyis M pontból B pontba. Relatív sebesség modul
v = 200 cm/s.

Egy pont átviteli sebességének meghatározása

A szállítási sebesség meghatározása. Ehhez feltételezzük, hogy az M pont mereven kapcsolódik a lemezhez, és a lemez adott mozgást végez. Vagyis a lemez az OO 1 tengely körül forog. A φ-t a t idő függvényében differenciálva megkapjuk a lemez forgási szögsebességét:
.
t = t időpontban 1 = 1 s,
.
Mivel , akkor a szögsebességvektor a φ pozitív forgásszög felé irányul, vagyis az O pontból az O 1 pontba. Szögsebesség modul:
ω = 3 s -1.
Az ábrán ábrázoljuk a lemez szögsebességének vektorát.

Az M pontból leeresztjük a HM merőlegest az OO 1 tengelyre.
A transzlációs mozgás során az M pont |HM| sugarú kör mentén mozog középpontjában a H pont.
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| sin 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Szállítási sebesség:
v sáv = ω|HM| = 3 100 = 300 cm/s.

A vektor a körhöz érintőlegesen irányul a forgásirányban.

Egy pont abszolút sebességének meghatározása

Határozza meg az abszolút sebességet. Egy pont abszolút sebessége egyenlő a relatív és a transzlációs sebesség vektorösszegével:
.
Rajzolja meg az Oxyz rögzített koordinátarendszer tengelyeit! Irányítsuk a z tengelyt a lemez forgástengelye mentén. Legyen az x tengely a vizsgált időpillanatban merőleges a lemezre, az y tengely a lemez síkjában fekszik. Ekkor a relatív sebességvektor az yz síkban található. Vektor hordozható sebesség az x tengellyel ellentétes irányban. Mivel a vektor merőleges a vektorra, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az abszolút sebesség modulus:
.

Egy pont abszolút gyorsulásának meghatározása

A gyorsulási összeadás tétele (Coriolis-tétel) szerint egy pont abszolút gyorsulása megegyezik a relatív, a transzlációs és a Coriolis-gyorsulások vektorösszegével:
,
ahol
- Coriolis gyorsulás.

A relatív gyorsulás definíciója

Határozza meg a relatív gyorsulást!. Ehhez feltételezzük, hogy a lemez álló helyzetben van, és az M pont adott mozgást végez. Azaz az M pont a BD egyenes mentén mozog. Az s-t kétszer differenciálva a t idővel, megkapjuk a gyorsulás vetületét a BD irányra:
.
t = t időpontban 1 = 1 s,
cm/s 2 .
Mivel , akkor a vektor a BD -vel ellentétes irányba irányul . Vagyis M pontból B pontba. Relatív gyorsulási modul
a from = 480 cm/s 2.
A vektort ábrázoljuk az ábrán.

Translációs gyorsulás definíciója

Határozza meg a hordozható gyorsulást. A transzlációs mozgás során az M pont mereven kapcsolódik a lemezhez, azaz egy |HM| sugarú kör mentén mozog. középpontjában a H pont. Bontsuk fel a hordozható gyorsulást a kör érintőjére és a normál gyorsulásra:
.
φ-t kétszer differenciálva a t időhöz képest, megkapjuk a vetületet szöggyorsulás lemezek tengelyenként OO 1 :
.
t = t időpontban 1 = 1 s,
-2-vel.
Mivel , ekkor a szöggyorsulási vektor a φ pozitív forgásszöggel ellentétes irányba, azaz O 1 pontból O pontba irányul. Szöggyorsulási modul:
ε = 6 s -2.
Az ábrán a lemez szöggyorsulásának vektorát ábrázoljuk.

Hordozható tangenciális gyorsulás:
a τ sáv = ε |HM| \u003d 6 100 \u003d 600 cm/s 2.
A vektor érinti a kört. Mivel a szöggyorsulási vektor a φ pozitív forgásszöggel ellentétes irányban, a φ pozitív forgásiránnyal ellentétes irányban. Vagyis az x tengely felé irányul.

Hordozható normál gyorsulás:
a n sáv = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
A vektor a kör közepe felé irányul. Vagyis az y tengellyel ellentétes irányba.

A Coriolis-gyorsulás definíciója

Coriolis (forgó) gyorsulás:
.
A szögsebesség-vektor a z tengely mentén irányul. A relatív sebességvektor a |DB| egyenes mentén irányul . A vektorok közötti szög az 150°. A vektorszorzat tulajdonsága szerint
.
A vektor irányát a gimlet szabály határozza meg. Ha a kardánfogantyút pozícióból pozícióba fordítja, akkor a kardáncsavar az x tengellyel ellentétes irányba mozdul el.

Az abszolút gyorsulás definíciója

Abszolút gyorsulás:
.
Vetítsük ki ezt a vektoregyenletet a koordinátarendszer xyz tengelyére.

;

;

.
Abszolút gyorsulási modul:

.

Abszolút sebesség;
abszolút gyorsulás.

A mechanikai mozgás a pontok és testek térbeli helyzetének időbeli változása bármely fő testhez képest, amelyhez a vonatkoztatási rendszer kapcsolódik. Kinematikai tanulmányok mechanikus mozgás pontok és testek, függetlenül az ezeket a mozgásokat okozó erőktől. Bármely mozgás, akárcsak a pihenés, relatív, és a vonatkoztatási rendszer megválasztásától függ.

Egy pont pályája egy mozgó pont által leírt folytonos egyenes. Ha a pálya egy egyenes, akkor a pont mozgását egyenes vonalúnak, ha pedig görbének nevezzük, akkor görbe vonalúnak. Ha a pálya sík, akkor a pont mozgását laposnak nevezzük.

Egy pont vagy test mozgása adottnak vagy ismertnek tekinthető, ha minden időpillanathoz (t) meg lehet adni a pont vagy test helyzetét a kiválasztott koordinátarendszerhez képest.

Egy pont helyzetét a térben a következő feladat határozza meg:

a) pontpályák;

b) az O 1 távolság leolvasásának kezdete a pálya mentén (11. ábra): s = O 1 M - az M pont görbe vonalú koordinátája;

c) az s távolságok pozitív leolvasásának iránya;

d) egy pont mozgásának egyenlete vagy törvénye egy pálya mentén: S = s(t)

Pont sebessége. Ha egy pont egyenlő időközönként egyenlő távolságot tesz meg, akkor a mozgását egyenletesnek nevezzük. Az egyenletes mozgás sebességét a pont által meghatározott idő alatt megtett z út és ennek az időtartamnak az arányával mérjük: v = s / 1. Ha egy pont egyenlőtlen időközönként egyenlőtlen utakat tesz meg, akkor mozgását egyenetlennek nevezzük. A sebesség ebben az esetben is változó, és az idő függvénye: v = v(t). Tekintsük az A pontot, amely egy adott pályán egy bizonyos s = s(t) törvény szerint mozog (12. ábra):

A t t időtartamra A az A1 pozícióba került az AA ív mentén. Ha a Δt időintervallum kicsi, akkor az AA 1 ívet egy húrral helyettesíthetjük, és első közelítésben a v cp = Ds/Dt pont átlagos sebessége található meg. Az átlagsebesség a t. A és t. A 1 húr mentén irányul.

A pont valódi sebessége a pályára tangenciálisan irányul, algebrai értékét pedig az út első időbeli deriváltja határozza meg:

v = limΔs/Δt = ds/dt

A pontsebesség mértékegysége: (v) = hosszúság/idő, pl. m/s. Ha a pont az s görbe vonalú koordináta növekedésének irányába mozog, akkor ds > 0, és ebből v > 0, különben ds< 0 и v < 0.

Pontgyorsulás. Az egységnyi idő alatti sebességváltozást a gyorsulás határozza meg. Tekintsük az A pont mozgását görbe vonalú pálya mentén Δt időben A pozícióból A 1 pozícióba. Az A helyzetben a pont v sebességgel, az A 1 helyzetben pedig v 1 sebességgel rendelkezett (13. ábra). azok. a pont sebessége nagyságban és irányban változott. A geometriai különbséget, a Δv sebességeket úgy találjuk meg, hogy az A pontból v 1 vektort állítunk össze.

Egy pont gyorsulását vektornak nevezzük, amely egyenlő a pont sebességvektorának első deriváltjával az idő függvényében:

A talált a gyorsulásvektor két egymásra merőleges komponensre bontható, kivéve a mozgási pálya érintőjét és normálját. A tangenciális gyorsulás a 1 irányában egybeesik a sebességgel a gyorsított mozgás során, vagy ellentétes azzal a cserélt mozgás során. A sebességérték változását jellemzi, és egyenlő a sebességérték időbeli deriváltjával

Az a normálgyorsulási vektor a görbére merőlegesen a normál mentén a pálya konkávsága felé irányul, és modulja egyenlő a pontsebesség négyzetének és a pálya görbületi sugarának arányával az alatta lévő pontban. megfontolás.

A normál gyorsulás jellemzi a sebesség változását
irány.

Teljes gyorsulás értéke: , m/s 2

A pontmozgás típusai gyorsulástól függően.

Egyenruha egyenes vonalú mozgás (tehetetlenségi mozgás) jellemzője, hogy a mozgás sebessége állandó, a pálya görbületi sugara pedig a végtelen.

Azaz r = ¥, v = const, akkor ; és ezért . Tehát, amikor egy pont tehetetlenséggel mozog, akkor a gyorsulása nulla.

Egyenes vonalú, nem egyenletes mozgás. A pálya görbületi sugara r = ¥, és n = 0, ezért a = a t és a = a t = dv/dt.

Pont sebessége.

Térjünk át egy pont kinematikájának második fő problémájának megoldására - a sebesség és a gyorsulás meghatározása a már megadott vektor, koordináta vagy természetes mozgás szerint.

1. A pont sebessége egy vektormennyiség, amely egy pont sebességét és mozgási irányát jellemzi. Az SI rendszerben a sebességet m/s-ban mérik.

a) Sebesség meghatározása a mozgás megadásának vektoros módszerével .

Legyen adott a pont mozgása vektor módon, azaz a (2.1) vektoregyenlet ismert: .

Rizs. 2.6. Egy pont sebességének meghatározása

Hagyj időt Dt pont sugarú vektor Máltal fog változni. Ezután a pont átlagsebessége M alatt Dt vektormennyiségnek nevezzük

Felidézve a származékos definíciót, arra a következtetésre jutunk, hogy:

Itt és a következőkben a jel az időhöz képesti differenciálást jelöli. Amikor törekszik Dt nullázzuk a vektort, és ennek következtében a vektort, forgassuk el a pont körül Més a határértékben esnek egybe a pálya ezen a ponton lévő érintőjével. Ily módon a sebességvektor egyenlő a sugárvektor időbeli első deriváltjával, és mindig érintőlegesen irányul a pont pályájára.

b) Pontsebesség at koordináta módon mozgási feladatok.

Vezessünk le képleteket a sebesség meghatározására a mozgás megadásának koordináta módszerével. A (2.5) kifejezésnek megfelelően a következőket kapjuk:

Mivel a nagyságukban és irányukban állandó egységvektorok deriváltjai nullával egyenlőek, megkapjuk

Egy vektor, mint minden vektor, kifejezhető a vetületeivel:

A (2.6) és (2.7) kifejezések összehasonlításával azt látjuk, hogy a koordináták időbeli deriváltjai jól definiálhatók geometriai jelentése- ezek a sebességvektor vetületei koordináta tengelyek. A vetületek ismeretében könnyen kiszámítható a sebességvektor modulja és iránya (2.7. ábra):

Rizs. 2.7.A sebesség nagyságának és irányának meghatározása

c) Sebesség meghatározása a mozgásbeállítás természetes módjával.

Rizs. 2.8. Pontsebesség természetes mozgás beállítással

A (2.4) szerint

ahol az érintő egységvektora. Ily módon

Érték V=dS/dt algebrai sebességnek nevezzük. Ha dS/dt>0, majd a függvény S = S(t) növekszik és a pont a növekvő ívkoordináta irányába mozog S, azok. a pont pozitív irányba mozog dS/dt<0 , akkor a pont az ellenkező irányba mozog.

2. pont gyorsulás

A gyorsulás egy vektormennyiség, amely a sebességvektor moduljában és irányában bekövetkezett változás sebességét jellemzi. Rendszerben SI-ban mérik a gyorsulást m/s 2 .

a) Gyorsulás meghatározása a mozgásmeghatározás vektoros módszerével .

Legyen a lényeg M akkor t pozícióban van M(t)és van sebessége V(t),és az idő pillanatában t + Dt pozícióban van M(t + Dt)és van sebessége V(t + Dt)(Lásd a 2.9. ábrát).

Rizs. 2.9. Egy pont gyorsulásai a mozgás megadásának vektoros módszerével

Átlagos gyorsulás egy idő alatt Dt a sebesség változásának aránya Dt , azok.

Limit at Dt ® 0 a pont pillanatnyi (vagy egyszerűen gyorsulásának) nevezzük M akkor t

A (2.11) szerint gyorsulás a mozgás megadásának vektoros módszerével egyenlő a sebesség vektoros deriváltjával az idő függvényében.

b). Nál nél gyorsulások a mozgás megadásának koordináta módszerével .

A (2.6)-ot (2.11)-re behelyettesítve és a zárójelben lévő termékeket megkülönböztetve a következőket kapjuk:

Tekintettel arra, hogy az egységvektorok deriváltjai nullával egyenlőek, a következőt kapjuk:

Egy vektort vetületeivel fejezhetünk ki:

A (2.12) és (2.13) összehasonlítása azt mutatja, hogy a koordináták másodszori deriváltjai jól definiált geometriai jelentéssel bírnak: megegyeznek a teljes gyorsulás koordinátatengelyekre vetített vetületeivel, azaz.

A vetületek ismeretében könnyen kiszámítható a teljes gyorsulási modulus és az irányát meghatározó iránykoszinusz:

ban ben). Egy pont gyorsulása a mozgás megadásának természetes módjával

Mutassunk be néhány információt a differenciálgeometriából, amelyek a gyorsulás meghatározásához szükségesek a mozgás megadásának természetes módon.

Legyen a lényeg M valamilyen térbeli görbe mentén mozog. Ennek a görbének minden pontja három, egymásra merőleges irányhoz van társítva (tangenciális, normál és binormális), amelyek egyedileg jellemzik a görbe egy végtelenül kicsi elemének térbeli orientációját az adott pont közelében. Az alábbiakban ezen irányok meghatározásának folyamatát ismertetjük.

Egy görbe érintőjének rajzolása egy pontban M, rajzoljon át rajta és egy közeli ponton M 1 metsző MM 1.

Rizs. 2.10. Egy pont pályájának érintőjének meghatározása

Görbe érintője egy pontban M a szekáns határhelyzeteként definiálva MM 1 miközben egy pontra törekszik M 1 lényegre törő M(2.10. ábra). Az egység érintővektort általában görög betűvel jelöljük.

Rajzoljuk a pontokban a pálya érintőinek egységvektorait MÉs M 1. Mozgassa a vektort egy pontra M(2.11. ábra), és képezzünk egy síkot, amely áthalad ezen a ponton és a vektorokon. Hasonló síkok képződési folyamatának megismétlése pontra törekvés közben M 1 lényegre törő M, a határértékben megkapjuk az úgynevezett síkot összefüggő repülőgép.

Rizs. 2.11. Az érintési sík definíciója

Nyilvánvaló, hogy egy síkgörbe esetében az érintkező sík egybeesik azzal a síkkal, amelyben maga ez a görbe található. Egy ponton áthaladó sík Més az érintőre merőleges abban a pontban ún Normál repülőgép. Az összefüggő és normálsíkok metszéspontja egy egyenest alkot, ún fő normál (2.12. ábra).

Egy anyagi pont mozgásának pályája a sugárvektoron keresztül

Elfelejtve a matematikának ezt a részét, emlékezetem szerint egy anyagi pont mozgásegyenletei mindig is a mindannyiunk számára ismert függőséggel voltak ábrázolva. y(x), és a feladat szövegét elnézve kicsit megdöbbentem, amikor megláttam a vektorokat. Kiderült, hogy létezik egy anyagi pont pályájának ábrázolása a segítségével sugár-vektor- egy vektor, amely megadja egy pont helyzetét a térben valamely előre rögzített ponthoz képest, amelyet origónak nevezünk.

Az anyagi pont pályájának képletét a sugárvektoron kívül ugyanígy írjuk le orts- egységvektorok i, j, k esetünkben egybeesik a koordinátarendszer tengelyeivel. És végül vegyünk egy példát egy anyagi pont pályájának egyenletére (kétdimenziós térben):

Mi az érdekes ebben a példában? A pontmozgás pályáját szinuszok és koszinuszok adják meg, mit gondol, hogyan fog kinézni a gráf az y(x) ismert ábrázolásában? „Valószínűleg valami hátborzongató” – gondoltad, de nem minden olyan nehéz, mint amilyennek látszik! Próbáljuk meg felépíteni az y(x) anyagi pont pályáját, ha az a fent bemutatott törvény szerint mozog:

Itt vettem észre a koszinusz négyzetét, ha bármelyik példában látja a szinusz vagy koszinusz négyzetét, ez azt jelenti, hogy alkalmaznia kell az alapvető trigonometrikus azonosságot, amit meg is tettem (második képlet) és átalakítottam a koordináta képletet y hogy a szinusz helyett a változási képletet cseréljük be x:

Ennek eredményeként egy pont szörnyű mozgástörvénye közönségesnek bizonyult parabola amelynek ágai lefelé irányulnak. Remélem, érti a hozzávetőleges algoritmust az y(x) függőség megalkotására a sugárvektoron keresztüli mozgásábrázolásból. Most pedig térjünk át fő kérdésünkre: hogyan lehet megtalálni egy anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektorát, valamint ezek moduljait.

Anyagpont sebességvektor

Mindenki tudja, hogy egy anyagi pont sebessége a pont által időegység alatt megtett távolság értéke, vagyis a mozgástörvény képletének deriváltja. A sebességvektor megtalálásához meg kell venni a deriváltot az idő függvényében. Nézzünk egy konkrét példát a sebességvektor megtalálására.

Példa a sebességvektor megtalálására

Van egy anyagi pont elmozdulásának törvénye:

Most meg kell vennie ennek a polinomnak a deriváltját, ha elfelejtette, hogyan történik ez, akkor itt van. Ennek eredményeként a sebességvektor így fog kinézni:

Minden könnyebbnek bizonyult, mint gondoltad, most keressük meg egy anyagi pont gyorsulási vektorát a fent bemutatott törvény szerint.

Hogyan találjuk meg egy anyagi pont gyorsulási vektorát

Pontgyorsulási vektor ez egy vektormennyiség, amely egy pont sebességének moduljának és irányának időbeli változását jellemzi. A példánkban szereplő anyagi pont gyorsulási vektorának megtalálásához a deriváltot kell venni, de a fent bemutatott sebességvektor képletből:

Pontsebességvektor modulusa

Most keressük meg egy anyagi pont sebességvektorának modulusát. A 9. osztálytól tudjuk, hogy egy vektor modulusa a hossza, derékszögű derékszögű koordinátákban egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével. És honnan kéred a fent kapott sebességvektorból, hogy vegyük a koordinátáit? Minden nagyon egyszerű:

Most elég csak a feladatban megadott időt helyettesíteni, és egy adott számértéket kapni.

Gyorsulási vektor modulusa

Ahogy a fent leírtakból (és a 9. osztályból) megértetted, a gyorsulásvektor moduljának megtalálása ugyanúgy történik, mint a sebességvektor modulé: a négyzetgyököt kivonjuk a vektor négyzeteinek összegéből. koordináták, minden egyszerű! Nos, itt van egy példa neked:

Mint látható, egy anyagi pont gyorsulása a fent megadott törvény szerint nem függ az időtől, és állandó nagysága és iránya.

További példák a sebesség- és gyorsulásvektor megtalálásának problémájára

És itt találhat példákat a fizika egyéb problémáinak megoldására. És azoknak, akik nem egészen értik, hogyan kell megtalálni a sebesség- és gyorsulásvektort, álljon itt még néhány példa a hálózatból minden extra magyarázat nélkül, remélem, segítenek.

Ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a megjegyzésekben.