A mátrix lényege

1. definíció

A mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely számokat tartalmaz, és bizonyos számú sorral ($m$) és oszloppal ($n$) rendelkezik. A mátrix sorai azok az elemek, amelyek ugyanabban a sorban vannak balról jobbra haladva, az oszlopok pedig azok az elemek, amelyek ugyanabban a sorban vannak fentről lefelé haladva.

Az m és n számok határozzák meg a mátrix sorrendjét (dimenzióját).

A mátrix analógja egy szabályos kétdimenziós táblázat.

Alapműveletek mátrixokkal

A mátrixokon a következő alapvető műveletek hajthatók végre:

Mátrix összeadás;
Egy mátrix szorzása egy számmal;
Mátrixok egymásra szorzása (akkor alkalmazható, ha a mátrixok konzisztensek egymással - vagyis a $A$ mátrixnak annyi oszlopot kell tartalmaznia, mint ahány sor van a $B$ mátrixban);
Mátrix transzpozíció; * Mátrix szorzás oszlopvektorral vagy sorral;
Mátrix determináns számítás.

Általában egy $m\x n$ sorrendű mátrixot a következőképpen írunk fel:

$\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_( 22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(m1) ) & (a_(m2) ) & (...) & (a_(mn) ) \end(array)\right)$ vagy $\left(a_(ij) \right)$ ahol $i=1... m ,j=1..n$.

Ritkábban dupla függőleges vonalakat használnak zárójelek helyett mátrix írásához, például $\left\| a_(ij)\right\| $, ahol $i=1...m,j=1..n$.

Megjegyzés 1

A mátrixbejegyzésből származó $a_(ij)$ számokat mátrixelemeknek nevezzük, ahol $i$ a sorszám, $j$ az oszlopszám.

A mátrix megjelölésére gyakran használják a latin ábécé nagybetűit: $A, B, C$ stb.

1. példa

Adott egy mátrix $A=\left(\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (6) & (-2) \end(array)\right)$

Határozza meg, mekkora a mátrix mérete, és írja ki a mátrix elemeit a számukkal együtt.

Megoldás:

Mátrix rendelés $A$: $2\x 2$.

A mátrix elemei: $a_(11) =1,a_(12) =3,a_(21) =6,a_(22) =-2$.

Többféle mátrix létezik:

Négyzet és téglalap alakú;
Sorvektor és oszlopvektor;
skalár;
Átlós;
Egyszeres és nulla;
Háromszög alakú.

Négyzetes mátrix az $n$ sorrend egy $n\x n$ dimenziójú mátrix, azaz. a sorok és oszlopok száma azonos, azaz a sorokban és oszlopokban lévő elemek száma egyenlő.

Téglalap alakú mátrix$m\x n$ dimenziójú mátrixnak nevezzük, azaz. a sorok és oszlopok száma nem azonos.

Sor vektor egy mátrix, amely csak egy sor elemből áll, azaz. a mátrix dimenziója $1\x n$.

Oszlop vektor egy mátrix, amely csak egy oszlopból áll, azaz. a mátrix mérete: $m\×1$.

skalár csak egy elemet tartalmazó mátrixnak nevezzük, azaz. a mátrix dimenziója $1\×1$.

2. példa

Mátrix adatok:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(tömb)\jobbra), B=\left(\begin(tömb)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(tömb)\jobbra),$ $C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(tömb)\jobbra), D=\ left(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right), F=\left(1\right).$

Megoldás:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(tömb)\jobbra)$ - négyzetmátrix;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(tömb)\jobbra)$ - téglalap alakú mátrix;

$C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(array)\right)$ - oszlopvektor; $D=\left(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right)$ - sorvektor;

$F=\left(1\right)$ egy skalár.

négyzetmátrix fő- és másodlagos átlója van, és:

A főátló elemei egy egyenesen helyezkednek el, amely a mátrix bal felső sarkától ($a_(11)$ elem) a mátrix jobb alsó sarkáig ($a_(nn)$ elem) fut;
A másodlagos átló elemei egy olyan egyenesen helyezkednek el, amely a mátrix jobb felső sarkából ($a_(1n) $ elem) a mátrix bal alsó sarkába ($a_(n1) $ elem) irányul.

Átlós mátrix egy négyzetes mátrix, amelyben a főátlón kívüli összes elem nullával egyenlő.

Identitásmátrix egy átlós mátrix, amelyben a főátlón minden elem egyenlő eggyel, egy ilyen mátrix használható transzponálásra. Az azonosságmátrix jelölése: $E$.

Nulla mátrix egy mátrix, amelynek minden eleme nulla.

háromszög mátrix egy négyzetmátrix, amelynek a főátló alatti vagy feletti elemei nullával egyenlőek.

2. megjegyzés

Vannak felső háromszög alakú és alsó háromszög mátrixok. Az első esetben a nulla elemek a főátló alatt, a második esetben a főátló felett vannak.

3. példa

Mátrix adatok:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(tömb)\jobbra), B=\left(\begin(tömb)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & (3) \end(tömb)\jobbra), C=\left(\begin(tömb)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & (3) \end(tömb)\jobbra), E=\left(\begin(tömb)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) \end(tömb)\jobbra), D=\left(\begin(tömb)( ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \end(tömb)\jobbra).$

Határozza meg az egyes mátrixok típusát!

Megoldás:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(tömb)\jobbra)$ - átlós mátrix;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - alsó háromszögmátrix;

$C=\left(\begin(tömb)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ - felső háromszögmátrix;

$E=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1 ) \end(tömb)\right)$ - azonosságmátrix;

$D=\left(\begin(tömb)(ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0 ) \end(tömb)\jobbra)$ - nulla mátrix.

Ebben a témakörben megvizsgáljuk a mátrix fogalmát, valamint a mátrixok típusait. Mivel sok kifejezés van ebben a témában, hozzáteszem összefoglaló hogy könnyebb legyen eligazodni az anyagban.

A mátrix és elemének meghatározása. Jelölés.

A Mátrix egy táblázat $m$ sorokkal és $n$ oszlopokkal. A mátrix elemei lehetnek teljesen változatos természetű objektumok: számok, változók vagy például más mátrixok. Például a $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ mátrixnak 3 sora és 2 oszlopa van; elemei egész számok. A mátrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & ut & 8\end(array) \right)$ 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz.

A mátrixok írásának különböző módjai: show\hide

A mátrix nem csak kerek zárójelbe írható, hanem szögletes vagy dupla egyenes zárójelbe is. Az alábbiakban ugyanaz a mátrix látható, különböző jelölésekkel:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

A $m\times n$ szorzatot hívják mátrix mérete. Például, ha a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, akkor egy $5\x3$ mátrixról beszélünk. A $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mátrix mérete $3 \x 2$.

A mátrixokat általában a latin ábécé nagybetűivel jelölik: $A$, $B$, $C$ stb. Például: $B=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. A sorszámozás fentről lefelé halad; oszlopok - balról jobbra. Például a $B$ mátrix első sora az 5. és 3. elemet tartalmazza, a második oszlop pedig a 3, -87, 0 elemeket.

A mátrixok elemeit általában kis betűkkel jelöljük. Például az $A$ mátrix elemeit $a_(ij)$ jelöli. A $ij$ kettős index információt tartalmaz az elem mátrixban elfoglalt helyéről. A $i$ szám a sor száma, a $j$ pedig annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az $a_(ij)$ elem található. Például a mátrix második sorának és ötödik oszlopának metszéspontjában $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elem $ a_(25)= 59 USD:

Hasonlóképpen, az első sor és az első oszlop metszéspontjában az $a_(11)=51$ elem van; a harmadik sor és a második oszlop metszéspontjában - az elem $a_(32)=-15$ és így tovább. Ne feledje, hogy az $a_(32)$ „egy három kettő”-ként olvasható, de nem „egy harminckettő”.

A $A$ mátrix rövidített jelölésére, amelynek mérete $m\x n$, a $A_(m\times n)$ jelölést használjuk. Gyakran használják a következő jelöléseket:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Itt az $(a_(ij))$ a $A$ mátrix elemeinek kijelölését jelöli, azaz. azt mondja, hogy a $A$ mátrix elemeit $a_(ij)$-ként jelöljük. Kibontott formában a $A_(m\times n)=(a_(ij))$ mátrix a következőképpen írható fel:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Vessünk be egy másik kifejezést - egyenlő mátrixok.

Két azonos méretű $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrixot hívunk. egyenlő ha a megfelelő elemeik egyenlőek, azaz. $a_(ij)=b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1,n)$ esetén.

Magyarázat a $i=\overline(1,m)$ bejegyzéshez: show\hide

A "$i=\overline(1,m)$" bejegyzés azt jelenti, hogy a $i$ paraméter 1-ről m-re változik. Például a $i=\overline(1,5)$ bejegyzés azt mondja, hogy a $i$ paraméter az 1, 2, 3, 4, 5 értékeket veszi fel.

Tehát a mátrixok egyenlőségéhez két feltétel szükséges: a méretek egybeesése és a megfelelő elemek egyenlősége. Például a $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mátrix nem egyenlő a mátrixszal $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, mert az $A$ mátrix $3\x2$ és a $B$ mátrix $2\szer 2$. Szintén a $A$ mátrix nem egyenlő a $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right mátrixszal. $ mert $a_( 21)\neq c_(21)$ (azaz $0\neq 98$). De a $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mátrixhoz nyugodtan írhatunk $A =F$, mert a $A$ és $F$ mátrixok méretei és megfelelő elemei egybeesnek.

1. példa

Határozza meg a mátrix méretét $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Adja meg, hogy az $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ elemek mivel egyenlők.

Ez a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, így a mérete $5\×3$. A $A_(5\x 3)$ jelölés is használható ehhez a mátrixhoz.

Az $a_(12)$ elem az első sor és a második oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(12)=-2$. Az $a_(33)$ elem a harmadik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(33)=23$. Az $a_(43)$ elem a negyedik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(43)=-5$.

Válasz: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

A mátrixok típusai méretüktől függően. Fő- és oldalátló. Mátrix nyom.

Legyen adott $A_(m\x n)$ mátrix. Ha $m=1$ (a mátrix egy sorból áll), akkor az adott mátrix meghívásra kerül mátrix-sor. Ha $n=1$ (a mátrix egy oszlopból áll), akkor egy ilyen mátrixot hívunk oszlopmátrix. Például a $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ egy sormátrix, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - oszlopmátrix.

Ha a $m\neq n$ feltétel igaz a $A_(m\x n)$ mátrixra (vagyis a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával), akkor gyakran mondják, hogy $A$ egy téglalap alakú mátrix. Például a $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ mátrix mérete: $2\x4 $, azok. 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz. Mivel a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, ez a mátrix téglalap alakú.

Ha a $m=n$ feltétel igaz a $A_(m\x n)$ mátrixra (azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával), akkor $A$ négyzetmátrixnak mondható. rendelni $n$. Például a $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ egy másodrendű négyzetmátrix; A $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ egy 3. rendű négyzetmátrix. BAN BEN Általános nézet a $A_(n\times n)$ négyzetmátrix a következőképpen írható fel:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Az $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ elemekről azt mondjuk, hogy főátló mátrixok $A_(n\times n)$. Ezeket az elemeket ún fő átlós elemek(vagy csak átlós elemek). Az $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ elemek be vannak kapcsolva oldalsó (másodlagos) átlós; hívták őket másodlagos átlós elemek. Például a $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end() mátrixhoz tömb) \right)$ van:

A $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elemek a fő átlós elemek; a $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elemek másodlagos átlós elemek.

A főátlós elemek összegét ún mátrix követiés $\Tr A$ (vagy $\Sp A$) jelöléssel:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Például a $C=\left(\begin(array) (cccc) mátrixhoz 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ van:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Az átlós elemek fogalmát nem négyzetes mátrixoknál is használják. Például a $B=\left(\begin(array) (ccccc) mátrixhoz 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ a fő átlós elemek: $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

A mátrixok típusai elemeik értékétől függően.

Ha a $A_(m\x n)$ mátrix minden eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. nullaés általában $O$ betűvel jelöljük. Például: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (cc) A 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ nulla mátrixok.

Tekintsük a $A$ mátrix néhány nem nulla sorát, azaz. egy karakterlánc, amely legalább egy nullától eltérő elemet tartalmaz. vezető elem egy nem nulla karakterlánc, nevezzük az első (balról jobbra számolva) nem nulla elemnek. Vegyük például a következő mátrixot:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

A második sorban a negyedik elem lesz a vezető, azaz. $w_(24)=12$, és a harmadik sorban a vezető elem lesz a második elem, azaz. $w_(32)=-9$.

A $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ mátrixot hívjuk lépett ha két feltételnek eleget tesz:

A nulla sorok, ha vannak, az összes nem nulla sor alatt találhatók.
A nem nulla karakterláncok vezető elemeinek száma szigorúan növekvő sorozatot alkot, azaz. ha $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ a $A$ mátrix nullától eltérő sorainak vezető elemei, akkor $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt( k_r)$.

Példák lépésmátrixokra:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(tömb)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(tömb)\jobbra). $$

Összehasonlításképpen: $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & mátrix A 6\end(array)\right)$ nem lépésmátrix, mivel a lépésmátrix definíciójának második feltétele sérül. A második és harmadik sorban a $q_(24)=7$ és $q_(32)=10$ bevezető elemek $k_2=4$ és $k_3=2$ számozásúak. Lépésmátrix esetén a $k_2\lt(k_3)$ feltételnek teljesülnie kell, ami ebben az esetben megsérül. Megjegyzem, ha felcseréljük a második és harmadik sort, akkor egy lépcsős mátrixot kapunk: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

A lépésmátrix az ún trapéz alakú vagy trapéz alakú, ha a $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ vezető elemek teljesítik a $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r feltételeket = r$, azaz átlós elemek vezetnek. Általában a trapézmátrix a következőképpen írható fel:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Példák trapézmátrixokra:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(tömb)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(tömb)\jobbra). $$

Adjunk még néhány definíciót a négyzetmátrixokra. Ha minden elem négyzetmátrix a főátló alatt található nullával egyenlő, akkor egy ilyen mátrixot hívnak felső háromszög mátrix. Például: $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - felső háromszögmátrix. Vegye figyelembe, hogy a felső háromszögmátrix meghatározása nem mond semmit a főátló felett vagy a főátlón található elemek értékeiről. Lehet, hogy nullák, de lehet, hogy nem, nem számít. Például a $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ szintén egy felső háromszögmátrix.

Ha egy négyzetes mátrixnak a főátló felett elhelyezkedő összes eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. alsó háromszögmátrix. Például: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alsó háromszögmátrix. Vegye figyelembe, hogy az alsó háromszögmátrix meghatározása nem mond semmit a főátló alatt vagy azon lévő elemek értékeiről. Lehet, hogy nullák, de lehet, hogy nem, nem számít. Például $\left(\begin(tömb) (cccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ és $\left(\ kezd (tömb) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ szintén alsó háromszögmátrixok.

A négyzetmátrixot ún átlós ha ennek a mátrixnak minden olyan eleme, amely nincs a főátlón, egyenlő nullával. Példa: $\left(\begin(tömb) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(tömb)\jobbra)$. A főátlón lévő elemek bármiek lehetnek (nullával egyenlőek vagy nem) – ez nem lényeges.

Az átlós mátrixot ún egyetlen ha ennek a mátrixnak a főátlón található összes eleme egyenlő 1-gyel. Például $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4. sorrendű azonosságmátrix; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ a másodrendű azonosságmátrix.

Manapság ez tényleg túl egyszerű: odasétálhat a számítógéphez, és anélkül, hogy bármit vagy egyáltalán nem tud arról, hogy mit csinál, valóban elképesztő gyorsasággal alkothat értelmes és értelmetlen dolgokat. (J. Box)

Mátrix alapok

Ebben a részben a statisztikák megértéséhez és az adatok elemzéséhez szükséges mátrixokról nyújtunk alapvető információkat.

méretű mátrixm x n (olvas m a n) téglalap alakú számtáblázatnak nevezzük, amely tartalmazzam vonalak és n oszlopok.

A mátrixot alkotó számokat mátrixelemeknek nevezzük.

A mátrixokat a latin ábécé nagybetűi (nagybetűi) jelölik, például, A, B, C,….

A mátrixelemeket kisbetűkkel, kettős indexszel jelöljük, például: aij , ahol én - sorszám, j- oszlopszám.

Például mátrix:

Rövidített jelöléssel jelöljük A =( aij) ; én=1,2,…m; j =1,2,…,n

Íme egy példa egy 2:2 mátrixra:

Látod, hogy a 11 = 1, a 12 = 0, a 21 = 2, a 22 =5

A zárójelek mellett más mátrixjelöléseket is használnak:

Két azonos méretű A és B mátrixot nevezünk egyenlő ha elemről elemre egyeznek, aij = b ij bármilyen én=1,2,…m; j =1,2,…n

A mátrixok típusai

Az egy sorból álló mátrixot mátrixnak (vektornak) - sornak, egy oszlopból - mátrixnak (vektornak) - oszlopnak nevezik:

A =(a 11 ,a 12 ,…,a 1n) - mátrix - sor

A mátrixot négyzetnek nevezik n sorrendben, ha a sorok száma megegyezik az oszlopok számával és egyenlő n.

Például,

Mátrix elemek aij , amelynek oszlopszáma sorszámmal egyenlő forma főátló mátrixok. Négyzetes mátrix esetén a főátlót az elemek alkotják egy 11, egy 22,…, Ann.

Ha egy négyzetes mátrix minden átlón kívüli bejegyzése nulla, akkor a mátrix meghívásra kerül átlós.

Mátrix műveletek

A mátrixokon és a számokon is számos műveletet lehet végrehajtani, amelyek egy része hasonlít a számokkal végzett műveletekhez, néhány pedig specifikus.

1. Mátrix szorzása számmal. Az A mátrix számmal való szorzatát B=A mátrixnak nevezzük, melynek elemei bij=aij számára i=1,2,…m; j=1,2,…n

Következmény: Az összes mátrixelem közös tényezője kivehető a mátrix előjelből.

Különösen az A mátrix és a 0 szorzata egy nulla mátrix.

2. Mátrix összeadás. Két azonos m méretű A és B mátrix összege a C \u003d A + B mátrix, melynek elemei c ij =a ij +b ij számára i=1,2,…m; j=1,2,…n(azaz a mátrixokat elemenként adjuk hozzá).

3. Mátrix kivonás. Két azonos méretű mátrix különbségét az előző műveletekkel határozzuk meg: A -B =A +(-1)∙B .

4. Mátrixszorzás. Az A mátrix szorzata B mátrixszal akkor van meghatározva, ha az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. Ekkor az A m ∙ B k mátrixok szorzata egy olyan C m mátrix, amelynek minden eleme cij egyenlő az A mátrix i-edik sora elemeinek és a j- megfelelő elemeinek szorzatával. a B mátrix oszlopa:

én=1,2,…,m; j=1,2,…,n

A számokkal végzett műveletekben rejlő számos tulajdonság a mátrixokkal végzett műveletekre is érvényes (ami ezekből a műveletekből következik):

A+B=B+A

(A+B)+C=A +(B+C)

λ (A+B)= λA + λB

A( B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA )B=A(λB )

A( BC)=(AB)C

A mátrixoknak azonban vannak sajátos tulajdonságai is. Tehát a mátrixszorzás művelete némileg eltér a számok szorzásától:

a) Ha AB létezik, akkor a tényezők átrendezése után előfordulhat, hogy a BA mátrixszorzat nem létezik.

Ez a témakör olyan műveletekkel foglalkozik, mint a mátrixok összeadása és kivonása, mátrix szorzása számmal, mátrix szorzása mátrixszal, mátrixtranszponálás. Az ezen az oldalon használt összes szimbólum az előző témakörből származik.

Mátrixok összeadása és kivonása.

A $A_(m\x n)=(a_(ij))$ és $B_(m\x n)=(b_(ij))$ mátrixok $A+B$ összege a $C_(m) \times n) =(c_(ij))$, ahol $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline( 1,n) $.

Hasonló definíciót vezetünk be a mátrixok különbségére:

A $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrixok $AB$ különbsége a $C_(m\times n)=( c_(ij))$, ahol $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1, n)$.

Magyarázat a $i=\overline(1,m)$ bejegyzéshez: show\hide

Érdemes megjegyezni, hogy az összeadási és kivonási műveletek csak azonos méretű mátrixokra vannak definiálva. Általánosságban elmondható, hogy a mátrixok összeadása és kivonása olyan műveletek, amelyek intuitív módon egyértelműek, mert valójában csak a megfelelő elemek összegzését vagy kivonását jelentik.

1. példa

Három mátrixot adunk meg:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Megtalálható a $A+F$ mátrix? Keresse meg a $C$ és a $D$ mátrixokat, ha $C=A+B$ és $D=A-B$.

Az $A$ mátrix 2 sort és 3 oszlopot tartalmaz (más szóval a $A$ mátrix mérete $2\x 3$), az $F$ mátrix pedig 2 sort és 2 oszlopot tartalmaz. A $A$ és $F$ mátrix méretei nem egyeznek, ezért nem tudjuk összeadni, i.e. a $A+F$ művelet ezekhez a mátrixokhoz nincs definiálva.

A $A$ és $B$ mátrixok mérete megegyezik, i.e. mátrix adatok tartalmazzák egyenlő mennyiségben sorok és oszlopok, így az összeadási művelet alkalmazható rájuk.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(tömb) ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(tömb) \jobbra) $$

Keresse meg a $D=A-B$ mátrixot:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Válasz: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Egy mátrix szorzása egy számmal.

A $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és a $\alpha$ szám szorzata a $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrix, ahol $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1,n)$ esetén.

Egyszerűen fogalmazva, egy mátrixot valamilyen számmal megszorozni azt jelenti, hogy az adott mátrix minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal.

2. példa

Adott egy mátrix: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Keresse meg a $3\cdot A$, $-5\cdot A$ és $-A$ mátrixokat.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(tömb) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(tömb) \right) =\left(\begin( tömb) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (tömb) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(tömb) \jobbra). $$

A $-A$ jelölés a $-1\cdot A$ rövidítése. Azaz a $-A$ megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix összes elemét (-1)-gyel. Valójában ez azt jelenti, hogy a $A$ mátrix összes elemének előjele az ellenkezőjére változik:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Válasz: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(tömb) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Két mátrix szorzata.

Ennek a műveletnek a meghatározása nehézkes és első pillantásra érthetetlen. Ezért először leszögezem általános meghatározás, majd részletesen elemezzük, mit jelent, és hogyan kell vele dolgozni.

A $A_(m\szer n)=(a_(ij))$ és a $B_(n\szor k)=(b_(ij))$ szorzata a $C_(m\x k mátrix )=(c_( ij))$, amelyre minden $c_(ij)$ elem egyenlő a megfelelő elem szorzatainak összegével. i-edik elemek a $A$ mátrix sorai a $B$ mátrix j-edik oszlopának elemeivel: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Lépésről lépésre elemezzük a mátrixok szorzását egy példa segítségével. Azonban azonnal figyelni kell arra, hogy nem minden mátrix szorozható. Ha meg akarjuk szorozni az $A$ mátrixot a $B$ mátrixszal, akkor először meg kell győződnünk arról, hogy a $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a $B$ mátrix sorainak számával (az ilyen mátrixokat gyakran ún. egyetért). Például a $A_(5\x4)$ mátrix (a mátrix 5 sort és 4 oszlopot tartalmaz) nem szorozható meg a $F_(9\x 8)$ mátrixszal (9 sor és 8 oszlop), mivel a az $A $ mátrix nem egyenlő az $F$ mátrix sorainak számával, azaz. 4 USD\negy 9 USD. De meg lehet szorozni a $A_(5\x 4)$ mátrixot a $B_(4\x 9)$ mátrixszal, mivel a $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a mátrix sorainak számával. $B$ mátrix. Ebben az esetben a $A_(5\x 4)$ és $B_(4\x 9)$ mátrixok szorzatának eredménye a $C_(5\x 9)$ mátrix, amely 5 sort és 9 oszlopot tartalmaz:

3. példa

Adott mátrixok: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (tömb) \jobbra)$ és $ B=\left(\begin(tömb) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(tömb) \jobbra) $. Keresse meg a $C=A\cdot B$ mátrixot.

Először azonnal meghatározzuk a $C$ mátrix méretét. Mivel az $A$ mátrix mérete $3\x4$ és a $B$ mátrix mérete $4\x 2$, a $C$ mátrix mérete $3\x 2$:

Tehát a $A$ és $B$ mátrixok szorzatának eredményeként a három sorból és két oszlopból álló $C$ mátrixot kell kapnunk: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(tömb) \jobbra)$. Ha az elemek megnevezése kérdéseket vet fel, akkor nézze meg az előző témát: "Mátrixok. Mátrixok típusai. Alapfogalmak", melynek elején a mátrixelemek jelölését ismertetjük. Célunk, hogy megtaláljuk a $C$ mátrix összes elemének értékét.

Kezdjük a $c_(11)$ elemmel. A $c_(11)$ elem megszerzéséhez meg kell találni a $A$ mátrix első sora és a $B$ mátrix első oszlopa elemeinek szorzatának összegét:

Magának a $c_(11)$ elemnek a megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix első sorának elemeit a $B$ mátrix első oszlopának megfelelő elemeivel, azaz. az első elemet az elsőhöz, a másodikat a másodikhoz, a harmadikat a harmadikhoz, a negyediket a negyedikhez. Összefoglaljuk a kapott eredményeket:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Folytassuk a megoldást, és keressük meg a $c_(12)$-t. Ehhez meg kell szorozni a $A$ mátrix első sorának és a $B$ mátrix második oszlopának elemeit:

Az előzőhöz hasonlóan nálunk is van:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

A $C$ mátrix első sorának minden eleme megtalálható. Áttérünk a második sorra, amely a $c_(21)$ elemmel kezdődik. Ennek megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix második sorának és a $B$ mátrix első oszlopának elemeit:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

A következő $c_(22)$ elemet úgy kapjuk meg, hogy a $A$ mátrix második sorának elemeit megszorozzuk a $B$ mátrix második oszlopának megfelelő elemeivel:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

A $c_(31)$ meghatározásához megszorozzuk a $A$ mátrix harmadik sorának elemeit a $B$ mátrix első oszlopának elemeivel:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

És végül a $c_(32)$ elem megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix harmadik sorának elemeit a $B$ mátrix második oszlopának megfelelő elemeivel:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

A $C$ mátrix minden eleme megtalálható, csak fel kell írni, hogy $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \jobbra)$ . Vagy, hogy teljes egészében írja le:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(tömb) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(tömb) \jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(tömb) \jobbra) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Válasz: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Egyébként sokszor nincs ok arra, hogy az eredménymátrix egyes elemeinek helyét részletesen leírjuk. Kis méretű mátrixok esetén a következőket teheti:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 és 90 \end(tömb) \jobbra) =\left(\begin(tömb) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív. Ez azt jelenti, hogy általában $A\cdot B\neq B\cdot A$. Csak bizonyos típusú mátrixokhoz, amelyek ún permutációs(vagy ingázás), a $A\cdot B=B\cdot A$ egyenlőség igaz. A szorzás nem kommutativitásán alapul, hogy pontosan meg kell jelölni, hogyan szorozzuk meg a kifejezést egyik vagy másik mátrixszal: a jobb vagy a bal oldalon. Például a "szorozzuk meg a $3EF=Y$ egyenlőség mindkét oldalát a jobb oldali $A$ mátrixszal" kifejezés azt jelenti, hogy a következő egyenlőséget szeretné megkapni: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

A $A_(m\x n)=(a_(ij))$ mátrixhoz képest transzponálva a $A_(n\x m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, olyan elemekre, ahol $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Egyszerűen fogalmazva, ahhoz, hogy megkapjuk a transzponált $A^T$ mátrixot, ki kell cserélni az eredeti $A$ mátrix oszlopait a megfelelő sorokra a következő elv szerint: megvolt az első sor - az első oszlop lesz; volt egy második sor - a második oszlop lesz; volt egy harmadik sor - lesz egy harmadik oszlop és így tovább. Például keressük meg a transzponált mátrixot a $A_(3\x 5)$ mátrixba:

Ennek megfelelően, ha az eredeti mátrix mérete $3\x5$, akkor a transzponált mátrix mérete $5\x 3$.

A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága.

Itt feltételezzük, hogy a $\alpha$, $\beta$ néhány szám, a $A$, $B$, $C$ pedig mátrixok. Az első négy ingatlannál feltüntettem a neveket, a többit az első négyhez hasonló módon nevezhetjük el.

1. definíció. Mátrix A méretm n egy m sorból és n oszlopból álló téglalap alakú táblázat, amely számokból vagy más matematikai kifejezésekből (úgynevezett mátrixelemekből) áll, i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, vagy

2. definíció. Két mátrix
És
azonos méretűek nevezik egyenlő, ha elemenként egyeznek, azaz. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

A mátrixok segítségével könnyen fel lehet írni néhány gazdasági függőséget, például a gazdaság egyes ágazataira vonatkozó erőforrás-eloszlási táblázatokat.

3. definíció. Ha a mátrixsorok száma megegyezik az oszlopainak számával, azaz. m = n, akkor a mátrixot hívjuk négyzetes rendn, másképp négyszögletes.

4. definíció. Az A mátrixról az A m mátrixra való átmenetet, amelyben a sorok és oszlopok felcserélődnek a sorrend megőrzésével, ún. átültetése mátrixok.

Mátrixok típusai: négyzet (33-as méret) -
,

téglalap alakú (25 méret) -
,

átlós -
, egyedülálló -
, nulla -
,

mátrix sor -
, mátrix-oszlop -.

5. definíció. Az n rendű négyzetmátrix azonos indexű elemeit a főátló elemeinek nevezzük, azaz. ezek az elemek:
.

6. definíció. Az n rendű négyzetmátrix elemeit másodlagos átlóelemeknek nevezzük, ha indexeik összege n + 1, azaz. ezek az elemek: .

1.2. Műveletek mátrixokon.

1 0 . összeg két mátrix
És
Az azonos méretű mátrixot С = (с ij) mátrixnak nevezzük, melynek elemeit ij = a ij + b ij egyenlőség határozza meg, (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

A mátrixösszeadás működésének tulajdonságai.

Bármilyen A,B,C mátrixok azonos méretű, a következő egyenlőségek teljesülnek:

1) A + B = B + A (kommutativitás),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asszociativitás).

2 0 . munka mátrixok
számonként  mátrixnak nevezzük
akkora, mint az A mátrix, és b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

(А) = ()А (a szorzás asszociativitása);

(А+В) = А+В (a szorzás eloszlása a mátrixösszeadáshoz képest);

(+)A = A+A (a szorzás eloszlása a számok összeadása tekintetében).

7. definíció. Mátrixok lineáris kombinációja
És
Az azonos méretű A + B alakú kifejezésnek nevezzük, ahol  és  tetszőleges számok.

3 0 . A termék  Mátrixokban Az mn, illetve nk méretű A-t és B-t mk méretű C mátrixnak nevezzük úgy, hogy az ij elem egyenlő az i-edik sor elemeinek szorzatának összegével. Az A mátrix és a B mátrix j-edik oszlopa, azaz ahol ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Az AB szorzat csak akkor létezik, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával.

A mátrixszorzás működésének tulajdonságai:

(АВ)С = А(ВС) (asszociativitás);

(А+В)С = АС+ВС (eloszlás a mátrixösszeadás tekintetében);

А(В+С) = АВ+АС (eloszlás a mátrixösszeadás tekintetében);

АВ  ВА (nem kommutativitás).

8. definíció. Az A és B mátrixokat, amelyeknél AB = BA, ingázásnak vagy permutációnak nevezzük.

Egy tetszőleges sorrendű négyzetmátrix megszorzása a megfelelő azonosságmátrixszal nem változtatja meg a mátrixot.

9. definíció. Elemi átalakulások A mátrixokat a következő műveleteknek nevezzük:

Cseréljen két sort (oszlopot).

Szorozzuk meg egy sor (oszlop) minden elemét egy nullától eltérő számmal.

Egy sor (oszlop) elemeihez egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeinek hozzáadása.

10. definíció. Az A mátrixból elemi transzformációk segítségével kapott B mátrixot ún egyenértékű(BA jelöléssel).

1.1. példa. Megtalálni lineáris kombináció 2A–3B mátrixok, ha

,
.

,
,

Példa 1.2. Keresse meg a mátrixok szorzatát
, ha

Megoldás: mivel az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával, akkor létezik a mátrixszorzat. Ennek eredményeként egy új mátrixot kapunk
, ahol

Ennek eredményeként azt kapjuk
.

2. előadás. Determinánsok. Másod-, harmadrendű determinánsok számítása. Minősítő tulajdonságain- a sorrend.