A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága.
Mátrix kifejezések

És most a téma folytatása következik, amelyben nem csak új anyag, de dolgozunk mátrixműveletek.

A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága

Jó néhány tulajdonság kapcsolódik a mátrixokkal végzett műveletekhez, ugyanabban a Wikipédiában megcsodálhatjuk a megfelelő szabályok karcsú rangját. A gyakorlatban azonban sok ingatlan bizonyos értelemben „halott”, hiszen csak néhányat használnak fel valódi problémák megoldása során. Célom, hogy konkrét példákkal szemléljem a tulajdonságok alkalmazását, és ha szigorú elméletre van szükséged, kérlek használj más információforrást.

Fontolja meg néhányat kivételek a szabály alól gyakorlati feladatok elvégzéséhez szükséges.

Ha egy négyzetmátrix rendelkezik inverz mátrix, akkor a szorzásuk kommutatív:

identitásmátrix négyzetmátrixnak nevezzük főátló egységek vannak elhelyezve, a többi elem pedig nullával egyenlő. Például: , stb.

Ahol a következő tulajdonság igaz: ha egy tetszőleges mátrixot megszorozunk balra vagy jobbra megfelelő méretű identitásmátrix segítségével, akkor az eredmény az eredeti mátrix:

Mint látható, a mátrixszorzás kommutativitása itt is megtörténik.

Vegyünk egy mátrixot, mondjuk az előző feladat mátrixát: .

Az érdeklődők ellenőrizhetik és megbizonyosodhatnak a következőkről:

A mátrixok azonossági mátrixa a számok numerikus egységének analógja, ami különösen jól látható az imént tárgyalt példákból.

Numerikus tényező kommutativitása a mátrixszorzáshoz képest

Mátrixokhoz és valós szám a következő tulajdonság igaz:

Vagyis a numerikus tényezőt előre lehet (és kell is) tolni, hogy „ne zavarja” a mátrixok szorzását.

jegyzet : Általánosságban elmondható, hogy a tulajdonság megfogalmazása hiányos - a "lambda" bárhol elhelyezhető a mátrixok között, még a végén is. A szabály érvényben marad, ha három vagy több mátrixot szorozunk.

4. példa

Termék kiszámítása

Megoldás:

(1) Vagyon szerint mozgassa előre a numerikus tényezőt. Maguk a mátrixok nem rendezhetők át!

(2) - (3) Végezze el a mátrixszorzást.

(4) Itt minden számot eloszthat 10-zel, de akkor a mátrix elemei között ott lesz tizedesjegyek ami nem jó. Azonban észrevesszük, hogy a mátrixban szereplő összes szám osztható 5-tel, ezért minden elemet megszorozunk -vel.

Válasz:

Egy kis szurkolás, amit egyedül kell megoldani:

5. példa

Számold ki, ha

Megoldás és válasz a lecke végén.

Milyen technika fontos a megoldás során hasonló példák? Számokkal való foglalkozás utolsó .

Csatlakoztassunk még egy kocsit a mozdonyhoz:

Hogyan kell szorozni három mátrixot?

Először is, MI legyen három mátrix szorzása? A macska nem szül egeret. Ha a mátrixszorzás megvalósítható, akkor az eredmény is mátrix lesz. Nos, az algebratanárom nem látja, hogyan magyarázzam el az algebrai szerkezet zártságát az elemeihez képest =)

Három mátrix szorzata kétféleképpen számítható ki:

1) keresse meg és szorozza meg a "ce" mátrixot: ;

2) vagy először keresse meg, majd hajtsa végre a szorzást.

Az eredmények szükségszerűen egybeesnek, és elméletileg ezt a tulajdonságot a mátrixszorzás asszociativitásának nevezzük:

6. példa

Szorozza meg a mátrixokat kétféleképpen

Algoritmus megoldásokat kétlépéses: keressük meg két mátrix szorzatát, majd ismét keressük meg két mátrix szorzatát.

1) Használja a képletet

Első akció:

Második akció:

2) Használja a képletet

Első akció:

Második akció:

Válasz:

Ismertebb és standardabb persze az első megoldási mód, ott "mintha minden rendben lenne". Egyébként a sorrendről. A vizsgált feladatban gyakran felmerül az az illúzió, hogy a mátrixok valamiféle permutációjáról beszélünk. Nincsenek itt. Ismét emlékeztetlek rá általában NE CSERÉLJE KI A MÁTRIXOKAT. Tehát a második bekezdésben, a második lépésben elvégezzük a szorzást, de semmi esetre sem. Közönséges számokkal egy ilyen szám megfelelne, de mátrixokkal nem.

A szorzás asszociativitásának tulajdonsága nem csak négyzetre, hanem tetszőleges mátrixokra is érvényes - mindaddig, amíg megszorozzuk őket:

7. példa

Keresse meg három mátrix szorzatát!

Ez egy „csináld magad” példa. A mintamegoldásban a számításokat kétféleképpen végeztük el, elemezzük, melyik a jövedelmezőbb és a rövidebb út.

A mátrixszorzás asszociativitásának tulajdonsága több tényezőre érvényesül.

Most itt az ideje, hogy visszatérjünk a mátrixok hatványaihoz. A mátrix négyzetét már a legelején megfontolják, és napirenden van a kérdés:

Hogyan lehet kocka mátrixot és magasabb erőket?

Ezek a műveletek is csak a számára vannak meghatározva négyzetes mátrixok. A négyzetmátrix kockává emeléséhez ki kell számítania a szorzatot:

Valójában ez egy speciális esete három mátrix szorzásának, a mátrixszorzás asszociativitási tulajdonsága szerint: . És egy mátrix önmagával szorozva a mátrix négyzete:

Így megkapjuk a munkaképletet:

Vagyis a feladatot két lépésben hajtják végre: először a mátrixot négyzetre kell emelni, majd a kapott mátrixot meg kell szorozni a mátrixszal.

8. példa

Emelje fel a mátrixot kockává.

Ez egy kis probléma, amelyet egyedül kell megoldani.

A mátrix negyedik hatványra emelése természetes módon történik:

A mátrixszorzás asszociativitását felhasználva két munkaképletet származtatunk. Először is: három mátrix szorzata.

egy) . Más szóval, először megtaláljuk, majd megszorozzuk a „legyen”-vel - kapunk egy kockát, és végül ismét végrehajtjuk a szorzást - lesz egy negyedik fokozat.

2) De van egy lépéssel rövidebb megoldás: . Azaz első lépésben megkeressük a négyzetet, és a kockát megkerülve végrehajtjuk a szorzást

További feladat a 8. példához:

Emelje fel a mátrixot a negyedik hatványra.

Amint az imént említettük, ez kétféleképpen történhet:

1) Amint a kocka ismert, végrehajtjuk a szorzást.

2) Ha azonban a feladat feltétele szerint szükséges egy mátrix felépítése csak a negyedik fokon, akkor előnyös az útvonal lerövidítése - keresse meg a mátrix négyzetét és használja a képletet.

Mindkét megoldás és a válasz a lecke végén található.

Hasonlóképpen, a mátrix az ötödikre vagy többre emelkedik magas fokok. Gyakorlati tapasztalatból elmondhatom, hogy néha van példa a 4. fokozatra való emelésre, de nem emlékszem már az ötödik fokozatra. De minden esetre megadom az optimális algoritmust:

1) találni;
2) találni ;
3) emeljük a mátrixot ötödik hatványra: .

Itt van talán a mátrixműveletek összes főbb tulajdonsága, amely hasznos lehet gyakorlati problémák megoldásában.

Az óra második részében nem kevésbé színes buli várható.

Mátrix kifejezések

Ismételjük meg a szokásos iskolai kifejezéseket számokkal. A numerikus kifejezés számokból, matematikai szimbólumokból és zárójelekből áll, például: . A számításoknál az ismert algebrai prioritás érvényesül: először a zárójelben, majd kivégezték a gyökerek hatványozása / kivonása, Azután szorzás / osztásés végül - összeadás / kivonás.

Ha egy numerikus kifejezésnek van értelme, akkor kiértékelésének eredménye egy szám, például:

Mátrix kifejezések majdnem pontosan ugyanaz! Azzal a különbséggel, hogy a fő szereplők mátrixok jelennek meg. Plusz néhány speciális mátrixművelet, mint például a transzponálás és a mátrix inverzének megtalálása.

Tekintsük a mátrix kifejezést , hol van néhány mátrix. Ennek a mátrixkifejezésnek három tagja van, és az összeadás/kivonás műveletek végrehajtása utoljára történik.

Az első tagban először transzponálnia kell a "be" mátrixot: , majd végre kell hajtania a szorzást, és hozzáadnia kell a "kettőt" a kapott mátrixhoz. vegye figyelembe, hogy a transzponálási műveletnek nagyobb a prioritása, mint a szorzási műveletnek. A zárójelek, mint a numerikus kifejezéseknél, megváltoztatják a műveletek sorrendjét: - itt először szorzás történik, majd a kapott mátrixot transzponáljuk és megszorozzuk 2-vel.

A második tagban először a mátrixszorzás történik, és az inverz mátrix már megtalálható a szorzatból. Ha a zárójeleket eltávolítja: , akkor először meg kell találnia inverz mátrix, majd szorozza meg a mátrixokat: . Az inverz mátrix megtalálása is elsőbbséget élvez a szorzással szemben.

A harmadik taggal minden nyilvánvaló: a mátrixot kockává emeljük, és a kapott mátrixhoz hozzáadjuk az „ötöt”.

Ha a mátrixkifejezésnek van értelme, akkor kiértékelésének eredménye egy mátrix.

Minden feladat valódi lesz vezérlés működik, és kezdjük a legegyszerűbbel:

9. példa

Mátrix adatok . Megtalálni:

Megoldás: a műveletek sorrendje nyilvánvaló, először a szorzás, majd az összeadás történik.

Az összeadás nem lehetséges, mert a mátrixok különböző méretűek.

Ne lepődj meg, az ilyen típusú feladatokban gyakran kínálnak nyilvánvalóan lehetetlen cselekedeteket.

Próbáljuk meg kiszámítani a második kifejezést:

Itt minden rendben van.

Válasz: a művelet nem hajtható végre, .

Mátrixok és determinánsok

1.1 Mátrixok. Fogalmak.

Téglalap méretű mátrix m x n teljességnek nevezzük mn számokat tartalmazó téglalap alakú táblázatba rendezve m vonalak és n oszlopok. A mátrixot így fogjuk felírni

vagy rövidítve A = (a ij) (i = ; j = ). A mátrixot alkotó a ij számokat elemeinek nevezzük; az első index a sorszámra, a második index az oszlopszámra mutat. Két azonos méretű A = (a ij) és B = (b ij) mátrixot egyenlőnek nevezünk, ha az azonos helyeken lévő elemeik páronként egyenlőek, vagyis A = B, ha a ij = b ij .

Az egy sorból vagy egy oszlopból álló mátrixot sorvektornak, illetve oszlopvektornak nevezzük. Az oszlopvektorokat és a sorvektorokat egyszerűen vektoroknak nevezzük.

Az egy számból álló mátrixot ezzel a számmal azonosítjuk. Méret Mátrix m x n, amelynek minden eleme egyenlő nullával, zérusmátrixnak nevezzük, és 0-val jelöljük. Az azonos indexű mátrixelemeket a főátló elemeinek nevezzük. Ha a mátrix sorainak száma megegyezik az oszlopok számával, az m = n, akkor a mátrixot a sorrend négyzetének nevezzük n. Azokat a négyzetes mátrixokat, amelyekben csak a főátló elemei nem nullák, átlós mátrixoknak nevezzük, és a következőképpen írjuk őket:

Ha az átlós mátrix minden aii eleme egyenlő 1-gyel, akkor a mátrixot azonosságmátrixnak nevezzük, és E betűvel jelöljük:

A négyzetes mátrixot háromszög alakúnak nevezzük, ha a főátló felett (vagy alatta) lévő összes elem nulla. A transzpozíció egy mátrix transzformációja, amelyben sorok és oszlopok felcserélődnek, miközben megtartják a számukat. Az átültetést felül egy T jelzi.

Legyen adott a (4.1) mátrix. Sorok felcserélése oszlopokkal. Szerezd meg a mátrixot

amelyet az A mátrixhoz képest transzponálunk. Különösen egy oszlopvektor transzponálásakor sorvektort kapunk, és fordítva.

Alapműveletek mátrixokkal.

A mátrixokon végzett fő aritmetikai műveletek a mátrix szorzása számmal, a mátrixok összeadása és szorzása.

Folytassuk a mátrixokkal végzett alapműveletek meghatározását.

Mátrix összeadás : Két mátrix összege, például: A és B, amelyeknek ugyanannyi sora és oszlopa van, más szóval azonos sorrendű m és n, a С = (Сij) mátrix (i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, …n) azonos m és n rendűek, amelyek Cij elemei egyenlők.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1,2)

Két mátrix összegének jelölésére a C = A + B jelölés szolgál, a mátrixok összegének összeállításának műveletét összeadásnak nevezzük.

Tehát definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

A mátrixok összegének definíciójából, vagy inkább az (1.2) képletből egyenesen következik, hogy a mátrixösszeadás művelete ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint az összeadás művelet valós számok, nevezetesen:

1) kommutatív tulajdonság: A + B = B + A

2) asszociatív tulajdonság: (A + B) + C = A + (B + C)

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy ne aggódjunk a mátrixok feltételeinek sorrendje miatt, amikor két ill több mátrixok.

Mátrix szorzása számmal :

Az A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) mátrix valós számmal való szorzata a C = (Cij) mátrix (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), melynek elemei egyenlők

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)

A mátrix szorzatának számmal történő jelölésére a C \u003d A vagy C \u003d A jelölést használjuk. A mátrix számmal való szorzatának összeállítását úgy nevezzük, hogy egy mátrixot megszorozunk ezzel a számmal.

Az (1.3) képletből világosan kitűnik, hogy egy mátrix számmal való szorzata a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkoztatva:

(A + B) = A + B

2) asszociatív tulajdonság a numerikus tényezőhöz képest:

3) eloszlási tulajdonság a számok összegére vonatkoztatva:

( + ) A = A + A.

Megjegyzés: Két mátrix különbsége Azonos rendű A és B, természetes, hogy egy olyan C mátrixot hívunk azonos rendű, amely a B mátrixszal együtt az A mátrixot adja. Két mátrix különbségének jelölésére a természetes jelölést használjuk: C = A – B.

Mátrixszorzás :

Az A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) mátrix szorzata, amelynek rendje m, illetve n, a B = (Bij) mátrix alapján ) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), amelynek rendje n és p, a C = (Сij) mátrixnak nevezzük (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), amelynek sorrendje m és p, valamint a képlettel meghatározott Cij elemek

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1,4)

Az A mátrix szorzatának B mátrixszal való jelöléséhez használja a jelölést

C=AB. Az A mátrix szorzatának B mátrixszal való összeállításának műveletét e mátrixok szorzásának nevezzük. A fent megfogalmazott definícióból következik, hogy az A mátrix nem szorozható meg egyetlen B mátrixszal sem: szükséges, hogy az A mátrix oszlopainak száma legyen egyenlő A B mátrix sorainak száma. Ahhoz, hogy az AB és a BA szorzat ne csak definiálva legyen, hanem azonos sorrendűek is legyenek, szükséges és elegendő, hogy mind A, mind B mátrix azonos sorrendű négyzetmátrix legyen.

Az (1.4) képlet a C mátrix elemeinek összeállítására szolgáló szabály,

amely az A mátrix és a B mátrix szorzata. Ez a szabály szóban is megfogalmazható: A Cij elem állva i-edik kereszteződés a C = AB mátrix sora és j-edik oszlopa egyenlő a megfelelő mátrix páronkénti szorzatainak összegével. i-edik elemek Az A mátrix sorai és a B mátrix j-edik oszlopa. E szabály alkalmazásának példájaként bemutatjuk a másodrendű négyzetmátrixok szorzásának képletét

Az (1.4) képlet az A mátrix és a B mátrix szorzatának következő tulajdonságait foglalja magában:

1) asszociatív tulajdonság: (AB) C = A (BC);

2) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkoztatva:

(A + B) C = AC + BC vagy A (B + C) = AB + AC.

A mátrixok szorzatának permutációs tulajdonságának kérdése csak azonos rendű négyzetmátrixok esetén van értelme. Az elemi példák azt mutatják, hogy két azonos sorrendű négyzetmátrix szorzatai általában nem rendelkeznek permutációs tulajdonsággal. Valóban, ha tesszük

A =, B =, majd AB = és BA =

Ugyanazokat a mátrixokat, amelyek szorzatára a permutációs tulajdonság igaz, általában ingázásnak nevezik.

A négyzetes mátrixok közül kiemeljük az úgynevezett átlós mátrixok osztályát, amelyek mindegyikének vannak olyan elemei, amelyek a nullával egyenlő főátlón kívül helyezkednek el. Az összes olyan átlós mátrix között, amelyek egybeeső bejegyzései vannak a főátlón, különösen fontos szerep játszani két mátrixot. Ezen mátrixok közül az elsőt akkor kapjuk meg, ha a főátló minden eleme egyenlő eggyel, ezt n-edrendű identitásmátrixnak nevezzük, és E szimbólummal jelöljük. A második mátrixot úgy kapjuk meg, hogy minden eleme nulla, és n-edrendű nulla mátrixnak nevezzük, és O szimbólummal jelöljük. Tegyük fel, hogy van egy tetszőleges A mátrix, akkor

AE=EA=A, AO=OA=O.

A képletek közül az első az E identitásmátrix speciális szerepét jellemzi, hasonlóan az 1-es szám szerepéhez a valós számok szorzásakor. Ami az O zérusmátrix speciális szerepét illeti, azt nem csak a képlet második része, hanem az elemileg igazolható egyenlőség is feltárja: A + O = O + A = A. A nulla mátrix fogalma is lehet nem négyzetes mátrixokhoz vezették be.

Mátrix rang

Tekintsünk egy téglalap alakú mátrixot (4.1). Ha ebben a mátrixban tetszőlegesen k sort választunk ki és k oszlopokat, akkor a kijelölt sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemek négyzetmátrixot alkotnak k- a sorrend. Ennek a mátrixnak a determinánsát az A mátrix k-rendű molljának nevezik. Nyilvánvaló, hogy az A mátrixnak tetszőleges sorrendje van 1-től a legkisebb számig. mÉs n. Az A mátrix összes nullától eltérő mollja között van legalább egy moll, amelynek a sorrendje a legnagyobb. Egy adott mátrix minorjainak nullától eltérő nagyságát a mátrix rangjának nevezzük. Ha az A mátrix rangja az r, akkor ez azt jelenti, hogy az A mátrixnak van egy nem nulla rendű mollja r, de minden r-nél nagyobb rendű moll egyenlő nullával. Az A mátrix rangját r(A) jelöli. Nyilvánvaló, hogy a kapcsolat

0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).

A mátrix rangját vagy a minor határolási módszerrel, vagy a módszerrel találjuk meg elemi átalakulások. A mátrix rangjának első kiszámításakor az alacsonyabb rendű kiskorúakról a magasabb rendű kiskorúakra kell átmenni. magasrendű. Ha az A mátrix k-edrendű nullától eltérő kiskorú D-jét már találtuk, akkor csak a D mollmal határos (k + 1)-ed rendű mollokat kell számolni, azaz. kiskorúként tartalmazza. Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja k.

A következő mátrixtranszformációkat eleminek nevezzük:

1) bármely két sor (vagy oszlop) permutációja,

2) egy sor (vagy oszlop) megszorzása valami mással, mint nulla szám,

3) egy sor (vagy oszlop) hozzáadása egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), megszorozva valamilyen számmal.

Két mátrixot ekvivalensnek mondunk, ha az egyiket elemi transzformációk véges halmazával kapjuk meg a másiktól.

Az ekvivalens mátrixok általában nem egyenlőek, de rangjuk egyenlő. Ha az A és B mátrixok ekvivalensek, akkor ezt a következőképpen írjuk:

A kanonikus mátrix olyan mátrix, amelynek kezdőbetűje

a főátló több egység egymás után (amelyek száma

egyenlő lehet nullával), és az összes többi elem egyenlő nullával,

például, .

A sorok és oszlopok elemi transzformációi segítségével bármely mátrix kanonikusra redukálható. A kanonikus mátrix rangja egyenlő a számmal egységeket a főátlóján.

inverz mátrix

Tekintsünk egy négyzetmátrixot

Jelölje Δ = detA.

Az A négyzetmátrixot nem degeneráltnak vagy nem szingulárisnak nevezzük, ha a determinánsa nem nulla, és degeneráltnak vagy speciálisnak, ha Δ = 0.

A B négyzetmátrixot egy azonos rendű A négyzetmátrix inverzének nevezzük, ha szorzatuk A B = B A = E, ahol E az A és B mátrixokkal azonos rendű azonosságmátrix.

Tétel. Ahhoz, hogy az A mátrixnak legyen inverze, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen.

Az A mátrix mátrix inverzét A -1 jelöli. Az inverz mátrixot a képlet számítja ki

A -1 \u003d 1 / Δ, (4.5)

ahol А ij - a ij elemek algebrai komplementerei.

Az inverz mátrix kiszámítása a (4.5) képlettel magas rendű mátrixok esetén igen munkaigényes, ezért a gyakorlatban célszerű az inverz mátrixot elemi transzformációk (ET) módszerével megtalálni. Bármely nem szinguláris A mátrix redukálható csak oszlopok (vagy csak sorok) EP-jével az E identitásmátrixra. Ha az A mátrixon tökéletes EP-ket ugyanabban a sorrendben alkalmazzuk az E identitásmátrixra, akkor az eredmény: egy inverz mátrix. Kényelmes egy EP-t végrehajtani az A és E mátrixokon egyidejűleg, mindkét mátrixot egymás mellé írva a vonalon keresztül. Még egyszer megjegyezzük, hogy amikor egy mátrix kanonikus alakját keressük, hogy megtaláljuk a rangját, akkor sorok és oszlopok transzformációit használhatjuk. Ha meg kell találnia az inverz mátrixot, akkor csak sorokat vagy csak oszlopokat használjon az átalakítási folyamatban.

2. Meghatározók

Minden négyzetes mátrixhoz meg kell határozni egy számot, amelyet a mátrix determinánsának, a mátrix determinánsának vagy egyszerűen a determinánsnak (determinánsnak) neveznek.

Meghatározás. Egy elsőrendű négyzetmátrix determinánsa a mátrix egyetlen elemével egyenlő szám: A=(a), detA=|A|=a.

Legyen A tetszőleges n-rendű négyzetmátrix, n>1:

Meghatározás Az n-edrendű determináns (n-edrendű négyzetmátrix determinánsa), n>1, a szám egyenlő

ahol az A mátrixból az első sor és a j-edik oszlop törlésével kapott négyzetmátrix determinánsa.

A 2. és 3. rendű determinánsokhoz könnyen kaphatunk egyszerű kifejezéseket a mátrixelemek tekintetében.

Másodrendű meghatározó:

3. rendű meghatározó:

2.1. Kis- és algebrai elem komplementer

Meghatározás. A mátrixelem mollja a mátrix meghatározója, amelyet annak a sornak és oszlopnak a törlésével kapunk, amelyben az elem található. Jelölje: az a ij - elem mollja.

Meghatározás. Egy mátrixelem algebrai komplementere a moll szorzata -1-gyel, olyan hatványra, amely egyenlő azon sor- és oszlopszámok összegével, amelyben az elem található. Jelölje: az a ij - elem algebrai komplementere.

Így újrafogalmazhatjuk az n-edrendű determináns definícióját:

az n-edrendű determináns, n>1 egyenlő az első sor elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével.

Példa.

Tétel a determináns kiszámításáról tetszőleges sorok kiterjesztésével

Tétel. Az n-edrendű determináns, n>1 egyenlő bármely sor (oszlop) elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével.

Példa. Számítsuk ki az előző példa determinánsát a második sor kibontásával:

Következmény. A háromszög alakú mátrix determinánsa megegyezik az átlós elemek szorzatával. (Bizonyíts).

Mátrix dimenziót téglalap alakú táblázatnak nevezzük, amely egymásba rendezett elemekből áll m vonalak és n oszlopok.

Mátrixelemek (első index én− sorszám, második index j− oszlopszám) lehetnek számok, függvények stb. A mátrixokat a latin ábécé nagybetűivel jelöljük.

A mátrix az ún négyzet ha a sorok száma megegyezik az oszlopok számával ( m = n). Ebben az esetben a szám n a mátrix rendjének, magát a mátrixot pedig mátrixnak nevezzük n- a sorrend.

Azonos indexű elemek forma főátló négyzetmátrix, és az elemek (azaz az indexek összege egyenlő n+1) − másodlagos átló.

Magányos mátrix négyzetmátrixnak nevezzük, amelynek főátlójának minden eleme 1, a többi eleme pedig 0. Betűvel jelöljük E.

Nulla a Mátrix egy mátrix, amelynek minden eleme 0. A nulla mátrix tetszőleges méretű lehet.

A számhoz lineáris műveletek mátrixokon viszonyul:

1) mátrix összeadás;

2) mátrixok szorzása számmal.

A mátrixösszeadás művelete csak azonos dimenziójú mátrixokra van definiálva.

Két mátrix összege DEÉs BAN BEN mátrixnak nevezzük TÓL TŐL, amelynek minden eleme egyenlő a mátrixok megfelelő elemeinek összegével DEÉs BAN BEN:

.

Mátrix termék DE számonként k mátrixnak nevezzük BAN BEN, amelynek minden eleme egyenlő az adott mátrix megfelelő elemeivel DE számmal megszorozva k:

Művelet mátrixszorzások olyan mátrixokhoz vezetjük be, amelyek teljesítik a feltételt: az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával.

Mátrix termék DE méretek mátrixhoz BAN BEN dimenziót mátrixnak nevezzük TÓL TŐL méretek, elem én-edik sor és j oszlopa egyenlő az elemek szorzatainak összegével én mátrix sora DE a vonatkozó elemeken j-a mátrix oszlopa BAN BEN:

A mátrixok szorzata (ellentétben a valós számok szorzatával) nem engedelmeskedik a kommutatív törvénynek, azaz. általában DE BAN BEN BAN BEN DE.

1.2. Meghatározók. Minősítő tulajdonságai

A determináns fogalma csak négyzetmátrixokhoz vezették be.

A 2. rendű mátrix determinánsa a következő szabály szerint kiszámított szám

.

3. rendű mátrix determináns a következő szabály szerint kiszámított szám:

A „+” jelű kifejezések közül az első a mátrix főátlóján található elemek szorzata (). A másik kettő olyan háromszög csúcsaiban található elemeket tartalmaz, amelyek alapja párhuzamos a főátló(k)kal. A "-" jellel a másodlagos átló elemeinek szorzata () és az ezzel az átlóval párhuzamos (és) alappal rendelkező háromszöget alkotó elemek szorzata szerepel.

A 3. rendű determináns kiszámításának ezt a szabályát háromszögszabálynak (vagy Sarrus szabályának) nevezik.

Minősítő tulajdonságai Tekintsük a 3. rendű determinánsok példáját.

1. Ha a determináns összes sorát a sorokkal azonos számú oszlopokra cseréljük, a determináns nem változtatja meg az értékét, azaz. a determináns sorai és oszlopai egyenlőek

.

2. Ha két sort (oszlopot) felcserélünk, a determináns megváltoztatja az előjelét.

3. Ha egy sor (oszlop) minden eleme nulla, akkor a determináns 0.

4. Egy sor (oszlop) összes elemének közös tényezője kivehető a determináns előjeléből.

5. A két azonos sort (oszlopot) tartalmazó determináns 0.

6. A két arányos sort (oszlopot) tartalmazó determináns egyenlő nullával.

7. Ha egy determináns egy bizonyos oszlopának (sorának) minden eleme két tag összegét képviseli, akkor a determináns egyenlő két determináns összegével, amelyek közül az egyik tartalmazza ugyanabban az oszlopban (sorban) az első tagokat, míg a második - a második. Mindkét determináns többi eleme megegyezik. Így,

.

8. A determináns nem változik, ha valamelyik oszlopának (sorának) elemeihez hozzáadjuk egy másik oszlop (sor) megfelelő elemeit azonos számmal szorozva.

A determináns következő tulajdonsága a moll és az algebrai komplement fogalmához kapcsolódik.

Kisebb egy determináns eleme az adottból kapott determináns, ha töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

Például a determináns mellékeleme determinánsnak nevezzük.

Algebrai összeadás a determináns elemét mollnak nevezzük, szorozva hol én- sorszám, j− annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az elem található. Általában algebrai komplementet jelölnek. Harmadik rendű determináns elem esetén az algebrai komplementer

9. A determináns egyenlő bármely sor (oszlop) elemeinek és a hozzájuk tartozó algebrai összeadások szorzatának összegével.

Például a determináns kiterjeszthető az első sor elemeire

,

vagy a második oszlop

Kiszámításukhoz a determinánsok tulajdonságait használják.

Ebben a cikkben megértjük, hogyan történik az összeadás művelet azonos sorrendű mátrixokon, a mátrix számmal történő szorzása, valamint a megfelelő sorrendű mátrixok szorzása, axiomatikusan beállítjuk a műveletek tulajdonságait, és a mátrixokon végzett műveletek prioritásáról is beszéljünk. Az elmélettel párhuzamosan bemutatjuk részletes megoldások példák, amelyekben a műveleteket mátrixokon hajtják végre.

Azonnal megjegyezzük, hogy a következők mindegyike érvényes azokra a mátrixokra, amelyek elemei valós (vagy komplex) számok.

Oldalnavigáció.

Két mátrix összeadásának művelete.

Két mátrix összeadásának műveletének meghatározása.

Az összeadási művelet CSAK AZONOS RENDELŐ MÁTRIXOKHOZ van meghatározva. Más szóval, lehetetlen megtalálni a különböző dimenziójú mátrixok összegét, és általában nem lehet beszélni különböző dimenziójú mátrixok összeadásáról. Nem beszélhetünk sem mátrix és szám összegéről, sem mátrix és más elem összegéről.

Meghatározás.

Két mátrix összegeés olyan mátrix, amelynek elemei egyenlők az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével, azaz .

Így a két mátrix összeadási műveletének eredménye egy azonos sorrendű mátrix.

A mátrixösszeadás működésének tulajdonságai.

Melyek a mátrixösszeadási művelet tulajdonságai? Erre a kérdésre meglehetősen könnyű válaszolni, ha két adott rendű mátrix összegének meghatározásából indulunk ki, és emlékezünk a valós (vagy komplex) számok összeadási műveletének tulajdonságaira.

1. Az azonos sorrendű A, B és C mátrixok esetében az összeadás asszociativitásának tulajdonsága jellemző: A + (B + C) \u003d (A + B) + C.
2. Adott rendű mátrixoknál van egy semleges elem az összeadás tekintetében, ez a nulla mátrix. Vagyis az A + O \u003d A tulajdonság igaz.
3. Egy adott sorrendű nem nulla A mátrixhoz létezik (-A) mátrix, ezek összege egy nulla mátrix: A + (-A) \u003d O.
4. Adott rendű A és B mátrixokra érvényes az A+B=B+A összeadás kommutativitásának tulajdonsága.

Következésképpen az adott rendű mátrixok halmaza egy additív Abel-csoportot generál (egy Abel-csoportot az összeadás algebrai műveletéhez képest).

Mátrixösszeadás - megoldási példák.

Nézzünk néhány példát a mátrixösszeadásra.

Példa.

Keresse meg a mátrixok összegét és .

Megoldás.

Az A és B mátrixok sorrendje megegyezik és egyenlő 4x2-vel, így elvégezhetjük a mátrixösszeadás műveletét, és ennek eredményeként 4-szeres mátrixot kell kapnunk. A két mátrix összeadás műveletének definíciója szerint az összeadást elemenként hajtjuk végre:

Példa.

Keresse meg két mátrix összegét! És melynek elemei komplex számok.

Megoldás.

Mivel a mátrix sorrendje egyenlő, összeadást végezhetünk.

Példa.

Adjon hozzá három mátrixot .

Megoldás.

Először adja hozzá az A mátrixot B-vel, majd adja hozzá a C-t a kapott mátrixhoz:

Kaptunk egy nulla mátrixot.

Egy mátrix számmal való szorzásának művelete.

Egy mátrix számmal való szorzásának műveletének meghatározása.

A mátrix számmal való szorzásának művelete BÁRMELY RENDELŐ MÁTRIXOKRA van definiálva.

Meghatározás.

Egy mátrix és egy valós (vagy komplex) szám szorzata olyan mátrix, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy az eredeti mátrix megfelelő elemeit megszorozzuk egy számmal, azaz .

Így egy mátrixot egy számmal megszorozva egy azonos rendű mátrixot kapunk.

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságaiból az következik, hogy egy nulla mátrixot nullával megszorozva nulla mátrixot kapunk, és a szorzat tetszőleges szám a nulla mátrix pedig egy nulla mátrix.

Mátrix szorzása számmal - példák és megoldásuk.

Foglalkozzunk példákon keresztül a mátrix számmal való szorzásának műveletével.

Példa.

Keresse meg a 2-es szám és a mátrix szorzatát! .

Megoldás.

Egy mátrix számmal való szorzásához minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

Példa.

Végezze el a mátrixszorzást egy számmal.

Megoldás.

Az adott mátrix minden elemét megszorozzuk a megadott számmal:

Két mátrix szorzásának művelete.

Két mátrix szorzásának műveletének meghatározása.

Két A és B mátrix szorzásának művelete csak arra az esetre vonatkozik, amikor AZ A MÁTRIX OSZLOPSZÁMA EGYENLŐ A B MÁTRIX SORAI SZÁMÁVAL.

Meghatározás.

Egy A sorrendű mátrix és egy B sorrendű mátrix szorzata- ez egy olyan C rendű mátrix, amelynek minden eleme egyenlő az A mátrix i-edik sorának elemeinek a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemei szorzataival, azaz ,

Így egy rendelési mátrixnak egy sorrendi mátrixszal való szorzásának művelet eredménye egy rendelési mátrix.

Mátrix szorzása mátrixszal - példák megoldásai.

A mátrixszorzással példákon keresztül fogunk foglalkozni, majd áttérünk a mátrixszorzás műveletének tulajdonságainak felsorolására.

Példa.

Keresse meg a mátrixok szorzásával kapott C mátrix összes elemét! És .

Megoldás.

Az A mátrix rendje p=3 x n=2 , a B mátrixé n=2 x=4 , tehát ezen mátrixok szorzatának sorrendje p=3 x q=4 . Használjuk a képletet

Sorrendben felvesszük az i értékeket 1-től 3-ig (mivel p=3 ) minden j-hez 1-től 4-ig (mivel q=4 ), esetünkben pedig n=2, akkor

Így számítjuk ki a C mátrix összes elemét, és a két adott mátrix szorzásával kapott mátrix alakja .

Példa.

Végezze el a mátrixszorzást és .

Megoldás.

Az eredeti mátrixok sorrendjei lehetővé teszik a szorzási művelet végrehajtását. Ennek eredményeként egy 2-3-as rendű mátrixot kell kapnunk.

Példa.

Adott mátrixok és . Keresse meg az A és B mátrixok, valamint a B és A mátrixok szorzatát!

Megoldás.

Mivel az A mátrix sorrendje 3x1 és B mátrix 1x3, akkor A⋅B 3x3, a B és A mátrixok szorzata pedig 1x1 sorrendű lesz.

Amint látod, . Ez a mátrixszorzási művelet egyik tulajdonsága.

A mátrixszorzás műveletének tulajdonságai.

Ha az A, B és C mátrixok megfelelő rendűek, akkor a következők igazak a mátrixszorzás műveletének tulajdonságai.

Megjegyzendő, hogy megfelelő sorrend esetén az O nulla mátrix és az A mátrix szorzata nulla mátrixot ad. Az A szorzata O-val is nulla mátrixot ad, ha a sorrendek lehetővé teszik a mátrixszorzás műveletét.

A négyzetmátrixok között vannak ún permutációs mátrixok, a szorzási művelet számukra kommutatív, azaz . A permutációs mátrixok példája az azonossági mátrix és bármely más, azonos sorrendű mátrix párja, mivel .

A mátrixokon végzett műveletek prioritása.

A mátrix számmal való szorzása és a mátrix mátrixszal való szorzása azonos prioritást élvez. Ugyanakkor ezek a műveletek magasabb prioritásúak, mint a két mátrix összeadásának művelete. Így először a mátrixot megszorozzuk a számmal, és a mátrixokat megszorozzuk, és csak ezután adjuk hozzá a mátrixokat. A mátrixokon végzett műveletek sorrendje azonban kifejezetten megadható zárójelek használatával.

Tehát a mátrixokon végzett műveletek prioritása hasonló a valós számok összeadási és szorzási műveleteihez rendelt prioritáshoz.

Példa.

Mátrix adatok . Hajtsa végre a megadott műveleteket a megadott mátrixokkal .

Megoldás.

Kezdjük azzal, hogy megszorozzuk az A mátrixot B mátrixszal:

Most megszorozzuk az E másodrendű azonosságmátrixot kettővel:

Összeadjuk a kapott két mátrixot:

Marad az eredményül kapott mátrix A mátrixszal való megszorzásának művelete:

Megjegyzendő, hogy az A és B azonos rendű mátrixok kivonásának művelete önmagában nem létezik. Két mátrix különbsége lényegében az A mátrix és a B mátrix összege előzetesen megszorozva mínusz eggyel: .

Egy mátrix négyzetre emelésének művelete természetes fokozat szintén nem független, mivel ez egy egymást követő mátrixszorzás.

Összesít.

A mátrixok halmazán három műveletet definiálunk: azonos rendű mátrixok összeadását, mátrix szorzatát számmal és megfelelő sorrendű mátrixok szorzását. Egy adott sorrendű mátrixhalmaz összeadási művelete Abel-csoportot generál.

Térjünk át a mátrixokon végzett műveletek meghatározására.

1) Mátrix összeadás . Két mátrix összege A=(a ij) És B=(b ij) azonos méretű m× n mátrixnak nevezzük C=(c ij) azonos méretű m× n, melynek elemei egyenlők

tól től ij = a ij +b ij (i= 1,2, … ,m; j= 1,2, … ,n). (1)

A mátrixok összegének jelölésére a jelölést használjuk C=A+ B.

2) Mátrix szorzása számmal . Termék ( m× n)- mátrixok DE a λ számhoz hívjuk ( m× n)-a Mátrix C= (c ij), amelynek elemei egyenlők

tól től ij = λ a ij (i= 1,2, … , m;j= 1,2, … ,n). (2)

A mátrix szorzatának számmal való jelölésére a jelölést használjuk C= λ∙ A.

Az (1) és (2) képletből közvetlenül kitűnik, hogy a két bevezetett művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

de) A+B = B+A – az összeadás kommutativitása;

b) ( A+B)+C = A +(B+C) az összeadás asszociativitása;

c) (λμ) DE=λ(μ DE) a számmal való szorzás asszociativitása;

d) λ( A+B) = λ DE+λ BAN BEN a szorzás eloszlása ​​az összeadáshoz képest.

Megjegyzés 1. A mátrix különbség a következőképpen definiálható:

A-B = A+(–1)BAN BEN.

Röviden, a mátrixok összeadása, kivonása és a mátrix számmal való szorzása elemről elemre történik.

Példa:

3) Mátrixszorzás . Termék ( m× n)-mátrixok DE=(de ij) a ( n× p)- mátrix B=(b ij) nak, nek hívják ( m× p)-a Mátrix TÓL TŐL=(tól től ij), amelynek elemeit a képlet számítja ki

c ij = a én 1 b 1 j + a én 2 b 2 j +…+ a ban ben b nj ,

amely az összegző szimbólum használatával úgy írható fel

(én= 1,2, … , m; j= 1,2, … ,p).

Egy mátrix szorzatának jelölésére DE mátrixhoz BAN BEN rekord használata C=A∙B.

Azonnal megjegyezzük, hogy a mátrix DE bármilyen mátrixszal megszorozható BAN BEN: szükséges, hogy a mátrix oszlopainak száma DE egyenlő volt a mátrix sorok számával BAN BEN.

A (3) képlet a mátrixelemek megtalálásának szabálya A∙B. Fogalmazzuk meg ezt a szabályt szóban: az elemet c ij beállva én-edik sor és j-a mátrix oszlopa A∙B, egyenlő a megfelelő elemek páronkénti szorzatainak összegével én-a mátrix sora DEÉs j-a mátrix oszlopa BAN BEN.

Íme egy példa a másodrendű négyzetmátrixok szorzására:

.

A mátrixszorzás a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

de) ( AB)TÓL TŐL = DE(Nap) – asszociativitás;

b) ( A+B)TÓL TŐL = AC+Nap vagy DE(B+C) = AB+AC a szorzás eloszlása ​​az összeadáshoz képest.

A szorzás kommutativitásának kérdését csak azonos rendű négyzetmátrixokra érdemes feltenni, mert csak ilyen mátrixokra. DEÉs BAN BEN mindkettő működik AB És VA definiáltak és azonos sorrendű mátrixok. Az elemi példák azt mutatják, hogy a mátrixszorzás általában nem kommutatív. Például ha

azután

Példa . Mátrixhoz
megtalálja az összes mátrixot BAN BEN oly módon, hogy

AB = BA.

Megoldás . Bemutatjuk a jelölést
Azután

Egyenlőség AB = BA egyenértékű az egyenletrendszerrel

ami viszont egyenértékű a rendszerrel

Tehát a kívánt mátrixnak megvan a formája
ahol xÉs z tetszőleges számok. Ezt így is lehet írni: BAN BEN = zA+(x– z)E.

Megjegyzés. Identitás és nulla mátrixok n sorrendje permutálható bármely azonos rendű négyzetmátrixból, és AE = =EA = A, DE∙0 = 0∙DE = 0.

A szorzás műveletét felhasználva megadjuk a lineáris egyenletrendszer (1.1) legrövidebb - mátrix - felírási formáját. Bemutatjuk a jelölést: DE=(de ij) – (m× n)-egyenletrendszer együtthatói mátrixa; –m-dimenziós oszlop szabad kifejezések és

–n-dimenziós ismeretlenek oszlopa. Értelemszerűen mű A∙x képviseli m- dimenziós oszlop. Az eleme, benne áll én-a sornak van formája

a én 1 x 1 + a én 2 x 2 +…+ a ban ben x n .

De ez az összeg nem más, mint a bal oldal én rendszer egyenlete (1.1), és feltételezzük, hogy egyenlő b én, azaz elem be én- az oszlop sora BAN BEN. Innen kapjuk: A∙ x = B . Ez a lineáris rendszer mátrixjelölése

egyenletek. Itt: DE a rendszer együtthatómátrixa, BAN BEN - szabad tagok oszlopa, x az ismeretlenek oszlopa.

4) Mátrix transzpozíció. Bármely mátrix transzponálása egy művelet, amelynek eredményeként a sorok és oszlopok felcserélődnek, miközben megőrzik a sorrendjüket. Az átültetés eredményeként ( m× n)-mátrixok DE kiderül ( m× n)-mátrix, szimbólummal jelöljük DEés a mátrixhoz képest transzponáltan hívjuk DE.

Példa . Mert DE= (de 1 de 2 de 3) megtalálni A∙AÉs DE´∙ DE.

Megoldás . A transzponált sor egy oszlop. Ezért:

egy 1. rendű négyzetmátrix.

–a 3. négyzetmátrixa