Pontkeresési feladatok kereszteződések minden figura ideológiailag primitív. Nehézségek csak az aritmetika miatt vannak bennük, mert ebben vannak különféle elírások és hibák.

Utasítás

1. Ez a feladat analitikusan megoldott, ezért egyáltalán nem szabad grafikont rajzolni egyenesés parabolák. Ez gyakran óriási pluszt ad egy-egy példa megoldásában, mert olyan függvények adhatók a feladatban, hogy könnyebb és gyorsabb nem rajzolni.

2. Az algebrai tankönyvek szerint egy parabolát egy f(x)=ax^2+bx+c alakú függvény ad meg, ahol a,b,c valós számok, és az a kitevő nullánál jó. A g(x)=kx+h függvény, ahol k,h valós számok, egy egyenest határoz meg a síkban.

3. Pont kereszteződések egyenes a parabolák pedig mindkét görbe univerzális pontjai, ezért a benne lévő függvények azonos értékeket vesznek fel, azaz f(x)=g(x). Ez az állítás lehetővé teszi a következő egyenlet felírását: ax^2+bx+c=kx+h, ami megadja annak valószínűségét, hogy sok pontot találunk kereszteződések .

4. Az ax^2+bx+c=kx+h egyenletben az összes tagot balra kell mozgatni, és hasonlókat kell hozni: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Most van hátra a kapott másodfokú egyenlet megoldása.

5. Az összes észlelt „x” még nem a feladat eredménye, mert a síkon egy pontot kettő jellemez valós számok(x,y). A megoldás teljes lezárásához ki kell számítani a megfelelő „játékokat”. Ehhez be kell cserélni az „xeket” vagy az f (x) függvénybe, vagy a g (x) függvénybe, tea a pontra. kereszteződések helyes: y=f(x)=g(x). Később megtalálja a parabola összes univerzális pontját és egyenes .

6. Az anyag megszilárdításához nagyon fontos, hogy a megoldást egy példán keresztül lássuk. Adjuk meg a parabolát az f(x)=x^2-3x+3 függvénnyel, és a - g(x)=2x-3 egyenest. Írjuk fel az f(x)=g(x) egyenletet, azaz x^2-3x+3=2x-3. Az összes kifejezést áthelyezve a bal oldalra, és hasonlókat hozva a következőt kapjuk: x^2-5x+6=0. Ennek a gyökerei másodfokú egyenlet: x1=2, x2=3. Most keresse meg a megfelelő "játékosokat": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Így minden pont megtalálható kereszteződések: (2,1) és (3,3).

pont kereszteződések a grafikonból megközelítőleg meghatározhatók az egyenesek. Ennek a pontnak a pontos koordinátáira azonban gyakran szükség van, vagy nem kell grafikont építeni, akkor meg lehet találni a pontot kereszteződések csak az egyenesek egyenleteit ismerve.

Utasítás

1. Adjunk meg két egyenest az egyenes általános egyenleteivel: A1*x + B1*y + C1 = 0 és A2*x + B2*y + C2 = 0. Pont kereszteződések az egyik egyeneshez és a másikhoz tartozik. Az x egyenes első egyenletéből fejezzük ki, így kapjuk: x = -(B1*y + C1)/A1. Helyettesítse be a kapott értéket a második egyenletbe: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 – A2B1). Helyettesítse be az észlelt értéket az első egyenes egyenletébe: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1 = 0(A1B2 – A2B1)*x – B1C2 + B2C1 = 0 Ekkor x = (B1C2 – B2C1)/(A1B2 – A2B1).

2. Az iskolai matematika kurzusban az egyeneseket gyakran egy szögkitevős egyenlet ad, nézzük meg ezt az esetet. Adjunk meg két egyenest így: y1 = k1*x + b1 és y2 = k2*x + b2. Nyilván a ponton kereszteződések y1 = y2, akkor k1*x + b1 = k2*x + b2. Azt kapjuk, hogy a pont ordinátája kereszteződések x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Helyettesítsük be x-et egy egyenes bármely egyenletébe, és kapjuk, hogy y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Kapcsolódó videók

Az egyenlet parabolák egy másodfokú függvény. Ennek az egyenletnek az összeállítására több lehetőség is van. Minden attól függ, hogy milyen paramétereket mutatnak be a probléma állapotában.

Utasítás

1. A parabola egy görbe, amely ívre hasonlít, és egy grafikon teljesítmény funkció. Függetlenül attól, hogy a parabola milyen összevetésekkel rendelkezik, ez a függvény páros. A páros függvény egy olyan függvény, amely a definíciós tartományból származó argumentum összes értékénél, amikor az argumentum előjele megváltozik, az érték nem változik: f (-x) \u003d f (x) Kezdje ezzel a legprimitívebb függvény: y \u003d x ^ 2. Megjelenéséből arra lehet következtetni, hogy az x argumentum helyes és negatív értékei esetén is nő. A függvény minimumpontjának azt a pontot tekintjük, ahol x=0, ugyanakkor y=0.

2. Az alábbiakban felsoroljuk a függvény és egyenlete összeállításának összes főbb lehetőségét. Első példaként az alábbiakban egy f(x)=x^2+a alakú függvény látható, ahol a egy egész szám A függvény ábrázolásához el kell tolni az f(x) függvény grafikonját egy egység. Példa erre az y=x^2+3 függvény, ahol az y tengely két egységgel feljebb tolja a függvényt. Adott egy ellentétes előjelű függvény, mondjuk y=x^2-3, akkor a grafikonja az y tengelyen lefelé tolódik el.

3. Egy másik fajta függvény, amelyhez parabola adható, az f(x)=(x + a)^2. Ilyen esetekben a grafikont éppen ellenkezőleg, az abszcissza (x tengely) mentén egy egységnyivel eltolja. Például megengedett a következő függvények megtekintése: y=(x +4)^2 és y=(x-4)^2. Az első esetben, ahol van egy pluszjelű függvény, a grafikon az x tengely mentén balra, a második esetben pedig jobbra tolódik el. Mindezek az esetek az ábrán láthatók.

4. Vannak y=x^4 alakú parabolafüggések is. Ilyen esetekben x=const, és y meredeken emelkedik. Ez azonban csak a páros függvényekre vonatkozik.. Grafikonok parabolák gyakran jelen vannak fizikai problémákban, például egy test repülése egy parabolához hasonló vonalat ír le. Megtekintés is parabolák van egy hosszmetszete a fényszóró reflektorának, lámpájának. A szinuszhullámmal ellentétben ez a grafikon nem periodikus és progresszív.

4. tipp: Hogyan határozzuk meg egy egyenes és egy sík metszéspontját

Ez a feladat egy pont felépítése kereszteződések egyenes a síkkal a mérnöki grafika klasszikusa, és a leíró geometria módszereivel és azok rajzi grafikai megoldásával történik.

Utasítás

1. Tekintsük a pont meghatározását kereszteződések egyenes privát helysíkkal (1. ábra).Az l egyenes metszi a frontális vetületi síkot?. Mutasson rájuk kereszteződések K tartozik és egyenesés a sík, tehát K2 közös vetülete a?2-re és l2-re esik. Azaz K2= l2??2, és ennek K1 vízszintes vetületét a vetületi összekötő egyenes segítségével határozzuk meg az l1-en, így a kívánt pont kereszteződések A K(K2K1) szabadon, segédsíkok használata nélkül épül fel, a pontokat hasonlóan határozzuk meg kereszteződések egyenes mindenféle magánrepülőkkel.

2. Tekintsük a pont meghatározását kereszteződések egyenes az általános síkkal. A 2. ábrán egy tetszőlegesen elhelyezkedő sík adott a térben? és egyenes l. Egy pont meghatározásához kereszteződések egyenesáltalános elhelyezési sík esetén a segédvágósíkok módszerét a következő sorrendben alkalmazzuk:

3. Az l? egyenesen egy segédvágósíkot húzunk, amely a kivitelezés megkönnyítése érdekében a kiálló sík lesz.

5. K pont meg van jelölve kereszteződések egyenes l és a megépített vonal kereszteződések MN. Ő a kívánt pont kereszteződések egyenesés repülőgépek.

6. Alkalmazzuk ezt a szabályt egy összetett rajz konkrét problémájának megoldására Példa. Határozza meg a pontot kereszteződések egyenes l általános elhelyezkedési síkkal, amelyet az ABC háromszög ad meg (3. ábra).

7. Az l egyenesen keresztül a vetítési síkra merőlegesen egy segédmetszősíkot húzunk?2. A vetülete?2 egybeesik a vetülettel egyenes l2.

8. Az MN vonal építés alatt áll. Repülőgép? metszi az AB-t az M pontban. Az M2= ?2?A2B2 közös vetülete és az M1 vízszintes A1B1-re a vetületi kapcsolat vonala mentén jelölve. Közös vetülete N2=?2?A2C2, N1 vízszintes vetülete A1C1-re.Az MN egyenes egyszerre tartozik mindkét síkhoz, így azok egyenese kereszteződések .

9. A K1 pontot meghatározzuk kereszteződések l1 és M1N1, ezután a K2 pont a kommunikációs vonal támogatásával épül meg. Kiderül, hogy K1 és K2 a kívánt pont vetületei kereszteződések K egyenes l és repülők? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2) Az M,1 és 2,3 versengő pontok felhasználásával meghatározzuk a láthatóságot egyenes l egy adott gépről? ABC.

Kapcsolódó videók

Jegyzet!
Használjon segédsíkot a probléma megoldásához.

Hasznos tanácsok
Végezzen számításokat részletes rajzok segítségével, amelyek megfelelnek a probléma követelményeinek. Ez segít gyorsan eligazodni a megoldásban.

Két egyenes, ha nem párhuzamos és nem esik egybe, szigorúan egy pontban metszi egymást. Ennek a helynek a koordinátáinak megtalálása számítást jelent pontokat kereszteződések közvetlen. Két egymást metsző egyenes változatlanul ugyanabban a síkban fekszik, ezért elég a derékszögű síkban látni őket. Nézzünk egy példát arra, hogyan találjuk meg a vonalak univerzális pontját.

Utasítás

1. Vegyük 2 sor egyenletét, ne feledjük, hogy egy egyenes egyenlete in Descartes-rendszer koordináták, az egyenes egyenlete ax + vu + c \u003d 0, és a, b, c közönséges számok, x és y pedig a pontok koordinátái. Például megtalálni pontokat kereszteződések egyenesek 4x+3y-6=0 és 2x+y-4=0. Ehhez keresse meg a megoldást a 2 egyenletrendszerre.

2. Egyenletrendszer megoldásához módosítsa bármelyik egyenletet úgy, hogy az y előtt egy azonos kitevő álljon. Mert az egyik egyenletben az y előtti kitevő 1, akkor ezt az egyenletet primitíven szorozzuk meg 3-mal (egy másik egyenletben az y előtti kitevőt). Ehhez szorozza meg az egyenlet minden elemét 3-mal: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) és kapja meg közönséges egyenlet 6x+3y-12=0. Ha az y előtti kitevők mindkét egyenlet egységéből csodálatosak lennének, akkor mindkét egyenlőséget meg kellene szorozni.

3. Vonjuk ki a másikat az egyik egyenletből. Ehhez vonja ki az egyik bal oldalából a másik bal oldalát, és tegye ugyanezt a jobb oldallal. Kapja meg ezt a kifejezést: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Mivel a „-” jel van a zárójel előtt, cserélje ki a zárójelben lévő összes jelet az ellenkezőjére. Kapja meg ezt a kifejezést: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Egyszerűsítse a kifejezést, és látni fogja, hogy az y változó eltűnt. Az új egyenlet így néz ki: -2x+6=0. Vigye át a 6-os számot az egyenlet másik részébe, és a kapott -2x \u003d -6 egyenlőségből fejezze ki az x-et: x \u003d (-6) / (-2). Tehát x=3 lett.

4. Helyettesítse be az x=3 értékét bármely egyenletben, mondjuk a másodikban, és kapja a következő kifejezést: (2 * 3) + y-4 = 0. Egyszerűsítse és fejezze ki y-t: y=4-6=-2.

5. Írja fel a kapott x és y értékeket koordinátákként! pontokat(3;-2). Ezek lesznek a megoldás a problémára. Ellenőrizze a kapott értéket mindkét egyenlet behelyettesítésével!

6. Ha az egyenesek nem egyenletként, hanem primitíven vannak megadva a síkon, keresse meg a koordinátákat pontokat kereszteződések grafikusan. Ehhez hosszabbítsa meg az egyeneseket úgy, hogy egymást metssék, majd engedje le a merőlegeseket az x és y tengelyeken. A merőlegesek x és y tengellyel való metszéspontja lesz ennek a koordinátája pontokat, nézd meg az ábrát, és látni fogod, hogy a koordináták pontokat kereszteződések x \u003d 3 és y \u003d -2, vagyis a (3; -2) pont a probléma megoldása.

Kapcsolódó videók

A parabola egy másodrendű síkgörbe kanonikus egyenlet amely a derékszögű koordinátarendszerben y?=2px alakú. Ahol p a parabola fókuszparamétere, amely egyenlő a fókusznak nevezett fix F pont és az ugyanabban a síkban lévő rögzített D egyenes távolságával, az úgynevezett direktrix. Egy ilyen parabola csúcsa átmegy a koordináták előszaván, és maga a görbe szimmetrikus az Ox abszcissza tengelyre. Az algebra iskolai tantárgyában olyan parabolát szokás figyelembe venni, amelynek szimmetriatengelye egybeesik Oy ordinátatengellyel: x?=2py. Az egyenlet pedig valamivel ellentétesen van felírva: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Parabola rajzolása többféle módszerrel lehetséges, amelyeket feltételesen nevezhetünk algebrainak és geometriainak.

Utasítás

1. Parabola algebrai felépítése, derítse ki a parabola csúcsának koordinátáit! Számítsa ki a koordinátát az Ox tengely mentén a következő képlettel: x0=-b/(2a), az Oy tengely mentén pedig: y0=-(b?-4ac)/4a, vagy helyettesítse be a kapott x0 értéket az y0 parabola egyenletébe. =ax0?+bx0+c, és számítsa ki az értéket.

2. Szerkessze meg a koordinátasíkon a parabola szimmetriatengelyét! Képlete egybeesik a parabola csúcs x0 koordinátájának képletével: x=-b/(2a). Határozza meg, hová mutatnak a parabola ágai! Ha a>0, akkor a tengelyek felfelé irányulnak, ha a

3. Vegyünk tetszőlegesen 2-3 értéket az x paraméterhez úgy, hogy: x0

4. Helyezze el az 1', 2' és 3' pontokat úgy, hogy azok szimmetrikusak legyenek az 1, 2, 3 pontokkal a szimmetriatengely körül.

5. Kösse össze az 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 pontokat egy sima ferde vonallal. Folytassa a sort felfelé vagy lefelé, a parabola irányától függően. A parabola megépült.

6. Geometriai konstrukció parabolák. Ez a módszer A parabola definícióján alapul, mint az F fókusztól és a D iránytól egyenlő távolságra lévő pontok közösségeként. Ezért először keressük meg az adott parabola fókuszparaméterét p=1/(2a).

7. Szerkessze meg a parabola szimmetriatengelyét a 2. lépésben leírtak szerint. Tegyen rá egy F pontot, amelynek koordinátája az Oy tengely mentén egyenlő y \u003d p / 2, és egy D pontot, amelynek koordinátája y \u003d -p / 2.

8. A parabola szimmetriatengelyére merőlegesen négyzet segítségével készítsünk egy D ponton átmenő egyenest. Ez az egyenes a parabola irányvonala.

9. Vegyük a szálat a négyzet egyik lábával megegyező hosszon. Rögzítse a szál egyik végét egy gombbal annak a négyzetnek a tetején, amelyhez ez a láb csatlakozik, a 2. végét pedig a parabola fókuszában az F pontban. Helyezze a vonalzót úgy, hogy a felső éle egybeessen a D irányvonallal. négyzet a vonalzón, mentes a lábbal ellátott gombtól .

10. Állítsa be a ceruzát úgy, hogy a hegyével a szálat a négyzet lábához nyomja. Mozgassa a négyzetet a vonalzó mentén. A ceruza megrajzolja a szükséges parabolát.

Kapcsolódó videók

Jegyzet!
Ne rajzolja meg a parabola tetejét szögként. Ágai összefolynak egymással, simán lekerekednek.

Hasznos tanácsok
Ha geometriai módszerrel parabolát készítünk, ügyeljünk arra, hogy a menet mindig feszes legyen.

Mielőtt elkezdené egy függvény viselkedésének keresését, meg kell határozni a vizsgált mennyiségek metamorfózisának területét. Tegyük fel, hogy a változók a valós számok halmazára vonatkoznak.

Utasítás

1. A függvény egy változó, amely az argumentum értékétől függ. Az argumentum független változó. Az argumentum változásának határait a lehetséges értékek tartományának (ROV) nevezzük. A függvény viselkedését az ODZ keretein belül tekintjük, mert ezeken a határokon belül a két változó közötti kapcsolat nem kaotikus, hanem bizonyos szabályoknak engedelmeskedik, és matematikai kifejezésként írható fel.

2. Tekintsük az F=?(x) tetszőleges funkcionális összeköttetést, hol? egy matematikai kifejezés. A függvénynek lehetnek metszéspontjai a koordinátatengelyekkel vagy más függvényekkel.

3. A függvénynek az x tengellyel való metszéspontjaiban a függvény nullával egyenlő: F(x)=0. Oldja meg ezt az egyenletet! Megkapja a metszéspontok koordinátáit adott funkciót az OX tengellyel. Annyi ilyen pont lesz, ahány gyöke van az egyenletnek az érvelés metamorfózisának adott szakaszában.

4. A függvény y tengellyel való metszéspontjainál az argumentum értéke nulla. Következésképpen a probléma az x=0 függvény értékének megtalálásába fordul át. Annyi metszéspontja lesz a függvénynek az OY tengellyel, ahány értéke van az adott függvénynek nulla argumentummal.

5. Egy adott függvény és egy másik függvény metszéspontjainak megtalálásához meg kell oldani a következő egyenletrendszert: F=?(x)W=?(x). , azokat a metszéspontokat, amelyekkel az adott függvényt detektálni kell. Úgy tűnik, a metszéspontokban mindkét függvény azonos értéket vesz fel az argumentumok azonos értékére. 2 függvénynek annyi univerzális pontja lesz, ahány megoldás van az egyenletrendszerre egy adott érvváltozási területen.

Kapcsolódó videók

A metszéspontokban a függvények azonos értékkel rendelkeznek az argumentum azonos értékéhez. A függvények metszéspontjainak megtalálása azt jelenti, hogy meghatározzuk azon pontok koordinátáit, amelyek univerzálisak a metsző függvények számára.

Utasítás

1. Általánosságban elmondható, hogy egy Y=F(x) és Y?=F?(x) argumentum függvényeinek metszéspontjainak megtalálásának problémája XOY repülőgép az Y= Y? egyenlet megoldására redukálódik, abból, hogy egy univerzális pontban a függvények egyenlő értékűek. Az F(x)=F?(x) egyenlőséget kielégítő x értékek (ha vannak) az adott függvények metszéspontjainak abszcisszái.

2. Ha a függvények egy egyszerű matematikai kifejezéssel vannak megadva, és egy x argumentumtól függenek, akkor a metszéspontok megtalálásának problémája grafikusan megoldható. Funkciógrafikonok ábrázolása. Határozza meg a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat (x=0, y=0). Állítson be még néhány argumentumot, keresse meg a megfelelő függvényértékeket, adja hozzá a kapott pontokat a grafikonokhoz. Minél több pontot használunk az ábrázoláshoz, annál pontosabb lesz a grafikon.

3. Ha a függvények grafikonjai metszik egymást, határozzuk meg a rajzból a metszéspontok koordinátáit. Az ellenőrzéshez helyettesítse be ezeket a koordinátákat a függvényeket meghatározó képletekben. Ha a matematikai kifejezések objektívnek bizonyulnak, akkor a metszéspontok pozitívak. Ha a függvénygrafikonok nem metszik egymást, próbálja meg átméretezni. Tegyen nagyobb lépést a szerkesztési pontok között, hogy meghatározza, hogy a numerikus sík melyik részén konvergálnak a gráfok vonalai. Ezt követően a kereszteződés azonosított szakaszán készítsen részletesebb grafikont egy kis lépéssel pontos meghatározás a metszéspontok koordinátái.

4. Ha a függvények metszéspontjait nem a síkon kell megkeresni, hanem benne háromdimenziós tér, 2 változó függvényei láthatók: Z=F(x,y) és Z?=F?(x,y). A függvények metszéspontjainak koordinátáinak meghatározásához két ismeretlen x és y egyenletrendszert kell megoldani Z= Z?-nél.

Kapcsolódó videók

Tehát a grafikon fő paraméterei másodfokú függvényábrán látható:

Fontolgat másodfokú parabola megalkotásának többféle módja. A másodfokú függvény megadásának módjától függően kiválaszthatja a legkényelmesebbet.

1 . A függvényt a képlet adja meg .

Fontolgat általános grafikus algoritmus másodfokú parabola függvénygráf ábrázolásának példáján

1 . A parabola ágainak iránya.

Mivel a parabola ágai felfelé irányulnak.

2 . Keressük a diszkriminánst négyzetes trinomikus

A négyzetes trinom diszkriminánsa nagyobb, mint nulla, így a parabolának két metszéspontja van az OX tengellyel.

Annak érdekében, hogy megtaláljuk a koordinátáikat, megoldjuk az egyenletet:

,

3 . Parabola csúcs koordinátái:

4 . A parabola metszéspontja az OY tengellyel: (0;-5), és szimmetrikus a parabola szimmetriatengelyére.

Tegyük fel ezeket a pontokat Koordináta sík, és kösse össze őket egy sima görbével:

Ez a módszer némileg leegyszerűsíthető.

1. Határozza meg a parabola csúcsának koordinátáit!

2. Keresse meg a csúcstól jobbra és balra lévő pontok koordinátáit!

Használjuk a függvénygráf ábrázolásának eredményeit

A parabola csúcsai

A tetejéhez legközelebb eső, a tetejétől balra található pontok abszcisszákkal rendelkeznek, rendre -1; -2; -3

A tetejéhez legközelebbi, jobb oldalon található pontok abszcisszán vannak, rendre 0; 1; 2

Helyettesítsd be az x értékeit a függvény egyenletébe, keresd meg ezeknek a pontoknak az ordinátáit, és tedd a táblázatba:

Tegyük fel ezeket a pontokat a koordinátasíkra, és kössük össze őket egy sima vonallal:

2 . A másodfokú függvényegyenlet alakja - ebben az egyenletben - a parabola csúcsának koordinátái

vagy a másodfokú függvényegyenletben , a második együttható pedig páros szám.

Például készítsük el a függvény grafikonját .

Emlékezzünk lineáris transzformációk függvénygrafikonok. Egy függvény ábrázolásához , szükség

§ először ábrázolja a függvényt,

§, majd a grafikon összes pontját megszorozzuk 2-vel,

§, majd tolja el az OX tengely mentén 1 egységgel jobbra,

§, majd az OY tengely mentén 4 egységgel feljebb:

Most nézzük meg a függvény ábrázolását . Ennek a függvénynek az egyenletében a második együttható páros szám.