Az F(x, y) = 0 alakú egyenlőséget két x, y változós egyenletnek nevezzük, ha nem érvényes egyetlen x, y számpárra sem. Azt mondják, hogy két szám x \u003d x 0, y \u003d y 0 kielégít valamilyen F (x, y) \u003d 0 formájú egyenletet, ha ha ezeket a számokat behelyettesítjük az x és y változók helyére az egyenletben, akkor balra oldala eltűnik.

Egy adott egyenes egyenlete (a hozzárendelt koordinátarendszerben) egy két változóból álló egyenlet, amelyet az ezen az egyenesen elhelyezkedő összes pont koordinátái kielégítenek, és nem teljesülnek ki minden azon nem fekvő pont koordinátái.

A következőkben az „F(x, y) = 0 egyenes egyenlete adott” kifejezés helyett gyakran rövidebbet mondunk: adott az F(x, y) = 0 egyenes.

Ha két F(x, y) = 0 és Ф(x, y) = 0 egyenes egyenlete adott, akkor a rendszer együttes megoldása

F(x, y) = 0, F(x, y) = 0

megadja az összes metszéspontjukat. Pontosabban, minden számpár, amely ennek a rendszernek a közös megoldása, meghatározza az egyik metszéspontot,

157. Adott pontok *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Határozzuk meg, hogy az adott pontok közül melyek találhatók az x + y = 0 egyenlettel definiált egyenesen, és melyek nem. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Mutasd a rajzon.)

158. Az x 2 + y 2 \u003d 25 egyenlettel definiált egyenesen keresse meg azokat a pontokat, amelyek abszcisszái egyenlők a következő számokkal: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; ugyanazon az egyenesen keressünk olyan pontokat, amelyek ordinátája a következő számokkal egyenlő: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Mutasd a rajzon.)

159. Határozza meg, hogy mely vonalakat határozzák meg a következő egyenletek (építse fel őket a rajzra): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2-9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. A sorok adottak: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Határozza meg, hogy melyikük halad át az origón!

161. A sorok adottak: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Keresse meg metszéspontjaikat: a) az x tengellyel; b) az Oy tengellyel.

162. Keresse meg két egyenes metszéspontját:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) és M 5 ( 1; 2/3π) pontok ). Határozza meg, hogy ezek közül a pontok közül melyik található a pontban meghatározott egyenesen poláris koordináták p = 2cosΘ egyenlet, és amelyek nem fekszenek rá. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Mutasd a rajzon.)

164. A p \u003d 3 / cosΘ egyenlettel meghatározott egyenesen keresse meg azokat a pontokat, amelyek poláris szögei egyenlők a következő számokkal: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Alakítsa fel a rajzra.)

165. A p \u003d 1 / sinΘ egyenlettel meghatározott egyenesen keresse meg azokat a pontokat, amelyek poláris sugara megegyezik a következő számokkal: a) 1 6) 2, c) √2. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Alakítsa fel a rajzra.)

166. Határozza meg, hogy mely vonalakat határozzák meg polárkoordinátákban a következő egyenletekkel (építse fel őket a rajzra): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Szerkessze meg a rajzon Arkhimédész alábbi spiráljait: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.

168. Szerkessze meg a következő hiperbolikus spirálokat a rajzon: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Szerkessze meg a következő logaritmikus spirálokat a rajzon: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .

170. Határozza meg azoknak a szakaszoknak a hosszát, amelyekbe a p = 3Θ arkhimédeszi spirál a pólust elhagyó, a poláris tengelyhez Θ = π / 6 szögben ferde nyalábot vágja! Készítsen rajzot.

171. A C pontot a p \u003d 5 / πΘ arkhimédeszi spirálra vesszük, amelynek poláris sugara 47. Határozza meg, hány részre vágja el ez a spirál a C pont poláris sugarát. Készítsen rajzot!

172. Egy P \u003d 6 / Θ hiperbolikus spirálon keressünk egy P pontot, amelynek poláris sugara 12. Készítsen rajzot!

173. Egy p \u003d 3 Θ logaritmikus spirálon keressünk egy P pontot, amelynek poláris sugara 81. Készítsen rajzot!

Ha van egy szabály, amely szerint a sík minden egyes M pontjához (vagy a sík valamely részéhez) egy bizonyos u szám tartozik, akkor azt mondják, hogy a síkon (vagy a sík egy részén) "a egy pontot" adnak; egy függvény hozzárendelését szimbolikusan egy u=f(M) alakú egyenlőség fejezi ki. Az M ponthoz tartozó u számot ennek a függvénynek az M pontban lévő értékének nevezzük. Például, ha A a sík fix pontja, M pedig egy tetszőleges pont, akkor az A és M közötti távolság a az M pont. Ebben az esetben f (m) \u003d AM .

Adjunk meg valamilyen u=f(M) függvényt, és egyúttal vezessünk be egy koordinátarendszert. Ekkor egy tetszőleges M pontot az x, y koordináták határoznak meg. Ennek megfelelően ennek a függvénynek az értékét az M pontban az x, y koordináták határozzák meg, vagy ahogy mondják, u=f(M) két x és y változó függvénye. Két x és y változóból álló függvényt f(x; y) szimbólummal jelölünk: ha f(M)=f(x;y), akkor az u=f(x; y) képletet ennek kifejezésének nevezzük. függvény a választott koordinátarendszerben. Tehát az előző példában f(M)=AM; ha bevezetünk egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert, amelynek origója az A pontban van, akkor megkapjuk a függvény kifejezését:

u=sqrt(x^2 + y^2)

3688. FELADAT Adott egy f (x, y)=x^2–y^2–16 függvény.

Adott egy f (x, y)=x^2–y^2–16 függvény. Határozza meg ennek a függvénynek a kifejezését: új rendszer koordináták, ha koordinátatengelyek-45 fokkal elforgatva.

Paraméteres egyenes egyenletek

Jelölje x és y betűkkel valamelyik M pont koordinátáit; Tekintsük a t argumentum két függvényét:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Ha t változik, akkor x és y értéke általában véve megváltozik, ezért az M pont elmozdul. Az (1) egyenlőségeket nevezzük az egyenes parametrikus egyenletei, amely az M pont pályája; a t argumentumot a paraméterről nevezik el. Ha a t paraméter kizárható az (1) egyenlőségekből, akkor az M pont pályájának egyenletét a következő formában kapjuk meg.

Töltse le a Depositfiles oldalról

ANALITIKUS GEOMETRIA

7. sz. előadás 1. téma : A síkban lévő egyenesek és egyenleteik

1.1. Vonalak és egyenleteik in Descartes-rendszer koordináták

Az analitikus geometriában a síkon lévő vonalakat azon pontok helyének (g.m.t.) tekintjük, amelyek az egyenes minden pontjára azonos tulajdonsággal rendelkeznek.

Meghatározás. Vonal egyenlet
egy két változós egyenletxés nál nél, amelyet az egyenes bármely pontjának koordinátái kielégítenek, és nem teljesülnek egyetlen olyan pont koordinátái sem, amelyek nem ezen az egyenesen találhatók.

Ennek a fordítottja is igaz, i.e. bármilyen egyenletnál nél

a formának, általában véve a karteziánusban

koordinátarendszer (DSC) egy egyenest határoz meg

mint egy H.M.T., akinek a koordinátái megfelelnek

ezt az egyenletet. RÓL RŐL x

Megjegyzés 1. Nem minden típusú egyenlet határoz meg egy vonalat. Például az egyenlethez
nincsenek olyan pontok, koordináták, amelyek ezt az egyenletet kielégítenék. Az ilyen eseteket a továbbiakban nem vizsgáljuk meg.Ez az úgynevezett képzeletbeli vonalak esete.

P példa 1.Írj egyenletet egy sugarú körre!R egy pontra összpontosítva
.

Bármilyen hazugságértnál nélM

definíció szerint egy körönR

körök mint g.m.t., egyenlő távolságra

pontból kapjuk az egyenletetx

1.2. Paraméteres egyenletek vonalak

Van egy másik módja annak, hogy egy síkon lévő egyenest az úgynevezett egyenletekkel határozzuk megparametrikus:

1. példa Az egyenest parametrikus egyenletek adják meg

Ennek az egyenesnek az egyenletét meg kell kapni DSC-ben.

A paraméter kizárásat . Ehhez az egyenletek mindkét oldalát négyzetre emeljük, és összeadjuk

2. példa Az egyenest parametrikus egyenletek adják meg

a

Az egyenlet megszerzéséhez szükséges

ez a sor a DSC-ben. —a a

Tegyük ugyanezt, akkor kapunk

— a

2. megjegyzés. Meg kell jegyezni, hogy a paramétert a mechanikában az idő.

1.3. Vonalegyenlet poláris koordinátákban

A DSC nem az egyetlen módja egy pont helyzetének, és így az egyenes egyenletének meghatározásának. Síkon gyakran célszerű az úgynevezett poláris koordináta-rendszer (PSC) alkalmazása.

P Az SC meghatározása egy pont megadásával történik O - pólus és gerenda VAGY , amely ebből a pontból ered, amelyet ún poláris tengely. Ekkor bármely pont helyzetét két szám határozza meg: a poláris sugár
és polárszög közötti szög

poláris tengely és poláris sugár.

Pozitív referencia irány

poláris szög a poláris tengelytől

az óramutató járásával ellentétes irányba számolva.

A sík összes pontjára
, O R

és a polárszög egyediségére úgy tekintjük
.

Ha a DSC elejét a

pólus és az O tengely x küldte

poláris tengely, könnyen ellenőrizhetőnál nél

kapcsolatban a poláris és

Derékszögű koordináták:

RÓL RŐL x R

Vissza,

(1)

Ha a DSC-ben az egyenes egyenletnek van alakja, akkor PSC-ben - Akkor ebből az egyenletből kaphat egy egyenletet a formában

3. példa Írja fel a kör egyenletét FKR-ben, ha a kör középpontja a póluson van.

Az (1) átmenet képletekkel DSC-ről PSC-re kapjuk

P 4. példa.Írj egyenletet egy körre!

ha a pólus a körön és a poláris tengelyen vannál nél

áthalad az átmérőn.

Tegyük ugyanezt

Körülbelül 2 R x

R

Ez az egyenlet is megkapható

geometriai ábrázolásokból (lásd ábra).

P 5. példa.Cselekmény

Térjünk át a PSC-re. Az egyenlet

formát ölti majd
RÓL RŐL

Megrajzoljuk a vonalata

szimmetriáját és ODZ-jét figyelembe véve

jellemzők:

Ezt a vonalat hívjáklemniscate Bernoulli.

1.4. Koordinátarendszer transzformáció.

Vonalegyenlet új koordinátarendszerben

1. DSC párhuzamos átvitele.nál nél

Vegyünk két DSC-tM

a tengelyek azonos iránya, de

különböző eredetű.

A koordinátarendszerben RÓL RŐL HU pont

a rendszerrel kapcsolatban
RÓL RŐL x

koordinátái vannak
. Akkor van

és

Koordináta formában az eredményül kapott vektoregyenlőség alakja

vagy
. (2)

A (2) képletek a "régi" koordinátarendszerből való átmenet képletei RÓL RŐL HUaz "új" koordinátarendszerhez és fordítva.

5. példa Szerezze meg a kör egyenletét úgy, hogy csinálja párhuzamos átvitel koordinátarendszereka kör közepére.

ÉS a (2) képletekből az következik
nál nél RÓL RŐL

Ismételjük meg * Mi az a másodfokú egyenlet? * Milyen egyenleteket nevezünk nem teljes másodfokú egyenleteknek? * Melyik másodfokú egyenlet csökkentettnek nevezik? * Mi a másodfokú egyenlet gyöke? * Mit jelent másodfokú egyenlet megoldása? Mi az a másodfokú egyenlet? Milyen egyenleteket nevezünk nem teljes másodfokú egyenleteknek? Milyen másodfokú egyenletet nevezünk redukáltnak? Mi a másodfokú egyenlet gyöke? Mit jelent másodfokú egyenlet megoldása? Mi az a másodfokú egyenlet? Milyen egyenleteket nevezünk nem teljes másodfokú egyenleteknek? Milyen másodfokú egyenletet nevezünk redukáltnak? Mi a másodfokú egyenlet gyöke? Mit jelent másodfokú egyenlet megoldása?

Másodfokú egyenlet megoldásának algoritmusa: 1. Határozza meg, melyik módszer a racionálisabb egy másodfokú egyenlet megoldására 2. Válassza ki a legracionálisabb megoldási módot 3. Másodfokú egyenlet gyökeinek számának meghatározása 4. Másodfokú egyenlettábla gyökeinek megkeresése ...

További feltétel Egyenlet Gyökök Példák 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c \u003d 0, a 0, c 0 ax 2 + c \u003d 0 4. a 0 ax 2 + bx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / 2 a, ahol D \u003d 2-4 as-ban, D0 5. c páros szám (b \u003d 2k), de 0, 0-ban, 0-val ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / a, D 1 \u003d k 2 - ac, ahol k \u003d 6. A tétel ellentéte a Vieta-tételnek x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Speciális módszerek 7. A binomiális négyzet kinyerésének módja. Cél: Egyenlet felírása Általános nézet egy nem teljes másodfokú egyenlethez. Megjegyzés: a módszer bármely másodfokú egyenletre alkalmazható, de nem mindig kényelmes a használata. Másodfokú egyenlet gyökeinek képletének bizonyítására szolgál. Példa: oldja meg az x 2 -6 x + 8 = 0 8 egyenletet. A szenior együttható „átvitelének” módszere. Az ax 2 + bx + c = 0 és y 2 +by+ac=0 másodfokú egyenletek gyökereit a következő összefüggések kapcsolják össze: és Megjegyzés: a módszer jó "kényelmes" együtthatójú másodfokú egyenletekhez. Bizonyos esetekben lehetővé teszi a másodfokú egyenlet szóbeli megoldását. Példa: oldja meg a 2 x 2 -9 x-5=0 egyenletet a tételek alapján: Példa: oldja meg a 157 x x-177=0 egyenletet 9. Ha a másodfokú egyenletben a + b + c = 0, akkor az egyik a gyök értéke 1, a második pedig a Vieta-tétel szerint egyenlő c / a 10-gyel. Ha a másodfokú egyenletben a + c \u003d b, akkor az egyik gyök egyenlő -1-gyel, a második pedig a Vieta-tétel szerint egyenlő - c / a Példa: oldja meg a 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a egyenletet

III. Általános módszerek az egyenletek megoldására 11. Faktorozási módszer. Cél: Egy általános másodfokú egyenlet A(x)·B(x)=0 formájúvá tétele, ahol A(x) és B(x) polinomok x-hez képest. Módszerek: A közös tényező zárójelbe állítása; Rövidített szorzóképletek használata; csoportosítási módszer. Példa: oldja meg a 3 x 2 +2 x-1=0 egyenletet 12. Új változó bevezetésének módja. Egy új változó jó választása átláthatóbbá teszi az egyenlet szerkezetét Példa: oldja meg az egyenletet (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8

1. Melyik állítást nevezzük következménynek? Bizonyítsuk be, hogy az az egyenes, amely két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, a másikat is metszi.

Ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak.3. Melyik tételt nevezzük ennek a tételnek az inverzének? Mondjon példákat olyan tételekre, amelyek inverzek az adatokkal. 4. Bizonyítsuk be, hogy amikor két párhuzamos egyenes metszi a metszőt, akkor a fekvőszögek egyenlőek. 5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges az egyikre a két párhuzamos egyenest, akkor az is merőleges másra.6.Bizonyítsa be, hogy egy metsző két párhuzamos egyenesének metszéspontjában: a) a megfelelő szögek egyenlőek; b) az egyoldali szögek összege 180°.

Segítség Kérem geometriával kapcsolatos kérdéseivel (9. osztály)! 2) Mit jelent egy vektort ketté bontani

adott vektorok. 9) Mekkora egy pont sugárvektora Bizonyítsuk be, hogy egy pont koordinátái megegyeznek a vektorok megfelelő koordinátáival. 10) Vezessen le képleteket egy vektor koordinátáinak kiszámításához a kezdetének és végének koordinátáiból! 11) Vezess le egy vektor koordinátáinak kiszámítására szolgáló képleteket a végeinek koordinátáiból! 12) Készítsen képletet egy vektor hosszának a koordinátái alapján történő kiszámításához! 13) Készítsen képletet két pont távolságának koordinátái alapján történő kiszámításához! 15) Milyen egyenletet nevezünk ennek az egyenesnek az egyenletének? 16) Vezesse le egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja egy adott pontban van!

1) Fogalmazzon meg és bizonyítson be egy lemmát a kollineáris vektorokról!

3) Fogalmazzon meg és bizonyítson egy tételt egy vektor két nem-kollineáris vektorban történő kiterjesztésére.
4) Magyarázza el, hogyan kerül bevezetésre a derékszögű koordináta-rendszer!
5) Mik azok a koordinátavektorok?
6) Fogalmazza meg és igazolja az állítást egy tetszőleges vektor koordinátavektorokban való felbomlására!
7) Mik azok a vektorkoordináták?
8) Fogalmazza meg és igazolja a vektorok összegének és különbségének koordinátáinak, valamint egy vektornak a vektorok adott koordinátáinak megfelelő számmal való szorzatának megtalálásának szabályait!
10) Vezessen le képleteket egy vektor koordinátáinak kiszámításához a kezdetének és végének koordinátáiból!
11) Vezess le egy vektor koordinátáinak kiszámítására szolgáló képleteket a végeinek koordinátáiból!
12) Készítsen képletet egy vektor hosszának a koordinátái alapján történő kiszámításához!
13) Készítsen képletet két pont távolságának koordinátái alapján történő kiszámításához!
14) Mondjon példát egy megoldásra! geometriai probléma koordináta módszer segítségével.
16) Vezesse le egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja egy adott pontban van!
17) Írja fel egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja az origóban van!
18) Vezesse le ennek az egyenesnek az egyenletét egy derékszögű koordináta-rendszerben!
19) Írja fel az átmenő egyenesek egyenletét! adott pont M0 (X0: Y0) és párhuzamos a tengelyekkel koordináták.
20) Írja fel a koordinátatengelyek egyenletét!
21) Mondjon példákat a kör és az egyenes egyenleteinek felhasználására geometriai feladatok megoldásában!

Kérem, nagyon szükséges! Lehetőleg rajzokkal (ahol szükséges)!

GEOMETRIA 9. OSZTÁLY.

1) Fogalmazzon meg és bizonyítson be egy lemmát a kollineáris vektorokról!
2) Mit jelent egy vektort két adott vektorra bontani?
3) Fogalmazzon meg és bizonyítson egy tételt egy vektor két nem-kollineáris vektorban történő kiterjesztésére.
4) Magyarázza el, hogyan kerül bevezetésre a derékszögű koordináta-rendszer!
5) Mik azok a koordinátavektorok?
6) Fogalmazza meg és igazolja az állítást egy tetszőleges vektor koordinátavektorokban való felbomlására!
7) Mik azok a vektorkoordináták?
8) Fogalmazza meg és igazolja a vektorok összegének és különbségének koordinátáinak, valamint egy vektornak a vektorok adott koordinátáinak megfelelő számmal való szorzatának megtalálásának szabályait!
9) Mekkora egy pont sugárvektora? Bizonyítsuk be, hogy a pont koordinátái megegyeznek a vektorok megfelelő koordinátáival.
14) Mondjon példát geometriai feladat megoldására koordináta módszerrel!
15) Melyik egyenletet nevezzük ennek az egyenesnek az egyenletének? Adj egy példát.
17) Írja fel egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja az origóban van!
18) Vezesse le ennek az egyenesnek az egyenletét egy derékszögű koordináta-rendszerben!
19) Írja fel az adott M0 ponton (X0: Y0) átmenő és a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek egyenletét!
20) Írja fel a koordinátatengelyek egyenletét!
21) Mondjon példákat a kör és az egyenes egyenleteinek felhasználására geometriai feladatok megoldásában!