mozgási feladatok

A (4) egyenletet használjuk, és ennek deriváltját vesszük az idő függvényében

A (8)-ban egységvektorokkal a sebességvektor vetületei vannak koordinátatengelyek

A koordinátatengelyekre vonatkozó sebességvetületek a megfelelő koordináták első deriváltjaiként vannak definiálva.

Az előrejelzések ismeretében meg lehet találni vektor modulusés az ő irányát

, (10)

Sebesség meghatározása természetes úton

mozgási feladatok

Legyen adott egy anyagi pont pályája és a görbe koordináta változásának törvénye. Tegyük fel, hogy t 1 pont volt
és a koordináta s 1 , míg t 2 - koordináta s 2. Alatt
koordináta megnövekedett
, azután átlagsebesség pontokat

.

Ahhoz, hogy megtaláljuk a sebességet egy adott pillanatban, átlépjük a határt

,

. (12)

Egy pont sebességvektorát a mozgás megadásának természetes módja szerint a görbe koordináta első deriváltjaként definiáljuk.

pont gyorsulás

Anyagi pont gyorsulása alatt olyan vektormennyiséget értsen, amely egy pont sebességvektorának nagyságrendi és irányú változásának sebességét jellemzi az időben.

Egy pont gyorsulása a mozgás megadásának vektoros módszerével

Tekintsünk egy pontot két időpontban t 1 (
) és t 2 (
), azután
- időnövekedés
- sebességnövekedés.

Vektor
mindig a mozgás síkjában fekszik és a pálya konkávsága felé irányul.

P egy átlagos pontgyorsulás alatt  t megérteni a nagyságát

. (13)

Ahhoz, hogy megtaláljuk a gyorsulást egy adott időpillanatban, elérjük a határértéket

,

. (14)

Egy pont gyorsulását egy adott időpontban a pont sugárvektorának második időbeli deriváltjaként vagy a sebességvektor első időbeli deriváltjaként definiáljuk.

A gyorsulásvektor az összefüggő síkban helyezkedik el, és a pálya konkávsága felé irányul.

Egy pont gyorsulása a mozgásmeghatározás koordináta módszerével

Használjuk a vektor és a koordináta közötti kapcsolat egyenletét a mozgás megadására

És vegyük ki belőle a második származékot

,

. (15)

A (15) egyenletben egységvektorokkal a gyorsulásvektor vetületei vannak a koordináta tengelyekre

. (16)

A koordinátatengelyeken lévő gyorsulási vetületek a sebességvetületek első időbeli deriváltjaként vagy a megfelelő koordináták második időbeli deriváltjaiként vannak definiálva.

A gyorsulási vektor modulja és iránya a következő kifejezésekből található

, (17)

,
,
. (18)

Egy pont gyorsulása a mozgás megadásának természetes módjával

P
Hagyja, hogy a pont görbe vonalú pályán mozogjon. Tekintsünk két helyzetét az idő pillanatában t (s, M, v) és t 1 (s 1 , M 1 , v 1).

Ebben az esetben a gyorsulást a természetes koordinátarendszer M ponttal együtt mozgó tengelyeire vonatkozó vetületei határozzák meg. A tengelyek a következőképpen vannak irányítva:

M  - érintő, a pálya érintője mentén, a távolság pozitív referenciapontja felé irányítva,

M n- a főnormál, amely az összefüggő síkban fekvő normál mentén irányul, és a pálya homorúsága felé irányul,

M b a binormális, merőleges az M síkra  nés az első tengellyel jobboldali hármast alkot.

Mivel a gyorsulásvektor egy összefüggő síkban fekszik, akkor a b = 0. Keressük a gyorsulás vetületeit más tengelyekre.

. (19)

Vetítsük a (19)-et a koordinátatengelyekre

, (20)

. (21)

Rajzolja át az M 1 pont tengelyét párhuzamos a tengelyekkel az M pontban, és keresse meg a sebesség-vetületeket:

ahol  - az úgynevezett szomszédsági szög.

(22) helyett (20)

.

Nál nél  t 0  0, kötözősaláta 1 akkor

. (23)

Egy pont tangenciális gyorsulását a sebesség első deriváltja vagy a görbe koordináta második idő deriváltja határozza meg.

A tangenciális gyorsulás a sebességvektor nagyságrendi változását jellemzi.

(22) helyett (21)

.

Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ezzel s hogy ismert határokat kapjunk

ahol
(első figyelemre méltó határ),

,
,

, ahol  - a pálya görbületi sugara.

A számított határértékeket (24) behelyettesítve kapjuk

. (25)

Egy pont normál gyorsulását a sebesség négyzetének és a pálya görbületi sugarának aránya határozza meg az adott pontban.

A normál gyorsulás a sebességvektor iránybeli változását jellemzi, és mindig a pálya konkávsága felé irányul.

Végül megkapjuk az anyagi pont gyorsulásának a természetes koordináta-rendszer tengelyeire vonatkozó vetületeit és a vektor modulusát.

, (26)

. (27)

Képletek egy pont sebességének, gyorsulásának, a pálya görbületi sugarának, az érintőnek, a normálnak és a binormálisnak a kiszámításához a koordináták adott időfüggőségei szerint. Példa egy olyan probléma megoldására, amelyben adott egyenletek mozgás esetén meg kell határoznia a pont sebességét és gyorsulását. Meghatározzuk a pálya görbületi sugarát, az érintőt, a normált és a binormálist is.

Tartalom

Bevezetés

Az alábbi képletek következtetései és az elmélet bemutatása az „Anyagi pont kinematikája” oldalon találhatók. Itt ennek az elméletnek a fő eredményeit alkalmazzuk egy anyagi pont mozgásának meghatározásának koordinátamódszerére.

Legyen egy rögzített téglalap alakú koordinátarendszerünk, amelynek középpontja egy fix pont. Ebben az esetben az M pont helyzetét a koordinátái (x, y, z) egyértelműen meghatározzák. A pontmozgás meghatározásának koordinátamódszere- ez egy olyan módszer, amelyben megadják a koordináták időfüggőségét. Azaz az idő három függvénye adott (háromdimenziós mozgás esetén):

Kinematikai mennyiségek meghatározása

Ismerve a koordináták időfüggőségét, automatikusan meghatározzuk az M anyagpont sugárvektorát a következő képlettel:
,
ahol egységvektorok (orthok) vannak az x, y, z tengelyek irányában.

Az idő függvényében differenciálva megtaláljuk a sebesség és a gyorsulás vetületeit a koordinátatengelyeken:
;
;
Sebesség és gyorsulás modulok:
;
.

.

Az érintőleges (tangenciális) gyorsulás a teljes gyorsulás vetülete a sebesség irányába:
.
Tangenciális (tangenciális) gyorsulás vektora:

Normál gyorsulás:
.
; .
Egységvektor a pálya főnormálja irányában:
.

A pálya görbületi sugara:
.
Az út görbületi középpontja:
.

.

Példa a probléma megoldására

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása az adott mozgásegyenletek alapján

A megadott mozgásegyenletek alapján állapítsa meg egy pont pályájának típusát, és keresse meg az időpillanatban a pont helyzetét a pályán, sebességét, teljes, érintőleges és normál gyorsulásait, valamint a görbületi sugarát. a pályáról.

Pont mozgási egyenletek:
, cm;
, cm.

Döntés

A pálya típusának meghatározása

Az időt kizárjuk a mozgásegyenletekből. Ehhez átírjuk őket a következő formában:
; .
Alkalmazzuk a képletet:
.
;
;
;
.

Tehát megkaptuk a pályaegyenletet:
.
Ez egy parabola egyenlete, amelynek csúcsa egy pontban és egy szimmetriatengelye van.

Amennyiben
, azután
; vagy
.
Hasonlóképpen egy megszorítást kapunk a koordinátára:
;
;

Így a pont pályája a parabola íve
,
található
és .

Pontokból parabolát építünk.

0	6
3	5,625
6	4,5
kilenc	2,625
12	0

Határozza meg a pont pozícióját az adott időpontban.
;
.

Egy pont sebességének meghatározása

Differenciálva a koordinátákat és az idő függvényében, megtaláljuk a sebességkomponenseket.
.
A megkülönböztetéshez kényelmes a trigonometriai képlet alkalmazása:
. Azután
;
.

Kiszámoljuk a sebességkomponensek értékeit az időpillanatban:
;
.
Sebesség modul:
.

Egy pont gyorsulásának meghatározása

A sebességkomponensek differenciálásával és időre vonatkoztatva megtaláljuk a pont gyorsulási összetevőit.
;
.

Számítsa ki a gyorsulási összetevők értékét időben:
;
.
Gyorsító modul:
.

A tangenciális gyorsulás a teljes gyorsulás vetülete a sebesség irányára:
.
Mivel ekkor a tangenciális gyorsulás vektora a sebességgel ellentétes irányban irányul.

Normál gyorsulás:
.
A és vektor a pálya görbületi középpontja felé irányul.

A pálya görbületi sugara:
.

A pont pályája a parabola íve
; .
Pont sebessége: .
Pontgyorsulás: ; ; .
A pálya görbületi sugara: .

Egyéb mennyiségek meghatározása

A probléma megoldása során a következőket találtuk:
vektor és sebesség modulus:
; ;
vektor és teljes gyorsulási modulus:
; ;
érintőleges és normál gyorsulások:
; ;
a pálya görbületi sugara: .

Határozzuk meg a fennmaradó mennyiségeket.

Mértékegységvektor az útvonal érintőjének irányában:
.
Tangenciális gyorsulás vektor:

.
Normál gyorsulási vektor:

.
Egységvektor a főnormál irányában:
.
A pálya görbületi középpontjának koordinátái:

.

Vezessük be a koordinátarendszer harmadik tengelyét merőlegesen az és tengelyekre. 3D rendszerben
; .
Mértékegységvektor binormális irányban:


.

Adottnak tekinthető egy pont mozgása a térben, ha ismerjük három derékszögű x, y, z koordinátájának változásának törvényeit az idő függvényében. Azonban bizonyos esetekben az anyagi pontok térbeli mozgása (például területeken korlátozott felületek különböző formák), a mozgásegyenletek derékszögű koordinátákban történő alkalmazása kényelmetlen, mivel túlságosan nehézkessé válnak. Ilyen esetekben választhatunk másik három független skaláris paramétert $q_1,(\ q)_2,\ \ q_3$, amelyeket görbe vonalú vagy általánosított koordinátáknak nevezünk, amelyek szintén egyedileg határozzák meg egy pont helyzetét a térben.

Az M pont sebességét görbe vonalú koordinátákban történő mozgásának megadásakor az űrlap határozza meg vektor összege koordinátatengelyekkel párhuzamos sebességkomponensek:

\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\+v_(q_3)\overline(e_3)\]

A sebességvektor vetületei a megfelelő koordináta tengelyekre: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline(1 ,3)$

Itt $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ az úgynevezett paraméter i-edik együttható Lame és egyenlő az i-edik görbe vonalú koordináta mentén az adott M pontban számított pont sugárvektorának parciális deriváltjának modulusával. A $\overline(e_i)$ vektorok mindegyikének van egy iránya az iránynak megfelelő a $r_i$ sugárvektor végpontjának mozgása at i-tháltalánosított koordináta. A sebesség modulus egy merőleges görbe vonalú koordinátarendszerben a függésből számítható ki:

A fenti képletekben a deriváltak és a Lame-együtthatók értékeit az M pont aktuális helyzetére számítjuk ki a térben.

A gömbkoordináta-rendszerben egy pont koordinátái az r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$ skaláris paraméterek, amelyeket az ábra szerint számolunk. egy.

1. ábra Sebességvektor gömbkoordinátákban

Egy pont mozgásegyenletrendszere ebben az esetben a következő:

\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(tömb) \jobbra.\]

ábrán Az 1. ábra az origóból rajzolt r sugárvektort, a $(\mathbf \varphi )$ és a $(\mathbf \theta )$ szögeket, valamint a vizsgált rendszer koordinátavonalait és tengelyeit mutatja egy tetszőleges M pontban. a pálya. Látható, hogy a $((\mathbf \varphi ))$ és $((\mathbf \theta ))$ koordinátaegyenesek egy r sugarú gömb felületén fekszenek. Ez a görbe vonalú koordinátarendszer is merőleges. Derékszögű koordináták a következőképpen fejezhető ki gömbi koordinátákkal:

Ekkor a Lame együtthatók: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; a pontsebesség vetületei a gömbkoordináta-rendszer tengelyeire $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $, és a sebességvektor modulusa

Egy pont gyorsulása gömbi koordinátarendszerben

\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \théta ),\]

egy pont gyorsulásának vetületei a gömbi koordináta-rendszer tengelyeire

\ \

Gyorsító modul $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$

1. feladat

A pont a gömb és a henger metszésvonala mentén mozog az egyenletek szerint: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- gömb alakú koordináták). Határozza meg egy pont sebességének modulusát és vetületeit a gömbi koordináta-rendszer tengelyein!

Keressük meg a sebességvektor vetületeit a gömbi koordináták tengelyeire:

Sebességmodulus $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$

2. feladat

Az 1. feladat feltételével határozza meg a pontgyorsító modult.

Keressük meg a gyorsulásvektor vetületeit a gömbi koordináták tengelyeire:

\ \ \

Gyorsító modul $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$