Lehetővé teszi számunkra, hogy ezen a bolygón létezzünk. Hogyan érthető meg, hogy mi a centripetális gyorsulás? Ennek meghatározása fizikai mennyiség alább bemutatjuk.

Észrevételek

A körben mozgó test gyorsulásának legegyszerűbb példája egy kő kötélen történő forgatásával figyelhető meg. Te húzod a kötelet, és a kötél a sziklát a közepe felé húzza. A kötél minden pillanatban bizonyos mozgást ad a kőnek, és minden alkalommal új irányba. A kötél mozgását gyenge rándulások sorozataként képzelheti el. Egy rándulás – és a kötél megváltoztatja az irányát, újabb rándulás – újabb változás, és így tovább körben. Ha hirtelen elengedi a kötelet, a rándulások megállnak, és velük együtt a sebesség irányváltása is leáll. A kő a kört érintő irányba fog mozogni. Felmerül a kérdés: "Milyen gyorsulással fog mozogni a test ebben a pillanatban?"

centripetális gyorsulás képlete

Először is érdemes megjegyezni, hogy a test körben történő mozgása összetett. A kő egyszerre kétféle mozgásban vesz részt: erő hatására a forgásközéppont felé halad, ugyanakkor a körhöz érintőlegesen távolodik ettől a középponttól. Newton második törvénye szerint a követ egy húron tartó erő a húr mentén a forgási középpont felé irányul. A gyorsulásvektor is oda lesz irányítva.

Legyen t ideig egyenletesen V sebességgel mozgó kövünk A pontból B pontba. Tegyük fel, hogy abban a pillanatban, amikor a test átlépte a B pontot, a centripetális erő megszűnt rá hatni. Aztán egy ideig eléri a K pontot. Az érintőn fekszik. Ha ugyanabban az időpillanatban csak centripetális erők hatnának a testre, akkor a t időben azonos gyorsulással haladva az O pontba kerülne, amely egy kör átmérőjét ábrázoló egyenesen helyezkedik el. Mindkét szegmens vektor, és betartja a vektorösszeadás szabályát. E két mozgás t időtartamú összegzése eredményeképpen az AB ív mentén kapott mozgást kapjuk.

Ha a t időintervallumot elhanyagolhatóan kicsire vesszük, akkor az AB ív alig fog eltérni az AB húrtól. Így lehetséges az ív mentén történő mozgást egy húr mentén történő mozgással helyettesíteni. Ebben az esetben a kő mozgása a húr mentén az egyenes vonalú mozgás törvényeinek fog engedelmeskedni, vagyis a megtett AB távolság egyenlő lesz a kő sebességének és mozgási idejének szorzatával. AB = V x t.

Jelöljük a kívánt centripetális gyorsulást a betűvel. Ekkor a képlettel kiszámítható a csak centripetális gyorsulás hatására megtett út egyenletesen gyorsított mozgás:

AB távolság egyenlő a sebesség és az idő szorzatával, azaz AB = V x t,

AO - korábban kiszámítva az egyenletesen gyorsított mozgási képlet segítségével egyenes vonalban történő mozgáshoz: AO = 2/2-nél.

Ezeket az adatokat a képletbe behelyettesítve és átalakítva egy egyszerű és elegáns képletet kapunk a centripetális gyorsuláshoz:

Szavakkal ez a következőképpen fejezhető ki: egy körben mozgó test centripetális gyorsulása egyenlő a lineáris sebesség elosztásának a kör sugarával, amely mentén a test forog. A centripetális erő ebben az esetben úgy néz ki, mint az alábbi képen.

Szögsebesség

A szögsebesség egyenlő a lineáris sebesség osztva a kör sugarával. Ennek a fordítottja is igaz: V = ωR, ahol ω a szögsebesség

Ha ezt az értéket behelyettesítjük a képletbe, megkapjuk a centrifugális gyorsulás kifejezését a szögsebességre. Így fog kinézni:

Gyorsulás sebességváltozás nélkül

És mégis, miért nem mozog gyorsabban egy test, amelynek gyorsulása középpont felé irányul, és közeledik a forgásközépponthoz? A válasz magában a gyorsulás megfogalmazásában rejlik. A tények azt mutatják, hogy a körkörös mozgás valós, de ennek fenntartásához gyorsulásra van szükség a középpont felé. Az e gyorsulás okozta erő hatására az impulzusban változás következik be, aminek következtében a mozgás pályája folyamatosan görbül, folyamatosan változtatva a sebességvektor irányát, de abszolút értékét nem. Körben haladva hosszútűrő kövünk befelé rohan, különben érintőlegesen haladna tovább. Az idő minden pillanatában egy érintőn hagyva a kő a középponthoz vonzódik, de nem esik bele. A centripetális gyorsulás másik példája egy vízisíelő, aki kis köröket tesz a vízen. A sportoló alakja meg van döntve; úgy tűnik, hogy esik, tovább mozog és előrehajol.

Ebből arra következtethetünk, hogy a gyorsulás nem növeli a test sebességét, mivel a sebesség- és gyorsulásvektorok merőlegesek egymásra. A sebességvektorhoz hozzáadva a gyorsulás csak a mozgás irányát változtatja meg, és a testet a pályán tartja.

A biztonsági határ túllépve

A korábbi tapasztalatok szerint ideális kötéllel volt dolgunk, ami nem szakadt el. De mondjuk a mi kötélünk a legelterjedtebb, és még azt is ki tudod számolni, hogy mennyi erőfeszítés után egyszerűen elszakad. Ennek az erőnek a kiszámításához elegendő összehasonlítani a kötél biztonsági határát a kő forgása során tapasztalt terheléssel. Ha nagyobb sebességgel forgatja a követ, nagyobb mozgást ad neki, és ezáltal nagyobb gyorsulást.

Körülbelül 20 mm átmérőjű juta kötélnél a szakítószilárdsága körülbelül 26 kN. Figyelemre méltó, hogy a kötél hossza nem jelenik meg sehol. 1 kg-os terhet 1 m sugarú kötélen forgatva kiszámíthatjuk, hogy a szakításhoz szükséges lineáris sebesség 26 x 10 3 = 1kg x V 2 / 1 m. Így a veszélyes túllépési sebesség egyenlő legyen √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.

A gravitációs erő

A kísérlet mérlegelésekor figyelmen kívül hagytuk a gravitáció hatását, mivel ilyen nagy sebességeknél annak hatása elhanyagolhatóan kicsi. De láthatja, hogy egy hosszú kötél letekerésekor a test bonyolultabb pályát ír le, és fokozatosan közeledik a talajhoz.

égitestek

Ha a körkörös mozgás törvényeit átvisszük a térbe, és az égitestek mozgására alkalmazzuk, több, régóta ismert képletet fedezhetünk fel újra. Például azt az erőt, amellyel egy testet vonz a Föld, a következő képlet ismeri:

Esetünkben a g tényező az a centripetális gyorsulás, amelyet az előző képletből származtattunk. Csak ebben az esetben a kő szerepét a Földhöz vonzódó égitest fogja betölteni, a kötél szerepét pedig a föld vonzási ereje. A g tényezőt bolygónk sugarával és forgási sebességével fejezzük ki.

Eredmények

A centripetális gyorsítás lényege a mozgó test pályán tartásának kemény és hálátlan munkája. Paradox eset figyelhető meg, amikor állandó gyorsulással a test nem változtat a sebességén. A képzetlen elme számára egy ilyen kijelentés meglehetősen paradox. Mindazonáltal mind az elektron atommag körüli mozgásának, mind a csillagok fekete lyuk körüli forgási sebességének kiszámításakor a centripetális gyorsulás fontos szerepet játszik.

A küldetés forrása: határozat 3553.-20. OGE 2016 Matematika, I.V. Jascsenko. 36 lehetőség.

18. feladat. A diagram az Ural, a Volga, a Déli és a Távol-Kelet kategóriáinak megoszlását mutatja be szövetségi körzetek. Határozza meg a diagramból, hogy melyik kerületben a legkisebb a mezőgazdasági terület aránya!

1) Urál szövetségi körzet

2) Volga Szövetségi Körzet

3) Déli szövetségi körzet

4) Távol-keleti szövetségi körzet

Megoldás.

A mezőgazdasági területeket egy szektor színezi vízszintes vonalak formájában (lásd az ábrát). Ki kell választani azt a körzetet, amelyben egy ilyen szektor területe minimális. Az ábra elemzése azt mutatja, hogy ez a távol-keleti szövetségi körzet.

Válasz: 4.

19. feladat. A nagyinak 20 csésze van: 10 piros virággal, a többi kékkel. A nagymama teát tölt egy véletlenszerűen kiválasztott csészébe. Határozza meg annak valószínűségét, hogy kék virágú csésze lesz.

Megoldás.

Mivel pontosan 20-10 = 10 kék virágos csésze van, és összesen 20 csésze van, akkor annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen választunk egy kék virágos csészét

.

Válasz: 0,5.

20. feladat. A körben történő mozgás középponti gyorsulása (m/s2-ben) az a=w^2*R képlettel számítható ki, ahol w a szögsebesség (s-1-ben), R pedig a kör sugara. Ezzel a képlettel keresse meg az R sugarat (méterben), ha a szögsebesség 7,5 s-1 és a centripetális gyorsulás 337,5 m/s2.

Megoldás.

A képletből kifejezzük a kör sugarát, kapjuk:

és számítsuk ki úgy, hogy az adatokat behelyettesítjük a , , képletbe.

Az egyenletes körmozgást a test kör mentén történő mozgása jellemzi. Ebben az esetben csak a sebesség iránya változik, a modulusa pedig állandó marad.

Általános esetben a test görbe vonalú pályán mozog, és ezt nehéz leírni. A leírás egyszerűsítése érdekében görbe vonalú mozgás bontsa többre egyszerű nézetek mozgalom. Különösen az egyik ilyen típus az egyenletes körmozgás. Bármely görbe mozgási pálya kellően szakaszokra osztható kis méret, amelyen a test hozzávetőlegesen a kör részét képező ív mentén mozog.

Amikor egy test körben mozog, a lineáris sebesség érintőlegesen irányul. Ezért még akkor is, ha a test ívben mozog állandó modulo sebességgel, akkor a mozgás iránya minden pontban eltérő lesz. Így minden mozgás egy körben gyorsulással járó mozgás.

Képzelj el egy kört, amely mozog anyagi pont. A nulla időpillanatban A pozícióban van. Egy bizonyos idő elteltével a B pontba kerül. Ha a kör középpontjából két sugárvektort húzunk az A és B pontba, akkor valamilyen szög lesz szerzett közöttük. Nevezzük szög-phi-nek. Ha a pont ugyanazon időintervallumon át ugyanazon a phi szögben forog, akkor az ilyen mozgást egyenletesnek, a sebességet pedig szögnek nevezzük.

1. ábra - szögsebesség.

Szögsebesség fordulat per másodpercben mérve. Egy fordulat/másodperc az, amikor a pont végighalad a teljes körön és visszatér eredeti helyzetébe, egy másodpercet fordítva erre. Ezt a forgalmat keringési periódusnak nevezzük. A forgási periódus reciprokát forgási frekvenciának nevezzük. Vagyis hány fordulatot van ideje megtenni a pontnak egy másodperc alatt. A két sugárvektor által bezárt szöget radiánban mérjük. A radián az a szög két sugárvektor között, amelyek egy sugár hosszúságú ívet vágnak a kör felületén.

A kör mentén mozgó pont sebessége radián per másodpercben is mérhető. Ebben az esetben egy pont másodpercenként egy radiánnal történő elmozdulását sebességnek nevezzük. Ezt a sebességet szögnek nevezzük. Vagyis hány egységszöget enged a sugárvektornak egy másodperc alatt elfordulni. Nál nél egyenletes mozgás a kör körül a szögsebesség állandó.

A kör mentén történő mozgás gyorsulásának meghatározásához megszerkesztjük az ábra A és B pontjainak sebességvektorait, amelyek között a szög egyenlő a sugárvektorok közötti szöggel. Mivel a gyorsulás egy bizonyos időintervallum után felvett sebességek különbsége osztva ezzel az intervallummal. Ez a segítséggel párhuzamos átvitel mozgassuk a sebességvektor elejét az A pontban B pontba. Ezen vektorok különbsége a delta V vektor lesz. Ha elosztjuk az A és B pontot összekötő húrral, feltéve, hogy a pontok távolsága végtelenül kicsi , akkor megkapjuk a kör közepére irányított gyorsulásvektort. Más néven centripetális gyorsulás.

Egyenletes körben mozogva a test centripetális gyorsulással mozog. Határozzuk meg ezt a gyorsulást.

A gyorsulás a sebesség változásával azonos irányú, ezért a gyorsulás a kör közepe felé irányul. Fontos feltevés: a  szög olyan kicsi, hogy az AB húr hossza megegyezik az ív hosszával:

két arányos oldal és a köztük lévő szög. Következésképpen:

– centripetális gyorsító modul.

A dinamika alapjai Newton első törvénye. Inerciális referenciarendszerek. Galilei relativitás elve

Bármely test mozdulatlan marad mindaddig, amíg más testek nem lépnek rá. Egy bizonyos sebességgel mozgó test egyenletesen és egyenes vonalban mozog mindaddig, amíg más testek nem hatnak rá. Galileo Galilei olasz tudós volt az első, aki ilyen következtetésekre jutott a testek mozgásának törvényeiről.

Azt a jelenséget, amikor a test sebessége külső hatások hiányában megmarad, ún tehetetlenség.

A testek minden pihenése és mozgása relatív. Ugyanaz a test lehet nyugalomban az egyik vonatkoztatási rendszerben, és mozoghat gyorsulással a másikban. De vannak olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyekhez képest a transzlációsan mozgó testek állandó sebességet tartanak, ha más test nem hat rájuk. Ezt az állítást Newton első törvényének (tehetetlenségi törvénynek) nevezik.

Azokat a referenciarendszereket, amelyekhez képest a test külső hatások hiányában egyenes vonalban és egyenletesen mozog, ún. inerciális referenciarendszerek.

Tetszőleges számú inerciális vonatkoztatási rendszer lehet, pl. minden vonatkoztatási rendszer, amely egyenletesen és egyenesen mozog az inerciálishoz képest, szintén tehetetlen. Nincsenek igaz (abszolút) inerciális vonatkoztatási rendszerek.

A testek mozgási sebességének megváltoztatásának oka mindig a más testekkel való kölcsönhatás.

Amikor két test kölcsönhatásba lép, mind az első, mind a második test sebessége mindig változik, azaz. mindkét test gyorsulásra tesz szert. Két kölcsönhatásban lévő test gyorsulása eltérő lehet, a testek tehetetlenségétől függ.

tehetetlenség- a test azon képessége, hogy fenntartsa mozgási (nyugalmi) állapotát. Minél nagyobb a test tehetetlensége, annál kisebb gyorsulást ér el, amikor más testekkel kölcsönhatásba lép, és annál közelebb áll a mozgása a tehetetlenségi nyomaték általi egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz.

Súly- a test tehetetlenségét jellemző fizikai mennyiség. Minél nagyobb egy test tömege, annál kisebb gyorsulást kap az interakció során.

A tömeg SI mértékegysége a kilogramm: [m]=1 kg.

Az inerciális vonatkoztatási rendszerekben egy test sebességének bármilyen változása más testek hatására következik be. Erő az egyik test másik testre gyakorolt ​​hatásának mennyiségi kifejeződése.

Erő- irányának egy vektorfizikai mennyiséget, a test gyorsulásának irányát veszik fel, amelyet ez az erő okoz. Az erőnek mindig van egy alkalmazási pontja.

SI-ben az erő mértékegysége az az erő, amely 1 m/s 2 gyorsulást kölcsönöz egy 1 kg tömegű testnek. Ezt az egységet Newtonnak hívják:

.

Newton második törvénye

A testre ható erő egyenlő a test tömegének és az erő által kiváltott gyorsulásnak a szorzatával:

.

Így a test gyorsulása egyenesen arányos a testre ható erővel és fordítottan arányos a tömegével:

.

Mivel a lineáris sebesség egyenletesen változtatja az irányt, ezért a kör mentén történő mozgás nem nevezhető egyenletesnek, egyenletesen gyorsul.

Szögsebesség

Válasszon egy pontot a körön 1 . Építsünk egy sugarat. Egy időegység erejéig a pont a pontra kerül 2 . Ebben az esetben a sugár a szöget írja le. A szögsebesség számszerűen egyenlő a sugár egységnyi idő alatti elfordulási szögével.

Időszak és gyakoriság

Forgatási időszak T az az idő, amely alatt a testnek egy fordulatot kell végrehajtania.

Az RPM a másodpercenkénti fordulatok száma.

A gyakoriság és az időszak összefügg a kapcsolattal

Összefüggés a szögsebességgel

Vonal sebesség

A kör minden pontja bizonyos sebességgel mozog. Ezt a sebességet lineárisnak nevezzük. A lineáris sebességvektor iránya mindig egybeesik a kör érintőjével. Például egy daráló alól szikrák mozognak, megismételve a pillanatnyi sebesség irányát.

Tekintsünk egy pontot a körön, amely egy fordulatot tesz, az eltöltött időt – ez az időszak T.A pont által megtett út a kör kerülete.

centripetális gyorsulás

Kör mentén haladva a gyorsulásvektor mindig merőleges a sebességvektorra, és a kör közepére irányul.

Az előző képletek felhasználásával a következő összefüggéseket tudjuk levezetni

A kör középpontjából kiinduló, ugyanazon az egyenesen fekvő pontok (például lehetnek a kerék küllőjén fekvő pontok) azonos szögsebességgel, periódussal és gyakorisággal rendelkeznek. Vagyis ugyanúgy fognak forogni, de eltérő lineáris sebességgel. Minél távolabb van a pont a középponttól, annál gyorsabban fog mozogni.

A forgó mozgásra is érvényes a sebességek összeadásának törvénye. Ha egy test vagy vonatkoztatási rendszer mozgása nem egyenletes, akkor a törvény vonatkozik rá azonnali sebességek. Például egy forgó körhinta szélén sétáló ember sebessége az vektor összege a körhinta élének lineáris forgási sebessége és az emberi mozgás sebessége.

A Föld két fő forgási mozgásban vesz részt: naponta (a tengelye körül) és keringő (a Nap körül). A Föld Nap körüli forgási periódusa 1 év vagy 365 nap. A Föld nyugatról keletre forog a tengelye körül, ennek a forgásnak az időtartama 1 nap vagy 24 óra. A szélesség az egyenlítő síkja és a Föld középpontja és a felszínének egy pontja közötti szög.

Newton második törvénye szerint minden gyorsulás oka egy erő. Ha egy mozgó test centripetális gyorsulást tapasztal, akkor a gyorsulást okozó erők természete eltérő lehet. Például, ha egy test körben mozog a hozzákötött kötélen, akkor a ható erő a rugalmas erő.

Ha egy korongon fekvő test a koronggal együtt forog a tengelye körül, akkor ez az erő a súrlódási erő. Ha az erő abbahagyja a hatását, akkor a test továbbra is egyenes vonalban mozog

Fontolja meg egy kör pontjának áthelyezését A-ból B-be. Vonal sebesség egyenlő

Most térjünk át a földhöz kapcsolódó rögzített rendszerre. Teljes gyorsulás Az A pont abszolút értékben és irányban is változatlan marad, mivel a gyorsulás nem változik az egyik tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerből a másikba való mozgáskor. Az álló megfigyelő szemszögéből az A pont pályája már nem egy kör, hanem egy összetettebb görbe (cikloid), amely mentén a pont egyenetlenül mozog.