Az anyagi pont impulzusimpulzusának változásáról szóló tétel. Tétel egy pont szögimpulzusának változásáról

Egy pont szögimpulzusának bármely középponthoz viszonyított első deriváltja egyenlő az ugyanarra a középpontra vonatkozó erőnyomatékkal:

A (171)-et derékszögű derékszögű koordinátatengelyekre vetítve tételeket kapunk a változásról perdület pont ezekről koordináta tengelyek:

,
,
. (171")

Tétel a rendszer impulzusimpulzusának változásáról

A rendszer impulzusimpulzusának első időbeli deriváltja bármely ponthoz képest megegyezik a rendszerre ugyanazon pontra ható külső erők nyomatékainak vektorösszegével.

, (172)

ahol
– Lényege minden külső erők rendszerek.

A (172) derékszögű derékszögű koordinátatengelyekre vetítve tételeket kapunk a rendszer impulzusimpulzusának változásáról ezekhez a koordinátatengelyekhez képest, azaz.

,
,
. (172")

A lendület megmaradásának törvényei

1. Ha a rendszer külső erőinek főnyomatéka a ponthoz képest egyenlő nullával, azaz.
, akkor a (79) szerint a rendszer szögimpulzusa
ugyanahhoz a ponthoz viszonyítva nagysága és iránya állandó, azaz.

. (173)

A rendszer impulzusimpulzusának változására vonatkozó tétel ezen speciális esetét ún a lendület megmaradásának törvénye. E törvény szerint derékszögű derékszögű koordinátatengelyekre vetítésekben

,
,
,

ahol ,,állandó értékek.

2. Ha a rendszer összes külső erőjének tengely körüli nyomatékainak összege
egyenlő nullával, azaz.
, akkor a (172")-ből az következik, hogy

. (174)

Következésképpen, a rendszer kinetikus nyomatéka bármely koordinátatengely körül állandó, ha a tengely körüli külső erők nyomatékainak összege nulla, ami különösen akkor figyelhető meg, ha a külső erők párhuzamosak a tengellyel vagy keresztezik azt. Egy adott esetben olyan testhez vagy testrendszerekhez, amelyek együtt tudnak egy rögzített tengely körül forogni, és ha egyidejűleg

, vagy
, (175)

ahol És - a testek rendszerének tehetetlenségi nyomatéka és a forgástengelyhez viszonyított szögsebessége tetszőleges időpillanatban ;És - a testek tehetetlenségi nyomatéka és szögsebessége a kezdeti pillanatnak választott időpillanatban.

Merev test fix tengely körüli forgásának differenciálegyenlete

A kinetikus nyomaték változására vonatkozó tételből (172") következik a forgási differenciálegyenlet szilárd test körül rögzített tengely
:

, (176)

ahol a test forgásszöge.

A merev test forgómozgásának differenciálegyenlete általános esetben két fő probléma megoldását teszi lehetővé: a külső erők nyomatékának meghatározását a test adott forgásából, valamint a test forgásának meghatározását egy adott forgási nyomatékból és kezdőpontból. körülmények. A második feladat megoldása során, hogy megtaláljuk a forgásszöget, integrálni kell differenciálegyenlet forgó mozgás. Integrálásának módszerei teljesen hasonlóak a pont egyenes vonalú mozgásának differenciálegyenletének vizsgált integrálási módszereihez.

Tétel a rendszer szögimpulzusának változásáról relatív mozgásban a tömegközépponthoz képest

Hagyja, hogy a mechanikai rendszer mozogjon a fő koordináta-rendszerhez képest
. Vegyünk egy mozgó koordináta-rendszert
origóval a rendszer tömegközéppontjában , a fő koordináta-rendszerhez képest előre haladva. Bizonyítható a képlet érvényessége:

ahol a tömegközéppont abszolút sebessége,
.

Érték
a rendszernek a tömegközépponthoz viszonyított szögimpulzusa a tömegközépponttal transzlációsan együtt mozgó koordináta-rendszerhez viszonyított relatív mozgáshoz, azaz a rendszerhez
.

A (176) képlet azt mutatja perdület abszolút mozgás rendszer egy fix ponthoz képest egyenlő a tömegközéppont ugyanahhoz a ponthoz viszonyított impulzusimpulzusának vektorösszegével, ha a rendszer teljes tömege a tömegközéppontban koncentrálódik, és a rendszer tömegközépponthoz viszonyított impulzusimpulzusának vektorösszegével. a rendszer relatív mozgása a tömegközépponttal transzlációsan együtt mozgó mozgó koordináta-rendszerhez képest.

Tétel a rendszer szögimpulzusának a tömegközépponthoz viszonyított változásáról for relatív mozgás rendszer a tömegközépponttal előre haladó koordinátarendszerhez képest; ugyanúgy fogalmazódik meg, mintha a tömegközéppont egy fix pont lenne:

vagy
, (178)

ahol
minden külső erő fő momentuma a tömegközéppont körül.

Vegyünk egy anyagi pontot M súly m erő hatása alatt mozog F(3.1. ábra). Írjuk fel és konstruáljuk meg a szögimpulzus (kinetikus impulzus) vektorát! M0 anyagi pont a központhoz képest O:

3.1. ábra

Különböztesse meg a lendületi momentum (kinetikus momentum) kifejezést k 0) idő szerint:

Mivel dr/dt=V, azután vektor termék V×m∙V(kollineáris vektorok VÉs m∙V) nulla. Ugyanabban az időben d(m∙V)/dt=F anyagi pontra vonatkozó impulzustétel szerint. Ezért ezt kapjuk

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

ahol r×F = M 0 (F)– vektor-erőnyomaték F a rögzített középponthoz képest O. Vektor k 0⊥ repülőgép ( r, m×V), és a vektor M 0 (F)⊥ repülőgép ( r, F), végre megvan

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

A (3.4) egyenlet egy anyagi pont szögimpulzusának (kinetikus impulzusának) a középponthoz viszonyított változására vonatkozó tételt fejezi ki: egy anyagi pont impulzusnyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a pontra ható erő nyomatékával ugyanazon középponthoz képest.

A (3.4) egyenlőség kivetítése a tengelyekre Derékszögű koordináták, kapunk

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

A (3.5) egyenletek kifejezik az anyagi pont szögimpulzusának (kinetikus nyomatékának) a tengely körüli változásának tételét: egy anyagi pont lendületi nyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített tengelyhez viszonyított időbeli deriváltja megegyezik az erre a pontra ható erő nyomatékával ugyanarra a tengelyre vonatkoztatva.

Tekintsük a (3.4) és (3.5) tételekből következő következményeket!

Következmény 1

Tekintsük azt az esetet, amikor az erő F a pont teljes mozgása során áthalad a rögzített középponton O(központi erő esete), i.e. amikor M 0 (F) = 0. Ekkor a (3.4) tételből az következik, hogy k 0 = állandó, azok. centrális erő esetén egy anyagi pont szögimpulzusa (kinetikus nyomatéka) ennek az erőnek a középpontjához viszonyítva nagysága és iránya állandó marad.(3.2. ábra).

3.2. ábra

Az állapottól k 0 = állandó ebből következik, hogy a mozgó pont pályája egy síkgörbe, amelynek síkja átmegy ennek az erőnek a középpontján.

2. következmény

Legyen M z (F) = 0, azaz az erő keresztezi a tengelyt z vagy azzal párhuzamosan.

Ebben az esetben, amint az a (3.5) egyenlet harmadik részéből látható, kz = állandó, azok. ha a pontra ható erő bármely rögzített tengelyhez viszonyított nyomatéka mindig nulla, akkor a pont ehhez a tengelyhez viszonyított szögnyomatéka (kinetikus nyomatéka) állandó marad.

A pont szögimpulzusa és mechanikus rendszer

Rizs. 3.14

Egy anyagi pont és egy mechanikai rendszer mozgásának egyik dinamikus jellemzője a kinetikus momentum vagy impulzusnyomaték.

Anyagi pontnál bármely O középponthoz viszonyított kinetikus nyomatékot a pont ehhez a középponthoz viszonyított impulzusnyomatékának nevezzük (3.14. ábra),

Egy anyagi pont szögimpulzusa egy tengelyhez képest egy pont impulzusimpulzusának erre a tengelyére való vetülete a tengely bármely középpontjához viszonyítva:

A mechanikai rendszer O középponthoz viszonyított szögimpulzusát ún geometriai összeg a rendszer összes pontjának kinetikus nyomatékai ugyanahhoz a középponthoz viszonyítva (3.15. ábra):

(3.20)

A kinetikus nyomatékot egy pontra alkalmazzuk RÓL RŐL amihez képest kiszámolják.

Ha a (3.20)-at a tengelyekre vetítjük Descartes-rendszer koordinátákat, akkor ezekre a tengelyekre kapjuk a szögimpulzus vetületeit, vagy a koordinátatengelyekhez viszonyított kinetikai nyomatékokat:

Határozzuk meg a test szögimpulzusát a rögzített forgástengelyéhez képest z(3.16. ábra).

A (3.21) képletek szerint megvan

De amikor a test w szögsebességgel forog, akkor a sebesség és a pont lendülete merőleges a szakaszra dkés a forgástengelyre merőleges síkban fekszik Oz, Következésképpen

Rizs. 3.15

Rizs. 3.16

Az egész testre:

ahol Jz a forgástengely körüli tehetetlenségi nyomaték.

Ebből következően egy merev test forgástengely körüli kinetikai nyomatéka egyenlő a test adott tengely körüli tehetetlenségi nyomatékának és a test szögsebességének szorzatával.

2. Tétel a szögimpulzus változásáról
mechanikus rendszer

A rendszer szögimpulzusa a rögzített középponthoz viszonyítva O(3.15. ábra)

Vegyük az idő deriváltját ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldaláról:

(3.22)

Ezt figyelembe vesszük akkor a (3.22) kifejezés felveszi a formát

Illetve erre tekintettel

- a középpont körüli külső erők nyomatékainak összege O, végre megvan:

(3.23)

A (3.23) egyenlőség a szögimpulzus változására vonatkozó tételt fejezi ki.

Tétel a kinetikus nyomaték változásáról. Egy mechanikai rendszer impulzusimpulzusának fix középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a rendszer külső erőinek ugyanarra a középpontra vonatkozó főmomentumával.

Ha a (3.23) egyenlőséget a derékszögű koordináták rögzített tengelyeire vetítjük, a tételt ezekre a tengelyekre vetítjük:

A (3.23)-ból az következik, hogy ha a külső erők valamely rögzített középponthoz viszonyított főmomentuma nullával egyenlő, akkor ehhez a középponthoz viszonyított kinetikus nyomaték állandó marad, azaz. ha

(3.24)

Ha a rendszer külső erőinek nyomatékainak összege bármely rögzített tengelyhez képest nulla, akkor a szögimpulzus megfelelő vetülete állandó marad,

(3.25)

A (3.24) és (3.25) állítások a rendszer impulzusimpulzusának megmaradásának törvényét képviselik.

A rendszer impulzusimpulzusának változására vonatkozó tételt úgy kapunk, hogy a szögimpulzus számításakor pontként a pontot választjuk A, sebességgel mozog az inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest

A rendszer szögimpulzusa egy ponthoz képest A(3.17. ábra)

Rizs. 3.17

mivel azután

Tekintettel arra ahol a rendszer tömegközéppontjának sebessége, megkapjuk

Számítsa ki a szögimpulzus időbeli deriváltját!

Az eredményül kapott kifejezésben:

A második és harmadik kifejezés összevonása, és ennek figyelembevétele

végre megkapjuk

Ha a pont egybeesik a rendszer tömegközéppontjával C, azután és a tétel azzá válik

azok. ugyanolyan formája van, mint egy fix pontnak RÓL RŐL.

3. Merev test forgási differenciálegyenlete
rögzített tengely körül

Hagyja, hogy egy merev test forogjon egy rögzített tengely körül Az(3.18. ábra) külső erőrendszer hatására
A forgástengelyre vetítve felírjuk a rendszer impulzusimpulzusának változására vonatkozó tétel egyenletét:

Rizs. 3.18

Merev test rögzített tengely körüli forgása esetén:

ahol Jz a forgástengely körüli állandó tehetetlenségi nyomaték; w a szögsebesség.

Ezt figyelembe véve a következőket kapjuk:

Ha bevezetjük a j test forgásszögét, akkor az egyenlőséget figyelembe véve nekünk van

(3.26)

A (3.26) kifejezés egy merev test fix tengely körüli forgásának differenciálegyenlete.

4. Tétel a rendszer szögimpulzusának változásáról
relatív mozgásban a tömegközépponthoz képest

A mechanikai rendszer vizsgálatához fix koordinátarendszert választunk Ökör 1 y 1 z 1 és mobil Cxyz tömegközépponttól kezdve C, előre haladva (3.19. ábra).

Egy vektoros háromszögből:

Rizs. 3.19

Ha ezt az egyenlőséget az idő függvényében megkülönböztetjük, azt kapjuk

vagy

hol van a pont abszolút sebessége Mk, - a tömegközéppont abszolút sebessége TÓL TŐL,
- a pont relatív sebessége Mk, mivel

Lendület egy pontról RÓL RŐL

Az és értékeket behelyettesítve kapjuk

Ebben a kifejezésben: a rendszer tömege; ;

a rendszer szögimpulzusa a tömegközépponthoz viszonyítva a koordinátarendszerben történő relatív mozgáshoz Сxyz.

A lendület formát ölt

Tétel a szögimpulzus változásáról egy ponthoz képest RÓL RŐL van formája

Helyettesítse az értékeket és kapunk

Alakítsuk át ezt a kifejezést ennek figyelembevételével

vagy

Ez a képlet a rendszer tömegközépponthoz viszonyított szögimpulzus-változásának tételét fejezi ki a rendszer relatív mozgására a tömegközépponttal transzlációsan mozgó koordinátarendszerhez képest. Ugyanúgy van megfogalmazva, mintha a tömegközéppont egy fix pont lenne.

A nyomaték irányát és nagyságát pontosan ugyanúgy határozzuk meg, mint az erőnyomaték becslésénél (1.2.2. bekezdés).

Egyidejűleg határozza meg ( fő) szögimpulzus hogyan vektor összege a vizsgált rendszer pontjainak mozgásszámának pillanatai. Második neve is van perdület :

A (3.40) kifejezés időbeli deriváltját a két függvény szorzatának differenciálására vonatkozó szabályok alapján találjuk meg, valamint azt, hogy az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (azaz az összeg előjele a differenciálás során együtthatóként kell áthelyezni):

Figyelembe vesszük a nyilvánvaló kinematikai egyenlőségeket: . Azután: . A (3.26) képletekből származó átlagegyenletet használjuk. , valamint azt a tényt, hogy két kollineáris vektor ( és ) vektorszorzata nulla, kapjuk:

Jelentkezés a 2. futamidőre az ingatlan belső erők(3.36) egy kifejezést kapunk a mechanikai rendszer lendületének főmomentumának változására vonatkozó tételre:

(3.42)

A szögimpulzus időbeli deriváltja egyenlő a rendszerben ható összes külső erő nyomatékainak összegével.

Ezt a megfogalmazást gyakran röviden nevezik: pillanattétel .

Megjegyzendő, hogy a nyomatéktétel egy rögzített referenciakeretben van megfogalmazva valamilyen rögzített O középponthoz képest. Ha egy merev testet mechanikai rendszernek tekintünk, akkor célszerű az O középpontot a forgástengelyen kiválasztani. a test.

A nyomatéktétel egyik fontos tulajdonságát meg kell jegyezni (levezetés nélkül mutatjuk be). A nyomatéktétel transzlációsan mozgó vonatkoztatási rendszerben is érvényes, ha a test (mechanikai rendszer) tömegközéppontját (m. C) választjuk középpontjául:

A tétel megfogalmazása ebben az esetben gyakorlatilag megmarad.

Következmény 1

Legyen a (3.42) kifejezés jobb oldala nulla =0, - a rendszer izolált. Ekkor a (3.42) egyenletből az következik, hogy .

Izolált mechanikai rendszer esetén a rendszer impulzusimpulzusának vektora nem változik az időben sem irányában, sem nagyságában.

2. következmény

Ha a (3.44) kifejezések bármelyikének jobb oldala nullával egyenlő, például az Óz tengelyre: =0 (részlegesen izolált rendszer), akkor a (3.44) egyenletekből következik: =const.

Ezért, ha bármely tengely körüli külső erők nyomatékainak összege nulla, akkor a rendszer e tengely mentén lévő tengelyirányú kinetikai nyomatéka nem változik az idő múlásával.

A fentiekben a következményben megadott megfogalmazások a kifejezések a szögimpulzus megmaradásának törvénye izolált rendszerekben .

Merev test kinetikus momentuma

Vegyünk egy speciális esetet - egy merev test forgását az Óz tengely körül (3.4. ábra).

3.4

A test forgástengelyétől távolsággal elválasztott pontja h k , Oxy-val párhuzamos síkban forog sebességgel. Az axiális nyomaték definíciójának megfelelően az (1.19) kifejezést használjuk a vetület helyett F XY erő ezen a síkon a pont lendületével . Becsüljük meg a test tengelyirányú kinetikai nyomatékát:

A Pitagorasz-tétel szerint , tehát (3.46) a következőképpen írható fel:

(3.47)

Ekkor a (3.45) kifejezés a következő formában jelenik meg:

(3.48)

Ha a szögimpulzus megmaradásának törvényét részlegesen izolált rendszerre (2. következmény) használjuk szilárd testre alkalmazva (3.48), akkor kapjuk a . Ebben az esetben két lehetőség jöhet szóba:

KÉRDÉSEK AZ ÖNELLENŐRZÉSHEZ

1. Hogyan határozható meg egy forgó merev test szögimpulzusa?

2. Mi a különbség a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték és a tengelyirányú kinetikus nyomaték között?

3. Hogyan változik egy merev test forgási sebessége az időben külső erők hiányában?

Merev test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka

Mint később látni fogjuk, a test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka ugyanolyan jelentőséggel bír a test forgómozgása szempontjából, mint a test tömege transzlációs mozgása során. Ez a test egyik legfontosabb jellemzője, amely meghatározza a test tehetetlenségét a forgása során. A (3.45) definícióból látható, hogy ez egy pozitív skaláris mennyiség, amely a rendszer pontjainak tömegétől, de nagyobb mértékben a pontok forgástengelytől való távolságától függ.

Egyszerű formájú tömör homogén testeknél a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték értékét, mint a tömegközéppont helyzetének becslésénél (3.8), az integrációs módszerrel veszik figyelembe, diszkrét tömeg helyett a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték értékét. elemi kötet dm=ρdV:

(3.49)

Referenciaként megadjuk néhány egyszerű test tehetetlenségi nyomatékának értékét:

més hossza l a rúdra annak közepén át merőlegesen átmenő tengelyhez képest (3.5. ábra).

3.5

tehetetlenségi nyomaték vékony homogén rúd súly més hossza l a rúdra annak végén át merőlegesen átmenő tengelyhez képest (3.6. ábra).

3.6

Vékony, homogén tömegű gyűrű tehetetlenségi nyomatéka més sugár R a középpontján átmenő tengelyhez képest merőlegesen a gyűrű síkjára (3.7. ábra).

3.7

Vékony, homogén tömegű korong tehetetlenségi nyomatéka més sugár R a korong síkjára merőleges középpontján átmenő tengelyhez képest (3.7. ábra).

3.8

· Tetszőleges alakú test tehetetlenségi nyomatéka.

Tetszőleges alakú testek esetén a tehetetlenségi nyomatékot a következő formában írjuk fel:

ahol ρ - ún. forgás sugara test, vagy egy bizonyos tömeggel rendelkező feltételes gyűrű sugara m, amelynek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka megegyezik az adott test tehetetlenségi nyomatékával.

Huygens–Steiner tétel

3.9. ábra

Társítson két párhuzamos koordinátarendszert a testhez. Az első Cx"y"z, amelynek origója a tömegközéppontban van, központinak, a második Oxyz középpontnak pedig a Cx" tengelyen CO = távolságra fekszik. d(3.9. ábra). Könnyű kapcsolatot létesíteni a test pontjainak koordinátái között ezeknél a rendszereknél:

A (3.47) képlet szerint a test tehetetlenségi nyomatéka az Oz tengely körül:

Itt a jobb oldal 2. és 3. összegének minden tagjának konstansai a 2. tényezők dÉs d le kell vonni a megfelelő összegekből. A tömegek összege a harmadik tagban a test tömege. A második összeg a (3.7) pontnak megfelelően meghatározza a C tömegközéppont koordinátáját a Cx "() tengelyen, és az egyenlőség nyilvánvaló: . Figyelembe véve, hogy az 1. tag definíció szerint az a test tehetetlensége ahhoz képest központi tengely Cz" (vagy Z C) , megkapjuk a Huygens-Steiner-tétel megfogalmazását:

(3.50)

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos tengely körül egyenlő a test egy párhuzamos központi tengely körüli tehetetlenségi nyomatékának és a test tömegének szorzatával a tengelyek közötti távolság négyzetével.

KÉRDÉSEK AZ ÖNELLENŐRZÉSHEZ

1. Adjon meg képleteket axiális nyomatékok rúd, gyűrű, korong tehetetlensége.

2. Határozza meg egy kerek tömör henger forgási sugarát a központi tengelye körül!

Tétel a rendszer lendületének változásáról

Az erő impulzusának fogalma lehetővé teszi számunkra, hogy tételt fogalmazzunk meg egy rendszer impulzusának változásáról tetszőleges rendszerek:

ahol egy elszigetelt rendszer kezdeti és végső impulzusa, amely csak erők révén kölcsönhatásba lép más rendszerekkel. Valójában ebben a megfogalmazásban az impulzusmegmaradás törvénye ekvivalens Newton második törvényével, és annak időbeli integrálja, mivel

Tétel egy anyagi pont szögimpulzusának (kinetikus nyomatékának) változásáról

Vegyünk egy anyagi pontot M súly m erő hatása alatt mozog F (3.1. ábra). Írjuk fel és konstruáljuk meg a szögimpulzus (kinetikus impulzus) vektorát! M 0 anyagpont a középponthoz képest O :

3.1. ábra

Különböztesse meg a lendületi momentum (kinetikus momentum) kifejezést k 0) idő szerint:

Mivel dr /dt = V , akkor a vektorszorzat V ⊗ m⋅V (kollineáris vektorok V És m⋅V ) nulla. Ugyanabban az időben d(m⋅V) /dt = F az anyagi pont lendületére vonatkozó tétel szerint. Ezért ezt kapjuk

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

ahol r ⊗F = M 0 (F) – vektor-erőnyomaték F a rögzített középponthoz képest O . Vektor k 0 ⊥ sík ( r,m ⊗V ), és a vektor M 0 (F) ⊥ repülőgép ( r ,F ), végre megvan

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

A (3.4) egyenlet egy anyagi pont szögimpulzusának (kinetikus nyomatékának) változásáról szóló tételt fejezi ki a központhoz képest: egy anyagi pont impulzusnyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a pontra ható erő nyomatékával ugyanazon középponthoz képest.

A (3.4) egyenlőséget a derékszögű koordináták tengelyeire vetítve megkapjuk

dk x /dt = Mx(F); dk y /dt = M y(F); dkz /dt = Mz(F) . (3.5)

Tekintsük a (3.4) és (3.5) tételekből következő következményeket!

Következmény 1. Tekintsük azt az esetet, amikor az erő F a pont teljes mozgása során áthalad a rögzített középponton O (központi erő esete), i.e. amikor M 0 (F) = 0. Ekkor a (3.4) tételből az következik, hogy k 0 = const ,

azok. centrális erő esetén egy anyagi pont impulzusnyomatéka (kinetikus nyomatéka) ennek az erőnek a középpontjához viszonyítva nagysága és iránya állandó marad (3.2. ábra).

3.2. ábra

Az állapottól k 0 = const ebből következik, hogy a mozgó pont pályája egy síkgörbe, amelynek síkja átmegy ennek az erőnek a középpontján.

2. következmény. Legyen Mz(F) = 0, azaz az erő keresztezi a tengelyt z vagy azzal párhuzamosan. Ebben az esetben, amint az a (3.5) egyenlet harmadik részéből látható, kz = const ,

azok. ha a pontra ható erő nyomatéka bármely rögzített tengelyhez képest mindig nulla, akkor a pont e tengelyhez viszonyított szögnyomatéka (kinetikus nyomatéka) állandó marad.