Egy háromszög szögeinek összege- fontos, de meglehetősen egyszerű téma, amelyet a 7. osztályban tanítanak geometriából. A téma egy tételből, egy rövid bizonyításból és több logikai következtetésből áll. A témakör ismerete segít a geometriai problémák megoldásában a tárgy későbbi tanulmányozása során.

Tétel - mekkora egy tetszőleges háromszög szöge összehajtva?

A tétel azt mondja: ha bármilyen háromszöget veszünk, függetlenül a típusától, az összes szög összege mindig 180 fok lesz. Ezt a következőképpen bizonyítjuk:

• például vegyük az ABC háromszöget, húzzunk egy egyenest a felül található B ponton keresztül, és jelöljük „a”-nak, míg az „a” egyenes szigorúan párhuzamos az AC oldallal;
• az "a" egyenes és az AB és BC oldalak között jelölje ki a szögeket, 1 és 2 számokkal jelölve;
• az 1-es szög egyenlő az A szöggel, és a 2-es szög egyenlő a C szöggel, mivel ezek a szögek keresztben fekszenek;
• így az 1., 2. és 3. szögek összegét (amely a B szög helyén van feltüntetve) egyenlőnek ismerjük el a B csúcsú kiterjesztett szöggel, és 180 fok.

Ha a számokkal jelzett szögek összege 180 fok, akkor az A, B és C szögek összege 180 fokkal egyenlő. Ez a szabály minden háromszögre igaz.

Ami a geometriai tételből következik

A fenti tételből szokás több következményt is kiemelni.

• Ha a feladat egy derékszögű háromszöget vesz figyelembe, akkor annak egyik szöge alapértelmezés szerint 90 fok lesz, és a hegyesszögek összege is 90 fok lesz.
• Ha derékszögű egyenlő szárú háromszögről beszélünk, akkor hegyesszögei, összesen 90 fok, külön-külön 45 fokosak.
• Egy egyenlő oldalú háromszög három egyenlő szögből áll, mindegyik 60 fokos, összesen pedig 180 fokos.
• Bármely háromszög külső szöge egyenlő lesz a vele nem szomszédos két belső szög összegével.

A következő szabályból következtethetünk: bármelyik háromszögben van legalább két hegyesszög. Egyes esetekben a háromszög három hegyesszögből áll, és ha csak kettő van, akkor a harmadik szög tompa vagy derékszögű.

Bizonyíték

Hadd ABC" egy tetszőleges háromszög. Menjünk a tetejére B egyenessel párhuzamos egyenes AC (az ilyen egyenest euklideszi egyenesnek nevezzük). Jelölj rá egy pontot D hogy a pontok A és D egy egyenes vonal ellentétes oldalán feküdjön időszámításunk előtt.Szögek DBCés ACB egyenlő a belső keresztfekvéssel, amelyet egy szekáns alkot időszámításunk előtt párhuzamos vonalakkal ACés BD. Ezért a háromszög szögeinek összege a csúcsokban Bés TÓL TŐL egyenlő a szöggel ABD.A háromszög mindhárom szögének összege egyenlő a szögek összegével ABDés BAC. Mivel ezek a szögek belső egyoldalúak a párhuzamossághoz ACés BD a szekantnál AB, akkor ezek összege 180°. A tétel bizonyítást nyert.

Következmények

A tételből az következik, hogy bármely háromszögnek két hegyesszöge van. Valójában az ellentmondásos bizonyítást alkalmazva tegyük fel, hogy a háromszögnek csak egy hegyesszöge van, vagy nincs hegyesszöge. Ekkor ennek a háromszögnek legalább két szöge van, amelyek mindegyike legalább 90°. Ezen szögek összege legalább 180°. De ez lehetetlen, mivel a háromszög összes szögének összege 180°. Q.E.D.

Általánosítás szimplex elméletre

Hol van a szimplex i és j lapjai közötti szög.

Megjegyzések

• Egy gömbön a háromszög szögeinek összege mindig meghaladja a 180°-ot, a különbséget gömbtöbbletnek nevezzük, és arányos a háromszög területével.
• A Lobacsevszkij-síkban a háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180°. A különbség a háromszög területével is arányos.

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

• Taylor
• Alsó Hattyúhíd

Nézze meg, mi a "Tétel a háromszög szögeinek összegéről" más szótárakban:

Sokszög szögösszeg tétele- Sokszögek tulajdonságai az euklideszi geometriában: Egy sokszög n szögeinek összege 180°(n 2). Tartalom 1 Bizonyíték 2 Megjegyzés ... Wikipédia

Pitagorasz tétel- A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg. Tartalom 1 ... Wikipédia

Egy háromszög területe

Pitagorasz tétel- A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg. Tartalom 1 Nyilatkozat 2 Bizonyítás ... Wikipédia

Koszinusz tétel- A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása. Egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldala négyzeteinek összegével anélkül, hogy ezeknek az oldalaknak a szorzatát megkétszereznénk a köztük lévő szög koszinuszával. Egy lapos háromszöghez, amelynek oldalai a, b, c és α szöge ... ... Wikipédia

Háromszög- Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Háromszög (jelentések). A háromszög (az euklideszi térben) egy geometriai alakzat, amelyet három vonalszakasz alkot, amelyek három nemlineáris pontot kötnek össze. Három pont, ... ... Wikipédia

A háromszögek egyenlőségének jelei- Szabványos jelölés A háromszög a legegyszerűbb sokszög, amelynek 3 csúcsa (sarkai) és 3 oldala van; egy sík része, amelyet három pont határol, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, és három szakasz, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik. A háromszög csúcsai ... Wikipédia

Eukleidész- ókori görög matematikus. A III. században Alexandriában dolgozott. időszámításunk előtt e. A "Kezdetek" fő mű (15 könyv), amely az ókori matematika alapjait, az elemi geometriát, a számelméletet, az általános összefüggéselméletet és a területek és térfogatok meghatározásának módszerét tartalmazza, ... ... enciklopédikus szótár

EUKLEIDÉSZ- (Kr. e. 275 és 270 között halt meg) ókori görög matematikus. Születésének idejére és helyére vonatkozó információk nem jutottak el hozzánk, de ismert, hogy Euklidész Alexandriában élt, és tevékenységének virágkora I. Ptolemaiosz uralkodására esik Egyiptomban ... ... Nagy enciklopédikus szótár

NEM EUKLIDÁN GEOMETRIA- Eukleidész geometriájához hasonló geometria, mivel meghatározza az alakzatok mozgását, de abban különbözik az euklideszi geometriától, hogy öt posztulátuma (második vagy ötödik) egyikét a tagadása helyettesíti. Az egyik euklideszi posztulátum tagadása ...... Collier Encyclopedia

Bizonyíték:

• Az ABC háromszög adott.
• Húzzon egy DK egyenest a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC alappal.
• \angle CBK= \angle C mint belső keresztben fekvő párhuzamos DK és AC, és szekáns BC.
• \angle DBA = \angle Egy belső keresztben fekvő DK \párhuzamos AC és AB szekáns. A DBK szög egyenes és egyenlő
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Mivel az egyenes szög 180 ^\circ , és \angle CBK = \angle C és \angle DBA = \angle A , kapjuk 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Tétel bizonyított

A háromszög szögösszegére vonatkozó tétel következményei:

1. Egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege a 90°.
2. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszögben minden hegyesszög az 45°.
3. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög az 60°.
4. Bármely háromszögben vagy minden szög hegyesszögű, vagy két szög hegyesszög, a harmadik pedig tompa vagy derékszögű.
5. Egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Háromszög külső szög tétel

Egy háromszög külső szöge megegyezik a háromszög két fennmaradó szögének összegével, amelyek nem szomszédosak a külső szöggel.

Bizonyíték:

• Adott az ABC háromszög, ahol a BCD a külső szög.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Az egyenlőségekből a szög \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Kapunk \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Egy háromszög belső szögeinek összege 180 0 . Ez Euklidész geometriájának egyik alapvető axiómája. Ezt a geometriát tanulják a diákok. A geometriát úgy definiálják, mint a való világ térbeli formáit tanulmányozó tudományt.

Mi késztette az ókori görögöket a geometria kidolgozására? Mezők, rétek - a földfelszín területeinek mérésének szükségessége. Ugyanakkor az ókori görögök elfogadták, hogy a Föld felszíne vízszintes, lapos. Ezt a feltevést szem előtt tartva alkották meg Eukleidész axiómáit, beleértve a háromszög belső szögeinek összegét 180 0 -nál.

Az axióma olyan állítás, amely nem igényel bizonyítást. Hogyan kell ezt érteni? Kifejeznek egy kívánságot, amely megfelel az embernek, majd illusztrációkkal megerősítik. De minden, ami nincs bebizonyítva, fikció, valami, ami nincs a valóságban.

A Föld felszínét vízszintesre véve az ókori görögök automatikusan laposnak vették fel a Föld alakját, de ez más - gömb alakú. A természetben egyáltalán nincsenek vízszintes síkok és egyenesek, mert a gravitáció meghajlítja a teret. Egyenes vonalak és vízszintes síkok csak az emberi fej agyában találhatók.

Ezért Euklidész geometriája, amely egy fiktív világ térbeli formáit magyarázza, egy szimulákrum – olyan másolat, amelynek nincs eredetije.

Eukleidész egyik axiómája szerint a háromszög belső szögeinek összege 180 0 . Valójában egy valós görbe térben, vagy a Föld gömbfelületén a háromszög belső szögeinek összege mindig nagyobb, mint 180 0 .

Így érvelünk. A földgömb bármely meridiánja 90 0 -os szögben metszi az egyenlítőt. A háromszög eléréséhez el kell távolítania egy másik meridiánt a meridiántól. A meridiánok és az egyenlítő oldala közötti háromszög szögeinek összege 180 0 lesz. De még mindig lesz szög az oszlopnál. Ennek eredményeként az összes és szög összege nagyobb lesz, mint 180 0.

Ha az oldalak a pólusnál 90 0 -os szögben metszik egymást, akkor egy ilyen háromszög belső szögeinek összege 270 0 lesz. Ebben a háromszögben az Egyenlítőt derékszögben metsző két meridián párhuzamos lesz egymással, a póluson pedig, egymást 90 0 -os szögben metszi, merőlegesek lesznek. Kiderült, hogy két párhuzamos egyenes ugyanazon a síkon nemcsak metszi egymást, hanem merőleges is lehet a póluson.

Természetesen egy ilyen háromszög oldalai nem egyenesek, hanem konvexek, megismételve a földgömb gömb alakját. De, csak egy ilyen valóságos űrvilág.

A valós tér geometriája, figyelembe véve annak görbületét a XIX. század közepén. B. Riemann (1820-1866) német matematikus fejlesztette ki. De erről nem szólnak a diákok.

Tehát az euklideszi geometria, amely egy vízszintes felületű lapos Föld formáját ölti, ami valójában nem így van, egy szimulákrum. Nootic - Riemann geometria, amely figyelembe veszi a tér görbületét. A benne lévő háromszög belső szögeinek összege nagyobb, mint 180 0 .

Szakaszok: Matematika

Bemutatás . (1. dia)

Az óra típusa: lecke új anyag tanulása.

Az óra céljai:

• Nevelési:
  • Tekintsük a háromszög szögösszegének tételét,
  • mutasd be a tétel alkalmazását a feladatok megoldásában.
• Nevelési:
  • a tanulók tudáshoz való pozitív hozzáállásának elősegítése,
  • lecke segítségével önbizalmat kelt a tanulókban.
• Nevelési:
  • az analitikus gondolkodás fejlesztése,
  • a „tanulási készségek” fejlesztése: az ismeretek, készségek és képességek felhasználása az oktatási folyamatban,
  • a logikus gondolkodás fejlesztése, gondolataik világos megfogalmazásának képessége.

Felszerelés: interaktív tábla, bemutató, kártyák.

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat

- Ma a leckében a derékszögű, egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszögek definícióira fogunk emlékezni. Ismételjük meg a háromszögek szögeinek tulajdonságait. A belső egyoldali és belső keresztirányú szögek tulajdonságait felhasználva bebizonyítjuk a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt, és megtanuljuk alkalmazni a feladatok megoldásában.

II. Orálisan(2. dia)

1) Keressen derékszögű, egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszögeket az ábrákon!
2) Határozza meg ezeket a háromszögeket!
3) Fogalmazza meg egy egyenlő oldalú és egyenlő szárú háromszög szögeinek tulajdonságait!

4) Az ábrán KE II NH. (3. dia)

– Adja meg a szekánsokat ezekhez a vonalakhoz
– Keresse meg a belső egyoldalú szögeket, a belső keresztirányú szögeket, nevezze meg tulajdonságaikat

III. Új anyag magyarázata

Tétel. Egy háromszög szögeinek összege 180 o

A tétel megfogalmazása szerint a srácok rajzot készítenek, leírják a feltételt, következtetést. A kérdésekre válaszolva önállóan bizonyítsd be a tételt!

Adott: Bizonyít:

Bizonyíték:

1. Húzzunk egy BD II AC egyenest a háromszög B csúcsán keresztül.
2. Adja meg a párhuzamos vonalak metszését.
3. Mit mondhatunk a CBD és ACB szögekről? (rekordot készíteni)
4. Mit tudunk a CAB és ABD szögekről? (rekordot készíteni)
5. Cserélje ki a CBD szöget ACB szögre
6. Vond le a következtetést.

IV. Fejezd be az ajánlatot.(4. dia)

1. Egy háromszög szögeinek összege ...
2. Egy háromszögben az egyik szög egyenlő, a másik, a harmadik szög egyenlő ...
3. Egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege ...
4. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei egyenlőek ...
5. Egy egyenlő oldalú háromszög szögei egyenlőek ...
6. Ha egy egyenlő szárú háromszög oldalai közötti szög 1000, akkor az alapnál lévő szögek ...

V. Egy kis történelem.(5-7. dia)

A háromszög szögösszegére vonatkozó tétel bizonyítása "A belső összege a háromszög szögei egyenlőek két derékszöggel" Pitagorasznak (i.e. 580-500) tulajdonították
Proklosz ókori görög tudós (i.sz. 410-485),