Vezessünk be egy derékszögű O xy koordinátarendszert. Tekintsünk egy tetszőleges szakaszt a koordinátasíkban ( zárt terület) A területtel (1. ábra).
statikus pillanatok
C pont koordinátákkal (x C , y C)
hívott a szakasz súlypontja.
Ha a koordinátatengelyek áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor a szakasz statikus nyomatékai egyenlők nullával:
Tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok Az x és y tengelyhez viszonyított szakaszokat a forma integráljainak nevezzük:
Poláris tehetetlenségi nyomaték Az eredetre vonatkozó szakaszt az alak integráljának nevezzük:
centrifugális tehetetlenségi nyomaték szakaszt az űrlap integráljának nevezzük:
A szakasz fő tehetetlenségi tengelyei két egymásra merőleges tengelyt hívunk, amelyekre nézve I xy =0. Ha az egyik egymásra merőleges tengely a metszet szimmetriatengelye, akkor I xy \u003d 0, és ezért ezek a tengelyek a fő tengelyek. A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket ún a szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyei
2. Steiner-Huygens tétel a tengelyek párhuzamos fordításáról
A Steiner-Huygens-tétel (a Steiner-tétel).
Az I. szakasz tehetetlenségi nyomatéka tetszőlegeshez képest rögzített tengely x egyenlő az összeggel ennek az I szakasznak a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka a vele párhuzamos, a szelvény tömegközéppontján átmenő x * relatív tengellyel, és az A szelvényterület szorzata a két tengely közötti d távolság négyzetével.
Ha az x és y tengelyhez viszonyított I x és I y tehetetlenségi nyomatékok ismertek, akkor az ν és u tengelyekre vonatkoztatva, α szöggel elforgatva a tengelyirányú és centrifugális tehetetlenségi nyomatékokat a következő képletekkel számítjuk ki:
A fenti képletekből látható, hogy
Azok. a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik az egymásra merőleges tengelyek, azaz az u és a v tengelyek forogásakor, amelyekhez képest a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka nulla, ill. axiális nyomatékok A І u és I v tehetetlenségi nyomaték max vagy min szélső értékei vannak, amelyeket a szakasz főtengelyeinek nevezünk. A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket ún a szakasz fő központi tengelyei. A szimmetrikus metszeteknél a szimmetriatengelyeik mindig a fő központi tengelyek. A szakasz fő tengelyeinek helyzetét a többi tengelyhez képest a következő arány segítségével határozzuk meg:
ahol α 0 az a szög, amellyel az x és y tengelyt el kell forgatni, hogy azok a fő tengelyek legyenek (az óramutató járásával ellentétes pozitív szöget, az óramutató járásával megegyezően negatív szöget szokás félretenni). A főtengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat ún fő tehetetlenségi nyomatékok:
a második tag előtti pluszjel a maximális tehetetlenségi nyomatékra, a mínusz jel a minimumra utal.
Legyen ismert Ix, Iy, Ixy is. Rajzoljunk egy új x 1 , y 1 tengelyt párhuzamosan az xy tengelyekkel.
És meghatározzuk ugyanazon szakasz tehetetlenségi nyomatékát az új tengelyekhez képest.
X 1 \u003d x-a; y 1 = y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA - 2b ∫ ydA + b 2 ∫ dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Ha az x tengely átmegy a metszet súlypontján, akkor az Sx statikus nyomaték =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
Az új y 1 tengelyhez hasonlóan az I y 1 = Iy + a 2 A képlet lesz
Centrifugális tehetetlenségi nyomaték új tengelyekhez viszonyítva
Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.
Ha az xy tengelyek áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Ha a szakasz szimmetrikus, akkor legalább az egyik központi tengelyek egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor Ixy \u003d 0, ami azt jelenti, hogy Ix 1 y 1 \u003d abA
A tehetetlenségi nyomatékok változása a tengelyek forgatásakor.
Legyenek ismertek az xy tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok.
Az új xy koordinátarendszert a régi rendszer szöggel (a > 0) való elforgatásával kapjuk meg, ha az elforgatás az óramutató járásával ellentétes.
Hozzon létre kapcsolatot a régi és az új helyszín koordinátái között
y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de
háromszög acd-ből:
ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α
oed háromszögből:
de/od=sinα dc=od*sinα
Helyettesítse ezeket az értékeket az y kifejezésbe
y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.
Hasonlóképpen
x 1 \u003d x cos α + y sin α.
Számítsa ki az új x 1 tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot!
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= = cos 2 α ∫ 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
Hasonlóképpen, Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Összeadjuk a kapott kifejezések bal és jobb oldalát:
Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
A tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik forgás közben.
Határozzuk meg az új tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot. Jelöljük az x 1 , y 1 értékeket.
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α.
Főnyomatékok és fő tehetetlenségi tengelyek.
A fő tehetetlenségi nyomatékok szélsőértékeiknek nevezték.
Azokat a tengelyeket, amelyekről a szélső értékeket kapjuk, fő tehetetlenségi tengelyeknek nevezzük. Mindig egymásra merőlegesek.
A főtengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték mindig 0. Mivel ismert, hogy a metszetben van szimmetriatengely, a centrifugális nyomaték 0, ami azt jelenti, hogy a szimmetriatengely főtengely. Ha vesszük az I x 1 kifejezés első deriváltját, majd egyenlővé tesszük „0”-val, akkor megkapjuk a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének megfelelő = = szög értékét.
tg2 α 0 = - 
Ha α 0 >0, akkor a főtengelyek egy bizonyos helyzetéhez a régi tengelyt kell az óramutató járásával ellentétes irányba forgatni. Az egyik főtengely max, a másik min. Ebben az esetben a max tengely mindig kisebb szöget zár be azzal a véletlen tengellyel, amelyhez képest nagyobb tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka van. A tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték szélső értékeit a következő képlet határozza meg:
2. fejezet Az anyagok szilárdságának alapfogalmai. Feladatok és módszerek.
Különböző szerkezetek tervezésekor meg kell oldani a szilárdság, a merevség és a stabilitás különböző kérdéseit.
Erő- képesség adott test roncsolás nélkül ellenáll a különféle terheléseknek.
Merevség- a szerkezet azon képessége, hogy nagy alakváltozások (elmozdulások) nélkül érzékeli a terheléseket. Az előzetesen megengedett alakváltozási értékeket az építési előírások és előírások (SNIP) szabályozzák.
Fenntarthatóság
Tekintsük egy rugalmas rúd összenyomását
Ha a terhelést fokozatosan növeljük, akkor először a rúd rövidül. Amikor az F erő elér egy bizonyos kritikus értéket, a rúd meghajlik. - abszolút rövidítés.
Ebben az esetben a rúd nem semmisül meg, hanem élesen megváltoztatja alakját. Ezt a jelenséget kihajlásnak nevezik, és pusztuláshoz vezet.
Sopromat- ezek a mérnöki szerkezetek szilárdság, merevség, stabilitás tudományának alapjai. A módszereket a sopromatban használják elméleti mechanika, fizika, matematika. Az elméleti mechanikával ellentétben az anyagok szilárdsága figyelembe veszi a testek méretének és alakjának változását a terhelés és a hőmérséklet hatására.
7. ábra
,
,
,
ahol én x, én y a referenciatengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;
Ixy a centrifugális tehetetlenségi nyomaték a referenciatengelyekre vonatkoztatva;
Én xc, én yc a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;
Én xcyc a centrifugális tehetetlenségi nyomaték a központi tengelyek körül;
a, b- a tengelyek közötti távolság.
A szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározása a tengelyek elforgatásakor
A szakasznak a központi tengelyekhez viszonyított összes geometriai jellemzője ismert x C,C-nél(8. ábra). Határozza meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat! x 1,1 a központiakhoz képest valamilyen szöggel elforgatva a.
8. ábra
,
ahol I x 1, I y 1 a tengelyekre vonatkoztatott tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok x 1,1 ;
I x 1 y 1 a tengelyekre vonatkoztatott centrifugális tehetetlenségi nyomaték x 1,1 .
A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása
A szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeinek helyzetét a következő képlet határozza meg:
,
ahol egy 0 a központi és a fő tehetetlenségi tengely közötti szög.
A fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása
A szakasz fő tehetetlenségi nyomatékait a következő képlet határozza meg:
Egy összetett szakasz kiszámításának sorrendje
1) Bontson fel egy összetett részt egyszerű részekre geometriai alakzatok [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]
2) Válasszon tetszőleges tengelyeket XOY .
3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét! [x c , y c].
4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c.
5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! x c, Iy c , a tengelyek párhuzamos fordításának tételével.
6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c.
7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét! tg2a 0.
8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok.
2. PÉLDA
A 13. ábrán látható ábrához határozza meg a főbb pontokat
a tehetetlenség és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzete.
1) Egy összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra bontunk
S 1 \u003d 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.
2) Válasszon tetszőleges XOY tengelyt.
3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét!
x c = 25 mm, y c=35 mm.
4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c
5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c, Iy c
6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c
7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!
Ha egy I x >I y és a 0 >0 , majd a szög egy 0 tengelyen kívül X s óramutató járásával ellentétes irányban.
8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok
3. PÉLDA
 |
ábrán látható ábrához. 8 határozza meg a főtengelyek helyzetét
8. ábra
tehetetlenségi nyomatékok és fő tehetetlenségi nyomatékok.
1) Minden ábrához kiírjuk a főbb kiindulási adatokat
Csatorna
S 1 = 10,9 cm2
I x = 20,4 cm 4
I y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
egyenlőtlen sarok
S 3 = 6,36 cm2
I x = 41,6 cm 4
I y = 12,7 cm 4
I min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Téglalap
S2 = 40 cm2
cm 4
cm 4
2) Rajzolunk egy metszetet egy skálán
3) Rajzoljon tetszőleges koordinátatengelyeket
4) Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit!
5) Rajzolja meg a központi tengelyeket
6) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat!
7) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékot!
A sarokhengerelt acél súlypontjához viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékát az egyikből határozzuk meg a következő képleteket:
-4
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték előjelét szöghengerelt acél esetén az 1. ábra szerint határozzuk meg. 9, szóval I xy 3\u003d -13,17 cm 4.
8) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!
 |
a0 = 21,84°
9) Határozza meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!
4. FELADAT
Adott sémákhoz (6. táblázat) szükséges:
1) Rajzolja meg a keresztmetszetet szigorú léptékben!
2) Határozza meg a súlypont helyzetét!
3) Keresse meg a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét.
4) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték értékét!
5) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!
6) Keresse meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!
Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 6.
Tervezési sémák a 4. számú feladathoz
 |
|||
 | |||
 |
6. táblázat
Kiinduló adatok a 4. számú feladathoz
| № | Egyenlő polcos sarok | Sarok egyenlőtlen | I-sugár | Csatorna | Téglalap | séma száma |
| 30'5 | 50'32'4 | 100×30 | ||||
| 40'6 | 56´36´4 | 100×40 | ||||
| 50'4 | 63'40'8 | 100×20 | ||||
| 56´4 | 70'45'5 | 80'40 | ||||
| 63´6 | 80'50'6 | 14a | 80'60 | |||
| 70'8 | 90'56'6 | 80'100 | ||||
| 80'8 | 100'63'6 | 20a | 16a | 80'20 | ||
| 90'9 | 90'56'8 | 60'40 | ||||
| 75'9 | 140'90'10 | 22a | 18a | 60'60 | ||
| 100×10 | 160'100'12 | 60'40 | ||||
| d | a | b | ban ben | G | d |
Útmutató az 5. feladathoz
A hajlítás olyan alakváltozás, amelyben a rúd keresztmetszetében V.S.F lép fel. - hajlítási nyomaték.
A hajlítási gerenda kiszámításához ismerni kell a legnagyobb hajlítónyomaték értékét Més annak a szakasznak a helyzete, amelyben előfordul. Ugyanígy tudnia kell a legnagyobb oldalerőt K. Erre a célra a hajlítási nyomatékok és a nyíróerők diagramjait építik fel. A diagramokból könnyen meg lehet ítélni, hogy hol lesz a nyomaték vagy a nyíróerő maximális értéke. Az értékek meghatározásához Més K szakaszolás módszerével. Tekintsük az ábrán látható áramkört. 9. Állítsa össze a tengelyre ható erők összegét! Y a gerenda levágott részére hatva.
 |
9. ábra
A keresztirányú erő egyenlő a szakasz egyik oldalán ható összes erő algebrai összegével.
Állítsa össze a gerenda levágott részére ható nyomatékok összegét a metszethez képest.
A hajlítónyomaték megegyezik a nyaláb levágott részére ható összes nyomaték algebrai összegével, a szakasz súlypontjához viszonyítva.
Ahhoz, hogy a gerenda bármely végéről tudjunk számolni, el kell fogadni a belső erőtényezőkre vonatkozó előjelszabályt.
Nyíróerőhöz K.
10. ábra.
Ha külső erő a gerenda levágott részét az óramutató járásával megegyező irányba forgatja, akkor az erő pozitív, ha egy külső erő a gerenda levágott részét az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor az erő negatív.
A hajlítási nyomatékhoz M.
11. ábra.
Ha befolyás alatt áll külső erő a gerenda ívelt tengelye homorú tál alakú, így a felülről érkező eső megtölti vízzel, ekkor a hajlítónyomaték pozitív (11a. ábra). Ha külső erő hatására a gerenda hajlított tengelye domború tál alakú, így a felülről hulló eső nem tölti meg vízzel, akkor a hajlítónyomaték negatív (11b. ábra).
Az elosztott terhelés intenzitása között q, keresztirányú erő Kés hajlítónyomaték M, egy bizonyos szakaszban a következő különbségi függőségek vannak:
Ezek a hajlítási különbségek lehetővé teszik számunkra, hogy megállapítsuk a keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjainak néhány jellemzőjét.
1) Azokon a területeken, ahol nincs megosztott terhelés, a diagram K a diagram és a diagram tengelyével párhuzamos egyenesekre korlátozódik M , általános esetben ferde egyenesek (19. ábra).
2) Azokon a területeken, ahol egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendát, a diagram K ferde egyenesek és a diagram korlátozza M – másodfokú parabolák(20. ábra). Tervezéskor M összenyomott szálakon a parabola konvexitása az elosztott terhelés hatásával ellentétes irányba fordul (21a, b ábra).
12. ábra.
13. ábra.
3) Azokban a szakaszokban, ahol K= 0, a diagram érintője M párhuzamos a telek tengelyével (12., 13. ábra). A hajlítónyomaték a gerenda ilyen szakaszaiban extrém nagyságú ( M max,Mmin).
4) Azokon a területeken, ahol Q > 0, M növeli, vagyis balról jobbra haladva a diagram pozitív ordinátáit M növekedés, negatív - csökkenés (12., 13. ábra); azokon a területeken, ahol K < 0, M csökken (12., 13. ábra).
5) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erők fejtik ki a gerendát:
a) a telken K nagyságrendileg és az alkalmazott erők irányában ugrások lesznek (12., 13. ábra).
b) az ábrán M törések lesznek (12., 13. ábra), a törés csúcsa az erőhatás ellen irányul.
6) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált nyomatékok hatnak a gerendára, a diagramon M ugrások lesznek ezeknek a pillanatoknak a nagyságában, a diagramon K nem lesz változás (14. ábra).
14. ábra.
15. ábra.
7) Ha egy koncentrált
nyomaték, akkor ebben a szakaszban a hajlítónyomaték egyenlő a külső nyomatékkal (szelvények Cés Bábrán. tizenöt).
8) Diagram K a diagram deriváltjának diagramja M. Tehát az ordináták K arányos a diagram érintőjének meredekségének érintőjével M(14. ábra).
A rajzolás sorrendje Kés M:
1) A gerenda számítási diagramja készül (tengely formájában), a rá ható terhelések képével.
2) A támasztékok gerendára gyakorolt hatását a megfelelő reakciók váltják fel; feltüntettük a reakciók megnevezését és elfogadott irányait.
3) A gerenda egyensúlyi egyenleteit állítják össze, amelyek megoldása határozza meg a támasztóreakciók értékeit.
4) A gerenda szakaszokra van felosztva, amelyek határai a külső koncentrált erők és nyomatékok alkalmazási pontjai, valamint a hatás vagy az elosztott terhelések természetében bekövetkező változás kezdetének és végének pontjai.
5) Hajlítónyomatékok összeállított kifejezései Més keresztirányú erők K a gerenda minden szakaszához. A számítási séma minden szakaszon jelzi a távolságok számlálásának kezdetét és irányát.
6) A kapott kifejezések alapján a diagramok ordinátáit számos gerendaszakaszra számítjuk ki olyan mennyiségben, amely elegendő ezen diagramok megjelenítéséhez.
7) Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyekben a keresztirányú erők nullával egyenlőek, és amelyekben ezért nyomatékok hatnak Mmax vagy Mmin a gerenda ezen szakaszához; ezeknek a momentumoknak az értékeit kiszámítjuk.
8) A diagramok az ordináták kapott értékei szerint épülnek fel.
9) A megszerkesztett diagramokat egymással összehasonlítva ellenőrizzük.
A hajlítás során fellépő belső erőtényezők diagramjai készülnek a veszélyes szakasz meghatározására. A veszélyes szakasz megtalálása után a gerenda szilárdságát számítják ki. Általában keresztirányú hajlítás, amikor a gerenda szakaszaiban hajlítónyomaték és keresztirányú erő hat, a gerenda szakaszában normál és nyírófeszültségek lépnek fel. Ezért logikus két szilárdsági feltételt figyelembe venni:
a) normál igénybevételek hatására
b) nyírófeszültségek
Mivel a gerendák fő roncsoló tényezője a normál feszültségek, ezért az elfogadott alakú gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből határozzuk meg:
Ezután ellenőrzik, hogy a kiválasztott gerendaszakasz megfelel-e a nyírófeszültségi szilárdsági feltételnek.
A gerendák számításának ilyen megközelítése azonban még nem jellemzi a gerenda szilárdságát. Sok esetben a gerendaszakaszokon vannak olyan pontok, amelyekben egyszerre hat nagy normál- és nyírófeszültség. Ilyen esetekben szükségessé válik a gerenda szilárdságának ellenőrzése a fő feszültségekre. Az ilyen ellenőrzésre leginkább a harmadik és a negyedik erőelmélet alkalmazható:
, 
.
1. PÉLDA
Nyíróerő-parcellák építése Kés hajlítónyomaték Mábrán látható gerendához. 16 ha: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, a = 2 m, b = 1 m, Val vel = 3 m.
16. ábra.
1) Határozza meg a támasztó reakciókat!
;
;
Vizsgálat:
A reakciókat helyesen találtuk
2) Oszd fel a gerendát szakaszokra CA,HIRDETÉS,DE,EK,KB.
3) Határozza meg az értékeket! Kés M minden területen.
SA
, ; 
, .
HIRDETÉS
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Keresse meg a maximális hajlítási nyomatékot a szakaszon KB.
Tegye egyenlővé az egyenletet K ezen a szakaszon nullázzuk, és fejezzük ki a koordinátát zmax , amellyel K= 0, és a pillanatnak van maximális értéke. Ezután helyettesítjük zmax a szakasz pillanategyenletébe, és keresse meg Mmax.
EC
, 
.
4) Diagramokat készítünk (16. ábra)
2. PÉLDA
ábrán látható gerendához. 16 határozza meg egy kerek, téglalap alakú ( h/b = 2) és egy I-szakasz. Ellenőrizze az I-gerenda szilárdságát a fő feszültségek szerint, ha [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) A szilárdsági feltételből meghatározzuk a szükséges ellenállási nyomatékot
2) Határozza meg a körmetszet méreteit!
3) Határozza meg a téglalap alakú metszet méreteit!
4) A 10-es számú I-gerenda kiválasztása a választék szerint (GOST 8239-89)
W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, én X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
A gerenda főfeszültségek szerinti szilárdságának ellenőrzéséhez szükséges a normál és a nyírófeszültségek ábrázolása a veszélyes szakaszon. Mivel a főfeszültségek nagysága mind a normál, mind a nyírófeszültségtől függ, a szilárdsági vizsgálatot a gerenda azon szakaszán kell elvégezni, ahol Més K elég nagyok. egy támaszon NÁL NÉL(16. ábra) nyíróerő K maximális értéke van, de itt M= 0. ezért a támasztékról szóló részt veszélyesnek tartjuk DE, ahol a hajlítónyomaték maximális és a keresztirányú erő viszonylag nagy.
A metszet magassága mentén változó normál feszültségek betartják a lineáris törvényt:
ahol y- a szakaszpont koordinátája (24. ábra).
nál nél nál nél= 0, s = 0;
nál nél ymax
, 
A nyírófeszültségek változásának törvényét a terület statikus nyomatékának változásának törvénye határozza meg, amely viszont a metszet magassága mentén a parabolatörvény szerint változik. A szelvény jellemző pontjainak értékének kiszámítása után elkészítjük a nyírófeszültségek diagramját. A t értékeinek kiszámításakor a szelvény méreteinek jelölését használjuk az ábrán. 17.
A 3-3 réteg szilárdsági feltétele teljesül.
5. FELADAT
A megadott gerendákhoz (12. táblázat) készítse el a keresztirányú erő diagramjait Kés hajlítónyomaték M. Válasszon egy keresztmetszetet a séma a) köréhez [s]= 10 MPa; b) I-gerenda [s]= 150 MPa.
Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 7.
7. táblázat
Kiinduló adatok a 6. számú feladathoz
| № | a, m | q 1 \u003d q 3, kN/m | q 2, kN/m | F 1 , kN | F 2, kN | F 3, kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | séma száma | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| A 12. táblázat folytatása | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
Legyen z Val vel, u s a szakaszok központi tengelyei, a szakasz tehetetlenségi nyomatékai ezekre a tengelyekre vonatkoztatva. Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékait az új tengelyekhez viszonyítva z1, 1, párhuzamosak a központi tengelyekkel, és távolságokkal eltolva hozzájuk aés d. Hadd dA egy elemi terület egy pont szomszédságában M koordinátákkal yés z a központi koordinátarendszerben. ábrából. 4.3 látható, hogy a C pont koordinátái in új rendszer koordinátái egyenlőek lesznek, .
Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az y tengely körül 1 :
|
| z c |
| y c |
| z1 |
| y 1 |
| d |
| a |
| C |
Ily módon
Hasonlóképpen
A szakasz tehetetlenségi nyomatékának megváltoztatása a tengelyek elforgatásakor
Keresse meg az összefüggést a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok között! y, zés a tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekkel kapcsolatban y 1, z1, szögben elforgatva a. Hadd Jy> Jzés pozitív szög a tengelytől mérve yóramutató járásával ellentétes irányban. Legyen a pont koordinátái M kanyar előtt y, z, fordulás után y 1, z1(4.4. ábra).
Az ábrából a következő:
Most meghatározzuk a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat y 1és z1:
|
| M |
| z |
| z1 |
| y 1 |
| y |
| a |
| y |
| y 1 |
| z1 |
| z |
Hasonlóképpen:
Ha tagonként összeadjuk a (4.13) és (4.14) egyenleteket, a következőt kapjuk:
azok. az egymásra merőleges tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok összege állandó marad, és nem változik a koordinátarendszer elforgatásakor.
Fő tehetetlenségi tengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok
A tengelyek elfordulási szögének változásával a minden mennyiség és változás, de összegük változatlan marad. Ezért van ilyen érték
a = a 0 , amelynél a tehetetlenségi nyomatékok elérik a szélső értéket, azaz. az egyik eléri a maximumát, a másik pedig a minimumát. Az érték megtalálásához a 0 vesszük a (vagy) első deriváltját és egyenlővé tesszük nullával:
Mutassuk meg, hogy a kapott tengelyekre nézve a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával. Ehhez a (4.15) egyenlet jobb oldalát nullával egyenlővé tesszük: , honnan, i.e. ugyanazt a képletet kapja meg a 0 .
Főtengelyeknek nevezzük azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával, és a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélsőértéket vesznek fel. Ha ezek a tengelyek is központiak, akkor ezeket fő központi tengelyeknek nevezzük. A főtengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat főtehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.
A főtengelyeket jelöljük y 0és z0. Akkor
Ha a szakasznak van szimmetriatengelye, akkor mindig ez a tengely a metszet egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.
Ha a tengelyek központiak, akkor a pillanattengelyek így fognak kinézni: 
15.közötti kapcsolat tehetetlenségi nyomatékok a tengelyek forgatásakor:
J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;
J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a;
Szög a>0, ha az átmenet a régi koordinátarendszerből az újba az óramutató járásával ellentétes irányban történik. J y 1 + J x 1 = J y + J x
A tehetetlenségi nyomatékok szélső (maximális és minimális) értékeit nevezzük fő tehetetlenségi nyomatékok. Nevezzük azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélsőértékkel rendelkeznek fő tehetetlenségi tengelyek. A fő tehetetlenségi tengelyek egymásra merőlegesek. A főtengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékok = 0, azaz. fő tehetetlenségi tengelyek - tengelyek, amelyekhez képest a centrifugális tehetetlenségi nyomaték = 0. Ha az egyik tengely egybeesik vagy mindkettő egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor fő. A főtengelyek helyzetét meghatározó szög: 
, ha a 0 >0 Þ a tengelyeket az óramutató járásával ellentétes irányba forgatjuk. A maximum tengelye mindig kisebb szöget zár be a tengelyekkel, amelyekhez képest a tehetetlenségi nyomaték nagyobb értékű. A súlyponton áthaladó főtengelyeket ún fő központi tehetetlenségi tengelyek. Tehetetlenségi nyomatékok ezeknél a tengelyeknél: 
J max + J min = J x + J y. A fő központi tehetetlenségi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték 0. Ha a fő tehetetlenségi nyomatékok ismertek, akkor a forgó tengelyekre való átmenet képletei a következők:
J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;
A számítás végső célja geometriai jellemzők szakasz a megbízó meghatározása központi pillanatok a tehetetlenség és a fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetei. 
Tehetetlenségi sugár - 
; Jx=F×ix2, J y=F×i y2.
Ha J x és J y a fő tehetetlenségi nyomatékok, akkor i x és i y - fő forgási sugarak. A fő tehetetlenségi sugarakra, mint a féltengelyekre épülő ellipszist nevezzük tehetetlenségi ellipszis. A tehetetlenségi ellipszis segítségével grafikusan megkeresheti az i x 1 forgási sugarat bármely x 1 tengelyre. Ehhez rajzoljon egy érintőt az ellipszisre, a tengellyel párhuzamos x 1, és mérje meg a távolságot ettől a tengelytől az érintőig. A tehetetlenségi sugár ismeretében megtalálhatja a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az x tengely körül 1:. A kettőnél több szimmetriatengellyel rendelkező szakaszok (például: kör, négyzet, gyűrű stb.) esetén az összes központi tengelyre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek egymással, J xy \u003d 0, az ellipszis a tehetetlenség tehetetlenségi körré változik.