Ebben a cikkben meg fogjuk érteni, mi az foka. Itt megadjuk egy szám fokszámának definícióit, miközben részletesen megvizsgáljuk a fokozat összes lehetséges kitevőjét, kezdve a természetes kitevővel és az irracionális kitevővel bezárólag. Az anyagban sok példát talál a fokozatokra, amelyek lefedik az összes felmerülő finomságot.

Oldalnavigáció.

Fok természetes kitevővel, szám négyzete, szám kocka

Kezdjük azzal. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy az n természetes kitevővel rendelkező a fok definíciója adott a -ra, amit nevezünk fokozat alapja, és n , amelyet hívni fogunk kitevő. Azt is megjegyezzük, hogy a természetes mutatójú fokot a szorzat határozza meg, így az alábbi anyag megértéséhez fogalma kell lennie a számok szorzásával kapcsolatban.

Meghatározás.

Az a szám hatványa n természetes kitevővel az a n alakú kifejezés, amelynek értéke egyenlő n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a -val, azaz .
Konkrétan egy 1 kitevővel rendelkező a szám foka maga az a szám, azaz a 1 =a.

Azonnal érdemes megemlíteni a diplomaolvasás szabályait. Az a n bejegyzés egyetemes olvasásának módja a következő: "a n hatványára". Egyes esetekben az ilyen opciók is elfogadhatók: „a az n-edik hatványig” és „az a szám n-edik hatványa”. Vegyük például a 8 12 hatványát, ez „nyolc a tizenkettő hatványához”, vagy „nyolc a tizenkettedik hatványhoz”, vagy „nyolc tizenkettedik hatványa”.

A szám második hatványának, valamint a szám harmadik hatványának saját neve van. Egy szám második hatványát nevezzük egy szám négyzete, például a 7 2 "hét négyzet" vagy "a hetes négyzet". Egy szám harmadik hatványát nevezzük kockaszám, például az 5 3 felolvasható úgy, hogy "öt kocka", vagy mondjuk: "5-ös szám kocka".

Ideje hozni a fokozatok példái fizikai mutatókkal. Kezdjük az 5 7 hatványával, ahol 5 a hatvány alapja és 7 a kitevője. Adjunk még egy példát: 4.32 az alap, és természetes szám 9 - kitevő (4,32) 9 .

Felhívjuk figyelmét, hogy a utolsó példa a 4,32 fok alapja zárójelbe van írva: az eltérések elkerülése végett a természetes számoktól eltérő fokszámalapokat zárójelbe vesszük. Példaként a következő fokokat adjuk meg természetes mutatókkal , alapjaik nem természetes számok, ezért zárójelben vannak írva. Nos, ezen a ponton a teljes érthetőség kedvéért megmutatjuk a (−2) 3 és −2 3 alakú rekordokban található különbséget. A (−2) 3 kifejezés a −2 hatványa 3 természetes kitevővel, a −2 3 kifejezés pedig (ez írható fel −(2 3) ) a számnak, a 2 3 hatvány értékének felel meg.

Vegyük észre, hogy van egy jelölés az a fokára egy a^n alakú n kitevővel. Sőt, ha n egy többértékű természetes szám, akkor a kitevő zárójelben van. Például a 4^9 a 4 9 hatványának másik jelölése. És itt van még több példa a fokozatok „^” szimbólummal történő írására: 14^(21) , (−2,1)^(155) . A továbbiakban elsősorban az a n alak fokszámának jelölését használjuk.

Az egyik probléma, a természetes kitevővel való hatványozás fordítottja, az a probléma, hogy a fokszám alapját a fokszám ismert értékéből és egy ismert kitevőből találjuk meg. Ez a feladat oda vezet.

Köztudott, hogy sokan racionális számok egész számokból és törtszámokból áll, mindegyik törtszám pozitív vagy negatív közös törtként ábrázolható. A fokot az előző bekezdésben egész kitevővel határoztuk meg, ezért ahhoz, hogy a fok definícióját racionális kitevővel egészítsük ki, meg kell adnunk az a szám fokszámának jelentését m / n tört kitevővel, ahol m egy egész szám és n egy természetes szám. Csináljuk.

Tekintsünk egy fokot az alak törtkitevőjével. Ahhoz, hogy egy fokozatban a fokozat tulajdonsága érvényben maradjon, az egyenlőségnek fennállnia kell . Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és az általunk definiált módot, akkor logikus az elfogadás, feltéve, hogy adott m, n és a esetén a kifejezésnek van értelme.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész kitevővel rendelkező fok minden tulajdonsága érvényes-e as-ra (ezt a racionális kitevővel rendelkező fok tulajdonságairól szóló részben tesszük meg).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük Kimenet: ha adott m-re, n-re és a-ra van értelme a kifejezésnek, akkor az a szám m / n törtkitevőjű hatványa az a n-edik fokának gyöke az m hatványhoz.

Ez az állítás közel visz minket a törtkitevővel rendelkező fok definíciójához. Már csak azt kell leírni, hogy melyik m, n és a esetében van értelme a kifejezésnek. Az m , n és a korlátozásoktól függően két fő megközelítés létezik.

A legegyszerűbb úgy korlátozni, hogy pozitív m esetén a≥0, negatív m esetén pedig a>0 (mivel m≤0-nak nincs 0 m hatványa). Ekkor megkapjuk a fok következő definícióját törtkitevővel.

Meghatározás.

Pozitív a szám hatványa m/n tört kitevővel, ahol m egész szám, n pedig természetes szám, az a szám n-edikének gyökének nevezzük m hatványához, azaz .

A nulla töredékes foka is meg van határozva azzal az egyetlen kitétellel, hogy a kitevőnek pozitívnak kell lennie.

Meghatározás.

Nulla hatványa tört pozitív kitevővel m/n, ahol m pozitív egész szám, n pedig természetes szám, a következőképpen definiálható .
Ha a fok nincs definiálva, vagyis a nulla szám fokszámának negatív kitevő törtrészes, nincs értelme.

Megjegyzendő, hogy a törtkitevős fok ilyen definíciójával van egy árnyalat: egyes negatív a, valamint néhány m és n esetén a kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket elvetettük az a≥0 feltétel bevezetésével. Például van értelme írni vagy , és a fenti definíció arra kényszerít bennünket, hogy azt mondjuk, hogy fokok az alak törtkitevőjével értelmetlenek, mivel az alap nem lehet negatív.

A fokszám m / n törtkitevővel történő meghatározásának másik megközelítése az, hogy külön figyelembe vesszük a gyökér páros és páratlan kitevőit. Ez a megközelítés további feltételt igényel: az a szám fokszámát, amelynek kitevője , annak az a számnak a fokának tekintjük, amelynek kitevője a megfelelő irreducibilis tört (ennek a feltételnek a fontosságát az alábbiakban ismertetjük). Azaz, ha m/n egy irreducibilis tört, akkor bármely k természetes szám esetén a fokszámot először helyettesíti a -val.

Páros n és pozitív m esetén a kifejezésnek bármilyen nem negatív a esetén van értelme (a negatív szám páros fokának gyöke nincs értelme), negatív m esetén az a számnak még mindig különböznie kell nullától (egyébként ott nullával való osztás lesz). Páratlan n és pozitív m esetén pedig az a szám bármi lehet (a páratlan fok gyöke bármely valós szám), negatív m esetén pedig az a számnak nullától eltérőnek kell lennie (hogy ne legyen nullával osztás).

A fenti okfejtés elvezet bennünket a fok ilyen, törtkitevős definíciójához.

Meghatározás.

Legyen m/n irreducibilis tört, m egész szám, n pedig természetes szám. Bármilyen redukálható közönséges tört esetén a fokszám helyére . Az m / n irreducibilis törtkitevővel rendelkező a hatványa az



Magyarázzuk meg, miért cseréljük le először egy redukálható törtkitevővel rendelkező fokot egy irreducibilis kitevővel rendelkező fokra. Ha egyszerűen definiálnánk a fokot, és nem tennénk fenntartást az m / n tört irreducibilitásával kapcsolatban, akkor a következőhöz hasonló helyzetekkel találkoznánk: mivel 6/10=3/5 , akkor az egyenlőség , de , de .

Felhívjuk figyelmét, hogy a ez a szekcióérti a fogalmat fokot csak természetes jelzővelés nulla.

A fokozatok fogalma és tulajdonságai racionális mutatók(negatív és törtjelekkel) a 8. évfolyam óráin lesz szó.

Tehát nézzük meg, mi egy szám foka. Egy szám szorzatának önmagában történő felírásához többször használjuk a rövidített jelölést.

Hat azonos tényező 4 4 4 4 4 4 szorzata helyett 4 6-ot írnak, és azt mondják, hogy „négy a hatodik hatványhoz”.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

A 4 6 kifejezést egy szám hatványának nevezzük, ahol:

• 4 — fokozat alapja;
• 6 — kitevő.

BAN BEN Általános nézet fok "a" bázissal és "n" kitevővel a következő kifejezéssel írható:

Emlékezik!

Az 1-nél nagyobb természetes kitevővel rendelkező "a" szám fokszáma" n"azonos tényezők, amelyek mindegyike egyenlő a számmal"a".

Az " a n" rekord így hangzik:" és az n hatványra "vagy" az a szám n-edik hatványa.

A kivételek a következő bejegyzések:

• a 2 - „egy négyzetként” ejthető;
• a 3 - kiejthető: "a egy kockában".

• a 2 - "és másodfokú";
• a 3 - "a a harmadik fokig."

Speciális esetek merülnek fel, ha a kitevő egyenlő eggyel vagy nullával (n = 1; n = 0).

Emlékezik!

Az "a" szám foka n \u003d 1 kitevővel maga ez a szám:
a 1 = a

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.
a 0 = 1

Nulla bármely természetes hatványhoz egyenlő nullával.
0 n = 0

Egy bármely hatványhoz egyenlő 1-gyel.
1n=1

Kifejezés 0 0 ( nulláról nullára) értelmetlennek minősül.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Példák megoldása során emlékezni kell arra, hogy a hatványra emelést úgy nevezzük, hogy egy numerikus vagy szó szerinti értéket találunk hatványra emelés után.

Példa. Emelje fel hatalomra.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Negatív szám hatványozása

A hatvány alapja (az a szám, amelyet hatványra emelünk) bármilyen szám lehet – pozitív, negatív vagy nulla.

Emlékezik!

A pozitív szám hatványra emelése azt eredményezi pozitív szám.

Amikor nullát emelünk természetes fokozat nullának bizonyul.

Ha egy negatív számot hatványra emelünk, az eredmény lehet pozitív vagy negatív szám. Attól függ, hogy a kitevő páros vagy páratlan szám volt.

Tekintsünk példákat a negatív számok hatványra emelésére.

A figyelembe vett példákból látható, hogy ha egy negatív számot páratlan hatványra emelünk, akkor negatív számot kapunk. Mivel páratlan számú negatív tényező szorzata negatív.

Ha egy negatív számot páros hatványra emelünk, akkor pozitív számot kapunk. Mivel páros számú negatív tényező szorzata pozitív.

Emlékezik!

A páros hatványra emelt negatív szám pozitív szám.

A páratlan hatványra emelt negatív szám negatív szám.

Bármely szám négyzete pozitív szám vagy nulla, azaz:

a 2 ≥ 0 bármely a esetén.

• 2 (-3) 2 = 2 (-3) (-3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Jegyzet!

A hatványozási példák megoldása során gyakran elkövetnek hibákat, elfelejtve, hogy a (−5) 4 és −5 4 bejegyzések különböző kifejezések. E kifejezések hatványra emelésének eredménye más lesz.

A (−5) 4 kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni egy negatív szám negyedik hatványának értékét.

(-5) 4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625

Míg a "-5 4" keresése azt jelenti, hogy a példát 2 lépésben kell megoldani:

1. Emelje fel a pozitív 5-ös számot a negyedik hatványra.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Tegyen egy mínusz jelet a kapott eredmény elé (vagyis hajtson végre kivonási műveletet).
   −5 4 = −625

Példa. Számítsd ki: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

A fokozatokkal rendelkező példák eljárása

Az érték kiszámítását hatványozás műveletének nevezzük. Ez a harmadik szakasz akciója.

Emlékezik!

Azoknál a fokszámú kifejezéseknél, amelyek nem tartalmaznak zárójelet, először hajtsa végre hatványozás, azután szorzás és osztás, és a végén összeadás és kivonás.

Ha a kifejezésben zárójelek vannak, akkor először a fent jelzett sorrendben a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre, majd a többi műveletet ugyanabban a sorrendben balról jobbra.

Példa. Kiszámítja:

A példák megoldásának megkönnyítésére hasznos ismerni és használni a honlapunkról ingyenesen letölthető foktáblázatot.

Az eredmények ellenőrzéséhez használja a weboldalunkon található számológépet "

"Összehasonlító végzettség" - Egy görény élt egy lyukban. N.f. Okos + TÖBB - okosabb N.f. Okos + KEVESEBB - kevésbé okos. szerepe a javaslatban. Kevésbé fürge kutyáink Menjetek szurkolni az egereknek a versenyeken. Városi oktatási intézmény"Elgai Általános Iskola". A hörcsög fürgébb, mint egy kiskutya. Valahogy egy kevésbé fürge szomszéd kiskutyája elrángatta a cipőnket.

"Fokozat természetes indikátorral" - Fokozat természetes és egész indikátorral. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. Fokozat meghatározása természetes mutatóval. 1 bármely hatványhoz egyenlő 1-gyel 1n=1. Mi az a diploma? Hogyan írjunk rövidebben Hatványok szorzása ugyanazzal az alappal. N kifejezés. 10n=100000…0.

"Fok egész kitevővel" - Számítás. Fejezd ki a kifejezést hatalomként. Fejezzük ki x-12-t két hatvány szorzataként x bázissal, ha egy tényező ismert. Rendezd csökkenő sorrendbe. Egyszerűsítsd. Milyen x értékeire igaz az egyenlet?

"Harmadik fokú egyenletek" - (A harmadik esetben - a minimum, a negyedik - a maximum). Az első és a második esetben a függvényt monotonnak mondjuk az x = pontban. Képletünk a következőt adja: "Nagy művészet". Tartaglia tehát hagyta magát meggyőzni. Lemma. A harmadik és negyedik esetben azt mondjuk, hogy a függvénynek az x = pontjában van egy szélsője. Kinyitjuk a zárójeleket.

"A diploma tulajdonságai" - A diploma tulajdonságainak alkalmazására vonatkozó ismeretek és készségek általánosítása természetes jelzővel. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. Ötletelés. Melyik szám kockája a 64? Számítási szünet. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. A kitartás, a szellemi aktivitás és az alkotó tevékenység fejlesztése.

„N-edik fok gyökere” – 2. definíció: A). Kockázzuk fel az egyenlet mindkét oldalát: - Radikális kifejezés. Tekintsük az x egyenletet? = 1. Emeljük fel az egyenlet mindkét oldalát a negyedik hatványra: Ábrázoljuk az y = x függvények grafikonjait? és y = 1. Valós szám n-edik gyökének fogalma. Ha n páratlan, akkor egy gyök: Készítsünk gráfokat az y = x függvényekről? és y=1.