Egy pont síkra vetítése egy speciális esete annak az általános problémának, hogy megtaláljuk a pont vetületét a felületre. Egy pontnak a felületet érintő síkra vonatkozó vetületének kiszámításának egyszerűsége miatt az általános probléma megoldásában nulla közelítésként használják.

Tekintsük egy pontnak a sugárvektor által megadott síkra vetítésének problémáját

Feltételezzük, hogy a vektorok nem kollineárisak. Tételezzük fel, hogy általános esetben a vektorok nem merőlegesek, és nem egységnyi hosszúságúak. A sík áthalad azon a ponton, ahol a paraméterek nullával egyenlőek, és a vektorok határozzák meg a paraméteres irányokat. Az adott pontnak egyedi vetülete van a síkra (4.6.1). Szerkesszünk egy egységet a síkra merőlegesen

Rizs. 4.6.1. Egy pont vetítése az s(u,v) síkra

Számítsuk ki a síkra vonatkozó pontvetítés sugárvektorát a vetített pont sugárvektora és a vektor sík normáljával párhuzamos komponense közötti különbségként!

(4.6.4)

ábrán A 4.6.1 a síkjának vektorait mutatja kiindulópontés az adott pont vetülete.

A vetületek paramétereit és hosszát az egyenletek kapcsolják össze

ahol a vektorok közötti szög koszinuszát az (1.7.13) képlet határozza meg.

Ezen egyenletrendszerből megtaláljuk egy pont síkra vetítésének paramétereit

(4.6.6)

ahol a sík első másodfokú alapalakjának együtthatói (1.7.8), ezek egyben a metrikus felülettenzor kovariáns komponensei, a metrikus felülettenzor kontravariáns komponensei. Ha a vektorok ortogonálisak, akkor a (4.6.6) és (4.6.7) képletek a következőt öltik:

Egy ponttól a síkra való vetítésig terjedő távolságot általában egy vektor hosszában számítják ki. A ponttól a síkra való vetítésig mért távolságot a pont vetületének kiszámítása nélkül is meg lehet határozni, hanem a vektornak a síkra való normálisra vetítésével.

(4.6.8)

Különleges esetek.

Egy pont vetületei egyes analitikai felületekre numerikus módszerek alkalmazása nélkül is megtalálhatók. Például egy pont körhenger, kúp, gömb vagy tórusz felületére való vetületének megtalálásához le kell fordítania a vetített pontot a felület helyi koordinátarendszerébe, ahol könnyen megtalálhatja a vetítési paramétereket. Hasonlóképpen találhatunk kiemelkedéseket az extrudálási és forgási felületeken. Egyes esetekben a vetülete vetített pontjának helyzete más felületeken is könnyen megtalálható.

Általános eset.

Tekintsük általános esetben egy pont felületre vetítésének problémáját. Legyen megkövetelve egy pont összes vetületének megtalálása a felületen. A felület minden kívánt pontja kielégíti a két egyenletrendszert

A (4.6.9) egyenletrendszer két ismeretlen mennyiséget tartalmaz - az u és v paramétereket. Ezt a feladatot ugyanúgy oldjuk meg, mint egy adott pont vetületeinek görbére való megtalálását.

Az első szakaszban meghatározzuk a felületi paraméterek nulla közelítését a pont vetületeihez, a második szakaszban pedig megtaláljuk azoknak a paramétereknek a pontos értékét, amelyek meghatározzák az adott pont vetületeit a felületre.

Menjünk át a felületen a (4.2.4) és (4.2.5) képletekkel számított lépésekkel, amelyeket fentebb leírtunk a paraméteres tartomány mentén történő mozgással. Jelöljük azon pontok paramétereit, amelyeken keresztül fogunk áthaladni. Minden pontban kiszámítjuk a vektorok skaláris szorzatát

(4.6.10)

Ha a kívánt megoldás egy paraméteres pont közelében van, akkor meglesz különböző jelek, valamint különböző előjelűek lesznek. A skaláris szorzatok jeleinek változása azt jelzi, hogy a kívánt megoldás a közelben van. A paraméterek nulla közelítéséhez az értékeket vesszük A paraméterek nulla közelítéséből kiindulva, a nemlineáris egyenletek megoldásának egyik módszere adott pontossággal megoldást talál a problémára. Például Newton módszerében iterációknál a vetítési paraméterek növekményei megtalálhatók a lineáris egyenletrendszerből

ahol a sugárvektor parciális deriváltjai a paraméterekhez képest. következő közelítés pont vetületi paraméterei egyenlők . A paraméterek finomítása akkor fejeződik be, amikor az egyenlőtlenségek teljesülnek a következő iterációnál, ahol a megadott hiba van. Ugyanígy megtaláljuk a (4.6.9) egyenletrendszer összes többi gyökerét is.

Ha egy adott pontnak csak a legközelebbi vetületét kell megkeresnie a felületre, akkor végigmehet egy geometriai objektum ugyanazon pontjain, és kiválaszthatja az adott ponthoz legközelebb esőt. A legközelebbi és pont paramétereit a problémamegoldás nulla közelítésének kell választani.

Pont vetítése egy felületre adott irányban.

Bizonyos esetekben az a probléma, hogy egy pont felületre vetítését nem a normál, hanem egy adott irány mentén határozzuk meg. Adjuk meg a vetítés irányát q egységnyi hosszúságú vektorral. Építsünk egy egyenest

(4.6.12)

áthaladó adott pontés az adott vektor irányával rendelkező. Egy pontnak egy felületre adott irányú vetületeit úgy definiáljuk, mint a felület metszéspontjait egy adott ponton egy adott irányban átmenő egyenessel (4.6.12).

Algebrai vektorvetítés bármely tengelyen egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Jobb oldali a b = |b|cos(a,b) vagy

Ahol a b az , |a| vektorok skaláris szorzata - az a vektor modulusa.

Utasítás. Az Пp a b vektor vetületének online megtalálásához meg kell adni az a és b vektorok koordinátáit. Ebben az esetben a vektor megadható síkban (két koordináta) és térben (három koordináta). Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre. Ha a vektorok a pontok koordinátáin keresztül vannak megadva, akkor ezt a számológépet kell használni.

Vektor vetítés osztályozása

A vetületek típusai definíciós vektorvetítés szerint

1. Az AB vektor geometriai vetületét a tengelyre (vektor) A"B" vektornak nevezzük, melynek A' kezdete az A kezdetének vetülete a tengelyre (vektor), a B' vége pedig a vetület. a B végét ugyanarra a tengelyre.
2. Az AB vektor algebrai vetületét a tengelyre (vektor) nevezzük az A"B" vektor hosszának, amelyet + vagy - előjellel vettünk, attól függően, hogy az A"B" vektor iránya megegyezik-e a tengelyével ( vektor).

A vetületek típusai koordinátarendszer szerint

Vektorvetítés tulajdonságai

1. Egy vektor geometriai vetülete vektor (van iránya).
2. Egy vektor algebrai vetülete egy szám.

Vektorvetítési tételek

1. tétel. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok elemeinek vetületével.

AC"=AB"+B"C"

2. tétel. Egy vektor algebrai vetülete bármely tengelyre egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Pr a b = |b| cos(a,b)

A vektorvetítések típusai

1. vetítés az OX tengelyre.
2. vetítés az OY tengelyre.
3. vektorra vetítés.

Kivetítés az OX tengelyre	Vetítés az OY tengelyre	Vetítés vektorba
Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.
Ha a vektor iránya ellentétes az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.
Ha az AB vektor párhuzamos az OX tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az OY tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az NM vektorral, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.
Ha az AB vektor merőleges az OX tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla-vektor).	Ha az AB vektor merőleges az OY tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla vektor).	Ha az AB vektor merőleges az NM vektorra, akkor A'B' vetülete nulla (nulla vektor).

1. Kérdés: Lehet-e negatív előjelű vektor vetülete? Válasz: Igen, a vektorvetítés negatív is lehet. Ebben az esetben a vektor ellenkező irányú (lásd az OX tengely és az AB vektor irányát)
2. Kérdés: Egy vektor vetülete egybeeshet-e a vektor modulusával? Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektorok párhuzamosak (vagy egy egyenesen fekszenek).
3. Kérdés: Egy vektor vetülete egyenlő lehet-e nullával (nulla-vektor). Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektor merőleges a megfelelő tengelyre (vektor).

1. példa. A vektor (1. ábra) 60 o-os szöget zár be az OX tengellyel (ezt az a vektor adja). Ha az OE egy skálaegység, akkor |b|=4, tehát .

Valójában a vektor hossza ( geometriai vetítés b) egyenlő 2-vel, és az irány megegyezik az OX tengely irányával.

2. példa. A vektor (2. ábra) az OX tengellyel (az a vektorral) (a,b) = 120 o szöget zár be. Hossza |b| b vektor egyenlő 4-gyel, tehát pr a b=4 cos120 o = -2.

Valójában a vektor hossza egyenlő 2-vel, és az irány ellentétes a tengely irányával.

Amikor döntenek geometriai problémák térben gyakran felmerül a probléma egy sík és egy pont távolságának meghatározása. Bizonyos esetekben ez szükséges komplett megoldás. Ezt az értéket úgy számíthatjuk ki, hogy megtaláljuk a vetületet a pont síkjára. Tekintsük ezt a kérdést részletesebben a cikkben.

Egyenlet egy sík leírására

Mielőtt megvizsgálná azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni egy pont vetületét egy síkra, meg kell ismerkednie azokkal az egyenletekkel, amelyek meghatározzák az utóbbit a háromdimenziós térben. További részletek alább.

Egy általános egyenlet, amely meghatározza az összes pontot, amely egy adott síkhoz tartozik, a következő:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Az első három együttható a vektor koordinátái, amelyet a sík útmutatójának nevezünk. Egybeesik a normál értékkel, vagyis merőleges. Ezt a vektort n¯(A; B; C) jelöljük. A D szabad együtthatót a síkhoz tartozó bármely pont koordinátáinak ismeretében határozzuk meg egyértelműen.

Egy pont vetületének fogalma és számítása

Tegyük fel, hogy adott egy P(x 1 ; y 1 ; z 1) pont és egy sík. Az in egyenlet határozza meg Általános nézet. Ha P-ből merőleges egyenest húzunk adott repülőgép, akkor nyilvánvaló, hogy ez utóbbit egy meghatározott Q pontban metszi (x 2 ; y 2 ​​; z 2). Q-t P vetületének nevezzük a vizsgált síkra. A PQ szakasz hosszát a P pont és a sík közötti távolságnak nevezzük. Tehát maga a PQ merőleges a síkra.

Hogyan lehet megtalálni egy pont síkra vetítésének koordinátáit? Ezt nem nehéz megtenni. Először fel kell készítenie egy egyenletet egy egyenesre, amely merőleges lesz a síkra. Hozzá fog tartozni a P pont. Mivel ennek az egyenesnek az n¯(A; B; C) normálvektorának párhuzamosnak kell lennie, ezért az egyenletet a megfelelő formában a következőképpen írhatjuk fel:

(x; y; z) = (x1; y1; z1) + λ*(A; B; C).

hol λ - valós szám, amelyet általában az egyenlet paraméterének neveznek. Megváltoztatásával a vonal bármely pontját megkaphatja.

Miután felírtuk a síkra merőleges egyenes vektoregyenletét, meg kell találni a vizsgált geometriai objektumok közös metszéspontját. Ennek koordinátái a P vetület lesz. Mivel mindkét egyenlőséget ki kell elégíteniük (egyenesre és síkra), a feladat a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A vetítés fogalmát gyakran használják a rajzok tanulmányozása során. Az alkatrész oldalirányú és vízszintes vetületeit ábrázolják a zy, zx és xy síkon.

Egy sík és egy pont közötti távolság kiszámítása

Mint fentebb megjegyeztük, a pont síkjára történő vetítés koordinátáinak ismerete lehetővé teszi a köztük lévő távolság meghatározását. Az előző bekezdésben bemutatott jelöléssel azt kapjuk, hogy a kívánt távolság megegyezik a PQ szakasz hosszával. Kiszámításához elég megkeresni a PQ¯ vektor koordinátáit, majd egy jól ismert képlettel kiszámítani a modulusát. A P pont és a sík közötti d távolság végső kifejezése:

d = |PQ¯| \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

A kapott d értéke egységekben van megadva, amelyben az aktuális xyz derékszögű koordinátarendszer van megadva.

Feladat példa

Tegyük fel, hogy van egy N(0; -2; 3) pont és egy sík, amelyet a következő egyenlet ír le:

Meg kell keresni a vetítési pontokat a síkon, és ki kell számítani a köztük lévő távolságot.

Mindenekelőtt a síkot 90 o-os szögben metsző egyenes egyenletét fogjuk megfogalmazni. Nekünk van:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Ezt az egyenlőséget kifejezetten felírva a következő egyenletrendszerhez jutunk:

Az első három egyenlőség koordinátaértékeit behelyettesítve a negyedikbe, megkapjuk a λ értéket, amely meghatározza az egyenes és a sík közös pontjának koordinátáit:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

A talált paramétert behelyettesítjük és megkeressük a kezdőpont síkra vetítésének koordinátáit:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

A feladatmeghatározásban megadott geometriai objektumok közötti távolság kiszámításához a d képletet alkalmazzuk:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

Ebben a feladatban megmutattuk, hogyan találjuk meg egy pont vetületét egy tetszőleges síkon, és hogyan számítsuk ki a köztük lévő távolságot.

Megépítése akkor történik meg, ha az adott síkra a ponton átmenő merőleges helyreáll, és megépül a merőlegesnek a síkkal való metszéspontja:
Vonal és sík;
Egyenes metszéspontja síkkal

Megépítése akkor történik meg, amikor az adott síkra vonatkozó merőleges helyreáll, a pontból a síkra süllyesztjük és a merőleges síkkal való metszéspontja megépül. Ezeket a konstrukciókat akkor hajtjuk végre, ha egy pont és egy sík távolságát derékszögű háromszög módszerével határozzuk meg.

Vetítési adatok: pontok A(A`, A") és repülőgép α (α H, α V). Keresse meg a távolságot a ponttól A egészen a repülőig α derékszögű háromszög módszer.

HTML táblázat kódja, példák

A 4. feladat a 2. számú grafikai munkában a szakasz két pontjára épül fel EF: Grafikai munka 2

Szerkesszük meg a B pont diagramját, amely szimmetrikus A az m egyenesre nézve

Íme egy a probléma megoldásának számos módja közül.
1. Adott m egyenessel párhuzamos S irányú ferde vetületet használjon:
a) Rajzoljon egy n egyenest az A ponton keresztül, és keresse meg az nH, mH és nV, mV nyomokat;
b) keresse meg az α sík nyomait az nH, mH és nV, mV generátorainak párhuzamos egyeneseinek nyomaival;
c) keresse meg az α síkon lévő azonos nevű nyomokon a k egyenes kH és kV nyomait az m egyenesre nézve szimmetrikusan.
2. Az A ponton keresztül rajzolunk egy β síkot, amely merőleges az α sík m, n és k párhuzamos egyeneseire:
a) Az A ponton keresztül megrajzoljuk a β sík vízszintesét és frontálisát;
b) Határozza meg a β sík vízszintes és frontális nyomait;
c) Rajzolja meg a β sík nyomait vízszintes h és frontális f nyomain keresztül.
3. Keresse meg a k egyenes és a β sík találkozásának B pontját:
a) Határozza meg 1 - 2 α és β sík metszésvonalát!
b) Keresse meg a kívánt B pontot az 1-2 egyenes és a k egyenes metszéspontjában.

Keressen hegyesszöget a vektorokra épített paralelogramma átlói között!

5) Határozza meg a c vektor koordinátáit az a és b vektorok szögfelezője mentén, ha a c vektor \u003d 3 gyökere a 42-ből. a \u003d (2; -3; 6), b \ u003d (-1; 2; -2)

Találjuk ki egységvektor e_a társirányító a következővel:

hasonlóan e_b = b/|b|,

akkor a kívánt vektor ugyanúgy lesz irányítva, mint vektor összege e_a+e_b, mert (e_a+e_b) a rombusz átlója, ami yavl. szögfelezője.

Jelölje (e_a+e_b)=d,

Keressünk egy egységvektort, amely a felezőszög mentén irányul: e_c = d/|d|

Ha |c| = 3*sqrt(42), akkor c = |c|*e_c. Ez minden.

Megtalálni lineáris függőség adott négy nem egysíkú vektor között: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Az első három egyenlőségből próbálja meg kifejezni az `a,b,c`-et `p,q,r-ként (kezdje a második és a harmadik egyenlet hozzáadásával). Ezután cserélje le az utolsó egyenletben szereplő "b" és "c" karaktereket a "p,q,r"-n keresztül talált kifejezésekre.

13) Határozzuk meg az x + y + 2z - 3 = 0 síkra merőleges A(2, -1, 4) és B(3, 2, -1) pontokon átmenő sík egyenletét! A sík kívánt egyenlete a következő: Ax + By + Cz + D = 0, ennek a síknak a normálvektora (A, B, C). Az (1, 3, -5) vektor a síkhoz tartozik. A nekünk adott síknak, a kívántra merőlegesen, van egy normálvektora (1, 1, 2). Mivel Az A és B pont mindkét síkhoz tartozik, és a síkok egymásra merőlegesek, akkor így a normálvektor (11, -7, -2). Mivel az A pont a kívánt síkhoz tartozik, akkor a koordinátáinak ki kell elégíteniük ennek a síknak az egyenletét, azaz. 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; D = -21. Összességében megkapjuk a sík egyenletét: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

14) Egy vektorral párhuzamos egyenesen átmenő sík egyenlete.

Hagyja a kívánt síkot átmenni az (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 egyenesen párhuzamosan az (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 egyenessel = (z-z2)/c2.

Ekkor a sík normálvektora ezen egyenesek irányvektorainak keresztszorzata:

Hagyja a koordinátákat vektor termék(ABC). A kívánt sík átmegy az (x1;y1;z1) ponton. A normálvektor és az a pont, amelyen a sík áthalad - egyértelműen meghatározza a kívánt sík egyenletét:

A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0

17) Határozzuk meg a 3x - 7y + 14 = 0 egyenesre merőleges A(5, -1) ponton átmenő egyenes egyenletét!

18) Állítsd össze az M ponton átmenő egyenes egyenletét az adott síkra merőlegesen M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) – az Ön M(4,3,1) pontja

(n, m, p) - egy egyenes irányvektora, ez is egy adott felület normálvektora (1, 3, 5) (együtthatók x,y,z változók a sík egyenletben)

Keresse meg egy pont vetületét egy síkra

M(1,-3,2) pont, 2x+5y-3z-19=0 sík