1) A funkció hatóköre és funkciótartománya.

Egy függvény hatóköre az argumentum összes érvényes érvényes értékének halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) meghatározott. Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y hogy a függvény elfogadja.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák.

A függvény nullája annak az argumentumnak az értéke, amelynél a függvény értéke nulla.

3) Egy függvény előjelállandóságának intervallumai.

Egy függvény konstans előjelének intervallumai olyan argumentumérték-készletek, amelyeken a függvény értékei csak pozitívak vagy csak negatívak.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvények.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van ilyen pozitív szám M olyan, hogy |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha nincs ilyen szám, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha létezik olyan T szám, amely nem nulla, így a függvény tartományából származó bármely x esetén f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvények időszakosak. (Trigonometrikus képletek).

19. Alapvető elemi függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik. Függvények alkalmazása a gazdaságban.

Alapvető elemi funkciók. Tulajdonságaik és grafikonjaik

1. Lineáris függvény.

Lineáris függvény alak függvényének nevezzük, ahol x egy változó, és b pedig valós számok.

Szám de egy egyenes meredekségének nevezzük, ez egyenlő ezen egyenes dőlésszögének az x tengely pozitív irányához viszonyított érintőjével. A lineáris függvény grafikonja egy egyenes. Két pont határozza meg.

Lineáris függvény tulajdonságai

1. Definíciós tartomány – az összes valós szám halmaza: D (y) \u003d R

2. Az értékkészlet az összes valós szám halmaza: E(y)=R

3. A függvény nulla értéket vesz fel a vagy számára.

4. A függvény növekszik (csökken) a teljes definíciós tartományban.

5. A lineáris függvény folytonos a teljes definíciós tartományon, differenciálható és .

2. Másodfokú függvény.

Egy olyan alakú függvényt, ahol x változó, az a, b, c együtthatók valós számok, ún. négyzetes.

Esély a, b, c határozza meg a gráf helyét a koordinátasíkon

Az a együttható határozza meg az ágak irányát. A másodfokú függvény grafikonja egy parabola. A parabola csúcsának koordinátáit a következő képletekkel találjuk meg:

Funkció tulajdonságai:

2. Valamelyik intervallum értékkészlete: vagy.

3. A függvény nulla értéket vesz fel, amikor , ahol a diszkriminánst a következő képlettel számítjuk ki:.

4. A függvény az egész definíciós tartományban folytonos és a függvény deriváltja egyenlő .

Tétel a monoton függvény határértékéről. A tétel bizonyítása két módszerrel történik. Megadjuk a szigorúan növekvő, nem csökkenő, szigorúan csökkenő és nem növekvő függvények definícióit is. A monoton függvény definíciója.

Tartalom

A funkció felülről nincs korlátozva

1.1. Legyen a b szám véges: .
1.1.2. Legyen a függvény felülről korlátlan.

.

nál nél .

Jelöljük. Akkor minden létezik, szóval
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a b pontban a bal oldali határérték a következő (lásd "Függvény egyoldalú végtelen határértékeinek meghatározása a végpontban").

b korai plusz végtelen

A funkció felülről korlátozott

1. A függvény ne csökkenjen az intervallumon.
1.2.1. Határozza felülről a függvényt az M : for .
Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Mivel a függvény felülről korlátos, van véges felső korlát
.
A legkisebb felső korlát meghatározása szerint a következő feltételek teljesülnek:
;
minden pozitívum mellett van érv, amely mellett
.

Mivel a függvény nem csökken, akkor -ra. Aztán at . Vagy
nál nél .

Tehát azt találtuk, hogy bármelyikhez létezik egy szám, tehát ez
nál nél .
"Az egyoldalú határértékek meghatározása a végtelenben").

A funkció felülről nincs korlátozva

1. A függvény ne csökkenjen az intervallumon.
1.2. Legyen a b szám plusz végtelen: .
1.2.2. Legyen a függvény felülről korlátlan.
Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Mivel a függvény nem felülről korlátos, így bármely M számra van egy argumentum, amelyre
.

Mivel a függvény nem csökken, akkor -ra. Aztán at .

Tehát mindenhez van egy szám, tehát ez
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy az at határérték értéke (lásd "Az egyoldalú végtelen határértékek meghatározása a végtelennél").

A funkció nem növekszik

Most nézzük meg azt az esetet, amikor a függvény nem növekszik. A fentiek szerint mindegyik lehetőséget külön-külön megfontolhatja. De azonnal lefedjük őket. Ehhez használjuk. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Tekintsük a függvényértékek halmazának véges alsó korlátját:
.
Itt B lehet véges szám vagy pont a végtelenben. A pontos infimum meghatározása szerint a következő feltételek teljesülnek:
;
a B pont bármely szomszédságára van érv, amely mellett
.
A tétel feltétele szerint . Ezért .

Mivel a függvény nem növekszik, akkor a . Azóta
nál nél .
Vagy
nál nél .
Megjegyezzük továbbá, hogy az egyenlőtlenség határozza meg a b pont bal oldali szúrt környékét.

Tehát azt találtuk, hogy a pont bármely szomszédságában van a b pontnak olyan kilyukasztott bal környezete, hogy
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a bal oldali határ a b pontban:

(lásd a függvény határának egyetemes definícióját Cauchy szerint).

Határérték az a pontban

Most mutassuk meg, hogy az a pontban van határ, és keressük meg az értékét.

Tekintsünk egy függvényt. A tétel feltétele szerint a függvény monoton -ra. Cseréljük ki az x változót -x-re (vagy végezzük el a helyettesítést, majd cseréljük ki a t változót x-re). Ekkor a függvény monoton . Az egyenlőtlenségeket megszorozva ezzel -1 és megváltoztatva a sorrendjüket, arra a következtetésre jutunk, hogy a függvény monoton .

Hasonló módon könnyen kimutatható, hogy ha nem csökken, akkor nem nő. Akkor a fentebb bizonyítottak szerint van egy határ
.
Ha nem növekszik, akkor nem csökken. Ebben az esetben van egy határ
.

Most már csak azt kell megmutatni, hogy ha van korlátja a függvénynek, akkor van korlátja a függvénynek is, és ezek a határértékek egyenlőek:
.

Bemutatjuk a jelölést:
(1) .
Fejezzük ki f-t g-vel:
.
Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot. Legyen az A pont epszilon környéke. Az Epszilon szomszédság A véges és végtelen értékére is definiálva van (lásd "Egy pont szomszédsága"). Mivel van határ (1), akkor a határérték definíciója szerint bármelyikhez létezik olyan, hogy
nál nél .

Legyen a véges szám. Fejezzük ki az -a pont bal oldali szúrt környezetét az egyenlőtlenségek segítségével:
nál nél .
Helyettesítsük x-et -x-re, és vegyük figyelembe, hogy:
nál nél .
Az utolsó két egyenlőtlenség az a pont szúrt jobb oldali környezetét határozza meg. Azután
nál nél .

Legyen a végtelen szám, . Megismételjük a vitát.
nál nél ;
nál nél ;
nál nél ;
nál nél .

Tehát azt találtuk, hogy minden számára létezik ilyen
nál nél .
Ez azt jelenti
.

A tétel bizonyítást nyert.

Lásd még:

Óra és előadás a témában: "Egy függvény tulajdonságai. Függvénynövelés és -csökkentés"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
Interaktív tanulmányi útmutató a 9. osztály számára "Szabályok és gyakorlatok a geometriában"
„Érthető geometria” elektronikus tankönyv 7-9

Srácok, folytatjuk a numerikus függvények tanulmányozását. Ma egy olyan témára fogunk összpontosítani, mint a függvénytulajdonságok. A függvényeknek számos tulajdonsága van. Ne feledje, milyen tulajdonságokat vizsgáltunk a közelmúltban. Így van, hatókör és hatókör, ez az egyik legfontosabb tulajdonság. Soha ne feledkezzen meg róluk, és ne feledje, hogy egy függvény mindig rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal.

Ebben a részben a függvények néhány tulajdonságát fogjuk meghatározni. Azt, hogy milyen sorrendben határozzuk meg őket, azt javaslom, hogy kövesse a problémák megoldása során.

Funkció Növekvő és Csökkenő

Az első tulajdonság, amit meghatározunk, a függvény növekedése és csökkentése.

Egy függvényt növekvőnek nevezünk egy X⊂D(f) halmazon, ha bármely x1 és x2 esetén úgy, hogy x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Egy függvényt csökkenőnek nevezünk az X⊂D(f) halmazon, ha bármely x1 és x2 esetén x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Azaz az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

A függvény "növekedése" és "csökkenése" fogalma nagyon könnyen érthető, ha alaposan megnézi a függvény grafikonjait. Növekvő függvénynél: mintegy felfelé megyünk a dombra, csökkenő függvénynél lefelé megyünk. Általános forma A növekvő és csökkenő függvényeket az alábbi grafikonok mutatják be.

Egy függvény növekedését és csökkenését általában monotonitásnak nevezik. Azaz a feladatunk a csökkenő és növekvő függvények intervallumainak megtalálása. Általános esetben ezt a következőképpen fogalmazzuk meg: keressük meg a monotonitás intervallumait, vagy vizsgáljunk meg egy függvényt monotonitásra.

Vizsgáljuk meg a $y=3x+2$ függvény monotonitását!
Megoldás: Ellenőrizze a függvényt bármely x1 és x2 esetén, és legyen x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Mert x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Funkció korlátozás

Egy $y=f(x)$ függvényt alulról korlátosnak mondunk egy X⊂D(f) halmazon, ha létezik olyan a szám, amelyre bármely xϵX esetén az f(x) egyenlőtlenség< a.

Egy $y=f(x)$ függvényt felülről korlátosnak mondunk egy X⊂D(f) halmazon, ha létezik olyan a szám, amelyre bármely xϵX esetén az f(x) egyenlőtlenség< a.

Ha az X intervallum nincs feltüntetve, akkor azt tekintjük, hogy a függvény a teljes definíciós tartományban korlátozott. A fent és lent is korlátos függvényt korlátosnak nevezzük.

A függvény korlátozása könnyen leolvasható a grafikonról. Lehetőség van egyenes vonal rajzolására
$y=a$, és ha a függvény magasabb ennél a vonalnál, akkor alulról korlátos. Ha alul, akkor rendre fent. Az alábbiakban egy alsó korlátos függvény grafikonja látható. Menetrend korlátozott funkció Srácok, próbáljátok meg lerajzolni magatokat.

Vizsgáljuk meg a $y=\sqrt(16-x^2)$ függvény korlátosságát!
Megoldás: Valamelyik szám négyzetgyöke nagyobb vagy egyenlő nullával. Nyilvánvalóan a függvényünk is nagyobb vagy egyenlő nullával, vagyis alulról korlátos.
Csak a négyzetgyököt tudjuk kivonni belőle nem negatív szám, majd $16-x^2≥0$.
Egyenlőtlenségünk megoldása a [-4;4] intervallum lesz. Ezen a szegmensen $16-x^2≤16$ vagy $\sqrt(16-x^2)≤4$, de ez felülről korlátoltságot jelent.
Válasz: a függvényünket két sor korlátozza: $y=0$ és $y=4$.

Legmagasabb és legalacsonyabb érték

Az y= f(x) függvény legkisebb értéke a Х⊂D(f) halmazon valamilyen m szám, így:

b) Bármely xϵX esetén $f(x)≥f(x0)$ teljesül.

Az y=f(x) függvény legnagyobb értéke a Х⊂D(f) halmazon valamilyen m szám, így:
a) Van olyan x0, hogy $f(x0)=m$.
b) Bármely xϵX esetén teljesül $f(x)≤f(x0)$.

A legnagyobb és legkisebb értéket általában y max-mal jelöljük. és y név. .

A korlátosság és a legkisebb értékű függvény fogalma szorosan összefügg. A következő állítások igazak:
a) Ha egy függvénynek van legkisebb értéke, akkor alulról korlátos.
b) Ha egy függvénynek van maximális értéke, akkor az felülről korlátos.
c) Ha a függvény felülről nem korlátos, akkor nincs maximális érték.
d) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor a legkisebb érték nem létezik.

Keresse meg a $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét.
Megoldás: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$x=4$ $f(4)=5$ esetén az összes többi értéknél a függvény kisebb értékeket vesz fel, vagy nem létezik, vagyis ez a függvény legnagyobb értéke.
Értelemszerűen: $9-4x^2+16x≥0$. Keressük a gyökereket négyzetes trinomikus$(2x+1)(2x-9)≥0$. $x=-0,5$ és $x=4,5$ esetén a függvény eltűnik, minden más ponton nagyobb, mint nulla. Ekkor definíció szerint a függvény legkisebb értéke nulla.
Válasz: y max. =5 és y min. =0.

Srácok, mi is tanulmányoztuk a függvény konvexitásának fogalmait. Egyes problémák megoldása során szükségünk lehet erre az ingatlanra. Ez a tulajdonság grafikonok segítségével is könnyen meghatározható.

A függvény lefelé konvex, ha az eredeti függvény grafikonjának bármely két pontja össze van kötve, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő egyenes alatt van.

A függvény felfelé konvex, ha az eredeti függvény grafikonjának bármely két pontja össze van kötve, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő egyenes felett van.

Egy függvény folytonos, ha a függvényünk grafikonjában nincsenek szakadások, mint például a fenti függvény grafikonja.

Ha egy függvény tulajdonságait szeretné megtalálni, akkor a tulajdonságok keresésének sorrendje a következő:
a) Meghatározási terület.
b) Egykedvűség.
c) korlátozás.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték.
e) Folytonosság.
f) Értéktartomány.

Keresse meg a $y=-2x+5$ függvény tulajdonságait.
Megoldás.
a) D(y)=(-∞;+∞) definíciós tartomány.
b) Egykedvűség. Ellenőrizzük az x1 és x2 értékeket, és legyen x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Mert x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) korlátozás. Nyilvánvaló, hogy a funkció nem korlátozott.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték. Mivel a függvény nincs korlátos, nincs maximum vagy minimum érték.
e) Folytonosság. Függvényünk grafikonján nincs hézag, akkor a függvény folytonos.
f) Értéktartomány. E(y)=(-∞;+∞).

Függvény tulajdonságaira vonatkozó feladatok független megoldáshoz

Funkciótulajdonságok keresése:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Vegye figyelembe, hogy minden definíció tartalmaz egy X numerikus halmazt, amely a függvény tartományának része: X D(f)-vel. A gyakorlatban leggyakrabban előfordulnak olyan esetek, amikor X egy numerikus intervallum (szegmens, intervallum, sugár stb.).

1. definíció.

Az y \u003d f (x) függvényt növekvőnek nevezzük egy X halmazon D (f)-vel, ha az X halmaz bármely két x 1 és x 2 pontjára úgy, hogy x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

2. definíció.

Az y \u003d f (x) függvényt csökkenőnek nevezzük egy X halmazon D (f)-vel, ha az X halmaz két x 1 és x 2 pontjának monotonitása esetén x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

A gyakorlatban kényelmesebb a következő megfogalmazások használata: a függvény akkor növekszik, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg; a függvény akkor csökken, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

A 7. és 8. osztályban a következő geometriai értelmezést alkalmaztuk a növekvő vagy csökkenő függvények fogalmának: egy növekvő függvény grafikonja mentén balról jobbra haladva mintegy felkapaszkodunk a dombra (55. ábra); egy csökkenő függvény grafikonján balról jobbra haladva, mintha dombról mennénk lefelé (56. ábra).
Általában a „növekvő függvény”, „csökkenő függvény” kifejezéseket a monoton függvény köznév egyesíti, a növelő vagy csökkentő függvény vizsgálatát pedig a monotonitás függvényének vizsgálata.

Megjegyezzük még egy körülményt: ha egy függvény növekszik (vagy csökken) a természetes definíciós tartományában, akkor általában azt mondják, hogy a függvény növekszik (vagy csökken) - anélkül, hogy megadnánk. számkészlet x.

1. példa

Vizsgálja meg a függvényt a monotonitás szempontjából:

de) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Megoldás:

a) Vegyük az x 1 és x 2 argumentum tetszőleges értékeit, és legyen x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Az utolsó egyenlőtlenség azt jelenti, hogy f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Tehát x 1-től< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ami azt jelenti, hogy az adott függvény csökkenő (a teljes számegyenesen).

3. definíció.

Az y - f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük az X halmazon D (f)-vel, ha az X halmazon lévő függvény összes értéke nagyobb, mint valamilyen szám (más szóval, ha van szám m olyan, hogy bármely x є X értékre az f( x) >m egyenlőtlenség legyen.

4. definíció.

Az y \u003d f (x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük az X halmazon D (f)-vel, ha a függvény minden értéke kisebb egy bizonyos számnál (más szóval, ha van olyan M szám, hogy bármely x є X értékre az f (x) egyenlőtlenség< М).

Ha az X halmaz nincs megadva, akkor feltételezzük, hogy a függvény alulról vagy felülről korlátos a teljes definíciós tartományban.

Ha egy függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük.

Egy függvény korlátja könnyen leolvasható a grafikonjáról: ha a függvény alulról korlátos, akkor a grafikonja teljes egészében valamilyen y \u003d m vízszintes vonal felett helyezkedik el (57. ábra); ha a függvény felülről korlátos, akkor a grafikonja teljes egészében valamilyen y \u003d M vízszintes vonal alatt helyezkedik el (58. ábra).

2. példa Vizsgáljon meg egy függvényt korlátosságra
Megoldás. Egyrészt az egyenlőtlenség nyilvánvaló (definíció szerint négyzetgyök Ez azt jelenti, hogy a függvény alulról korlátos. Másrészt megvan és ezért
Ez azt jelenti, hogy a függvény felülről korlátos. Most nézd meg a grafikont adott funkciót(52. ábra az előző bekezdésből). A függvény korlátossága felülről és alulról is meglehetősen könnyen leolvasható a grafikonról.

5. definíció.

Az m számot az y \u003d f (x) függvény legkisebb értékének nevezzük az X C D (f) halmazon, ha:

1) X-ben van olyan x 0 pont, amelyre f(x 0) = m;

2) X-ből minden x-re teljesül az m>f(х 0) egyenlőtlenség.

6. definíció.

Az M számot az y \u003d f (x) függvény legnagyobb értékének nevezzük az X C D (f) halmazon, ha:
1) X-ben van olyan x 0 pont, amelyre f(x 0) = M;
2) X-ből minden x esetén az egyenlőtlenség
Legalacsonyabb érték a függvényeket a 7. és a 8. évfolyamon egyaránt y, a legnagyobbakat pedig y jellel jelöltük.

Ha az X halmaz nincs megadva, akkor érthető, hogy a függvény legkisebb vagy legnagyobb értékének megtalálásáról beszélünk a teljes definíciós tartományban.

A következő hasznos kijelentések nyilvánvalóak:

1) Ha egy függvénynek Y-je van, akkor alulról korlátos.
2) Ha egy függvénynek Y-ja van, akkor felülről korlátos.
3) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor Y nem létezik.
4) Ha a függvény nem felülről korlátos, akkor Y nem létezik.

3. példa

Keresse meg a legkisebb és legnagyobb érték funkciókat
Megoldás.

Teljesen nyilvánvaló, főleg ha a függvény grafikonját használjuk (52. ábra), hogy = 0 (ezt az értéket az x = -3 és x = 3 pontokban éri el a függvény), a = 3 (a függvény eléri ez az érték az x = 0 pontban.
A 7. és 8. osztályban a függvények további két tulajdonságát említettük. Az elsőt egy függvény konvexitási tulajdonságának nevezték. Úgy tekintjük, hogy egy függvény lefelé konvex az X intervallumon, ha a gráf bármely két pontját (X-ből származó abszcisszákkal) összekötve egy egyenes szegmenssel azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a rajzolt szakasz alatt van ( 59. ábra). folytonosság Egy függvény konvex felfelé az X intervallumon, ha a gráf bármely két pontját (X-ből származó abszcisszákkal) összekötve egy egyenes szakaszsal azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a megrajzolt szakasz felett van (60. ábra). ).

A második tulajdonság - a függvény folytonossága az X intervallumon - azt jelenti, hogy a függvény grafikonja az X intervallumon folytonos, azaz. nincs defektje és ugrása.

Megjegyzés.

Valójában a matematikában, ahogy mondani szokták, minden „éppen az ellenkezője”: a függvény grafikonja csak akkor jelenik meg folytonos vonalként (szúrások és ugrások nélkül), ha a függvény folytonossága igazolt. De egy függvény folytonosságának formális meghatározása, amely meglehetősen bonyolult és finom, még meghaladja a hatáskörünket. Ugyanez mondható el egy függvény konvexitásáról is. A függvények e két tulajdonságát tárgyalva továbbra is a vizuális-intuitív reprezentációkra hagyatkozunk.

Most pedig tekintsük át tudásunkat. Emlékezve azokra a függvényekre, amelyeket a 7. és 8. osztályban tanultunk, tisztázzuk, hogyan néznek ki a grafikonjaik, és felsoroljuk a függvény tulajdonságait egy bizonyos sorrend betartásával, pl.: definíciós tartomány; monoton; korlátozás; , ; folytonosság; értéktartomány; konvex.

Ezt követően a függvények új tulajdonságai jelennek meg, és a tulajdonságok listája ennek megfelelően módosul.

1. y \u003d C állandó függvény

Az y \u003d C függvény grafikonja az ábrán látható. 61 - egyenes, párhuzamos az x tengellyel. Ez annyira érdektelen függvény, hogy nincs értelme felsorolni a tulajdonságait.

Az y \u003d kx + m függvény grafikonja egy egyenes (62., 63. ábra).

Az y \u003d kx + m függvény tulajdonságai:

1)
2) növekszik, ha k > 0 (62. ábra), csökken, ha k< 0 (рис. 63);

4) nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb érték;
5) a függvény folytonos;
6)
7) nincs értelme konvexitásról beszélni.

Az y \u003d kx 2 függvény grafikonja egy olyan parabola, amelynek csúcsa az origóban van, és az elágazások felfelé, ha k\u003e O (64. ábra), és lefelé, ha k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Az y - kx 2 függvény tulajdonságai:

A k > 0 esetre (64. ábra):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nem létezik;
5) folyamatos;
6) Е(f) = a függvény csökken, az intervallumon pedig csökken a sugáron;
7) felfelé konvex.

Az y \u003d f (x) függvény grafikonja pontról pontra épül fel; minél több pontot veszünk fel az (x; f (x)) alakból, annál pontosabb képet kapunk a grafikonról. Ha sok pontot veszünk, akkor a grafikon ötlete teljesebb lesz. Ebben az esetben az intuíció azt mondja nekünk, hogy a grafikont folytonos vonalként (ebben az esetben parabolaként) kell megrajzolni. Ezután a grafikont olvasva következtetéseket vonunk le a függvény folytonosságára, lefelé vagy felfelé konvexitására, a függvény tartományára vonatkozóan. Meg kell értenie, hogy a felsorolt ​​hét tulajdonság közül csak az 1), 2), 3), 4) tulajdonságok "jogosak" abban az értelemben, hogy ezeket pontos definíciókra hivatkozva tudjuk alátámasztani. A fennmaradó tulajdonságokról csak vizuális-intuitív reprezentációink vannak. Mellesleg nincs ezzel semmi baj. A matematika fejlődéstörténetéből ismert, hogy az emberiség gyakran és sokáig használta bizonyos tárgyak különféle tulajdonságait, nem tudva pontos meghatározások. Aztán amikor ilyen definíciókat lehetett megfogalmazni, minden a helyére került.

A függvény grafikonja hiperbola, a koordinátatengelyek a hiperbola aszimptotáiként szolgálnak (66., 67. ábra).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ha k > 0, akkor a függvény a nyílt sugáron (-oo, 0) és a nyílt sugáron (0, +oo) csökken (66. ábra); ha kell< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nincs korlátozva sem alulról, sem felülről;
4) nincs sem a legkisebb, sem a legnagyobb érték;
5) a függvény folytonos a nyílt sugáron (-oo, 0) és a nyílt sugáron (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) ha k > 0, akkor a függvény konvex felfelé x-ben< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, azaz a nyitott gerendán (0, +oo) (66. ábra). Ha kell< 0, то функция выпукла вверх при х >o és konvex lefelé x-nél< О (рис. 67).
A függvény grafikonja a parabola ága (68. ábra). Funkció tulajdonságai:
1) D(f) = , növekszik a sugáron)