A forma kifejezése hívott vektorok lineáris kombinációja A 1 , A 2 ,...,A n együtthatókkal λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektorrendszer lineáris függésének meghatározása

Vektoros rendszer A 1 , A 2 ,...,A n hívott lineárisan függő, ha van nem nulla számhalmaz λ 1, λ 2,...,λ n, amely alatt lineáris kombináció vektorok λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egyenlő nulla vektorral, vagyis az egyenletrendszer: nullától eltérő megoldása van.
Számok halmaza λ 1, λ 2,...,λ n nem nulla, ha a számok közül legalább az egyik λ 1, λ 2,...,λ n különbözik a nullától.

Vektorrendszer lineáris függetlenségének meghatározása

Vektoros rendszer A 1 , A 2 ,...,A n hívott lineárisan független, ha ezen vektorok lineáris kombinációja λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n csak egy nulla számhalmaz esetén egyenlő a nulla vektorral λ 1, λ 2,...,λ n , vagyis az egyenletrendszer: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ egyedi nulla megoldással rendelkezik.

29.1. példa

Ellenőrizze, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő-e

Megoldás:

1. Összeállítunk egy egyenletrendszert:

2. Gauss-módszerrel oldjuk meg. A rendszer jordán transzformációit a 29.1. táblázat tartalmazza. Számításkor a rendszer megfelelő részeit nem írjuk le, mivel ezek egyenlők nullával és nem változnak a Jordan-transzformációk során.

3. A táblázat utolsó három sorából a megengedett rendszert az eredetivel egyenértékűnek írjuk rendszer:

4. Megkapjuk a rendszer általános megoldását:

5. Miután saját belátása szerint beállította az x 3 =1 szabad változó értékét, egy adott nem-nulla megoldást kapunk X=(-3,2,1).

Válasz: Így egy nem nulla számhalmaznál (-3,2,1) a vektorok lineáris kombinációja megegyezik a -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ nulla vektorral. Következésképpen, lineárisan függő vektorrendszer.

A vektorrendszerek tulajdonságai

Tulajdonság (1)
Ha a vektorok rendszere lineárisan függő, akkor legalább az egyik vektor felbontott a többire nézve, és fordítva, ha a rendszer legalább egyik vektorát a többire bontjuk, akkor az vektorok lineárisan függő.

Tulajdonság (2)
Ha a vektorok bármely alrendszere lineárisan függő, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

Tulajdonság (3)
Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor bármelyik alrendszere lineárisan független.

Tulajdonság (4)
Bármely nulla vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

Tulajdonság (5)
Az m-dimenziós vektorok rendszere mindig lineárisan függ, ha az n vektorok száma nagyobb, mint a méretük (n>m)

A vektorrendszer alapja

A vektorrendszer alapja A 1 , A 2 ,..., A n egy ilyen B 1 , B 2 ,...,B r alrendszer(a B 1 ,B 2 ,...,Br vektorok mindegyike az A 1 , A 2 ,..., A n vektorok egyike), amely teljesíti a következő feltételeket:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineárisan független vektorrendszer;
2. bármely vektor Aj Az A 1 , A 2 ,..., A n rendszer lineárisan kifejezve a B 1 ,B 2 ,...,B r vektorokkal

r a bázisban szereplő vektorok száma.

29.1. Tétel Egy vektorrendszer egységalapon.

Ha egy m-dimenziós vektorok rendszere m különbözõt tartalmaz egységvektorok E 1 E 2 ,..., E m , akkor ezek képezik a rendszer alapját.

Algoritmus vektorrendszer alapjainak megtalálására

Ahhoz, hogy megtaláljuk az A 1 ,A 2 ,...,A n vektorrendszer alapját, szükséges:

• Állítsa össze a megfelelő vektorrendszert! homogén rendszer egyenletek A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• hozza ezt a rendszert

A vektorok rendszerét ún lineárisan függő, ha vannak olyan számok , amelyek között legalább egy nullától eltérő, akkor az egyenlőség https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ha ez az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha mind , akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan független.

Tétel. A vektorrendszer lesz lineárisan függő akkor és csak akkor, ha legalább egy vektora a többi lineáris kombinációja.

1. példa Polinom a polinomok lineáris kombinációja https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. függő rendszer, mivel a https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24"> polinom.

2. példa A , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> mátrixrendszer lineárisan független, mivel a lineáris kombináció megegyezik a nulla mátrix csak akkor, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárisan függő.

Megoldás.

Készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" magasság=" 22">.

Egyenlő vektorok azonos nevű koordinátáit megadva a következőt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Végre megkapjuk

és

A rendszernek egyedi triviális megoldása van, így ezen vektorok lineáris kombinációja csak akkor nulla, ha minden együttható nulla. Ezért ezt a rendszert vektorok lineárisan függetlenek.

4. példa A vektorok lineárisan függetlenek. Milyenek lesznek a vektorrendszerek

a);

b).?

Megoldás.

a) Készítsen lineáris kombinációt, és egyenlővé tegye nullával

A lineáris térbeli vektorokkal végzett műveletek tulajdonságait felhasználva átírjuk az utolsó egyenlőséget az alakba

Mivel a vektorok lineárisan függetlenek, az együtthatóknak nullának kell lenniük, azaz.gif" width="12" height="23 src=">

Az így kapott egyenletrendszer egyedi triviális megoldással rendelkezik .

Az egyenlőség óta (*) csak a https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> oldalon hajtható végre – lineárisan független;

b).Állítsa össze az egyenlőséget https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Hasonló érvelést alkalmazva azt kapjuk

Az egyenletrendszert Gauss-módszerrel megoldva megkapjuk

vagy

Az utolsó rendszernek végtelen számú megoldása van https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Így van egy nem- nulla együtthatóhalmaz, amelyre az egyenlőség (**) . Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

5. példa A vektorrendszer lineárisan független, a vektorrendszer pedig lineárisan függő..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Egyenjogúságban (***) . Valójában a rendszer lineárisan függő lenne.

A kapcsolatból (***) kapunk vagy Jelöli .

Kap

Feladatok a független megoldás(a közönség soraiban)

1. A nulla vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

2. Egyvektoros rendszer a, akkor és csak akkor lineárisan függ, a=0.

3. Egy két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a vektorok arányosak (vagyis az egyiket a másikból egy számmal való szorzással kapjuk meg).

4. Ha egy vektort hozzáadunk egy lineárisan függő rendszerhez, akkor lineárisan függő rendszert kapunk.

5. Ha egy vektort eltávolítunk egy lineárisan független rendszerből, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan független.

6. Ha a rendszer S lineárisan független, de lineárisan függővé válik, ha hozzáadunk egy vektort b, majd a vektor b lineárisan kifejezve a rendszer vektoraival S.

c). A , , mátrixrendszer a másodrendű mátrixok terében.

10. Legyen a vektorrendszer a,b,c vektor tér lineárisan független. Igazolja a következő vektorrendszerek lineáris függetlenségét:

a)a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– tetszőleges szám

c).a+b, a+c, b+c.

11. Hadd a,b,c három vektor a síkban, amelyek segítségével háromszöget lehet alkotni. Lineárisan függenek ezek a vektorok?

12. Adott két vektor a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Vegyen fel még két 4D vektort a3 ésa4 hogy a rendszer a1,a2,a3,a4 lineárisan független volt .

Hadd L a mező feletti lineáris tér R . Hadd A1, a2, ... , an (*) véges vektorrendszer innen L . Vektor NÁL NÉL = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) hívott A vektorok lineáris kombinációja ( *), vagy mondjuk vektor NÁL NÉL vektorrendszeren keresztül lineárisan kifejezve (*).

14. definíció. A (*) vektorrendszert ún lineárisan függő , akkor és csak akkor, ha létezik olyan a1, a2, … együttható nullától eltérő halmaza, amelyre a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ha a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, akkor a (*) rendszer meghívásra kerül lineárisan független.

A lineáris függés és függetlenség tulajdonságai.

10. Ha egy vektorrendszer nulla vektort tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

Valóban, ha a (*) rendszerben a vektor A1 = 0, Aztán 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ha egy vektorrendszer két arányos vektort tartalmaz, akkor lineárisan függő.

Hadd A1 = L×a2. Aztán 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DE N= 0.

30. Egy véges vektorrendszer (*) n ³ 2-re akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább egy vektora a rendszer többi vektorának lineáris kombinációja.

Þ Legyen (*) lineárisan függő. Ekkor van az a1, a2, … együtthatók nullától eltérő halmaza, olyan, hogy a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a1 ¹ 0. Akkor létezik A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DE N. Tehát a vektor A1 a fennmaradó vektorok lineáris kombinációja.

Ü Legyen az egyik vektor (*) a többi vektor lineáris kombinációja. Feltételezhetjük, hogy ez az első vektor, azaz. A1 = B2 A2+ … + milliárd DE N, tehát (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliárd DE N= 0 , azaz a (*) lineárisan függő.

Megjegyzés. Az utolsó tulajdonságot felhasználva meghatározható egy végtelen vektorrendszer lineáris függése és függetlensége.

15. definíció. Vektoros rendszer A1, a2, ... , an , … (**) nak, nek hívják lineárisan függő, Ha legalább egy vektora valamilyen véges számú másik vektor lineáris kombinációja. Ellenkező esetben a rendszer (**) meghívásra kerül lineárisan független.

40. Egy véges vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki lineárisan a többi vektorral.

50. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor bármelyik alrendszere is lineárisan független.

60. Ha egy adott vektorrendszer valamely részrendszere lineárisan függő, akkor az egész rendszer is lineárisan függő.

Legyen két vektorrendszer adott A1, a2, ... , an , … (16) és В1, в2, … , вs, … (17). Ha a (16) rendszer minden vektora a (17) rendszer véges számú vektorának lineáris kombinációjaként ábrázolható, akkor azt mondjuk, hogy a (17) rendszer lineárisan fejeződik ki a (16) rendszeren keresztül.

16. definíció. A két vektorrendszert ún egyenértékű , ha mindegyiket lineárisan fejezzük ki a másikkal.

9. tétel (a lineáris függés alaptétele).

Hagyjuk és - két végrendszerek vektorok L . Ha az első rendszer lineárisan független és lineárisan fejeződik ki a másodikkal, akkor N£s.

Bizonyíték. Tegyünk úgy, mintha N> S. A tétel szerint

(21)

Mivel a rendszer lineárisan független, a (18) w egyenlőség X1=x2=…=xN=0. Helyettesítsük itt a vektorok kifejezéseit: …+=0 (19). Ezért (20). A (18), (19) és (20) feltételek nyilvánvalóan egyenértékűek. De (18) csak akkor elégedett X1=x2=…=xN=0. Nézzük meg, mikor igaz a (20) egyenlőség. Ha minden együtthatója nulla, akkor nyilvánvalóan igaz. Ezeket nullával egyenlővé téve a (21) rendszert kapjuk. Mivel ennek a rendszernek nulla van, az

közös. Mivel az egyenletek száma nagyobb, mint az ismeretlenek száma, a rendszernek végtelen sok megoldása van. Ezért van egy nem nulla x10, x20, …, xN0. Ezekre az értékekre a (18) egyenlőség lesz igaz, ami ellentmond annak, hogy a vektorrendszer lineárisan független. Tehát a feltevésünk téves. Következésképpen, N£s.

Következmény. Ha két ekvivalens vektorrendszer véges és lineárisan független, akkor ugyanannyi vektort tartalmaznak.

17. definíció. A vektorok rendszerét ún A maximális lineárisan független vektorrendszer lineáris tér L , ha lineárisan független, de hozzáadva tetszőleges vektort L nem szerepel ebben a rendszerben, lineárisan függővé válik.

10. tétel. Bármely két véges maximális lineárisan független vektorrendszer L Ugyanannyi vektort tartalmazzon.

Bizonyíték Ebből következik, hogy bármely két maximálisan lineárisan független vektorrendszer ekvivalens .

Könnyű bizonyítani, hogy bármely lineárisan független térvektorrendszer L kiegészíthető ennek a térnek a maximális lineárisan független vektorrendszerére.

Példák:

1. Az összes kollineáris geometriai vektor halmazában bármely rendszer, amely egy nem nulla vektorból áll, maximálisan lineárisan független.

2. Az összes koplanáris geometriai vektor halmazában bármely két nem kollineáris vektor alkot egy maximális lineárisan független rendszert.

3. A háromdimenziós euklideszi tér összes lehetséges geometriai vektorának halmazában bármely három nem egysíkú vektorból álló rendszer a maximum lineárisan független.

4. Az összes polinom halmazában a fok legfeljebb N Valós (komplex) együtthatókkal, polinomrendszerrel 1, x, x2, …, xn Maximálisan lineárisan független.

5. Az összes valós (komplex) együtthatós polinom halmazában a maximális lineárisan független rendszer példái

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. A dimenziós mátrixok halmaza M´ N egy lineáris tér (nézd meg). Ebben a térben egy maximális lineárisan független rendszerre példa a mátrixrendszer E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Legyen adott egy vektorrendszer C1, c2, ... , vö (*). A vektorok alrendszerét (*) nevezzük Maximum lineárisan független Alrendszer Rendszerek ( *) , ha lineárisan független, de ha a rendszer bármely más vektorát hozzáadjuk hozzá, akkor lineárisan függővé válik. Ha a (*) rendszer véges, akkor bármelyik maximális lineárisan független alrendszere ugyanannyi vektort tartalmaz. (Saját igazolás.) A rendszer maximális lineárisan független alrendszerében (*) lévő vektorok számát hívjuk rang Ez a rendszer. Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens vektorrendszerek azonos rangokkal rendelkeznek.

Vektorok, tulajdonságaik és műveleteik velük

Vektorok, műveletek vektorokkal, lineáris vektortér.

A vektorok véges számú valós szám rendezett gyűjteménye.

Műveletek: 1. Egy vektor szorzata egy számmal: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21) )

2. Vektorok összeadása (ugyanabba a vektortérbe tartoznak) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenziós (lineáris tér) vektor x + vektor 0 = vektor x

Tétel. Annak érdekében, hogy egy n vektorból álló rendszer n-dimenziós lineáris tér lineárisan függő, szükséges és elegendő, hogy az egyik vektor a többi vektor lineáris kombinációja legyen.

Tétel. Az n-dimenziós yavl lineáris tér bármely n+ 1. vektorának halmaza. lineárisan függő.

Vektorok összeadása, vektorok szorzása számokkal. Vektorok kivonása.

Két vektor összege a vektor elejétől a vektor végéig irányított vektor, feltéve, hogy a vektor eleje egybeesik a vektor végével. Ha a vektorokat bázisvektorok kiterjesztésével adjuk meg, akkor a vektorok összeadásával összeadjuk a megfelelő koordinátáikat.

Tekintsük ezt egy derékszögű koordinátarendszer példáján. Hadd

Mutassuk meg

A 3. ábra azt mutatja

Tetszőleges számú vektor összege megtalálható a sokszögszabály segítségével (4. ábra): véges számú vektor összegének megszerkesztéséhez elegendő minden következő vektor elejét az előző végével párosítani. és készítsünk egy vektort, amely összeköti az első vektor elejét az utolsó vektor végével.

A vektorösszeadási művelet tulajdonságai:

Ezekben a kifejezésekben m, n számok.

A vektorok különbségét vektornak nevezzük, a második tag a vektorral ellentétes, de hosszában egyenlő vektor.

Így a vektorkivonási műveletet felváltja az összeadás művelet

Azt a vektort, amelynek az eleje a koordináták origójában, a vége pedig az A pontban van (x1, y1, z1), az A pont sugárvektorának nevezzük, és egyszerűen vagy egyszerűen jelöljük. Mivel a koordinátái egybeesnek az A pont koordinátáival, a vektorok szerinti kiterjesztésének alakja

Az A(x1, y1, z1) pontból induló és B(x2, y2, z2) pontban végződő vektort felírhatjuk

ahol r 2 a B pont sugárvektora; r 1 - az A pont sugárvektora.

Ezért a vektor ort-ok szerinti kiterjesztésének van formája

Hossza megegyezik az A és B pontok távolságával

SZORZÁS

Tehát abban az esetben repülőgép probléma egy vektor a = (ax; ay) és egy b szám szorzatát a képlet találja meg

a b = (ax b; ay b)

Példa 1. Határozzuk meg az a = (1; 2) vektor szorzatát 3-mal!

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tehát abban az esetben térbeli probléma az a = (ax; ay; az) vektor és a b szám szorzatát a képlet találja meg

a b = (ax b; ay b; az b)

1. példa Határozzuk meg az a = (1; 2; -5) vektor szorzatát 2-vel!

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

A vektorok pontszorzata és ahol az és a vektorok közötti szög; ha valamelyik, akkor

A skalárszorzat definíciójából az következik

ahol például a vektor vetületének értéke a vektor irányára.

Vektor skalár négyzet:

Pont termék tulajdonságai:

Pont szorzat koordinátákban

Ha egy akkor

Szög vektorok között

Szög vektorok között - az ezen vektorok irányai közötti szög (legkisebb szög).

Vektorszorzat (Két vektor vektorszorzata.)- ez egy pszeudovektor, merőleges a síkra, amelyet két tényező épít fel, ami a háromdimenziós euklideszi tér vektorai feletti "vektorszorzás" bináris művelet eredménye. A szorzat sem nem kommutatív, sem nem asszociatív (antikommutatív), és különbözik a vektorok pontszorzatától. Számos mérnöki és fizikai feladatnál szükséges, hogy két meglévőre merőleges vektort tudjunk építeni - a vektorszorzat erre lehetőséget ad. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának hossza megegyezik a hosszuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy anti-párhuzamosak.

A vektorszorzat csak háromdimenziós és hétdimenziós terekben van meghatározva. A vektorszorzat eredménye a skalárszorzathoz hasonlóan az euklideszi tér metrikájától függ.

Ellentétben a háromdimenziós téglalap alakú koordinátarendszerben a vektorok koordinátáiból a skaláris szorzat kiszámításának képletével, a vektorszorzat képlete a téglalap alakú koordináta-rendszer orientációjától, vagy más szóval „kiralitásától” függ.

A vektorok kollinearitása.

Két nullától eltérő (0-val nem egyenlő) vektort kollineárisnak nevezünk, ha párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Megengedjük, de nem ajánljuk a szinonimát - "párhuzamos" vektorokat. A kollineáris vektorok irányulhatnak ugyanabba az irányba ("társirányban") vagy ellentétes irányban (ez utóbbi esetben néha "antikollineárisnak" vagy "antiparallelnek" nevezik őket).

vektorok vegyes szorzata ( ABC)- az a vektor skaláris szorzata és a b és c vektorok szorzata:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

néha hármasnak nevezik skaláris szorzat vektorok, nyilván annak a ténynek köszönhető, hogy az eredmény skalár (pontosabban pszeudoszkalár).

geometriai érzék: A kevert szorzat modulusa számszerűen egyenlő a vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával (ABC) .

Tulajdonságok

vegyes termék ferde-szimmetrikus minden érvéhez képest: azaz e. bármely két tényező permutációja megváltoztatja a szorzat előjelét. Ebből következik, hogy a vegyes szorzat a jobb oldali derékszögű koordinátarendszerben (ortonormális alapon) egyenlő a vektorokból álló mátrix determinánsával és:

A vegyes szorzat a bal oldali derékszögű koordinátarendszerben (ortonormális alapon) egyenlő egy vektorokból álló, mínusz előjellel felvett mátrix determinánsával:

Különösen,

Ha bármely két vektor párhuzamos, akkor bármelyik harmadik vektorral nullával egyenlő vegyes szorzatot alkotnak.

Ha három vektor lineárisan függ (azaz egy síkban van egy síkban), akkor vegyes szorzatuk nulla.

Geometriai jelentés - A vegyes szorzat abszolút értékben megegyezik az és vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával (lásd az ábrát); az előjel attól függ, hogy ez a vektorhármas jobb vagy bal.

Vektorok komplanaritása.

Három vektor (vagy több) koplanárisnak nevezzük, ha közös origóra redukálva ugyanabban a síkban fekszenek

Összehasonlítási tulajdonságok

Ha a három vektor közül legalább az egyik nulla, akkor a három vektort is egysíkúnak tekintjük.

A kollineáris vektorpárt tartalmazó vektorok hármasa koplanáris.

Egysíkú vektorok vegyes szorzata. Ez három vektor egysíkúságának kritériuma.

A koplanáris vektorok lineárisan függenek. Ez is a koplanaritás kritériuma.

A 3 dimenziós térben 3 nem egysíkú vektor alkot bázist

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok.

Lineárisan függő és független vektorrendszerek.Meghatározás. A vektorok rendszerét ún lineárisan függő, ha ezeknek a vektoroknak legalább egy nem triviális lineáris kombinációja van, amely egyenlő a nulla vektorral. Ellenkező esetben, pl. ha adott vektoroknak csak egy triviális lineáris kombinációja egyenlő a nullvektorral, akkor a vektorokat ún. lineárisan független.

Tétel (lineáris függőségi kritérium). Ahhoz, hogy egy lineáris térben lévő vektorrendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen vektorok közül legalább az egyik a többi vektor lineáris kombinációja legyen.

1) Ha a vektorok között van legalább egy nulla vektor, akkor a teljes vektorrendszer lineárisan függő.

Valóban, ha például , akkor, feltételezve, hogy van egy nemtriviális lineáris kombinációnk .▲

2) Ha a vektorok egy része lineárisan függő rendszert alkot, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

Valóban, legyenek a , , vektorok lineárisan függőek. Ezért létezik egy nem triviális lineáris kombináció, amely egyenlő a nulla vektorral. De akkor, feltételezve , akkor a nulla vektorral egyenlő, nem triviális lineáris kombinációt is kapunk.

2. Alap és méret. Meghatározás. Lineárisan független vektorok rendszere vektorteret nevezzük alapon ez a tér, ha bármelyik vektorból ábrázolható ennek a rendszernek a vektorainak lineáris kombinációjaként, azaz. minden vektorhoz vannak valós számok úgy, hogy az egyenlőség fennáll.. Ezt az egyenlőséget úgy hívják vektorbontás az alap és a számok szerint hívott vektorkoordináták a bázishoz viszonyítva(vagy alapon) .

Tétel (a bővítés egyediségéről az alap szempontjából). Minden térvektor bővíthető a bázis szempontjából az egyetlen módja, azaz a bázis minden vektorának koordinátáit egyértelműen meghatározzák.

Ebben a cikkben a következőkről lesz szó:

• mik azok a kollineáris vektorok;
• milyen feltételei vannak a kollineáris vektoroknak;
• milyen tulajdonságai vannak a kollineáris vektoroknak;
• mekkora a kollineáris vektorok lineáris függése.

1. definíció

A kollineáris vektorok olyan vektorok, amelyek párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek.

1. példa

Kollineáris vektorok feltételei

Két vektor kollineáris, ha a következő feltételek bármelyike ​​teljesül:

• 1. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, ha van olyan λ szám, amelyre a = λ b ;
• 2. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, egyenlő koordinátákkal:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, feltéve, hogy a vektorszorzat és a nulla vektor egyenlő:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Megjegyzés 1

2. feltétel nem alkalmazható, ha az egyik vektorkoordináta nulla.

2. megjegyzés

3. feltétel csak azokra a vektorokra alkalmazható, amelyek a térben adottak.

Példák a vektorok kollinearitásának vizsgálatához szükséges feladatokra

1. példa

Megvizsgáljuk az a \u003d (1; 3) és b \u003d (2; 1) vektorokat a kollinearitás szempontjából.

Hogyan döntsünk?

Ebben az esetben a kollinearitás 2. feltételét kell használni. Adott vektorok esetén ez így néz ki:

Az egyenlőség rossz. Ebből arra következtethetünk, hogy az a és b vektorok nem kollineárisak.

Válasz : a | | b

2. példa

Az a = (1 ; 2) és b = (- 1 ; m) vektornak mekkora m értéke szükséges ahhoz, hogy a vektorok kollineárisak legyenek?

Hogyan döntsünk?

A második kollineáris feltételt használva a vektorok kollineárisak lesznek, ha koordinátáik arányosak:

Ez azt mutatja, hogy m = -2.

Válasz: m = -2.

A vektorrendszerek lineáris függésének és lineáris függetlenségének kritériumai

Tétel

Egy vektortérben lévő vektorrendszer csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora kifejezhető a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték

Legyen a rendszer e 1 , e 2 , . . . , e n lineárisan függő. Írjuk fel ennek a rendszernek a nulla vektorral egyenlő lineáris kombinációját:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

amelyben a kombináció együtthatóinak legalább egyike nem egyenlő nullával.

Legyen a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk egy nem nulla együtthatóval:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Jelöli:

A k - 1 a m , ahol m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ebben az esetben:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

vagy e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ebből következik, hogy a rendszer egyik vektorát a rendszer összes többi vektorával fejezzük ki. Amit bizonyítani kellett (p.t.d.).

Megfelelőség

Legyen az egyik vektor lineárisan kifejezve a rendszer összes többi vektorával:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Az e k vektort átvisszük ennek az egyenlőségnek a jobb oldalára:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mivel az e k vektor együtthatója egyenlő -1 ≠ 0 , a nulla nem triviális reprezentációját kapjuk az e 1 , e 2 , vektorok rendszerével. . . , e n , és ez viszont azt jelenti, hogy az adott vektorrendszer lineárisan függő. Amit bizonyítani kellett (p.t.d.).

Következmény:

• Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki a rendszer összes többi vektorával.
• Egy nullvektort vagy két egyenlő vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függ.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai

1. A 2- és 3-dimenziós vektoroknál teljesül a feltétel: két lineárisan függő vektor kollineáris. Két kollineáris vektor lineárisan függ.
2. A 3-dimenziós vektoroknál teljesül a feltétel: három lineáris függő vektorok- egysíkú. (3 koplanáris vektor - lineárisan függő).
3. N-dimenziós vektorok esetén teljesül a feltétel: n + 1 vektor mindig lineárisan függ.

Példák vektorok lineáris függésének vagy lineáris függetlenségének problémáinak megoldására

3. példa

Ellenőrizzük az a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. A vektorok lineárisan függőek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.

4. példa

Ellenőrizzük az a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. Megtaláljuk azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél a lineáris kombináció egyenlő lesz a nulla vektorral:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

A vektoregyenletet lineáris alakban írjuk fel:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ezt a rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

A 2. sorból kivonjuk az 1.-et, a 3.-ból az 1.-et:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Vonja ki a másodikat az 1. sorból, adja hozzá a 2-at a 3-hoz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

A megoldásból az következik, hogy a rendszernek sok megoldása van. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan x 1 , x 2 , x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja, amelyeknél az a , b , c lineáris kombináció egyenlő a nulla vektorral. Ezért az a , b , c vektorok lineárisan függő. ​​​​​​​

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt