Merőleges
közvetlenül a
tér
Meghatározás.
Két egyenest merőlegesnek nevezünk, ha derékszögben metszik egymást.
Merőleges vonalak a síkban
Hány merőleges húzható egy adott egyenesre egy adott nem az egyenesen fekvő A ponton vagy az egyenesen fekvő B ponton keresztül?
Minden ponton keresztül lehet rajzolni egy egyenes vonal erre merőlegesen.
Meghatározás. Két egyenest merőlegesnek nevezünk, ha derékszögben metszik egymást.
Bizonyítsuk be, hogy a tér bármely pontján át lehet húzni az adott pontra merőleges egyenest.
1. Egyenes vonalon keresztül a és pont NÁL NÉL síkot rajzolni
2. A ponton keresztül NÁL NÉL repülőn húzzunk egy egyenest Val vel, merőleges az egyenesre a.
egyenes vonalak, melyek
Két egyenes merőlegesnek nevezzük ha derékszögben metszik egymást.
nem metszik egymást és
ugyanabban a síkban fekszenek
párhuzamosnak nevezzük
Következtetés. Merőleges vonalak különböző síkokban feküdhet.
megtalálja 2 merőleges ugyanabban a síkban és különböző síkban fekvő egyenesek.
Lemma: Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges a harmadikra, akkor a másik egyenes is merőleges a harmadikra.
Adott:
Doc:
Doc-in:
1. Az adott egyeneseken nem fekvő tetszőleges M ponton keresztül MA ||a és MC || Val vel. Mert a ┴ c, akkor AMC= 90˚
3. b|| AM
2. b || a (feltétel szerint)
a || AM (építés szerint)
№ 116. a) pont (38. o.)
Adott:
Doc:
egy). DC ┴ B 1 C 1
2). AB ┴ A 1 D 1
Adott:
DABC - tetraerd
Doc:
- Határozzon meg merőleges vonalakat a térben.
2. Adja meg a bizonyított lemmát!
Házi feladat:
- Elmélet (34. o., tanítás)
- № 116 (b), 117
Szakaszok: Matematika
Az óra céljai:
- meghatározza az ismeretek és készségek komplexumának elsajátításának szintjét egy adott témával kapcsolatos problémák megoldásához,
- fejleszti a térbeli képzelőerőt, a logikus gondolkodást, a figyelmet és a memóriát,
- tevékenységre, hallgatás képességére nevelni.
Az óra felszerelése:
- tankönyv L.S. Atanasyan és mások "Geometry 10-11";
- munkafüzet;
- Személyi számítógép;
- multimédiás projektor;
- interaktív tábla;
- Microsoft Power Point segítségével készített szerzői előadás ( 1. melléklet )
Az óra felépítése:
- Idő szervezése.
- A tanulók ismereteinek frissítése a témában.
- A korábban megszerzett ismeretek megszilárdítása, készségek és képességek fejlesztése, hogy ezeket az ismereteket a problémamegoldásban alkalmazni lehessen.
- Összegezve a tanulságot.
- Házi feladat.
AZ ÓRÁK ALATT
1. Az óra szervezési mozzanata: köszönés, órára készültség ellenőrzése.
2. Az ismeretek felfrissítése a tanulók által az előző leckében szerzett:
- a térben merőleges egyenesek fogalma;
- egyenes és sík merőlegessége;
- a síkra merőleges párhuzamos egyenesek tulajdonságai.
Az ismeretek frissítése érdekében az egyik tanuló a táblához lép, és felírja a 119a) feladat megoldását, a második tanuló a tétel bizonyítását a síkra merőleges párhuzamos egyeneseken.
Amíg készülnek, egy osztályfronti szavazás:
Mi a két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete a térben?
- Milyen tartományban mérik az egyenesek közötti szöget a térben?
Milyen vonalakat nevezünk a térben merőlegesnek?
- Fogalmazzon lemmát két párhuzamos egyenesről, amelyek merőlegesek a harmadikra.
– Állítsa fel a helyes cselekvési sorrendet a lemma bizonyítása során!
Az online érvényesítés végrehajtása után.
Tanár: Határozza meg egy egyenes és egy sík merőlegességét!
Tanár: Fogalmazzuk meg az inverz tételt!
A 119a számú házi feladat megoldásának helyességének ellenőrzése (háromszögek egyenlőségével).
3. Az elméleti ismeretek problémamegoldásban való alkalmazásához szükséges készségek és képességek fejlesztése
1) Szóbeli gyakorlatok.
№1 Az AB egyenes merőleges a síkra, az M és K pont ehhez a síkhoz tartozik. Bizonyítsuk be, hogy az AB egyenes merőleges az MK egyenesre.
2) Írásgyakorlatok .
№2 Az ABCD négyzetben t.O az átlóinak metszéspontja. A közvetlen MO merőleges a négyzet síkjára. Bizonyítsuk be, hogy MA = MB = MC = MD.
№3 Az ABCD paralelogramma AB oldala merőleges a síkra. Keresse meg a BD-t, ha AC = 10 cm.
4. A megszerzett ismeretek asszimilációjának ellenőrzése a teszt során
5. A lecke összegzése
Írj le egy házi feladatot: 15-16. pont, 118. sz. 120.
A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Diák feliratai:
Egyenesek és síkok merőlegessége
Merőleges egyenesek a térben Két egyenest merőlegesnek nevezünk, ha a köztük lévő szög 90 o a b c a b c b α
Lemma Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges a harmadik egyenesre, akkor a másik egyenes is merőleges erre az egyenesre. A C a α M b c Adott: a || b, a c Bizonyítsuk be: b c Bizonyítás:
Egy egyenest akkor nevezünk merőlegesnek egy síkra, ha merőleges az ebben a síkban fekvő bármely egyenesre α a a α
1. Tétel Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes is merőleges erre a síkra. α x Adott: a || a 1; a α Bizonyítás: a 1 α Bizonyítás: a a 1
2. Tétel α Bizonyítsuk be: a || b Bizonyítás: a Ha két egyenes merőleges egy síkra, akkor párhuzamosak. β b 1 Adott: a α ; b α b M c
Egy egyenes és egy sík merőlegességének jele Ha egy egyenes merőleges egy síkban fekvő két egymást metsző egyenesre, akkor erre a síkra merőleges. α q Bizonyítás: a α Bizonyítás: a p m O Adott: a p ; a q p α ; q α p ∩ q = O
α q l m O a p B P Q Bizonyítás: L a) A speciális eset
α q a p m O Bizonyítás: a) általános eset a 1
4. Tétel A tér bármely pontján áthalad az adott síkra merőleges egyenes, ráadásul csak egy. α a β М b с Bizonyítsuk be: 1) ∃ с, с α , М с; 2) -val! Bizonyítás: Adott: α ; M α
Feladat keresése: MD A B D M Megoldás: Adott: ABC ; MBBC; MBBA; MB = BD = a Bizonyítsuk be: М B BD C a a
128. feladat Bizonyítsuk be: O M (ABC) Adott: ABCD paralelogramma; AC ∩ BD = O ; M (ABC); MA = MC, MB = MD A B D C O M Bizonyítás:
12. feladat 2 Keresse meg: AD; BD; AK; B.K. A B D C O K Megoldás: Adott: ABC – r/s; O - középpont ABC CD (ABC); OK || CD A B = 16 3, OK = 12; CD = 16 12 16
Merőleges és ferde M A B N α MN α A α B α
Tétel három merőlegesről Az erre a síkra vetítésére merőleges ferde egyenes alapján átmenő síkban húzott egyenes merőleges magára a ferde egyenesre. A N M α β a Adott: a α , AN α , AM ferde, a NM, M a Bizonyítsuk be: a AM Bizonyítás:
A tétel megfordítva a három merőlegesen lévő tételt A rá merőleges ferde alaplapján keresztül húzott egyenes egyenes a vetületére is merőleges. A N M α β a Adott: a α , AN α , AM ferde, a AM, M a Bizonyítsuk be: a HM Bizonyítás:
Az egyenes és a sík közötti szög A H α β a O φ (a; α) = AON = φ
A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek
Az "Egyenes és sík merőlegessége" témában készült előadás megfelel a szilárd geometria ezen szakaszában tanulmányozott elméleti anyagnak....
Bemutatjuk a 10. évfolyamon egy lecke fejlesztését, a tananyagok geometriájában: Geometria 10-11. évfolyamnak, szerzők L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev és mások. Ez egy lecke az új anyagok megtanulásában ...
Az óra témája: "Egyenesek és síkok merőlegessége űrben"
GBPOU KK STTT
Matematika tanár
IVANKOVA NADEZHDA PETROVNA
Az órán elkészítjük...
Megtalálja...
1. kérdés. A tér mely vonalait nevezzük merőlegesnek?
A térben lévő egyeneseket merőlegesnek nevezzük, ha a köztük lévő szög 90 0
a
b
A
α
2. kérdés.
Fogalmazz meg egy lemmát két párhuzamos egyenesnek a harmadikra való merőlegességéről!
a
b
Val vel
M
A
C
α
3. kérdés .
Melyik egyenest nevezzük a síkra merőlegesnek?
4. kérdés. Fogalmazzon meg egy egyenes és egy sík merőlegességének jelét!
a
Adott: a r, a q
Bizonyítsuk be: a α
A
l
P
q
K
p
m
α
L
B
5. kérdés .
Mi a távolság
pontról síkra?
A pont és a sík távolsága az adott ponttól egy síkra húzódó merőleges hossza
A
a
b
NÁL NÉL
α
6. kérdés .
Mekkora a távolság egy vonal és
vele párhuzamos sík?
a
b
Val vel
α
7. kérdés .
Mekkora a távolság között
párhuzamos síkok?
A
Nak nek
Kérdés 8 .
Mely vonalakat nevezzük metszőnek?
b
α
a
Válasz: A keresztező vonalak olyan vonalak, amelyek nem fekszenek ugyanabban a síkban.
9. kérdés. Hogyan mérjük meg a metsző vonalak távolságát?
Távolság egyenlő ezen egyenesek bármely pontja és a második egyenesen átmenő, az elsővel párhuzamos sík közötti távolsággal.
Távolság két egymást metsző vonal között egyenlő az ezeket az egyeneseket tartalmazó két párhuzamos sík távolságával.
Két egymást metsző vonal közötti távolság egyenlő a közös merőlegesük hosszával (csak egy ilyen szakasz van).
Igazoljuk a három merőleges tételt!
AN - merőleges a síkra
AB - ferde
VH - AB vetülete síkra
Ha BH, akkor AB
a
Bizonyíts be a három merőleges tételnek fordított tételt
α
A nem fekszik egy síkban
És D merőleges az α síkra
AB - ferde
B D az AB vetülete az α síkra
Ha AB, akkor B D
a
α
Adott: MS ┴ ABC
Keresés: AC
Az ABCD egy rombusz.
Bizonyítsuk be: MO ┴ ABC
Adott: DA ┴ ABC
Adott: ABCD - paralelogramma, MB ┴ ABC
Bizonyítsuk be: ABCD egy téglalap
a
10. kérdés:
Mit nevezünk egy egyenes és egy sík szögének?
Határozzon meg egy diéderszöget.
Hogyan mérik a diéderszöget?
a
11. kérdés : Milyen repülőket hívnak
merőleges?
12. kérdés : Fogalmazd meg és bizonyítsd be a jelet!
két sík merőlegessége.
α
13. kérdés: Milyen paralelepipedon
téglalapnak hívják?
14. kérdés: Sorolja fel a téglalap tulajdonságait!
paralelepipedon.
15. kérdés:
Fogalmazd meg és
bizonyítsa be az átlós tételt
négyszögletes
paralelepipedon.
Oldja meg a problémát:
Adott: ABC D - téglalap,
MV ⊥ (ABC).
Bizonyítsd be: (AMV) ⊥ (MVS)
a piramisban DABC a bordák hossza ismert: AB=AC= DB=DC =10, BC= DA =12. keresse meg a vonalak közötti távolságot DA és VS.
háromszögek bdc és ABC egyenlő szárú
D M – magasság ∆ bdc , D M - medián,
AM – medián ∆ AB C → AM - magasság.
∆ DE időszámításunk előtt = ∆ bdc három oldalon D M = AM → ∆ AMD egyenlő szárú
MK – medián és magasság.
KISASSZONY ⊥ AMD → KISASSZONY ⊥ MK,
HIRDETÉS ⊥ MK , MK a metsző egyenesek közös merőlegese
HIRDETÉS és nap
∆ AVM téglalap alakú, AB=10,
VM=6, AM=8.
∆ AKM téglalap alakú, AM=8,
AK=6, MK=2 √ 7.
Oldja meg a feladatot (az ábra szerint):
a
Rajzoljuk BE ⊥ AC, CE = EA, mivel ΔABC egyenlő szárú és a magasság is medián.
akkor a DE ⊥ AC 3-merõleges tételével.
Igaz az állítás?
Egyenes a merőleges az α síkra és az egyenesre b
nem merőleges erre a síkra. Tudnak
egyenes aés b párhuzamos legyen?
b ?
a
Igaz az állítás?
Az a egyenes párhuzamos az α síkkal, a b egyenes pedig
merőleges erre a síkra. Létezik-e
az a és b egyenesekre merőleges egyenest?
b
a
α
Igaz az állítás?
Minden egyenes egy adott síkra merőleges
és az adott egyenest metsző fekszenek ugyanabban
repülőgépek.
a
b
Val vel
d
α
Igaz az állítás?
Lehetséges hármat rajzolni
síkok, amelyek mindegyike kölcsönösen
merőleges?
FORRÁSOK:
Tankönyv Geometria 10. évfolyam AtanasyanL.S. stb. M.: Felvilágosodás. 2001
http://5terka.com/node/7155
http://vremyazabav.ru/zanimatelno/rebusi/rebusi-slova/82-rebusi-po-matematike.html
A „Merőleges vonalak a térben” bemutató vizuális segédeszköz az oktatási anyagok bemutatásához az azonos nevű téma iskolai tanulmányozása során. Nehéz ábrázolni az alakokat a térben táblával vagy más szokásos tanári eszközzel. A prezentáció a vizuális anyag bemutatásának egyik legkedveltebb formája, ahol a testek térbeli ábrázolása szükséges. Prezentáció készítésekor animáció, figurák színes ábrázolása használható. Emellett az animált bemutató hozzájárul a bemutatott folyamatok és átalakulások mélyebb megértéséhez, a hallgatók figyelmét a tanult tárgyra irányítja.
Az előadás során a hallgatók képet kapnak a térben merőleges egyenesekről, egy fontos lemmát fogalmaznak meg és bizonyítanak egy egyenes merőlegességéről mindkét párhuzamos egyenesre, ha az egyik merőleges, a probléma megoldását a vizsgált módszer segítségével ismertetik. anyag. Az előadás segítségével a tanár könnyebben formálja a tanulók geometriai feladatok megoldási képességét, képet ad a térben lévők tulajdonságairól. Az előadás során bemutatott anyag könnyebben érthető és megjegyezhető.
A prezentáció emlékeztetővel kezdődik, hogy milyen szöget lehet kialakítani két, egy síkon elhelyezkedő és egymást metsző egyenes között. Az ábra egy bizonyos síkot mutat, amelyre az a és b egyenesek épülnek. Amikor ezek az egyenesek metszik egymást, α szög alakul ki. A szögérték 0° és 90° között lehet. Az egyenesek metszéspontja által alkotott függőleges szögek egyenlőek, a szomszédos szöget a 180°-α képlet határozza meg. Ez olyan elméleti tudás, amelyre a hallgatónak emlékeznie kell, mielőtt a térre merőleges egyenesek tulajdonságait tanulmányozza. A következő dián a vonalak térbeli kölcsönös helyzetének jobb bemutatása érdekében egy téglalap alakú ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelepipedon látható, amelyen az AA 1 és AB élek merőlegesek. Megfogalmazzuk a merőleges egyenesek definícióját, amelyeket úgy nevezünk, ha a köztük lévő szög 90°. Azt is meg kell jegyezni, hogy egy téglalap alakú paralelepipedonban a D 1 C 1 és DD 1 egyenesek is merőlegesek lesznek egymásra. Emlékezzünk a D 1 C 1 ┴ DD 1 egyenesek merőlegességének jelölésére is. Ezután a paralelepipedon vonalpárjait jelöljük ki, amelyek párhuzamosak és merőlegesek lesznek egymásra. Megjegyzendő, hogy AA 1 ┴ AD, DD 1 ┴ AD merőlegesek lesznek, és AA 1 és DD 1 párhuzamosak.
A következő lemmát mutatjuk be, amely kimondja, hogy ha az egyik párhuzamos egyenes merőleges valamelyik harmadik egyenesre, akkor a második párhuzamos egyenes is merőleges lesz rá. A lemma szövegezése memorizálás céljából keretben és szín segítségével kiemelve. Bemutatjuk a lemma bizonyítását. Az ábrán két párhuzamos a és b egyenes, valamint egy c egyenes látható, amely köztudottan merőleges a-ra. be kell bizonyítani, hogy b és c is merőlegesek. Ennek az állításnak a bizonyítására egy további M pontot szerkesztünk, amely nem tartozik sem a-hoz, sem b-hez. Ezen a ponton egy MA egyenes húzódik, párhuzamosan a-val. Az MS-t is végrehajtják, párhuzamosan. A merőlegessége c-re azt jelenti, hogy ∠AMS=90°. A és b párhuzamosságából, valamint a párhuzamosságából MA-hoz b-nek MA-hoz való párhuzamossága következik. Mivel b párhuzamos MA-val, c pedig párhuzamos MC-vel, és a szög ∠AMC=90°, akkor b merőleges c-re. Az állítás bebizonyosodott.
Az utolsó dia annak a feladatnak a megoldását mutatja be, amelyben az AM tetraéder és a PQ egyenes élének merőlegességét kell igazolni. A feladatban egy tetraéder MABC van megadva, amelyben AM merőleges BC-re. Az AB élen egy P pont van jelölve. Ismeretes, hogy AP/AB=2/3. Az Ac élen pedig egy Q pont van kijelölve, amely az élt AQ/QC=2/1 arányban osztja fel. Az AQ/QC=2/1 relációból a Δ/AC=2/3 reláció következik. A talált AQ/AC, az ismert АР/АВ összefüggésből és abból, hogy a ∠А szög közös, az következik, hogy a ΔARQ és ΔABS háromszögek hasonlóak. Ugyanakkor az ∠ARQ=∠ABS, ∠AQP=∠ABC szögek egyenlőségéből a PQ és BC egyenesek párhuzamosak. Tudva, hogy az Am és BC oldalak merőlegesek, és PQ párhuzamos BC-vel, a jól ismert lemmával azt állíthatjuk, hogy AM merőleges PQ-ra. Probléma megoldódott.
A "Merőleges vonalak a térben" című előadás segít a tanárnak az iskolai geometria leckében. Ezenkívül a vizuális anyagok hasznosak a távolról képzést végző tanárok számára. Az előadás olyan hallgatónak ajánlható, aki a tárgyat önállóan tanulja, vagy a mélyebb megértéséhez további anyagokat igényel.