A koordináták origóját kombináljuk a rendszer erőinek hatásvonalainak metszéspontjával. Az összes erőt a koordinátatengelyekre vetítjük, és a megfelelő vetületeket összegezzük (7.4. ábra). Megkapjuk az eredő vetületeit a koordináta tengelyekre:

A konvergáló erők eredő rendszerének modulusát a képlet határozza meg

Az eredő vektor irányát a szögek határozzák meg

Önkényes térbeli erőrendszer

Egy tetszőleges térbeli erőrendszert az O középpontba hozni.

Adott egy térbeli erőrendszer (7.5. ábra, a). Vigyük középre O.

Az erőket párhuzamosan kell mozgatni, így alakul ki erőpárok rendszere. Ezen párok mindegyikének nyomatéka egyenlő az erőmodulus és a redukciós középpont távolságának szorzatával.

A redukció középpontjában erőnyaláb keletkezik, amely helyettesíthető egy teljes erővel (fővektor) F GL (7.5. ábra, b).

Az erőpárok nyomatékait összeadva megkapjuk az M ch rendszer össznyomatékát (főnyomaték).

Így egy tetszőleges térbeli erőrendszer a fővektorra és a főmomentumra redukálódik.

A fővektort a koordinátatengelyek mentén három komponensre szokás felbontani (7.5. ábra, c).

Általában a teljes nyomatékot komponensekre bontják: három momentum a koordinátatengelyek körül.

A fővektor abszolút értéke (7.5b. ábra) az

A főmomentum abszolút értékét a képlet határozza meg.

Az erők térbeli rendszerének egyensúlyi egyenletei

Egyensúlyban F ch = 0; M hl = 0. Hat egyensúlyi egyenletet kapunk:

A térbeli erőrendszer hat egyensúlyi egyenlete hat függetlennek felel meg lehetséges mozgások testek a térben: három elmozdulás a koordinátatengelyek mentén és három elforgatás e tengelyek körül.

Példák problémamegoldásra

1. példa A testen élű kocka formájában de\u003d 10 cm, három erő hat (7.6. ábra). Határozzuk meg a kocka éleivel egybeeső koordinátatengelyekre ható erőnyomatékokat!

Megoldás

1. A tengely körüli erőnyomatékok Ó:

2. A tengely körüli erőnyomatékok OU.

2. példa Két kerék van rögzítve egy vízszintes tengelyre, r 1 = 0,4 m; g 2 \u003d 0,8 m. A fennmaradó méretek az ábrán láthatók. 7.7. Az 1. kerékre kifejtett erő F1, 2. kerékhez - erő F2= 12 kN, F3= 4 kN.

Határozza meg az erőt F1és reakciók a zsanérokban DEÉs BAN BEN egyensúlyi állapotban.

Visszahívás:

1. Egyensúlyi állapotban hat egyensúlyi egyenlet teljesül.

A nyomatékegyenleteket a támaszokhoz viszonyítva kell felírni A és B.

2. Erők F 2 \\O x; F 2 \\ Oy;F 3 \\ Oy.

Ezen erők nyomatékai a megfelelő tengelyekre vonatkoztatva nullával egyenlőek.

3. A számítást további egyensúlyi egyenletek használatával kell elvégezni.

Megoldás

1. Határozza meg az erőt F\, az Oz tengely körüli erőnyomatékok egyenletének összeállításával:

2. Határozza meg a reakciókat a hordozóban! DE. A reakció két komponense hat a hordozóra ( Y A ; X A ).

Összeállítjuk a tengely körüli erőnyomatékok egyenletét Ó"(támogatásban BAN BEN).

Forgatás egy tengely körül Ó" nem történik meg:

A mínusz jel azt jelenti, hogy a reakció az ellenkező irányú.

Forgatás egy tengely körül OU" nem fordul elő, felállítjuk a tengely körüli erőnyomatékok egyenletét OU"(támogatásban BAN BEN):

3. Meghatározzuk a reakciókat a B hordozóban. A reakció két komponense hat a hordozóra ( XB , Y B ). Összeállítjuk a tengely körüli erőnyomatékok egyenletét Ó(támogatás DE):

Összeállítjuk a tengely körüli nyomatékegyenletet OU(támogatás DE):

4. Ellenőrizze. Projekciós egyenleteket használunk:

A számítás helyesen történt.

3. példa Határozza meg az erő számértékét! P1 , amelynél a tengely Nap(1.21. ábra, de) egyensúlyban lesz. Az erő talált értékével R 1 meghatározni támogató reakciókat.

A fogaskerekekre ható erők R És R 1 a kerekek kezdeti köreinek érintői mentén irányítva; erő T És T 1 - a kerekek sugarai mentén; erő A 1 párhuzamos a tengely tengelyével. T = 0,36P, 7T 1 = P 1; A 1 \u003d 0,12P 1.

Megoldás

ábrán látható tengelytámaszok. 1.21, a, térbeli csuklós támaszoknak kell tekinteni, amelyek megakadályozzák a tengelyek irányában történő lineáris mozgást ÉsÉs v(a kiválasztott koordinátarendszert az 1.21. ábra mutatja, b).

Megszabadítjuk a tengelyt a kötésektől, és hatásukat reakciókkal helyettesítjük V B, H B, V C , H C (1.21. ábra, b). Kaptunk egy térbeli erőrendszert, amelyhez a kiválasztott koordinátarendszer segítségével összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket (1.21.6. ábra):

ahol A 1*1,25D/2 - a tengelyhez viszonyított nyomaték És erő A 1, a megfelelő fogaskerékhez rögzítve.

Pillanatok a tengelyről És erők T 1És A 1(a középső fokozatra alkalmazva), P 1 (jobb fokozatra alkalmazva) és P egyenlő nullával, mivel a P, T 1, P 1 erők párhuzamosak a tengellyel És,és az A 1 erő keresztezi a tengelyt És.

ahol V C = 0,37P;

ahol VB=0,37P.

ezért a reakciók V BÉs V C helyesen meghatározott;

ahol A 1* 1,25D/2- pillanat a tengely körül v erő A 1, középfokozatra alkalmazva.

Pillanatok a tengelyről v T, P 1 erők (a középső fokozatra vonatkoztatva), A 1És T 1(a jobb fokozatra alkalmazva) nullával egyenlőek, mivel az erők T, R1, T1 párhuzamos a tengellyel v, erő A 1 keresztezi a tengelyt v.

ahonnan H C = 0,81 P;

ahonnan H C = 1,274 P

Készítsünk próbaegyenletet:

ezért a reakciók H BÉs H S helyesen határozták meg.

Összegzésként megjegyezzük, hogy a támogató reakciók pluszjellel mutatkoztak. Ez azt jelzi, hogy a választott irányok V B , H B , V C És H S egybeesnek a kötésreakciók tényleges irányaival.

4. példa A gőzgép hajtókar nyomása P = 25 kN a főtengelycsap közepére továbbítódik azon a ponton D szögben α \u003d 30 ° a horizonthoz képest a térd orcáinak függőleges elrendezésével (1.22. ábra). A tengely végére szíjtárcsa van felszerelve. A szíj meghajtó ágának feszültsége kétszerese a hajtotténak, i.e. S 1 \u003d 2S 2. A lendkerék gravitációja G = 10 kN.

Határozza meg a szíjhajtás ágainak feszességét és a csapágyak reakcióját! DEÉs BAN BEN, figyelmen kívül hagyva a tengely tömegét.

Megoldás

A vízszintes főtengely egyensúlyát tárcsával vesszük figyelembe. A probléma állapotának megfelelően jelentkezünk adott erők P, S 1, S 2 És G . Elengedjük a tengelyt a tartórögzítőktől, és hatásukat reakciókkal helyettesítjük V A, H A, V BÉs N V. Koordinátatengelyekábrán látható módon válasszon. 1.22. zsanérokban DEÉs BAN BEN a tengely mentén nem lépnek fel reakciók w, mivel a szíjágak feszültsége és minden egyéb erő erre a tengelyre merőleges síkban hat.

Összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket:

Ezen kívül a feladat feltételének megfelelően van még egy egyenletünk

Tehát itt hat ismeretlen próbálkozás van. S 1, S 2, H A, V A, H B És V B és hat egyenlet kapcsolódik hozzájuk.

A tengelyre vetítések egyenlete w a vizsgált példában 0 = 0 azonossággá alakul, mivel minden erő a tengelyre merőleges síkban fekszik w.

S 1 \u003d 2S 2-t behelyettesítve az egyensúlyi egyenletekbe és megoldva, azt kapjuk:

Reakció értéke H B mínuszjellel derült ki. Ez azt jelenti, hogy a valóságban az iránya ellentétes az ábrán láthatóval. 1.22.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. Írja fel a konvergáló erők térrendszerének fővektorának számítására szolgáló képleteket!

2. Írja fel tetszőlegesen elhelyezkedő erők térbeli rendszerének fővektorának számítására szolgáló képletet!

3. Írja fel a térbeli erőrendszer főmomentuma kiszámításának képletét!

4. Írja fel az erők térbeli rendszerére vonatkozó egyensúlyi egyenletrendszert!

5. Az egyensúlyi egyenletek közül melyikkel határozzuk meg az R 1 rúd reakcióját (7.8. ábra)?

6. Határozza meg az erőrendszer főmomentumát (7.9. ábra). A referenciapont a koordináták origója. A koordinátatengelyek egybeesnek a kocka éleivel, a kocka éle 20 cm; F 1 - 20 kN; F 2-30 kN.

7. Határozza meg az Xv reakciót (7.10. ábra). Egy szíjtárcsával ellátott függőleges tengely két vízszintes erővel van terhelve. Erők F1 És F2 párhuzamos a tengellyel Ó. AO = 0,3 m; OV= 0,5 m; F 1 = 2 kN; F 2 = 3,5 kN.

Ajánlást. Írd fel a pillanatok egyenletét a tengely körül! OU" azon a ponton DE.

8. Válaszoljon a tesztkérdésekre!

Az egyensúlyi problémák tetszőleges térbeli erőrendszerrel történő megoldásának módszereit vizsgáljuk. Példa rudakkal alátámasztott födém egyensúlyi problémájának megoldására háromdimenziós tér. Bemutatjuk, hogy az egyensúlyi egyenletek összeállításánál a tengelyek megválasztása révén hogyan lehet leegyszerűsíteni a feladat megoldását.

Tartalom

Az egyensúlyi feladatok megoldásának eljárása tetszőleges térbeli erőrendszerrel

Az egyensúlyi probléma megoldására szilárd test tetszőleges térbeli erőrendszerrel téglalap alakú koordinátarendszert kell választani, és ehhez viszonyítva egyensúlyi egyenleteket kell felállítani.

Egy tetszőleges, háromdimenziós térben elosztott erőrendszer egyensúlyi egyenlete két vektoregyenlet:
vektor összege a testre ható erők nulla
(1) ;
az erőnyomatékok vektorösszege az origóhoz viszonyítva nullával egyenlő
(2) .

Legyen Oxyz a választott koordinátarendszerünk. Az (1) és (2) egyenletet a rendszer tengelyére vetítve hat egyenletet kapunk:
az xyz tengelyre vetített erők összege nullával egyenlő
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
a koordinátatengelyekre ható erőnyomatékok összege nulla
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Itt figyelembe vesszük, hogy n erő hat a testre, beleértve a támaszok reakcióerejét is.

Legyen önkényes erő, alkatrészekkel , ponton rögzítve van a testhez . Ezután ennek az erőnek a koordinátatengelyekhez viszonyított momentumait a következő képletek határozzák meg:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Így a probléma megoldásának eljárása egy tetszőleges térbeli erőrendszerrel való egyensúly eléréséhez a következő.

1. A támasztékokat eldobjuk, és reakcióerőkkel helyettesítjük. Ha a támasz egy rúd vagy menet, akkor a reakcióerőt a rúd vagy a menet mentén irányítják.
2. Egy téglalap alakú Oxyz koordinátarendszert választunk.
3. Megtaláljuk az erővektorok vetületeit a koordináta tengelyekre, és azok alkalmazási pontjait, . Az erő alkalmazási pontja az erővektoron keresztül húzott egyenes mentén mozgatható. Egy ilyen elmozdulástól a pillanatok értékei nem változnak. Ezért az erők alkalmazásának kiszámításához a legkényelmesebb pontokat választjuk.
4. Összeállítunk három egyensúlyi egyenletet az erőkre (1.x,y,z).
5. Minden erőre a (3.x,y,z) képletek szerint megtaláljuk az erőnyomatékok vetületeit a koordinátatengelyekre.
6. Három egyensúlyi egyenletet állítunk össze az erőnyomatékokra (2.x, y, z).
7. Ha a változók száma több szám egyenleteket, akkor a probléma statikusan határozatlan. Statikus módszerekkel nem lehet megoldani. Az anyagok ellenállásának módszereit kell alkalmazni.
8. Megoldjuk a kapott egyenleteket.

A számítások egyszerűsítése

Egyes esetekben lehetőség van a számítások egyszerűsítésére, ha a (2) egyenlet helyett egy ekvivalens egyensúlyi feltételt használunk.
Az AA′ tetszőleges tengely körüli erőnyomatékok összege nulla:
(4) .

Vagyis több további tengelyt is kiválaszthat, amelyek nem esnek egybe a koordinátatengelyekkel. És ezekre a tengelyekre vonatkozóan készítsünk (4) egyenleteket.

Példa egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyi problémájának megoldására

A lemez egyensúlyát a háromdimenziós térben rudak rendszere tartja fenn.

Keresse meg a vékony, egyenletes vízszintes lapot tartó rudak reakcióit három dimenzióban! A rúd rögzítési rendszere az ábrán látható. A lemezre hatással van: gravitáció G; és az A pontban kifejtett P erő, amely az AB oldal mentén irányul.

Adott:
G= 28 kN; P= 35 kN; a = 7,5 m; b= 6,0 m; c= 3,5 m.

A probléma megoldása

Először ezt a problémát egy tetszőleges térbeli erőrendszerre alkalmazható szabványos módon oldjuk meg. És akkor az egyensúlyi egyenletek összeállításánál a tengelyválasztás miatt egy egyszerűbb megoldást kapunk, a rendszer sajátos geometriája alapján.

A probléma megoldása szabványos módon

Bár ez a módszer meglehetősen körülményes számításokhoz vezet, tetszőleges térbeli erőrendszerre alkalmazható, és számítógépes számításokban is használható.

Dobjuk el a kötéseket, és cseréljük ki reakcióerőkre. A csatlakozások itt az 1-6 rudak. Helyette a rudak mentén irányított erőket vezetünk be. Az erők irányát véletlenszerűen választjuk meg. Ha nem tippelünk semmilyen erő irányával, akkor negatív értéket kapunk rá.

Rajzolj egy Oxyz koordinátarendszert, amelynek origója az O pontban van.

Megtaláljuk az erők vetületeit a koordináta tengelyekre.

Erősségünk érdekében:
.
Itt α 1 - LQ és BQ közötti szög. Tól től derékszögű háromszög LQB:
m;
;
.

A , és a z tengellyel párhuzamos erők. Összetevőik:
;
;
.

Erősség kedvéért a következőket találjuk:
.
Itt α 3 - QT és DT közötti szög. A QTD derékszögű háromszögből:
m;
;
.

Az erősség kedvéért:
.
Itt α 5 - LO és LA közötti szög. A LOA derékszögű háromszögből:
m;
;
.

Az erőt átlósan irányítják kocka alakú. Ennek a következő vetületei vannak a koordinátatengelyeken:
.
Íme az AQ átlós irány koszinuszai:
m;
;
;
.

Kiválasztjuk az erők alkalmazási pontjait. Használjuk ki, hogy az erővektorokon keresztül húzott egyenesek mentén mozgathatók. Tehát az erő alkalmazási pontjaként a TD egyenes bármely pontját felveheti. Vegyünk egy T pontot, mert ennek x és z koordinátái egyenlők nullával:
.
Hasonló módon kiválasztjuk a fennmaradó erők alkalmazási pontjait.

Ennek eredményeként az erőkomponensek és alkalmazási pontjainak következő értékeit kapjuk:
; (B pont);
; (Q pont);
; (T pont);
; (O pont);
; (A pont);
; (A pont);
; (A pont);
; (K pont).

Összeállítjuk az erők egyensúlyi egyenleteit. A koordinátatengelyekre vetített erők összege nulla.

;

;

.

Megtaláljuk az erőnyomatékok vetületeit a koordinátatengelyeken.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Összeállítjuk az erőnyomatékok egyensúlyi egyenleteit. A koordinátatengelyekre ható erőnyomatékok összege nulla.


;


;


;

Tehát a következő egyenletrendszert kaptuk:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(L6) .

Ennek a rendszernek hat egyenlete és hat ismeretlenje van. Továbbá itt helyettesítheti a számértékeket, és megkaphatja a rendszer megoldását egy matematikai program segítségével a rendszer kiszámításához lineáris egyenletek.

De erre a feladatra pénz felhasználása nélkül is kaphat megoldást Számítástechnika.

A probléma megoldásának hatékony módja

Kihasználjuk azt a tényt, hogy az egyensúlyi egyenletek többféleképpen is felírhatók. Tetszőlegesen kiválaszthatja a koordinátarendszert és a tengelyeket, amelyekhez képest a nyomatékokat számítja. Néha a tengelyek megválasztása miatt egyszerűbben megoldható egyenleteket kaphatunk.

Használjuk ki azt a tényt, hogy egyensúlyban bármely tengely körüli erőnyomatékok összege nulla. Vegyük az AD tengelyt. A tengely körüli erőnyomatékok összege nulla:
(P7) .
Továbbá vegye figyelembe, hogy az összes erő, kivéve ezt a tengelyt. Ezért a pillanataik egyenlőek a nullával. Csak egy erő nem keresztezi az AD tengelyt. Szintén nem párhuzamos ezzel a tengellyel. Ezért, hogy az (A7) egyenlet érvényes legyen, az N erőt 1 nullának kell lennie:
N 1 = 0 .

Most vegyük az AQ tengelyt. A hozzá viszonyított erőnyomatékok összege egyenlő nullával:
(P8) .
Ezt a tengelyt minden erő keresztezi, kivéve . Mivel az erő nem párhuzamos ezzel a tengellyel, az (A8) egyenlet teljesüléséhez szükséges, hogy
N 3 = 0 .

Most vegyük az AB tengelyt. A hozzá viszonyított erőnyomatékok összege egyenlő nullával:
(P9) .
Ezt a tengelyt minden erő keresztezi, kivéve, és . De N 3 = 0 . Ezért
.
A tengely körüli erőből származó nyomaték egyenlő az erő karjának és az erő tengelyre merőleges síkra való vetületének szorzatával. A váll egyenlő a tengely és az erővektoron keresztül húzott egyenes közötti minimális távolsággal. Ha a csavar pozitív irányú, akkor a nyomaték pozitív. Ha negatív, akkor negatív. Azután
.
Innen
kN.

A fennmaradó erőket a (P1), (P2) és (P3) egyenletekből találhatjuk meg. A (P2) egyenletből:
N 6 = 0 .
A (P1) és (P3) egyenletekből:
kN;
kN

Így a feladat második megoldásához a következő egyensúlyi egyenleteket használtuk:
;
;
;
;
;
.
Ennek eredményeként elkerültük a nehézkes számításokat a koordinátatengelyekhez viszonyított erőnyomatékok kiszámításával kapcsolatban, és megkaptuk lineáris rendszer egyenleteket egy átlós együtthatómátrixszal, amit azonnal fel is oldottak.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kN; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kN; N 5 = 38,6 kN; N 6 = 0 ;

A mínusz jel azt jelzi, hogy az N erő 4 az ábrán láthatóval ellentétes irányba irányítva.

RÓL RŐLR= 0 és M R x= R y= R z = 0 és M x= M y= M

Egyensúlyi feltételek tetszőleges térbeli erőrendszerhez.

Egy tetszőleges térbeli erőrendszer, akár egy lapos, valamilyen középpontba hozható RÓL RŐLés helyettesítsd egy eredő erővel és egy párral egy pillanattal. Úgy érvelve, hogy ennek az erőrendszernek az egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy ugyanakkor R= 0 és M o \u003d 0. De a vektorok csak akkor tűnhetnek el, ha minden vetületük a koordinátatengelyekre egyenlő nullával, azaz amikor R x= R y= R z = 0 és M x= M y= M z = 0 vagy amikor a ható erők kielégítik a feltételeket

Így egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a három koordinátatengely mindegyikére ható összes erő vetületeinek és ezekre a tengelyekre vonatkozó nyomatékainak összege nullával egyenlő.

A test egyensúlyi problémáinak megoldási elvei térbeli erőrendszer hatására.

A problémamegoldás elve ebben a részben ugyanaz marad, mint a lapos rendszer erők. Miután megállapították az egyensúlyt, hogy melyik testet veszik figyelembe, reakcióikkal helyettesítik a testre támasztott kötéseket, és megteremtik a feltételeket e test egyensúlyához, szabadnak tekintve. A szükséges mennyiségeket a kapott egyenletekből határozzuk meg.

Az egyszerűbb egyenletrendszerek megszerzéséhez ajánlatos a tengelyeket úgy megrajzolni, hogy azok több ismeretlen erőt metszenek, vagy merőlegesek legyenek rájuk (kivéve, ha ez feleslegesen bonyolítja más erők vetületeinek és nyomatékainak kiszámítását).

Az egyenletek megfogalmazásának új eleme a koordinátatengelyekre ható erőnyomatékok kiszámítása.

Azokban az esetekben, amikor az általános rajzból nehezen látható, hogy egy adott erő nyomatéka mekkora egy tengelyhez képest, javasolt a segédrajzon ábrázolni a kérdéses test vetületét (az erővel együtt) egy síkra. merőleges erre a tengelyre.

Azokban az esetekben, amikor a nyomaték kiszámításakor nehézségekbe ütközik az erő vetületének meghatározása a megfelelő síkra vagy ennek a vetületnek a vállaira, ajánlott az erőt két egymásra merőleges összetevőre bontani (amelyek közül az egyik párhuzamos bármely koordinátatengely), majd használja a Varignon-tételt.

5. példa

Keret AB(45. ábra) egy zsanér tartja egyensúlyban DEés rúd Nap. A keret szélén egy tehermérleg található R. Határozzuk meg a csuklóreakciókat és az erőt a rúdban.

45. ábra

A keret egyensúlyát a terheléssel együtt vesszük figyelembe.

Számítási sémát készítünk, amely a keretet szabad testként ábrázolja, és bemutatja az összes rá ható erőt: a kötések reakcióit és a terhelés súlyát. R. Ezek az erők a síkon tetszőlegesen elhelyezkedő erőrendszert alkotnak.

Kívánatos az ilyen egyenleteket úgy összeállítani, hogy mindegyiknek egy ismeretlen ereje legyen.

A mi problémánkban ez a lényeg DE, ahol az ismeretleneket és az ismeretleneket alkalmazzák; pont TÓL TŐL, ahol az ismeretlen erők és a hatásvonalak metszik egymást; pont D- az erők hatásvonalainak metszéspontja és. Készítsük el az erők tengelyre vetületeinek egyenletét nál nél(tengelyenként x lehetetlen megtervezni, mert merőleges az egyenesre AC).

És mielőtt egyenleteket írnánk, teszünk még egy hasznos megjegyzést. Ha olyan erő van a tervezési sémán, amely úgy helyezkedik el, hogy a válla nem könnyű, akkor a pillanat meghatározásakor ajánlatos először ennek az erőnek a vektorát két részre bontani, kényelmesebben irányítva. Ebben a feladatban az erőt két részre bontjuk: és (37. ábra) úgy, hogy azok moduljai

Egyenleteket készítünk:

A második egyenletből azt találjuk . A harmadiktól És az elsőtől

Szóval hogyan is alakult S<0, то стержень Nap tömörítve lesz.

Vektoregyensúlyi feltételek tetszőleges erőrendszerhez: egy merev testre ható erőrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy az erőrendszer fővektora nulla legyen, és az erőrendszer bármely redukciós középponthoz viszonyított főmomentuma is egyenlő nullával. Egyébként: a ~0-hoz a következő feltételek szükségesek és elegendőek:

,
vagy
,
. (19)

Egyensúlyi feltételek egy térbeli erőrendszerhez analitikus formában

A merev testre ható erők térbeli rendszerének egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy a derékszögű koordinátatengelyekre ható összes erő vetületeinek három összege nulla legyen, és az összes erő nyomatékainak három összege a három koordinátatengely is egyenlő nullával.

. (20)

Egyensúlyi feltételek egy konvergáló erők térbeli rendszeréhez

A merev testre ható konvergáló erők térbeli rendszerének egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy a három derékszögű koordinátatengelyre eső erők vetületeinek összege nullával egyenlő:

;
;
, (21)

Konvergáló erők lapos rendszere esetén általában valamelyik koordinátatengely
, az erőkre merőlegesen, a másik két tengely pedig az erők síkjában van kiválasztva. D A merev testre ható konvergáló erők lapos rendszerének egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy ezen erők vetületeinek összege az erők síkjában elhelyezkedő két derékszögű koordinátatengelyre nullával egyenlő:

;
, (22)

Egyensúlyi feltételek párhuzamos erők térbeli rendszeréhez

Irányítsuk a tengelyt
az erőkkel párhuzamosan egy merev testre ható párhuzamos erők térbeli rendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy ezen erők algebrai összege nulla legyen, és az erőkre merőleges két koordinátatengely körüli erőnyomatékok összege is. egyenlő nullával:

Egyensúlyi feltételek sík erőrendszerhez

Tengelyek elhelyezése
És
az erő síkjában.

A lapos erőrendszer egyensúlyának feltételei az első formában: a merev testre ható erők síkrendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy ezen erők vetületeinek összege az erők hatássíkjában elhelyezkedő két derékszögű koordinátatengely mindegyikére nullával egyenlő és az erők algebrai nyomatékainak összege a cselekvési erők síkjában lévő bármely ponthoz képest szintén nulla:

(24)

A merev testre ható párhuzamos erők lapos rendszerének egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy az erők algebrai összege nulla, az erők algebrai nyomatékainak összege pedig az erők síkjában található bármely ponthoz képest egyenlő nullával:

(25)

Három nyomatéktétel (az egyensúlyi feltételek második formája): a merev testre ható erők síkrendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszer erőinek algebrai nyomatékainak összege az erők hatássíkjában elhelyezkedő bármely három pontra vonatkoztatva, és ne egy egyenesen fekve nullával egyenlő:

Az egyensúlyi feltételek harmadik formája: egy merev testre ható erők síkrendszerének egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy az erők hatássíkjában lévő bármely két pont körüli algebrai erőnyomatékok összege nulla legyen, és az algebrai összeg ezeknek az erőknek a két nyomatékponton átmenő egyenesre nem merőleges sík bármely tengelyére történő vetülete szintén nulla volt., azaz

Fent (6.5, 6. eset) azt találtuk

Tekintettel arra, , a (6.18) képleteket a derékszögű koordinátatengelyekre vetítjük. Nekünk van tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyi egyenleteinek analitikus formája:

(6.19)

Az utolsó három egyenlet annak a ténynek köszönhető, hogy az erőnyomaték vetülete a tengely egy pontjára, amely ezen a ponton halad át, egyenlő a tengely körüli erőnyomatékkal ((6.9) képlet).

Kimenet tetszőleges térbeli erőrendszer, amelyet merev testre alkalmazunk, össze kell állítanunk hat egyensúlyi egyenlet(6.19), ezért ezen egyenletek segítségével lehetőségünk van meghatározni hat ismeretlen.

Fontolja meg az esetet párhuzamos erők térrendszere. A koordinátarendszert úgy választjuk meg, hogy a tengely Oz párhuzamos volt az erők hatásvonalaival (6.11. ábra).

Tehát három egyenlet maradt:

Kimenet. Az egyensúlyi problémák megoldása során párhuzamos térbeli erőrendszer, amelyet merev testre alkalmazunk, össze kell állítanunk három egyensúlyi egyenletés ezen egyenletek segítségével lehetőségünk van határozzon meg három ismeretlen mennyiséget.

A „Statikus” rovatról szóló első előadáson megtudtuk, hogy vannak hatféle erőrendszer, ami előfordulhat a mérnöki számítások gyakorlatában. Ezen kívül két lehetőség van az erőpárok elhelyezkedésére: térben és síkban. Foglaljuk össze az erőkre és erőpárokra vonatkozó összes egyensúlyi egyenletet egy táblázatban (6.2. táblázat), amelyben az utolsó oszlopban jegyezzük meg, hogy az egyensúlyi egyenletrendszer hány ismeretlen mennyiséget fog tudni meghatározni.

6.2. táblázat – Mérlegegyenletek különböző erőrendszerekhez

	Erőrendszer típusa	Egyensúlyi egyenletek	Meghatározott ismeretlenek száma
	Konvergáló sík
	Párhuzamos sík ( tengely 0 nál nél)	kontra A 0xy
	Tetszőleges lakás (0xy síkban)	kontra A- önkényes, a síkhoz tartozó 0xy

A 6.2. táblázat folytatása

A 6.2. táblázat folytatása

Kérdések az önkontrollhoz a 6. témában

1. Hogyan találjuk meg a tengely körüli erőnyomatékot?

2. Milyen összefüggés van egy pontra ható erőnyomaték és az ezen a ponton áthaladó tengelyre gyakorolt ​​azonos erőnyomaték között?

3. Milyen esetekben egyenlő a tengelyhez viszonyított erőnyomaték nullával? Mikor a legnagyobb?

4. Milyen esetekben redukálódik az erőrendszer az eredőre?

5. Milyen esetben adott az erők térbeli rendszere:

- erőpárnak;

– a dinamikus csavarhoz?

6. Mit nevezünk statikus invariánsnak? Mit tudsz a statikus invariánsokról?

7. Írja fel egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyi egyenleteit!

8. Fogalmazza meg a párhuzamos térbeli erőrendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltételét!

9. Megváltozik-e az erőrendszer fővektora, ha a redukciós középpont megváltozik? És a lényeg?

7. téma. FARMOK. AZ ERŐKIFEJTÉS MEGHATÁROZÁSA