7.1. A keresztszorzat definíciója

Három nem egysíkú a , b és c vektor a jelzett sorrendben egy jobboldali hármast alkot, ha a harmadik c vektor végétől az első a vektortól a második b vektorig tartó legrövidebb fordulat az óramutató járásával ellentétesnek látszik, és egy bal oldali, ha az óramutató járásával megegyező irányban (lásd: 16. ábra).

Az a és b vektor vektorszorzatát c vektornak nevezzük, amely:

1. Merőleges az a és b vektorra, azaz c ^ a és c ^ b;

2. A hossza számszerűen megegyezik az a és vektorokra épített paralelogramma területévelb mint az oldalakon (lásd 17. ábra), i.e.

3. Az a, b és c vektorok jobboldali hármast alkotnak.

vektor termék jelölése a x b vagy [a,b]. A vektorszorzat definíciójából a következő összefüggések következnek közvetlenül az ortok között, jÉs k(lásd: 18. ábra):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Bizonyítsuk be például azt i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, de | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) i , j és vektorok k jobboldali hármast alkotnak (lásd 16. ábra).

7.2. Kereszttermék tulajdonságai

1. A tényezők átrendezésekor a vektorszorzat előjelet vált, azaz. és xb \u003d (b xa) (lásd 19. ábra).

Az a xb és b xa vektorok kollineárisak, ugyanazokkal a modulokkal rendelkeznek (a paralelogramma területe változatlan marad), de ellentétes irányúak (ellentétes orientációjú a, b és xb, valamint a, b, b x a hármasok). Azaz axb = -(bxa).

2. A vektorszorzatnak van egy kombinációs tulajdonsága a skaláris tényezőhöz képest, azaz l (a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Legyen l >0. Az l (a xb) vektor merőleges az a és b vektorokra. vektor ( l a) x b szintén merőleges az a és vektorokra b(a vektorok, l de ugyanabban a síkban fekszenek). Tehát a vektorok l(a xb) és ( l a) x b kollineáris. Nyilvánvaló, hogy irányuk egybeesik. Ugyanolyan hosszúak:

Ezért l(a xb)= l egy xb. Hasonlóképpen bizonyított l<0.

3. Két nem nulla vektor a és b akkor és csak akkor kollineárisak, ha vektorszorzatuk egyenlő a nulla vektorral, azaz és ||b<=>és xb \u003d 0.

Konkrétan i *i =j *j =k *k =0 .

4. A vektorszorzat eloszlási tulajdonsággal rendelkezik:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Elfogadás bizonyíték nélkül.

7.3. Kereszttermék kifejezés koordinátákban

Az i vektorkeresztszorzat táblázatot fogjuk használni, jés k :

ha az első vektortól a másodikig tartó legrövidebb út iránya egybeesik a nyíl irányával, akkor a szorzat egyenlő a harmadik vektorral, ha nem egyezik, a harmadik vektort mínusz előjellel vesszük.

Legyen két vektor a =a x i +a y j+az kés b=bx én+által j+bz k. Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát úgy, hogy megszorozzuk őket polinomként (a vektorszorzat tulajdonságainak megfelelően):

A kapott képletet még rövidebben is felírhatjuk:

mivel a (7.1) egyenlőség jobb oldala a harmadrendű determináns kiterjesztésének felel meg az első sor elemei tekintetében A (7.2) egyenlőség könnyen megjegyezhető.

7.4. A kereszttermék néhány alkalmazása

Vektorok kollinearitásának megállapítása

Egy paralelogramma és egy háromszög területének meghatározása

A vektorok keresztszorzatának definíciója szerint deés b |a xb | =| a | * |b |sin g , azaz S par = |a x b |. És ezért D S \u003d 1/2 | a x b |.

Egy pont körüli erőnyomaték meghatározása

Legyen erő az A pontban F =AB elengedni RÓL RŐL- valami pont a térben (lásd 20. ábra).

A fizikából ismert, hogy nyomaték F ponthoz képest RÓL RŐL vektornak nevezzük M , amely áthalad a ponton RÓL RŐLÉs:

1) merőleges a pontokon átmenő síkra O, A, B;

2) számszerűen egyenlő az erő és a kar szorzatával

3) jobboldali hármast alkot OA és A B vektorokkal.

Ezért M \u003d OA x F.

A lineáris forgási sebesség meghatározása

Sebesség v szögsebességgel forgó merev test M pontja w egy rögzített tengely körül az Euler-képlet v \u003d w x r határozza meg, ahol r \u003d OM, ahol O a tengely valamely rögzített pontja (lásd a 21. ábrát).

Szög vektorok között

Ahhoz, hogy bemutassuk a két vektor keresztszorzatának fogalmát, először foglalkoznunk kell egy olyan fogalommal, mint a vektorok közötti szög.

Adjunk két vektort: $\overline(α)$ és $\overline(β)$. Vegyünk egy $O$ pontot a térben, és tegyük félre a $\overline(α)=\overline(OA)$ és a $\overline(β)=\overline(OB)$ vektorokat, majd a $AOB szöget. A $-t ezen vektorok közötti szögnek nevezzük (1. ábra).

Jelölés: $∠(\overline(α),\overline(β))$

A vektorok keresztszorzatának fogalma és a keresési képlet

1. definíció

Két vektor vektorszorzata egy olyan vektor, amely merőleges mindkét adott vektorra, és a hossza egyenlő lesz ezen vektorok hosszának szorzatával a vektorok közötti szög szinuszával, és ez a vektor két kezdeti vektorral azonos orientáció, mint a derékszögű koordináta-rendszer.

Jelölés: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematikailag így néz ki:

$|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
$\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
$(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ és $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ azonos tájolású (2. ábra)

Nyilvánvaló, hogy a vektorok külső szorzata két esetben egyenlő a nulla vektorral:

Ha az egyik vagy mindkét vektor hossza nulla.
Ha ezeknek a vektoroknak a szöge $180^\circ$ vagy $0^\circ$ (mert ebben az esetben a szinusz egyenlő nullával).

Ha világosan látni szeretné, hogyan található a vektorok keresztszorzata, tekintse meg a következő megoldási példákat.

1. példa

Határozza meg a $\overline(δ)$ vektor hosszát, amely a vektorok keresztszorzatának eredménye lesz, a $\overline(α)=(0,4,0)$ és $\overline(β) koordinátákkal. =(3,0,0 )$.

Megoldás.

Ábrázoljuk ezeket a vektorokat a derékszögű koordinátatérben (3. ábra):

3. ábra Vektorok derékszögű koordinátatérben. Author24 - hallgatói dolgozatok online cseréje

Látjuk, hogy ezek a vektorok az $Ox$ és a $Oy$ tengelyeken fekszenek. Ezért a köztük lévő szög 90$^\circ$ lesz. Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a hosszát:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Ezután az 1. definíció alapján megkapjuk a $|\overline(δ)|$ modult

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Válasz: 12 dollár.

A keresztszorzat kiszámítása a vektorok koordinátái alapján

Az 1. definíció azonnal magában foglalja a két vektor keresztszorzatának megtalálásának módját. Mivel egy vektornak az érték mellett iránya is van, lehetetlen csak skaláris értékkel megtalálni. De ezen kívül van egy másik módja is annak, hogy a koordináták segítségével megtaláljuk a nekünk adott vektorokat.

Adjuk meg a $\overline(α)$ és $\overline(β)$ vektorokat, amelyeknek $(α_1,α_2,α_3)$ és $(β_1,β_2,β_3)$ koordinátái lesznek. Ekkor a keresztszorzat vektora (nevezetesen a koordinátái) megtalálható a következő képlettel:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Ellenkező esetben a determinánst kibővítve a következő koordinátákat kapjuk

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

2. példa

Keresse meg a $\overline(α)$ és $\overline(β)$ kollineáris vektorok keresztszorzatának vektorát $(0,3,3)$ és $(-1,2,6)$ koordinátákkal.

Megoldás.

Használjuk a fenti képletet. Kap

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Válasz: $(12,-3,3)$.

A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai

A $\overline(α)$, $\overline(β)$ és $\overline(γ)$, valamint $r∈R$ tetszőleges kevert három vektorra a következő tulajdonságok érvényesek:

3. példa

Keresse meg annak a paralelogrammának a területét, amelynek csúcsai $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ és $(3,8,0) koordinátákkal rendelkeznek. $.

Megoldás.

Először rajzolja meg ezt a paralelogrammát a koordinátatérben (5. ábra):

5. ábra Párhuzamos a koordinátatérben. Author24 - hallgatói dolgozatok online cseréje

Látjuk, hogy ennek a paralelogrammának a két oldala a $\overline(α)=(3,0,0)$ és $\overline(β)=(0,8,0)$ koordinátájú kollineáris vektorok felhasználásával van megszerkesztve. A negyedik tulajdonságot használva a következőket kapjuk:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Keresse meg a $\overline(α)х\overline(β)$ vektort:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Következésképpen

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

A VECTORS kereszttermékének használata

a terület kiszámításához

néhány geometriai alakzat

Kutatómunka a matematikában

10. tanuló B osztály

MOU középiskola №73

Perevoznikov Mihail

Vezetők:

Matematika tanár MOU középiskola №73 Dragunova Svetlana Nikolaevna

Osztály asszisztens. Matematikai elemzés az SSU Mechanikai és Matematikai Karán N.G. Csernisevszkij Berdnikov Gleb Szergejevics

Szaratov, 2015

Bevezetés.

1. Elméleti áttekintés.

1.1. Vektorok és számítások vektorokkal.

1.2. A vektorok skaláris szorzatának felhasználása feladatok megoldásában

1.3 A vektorok pontszorzata koordinátákban

1.4. Vektorok vektorszorzata háromdimenziós euklideszi térben: a fogalom meghatározása.

1.5. Vektor koordináták vektorok szorzatai.

2. Gyakorlati rész.

2.1. A keresztszorzat és a háromszög és a paralelogramma területe közötti kapcsolat. A képlet levezetése és a vektorok vektorszorzatának geometriai jelentése.

2.2. Csak a pontok koordinátáinak ismeretében keresse meg a háromszög területét. A tétel bizonyítása

2.3. Példákon a képlet helyességének ellenőrzése.

2.4. A vektoralgebra és a vektorok szorzatának gyakorlati alkalmazása.

Következtetés

Bevezetés

Mint tudják, sok geometriai problémának két kulcsfontosságú megoldása van - grafikus és analitikus. A grafikus módszer grafikonok és rajzok készítéséhez kapcsolódik, az analitikus módszer pedig elsősorban algebrai műveletek segítségével oldja meg a problémákat. Ez utóbbi esetben a feladatok megoldásának algoritmusa az analitikus geometriához kapcsolódik. Az analitikus geometria a matematikának egy olyan ága, vagy inkább lineáris algebra, amely geometriai feladatok megoldását a síkbeli és térbeli koordináták módszerén alapuló algebra segítségével veszi figyelembe. Az analitikus geometria lehetővé teszi a geometriai képek elemzését, a gyakorlati alkalmazásokhoz fontos vonalak és felületek felfedezését. Ezenkívül ebben a tudományban az ábrák térbeli megértésének bővítése érdekében néha a vektorok vektorszorzatát is használják.

A háromdimenziós térbeli technológiák elterjedtsége miatt egyes geometriai alakzatok tulajdonságainak vektorszorzattal történő vizsgálata relevánsnak tűnik.

Ebben a tekintetben azonosították a projekt célját - a vektorok keresztszorzatának felhasználását egyes geometriai alakzatok területének kiszámításához.

Ehhez a célhoz kapcsolódóan az alábbi feladatokat oldották meg:

1. Elméletileg tanulmányozza a vektoralgebra szükséges alapjait, és határozza meg a vektorok vektorszorzatát koordinátarendszerben;

2. Elemezze a kapcsolat jelenlétét egy vektorszorzat és egy háromszög és egy paralelogramma területe között;

3. Vezesse le a háromszög és a paralelogramma területének képletét koordinátákban;

4. Konkrét példákon ellenőrizze a származtatott képlet helyességét.

1. Elméleti áttekintés.

A vektor egy irányított szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont DE, a szakasz vége egy pont BAN BEN. Magát a vektort jelöli
vagy . Egy vektor koordinátáinak megtalálása
, ismerve az A kezdőpont és a B végpont koordinátáit, ki kell vonni a kezdőpont megfelelő koordinátáit a végpont koordinátáiból:

= { B x -A x ; B y -A y }

Azokat a vektorokat, amelyek párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, kollineárisnak nevezzük. Ebben az esetben a vektor egy szakasz, amelyet hosszúság és irány jellemez.

Az irányított szakasz hossza határozza meg a vektor számértékét, és ezt a vektor hosszának vagy a vektor modulusának nevezzük.

Vektor hossza || derékszögű derékszögű koordinátákban egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével.

A vektorokat sokféleképpen lehet manipulálni.

Például az összeadás. Hozzáadásukhoz először meg kell rajzolni a második vektort az első végéről, majd az első elejét a második végéhez kell kötni (1. ábra). A vektorok összege egy másik vektor új koordinátákkal.

A vektorok összege = {a x ; a y) És = {b x ; b y) a következő képlettel kereshető meg:

+ = (a x +b x ; a y +b y }

Rizs. 1. Műveletek vektorokkal

A vektorok kivonásakor először egy pontból kell megrajzolni őket, majd a második végét össze kell kötni az első végével.

Vektor különbség = {a x ; a y) És = {b x ; b y } képlettel lehet megtalálni:

- = { a x -b x ; a y -b y }

Ezenkívül a vektorokat meg lehet szorozni egy számmal. Az eredmény egy olyan vektor is lesz, amely k-szor nagyobb (vagy kisebb), mint az adott. Iránya a k előjelétől függ: ha k pozitív, akkor a vektorok azonos irányúak, ha pedig k negatív, akkor ellentétes irányúak.

Vektor termék = {a x ; a y } és a k szám megtalálható a következő képlettel:

k = (k a x ; k a y }

Meg lehet-e szorozni egy vektort egy vektorral? Természetesen, és még két lehetőség is!

Az első lehetőség a skalárszorzat.

Rizs. 2. Pontszorzat koordinátákban

A vektorok szorzatának megtalálásához használhatja a vektorok közötti  szöget, a 3. ábrán látható módon.

A képletből az következik, hogy a skaláris szorzat egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával, ennek eredménye egy szám. Fontos, hogy ha a vektorok merőlegesek, akkor a skaláris szorzatuk egyenlő nullával, mert a köztük lévő derékszög koszinusza nulla.

A koordinátasíkban a vektornak is vannak koordinátái. BAN BEN A vektorok, azok koordinátái és a pontszorzat a legkényelmesebb módszerek a vonalak (vagy szakaszaik) közötti szög kiszámítására, ha koordinátarendszert adunk meg.És ha a koordináták
, akkor a skalárszorzatuk:

A háromdimenziós térben 3 tengely van, és ennek megfelelően egy ilyen rendszerben a pontoknak és vektoroknak 3 koordinátája lesz, és a vektorok skaláris szorzatát a következő képlettel számítják ki:

1.2. Vektor szorzata háromdimenziós térben.

A vektorok szorzatának kiszámításának második lehetősége a vektorszorzat. De a meghatározásához már nem egy síkra van szükség, hanem egy háromdimenziós térre, amelyben a vektor eleje és vége 3-3 koordinátával rendelkezik.

A háromdimenziós térben lévő vektorok skaláris szorzatával ellentétben a vektorokon végzett „vektorszorzás” művelet más eredményre vezet. Ha az előző két vektor skaláris szorzásánál az eredmény egy szám volt, akkor a vektorok vektoros szorzása esetén egy másik, a szorzatba bekerült vektorra merőleges vektor lesz az eredmény. Ezért a vektorok szorzatát vektorszorzatnak nevezzük.

Nyilvánvalóan a kapott vektor megalkotásakor , merőleges a szorzatba belépő kettőre - és , két ellentétes irány választható. Ebben az esetben a kapott vektor iránya Ha úgy rajzolja meg a vektorokat, hogy a kezdetük egybeessen, és az első szorzóvektort a legrövidebb módon elforgatja a második szorzóvektorhoz, és a jobb kéz négy ujja megmutatja a forgásirányt (mintha egy forgó hengert takarna), akkor egy kiálló hüvelykujj mutatja a szorzatvektor irányát (7. ábra).

Rizs. 7. Jobb kéz szabály

1.3. A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai.

A kapott vektor hosszát a képlet határozza meg

Ahol
vektor termék. Amint fentebb említettük, a kapott vektor merőleges lesz
, irányát pedig a jobbkéz szabály határozza meg.

A vektorszorzat a tényezők sorrendjétől függ, nevezetesen:

A nullától eltérő vektorok keresztszorzata 0, ha kollineárisak, akkor a köztük lévő szög szinusza 0 lesz.

A háromdimenziós térben lévő vektorok koordinátáit a következőképpen fejezzük ki: . Ezután a kapott vektor koordinátáit a képlet határozza meg

A kapott vektor hosszát a következő képlet határozza meg:

2. Gyakorlati rész.

2.1. A vektorszorzat összekapcsolása egy háromszög és egy paralelogramma területével egy síkban. A vektorok keresztszorzatának geometriai jelentése.

Adjunk meg egy ABC háromszöget (8. ábra). Ismeretes, hogy .

Ha az AB és AC háromszög oldalait két vektorként ábrázoljuk, akkor a háromszög terület képletében megtaláljuk a vektorok keresztszorzatának kifejezését:

A fentiek alapján meghatározhatjuk a vektorszorzat geometriai jelentését (9. ábra):

a vektorok keresztszorzatának hossza megegyezik egy olyan háromszög területének kétszeresével, amelynek oldalai a vektorok és , ha egy pontból félre vannak helyezve.

Más szavakkal, a vektorok keresztszorzatának hossza megegyezik a paralelogramma területével,vektorokra épülés , oldalaival és a közöttük lévő szöggel egyenlő.

Rizs. 9. A vektorok vektorszorzatának geometriai jelentése

Ezzel kapcsolatban a vektorok vektorszorzatának egy másik definícióját is megadhatjuk :

Egy vektor keresztszorzata vektort vektornak nevezzük , melynek hossza számszerűen egyenlő a vektorokra épített paralelogramma területével és , ezeknek a vektoroknak a síkjára merőlegesen és úgy irányítva, hogy a legkevesebb forgás legyen k vektor körül a vektor végéről nézve az óramutató járásával ellentétes irányban végeztük el (10. ábra).

Rizs. 10. A vektorok keresztszorzatának meghatározása

paralelogramma segítségével

2.2. Képlet levezetése a háromszög területének koordinátákban történő meghatározására.

Tehát kapunk egy ABC háromszöget a síkban és a csúcsainak koordinátáit. Keressük meg ennek a háromszögnek a területét (11. ábra).

Rizs. 11. Példa a háromszög területének a csúcsok koordinátái alapján történő megtalálásának problémájára

Megoldás.

Először vegyük figyelembe a csúcsok koordinátáit a térben, és számítsuk ki az AB és AC vektorok koordinátáit.

A fent megadott képlet szerint kiszámítjuk vektorszorzatuk koordinátáit. Ennek a vektornak a hossza egyenlő az ABC háromszög 2 területével. Egy háromszög területe 10.

Sőt, ha egy síkon lévő háromszöget tekintünk, akkor a vektorszorzat első 2 koordinátája mindig nulla lesz, így megfogalmazhatjuk a következő tételt.

Tétel: Legyen adott egy ABC háromszög és csúcsainak koordinátái (12. ábra).

Azután .

Rizs. 12. A tétel bizonyítása

Bizonyíték.

Tekintsünk pontokat a térben, és számítsuk ki a BC és BA vektorok koordinátáit. . A fenti képlet segítségével kiszámítjuk ezen vektorok keresztszorzatának koordinátáit. Vegye figyelembe, hogy az összes olyan kifejezést tartalmazzaz 1 ill z 2 egyenlő 0-val, mert z 1i z 2 = 0. ELTÁVOLÍTÁS!!!

És ezért, ezáltal,

2.3. A képlet helyességének ellenőrzése példákon

Keresse meg a vektorok által alkotott háromszög területét a = (-1; 2; -2) és b = (2; 1; -1).

Megoldás: Keressük meg ezeknek a vektoroknak a keresztszorzatát:

a ×b=

I(2 (-1) - (-2) 1) - j((-1) (-1) - (-2) 2) + k((-1) 1 - 2 2) =

I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = (0; -5; -5)

A vektorszorzat tulajdonságaiból:

SΔ =

| a×b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Válasz: SΔ = 2,5√2.

Következtetés

2.4. A vektoralgebra alkalmazásai

valamint a vektorok skalár- és keresztszorzata.

Hol van szükség vektorokra? A vektortér és a vektorok nemcsak elméletiek, hanem nagyon is reális gyakorlati alkalmazásuk van a modern világban.

A mechanikában és a fizikában sok mennyiségnek nemcsak számértéke van, hanem iránya is. Az ilyen mennyiségeket vektormennyiségeknek nevezzük. Az elemi mechanikai fogalmak használatával együtt, fizikai jelentésük alapján sok mennyiséget csúszóvektornak tekintünk, és tulajdonságaikat az elméleti mechanikában megszokott axiómákkal és a vektorok matematikai tulajdonságainak segítségével írják le. A vektormennyiségek legszembetűnőbb példái a sebesség, a lendület és az erő (12. ábra). Például a szögimpulzus és a Lorentz-erő matematikailag vektorok segítségével van felírva.

A fizikában nemcsak maguk a vektorok fontosak, hanem nagymértékben fontosak azok szorzatai is, amelyek segítenek bizonyos mennyiségek kiszámításában. A keresztszorzat jól használható vektorok kollinearitásának meghatározására: két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusaik szorzatával, ha egymásra merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok egyirányúak vagy ellentétes irányúak.

Egy másik példaként a pontszorzatot használjuk a munka kiszámításához az alábbi képlet segítségével, ahol F az erővektor és s az elmozdulásvektor.

A vektorok szorzatának egyik példája az erőnyomaték, amely egyenlő a forgástengelytől az erő alkalmazási pontjáig húzott sugárvektor szorzatával és ezen erő vektorával.

A fizikában a jobbkéz szabály által kiszámított dolgok nagy része keresztszorzat. Keress bizonyítékokat, mondj példákat.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a vektorterek lehetséges változatai nem korlátozódnak a kétdimenziós és háromdimenziós térre. A felsőbb matematika a nagyobb dimenziójú tereket veszi figyelembe, amelyekben a skaláris és vektorszorzatok képleteinek analógjait is meghatározzák. Annak ellenére, hogy a 3-nál nagyobb dimenziójú tereket az emberi elme képtelen megjeleníteni, meglepő módon a tudomány és az ipar számos területén találnak alkalmazást.

Ugyanakkor a háromdimenziós euklideszi térben a vektorok keresztszorzatának eredménye nem egy szám, hanem a kapott vektor saját koordinátákkal, irányával és hosszával.

A kapott vektor irányát a jobbkéz szabály határozza meg, amely az analitikus geometria egyik legcsodálatosabb rendelkezése.

A vektorok keresztszorzata felhasználható egy háromszög vagy paralelogramma területének meghatározására a csúcsok koordinátái alapján, amit képlet levezetésével, tételbizonyítással és gyakorlati feladatok megoldásával igazoltunk.

A vektorokat széles körben használják a fizikában, ahol az olyan mutatók, mint a sebesség, lendület és erő vektormennyiségként ábrázolhatók és geometriailag számíthatók.

A felhasznált források listája

Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. et al. Geometry. 7-9. osztály: tankönyv oktatási intézmények számára. M.: , 2013. 383 p.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. és munkatársai: Geometry. 10-11. évfolyam: tankönyv oktatási szervezetek számára: alap- és profilszint. M.: , 2013. 255 p.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: A lineáris algebra és az analitikus geometria elemei.

Kletenik D.V. Feladatgyűjtemény az analitikus geometriában. Moszkva: Nauka, Fizmatlit, 1998.

Analitikus geometria.

Matematika. Lóhere.

Matematika online tanulás.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

V. Glaznev honlapja.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Wikipédia.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED %E8%E5

Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok keresztszorzataÉs vektorok vegyes szorzata (azonnali link akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok pontszorzata, egyre többre van szükség. Ilyen a vektorfüggőség. Az embernek az a benyomása lehet, hogy az analitikus geometria dzsungelébe kerülünk. Ez nem igaz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a tűzifa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb tipikus feladat is lesz. A legfontosabb dolog az analitikus geometriában, amint azt sokan látják, vagy már látták, az, hogy NE VEGYE KI A SZÁMÍTÁSOKAT. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha valahol távol csillognak a vektorok, mint a villám a láthatáron, nem számít, kezdje a leckével Vektorok a bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem a gyakorlati munkában gyakran fellelhető legteljesebb példagyűjteményt összegyűjteni.

Mitől leszel boldog? Kicsi koromban két, sőt három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködni, hiszen megfontoljuk csak térvektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók - a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és háromdimenziós térben működik. Már könnyebb!

Ebben a műveletben, ugyanúgy, mint a skaláris szorzatnál, két vektor. Legyenek múlhatatlan betűk.

Maga az akció jelöljük a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok keresztszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok pontszorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? Egyértelmű különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN:

A vektorok skaláris szorzatának eredménye egy SZÁM:

A vektorok keresztszorzatának eredménye egy VEKTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen ered a művelet neve. A különböző oktatási irodalomban a megnevezések is változhatnak, én a betűt használom.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: kereszttermék nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, a neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épülve; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

Csontosan elemezzük a meghatározást, sok érdekesség van!

Tehát a következő lényeges pontokat emelhetjük ki:

1) Forrásvektorok, definíció szerint piros nyilakkal jelölve nem kollineáris. A kollineáris vektorok esetét egy kicsit később célszerű megvizsgálni.

2) Felvett vektorok szigorú sorrendben: – "a" szorozva "be", nem a "legyen" "a"-ra. A vektorszorzás eredménye a VECTOR , amelyet kékkel jelölünk. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (bíbor színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és így a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketével van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a keresztszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékezzünk az egyik geometriai képletre: a paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Ezért a fentiek alapján érvényes a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor HOSSZÁRÓL van szó, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? A jelentése pedig olyan, hogy az analitikus geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Megkapjuk a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) két egyenlő háromszögre osztja. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető:

4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz . Természetesen az ellentétes irányú vektor (bíbor nyíl) is merőleges az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapon Megvan jobb orientáció. Egy leckében kb áttérni egy új alapra részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi a tér tájolása. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz. Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj- a vektorszorzat felfelé néz. Ez a jobboldali alap (az ábrán látható). Most cserélje fel a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként ennek hatására a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Talán kérdésed van: mi az alapja a baloldali irányultságnak? „Hozzárendelni” ugyanazokat az ujjakat bal kéz vektorok , és megkapja a bal oldali bázist és a bal térbeli tájolást (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva ezek az alapok különböző irányokba „csavarják” vagy orientálják a teret. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a leghétköznapibb tükör megváltoztatja a tér tájolását, és ha „kihúzza a visszavert tárgyat a tükörből”, akkor általában nem lesz lehetséges kombinálja az „eredetivel”. Mellesleg, vidd három ujjad a tükörhöz, és elemezd a visszaverődést ;-)

... milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert borzasztóak egyes előadók kijelentései az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok vektorszorzata

A definíciót részletesen kidolgoztuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma nulla. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla

Így ha , akkor És . Vegye figyelembe, hogy maga a keresztszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy ez is egyenlő nullával.

Egy speciális eset egy vektor és önmagának vektorszorzata:

A keresztszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a problémát is elemezzük.

A gyakorlati példák megoldásához szükség lehet rá trigonometrikus táblázat megkeresni belőle a szinuszok értékeit.

Nos, gyújtsunk tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha!

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kezdeti adatokat a feltételelemekben. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) A feltétel szerint meg kell találni hossz vektor (vektorszorzat). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Mivel a hosszra kérdezték, a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) A feltétel szerint meg kell találni terület vektorokra épített paralelogramma . Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a keresztszorzat hosszával:

Válasz:

Felhívjuk figyelmét, hogy a vektoros szorzatra adott válaszban egyáltalán nem esik szó, arról kérdeztünk ábra terület, illetve a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, hogy MIT kell a feltételnek megtalálni, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között van elég literalista, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem egy különösebben megerőltető trükk - ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem ért egyszerű dolgokhoz és/vagy nem mélyedt el a feladat lényegében. Ezt a pillanatot mindig kordában kell tartani, megoldani bármilyen feladatot a felsőbb matematikában és más tárgyakban is.

Hová tűnt a nagy "en" betű? Elvileg rá lehetne ragasztani a megoldásra, de a rekord lerövidítése érdekében nem tettem. Remélem ezt mindenki megérti, és ugyanaz a megjelölés.

Egy népszerű példa a barkácsoló megoldásra:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. Megoldás és válasz a lecke végén.

A gyakorlatban a feladat valóban nagyon gyakori, a háromszögeket általában meg lehet kínozni.

Más problémák megoldásához szükségünk van:

A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai

A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.

Tetszőleges vektorokra és tetszőleges számokra a következő tulajdonságok igazak:

1) Más információforrásokban ezt az elemet általában nem különböztetik meg a tulajdonságokban, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.

2) - fentebb is szó van az ingatlanról, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) - kombináció vagy asszociációs vektor szorzat törvényei. Az állandók könnyen kivehetők a vektorszorzat határai közül. Tényleg, mit keresnek ott?

4) - elosztás ill terjesztés vektor szorzat törvényei. A zárójelek nyitásával sincs gond.

Bemutatóként vegyünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: Feltétel alapján ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint a vektorszorzat határain túli állandókat kivesszük.

(2) Kivesszük a konstanst a modulból, miközben a modul „megeszi” a mínuszjelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A következők világosak.

Válasz:

Ideje fát dobni a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: Keresse meg a háromszög területét a képlet segítségével . A bökkenő az, hogy a "ce" és a "te" vektorok maguk is vektorok összegeként vannak ábrázolva. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára. Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért bontsuk három lépésre:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzük ki a vektort a vektorral. A hosszról még nem esett szó!

(1) Behelyettesítjük a vektorok kifejezéseit.

(2) Distributív törvények segítségével nyissuk meg a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint!

(3) Az asszociatív törvények segítségével kivesszük a vektorszorzatokon túli összes állandót. Kevés tapasztalattal a 2. és 3. művelet egyszerre is végrehajtható.

(4) Az első és az utolsó tag a kellemes tulajdonság miatt egyenlő nullával (nulla vektor). A második tagban a vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A megoldás 2-3 lépéseit egy sorba lehetne rendezni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a tesztekben, itt van egy példa egy független megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

A vektorok keresztszorzata koordinátákban

ortonormális alapon megadva , képlettel fejezzük ki:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba „pakoljuk” a vektorok koordinátáit, és szigorú sorrendben- először a "ve" vektor koordinátái, majd a "double-ve" vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat is fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
de)
b)

Megoldás: A teszt a leckében található állítások egyikén alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a keresztszorzatuk nulla (nulla vektor): .

a) Keresse meg a vektorszorzatot:

Tehát a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a vektorszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik a vektorok vegyes szorzatának felhasználásával. Valójában minden a meghatározáson, a geometriai jelentésen és néhány működő képleten fog nyugodni.

A vektorok vegyes szorzata három vektor szorzata:

Így álltak sorba, mint a vonat, és várnak, alig várják, amíg kiszámolják őket.

Először ismét a definíció és a kép:

Meghatározás: Vegyes termék nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, nak, nek hívják a paralelepipedon térfogata, ezekre a vektorokra épülve, "+" jellel ellátva, ha az alap megfelelő, és "-" jellel, ha a bázis bal.

Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat szaggatott vonal húzza:

Merüljünk el a definícióban:

2) Felvett vektorok egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok permutációja a szorzatban, ahogy sejthető, nem marad következmények nélkül.

3) Mielőtt hozzászólnék a geometriai jelentéshez, megjegyzem a nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a kialakítás némileg eltérhet, én a vegyes terméket szoktam jelölni, a számítások eredményét pedig "pe" betűvel.

Definíció szerint a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Azaz a szám megegyezik az adott paralelepipedon térfogatával.

jegyzet : A rajz sematikus.

4) Ne foglalkozzunk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet a kötethez adni. Leegyszerűsítve a vegyes termék lehet negatív: .

A definícióból közvetlenül következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.

vektor termék A két tényező által felépített síkra merőleges pszeudovektor, amely a háromdimenziós euklideszi tér vektoraira vonatkozó "vektorszorzás" bináris művelet eredménye. A vektorszorzat nem rendelkezik a kommutativitás és az asszociativitás tulajdonságaival (antikommutatív), és a vektorok skaláris szorzatával ellentétben vektor. Széles körben használják számos műszaki és fizikai alkalmazásban. Például a szögimpulzus és a Lorentz-erő matematikailag keresztszorzatként van felírva. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusaik szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy anti-párhuzamosak.

Egy vektorszorzatot többféleképpen definiálhatunk, és elméletileg tetszőleges n méretű térben kiszámolhatjuk n-1 vektorok szorzatát, miközben egyetlen, mindegyikre merőleges vektort kapunk. De ha a szorzat nem triviális bináris szorzatokra korlátozódik vektoreredményekkel, akkor a hagyományos vektorszorzat csak háromdimenziós és hétdimenziós terekben van meghatározva. A vektorszorzat eredménye, akárcsak a skaláris szorzat, az euklideszi tér metrikájától függ.

Ellentétben a háromdimenziós téglalap alakú koordináta-rendszer vektorainak koordinátáiból a skaláris szorzat kiszámításának képletével, a vektorszorzat képlete a téglalap alakú koordináta-rendszer orientációjától, vagy más szóval „kiralitásától” függ.

Meghatározás:
Az R3 térben lévő a és b vektor vektorszorzatát c vektornak nevezzük, amely megfelel a következő követelményeknek:
a c vektor hossza egyenlő az a és b vektorok hosszának és a köztük lévő φ szög szinuszának szorzatával:
|c|=|a||b|sin φ;
a c vektor ortogonális az a és b vektorokra;
a c vektor úgy van irányítva, hogy az abc vektorok hármasa helyes legyen;
az R7 tér esetében az a,b,c vektorok hármasának asszociativitása szükséges.
Kijelölés:
c===a×b

Rizs. 1. A paralelogramma területe megegyezik a keresztszorzat modulusával

A kereszttermék geometriai tulajdonságai:
Két nem nulla vektor kollinearitása szükséges és elégséges feltétele, hogy vektorszorzatuk egyenlő legyen nullával.

Kereszttermék modul területtel egyenlő S közös origóra redukált vektorokra épített paralelogramma aÉs b(lásd az 1. ábrát).

Ha e- a vektorokra merőleges egységvektor aÉs bés úgy választottuk, hogy a hármas a,b,e- igaz, és S- a rájuk épített paralelogramma területe (közös origóra redukálva), akkor a vektorszorzatra igaz a következő képlet:
=S e

2. ábra. A paralelepipedon térfogata vektorok és skaláris szorzata esetén; a szaggatott vonalak a c vektor a × b és az a vektor b × c vetületeit mutatják, első lépésként meg kell keresni a belső szorzatokat

Ha c- bármilyen vektor π - bármely sík, amely tartalmazza ezt a vektort, e- a síkban fekvő egységvektor π és arra merőleges c,g- a síkra merőleges egységvektor π és úgy irányítjuk, hogy a vektorok hármasa ekg igaza van, akkor a gépben fekvő mindenre π vektor a a helyes képlet:
=Pr e a |c|g
ahol Pr e a az e vektor vetülete a-ra
|c|-a c vektor modulusa

Vektor és skaláris szorzatok használatakor kiszámítható egy közös origóra redukált vektorokra épített paralelepipedon térfogata a, bÉs c. Három vektor ilyen szorzatát vegyesnek nevezzük.
V=|a (b×c)|
Az ábrán látható, hogy ez a térfogat kétféleképpen is megtalálható: a geometriai eredmény akkor is megmarad, ha a „skaláris” és a „vektor” szorzatot felcseréljük:
V=a×b c=a b×c

A keresztszorzat értéke az eredeti vektorok közötti szög szinuszától függ, így a keresztszorzat felfogható a vektorok „merőlegességének” fokaként, ahogy a pontszorzat is felfogható a vektorok „merőlegességének” mértékének. "párhuzamosság". Két egységvektor keresztszorzata egyenlő 1-gyel (egységvektor), ha a kezdeti vektorok merőlegesek, és egyenlő 0-val (nulla vektor), ha a vektorok párhuzamosak vagy antipárhuzamosak.

Keresztszorzat kifejezés derékszögű koordinátákkal
Ha két vektor aÉs b derékszögű derékszögű koordinátáik határozzák meg, pontosabban ortonormális alapon vannak ábrázolva
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
és a koordinátarendszer helyes, akkor a vektorszorzatuk alakja
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Hogy emlékezzünk erre a képletre:
i =∑ε ijk a j b k
ahol ε ijk- Levi-Civita szimbóluma.