Több változó függvényének parciális deriváltjai ugyanazon változók függvényei. Ezeknek a függvényeknek pedig lehetnek parciális deriváltjai, amelyeket az eredeti függvény másodlagos parciális deriváltjainak (vagy másodrendű parciális deriváltjainak) nevezünk.
Így például egy két változóból álló függvénynek négy másodrendű parciális deriváltja van, amelyeket a következőképpen határozunk meg és jelölünk:
Egy három változóból álló függvénynek kilenc másodrendű parciális deriváltja van:
A harmadik és több részleges származékai magasrendű több változó függvényei: több változó függvényének rendű parciális deriváltja ugyanazon függvény elsőrendű parciális deriváltja.
Például egy függvény harmadrendű parciális deriváltja az elsőrendű parciális deriváltja a másodrendű parciális derivált y-hoz képest
A több különböző változóra vonatkozó második vagy magasabb parciális deriváltot vegyes parciális deriváltnak nevezzük.
Például részleges származékok
két változó függvényének vegyes parciális deriváltjai.
Példa. Keresse meg egy függvény másodrendű vegyes parciális deriváltjait
Megoldás. Elsőrendű parciális származékok keresése
Ekkor megtaláljuk a másodrendű vegyes parciális deriváltokat
Azt látjuk, hogy a vegyes parciális deriváltak, amelyek csak a differenciálás sorrendjében, azaz a különböző változók szerinti differenciálás sorrendjében különböznek egymástól, azonosnak bizonyultak. Ez az eredmény nem véletlen. A vegyes parciális deriváltokra a következő tétel áll fenn, amit bizonyítás nélkül elfogadunk.
Legyen adott két változó függvénye. Növeljük az érvelést, és hagyjuk az érvelést változatlanul. Ekkor a függvény növekményt kap, amit a változóhoz képest részleges növekménynek nevezünk, és ezt jelöljük:
Hasonlóképpen az argumentum rögzítésével és az argumentum növekményének megadásával a függvény részleges növekményét kapjuk a változóhoz képest:
Az értéket a függvény teljes növekményének nevezzük a pontban.
4. definíció. Két változó függvényének parciális deriváltja e változók egyikére vonatkoztatva a függvény megfelelő részleges növekménye és az adott változó növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik (ha ez a határ létezik). A részleges származékot a következőképpen jelöljük: vagy, vagy.
Tehát definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:
Egy függvény parciális deriváltjait ugyanazon szabályok és képletek alapján számítjuk ki egy változó függvényében, figyelembe véve, hogy egy változóra való differenciáláskor azt állandónak, változóra való differenciálásnál pedig azt tekintjük. állandó.
3. példa: Keresse meg a függvények parciális deriváltjait:
Megoldás. a) A megtaláláshoz egy állandó értéket veszünk fel, és egy változó függvényében differenciálunk:
Hasonlóképpen konstans értéket feltételezve azt kapjuk, hogy:
Definíció 5. Egy függvény teljes differenciája a függvény parciális deriváltjainak és a megfelelő független változók növekményeinek szorzatának összege, azaz.
Tekintettel arra, hogy a független változók differenciálértékei egybeesnek növekményükkel, azaz. , a teljes differenciál képlete a következőképpen írható fel
4. példa Határozza meg egy függvény teljes differenciáját.
Megoldás. Mivel tehát a teljes differenciál képletével azt találjuk
Magasabb rendű részleges származékok
A parciális deriváltokat elsőrendű parciális származékoknak vagy első parciális származékoknak is nevezik.
6. definíció. Egy függvény másodrendű parciális deriváltjai az elsőrendű parciális deriváltjai.
Négy másodrendű parciális derivált létezik. A következőképpen vannak megjelölve:
Hasonlóan definiáljuk a 3., 4. és magasabb rendű parciális származékokat is. Például egy függvénynél a következő:
A különböző változókra vonatkozó másod- vagy magasabb rendű parciális deriváltokat vegyes parciális deriváltoknak nevezzük. Egy függvény esetében ezek származékok. Vegye figyelembe, hogy abban az esetben, ha a vegyes származékok folytonosak, akkor egyenlőség lép fel.
5. példa Keresse meg egy függvény másodrendű parciális deriváltjait
Megoldás. Ennek a függvénynek az elsőrendű részleges deriváltjai a 3. példában találhatók:
Differenciálva és az x és y változókra nézve azt kapjuk
És nem kell semmit keresnie: külön cikkünkben már mindent előkészítettünk, hogy Ön is meg tudja csinálni. Most beszéljünk a parciális deriváltokról.
Üdvözöljük távirati csatornánkon, ahol hasznos hírleveleket és aktuális hallgatói híreket talál.
Két vagy több változó funkciója
Mielőtt parciális deriváltokról beszélnénk, érintenünk kell a több változóból álló függvény fogalmát, amely nélkül nincs értelme a parciális deriváltnak. Az iskolában egy változó függvényeivel szoktunk foglalkozni:
Korábban az ilyen függvények deriváltjait vettük figyelembe. Egy változó függvényének grafikonja egy síkon lévő egyenes: egyenes, parabola, hiperbola stb.
Mi van, ha hozzáadunk egy másik változót? Ilyen függvényt kapsz:
Ez két független változó függvénye xÉs y. Egy ilyen függvény gráfja egy felület in háromdimenziós tér: gömb, hiperboloid, paraboloid vagy más gömb alakú ló vákuumban. Parciális derivált függvények z x és y esetén a következőképpen írjuk:
Három vagy több változóból álló függvények is léteznek. Igaz, lehetetlen egy ilyen függvény grafikonját megrajzolni: ehhez legalább négydimenziós térre lenne szükség, amit nem lehet ábrázolni.
Elsőrendű parciális származék
Ne feledje a fő szabályt:
Az egyik változóra vonatkozó parciális derivált számításakor a második változót vesszük állandónak. Ellenkező esetben a származékos számítás szabályai nem változnak.
Vagyis a parciális derivált lényegében nem különbözik a szokásostól. Tehát tartsa a szemed előtt a derivatívák táblázatát elemi függvények valamint a közönséges derivatívák kiszámításának szabályai. Nézzünk egy példát, hogy teljesen világos legyen. Tegyük fel, hogy a következő függvény elsőrendű parciális deriváltjait szeretné kiszámítani:
Először vesszük az x-re vonatkozó parciális deriváltot, y-t közönséges számnak tekintve:
Most tekintjük az y-ra vonatkozó parciális deriváltot, x-et állandónak véve:
Amint látja, nincs ebben semmi bonyolult, és több siker összetett példák csak gyakorlás kérdése.
Másodrendű parciális derivált
Mi a másodrendű parciális derivált? Pont mint az első. A másodrendű részleges származékok megtalálásához csak az első rendű derivált származékát kell venni. Térjünk vissza a fenti példához, és számítsuk ki a másodrendű parciális deriváltokat.
Játék szerint:
A harmadik és magasabb rendű részleges származékok nem különböznek egymástól a számítási elvben. Rendszerezzük a szabályokat:
- Amikor egy független változóra vonatkozóan differenciálunk, a másodikat konstansnak vesszük.
- A másodrendű derivált az elsőrendű derivált származéka. A harmadik rend a másodrendű derivált származéka stb.
Egy függvény parciális deriváltjai és teljes differenciája
Gyakorlati feladatokban gyakori kérdés egy függvény teljes differenciájának megtalálása. Több változóból álló függvény esetén a teljes differenciát úgy definiáljuk, mint a függvény kis teljes növekményének fő lineáris részét az argumentumok növekményeihez képest.
A meghatározás nehézkesnek hangzik, de a betűkkel minden egyszerűbb. Több változóból álló függvény teljes elsőrendű differenciája így néz ki:
A parciális deriváltak kiszámításának ismeretében nem okoz gondot a teljes differencia kiszámítása.
A részleges származékok nem olyan haszontalan téma. Például, differenciál egyenletek a másodrendű parciális deriváltokban széles körben használják valós fizikai folyamatok matematikai leírására.
Itt csak egy általános, felületes elképzelést adtunk az első és másodrendű részleges származékokról. Érdekel ez a téma, vagy konkrét kérdései vannak? Kérdezze meg őket kommentben, és forduljon a szakmai diákszolgálat szakembereihez, hogy szakképzett és gyors segítséget kaphasson tanulmányaihoz. Nálunk nem marad egyedül a problémájával!
Példa. Keresse meg az y x yxz függvény parciális deriváltjait
Megoldás. Ha y = const , akkor xy x z értéket kapunk
x =const beállításával 2 2) 1 (1 y x x y xx y z
Példa. Keresse meg a függvény parciális deriváltjainak értékét az M pontban (1, - 1, 0). xyzyxu)ln(
Megoldás. y = const , z = const beállításával 10 11 22 1)02(1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u
Hasonlóképpen találjuk a 10 11 22 1) 20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z u
A parciális derivált (például) geometriai jelentése az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban húzott érintő meredekségének érintője az y \u003d y 0 sík felületi metszetéhez. xz
Tegyük fel, hogy a z = f (x, y) függvénynek vannak folytonos parciális deriváltjai), (yxf x z x), (yxf y z y)
Ezek a deriváltak pedig az x és y független változók függvényei. Az 1. rendű parciális származékokat is hívjuk.), (yxf x), (yxf y)
A 2. rendű parciális deriváltokat az 1. rendű parciális származékok parciális származékainak nevezzük. Két változóból álló z \u003d f (x, y) függvényhez négy másodrendű parciális derivált található, amelyeket a következő moddal jelölünk:
Általános esetben előfordulhat, hogy a vegyes parciális deriváltak nem esnek egybe, de a következő tétel érvényes rájuk: Tétel. Ha az és vegyes parciális deriváltjai folytonosak egy M (x, y) pontban, akkor egyenlőek, azaz xyfyxf), (yxfyxf yxxy
Az n-edik rendű parciális deriváltok az (n-1)-edik rendű parciális deriváltjai. Jelölve vannak stb. 221 , yx z x z n n n
Példa. Keresse meg a)1 sin(23 xyyxz) függvény 2. rendű parciális deriváltjait
Megoldás. egymás után találni); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx
); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx
)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx
Tekintsük a z = f(x, y) függvényt. Adjuk meg az x argumentumnak Δ x növekményt, az y argumentumnak pedig Δ y növekményt. Ekkor z kap egy növekményt, amelyet a z függvény teljes növekményének nevezünk.), (yxfyyxxfz
Tegyük fel, hogy f(x, y) az M(x, y) pontban folytonos parciális deriváltokkal rendelkezik.
Meghatározás. A z \u003d f (x, y) függvény elsőrendű differenciálja a függvény teljes Δ z növekményének fő része, lineárisan Δ x és Δ y függvényében, amelyet dz vagy df jellel jelölünk, és kiszámítjuk. az yyzxxz zd képlettel
Mivel a független változók differenciáljai egybeesnek a növekményükkel, azaz dx = Δ x, dy = Δ y, ez a képlet így írható fel: dy y z dx x z zd
Két f (x, y) változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése az (x 0, y 0) pontban a felület érintősíkjának alkalmazásának (z-koordinátájának) növekedése az átmenet során. pontból (x 0, y 0) az (x 0 + x, y 0 + y) pontba.
Két változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése a térbeli analóg geometriai érzék egy változó függvényének differenciálja.
A z \u003d f (x, y) függvény másodrendű differenciálja az elsőrendű differenciálé, és ezt jelöljük) (zzddd
Ha a z \u003d f (x, y) függvény minden másodrendű parciális deriváltja folytonos, akkor a képlet a következő: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd
Példa. Határozza meg az y x yz 2 x függvény 1. és 2. rendű differenciálját!
Megoldás. Keresse meg az 1. és 2. rend parciális deriváltjait: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z
; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2) 2(0 y x yx y x x y y z cy
Ezért az 1. és 2. rendű differenciálokat a következőképpen írjuk: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd
Legyen az f(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban. Találjuk ki teljes növekmény ezt a függvényt :), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (
Ha egy kifejezést behelyettesítünk ebbe a képletbe, egy hozzávetőleges képletet kapunk: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (
Példa. Számítson ki egy közelítő értéket a függvény értéke alapján x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln
Megoldás. A megadott kifejezésből meghatározzuk x \u003d 1, 04 - 1 \u003d 0,04, y \u003d 1,99 - 2 \u003d -0,01, z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,02 (keresse meg a függvény értékét x, 0,02. y, z) = 11 ln
Részleges származékok keresése: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y
Az u függvény teljes differenciálja: 2 1 ln 2 1 zx z z u y
05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu
Ennek a kifejezésnek a pontos értéke: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu
A felület érintősíkja az M 0 pontjában az a sík, amely tartalmazza az ezen a ponton keresztül a felületre rajzolt görbék összes érintőjét.
A felület normálja az M 0 pontban az ezen a ponton áthaladó, az adott pontban húzott érintősíkra merőleges egyenes.
Ha a felületet az F (x, y, z) \u003d 0 egyenlet adja, akkor az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban lévő érintősík egyenlete a következő: 0)) ( (00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx
Az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban a felületre húzott normál egyenletei a következőképpen lesznek felírva:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx
Ha a felületet a z \u003d f (x, y) egyenlet adja, akkor az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban lévő érintősík egyenlete a következő alakú: :)) (, (000) 0000 yyyxf xxyxfzz yx
és a normál egyenletek a következőképpen lesznek felírva: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx
Példa. Állítsa össze a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban, ha 01332 22 yzxzxyyx. 1, 200 yx
Megoldás. Ha x 0-t és y 0-t behelyettesítünk a felület egyenletébe, megkapjuk a z 0 értékét: ahonnan z 0 = 1. Ezért M 0 (2, - 1, 1) az érintkezési pont. 01.1(32)1(23)1(2400 2zz
A probléma feltétele által a felület implicit módon adott. Jelölje és keresse meg az M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx) pontban lévő parciális deriváltokat.
, 32 zyx. F x 21) 1 (322) (0 MF x , 334 zxy. F y 51323) 1 (4) (0 MF y , 3 yx. F z 1) 1 (32) (0 MF z
A parciális deriváltak talált értékeit behelyettesítjük a 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx) érintősík egyenletébe
A normál egyenletek 1 1 5 1 2 2 zyx alakúak
Meghatározás. A z = f (x, y) függvénynek az M 0 (x 0, y 0) pontban van a maximuma, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy ebből a szomszédságból bármely M (x, y) pontra fennáll az egyenlőtlenség. ), (00 yxfyxf
A sokváltozós függvény fogalma
Legyen n-változó, és minden x 1, x 2 ... x n egy adott x halmazból egy definíciót kap. a Z szám, majd az x halmazon sok változó Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) függvénye adott.
X - definiált függvények területe
x 1, x 2 ... x n - független változó (argumentumok)
Z - funkció Példa: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Henger térfogata)
Tekintsük a Z \u003d f (x; y) - 2 x változó f-cióját (x 1, x 2 helyett x, y). Az eredmények analógia útján sok változó más függvényeibe kerülnek át. 2 változó funkciójának meghatározásának területe a négyzet teljes zsinórja (ooh) vagy annak egy része. Mn - 2 változó th függvényének értékében - a felület egy 3 dimenziós térben.
Gráfok felépítésének technikái: - Rassm-t szakasz a négyzet felületén || koordináta négyzetek.
Példa: x \u003d x 0, zn. négyzet X || 0yz y \u003d y 0 0xz A függvény típusa: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
Például: Z=x 2 +y 2 -2y
Z = x 2 + (y-1) 2 -1 x = 0 Z = (y-1) 2 -1 y = 1 Z = x 2 -1 Z = 0 x 2 + (y-1) 2 -1
Parabola kör(közép(0;1)
Két változó függvényének korlátai és folytonossága
Legyen Z = f (x; y) adott, akkor A az f-tion határa m-ben (x 0, y 0), ha bármely tetszőlegesen kicsi putra. szám E>0 főnév-t pozitív szám b>0, hogy minden x,y esetén |x-x 0 |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) folytonos t-ben (x 0, y 0), ha: - ebben a t-ben van definiálva; - véges van határ x 0-ra, y pedig y 0-ra; - ez a határ = érték függvények a t.-ben (x 0, y 0), azaz. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Ha a függvény mindegyikben folyamatos. t. mn-va X, akkor ezen a területen folytonos Differenciálfüggvény, geojelentése. A dif-la használata közelítő értékekben. dy=f’(x)∆x – differenciálfüggvény dy=dx, azaz dy=f '(x)dx, ha y=x Földrajzi szempontból a függvénydifferenciál a függvény grafikonjára húzott érintő ordinátájának növekménye egy x 0 abszcissza pontban. A Dif-l-t kb. függvényértékek a képlet szerint: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x Minél közelebb van ∆x x-hez, annál pontosabb az eredmény. Első és másodrendű parciális származékai Elsőrendű származékos (amelyet privátnak neveznek) O. Legyen x, y az x és y független változók növekményei az X tartományból egy bizonyos ponton. Ekkor a z = f(x + x, y + y) = f(x, y) értéket nevezzük teljes növekmény az x 0, y 0 pontban. Ha az x változó rögzített, és az y változót y-vel növeljük, akkor zу = f(x, y, + y) - f(x, y) Az y változó parciális deriváltját is hasonlóan definiáljuk, azaz. Egy 2 változóból álló függvény parciális deriváltját ugyanazok a szabályok szerint találjuk meg, mint egy változó függvényeire. A különbség abban rejlik, hogy amikor egy függvényt az x változóhoz képest differenciálunk, akkor y-t const-nak, az y-hoz való differenciálásnál pedig x-et const-nak tekintjük. Az elkülönített const-ok összeadás/kivonás műveletekkel kapcsolódnak a függvényhez. A kapcsolódó const-ok szorzási/osztási műveletekkel kapcsolódnak a függvényhez. Az izolált const = 0 származéka 1.4.2 változó függvényének teljes differenciája és alkalmazásai
Legyen z = f(x,y), akkor tz = 2. rendű részleges származéka 2 változó folytonos függvényeinél a és a 2. rendű vegyes parciális deriváltjai egybeesnek. A parciális deriváltok használatát a max és min függvények parciális deriváltjainak meghatározására extrémáknak nevezzük. A. A pontokat max vagy min z = f(x,y)-nek nevezzük, ha vannak olyan szakaszok, amelyek minden x és y esetén ebből a szomszédságból f(x,y) T. Ha egy 2 változóból álló függvény extrémpontja adott, akkor a parciális deriváltak értéke ebben a pontban 0, azaz. , Azokat a pontokat, ahol az elsőrendű parciális deriváltokat stacionáriusnak vagy kritikusnak nevezzük. Ezért egy 2 változóból álló függvény szélsőpontjainak megtalálásához elegendő extrémumfeltételt használunk. Legyen a z = f(x,y) függvény kétszer differenciálható, és legyen a stacionárius pont, 1) és maxA<0, minA>0. 1.4.(*)teljes differenciálmű. A differenciál geometriai jelentése. A különbség alkalmazása közelítő számításokban
O. Legyen az y = f(x) függvény valamilyen szomszédságban a pontokban definiálva. Az f(x) függvényt egy pontban differenciálhatónak nevezzük, ha ebben a pontban növekszik Ahol A egy állandó érték, amely független -tól, egy x fix pontban, - végtelenül kicsi -nél. Egy viszonylag lineáris A függvényt az f(x) függvény differenciáljának nevezünk egy pontban, és df()-vel vagy dy-vel jelöljük. Így az (1) kifejezés felírható így Az (1) kifejezésben szereplő függvénydifferenciál alakja dy = A . Mint minden lineáris függvény, ez is bármilyen értékhez definiálható A differenciál jelölésének megkönnyítése érdekében a növekményt dx-el jelöljük, és az x független változó differenciáljának nevezzük. Ezért a különbséget a következőképpen írjuk fel: dy = Adx. Ha az f(x) függvény valamely intervallum minden pontjában differenciálható, akkor a differenciája két változó - az x pont és a dx változó - függvénye: T. Ahhoz, hogy az y = g(x) függvény egy ponton differenciálható legyen, szükséges és elégséges, hogy ezen a ponton legyen deriváltja, míg (*)Bizonyíték. Szükség. Legyen az f(x) függvény differenciálható a pontban, azaz Ezért létezik az f'() derivált, és egyenlő A-val. Ezért dy = f'()dx Megfelelőség. Legyen egy f'() derivált, azaz. = f'(). Ekkor az y = f(x) görbe érintőszakasz. Egy függvény értékének kiszámításához egy x pontban vegyünk egy pontot a szomszédságában, így nem nehéz megtalálni f() és f’()/
- teljes növekménynek nevezzük
, ahol az (1) formában van ábrázolva
().
míg a függvény növekményét csak azoknál kell figyelembe venni, amelyeknél a + az f(x) függvény tartományába tartozik.. Azután