Tekintsünk két változó függvényét:
Mivel a $x$ és $y$ változók függetlenek, bevezethetjük a parciális derivált fogalmát egy ilyen függvényre:
A $f$ függvény parciális deriváltja a $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pontban a $x$ változóhoz képest: a határ
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \jobbra))(\Delta x)\]
Hasonlóképpen definiálhatjuk a részleges deriváltot a $y$ változóval kapcsolatban:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \jobbra))(\Delta y)\]
Más szóval, több változó függvényének parciális deriváltjának megtalálásához rögzíteni kell az összes többi változót, kivéve a kívánt változót, majd meg kell keresni a szokásos deriváltot ehhez a kívánt változóhoz.
Ebből következik az ilyen származékok kiszámításának fő technikája: egyszerűen vegyük figyelembe, hogy az adott változón kívül minden változó állandó, majd különböztesse meg a függvényt úgy, ahogy a „közönséges”-t – egy változóval. Például:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \jobbra))^(\ prím ))_(y)+10x\cdot ((\bal(y \jobb))^(\prím ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Nyilvánvaló, hogy a különböző változókra vonatkozó parciális deriváltak eltérő választ adnak – ez normális. Sokkal fontosabb megérteni, hogy mondjuk az első esetben miért húztuk ki nyugodtan a 10y$-t a derivált jele alól, a második esetben pedig teljesen lenulláztuk az első tagot. Mindez annak a ténynek köszönhető, hogy minden betű, kivéve azt a változót, amellyel a differenciálás történik, állandónak minősül: kivehető, "elégethető" stb.
Mi az a "részleges származékos"?
Ma több változó függvényeiről és azok parciális deriváltjairól lesz szó. Először is, mi a függvénye több változónak? Mostanáig megszoktuk, hogy egy függvényt $y\left(x \right)$ vagy $t\left(x \right)$-nak, vagy tetszőleges változónak és abból egyetlen függvénynek gondoljunk. Most egy függvényünk és több változónk lesz. Amikor $y$ és $x$ változik, a függvény értéke megváltozik. Például, ha $x$ megduplázódik, akkor a függvény értéke megváltozik, míg ha $x$ változik és $y$ nem változik, akkor a függvény értéke ugyanúgy változik.
Természetesen több változó függvénye, akárcsak egy változó függvénye, megkülönböztethető. Mivel azonban több változó létezik, lehetséges a különböző változók szerinti megkülönböztetés. Ebben az esetben olyan sajátos szabályok merülnek fel, amelyek nem voltak ott egy változó megkülönböztetésekor.
Először is, amikor egy változó függvényének deriváltját vesszük figyelembe, meg kell jelölnünk, hogy melyik változót tekintjük deriváltjának - ezt nevezzük parciális deriváltnak. Például van egy függvényünk két változóból, és ezt mind $x$-ban, mind $y$-ban kiszámíthatjuk – minden változó két parciális deriváltja.
Másodszor, amint rögzítettük az egyik változót, és elkezdjük kiszámítani a parciális deriváltot, akkor a függvényben szereplő összes többit állandónak tekintjük. Például a $z\left(xy \right)$-ban, ha figyelembe vesszük a parciális deriváltot $x$-hoz képest, akkor bárhol találkozunk $y$-val, konstansnak tekintjük és pontosan konstansként kezeljük. Konkrétan egy szorzat deriváltjának számításakor kivehetjük a $y$-t a zárójelből (van egy állandónk), az összeg deriváltjának számításakor pedig ha valahol megkapjuk egy $y$-t tartalmazó kifejezés deriváltját. és nem tartalmaz $x$-t, akkor ennek a kifejezésnek a deriváltja "nulla" lesz, mint az állandó deriváltja.
Első pillantásra úgy tűnhet, hogy valami bonyolultról beszélek, és sok diák először összezavarodik. A részleges származékokban azonban nincs semmi természetfeletti, és most ezt konkrét problémák példáján fogjuk látni.
Problémák gyökökkel és polinomokkal
1. feladat
Hogy ne vesztegessük hiába az időt, a kezdetektől fogva komoly példákkal kezdjük.
Hadd kezdjem a következő képlettel:
Ez a standard táblaérték, amelyet a szabványos kurzusból ismerünk.
Ebben az esetben a $z$ derivált a következőképpen számítható ki:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Ismételjük meg, mivel a gyökér nem $x$, hanem valami más kifejezés, jelen esetben $\frac(y)(x)$, akkor először a standard táblaértéket használjuk, majd, mivel a gyökér nem $ x $ és egy másik kifejezés, akkor ugyanarra a változóra vonatkozóan meg kell szoroznunk a deriváltunkat ebből a kifejezésből még eggyel. Kezdjük a következővel:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Visszatérünk kifejezésünkhöz, és ezt írjuk:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \jobbra)\]
Lényegében ennyi. Nem árt azonban ebben a formában hagyni: egy ilyen konstrukció kényelmetlen a további számításokhoz, ezért alakítsuk át egy kicsit:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
A válasz megtalálható. Most foglalkozzunk $y$-val:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Írjuk külön:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Most ezt írjuk:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Kész.
2. feladat
Ez a példa egyszerűbb és összetettebb is, mint az előző. Nehezebb, mert több a cselekvés, de könnyebb, mert nincs gyökér, ráadásul a függvény szimmetrikus $x$ és $y$ vonatkozásában, azaz. ha $x$-t és $y$-t felcserélünk, a képlet nem változik. Ez a megjegyzés tovább egyszerűsíti a parciális derivált számítását, azaz. elég kiszámolni az egyiket, és a másodikban csak felcserélni $x$ és $y$.
Térjünk a lényegre:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \jobb ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \jobbra)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\]
Számoljunk:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right)))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Sok diák azonban nem érti az ilyen rekordot, ezért így írjuk:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Így ismét meggyőződtünk a parciális derivált algoritmus univerzalitásáról: akárhogyan is vesszük őket, ha minden szabályt helyesen alkalmazunk, a válasz ugyanaz lesz.
Most foglalkozzunk még egy parciális származékkal a nagy képletünkből:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=((\left(((()) x)^(2)) \jobbra))^(\prímszám ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \jobbra))^(\prím ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
A kapott kifejezéseket behelyettesítjük a képletünkbe, és a következőt kapjuk:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ jobb)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobb))^(\prím ))_(x))(((\bal (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra)-xy\cdot 2x)(((\left(((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \jobbra))(((\ balra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \jobbra))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2 )))\]
$x$ számolva. És hogy ugyanabból a kifejezésből kiszámoljuk a $y$-t, ne végezzük el ugyanazt a műveletsort, hanem használjuk az eredeti kifejezésünk szimmetriáját – egyszerűen lecseréljük az eredeti kifejezésünkben szereplő $y$-t $x$-ra és fordítva:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \jobbra))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\]
A szimmetria miatt ezt a kifejezést sokkal gyorsabban számoltuk ki.
A megoldás árnyalatai
Minden részleges származékokra működik szabványos képletek, amit a közönségesekre használunk, nevezetesen a hányados származéka. Ebben az esetben azonban felmerülnek saját sajátosságai: ha figyelembe vesszük $x$ parciális deriváltját, akkor amikor $x$-ból kapjuk, akkor konstansnak tekintjük, és ezért a deriváltja egyenlő lesz " nulla".
A közönséges deriváltokhoz hasonlóan a hányados (egy és ugyanaz) több különböző utak. Például ugyanazt a konstrukciót, amelyet az imént számoltunk, a következőképpen írhatjuk át:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Másrészt azonban használhatja a származékos összeg képletét. Mint tudjuk, egyenlő a származékok összegével. Például írjuk a következőket:
\[((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Most mindezek ismeretében próbáljunk meg komolyabb kifejezésekkel dolgozni, hiszen a valódi parciális deriváltak nem korlátozódnak csak a polinomokra és a gyökekre: van trigonometria, logaritmus, ill. exponenciális függvény. Most tegyük ezt.
Problémák trigonometrikus függvényekkel és logaritmusokkal
1. feladat
A következő szabványos képleteket írjuk le:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Ezzel a tudással felvértezve próbáljuk meg megoldani:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Írjunk egy változót külön:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Vissza a tervezésünkhöz:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Mindent megtaláltunk $x$-ra, most végezzük el a számításokat $y$-ra:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Ismét vegyünk egy kifejezést:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \jobbra)\]
Visszatérünk az eredeti kifejezéshez, és folytatjuk a megoldást:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Kész.
2. feladat
Írjuk fel a szükséges képletet:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Most számoljunk $x$-al:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
$x$ találta. $y$-al számolva:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Probléma megoldódott.
A megoldás árnyalatai
Tehát függetlenül attól, hogy melyik függvényből veszünk parciális deriváltot, a szabályok ugyanazok maradnak, függetlenül attól, hogy trigonometriával, gyökökkel vagy logaritmusokkal dolgozunk.
A standard deriváltokkal való munka klasszikus szabályai változatlanok maradnak, nevezetesen az összeg és a különbség deriváltja, a hányados, ill. összetett funkció.
Az utolsó képlet leggyakrabban a parciális deriváltokkal kapcsolatos problémák megoldásában található. Szinte mindenhol találkozunk velük. Még nem volt olyan feladat, amivel ott ne találkoztunk volna. De nem számít, milyen képletet használunk, még egy követelményt adunk hozzá, mégpedig a parciális deriváltokkal való munka jellemzőjét. Amint javítunk egy változót, az összes többi állandó. Konkrétan, ha figyelembe vesszük a $\cos \frac(x)(y)$ kifejezés $y$-ra vonatkozó részleges származékát, akkor $y$ a változó, és $x$ mindenhol állandó marad. Ugyanez fordítva is működik. Kivehető a derivált előjeléből, és magának az állandónak a deriváltja "nulla" lesz.
Mindez oda vezet, hogy ugyanannak a kifejezésnek a parciális származékai, de különböző változókhoz képest, teljesen eltérően nézhetnek ki. Vegyük például a következő kifejezéseket:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Problémák az exponenciális függvényekkel és logaritmusokkal
1. feladat
Kezdjük a következő képlet felírásával:
\[((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=((e)^(x))\]
Ismerve ezt a tényt, valamint egy komplex függvény deriváltját, próbáljuk meg kiszámítani. Most két különböző módon fogom megoldani. Az első és legnyilvánvalóbb a termék származéka:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Oldjuk meg külön a következő kifejezést:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Visszatérünk eredeti tervünkhöz, és folytatjuk a megoldást:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\jobbra)\]
Minden, $x$ számítva.
Azonban, ahogy ígértem, most megpróbáljuk ugyanazt a parciális deriváltot más módon kiszámítani. Ehhez vegye figyelembe a következőket:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Írjuk így:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Ennek eredményeként pontosan ugyanazt a választ kaptuk, de a számítások mennyisége kisebbnek bizonyult. Ehhez elég volt észrevenni, hogy a szorzat szorzásakor a kitevők összeadhatók.
Most számoljunk $y$-al:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Oldjunk meg egy kifejezést külön:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Folytassuk az eredeti konstrukciónk megoldását:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Természetesen ugyanazt a deriváltot ki lehet számítani a második módon is, a válasz ugyanaz lenne.
2. feladat
Számoljunk $x$-al:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \jobb )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Számoljunk egy kifejezést külön:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Folytassuk az eredeti konstrukció megoldását: $$
Itt a válasz.
Továbbra is meg kell találni a $y$ analógiájával:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prím ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \jobbra)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\]
Számoljunk egy kifejezést külön, mint mindig:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \jobb) )^(\prím ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Folytatjuk a fő szerkezet megoldását:
Minden meg van számolva. Amint láthatja, attól függően, hogy melyik változót veszik a megkülönböztetéshez, a válaszok teljesen eltérőek.
A megoldás árnyalatai
Íme egy szemléletes példa arra, hogy ugyanannak a függvénynek a deriváltja két különböző módon számítható ki. Nézz ide:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ balra(1+\frac(1)(y)\jobbra)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Különböző utak kiválasztásakor a számítások mennyisége eltérő lehet, de a válasz, ha mindent helyesen csinál, ugyanaz lesz. Ez vonatkozik mind a klasszikus, mind a részleges származékokra. Ugyanakkor még egyszer emlékeztetem: attól függően, hogy melyik változóból veszik a derivált, pl. differenciálás, a válasz egészen más lehet. Néz:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Végezetül, ennek az anyagnak a megszilárdításához próbáljunk meg még két példát számolni.
Problémák egy trigonometrikus és egy három változós függvénnyel
1. feladat
Írjuk fel ezeket a képleteket:
\[((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prím ))=((e)^(x))\]
Most oldjuk meg a kifejezésünket:
\[(((z)")_(x))=((\bal(((3)^(x\sin y)) \jobb))^(\prím ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Külön vegye figyelembe a következő konstrukciót:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Folytatjuk az eredeti kifejezés megoldását:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Ez a végső privát változó válasza $x$-ra. Most számoljunk $y$-al:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Oldjunk meg egy kifejezést külön:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
A kivitelezésünket a végére megoldjuk:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
2. feladat
Első pillantásra ez a példa meglehetősen bonyolultnak tűnhet, mivel három változó van. Valójában ez az egyik legegyszerűbb feladat a mai oktatóvideóban.
Keresés $x$ szerint:
\[(((t)")_(x))=((\bal(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \jobbra))^(\prím ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Most foglalkozzunk $y$-val:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \jobbra))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \jobbra))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Megtaláltuk a választ.
Most meg kell keresni $z$ szerint:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(z)=0+y\cdot ((\left((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Kiszámoltuk a harmadik deriváltot, amelyen a második feladat megoldása teljesen kész.
A megoldás árnyalatai
Mint látható, ebben a két példában nincs semmi bonyolult. Csak annyit láttunk, hogy egy komplex függvény deriváltját gyakran használjuk, és attól függően, hogy melyik parciális deriváltot vesszük figyelembe, különböző válaszokat kapunk.
Az utolsó feladatban egyszerre három változó egy függvényével kellett foglalkoznunk. Nincs ezzel semmi gond, de a legvégén megbizonyosodtunk arról, hogy mindegyik jelentősen eltér egymástól.
Főbb pontok
A mai oktatóvideó végső következtetései a következők:
- A parciális deriváltokat ugyanúgy tekintjük, mint a közönségeseket, míg az egy változóra vonatkozó parciális derivált kiszámításához az összes többi változót figyelembe kell venni. ezt a funkciót, konstansnak vesszük.
- A parciális deriváltokkal végzett munka során ugyanazokat a standard formulákat használjuk, mint a közönséges deriváltoknál: az összeget, a különbséget, a szorzat és a hányados deriváltját, és természetesen egy komplex függvény deriváltját.
Természetesen ennek az oktatóvideónak a megtekintése önmagában nem elegendő a téma teljes megértéséhez, ezért a webhelyemen jelenleg ehhez a videóhoz van egy sor feladatsor, amelyet a mai témának szenteltek - menjen, töltse le, oldja meg ezeket a feladatokat, és ellenőrizze a választ. És ezt követően nincs probléma a részleges származékokkal sem a vizsgákon, sem a későbbiekben önálló munkavégzés nem fogsz. Természetesen nem ez az utolsó lecke felsőbb matematika, ezért látogassa meg weboldalunkat, adja hozzá a VKontakte-ot, iratkozzon fel a YouTube-ra, lájkoljon, és maradjon velünk!
És nem kell semmit keresnie: külön cikkünkben már mindent előkészítettünk, hogy Ön is meg tudja csinálni. Most beszéljünk a parciális deriváltokról.
Üdvözöljük távirati csatornánkon, ahol hasznos hírleveleket és aktuális hallgatói híreket talál.
Két vagy több változó funkciója
Mielőtt a parciális deriváltokról beszélnénk, érintenünk kell a több változóból álló függvény fogalmát, amely nélkül nincs értelme a parciális deriváltnak. Az iskolában egy változó függvényeivel szoktunk foglalkozni:
Korábban az ilyen függvények deriváltjait vettük figyelembe. Egy változó függvényének grafikonja egy síkon lévő egyenes: egyenes, parabola, hiperbola stb.
Mi van, ha hozzáadunk egy másik változót? Ilyen függvényt kapsz:
Ez két független változó függvénye xés y. Egy ilyen függvény grafikonja egy felület a háromdimenziós térben: egy gömb, egy hiperboloid, egy paraboloid vagy valamilyen más gömb alakú ló vákuumban. Parciális derivált függvények z x és y esetén a következőképpen írjuk:
Három vagy több változóból álló függvények is léteznek. Igaz, lehetetlen egy ilyen függvény grafikonját megrajzolni: ehhez legalább négydimenziós térre lenne szükség, amit nem lehet ábrázolni.
Elsőrendű parciális származék
Ne feledje a fő szabályt:
Az egyik változóra vonatkozó parciális derivált számításakor a második változót vesszük állandónak. Ellenkező esetben a származékos számítás szabályai nem változnak.
Vagyis a parciális derivált lényegében nem különbözik a szokásostól. Tehát tartsa a szemed előtt a derivatívák táblázatát elemi függvények valamint a közönséges derivatívák kiszámításának szabályai. Nézzünk egy példát, hogy teljesen világos legyen. Tegyük fel, hogy a következő függvény elsőrendű parciális deriváltjait szeretné kiszámítani:
Először vesszük az x-re vonatkozó parciális deriváltot, y-t közönséges számnak tekintve:
Most tekintjük az y-ra vonatkozó parciális deriváltot, x-et állandónak véve:
Amint látja, nincs ebben semmi bonyolult, és több siker összetett példák csak gyakorlás kérdése.
Másodrendű parciális derivált
Mi a másodrendű parciális derivált? Pont mint az első. A másodrendű részleges származékok megtalálásához csak az első rendű derivált származékát kell venni. Térjünk vissza a fenti példához, és számítsuk ki a másodrendű parciális deriváltokat.
Játék szerint:
A harmadik és magasabb rendű részleges származékok nem különböznek egymástól a számítási elvben. Rendszerezzük a szabályokat:
- Amikor egy független változóra vonatkozóan differenciálunk, a másodikat konstansnak vesszük.
- A másodrendű derivált az elsőrendű derivált származéka. A harmadik rend a másodrendű derivált származéka stb.
Egy függvény parciális deriváltjai és teljes differenciája
Gyakorlati feladatokban gyakori kérdés egy függvény teljes differenciájának megtalálása. Több változóból álló függvény esetén a teljes differencia a függvény kis teljes növekményének fő lineáris része az argumentumok növekményeihez képest.
A meghatározás nehézkesnek hangzik, de a betűkkel minden egyszerűbb. Több változóból álló függvény teljes elsőrendű differenciája így néz ki:
A parciális deriváltak kiszámításának ismeretében nem okoz gondot a teljes differencia kiszámítása.
A részleges származékok nem olyan haszontalan téma. Például a másodrendű parciális differenciálegyenleteket széles körben használják a valós matematikai leírására fizikai folyamatok.
Itt csak egy általános, felületes elképzelést adtunk az első és másodrendű részleges származékokról. Érdekel ez a téma, vagy konkrét kérdései vannak? Kérdezze meg őket kommentben, és forduljon a szakmai diákszolgálat szakembereihez, hogy szakképzett és gyors segítséget kaphasson tanulmányaihoz. Nálunk nem marad egyedül a problémájával!
Minden parciális derivált (over xés által y) két változó függvényének az egyik változó függvényének szokásos deriváltja a másik változó fix értékével:
(ahol y= állandó),
(ahol x= const).
Ezért a részleges származékok kiszámítása a következőből történik képletek és szabályok egy változó függvényei deriváltjainak számításához, miközben a másik változót állandónak (konstansnak) tekintjük.
Ha nincs szüksége a példák elemzésére és az ehhez szükséges elméleti minimumra, hanem csak megoldásra van szüksége a problémájára, akkor menjen a online részleges származékkalkulátor .
Ha nehéz arra koncentrálni, hogy a függvényben hol van a konstans, akkor a példa vázlatos megoldásában tetszőleges számot behelyettesíthet a változó helyett egy fix értékű változóval - így gyorsan kiszámolhatja a parciális deriváltot, mint a közönséges. egy változó függvényének deriváltja. Csak nem szabad elfelejteni a konstanst (fix értékű változót) a helyére visszaállítani a befejezéskor.
A parciális deriváltak fent leírt tulajdonsága a vizsgakérdésekben megtalálható parciális derivált definíciójából következik. Ezért az alábbi definíció megismeréséhez nyissa meg az elméleti hivatkozást.
Egy függvény folytonosságának fogalma z= f(x, y) egy pontban ehhez a fogalomhoz hasonlóan van definiálva egy változó függvényére.
Funkció z = f(x, y) folytonosnak nevezzük egy pontban, ha
A különbséget (2) a függvény teljes növekményének nevezzük z(ezt mindkét argumentum növelésével kapjuk meg).
Hagyja a függvényt z= f(x, y) és pont
Ha a funkció megváltozik z akkor fordul elő, ha csak az egyik argumentum változik, pl. x, a másik argumentum rögzített értékével y, akkor a függvény növekszik
a függvény részleges növekményének nevezzük f(x, y) tovább x.
Figyelembe véve a funkcióváltást z attól függően, hogy csak az egyik argumentum változott, valójában egy változó függvényére lépünk át.
Ha van véges határ
akkor a függvény parciális deriváltjának nevezzük f(x, y) érveléssel xés valamelyik szimbólum jelöli
(4)
A részleges növekményt hasonlóan határozzuk meg z tovább y:
és részleges származéka f(x, y) tovább y:
(6)
1. példa
Döntés. Megtaláljuk a parciális deriváltot az "x" változóra vonatkozóan:
(y rögzített);
Megtaláljuk a parciális deriváltot az "y" változóra vonatkozóan:
(x rögzített).
Amint látható, nem mindegy, hogy a változó milyen mértékben van rögzítve: ebben az esetben csak egy szám, amely egy tényező (mint a szokásos derivált esetén) azzal a változóval, amellyel a részlegeset megtaláljuk. derivált. Ha a rögzített változót nem szorozzuk meg azzal a változóval, amelyre vonatkozóan a parciális deriváltot találjuk, akkor ez a magányos állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékben, mint egy közönséges derivált esetében, eltűnik.
2. példa Adott egy függvény
Keressen részleges származékokat
(x) és (y) alapján, és számítsa ki értékeiket a pontban DE (1; 2).
Döntés. Egy fixen y az első tag deriváltja a hatványfüggvény deriváltjaként található ( egy változó derivált függvényeinek táblázata):
.
Egy fixen x az első tag deriváltja az exponenciális függvény deriváltja, a második pedig az állandó deriváltja:
Most kiszámítjuk ezeknek a parciális deriváltaknak az értékeit a ponton DE (1; 2):
A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .
3. példa Keresse meg a függvények részleges származékait
Döntés. Egy lépésben megtaláljuk
(y x, mintha a szinusz argumentuma 5 lenne x: ugyanígy a függvény jele előtt 5 jelenik meg);
(x fix, és ebben az esetben tényező a y).
A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .
A három vagy több változóból álló függvény parciális deriváltjait hasonlóan definiáljuk.
Ha minden értékkészlet ( x; y; ...; t) független változókat a halmazból D egynek felel meg bizonyos értéket u sokaktól E, azután u változók függvényének nevezzük x, y, ..., tés jelöljük u= f(x, y, ..., t).
Három vagy több változóból álló függvények esetén nincs geometriai értelmezés.
Több változóból álló függvény parciális deriváltjait is definiáljuk és kiszámítjuk azzal a feltételezéssel, hogy a független változók közül csak az egyik változik, míg a többi fix.
4. példa Keresse meg a függvények részleges származékait
.
Döntés. yés z rögzített:
xés z rögzített:
xés y rögzített:
Keressen saját részleges származékokat, majd tekintse meg a megoldásokat
5. példa
6. példa Keresse meg egy függvény parciális deriváltjait.
Egy több változóból álló függvény parciális deriváltja ugyanaz mechanikai jelentés, mint egy változó függvényének származéka, az a sebesség, amellyel a függvény változik az egyik argumentum változásához képest.
8. példaáramlási mennyiség P utasok vasutak függvényként fejezhető ki
ahol P- az utasok számát, N- a megfelelő pontok lakóinak száma, R– pontok közötti távolság.
Egy függvény parciális deriváltja P tovább R egyenlő
azt mutatja, hogy az utasforgalom csökkenése fordítottan arányos a pontok megfelelő pontjai közötti távolság négyzetével azonos számú lakos esetén.
Részleges derivált P tovább N egyenlő
ábra mutatja, hogy az utasforgalom növekedése az azonos távolságú települések lakosságának kétszeresével arányos.
A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .
Teljes differenciálmű
A parciális derivált és a megfelelő független változó növekményének szorzatát parciális differenciálnak nevezzük. A részleges eltéréseket a következőképpen jelöljük:
Az összes független változó részleges különbségeinek összege adja a teljes differenciát. Két független változó függvényében a teljes különbséget az egyenlőség fejezi ki
(7)
9. példa Keresse meg egy függvény teljes differenciáját
Döntés. A (7) képlet használatának eredménye:
Azt a függvényt, amelynek valamely tartomány minden pontjában teljes differenciál van, abban a tartományban differenciálhatónak nevezzük.
Keresse meg egyedül a teljes különbséget, majd nézze meg a megoldást
Csakúgy, mint egy változó függvényének esetében, egy függvény differenciálhatósága egy adott régióban magában foglalja a folytonosságát ebben a tartományban, de nem fordítva.
Bizonyítás nélkül fogalmazzunk elégséges állapot funkció differenciálhatósága.
Tétel. Ha a funkció z= f(x, y) folyamatos parciális deriváltjai vannak
adott régióban, akkor ebben a régióban differenciálható, és differenciáját a (7) képlet fejezi ki.
Megmutatható, hogy ahogy egy változó függvénye esetén a függvény differenciálja a függvény növekményének fő lineáris része, úgy több változós függvény esetén is a teljes differenciál a fő, a független változók növekményeihez képest lineáris, a függvény teljes növekményének része.
Két változó függvényére teljes növekmény függvénynek van formája
(8)
ahol α és β infinitezimálisak és esetén.
Magasabb rendű részleges származékok
Parciális deriváltak és függvények f(x, y) maguk is ugyanazon változók néhány függvénye, és viszont származékai lehetnek különböző változókhoz, amelyeket magasabb rendű parciális deriváltoknak nevezünk.
Folytatjuk kedvenc témánkat matematikai elemzés- származékok. Ebben a cikkben megtudjuk, hogyan kell megtalálni három változó függvényének parciális deriváltjai: első származékok és második származékok. Mit kell tudni és tudni kell elsajátítani az anyagot? Ne higgye el, de először is meg kell találnia egy változó függvényének "közönséges" deriváltjait - magas vagy legalább átlagos szinten. Ha nagyon szoros velük, akkor kezdje a leckével Hogyan lehet megtalálni a származékot? Másodszor, nagyon fontos, hogy elolvassa a cikket, és megértse és megoldja, ha nem az összes példát, akkor a legtöbb példát. Ha ez már megtörtént, akkor járjatok velem magabiztos járással, érdekes lesz, még örömet is szerez!
A megtalálás módszerei és elvei három változó függvényének parciális deriváltjai valójában nagyon hasonlóak két változó parciális derivált függvényeihez. Emlékeztetlek, két változó függvénye formátumú, ahol az "x" és az "y" független változók. Geometriailag két változó függvénye egy bizonyos felület a háromdimenziós terünkben.
A három változó függvénye alakja , míg a változók ún függetlenváltozók vagy érvek, a változót nevezzük függő változó vagy funkció. Például: - három változó függvénye
És most egy kicsit a sci-fi filmekről és az idegenekről. Gyakran hallani a 4D-ről, 5D-ről, 10D-ről stb. terek. Hülyeség vagy nem?
Végül is a három változó függvénye magában foglalja azt a tényt, hogy minden egy négydimenziós térben történik (valójában négy változó van). A három változóból álló függvény grafikonja az ún hiperfelület. Elképzelhetetlen, hiszen háromdimenziós térben élünk (hossz/szélesség/magasság). Hogy ne unatkozzon velem, felajánlok egy kvízt. Felteszek néhány kérdést, és aki szeretne, megpróbálhat válaszolni rájuk:
- Van a világon negyedik, ötödik stb.? mérések a filiszteus térfelfogás értelmében (hossz/szélesség/magasság)?
- Lehet-e építeni négydimenziós, ötdimenziós stb. tér a szó tág értelmében? Vagyis példát mondani egy ilyen térre az életünkben.
Lehetséges a múltba utazni?
Lehetséges a jövőbe utazni?
- Léteznek idegenek?
Bármely kérdésre négy válasz közül választhat:
Igen / Nem (a tudomány ezt tiltja) / A tudomány nem tiltja / Nem tudom
Aki minden kérdésre helyesen válaszol, az nagy valószínűséggel rendelkezik valamivel ;-)
A kérdésekre az óra során fokozatosan adok választ, ne hagyd ki a példákat!
Valójában repültek. És most a jó hír: három változós függvényre érvényesek a differenciálás szabályai és a derivált táblázat. Ezért kell jól kezelni a "hétköznapi" dolgokat. függvények származékai egy változó. Nagyon kevés különbség van!
1. példa
Döntés: Könnyű kitalálni, hogy három változóból álló függvényre létezik három elsőrendű részleges származékai, amelyeket a következőképpen jelölünk:
Vagy - "x" részleges származéka;
vagy - részleges származéka az "y"-re vonatkozóan;
vagy - részleges származéka a "z" vonatkozásában.
A vonalvezetésű jelölés inkább használatos, de a gyűjtemények, kézikönyvek összeállítói a feladatok körülményei között nagyon szeretik a nehézkes jelöléseket - szóval ne tévedj el! Talán nem mindenki tudja, hogyan kell helyesen felolvasni ezeket a "szörnyű törteket". Példa: a következőképpen kell értelmezni: „de u po de x”.
Kezdjük az x-származékkal: . Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot , majd a változókat és konstansnak (konstans számnak) tekintjük.És bármely állandó származéka, ó, kegyelem, egyenlő nullával:
Azonnal figyeljen az alsó indexre - senki sem tiltja, hogy megjelölje, hogy állandók. Még kényelmesebb, kezdőknek ajánlom, hogy csak ilyen lemezt használjanak, kisebb az összetévesztés veszélye.
(1) A derivált linearitásának tulajdonságait használjuk, különösen a derivált előjeléből kivesszük az összes állandót. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a második tagban a konstanst nem kell kivenni: mivel az „y” konstans, akkor az is konstans. A kifejezésben a „szokásos” 8 állandó és a „zet” állandó kikerül a derivált előjeléből.
(2) Megtaláljuk a legegyszerűbb deriváltokat, nem felejtve el, hogy állandók. Ezután fésülje át a választ.
Részleges derivált . Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot "y"-hez képest, akkor a változókat és konstansnak tekinthetők:
(1) A linearitás tulajdonságait használjuk. És ismét megjegyezzük, hogy a kifejezések állandók, ami azt jelenti, hogy semmit sem kell kivenni a származék előjeléből.
(2) Találunk deriváltokat, nem feledkezve meg arról, hogy állandók. Egyszerűsítsük a választ.
És végül a parciális derivált. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot "z"-hez képest, akkor a változókat és konstansnak tekinthetők:
Általános szabály nyilvánvaló és szerény: Amikor megtaláljuk a parciális deriváltotbármilyen független változó tehátkét másik a független változókat konstansnak tekintjük.
E feladatok megtervezésekor rendkívül óvatosnak kell lenni, különösen nem veszítheti el az előfizetéseket(amelyek jelzik, hogy melyik változón történik a megkülönböztetés). Az index elvesztése NAGY HIBÁS lesz. Hmmm…. vicces, ha egy ilyen megfélemlítés után nekem is hiányozni fognak valahol)
2. példa
Keresse meg egy három változóból álló függvény első rendű parciális deriváltjait
Ez egy „csináld magad” példa. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.
A két vizsgált példa meglehetősen egyszerű, és több hasonló probléma megoldása után még egy teáskanna is alkalmazkodik ahhoz, hogy szóban lecsapjon rájuk.
A kirakáshoz térjünk vissza a kvíz első kérdéséhez: Van a világon negyedik, ötödik stb.? mérések a filiszteus térfelfogás értelmében (hossz/szélesség/magasság)?
Helyes válasz: A tudomány nem tiltja.. Minden alapvető matematikai axiomatika, tétel, matematikai berendezés remek és következetes bármilyen méretű térben dolgozni. Lehetséges, hogy valahol az Univerzumban vannak olyan hiperfelületek, amelyek nem tartoznak az elménkhez, például egy négydimenziós hiperfelület, amelyet három változó függvénye ad meg. Vagy esetleg hiperfelületek vannak mellettünk, sőt mi is igazunk van bennük, csak a látásunk, más érzékszerveink, tudatunk csak három dimenziót képes felfogni és megérteni.
Térjünk vissza a példákhoz. Igen, ha valakit erősen megterheltek egy kvíz, jobb, ha elolvassa a következő kérdésekre adott válaszokat, miután megtanulta, hogyan találja meg három változó függvényének parciális deriváltjait, különben az egész agyat kiveszem neked a a cikk menete =)
A legegyszerűbb 1,2 példák mellett a gyakorlatban vannak olyan feladatok, amelyeket kis rejtvénynek nevezhetünk. Az ilyen példák bosszúságomra kikerültek a szemem elől, amikor megalkottam a leckét. Két változó függvényének parciális deriváltjai. Az elveszett idő pótlása:
3. példa
Döntés:Úgy tűnik, hogy „minden egyszerű”, de az első benyomás megtévesztő. A részleges származékok megtalálásakor sokan találgatnak a kávézaccra, és hibáznak.
Elemezzük a példát következetesen, világosan és világosan.
Kezdjük az x-re vonatkozó parciális deriválttal. Ha megtaláljuk a parciális deriváltot "x"-hez, akkor a változókat konstansnak tekintjük. Ezért a függvényünk indexe is konstans. Bábuknál a következő megoldást javaslom: a piszkozaton változtassa meg az állandót egy adott pozitív egész számra, például „öt”-re. Az eredmény egy változó függvénye:
vagy így is írhatod:
Ez erő függvény komplex bázissal (szinusz). Szerző:
Most emlékezz arra, hogy:
Tiszta másolaton természetesen a megoldást így kell elkészíteni:
Megtaláljuk a parciális deriváltot az "y"-re vonatkozóan, ezeket konstansoknak tekintjük. Ha "x" konstans, akkor az is konstans. A piszkozaton ugyanezt a trükköt tesszük meg: lecseréljük például 3-ra, "Z"-re - ugyanazzal az "öttel" cseréljük. Az eredmény ismét egy változó függvénye:
Ez demonstráció függvény komplex kitevőjével. Által komplex függvény differenciálási szabálya:
Most emlékezzünk a cserénkre:
És így:
Egy tiszta példányon természetesen a dizájnnak szépnek kell lennie:
És egy tüköreset a "z" (- állandók) részleges deriváltjával:
Némi tapasztalat birtokában az elemzés mentálisan is elvégezhető.
Elvégezzük a feladat második részét - elsőrendű differenciálművet készítünk. Nagyon egyszerű, a két változó függvényének analógiájára az elsőrendű differenciált a következő képlet írja fel:
Ebben az esetben:
És akkor üzlet. Megjegyzem, gyakorlati feladatokban egy három változós függvény I. rendű összdifferenciáját sokkal ritkábban szükséges összeállítani, mint két változós függvény esetében.
Egy szórakoztató példa a barkácsoló megoldásra:
4. példa
Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait, és állítson össze egy elsőrendű teljes differenciált
Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Ha nehézségei vannak, használja a figyelembe vett "csanyikov" algoritmust, ez garantáltan segít. És tovább hasznos tanácsokat – ne siess. Az ilyen példákat még én sem oldom meg gyorsan.
Kitérünk és elemezzük a második kérdést: Lehet-e építeni négydimenziós, ötdimenziós stb. tér a szó tág értelmében? Vagyis példát mondani egy ilyen térre az életünkben.
Helyes válasz: Igen. És nagyon könnyű. Például hozzáadunk egy negyedik dimenziót a hosszúság/szélesség/magasság - időhöz. A népszerű négydimenziós téridő és a jól ismert relativitáselmélet, amelyet Einstein gondosan ellopott Lobacsevszkijtől, Poincarétől, Lorentztől és Minkowskitól. Azt sem mindenki tudja. Miért kapta Einstein a Nobel-díjat? Szörnyű botrány tört ki a tudományos világban, és a Nobel-bizottság a következőképpen fogalmazta meg a plagizáló érdemét: "A fizika fejlődéséhez való általános hozzájárulásért." Szóval ennyi. Az Einstein C-kategóriás márkája pusztán promóció és PR.
Könnyen hozzáadható egy ötödik dimenzió a vizsgált négydimenziós térhez, például: Légköri nyomás. És így tovább, így tovább, így tovább, ahány dimenziót beállítja a modelljében - annyi lesz. A szó tág értelmében többdimenziós térben élünk.
Nézzünk még néhány tipikus feladatot:
5. példa
Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat egy pontban
Döntés: Az ebben a megfogalmazásban szereplő feladat gyakran találkozik a gyakorlatban, és a következő két tevékenységet foglalja magában:
– meg kell találnia az elsőrendű részleges származékokat;
– ponton kell kiszámítani az elsőrendű részleges deriváltok értékeit.
Mi döntünk:
(1) Összetett függvényünk van, és az első lépés az arctangens deriváltja. Ennek során tulajdonképpen nyugodtan használjuk a táblázatos formulát az arctangens deriválására. Által komplex függvény differenciálási szabálya az eredményt meg kell szorozni a deriválttal belső funkciója(beruházások): .
(2) A linearitás tulajdonságait használjuk.
(3) És vesszük a maradék deriváltokat, nem felejtve el, hogy állandók.
A hozzárendelési feltétel szerint meg kell találni a talált parciális derivált értékét a pontban. Helyettesítsd be a pont koordinátáit a talált deriváltban:
Ennek a feladatnak az az előnye, hogy más parciális származékok nagyon hasonló módon találhatók:
Mint látható, a megoldássablon szinte ugyanaz.
Számítsuk ki a talált parciális derivált értékét a pontban:
És végül a derivált a "z"-hez képest:
Kész. A megoldást más módon is meg lehet fogalmazni: először keressük meg mindhárom parciális deriváltot, majd számítsuk ki az értéküket a pontban. De számomra úgy tűnik, hogy a fenti módszer kényelmesebb - csak megtalálták a részleges származékot, és azonnal, a pénztárgép elhagyása nélkül kiszámították annak értékét egy ponton.
Érdekes megjegyezni, hogy geometriailag egy pont nagyon is valóságos pontunk háromdimenziós tér. A függvény értékei, a deriváltak már a negyedik dimenziót jelentik, és senki sem tudja, hol helyezkedik el geometriailag. Ahogy mondják, senki nem mászkált az Univerzumban mérőszalaggal, nem ellenőrizte.
Amint a filozófiai téma ismét elszállt, gondoljuk át a harmadik kérdést: Lehet-e utazni a múltba?
Helyes válasz: Nem. A múltba utazás ellentmond a termodinamika második főtételének a fizikai folyamatok visszafordíthatatlanságáról (entrópia). Szóval kérlek, ne merülj medencébe víz nélkül, az eseményt csak a videóban lehet visszajátszani =) A népi bölcsesség okkal állt elő ezzel ellentétes világi törvénnyel: „Hétszer mérj, egyszer vágj”. Bár valójában szomorú dolog, az idő egyirányú és visszafordíthatatlan, holnap egyikünk sem fog fiatalabbnak látszani. És a különféle tudományos-fantasztikus filmek, mint a "Terminátor" tudományos szempontból teljes nonszensz. A filozófia szempontjából is abszurd – amikor a Következmény a múltba visszatérve elpusztíthatja saját Okát. .
Érdekesebb a származéka a "z"-hez képest, bár ez még mindig majdnem ugyanaz:
(1) Kivesszük a konstansokat a derivált előjeléből.
(2) Itt is két függvény szorzata, amelyek mindegyike attól függ az "élő" "z" változóból. Elvileg használhatja a hányados származékának képletét, de könnyebb a másik út - megkeresni a szorzat származékát.
(3) A derivált táblázatos derivált. A második tag egy komplex függvény már ismert deriváltját tartalmazza.
9. példa
Keresse meg egy három változóból álló függvény első rendű parciális deriváltjait
Ez egy „csináld magad” példa. Gondolja át, hogyan racionálisabb egy vagy másik parciális származékot találni. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Mielőtt folytatná a lecke utolsó példáit, és fontolja meg másodrendű parciális származékok három változó függvényei, ismét felvidítok mindenkit a negyedik kérdéssel:
Lehetséges a jövőbe utazni?
Helyes válasz: A tudomány nem tiltja.. Paradox módon nincs olyan matematikai, fizikai, kémiai vagy egyéb természettudományi törvény, amely tiltaná a jövőbe utazást! Hülyeségnek tűnik? De az életben szinte mindenkinek volt egy olyan előérzete (és nem támasztotta alá semmilyen logikus érv), hogy ez vagy az az esemény megtörténik. És megtörtént! Honnan származott az információ? A jövőből? Így aztán a jövőbe utazásról szóló fantasztikus filmek, és mellesleg mindenféle jósok, médiumok jóslatai nem nevezhetők ekkora hülyeségnek. A tudomány legalábbis ezt nem cáfolta. Minden lehetséges! Tehát iskolás koromban a CD-k és a filmekből készült lapos monitorok hihetetlen fantáziának tűntek számomra.
Az "Ivan Vasziljevics megváltoztatja a hivatását" jól ismert vígjáték félig fikció (legfeljebb). Egyetlen tudományos törvény sem tiltotta, hogy Rettegett Iván a jövőben legyen, de lehetetlen, hogy két paprika a múltban legyen, és egy királyi kötelességeket töltsön be.
Teljesen lehetetlen matematikai feladatokat vagy példákat megoldani a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A derivált a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi a derivált, mi a fizikai és geometriai jelentése, hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések egybe foglalhatók: hogyan lehet megérteni a származékot?
A származék geometriai és fizikai jelentése
Legyen függvény f(x) , bizonyos intervallumban megadva (a,b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Érvváltozás - értékeinek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. Származékos meghatározás:
Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban történő növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.
Egyébként így írható:
Mi értelme ilyen határt találni? De melyik:
egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.
fizikai jelentése derivált: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.
Valóban, az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség magánút. x=f(t) és az idő t . átlagsebesség egy ideig:
Hogy megtudja a mozgás sebességét egy időben t0 ki kell számolni a határértéket:
Első szabály: vegyük ki az állandót
A konstans kivehető a derivált előjeléből. Ráadásul meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során általában vegye figyelembe - ha le tudja egyszerűsíteni a kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .
Példa. Számítsuk ki a deriváltot:
Második szabály: a függvények összegének deriváltja
Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.
Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.
Keresse meg egy függvény deriváltját:
Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja
Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:
Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:
Döntés: 
Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak számításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a köztes argumentumhoz viszonyított deriváltjának a köztes argumentum független változóhoz viszonyított deriváltjával.
A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:
Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először figyelembe vesszük a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.
Negyedik szabály: Két függvény hányadosának deriváltja
Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:
Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek hangzik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.
Bármilyen ezzel és más témával kapcsolatos kérdéssel fordulhat a diákszolgálathoz. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb ellenőrzést és megoldani a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem foglalkozott derivált számítással.