1. Axiális tehetetlenségi nyomatékok egymásra merőleges tengelyekre x0y (egybeesik a háromszög oldalaival) (2.17. ábra).
A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték meghatározása x válasszon ki egy elemi területet egy végtelenül kicsi szélességű csík formájában du, párhuzamos tengely x, távolságban nál nél tőle. A webhely területe
. Csík hossza által) határozzuk meg a háromszögek alapokkal való hasonlóságából által)és b,
ahol 
. Akkor 
. Helyettesítve arány kifejezésében én x(2.21) és az integráció határainak meghatározása "0- h", kapunk
.
Hasonlóan meghatározott I y.
2. Centrifugális tehetetlenségi nyomaték a tengelyekre x0y (egybeesik a háromszög oldalaival)
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték a definíció szerint egyenlő
Ugyanazt az elemi platformot használjuk, mint korábban (lásd 2.17. ábra). Koordinátaként x elfogadjuk az elemi terület súlypontjának koordinátáját
.
Ezt a kifejezést, valamint a képletet helyettesítjük dA integrál alatt, és integrálja a 0-tól a tartományba h
Így a szakasz tehetetlenségi nyomatékainak képletei a formában derékszögű háromszög, a lábakkal egybeeső tengelyek tekintetében a formája van
Megjegyzendő, hogy a vizsgált szakasz esetében a háromszög száraival párhuzamos központi tengelyekre (CO) vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok fontosabbak.
3. Tehetetlenségi nyomatékok egymásra merőleges CO-khoz képest x c cy c (a háromszög oldalaival párhuzamosan)
Egy derékszögű háromszög tengelyekre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékának képletei x c cy c(lásd a 2.17. ábrát) könnyen beszerezhető a (2.24) kifejezésekkel, valamint a következő tétellel párhuzamos átvitel tengelyek, amelyek szerint:
tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok 
; 
;
centrifugális tehetetlenségi nyomaték 
.
Itt: a, e a szakasz súlypontjának koordinátái a koordinátarendszerben x0y
Ha ezeket a kifejezéseket, valamint a (2.24) összefüggéseket behelyettesítjük a fenti képletekbe, megkapjuk
(2.25)
Figyeljük meg, hogy a metszet tengelyekhez viszonyított tájolása befolyásolja a centrifugális tehetetlenségi nyomaték előjelét. A megfontolt tájékozódáshoz az derült ki<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат x´ nál nél(második és negyedik koordinátanegyed). Ez határozza meg a kapott centrifugális tehetetlenségi nyomaték negatív előjelét. Az alábbiakban a CO-hoz viszonyított derékszögű háromszög különböző tájolású sémák láthatók, amelyek párhuzamosak az oldalakkal, amelyeknél a jel van feltüntetve.
Szerkezetrészek szilárdságának ellenőrzésekor meglehetősen bonyolult alakú metszetekkel kell találkoznunk, amelyeknél lehetetlen olyan egyszerű módon kiszámítani a tehetetlenségi nyomatékot, mint ahogyan azt téglalapnál és körnél használtuk.
Ilyen szakasz lehet például a Bika (5. ábra). a) egy hajlítócső gyűrű alakú szakasza (repülőgép szerkezetek) (5. ábra, b), a tengely nyakának gyűrű alakú szakasza vagy még összetettebb szakaszai. Mindezek a szakaszok a legegyszerűbbekre oszthatók, például téglalapokra, háromszögekre, körökre stb. Kimutatható, hogy egy ilyen összetett alak tehetetlenségi nyomatéka azon részek tehetetlenségi nyomatékainak összege, amelyekre felosztjuk.
5. ábra. Bika típusú szakaszok - a) és gyűrű b)
Ismeretes, hogy bármely alak tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül nál nél— nál nél egyenlő:
ahol z— az elemi területek távolsága a tengelytől nál nél—nál nél.
A felvett területet négy részre osztjuk: , , és . Most a tehetetlenségi nyomaték kiszámításakor csoportosíthatja a tagokat az integrandusban úgy, hogy a kiválasztott négy terület mindegyikére külön-külön végezze el az összegzést, majd összeadja ezeket az összegeket. Az integrál értéke ettől nem fog változni.
Integrálunk négy integrálra lesz felosztva, amelyek mindegyike egy-egy területet fed le, és:
Ezen integrálok mindegyike a terület megfelelő részének a tengely körüli tehetetlenségi nyomatékát jelenti nál nél— nál nél; ezért
hol van a tengely körüli tehetetlenségi nyomaték nál nél — nál nél terület, - ugyanez a területre stb.
A kapott eredmény a következőképpen fogalmazható meg: egy összetett alak tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Így ki kell tudnunk számítani bármely alak tehetetlenségi nyomatékát bármely, a síkjában fekvő tengely körül.
Ennek a problémának a megoldása a jelen és az azt követő két interjú tartalma.
Tehetetlenségi nyomatékok párhuzamos tengelyekre.
A feladat - a legegyszerűbb képletek beszerzése bármely alak tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához bármely tengely körül - több lépésben fog megoldódni. Ha egy sor tengelyt veszünk egymással párhuzamosan, akkor kiderül, hogy könnyen kiszámítható egy alak tehetetlenségi nyomatéka ezen tengelyek bármelyikére, ismerve a tehetetlenségi nyomatékát egy tengelyre, amely átmegy az ábra súlypontján. párhuzamos a kiválasztott tengelyekkel.
1. ábra. Számítási modell párhuzamos tengelyek tehetetlenségi nyomatékainak meghatározásához.
A tömegközépponton áthaladó tengelyeket hívják központi tengelyek. Vegyünk (1. ábra) egy tetszőleges ábrát. Rajzolja meg a központi tengelyt OU, a tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot nevezzük. Rajzolj egy tengelyt az ábra síkjába! párhuzamos tengelyek nál nél távol tőle. Keressük meg az összefüggést és - a tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka között. Ehhez és kifejezéseket írunk. Osszuk fel az ábra területét területekre; az egyes ilyen platformok távolsága a tengelyektől nál nélés hívja és . Akkor
Az 1. ábrából a következőket kapjuk:
E három integrál közül az első a központi tengely körüli tehetetlenségi nyomaték OU. A második az azonos tengely körüli statikus nyomaték; egyenlő nullával, mivel a tengely nál néláthalad az ábra súlypontján. Végül a harmadik integrál egyenlő az ábra területével F. Ily módon
| (1) |
azaz a tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül megegyezik az adott tengely körüli tehetetlenségi nyomatékkal, amelyet párhuzamosan húzunk az adott tengelyre, plusz az ábra területének szorzata a tengely közötti távolság négyzetével. tengelyek.
Ez azt jelenti, hogy feladatunk mára csak a központi tehetetlenségi nyomatékok kiszámítására redukálódott; ha ismerjük őket, bármely más tengelyre ki tudjuk számítani a tehetetlenségi nyomatékot. Az (1) képletből az következik központi a tehetetlenségi nyomaték az legkevésbé a párhuzamos tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok között, és ehhez kapjuk:
A központi tengelyekkel párhuzamos tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékot is megtaláljuk, ha ismert (1. ábra). Mivel definíció szerint
ahol: , akkor ez következik
Mivel az utolsó két integrál a terület statikus momentumai a központi tengelyek körül OUés Oz aztán eltűnnek, és így:
| (2) |
A központi tengelyekkel párhuzamos, egymásra merőleges tengelyek rendszerére vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő ezekre a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékkal, plusz az ábra területének szorzata a súlypontjának az új tengelyekhez viszonyított koordinátáival.
A tehetetlenségi nyomatékok kapcsolata a tengelyek forgatásakor.
Annyi központi tengelyt rajzolhat, amennyit csak akar. A kérdés az, hogy ki lehet-e fejezni a tehetetlenségi nyomatékot bármely központi tengely körül a tehetetlenségi nyomatéktól függően egy vagy kettő körül bizonyos tengelyek. Ehhez nézzük meg, hogyan változnak a tehetetlenségi nyomatékok két egymásra merőleges tengely körül, ha egy szögben elforgatjuk őket.
Vegyünk egy tetszőleges figurát, és rajzoljuk át a súlypontját O két egymásra merőleges tengely OUés Oz(2. ábra).
2. ábra. Számítási modell elforgatott tengelyek tehetetlenségi nyomatékainak meghatározására.
Ismerjük meg ezekre a tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat , valamint a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot . Rajzoljuk meg a koordinátatengelyek második rendszerét, és az elsőhöz szögben dőlve; ennek a szögnek a pozitív irányát akkor veszik figyelembe, amikor a tengelyeket a pont körül forgatjuk Oóramutató járásával ellentétes irányban. Eredet O megment. Adjuk meg a második koordinátatengely-rendszerhez viszonyított nyomatékokat és az ismert tehetetlenségi nyomatékokon és .
Írjunk kifejezéseket ezeknek a tengelyeknek a tehetetlenségi nyomatékaira:
Hasonlóképpen:
A problémák megoldásához szükség lehet képletekre az egyik tengelyről a másikra való átmenethez a centrifugális tehetetlenségi nyomatékhoz. A tengelyek forgatásakor (2. ábra) a következőket kapjuk:
ahol és a (14.10) képletekkel számítják ki; akkor
Az átalakítások után a következőket kapjuk:
| (7) |
Tehát ahhoz, hogy bármely központi tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot kiszámíthassuk, ismernünk kell a tehetetlenségi nyomatékokat és bármely két, egymásra merőleges központi tengely rendszerét. OUés Oz, a centrifugális tehetetlenségi nyomaték ugyanazon tengelyek körül és a tengely dőlésszöge a tengelyhez képest nál nél.
Az értékek kiszámításához\u003e ki kell választani a tengelyeket nál nélés zés osszuk fel az ábra területét ilyen összetevőkre, hogy elvégezhessük ezt a számítást, csak az egyes tengelyek központi tengelyeitől való átmenet képleteit használva. alkotórészei velük párhuzamos tengelyekre. Az alábbiakban egy példával mutatjuk be, hogyan kell ezt a gyakorlatban megtenni. Vegye figyelembe, hogy ebben a számításban az összetett ábrákat olyan elemi részekre kell felosztani, amelyekhez, ha lehetséges, ismertek a kölcsönösen merőleges tengelyek rendszeréhez viszonyított központi tehetetlenségi nyomatékok értékei.
Megjegyzendő, hogy a levezetés menete és a kapott eredmények nem változnának, ha a koordináták origóját nem a szakasz súlypontjában, hanem bármely más pontban vesszük fel. O. Így a (6) és (7) képlet az egymásra merőleges tengelyek egyik rendszeréből a másikba való átmenet képlete, valamilyen szögben elforgatva, függetlenül attól, hogy ezek központi tengelyek-e vagy sem.
A (6) képletekből még egy összefüggést kaphatunk a tehetetlenségi nyomatékok között a tengelyek elforgatásakor. Összeadva a kifejezéseket és megkapjuk
azaz az egymásra merőleges tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok összege nál nélés z nem változik, ha elforgatják őket. Ha behelyettesítjük az utolsó kifejezést és értékeiket, a következőket kapjuk:
hol van a peronok távolsága dF pontból O. A mennyiség, mint már ismert, a pont körüli szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka O.
Így a szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka bármely ponthoz képest megegyezik az ezen a ponton áthaladó, egymásra merőleges tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összegével. Ezért ez az összeg állandó marad a tengelyek elforgatásakor. Ez a függés (14.16) felhasználható a tehetetlenségi nyomatékok számításának egyszerűsítésére.
Tehát egy körre:
Mivel a kör szimmetriája alapján
amelyet fentebb integrálással kaptunk.
Hasonlóképpen egy vékony falú gyűrű alakú szakaszhoz a következőket kaphatja:
Fő tehetetlenségi tengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok.
Mint már ismeretes, egy adott ábra , és centrális tehetetlenségi nyomatékainak ismeretében bármely más tengelyhez képest ki lehet számítani a tehetetlenségi nyomatékot.
Ebben az esetben a fő tengelyrendszerre olyan rendszert vehetünk, amelyben a képletek jelentősen leegyszerűsödnek. Ugyanis találhatunk olyan koordinátatengely-rendszert, amelyre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával. Valójában a tehetetlenségi nyomatékok és mindig pozitívak, mint a pozitív kifejezések összegei, míg a centrifugális nyomaték
lehet pozitív és negatív is, mivel a feltételek zydF lehet eltérő jel jelektől függően zés nál nél egyik vagy másik webhely számára. Tehát lehet nulla.
Azokat a tengelyeket, amelyek körül a centrifugális tehetetlenségi nyomaték eltűnik, nevezzük főtengelyek tehetetlenség. Ha egy ilyen rendszer elejét az ábra súlypontjába helyezzük, akkor ezek lesznek fő központi tengelyek. Jelöljük ezeket a tengelyeket és ; nekik
Nézzük meg, hogy a főtengelyek milyen szögben hajlanak az y és z központi tengelyhez (198. ábra).
1. ábra. Számítási modell a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározásához.
NÁL NÉL ismert kifejezés tengelyekről mozogni yz a tengelyekhez a centrifugális tehetetlenségi nyomatékhoz adunk egy értéket a szögnek ; akkor a és , tengelyek egybeesnek a fő tengelyekkel, és a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz nullával:
| (1) |
Ezt az egyenletet két érték teljesíti, amelyek 180°-kal különböznek egymástól, vagy két 90°-kal eltérő érték. Tehát ez az egyenlet megadja a pozíciót két tengely derékszöget képezve közöttük. Ezek lesznek a fő központi tengelyek és , amelyekhez .
Ezzel a képlettel használhatjuk az ismert , és képleteket kaphatunk a fő tehetetlenségi nyomatékokhoz és. Ehhez ismét a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok kifejezéseit használjuk általános álláspont. Értékeket és ha értékeket határoznak meg helyettesítés helyett
| (2) |
A kapott összefüggések felhasználhatók feladatok megoldásában. Az egyik fő tehetetlenségi nyomaték , a másik pedig .
A (2) képletek az értéktől mentes formává alakíthatók. Értékeiket az első (2) képletben kifejezve és behelyettesítve, az (1) képletből történő helyettesítés során a következőket kapjuk:
Az (1) képletből itt lecserélve a tört értékét
kapunk
| (3) |
Ugyanezt a kifejezést kaphatjuk a (3) második képlet hasonló transzformációjával.
A központi tengelyek fő rendszeréhez, ahonnan bármelyik másikhoz lehet menni, nem veheti át OUés Oz, és főtengelyek és ; akkor a centrifugális tehetetlenségi nyomaték () nem fog megjelenni a képletekben. Jelöljük azt a szöget, amelyet a , (2. ábra) tengely a főtengellyel alkot, a -n keresztül. A , és a tengelyek és a tengelyekből áthaladva a korábban talált , és kifejezésekben cserélje ki a szöget a , és a , és a - keresztül, és . Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
Ezek a képletek formájukban teljesen hasonlóak egy kétirányú feszültségnek kitett elemben két egymásra merőleges területen fellépő normál- és nyírófeszültségek képleteihez. Csak olyan képletet fogunk jelezni, amely lehetővé teszi, hogy két szögérték közül válasszuk ki azt, amelyik megfelel az első főtengely eltérésének (max. J) a tengely kezdeti helyzetéből nál nél:
Most végre megfogalmazhatjuk, hogy mit kell tenni ahhoz, hogy a legegyszerűbben ki tudjuk számítani egy alak tehetetlenségi nyomatékát bármely tengely körül. A tengelyeket az ábra súlypontján keresztül kell rajzolni OUés Ozígy az ábrát a legegyszerűbb részekre bontva könnyen ki tudjuk számítani a súlyponttól távolodó (2. ábra) nyomatékokat:
Sok esetben azonnal meg lehet rajzolni az ábra fő tengelyeit; ha az ábrának van szimmetriatengelye, akkor ez lesz az egyik fő tengely. Valójában a képlet levezetésekor már foglalkoztunk az integrállal, amely a tengelyek körüli szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka. nál nélés z; bebizonyosodott, hogy ha a tengely Oz a szimmetriatengely, ez az integrál eltűnik.
Ezért ebben az esetben a tengelyek OUés Oz vannak fő- a szakasz központi tehetetlenségi tengelyei. Ily módon szimmetriatengely- mindig a fő központi tengely; második itthon a központi tengely a szimmetriatengelyre merőlegesen halad át a súlyponton.
Példa. Keresse meg a téglalap (3. ábra) tehetetlenségi nyomatékait a tengelyekhez képest, és egyenlő:
A és a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek:
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték az
Egy szakasz tengelyirányú (vagy egyenlítői) tehetetlenségi nyomatéka valamely tengelyhez képest az elemi területek szorzatának és ettől a tengelytől való távolságuk négyzetének összege, a teljes F területére felvetve, azaz.
sarki pillanat Egy szakasz tehetetlensége egy bizonyos ponthoz (pólushoz) képest az elemi területek szorzatának és az ettől a ponttól való távolságuk négyzetének összege, a teljes F területére felvetve, azaz.
Egy szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka két, egymásra merőleges tengelyhez képest az elemi területek és az ezektől a tengelyektől való távolságuk szorzatának összege a teljes F területén, azaz.
A tehetetlenségi nyomatékokat stb.
Az axiális és poláris tehetetlenségi nyomatékok mindig pozitívak, mivel az integrálok előjele alatti kifejezéseik tartalmazzák a területek értékeit (mindig pozitívak), valamint ezeknek a területeknek az adott tengelytől vagy pólustól való távolságának négyzetét.
ábrán. A 9.5. ábrán a egy F területű metszetet mutat, valamint az y és z tengelyeket. Ennek a szakasznak az y tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai:
Ezeknek a tehetetlenségi nyomatékoknak az összege
és innentől
Így a két egymásra merőleges tengely körüli szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak összege egyenlő ennek a szakasznak a tengelyek metszéspontja körüli poláris tehetetlenségi nyomatékával.
A centrifugális tehetetlenségi nyomatékok lehetnek pozitívak, negatívak vagy nullák. Így például az ábrán látható szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka. 9.5, a, az y tengelyekhez képest és pozitív, mivel ennek a szakasznak az első negyedben található fő részének az értékek és ezért pozitívak.
Ha megváltoztatja az y tengely pozitív irányát vagy fordítva (9.5. ábra, b), vagy mindkét tengelyt 90°-kal elforgatja (9.5. ábra, c), akkor a centrifugális tehetetlenségi nyomaték negatív lesz (abszolút értéke) érték nem változik), mivel a szakasz fő része egy olyan negyedben lesz, amelynek pontjai pozitív y-koordinátákkal és negatív z-koordinátákkal rendelkeznek. Ha mindkét tengely pozitív irányát megfordítja, akkor ez nem fogja megváltoztatni sem a centrifugális tehetetlenségi nyomaték előjelét, sem nagyságát.
Vegyünk egy ábrát, amely szimmetrikus egy vagy több tengelyre (10.5. ábra). Rajzoljuk meg a tengelyeket úgy, hogy legalább az egyik (jelen esetben az y tengely) egybeessen az ábra szimmetriatengelyével. Ebben az esetben minden, a tengelytől jobbra elhelyezkedő hely ugyanazon helynek felel meg, amely szimmetrikusan helyezkedik el az elsővel, de az y tengelytől balra. Az ilyen szimmetrikusan elhelyezkedő platformok minden párjának centrifugális tehetetlenségi nyomatéka egyenlő:
Következésképpen,
Így a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka azon tengelyek körül, amelyek közül az egyik vagy mindkettő egybeesik a szimmetriatengelyével, egyenlő nullával.
Egy összetett szakasz egy bizonyos tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka megegyezik az alkotórészei ugyanazon tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak összegével.
Hasonlóképpen, egy komplex szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka bármely két egymásra merőleges tengely körül megegyezik az alkotórészei ugyanazon tengelyek körüli centrifugális tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Ezenkívül egy komplex szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos ponthoz viszonyítva egyenlő az alkotórészeinek ugyanahhoz a ponthoz viszonyított poláris tehetetlenségi nyomatékának összegével.
Szem előtt kell tartani, hogy a különböző tengelyekre és pontokra számított tehetetlenségi nyomatékok nem összegezhetők.
test m négyzettávolságonként d tengelyek között:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)ahol m- teljes testtömeg.
Például egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó tengely körül:
J \u003d J c + m d 2 \u003d 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\jobb)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai
| Test | Leírás | Tengelyhelyzet a | Tehetetlenségi nyomaték J a |
|---|---|---|---|
| Anyag tömegpontja m | Távolról r pontból, rögzített | ||
| Üreges vékonyfalú henger vagy sugarú gyűrű rés a tömegek m | Henger tengelye | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Tömör henger vagy tárcsa sugara rés a tömegek m | Henger tengelye | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1) (2))mr^(2)) | |
| Üreges vastag falú tömeghenger m külső sugárral r 2 és belső sugár r 1 | Henger tengelye | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Tömör hengerhossz l, sugár rés a tömegek m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Üreges vékonyfalú henger (gyűrű) hossza l, sugár rés a tömegek m | A tengely merőleges a hengerre, és áthalad a tömegközéppontján | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Egyenes vékony rúdhossz lés a tömegek m | A tengely merőleges a rúdra, és átmegy a tömegközéppontján | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Egyenes vékony rúdhossz lés a tömegek m | A tengely merőleges a rúdra, és áthalad a végén | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Vékonyfalú sugarú gömb rés a tömegek m | A tengely a gömb közepén halad át | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| labda sugara rés a tömegek m | A tengely áthalad a labda közepén | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Kúp sugara rés a tömegek m | kúptengely | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Egyenlőszárú háromszög magassággal h, alap aés súlya m | A tengely merőleges a háromszög síkjára, és átmegy a csúcson | 1 24 m (a 2 + 12 óra 2) (\displaystyle (\frac (1) (24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Derékszögű háromszög oldallal aés súlya m | A tengely merőleges a háromszög síkjára és átmegy a tömegközépponton | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (12))ma^(2)) | |
| Négyzet oldallal aés súlya m | A tengely merőleges a négyzet síkjára és átmegy a tömegközépponton | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (6))ma^(2)) | |
| Téglalap oldalakkal aés bés súlya m | A tengely merőleges a téglalap síkjára és átmegy a tömegközépponton | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1) (12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Szabályos n-szög sugarú rés súlya m | A tengely merőleges a síkra és átmegy a tömegközépponton | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Torus (üreges) vezetőkör sugarával R, a generáló kör sugara rés súlya m | A tengely merőleges a tórusz vezetőkörének síkjára, és átmegy a tömegközépponton | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\jobbra)) |
Képletek származtatása
Vékonyfalú henger (gyűrű, karika)
Képlet levezetése
Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Osszuk fel a vékonyfalú hengert tömeges elemekre dmés a tehetetlenségi pillanatok DJ i. Akkor
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (egy) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Mivel a vékony falú henger minden eleme azonos távolságra van a forgástengelytől, az (1) képletet a következő alakra alakítjuk
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)Vastag falú henger (gyűrű, karika)
Képlet levezetése
Legyen egy homogén külső sugarú gyűrű R, belső sugár R 1, vastag hés sűrűsége ρ. Vastagságú vékony karikákra törjük dr. Vékony sugarú gyűrű tömege és tehetetlenségi nyomatéka r lesz
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)A vastag gyűrű tehetetlenségi nyomatékát integrálnak találjuk
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\jobb)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\jobbra)\balra(R^(2)+R_(1)^(2)\jobbra).Mivel a gyűrű térfogata és tömege egyenlő
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\jobbra)h,)megkapjuk a gyűrű tehetetlenségi nyomatékának végső képletét
J = 1,2 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\jobb.)Homogén tárcsa (tömör henger)
Képlet levezetése
Ha a hengert (korongot) nulla belső sugarú gyűrűnek tekintjük ( R 1 = 0 ), megkapjuk a henger (tárcsa) tehetetlenségi nyomatékának képletét:
J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)tömör kúp
Képlet levezetése
A kúpot vékony vastagságú korongokra osztjuk dh merőleges a kúp tengelyére. Az ilyen lemez sugara az
r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)ahol R a kúp alapjának sugara, H a kúp magassága, h a kúp teteje és a korong közötti távolság. Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Integrációt kapunk
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 óra 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \jobbra)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\jobbra)^(4)\balra.(\frac (h^(5))(5))\jobbra|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\jobb)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(igazított)))Masszív egységes labda
Képlet levezetése
Osszuk a labdát vékony korongokra dh, merőleges a forgástengelyre. Egy ilyen korong sugara magasságban helyezkedik el h a gömb középpontjából a képlet alapján találjuk meg
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h. (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\jobbra)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\jobbra)dh.)A golyó tehetetlenségi nyomatékát integrálással találjuk meg:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 óra 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\jobbra)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\jobbra)\jobbra|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\jobb) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \jobbra) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(igazított)))vékony falú gömb
Képlet levezetése
A levezetéshez egy homogén sugarú golyó tehetetlenségi nyomatékának képletét használjuk R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5. (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Számítsuk ki, hogy mennyit fog változni a golyó tehetetlenségi nyomatéka, ha ρ állandó sűrűség mellett a sugara végtelenül nő kis mennyiségű dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\jobbra)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(igazított)))Vékony rúd (a tengelye átmegy a közepén)
Képlet levezetése
Osszuk fel a rudat kis hosszúságú darabokra dr. Az ilyen töredék tömege és tehetetlenségi nyomatéka az
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrációt kapunk
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\bal.(\frac (r^(3))(3))\jobb|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)Vékony rúd (a tengely átmegy a végén)
Képlet levezetése
Amikor a forgástengelyt a rúd közepétől a vége felé mozgatja, a rúd súlypontja a tengelyhez képest egy távolságot elmozdul ⁄2. A Steiner-tétel szerint az új tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz
J \u003d J 0 + m r 2 \u003d J 0 + m (l 2) 2 \u003d 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Bolygók és műholdak dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékai
A bolygók és műholdaik belső szerkezetének vizsgálata szempontjából nagy jelentőséggel bírnak dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékaik. Mérettelen pillanat sugarú test tehetetlensége rés a tömegek m egyenlő a forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatékának a tehetetlenségi nyomatékhoz viszonyított arányával anyagi pont tekintetében azonos tömegű rögzített tengely távolságban található forgás r(egyenlő úr 2). Ez az érték a tömeg mélységbeli eloszlását tükrözi. A bolygókon és műholdakon történő mérésének egyik módszere az adott bolygó vagy műhold körül repülő AMS által továbbított rádiójel Doppler-eltolódásának meghatározása. Egy vékony falú gömb esetében a dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomaték 2/3 (~0,67), egy homogén golyó esetében - 0,4, és általában minél kisebb, annál nagyobb a test tömege a középpontjában. Például a Hold dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka közel van 0,4-hez (0,391-nek felel meg), ezért feltételezzük, hogy viszonylag homogén, sűrűsége alig változik a mélységgel. A Föld dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka kisebb, mint egy homogén golyóé (0,335), ami egy érv a benne lévő sűrű mag létezése mellett.
centrifugális tehetetlenségi nyomaték
Egy test centrifugális tehetetlenségi nyomatékai a derékszögű derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez képest a következő mennyiségek:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _(m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV)ahol x , yés z- a test egy kis elemének koordinátái a térfogattal dV, sűrűség ρ és tömeg dm .
Az OX tengelyt ún a test fő tehetetlenségi tengelye ha a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok Jxyés Jxz egyidejűleg nullák. A test minden pontján három fő tehetetlenségi tengely húzható át. Ezek a tengelyek egymásra merőlegesek. A test tehetetlenségi pillanatai viszonylag három fő tetszőleges pontban húzott tehetetlenségi tengelyek O testeket hívnak fő tehetetlenségi nyomatékok adott test.
A test tömegközéppontján áthaladó fő tehetetlenségi tengelyeket ún a test fő központi tehetetlenségi tengelyei, és ezek a tengelyek tehetetlenségi nyomatékai annak fő- központi pillanatok tehetetlenség. Egy homogén test szimmetriatengelye mindig az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.
Geometriai tehetetlenségi nyomatékok
A térfogat geometriai tehetetlenségi nyomatéka
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)ahol, mint korábban r- távolság az elemtől dV tengelyhez a .
A terület geometriai tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest - a test geometriai jellemzői, a képlettel kifejezve:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)ahol az integráció a felületen keresztül történik S, a dS ennek a felületnek egy eleme.
Dimenzió J Sa- hossza a negyedik hatványig ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))), az SI mértékegysége 4. Az építési számításokban, a szakirodalomban és a hengerelt fém választékban gyakran 4 cm-ben tüntetik fel.
Keresztül geometriai pillanat a terület tehetetlenségét a szakasz modulusával fejezzük ki:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Itt rmax- a felület és a tengely közötti maximális távolság.
| Egyes alakzatok területének geometriai tehetetlenségi nyomatékai | |
|---|---|
| Téglalap magasság h (\displaystyle h)és szélessége b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Téglalap alakú dobozrész magassága és szélessége a külső kontúrok mentén H (\displaystyle H)és B (\megjelenítési stílus B)és belső h (\displaystyle h)és b (\displaystyle b) illetőleg | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Kör átmérője d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Tehetetlenségi nyomaték egy síkról
tehetetlenségi nyomaték szilárd test egy bizonyos síkhoz viszonyítva skaláris értéket nevezünk, amely egyenlő a test egyes pontjainak tömege és az ettől a ponttól a vizsgált síktól való távolság négyzetének szorzatának összegével.
Ha egy tetszőleges ponton keresztül O (\displaystyle O) tölt koordináta tengelyek x , y , z (\displaystyle x,y,z), akkor a tehetetlenségi nyomatékok ahhoz képest koordinátasíkok x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)és zO x (\displaystyle zOx) képletekkel fejezzük ki:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Szilárd test esetén az összegzést az integráció váltja fel.
Központi tehetetlenségi nyomaték
Központi tehetetlenségi nyomaték (tehetetlenségi nyomaték az O pontra, tehetetlenségi nyomaték a pólusra, poláris tehetetlenségi nyomaték) J O (\displaystyle J_(O)) a következő kifejezés által meghatározott érték:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _(m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)A központi tehetetlenségi nyomaték kifejezhető a fő tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokon, valamint a síkokra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokon keresztül:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \jobb),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tehetetlenségi tenzor és tehetetlenségi ellipszoid
A test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengely körül, amely átmegy a tömegközépponton, és amelynek iránya: egységvektor s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s)) )\right\vert=1), másodfokú (bilineáris) alakként ábrázolható:
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad ) (1)hol van a tehetetlenségi tenzor. A tehetetlenségi tenzor mátrixa szimmetrikus, méretei vannak 3 × 3 (\displaystyle 3\x 3)és a centrifugális nyomatékok összetevőiből áll:
A megfelelő koordinátarendszer kiválasztásával a tehetetlenségi tenzor mátrixa átlós alakra redukálható. Ehhez meg kell oldanunk a tenzormátrix sajátérték-problémáját J ^ (\displaystyle (\hat(J))):
ahol Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- a tehetetlenségi tenzor saját bázisára való átmenet ortogonális mátrixa. A koordinátatengelyek saját alapjukban a tehetetlenségi tenzor főtengelyei mentén vannak irányítva, és egybeesnek a tehetetlenségi tenzorellipszoid fő féltengelyeivel is. Mennyiségek J X , J Y , J Z (\megjelenítési stílus J_(X), J_(Y), J_(Z)) a fő tehetetlenségi nyomatékok. Az (1) kifejezés a saját koordinátarendszerében a következő alakú:
ahonnan megkapjuk az ellipszoid egyenletét sajátkoordinátákban. Az egyenlet mindkét oldalát elosztva ezzel I s (\displaystyle I_(s))
és a helyettesítések végrehajtása:
ξ = s x I s, η = s y I s, ζ = s z I s, (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)megkapjuk az ellipszoid egyenlet kanonikus alakját koordinátákban ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Az ellipszoid középpontja és egyes pontjai közötti távolság a test tehetetlenségi nyomatékának értékéhez kapcsolódik az ellipszoid középpontján és ezen a ponton áthaladó egyenes mentén.
Vezessünk be egy derékszögű O xy koordinátarendszert. Tekintsünk egy tetszőleges szakaszt a koordinátasíkban ( zárt terület) A területtel (1. ábra).
statikus pillanatok
C pont koordinátákkal (x C , y C)
hívott a szakasz súlypontja.
Ha a koordinátatengelyek áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor a szakasz statikus nyomatékai egyenlők nullával:
Tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok Az x és y tengelyhez viszonyított szakaszokat a forma integráljainak nevezzük:
Poláris tehetetlenségi nyomaték Az eredetre vonatkozó szakaszt az alak integráljának nevezzük:
centrifugális tehetetlenségi nyomaték szakaszt az űrlap integráljának nevezzük:
A szakasz fő tehetetlenségi tengelyei két egymásra merőleges tengelyt hívunk, amelyekre nézve I xy =0. Ha az egyik egymásra merőleges tengely a szakasz szimmetriatengelye, akkor I xy \u003d 0, és ezért ezek a tengelyek a fő tengelyek. A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket ún a szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyei
2. Steiner-Huygens tétel a tengelyek párhuzamos fordításáról
A Steiner-Huygens-tétel (a Steiner-tétel).
Az I szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges rögzített x tengelyhez viszonyítva egyenlő ezen I szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának összegével, a vele párhuzamos x * relatív tengellyel, amely átmegy a metszet tömegközéppontján. , és az A metszetterület szorzata a két tengely közötti d távolság négyzetével.
Ha az x és y tengelyhez viszonyított I x és I y tehetetlenségi nyomatékok ismertek, akkor az ν és u tengelyekre vonatkoztatva, α szöggel elforgatva, a tengelyirányú és centrifugális tehetetlenségi nyomatékokat a következő képletekkel számítjuk ki:
A fenti képletekből látható, hogy
Azok. a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik az egymásra merőleges tengelyek, azaz az u és a v tengelyek forogásakor, amelyekhez képest a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka nulla, a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok pedig І u és I v szélső értékük max vagy min, ezeket a szakasz főtengelyeinek nevezzük. A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket ún a szakasz fő központi tengelyei. A szimmetrikus metszeteknél a szimmetriatengelyeik mindig a fő központi tengelyek. A szakasz fő tengelyeinek helyzetét a többi tengelyhez képest a következő arány segítségével határozzuk meg:
ahol α 0 az a szög, amellyel az x és y tengelyt el kell forgatni, hogy azok a fő tengelyek legyenek (az óramutató járásával ellentétes szöget pozitív, az óramutató járásával megegyezően negatív szöget szokás félretenni). A főtengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat ún fő tehetetlenségi nyomatékok:
a második tag előtti pluszjel a maximális tehetetlenségi nyomatékra, a mínusz jel a minimumra utal.