Hogyan találjuk meg a háromszög felezőpontját: geometriai feladat. Az euklideszi geometria fő elemi problémái az ókorból kerültek hozzánk. Ezek tartalmazzák a legelső lényeget és a szükséges alapismereteket a térforma egyén általi észleléséhez. Az egyik ilyen probléma a háromszög felezőpontjának megtalálása. Ma ezt a problémát úgy tekintik képzési fogadás az iskolások értelmi képességeinek fejlesztése. Az ókori világban a háromszög közepének megtalálásának ismereteit a gyakorlatban is alkalmazták: a földgazdálkodásban, különféle mechanizmusok gyártásában stb. Mi ennek a geometriai rejtvénynek a lényege?
Mi az a medián? A probléma megoldása előtt meg kell ismerkednie a háromszögekkel kapcsolatos legegyszerűbb geometriai terminológiával. Először is minden háromszögnek három csúcsa, három oldala és három szöge van, ahonnan ennek a neve geometriai alakzat. Fontos tudni, hogy az ellentétes oldalú csúcsokat összekötő egyeneseket hogyan nevezzük magasságnak, felezőnek és mediánnak.
Magasság - egy vonal, amely merőleges a csúcsponttal ellentétes oldalra, amelyből rajzolódik; felező - a szöget felére osztja; a medián a kimenő csúcsponttal ellentétes oldalt kettéosztja. Ennek a feladatnak a megoldásához tudnia kell, hogyan találja meg a szakasz közepének koordinátáit, mivel a háromszög mediánjainak metszéspontja a középpontja.
Keresse meg a háromszög oldalainak felezőpontját! Egy szakasz felezőpontjának megtalálása szintén klasszikus. geometriai probléma, melynek megoldásához körzőre és osztás nélküli vonalzóra van szükség. Az iránytűt a szakasz végpontjába helyezzük, és az utóbbi közepére a szakasz felénél nagyobb félkört rajzolunk. Ugyanezt tesszük a szegmens másik oldalán is. A kapott félkörök szükségszerűen két pontban metszik egymást, mert sugaruk nagyobb, mint az eredeti szakasz fele.
A kör két metszéspontját vonalzó segítségével egyenes vonallal összekötjük. Ez a vonal pontosan annak közepén metszi az eredeti szakaszt. Most, hogy tudjuk, hogyan találjuk meg a szakasz felezőpontját, ezt a háromszög mindkét oldalával tesszük meg. Miután megtalálta a háromszög oldalainak összes felezőpontját, készen áll a saját felezőpont megszerkesztésére.
Megépítjük a háromszög közepét. A háromszög csúcsait a szemközti oldaluk felezőpontjaival egyenesekkel összekötve három mediánt kapunk. Ez meglephet valakit, de e geometriai alakzat harmóniájának egyik törvénye az, hogy mindhárom medián mindig egy ponton metszi egymást. Ez a pont lesz a háromszög kívánt felezőpontja, amelyet nem olyan nehéz megtalálni, ha tudja, hogyan kell megszerkeszteni a szakasz felezőpontját.
Az is érdekes, hogy a mediánok metszéspontja nem csak a háromszög geometriai, hanem "fizikai" közepe is. Vagyis ha például rétegelt lemezből kivág egy háromszöget, megkeresi a közepét, és ezt a pontot a tű hegyére helyezi, akkor ideális esetben egy ilyen alak egyensúlyban lesz, és nem esik le. Az elemi geometria rengeteg ilyen izgalmas „titkot” hordoz, amelyek ismerete segít megérteni a környező világ harmóniáját és az összetettebb dolgok természetét.
A háromszög középvonalának fogalma
Vezessük be a háromszög középvonalának fogalmát.
1. definíció
Ez a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz (1. ábra).
1. ábra A háromszög középvonala
Háromszög középvonal-tétel
1. tétel
A háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő annak felével.
Bizonyíték.
Adjunk meg egy $ABC$ háromszöget. $MN$ - középső vonal (mint a 2. ábrán).
2. ábra. Az 1. tétel illusztrációja
Mivel $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, ezért az $ABC$ és $MBN$ háromszögek hasonlóak a második háromszög hasonlósági feltétele szerint. Eszközök
Ebből az is következik, hogy a $\angle A=\angle BMN$ jelentése $MN||AC$.
A tétel bizonyítást nyert.
A háromszög középvonal-tétel következményei
1. következmény: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot a csúcsból kiindulva $2:1$ arányban osztják el.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánja. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Fontolgat középső vonal$A_1B_1$ (3. ábra).
3. ábra. Az 1. következmény illusztrációja
Az 1. tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, ebből következően $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ezért az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági kritériuma szerint. Azután
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy
A tétel bizonyítást nyert.
2. következmény: A háromszög három középső vonala 4, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögre osztja, $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatóval.
Bizonyíték.
Tekintsük a $ABC$ háromszöget $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ középvonalakkal (4. ábra)
4. ábra A 2. következmény illusztrációja
Tekintsük a $A_1B_1C$ háromszöget. Mivel $A_1B_1$ a középső vonal, akkor
A $C$ szög ezeknek a háromszögeknek a közös szöge. Ezért a $A_1B_1C$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak a $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatójú háromszögek második hasonlósági kritériuma szerint.
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a $A_1C_1B$ és $ABC$ háromszögek, valamint a $C_1B_1A$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatóval.
Tekintsük a $A_1B_1C_1$ háromszöget. Mivel $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ a háromszög középvonalai, akkor
Ezért a háromszögekre vonatkozó harmadik hasonlósági kritérium szerint a $A_1B_1C_1$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak a $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatóval.
A tétel bizonyítást nyert.
Példák a háromszög középvonalának fogalmára vonatkozó feladatra
1. példa
Adott egy háromszög, amelynek oldalai $16$ cm, $10$ cm és $14$ cm. Határozzuk meg annak a háromszögnek a kerületét, amelynek csúcsai az adott háromszög oldalainak felezőpontjaiban vannak!
Döntés.
Mivel a kívánt háromszög csúcsai az adott háromszög oldalainak felezőpontjaiban vannak, így oldalai az eredeti háromszög felezővonalai. A 2. következményből azt kapjuk, hogy a kívánt háromszög oldalai $8$ cm, $5$ cm és $7$ cm.
Válasz:$20$ lásd
2. példa
Az $ABC$ háromszög adott. A $N\ és\ M$ pontok a $BC$ és $AB$ oldal felezőpontjai (5. ábra).
5. ábra
$BMN=14$ cm kerülete Határozza meg az $ABC$ háromszög kerületét!
Döntés.
Mivel $N\ és\ M$ a $BC$ és $AB$ oldal felezőpontja, ezért $MN$ a középvonal. Eszközök
Az 1. tétel szerint $AC=2MN$. Kapunk:
Előfordulhat, hogy az iskolában elmagyarázott témák nem mindig egyértelműek első alkalommal. Ez különösen igaz az olyan tantárgyakra, mint a matematika. De a dolgok sokkal bonyolultabbá válnak, amikor ez a tudomány két részre oszlik: algebra és geometria.
Minden tanuló két irányban is képes lehet, de különösen abban Általános Iskola fontos megérteni mind az algebra, mind a geometria alapjait. A geometriában az egyik fő téma a háromszögekről szóló rész.
Hogyan lehet megtalálni a háromszög középvonalát? Találjuk ki.
Alapfogalmak
Először is, hogy kitaláljuk, hogyan lehet megtalálni a háromszög középső vonalát, fontos megérteni, mi az.
A középvonal megrajzolására nincs korlátozás: a háromszög bármilyen lehet (egyenlő szárú, egyenlő oldalú, derékszögű). És minden olyan tulajdonság, amely a középső vonalhoz kapcsolódik, működni fog.
A háromszög középvonala egy olyan szakasz, amely összeköti a háromszög két oldalának felezőpontját. Ezért bármely háromszögben lehet 3 ilyen egyenes.
Tulajdonságok
Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan találjuk meg a háromszög középső vonalát, jelöljük meg a tulajdonságait, amelyeket emlékezni kell, különben ezek nélkül lehetetlen megoldani a középső vonal hosszának megjelölésével kapcsolatos problémákat, mivel az összes kapott adatot meg kell adni. tételekkel, axiómákkal vagy tulajdonságokkal kell alátámasztani és érvelni.
Így a kérdés megválaszolásához: "Hogyan találjuk meg az ABC háromszög középvonalát?", Elég ismerni a háromszög egyik oldalát.
Mondjunk egy példát
Vessen egy pillantást a rajzra. Az ABC háromszöget DE középvonallal ábrázolja. Figyeljük meg, hogy párhuzamos a háromszög AC alapjával. Ezért bármi legyen is az AC, a DE középső vonal fele akkora lesz. Például az AC=20 azt jelenti, hogy DE=10 stb.
Ilyen egyszerű módokon megértheti, hogyan lehet megtalálni a háromszög középső vonalát. Emlékezzen alapvető tulajdonságaira és definíciójára, és akkor soha nem lesz gondja az érték megtalálásával.
Olyan négyszöget nevezünk, amelynek csak két párhuzamos oldala van trapéz.
A trapéz párhuzamos oldalait annak nevezzük okokból, és azokat az oldalakat nevezzük, amelyek nem párhuzamosak oldalain. Ha az oldalak egyenlőek, akkor egy ilyen trapéz egyenlő szárú. Az alapok közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.
A trapéz középvonala
A középvonal a trapéz oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos az alapjaival.
Tétel:
Ha az egyik oldal közepét metsző egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival, akkor felezi a trapéz második oldalát.
Tétel:
A középvonal hossza egyenlő az alapjai hosszának számtani átlagával
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN középvonal, AB és CD - alapok, AD és BC - oldalak
MN=(AB+DC)/2
Tétel:
A trapéz középvonalának hossza megegyezik az alapjai hosszának számtani átlagával.
A fő feladat: Bizonyítsuk be, hogy a trapéz középvonala kettévág egy szakaszt, amelynek végei a trapéz alapjainak közepén vannak.
A háromszög középső vonala
A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög felezővonalának nevezzük. Párhuzamos a harmadik oldallal, hossza pedig a harmadik oldal hosszának fele.
Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának felezőpontját metsző egyenes párhuzamos az adott háromszög másik oldalával, akkor felezi a harmadik oldalt.
AM = MC és BN = NC =>
Háromszög és trapéz középvonal tulajdonságainak alkalmazása
Egy szakasz felosztása bizonyos számú egyenlő részre.
Feladat: Osszuk az AB szakaszt 5 egyenlő részre.
Döntés:
Legyen p véletlenszerű sugár, amelynek origója az A pont, és amely nem az AB egyenesen fekszik. Egymás után félretettünk 5 egyenlő szegmenst a p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 oldalon.
Összekapcsoljuk A 5-öt B-vel, és vonalakat húzunk A 4, A 3, A 2 és A 1 pontokon, amelyek párhuzamosak A 5 B-vel. Ezek metszik az AB-t B 4 , B 3 , B 2 és B 1 pontokban. Ezek a pontok az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztják. A BB 3 A 3 A 5 trapézből valóban azt látjuk, hogy BB 4 = B 4 B 3 . Ugyanígy a B 4 B 2 A 2 A 4 trapézből B 4 B 3 = B 3 B 2
Míg a trapézból B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Ekkor B 2 AA 2-ből az következik, hogy B 2 B 1 = B 1 A. Összegezve azt kapjuk, hogy:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Nyilvánvaló, hogy ahhoz, hogy az AB szakaszt több egyenlő részre oszthassuk, ugyanannyi egyenlő szakaszt kell a p sugárra vetítenünk. Ezután folytassa a fent leírt módon.
\[(\Large(\text(Hasonló háromszögek)))\]
Definíciók
Két háromszöget hasonlónak mondunk, ha a szögeik egyenlőek, és az egyik háromszög oldalai arányosak a másik háromszög hasonló oldalaival.
(az oldalakat hasonlónak nevezzük, ha egyenlő szöggel szemben helyezkednek el).
A (hasonló) háromszögek hasonlósági együtthatója e háromszögek hasonló oldalainak arányával egyenlő szám.
Meghatározás
A háromszög kerülete az összes oldala hosszának összege.
Tétel
Két hasonló háromszög kerületének aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval.
Bizonyíték
Tekintsük az \(ABC\) és \(A_1B_1C_1\) háromszögeket \(a,b,c\) és \(a_1, b_1, c_1\) oldalakkal (lásd a fenti ábrát).
Azután \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)
Tétel
Két hasonló háromszög területének aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével.
Bizonyíték
Legyen az \(ABC\) és \(A_1B_1C_1\) háromszög hasonló, és \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Jelölje \(S\) és \(S_1\) betűkkel e háromszögek területét.
Mivel \(\angle A = \angle A_1\) , akkor \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(az egyenlő szögű háromszögek területeinek arányáról szóló tétel szerint).
Mint \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), azután \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), amit bizonyítani kellett.
\[(\Large(\text(Háromszög hasonlósági tesztek)))\]
Tétel (a háromszögek hasonlóságának első kritériuma)
Ha egy háromszög két szöge egy másik háromszög két szögével egyenlő, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.
Bizonyíték
Legyenek \(ABC\) és \(A_1B_1C_1\) olyan háromszögek, hogy \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Majd a háromszögösszeg tétel alapján \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), azaz az \(ABC\) háromszög szögei rendre megegyeznek a \(A_1B_1C_1\) háromszög szögeivel.
Mivel \(\angle A = \angle A_1\) és \(\angle B = \angle B_1\) , akkor \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)és \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Ezekből az egyenlőségekből az következik \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(a \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) egyenlőségek segítségével).
Ennek eredményeként az \(ABC\) háromszög oldalai arányosak az \(A_1B_1C_1\) háromszög hasonló oldalaival, amit igazolni kellett.
Tétel (a háromszögek hasonlóságának második kritériuma)
Ha egy háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az ezen oldalak közötti szögek egyenlőek, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.
Bizonyíték
Tekintsünk két háromszöget \(ABC\) és \(A"B"C"\) úgy, hogy \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Bizonyítsuk be, hogy az \(ABC\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak. Adott az első háromszög hasonlósági feltétele, elegendő megmutatni, hogy \(\angle B = \angle B"\) .
Tekintsünk egy \(ABC""\) háromszöget, ahol \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Az \(ABC""\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági feltételében, akkor \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
Másrészt az állapot szerint \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Az utolsó két egyenlőségből az következik, hogy \(AC = AC""\) .
Az \(ABC\) és \(ABC""\) háromszögek két oldalán egyenlőek, ezért a köztük lévő szög \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).
Tétel (a háromszögek hasonlóságának harmadik kritériuma)
Ha egy háromszög három oldala arányos egy másik háromszög három oldalával, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.
Bizonyíték
Legyenek arányosak az \(ABC\) és \(A"B"C"\) háromszögek oldalai: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Bizonyítsuk be, hogy az \(ABC\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak.
Ehhez a második háromszög hasonlósági feltételét figyelembe véve elegendő annak bizonyítása, hogy \(\angle BAC = \angle A"\) .
Tekintsünk egy \(ABC""\) háromszöget, ahol \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .
Az \(ABC""\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági feltételében, ezért \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Az egyenlőségek és feltételek utolsó láncolatából \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) ebből következik, hogy \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Az \(ABC\) és \(ABC""\) háromszögek három oldala egyenlő, ezért \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).
\[(\Large(\text(Thales-tétel)))\]
Tétel
Ha a szög egyik oldalán egymással egyenlő szakaszokat jelölünk, és a végükön párhuzamos vonalakat húzunk, akkor ezek a vonalak a második oldalon egymással egyenlő szakaszokat vágnak le.
Bizonyíték
Először bizonyítsuk be lemma: Ha az \(\háromszög OBB_1\)-ben egy \(a\párhuzamos BB_1\) egyenest húzunk az \(OB\) oldal \(A\) felezőpontján, akkor az \(OB_1\) oldalt is metszi középen.
Rajzolja át a \(l\párhuzamos OB\) pontot a \(B_1\) ponton keresztül. Legyen \(l\cap a=K\) . Ekkor \(ABB_1K\) egy paralelogramma, ezért \(B_1K=AB=OA\) és \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) mint a függőleges. Tehát a második jel szerint \(\háromszög OAA_1=\háromszög B_1KA_1 \Jobbra OA_1=A_1B_1\). A lemma bevált.
Folytassuk a tétel bizonyításával. Legyen \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\), és be kell bizonyítanunk, hogy \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Így ezzel a lemmával \(OA_1=A_1B_1\) . Bizonyítsuk be, hogy \(A_1B_1=B_1C_1\) . Húzzon egy vonalat a \(B_1\) \(d\parallel OC\) ponton keresztül, és legyen \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Ekkor az \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paralelogrammák, tehát \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . És így, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) mint függőleges, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) mint keresztben fekvő, és ezért a második jel szerint \(\háromszög A_1B_1D_1=\háromszög C_1B_1D_2 \Jobbra A_1B_1=B_1C_1\).
Thalész tétele
A párhuzamos vonalak arányos szegmenseket vágnak a szög oldalain.
Bizonyíték
Legyenek párhuzamos vonalak \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) osszuk fel az egyik sort \(a, b, c, d\) szegmensekre. Ezután ezeknek a vonalaknak fel kell osztaniuk a második egyenest \(ka, kb, kc, kd\) szegmensekre, ahol \(k\) egy bizonyos szám, a szakaszok azonos arányossági együtthatója.
Rajzoljunk egy \(p\párhuzamos OD\) egyenest a \(A_1\) ponton keresztül (\(ABB_2A_1\) paralelogramma, ezért \(AB=A_1B_2\) ). Azután \(\háromszög OAA_1 \sim \háromszög A_1B_1B_2\) két sarkán. Ennélfogva, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Jobbra A_1B_1=kb\).
Hasonlóképpen húzzunk egy egyenest \(B_1\) \(q\párhuzamos OD \jobbra nyíl \háromszög OBB_1\sim \háromszög B_1C_1C_2 \jobbra mutató B_1C_1=kc\) stb.
\[(\Large(\text(a háromszög középső sora)))\]
Meghatározás
A háromszög középvonala egy olyan szakasz, amely a háromszög bármely két oldalának felezőpontját köti össze.
Tétel
A háromszög középvonala párhuzamos a harmadik oldallal, és egyenlő annak felével.
Bizonyíték
1) A középvonal párhuzamossága az alappal a fentiekből következik lemmák.
2) Bebizonyítjuk, hogy \(MN=\dfrac12 AC\) .
Rajzoljon egy egyenest az \(N\) ponton keresztül párhuzamosan \(AB\) -vel. Ez az egyenes metszi az \(AC\) oldalt a \(K\) pontban. Ekkor \(AMNK\) egy paralelogramma ( \(AM\párhuzamos NK, MN\párhuzamos AK\) az előző pontnál). Tehát \(MN=AK\) .
Mert \(NK\parallel AB\) és \(N\) a \(BC\) felezőpontja, majd a Thalész-tétel szerint \(K\) a \(AC\) felezőpontja. Ezért \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Következmény
A háromszög középső vonala a megadotthoz hasonló háromszöget vág le, \(\frac12\) együtthatóval.