VÉGTELEN KIS FUNKCIÓK ÉS FŐ TULAJDONSÁGAIK

Funkció y=f(x) hívott elenyésző nál nél x→a vagy mikor x→∞ ha vagy , azaz. végtelenül kis funkció olyan függvény, amelynek határértéke egy adott pontban egyenlő nullával.

Példák.

Állítsuk fel a következő fontos összefüggést:

Tétel. Ha a funkció y=f(x) képviselhető at x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsi α(x): f(x)=b+ α(x) azután .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), ahol fejsze) végtelenül kicsi a x→a.

Bizonyíték.

Tekintsük az infinitezimális függvények főbb tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú infinitezimális algebrai összege végtelen kicsi függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Legyen f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges tetszőlegesen kicsi ε esetén > 0 ott δ> 0, olyan, hogy a x az egyenlőtlenség kielégítése |x – a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Szóval javítsuk ki tetszőleges szám ε > 0. Mivel a tétel hipotézise szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor létezik δ 1 > 0, amely at |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, amely at |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ1 , δ2 } .Akkor a pont szomszédságában a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Mivel a funkció f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x a pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af- végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítás is hasonló módon történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és , akkor .

2. következmény. Ha és c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke nem nulla, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Legyen . Aztán 1 /f(x) eszik korlátozott funkció. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátos függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

VÉGTELEN KICSI ÉS VÉGTELEN NAGY FUNKCIÓK KAPCSOLATA

1. tétel. Ha a funkció f(x) végtelenül nagy at x→a, majd az 1. függvény /f(x) végtelenül kicsi a x→a.

Bizonyíték. Vegyünk egy tetszőleges ε számot >0 és ezt mutasd meg egyeseknek δ>0 (ε-től függően) mindenre x, amelyekre |x – a|<δ , az egyenlőtlenség teljesül, és ez azt fogja jelenteni 1/f(x) egy végtelenül kicsi függvény. Valóban, azóta f(x) egy végtelenül nagy függvény a x→a, akkor van δ>0 olyan, hogy amint |x – a|<δ , tehát | f(x)|> 1/ ε. De akkor ugyanerre x.

Példák.

A fordított tétel is igazolható.

2. tétel. Ha a funkció f(x)- végtelenül kicsi at x→a(vagy x→∞)és akkor nem tűnik el y= 1/f(x) egy végtelen függvény.

Te magad bizonyítsd be a tételt.

Példák.

Így a végtelenül kicsi és végtelenül nagy függvények legegyszerűbb tulajdonságai a következő feltételes összefüggésekkel írhatók fel: A≠ 0

TÉTELEK A HATÁROKRÓL

1. tétel. Két, három és általában bizonyos számú függvény algebrai összegének határa megegyezik e függvények határainak algebrai összegével, azaz.

Bizonyíték. A bizonyítást két tagra végezzük el, mivel tetszőleges számú tagra ugyanúgy történik. Legyen .Azután f(x)=b+α(x)És g(x)=c+β(x), ahol α És β végtelenül kicsi függvények. Következésképpen,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Mivel b+c egy állandó, és α(x) + β(x) akkor egy végtelenül kicsi függvény

Példa. .

2. tétel. Két, három és általában véges számú függvény szorzatának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával:

Bizonyíték. Legyen . Következésképpen, f(x)=b+α(x)És g(x)=c+β(x)És

fg = (b + α) (c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Munka időszámításunk előttállandó érték. Funkció bβ + cα + αβ az infinitezimális függvények tulajdonságai alapján van egy végtelenül kicsi mennyiség. Ezért .

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a határjelből:

.

2. következmény. A fokozat határa megegyezik a határ fokával:

.

Példa..

3. tétel. Két függvény hányadosának határa egyenlő e függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határértéke eltér nullától, azaz.

.

Bizonyíték. Legyen . Következésképpen, f(x)=b+α(x)És g(x)=c+β(x), ahol α, β végtelenül kicsik. Tekintsük a hányadost

A tört végtelen kicsi függvény, mert a számláló egy végtelenül kicsi függvény, és a nevezőnek van határa c2 ≠0.

Példák.

4. tétel. Legyen három függvény adott f(x), u(x)És v(x), az egyenlőtlenségek kielégítése u (x)≤f(x)≤v(x). Ha funkciókat u(x)És v(x) ugyanaz a határ x→a(vagy x→∞), majd a függvényt f(x) ugyanarra a határra hajlik, i.e. ha

, azután .

Ennek a tételnek a jelentése világos az ábrából.

A 4. tétel bizonyítása megtalálható például a tankönyvben: Piskunov N. S. Differenciál- és integrálszámítás, 1. kötet - M .: Nauka, 1985.

5. tétel.Én Kövér x→a(vagy x→∞) funkciót y=f(x) nem negatív értékeket vesz fel y≥0és a határig hajlik b, akkor ez a határ nem lehet negatív: b≥0.

Bizonyíték. A bizonyítást ellentmondás útján hajtják végre. Tegyünk úgy, mintha b<0 , azután |y – b|≥|b|és ebből következően a különbség modulusa nem nullázódik at x→a. De aztán y nem megy a határig b nál nél x→a, ami ellentmond a tétel feltételének.

6. tétel. Ha két funkciót f(x)És g(x) az érv összes értékére x kielégíti az egyenlőtlenséget f(x)≥ g(x)és vannak határai, akkor megvan az egyenlőtlenség b≥c.

Bizonyíték. A tétel szerint f(x)-g(x) ≥0 tehát az 5. Tétel szerint , vagy .

EGYOLDALAS HATÁROK

Eddig egy függvény határának meghatározását vettük figyelembe, amikor x→aönkényesen, azaz. a függvény határa nem attól függött, hogy a x felé a, balra vagy jobbra a. Azonban meglehetősen gyakori, hogy olyan függvényeket találunk, amelyeknek nincs korlátja ebben a feltételben, de van korlátjuk, ha x→a, az egyik oldalán maradva de, balra vagy jobbra (lásd az ábrát). Ezért bevezetik az egyoldalú korlátok fogalmát.

Ha f(x) a határig hajlik b nál nél x valamilyen számra törekedve aígy x csak kisebb értékeket vesz fel a, majd írj és hívj az f(x) függvény határértéke a bal oldali a pontban.

A függvényt hívják végtelenül kicsi at
vagy mikor
, ha
vagy
.

Például: függvény
végtelenül kicsi at
; funkció
végtelenül kicsi at
.

Megjegyzés 1. Egyetlen függvény sem nevezhető infinitezimálisnak az argumentum változási irányának megadása nélkül. Igen, a funkció
nál nél
végtelenül kicsi, és
már nem végtelenül kicsi
).

2. megjegyzés. Egy függvény határértékének meghatározásából egy pontban, infinitezimális függvényeknél az egyenlőtlenség
Ezt a tényt a továbbiakban ismételten felhasználjuk.

Állíts be néhány fontosat az infinitezimális függvények tulajdonságai.

Tétel (egy függvény, határértéke és egy infinitezimális kapcsolatáról): Ha a függvény
egy állandó szám összegeként ábrázolható DEés egy végtelenül kicsi függvény
nál nél
, majd a szám

Bizonyíték:

A tétel feltételeiből következik, hogy a függvény
.

Express innen
:
. Mivel a funkció
végtelenül kicsi, kielégíti az egyenlőtlenséget
, majd a (
) is kielégíti az egyenlőtlenséget

Ez pedig azt jelenti
.

Tétel (fordítva): ha
, majd a függvény
szám összegeként ábrázolható DEés végtelenül kicsi at
funkciókat
, azaz
.

Bizonyíték:

Mivel
, majd a
az egyenlőtlenséget
(*) Tekintsük a függvényt
egyetlenként, és írd át az egyenlőtlenséget (*) a formába

Az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy a mennyiség (
) végtelenül kicsi
. Jelöljük
.

Ahol
. A tétel bizonyítást nyert.

1. tétel . Véges számú, végtelenül kicsi függvény algebrai összege egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték:

Végezzük el a bizonyítást két tagra, hiszen tetszőleges véges számú tagra hasonló módon adjuk meg.

Legyen
És
végtelenül kicsi at
funkciók és
ezeknek a függvényeknek az összege. Bizonyítsuk be azért
, van ilyen
hogy mindenkinek x az egyenlőtlenség kielégítése
, az egyenlőtlenség
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi függvény,
hogy mindenkinek
az egyenlőtlenséget
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi függvény,
, és ezért van hogy mindenkinek
az egyenlőtlenséget
.

Vessünk egyenlő a legkisebb számmal És , majd be – a pont szomszédsága de az egyenlőtlenségek beteljesülnek
,
.

Állítson össze egy funkciómodult
és értékelje az értékét.

Azaz
, akkor a függvény infinitezimális, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata
nál nél
korlátozott funkcióhoz
egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték:

Mivel a funkció
korlátos, akkor van egy pozitív szám
hogy mindenkinek az egyenlőtlenséget
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi at
, akkor létezik -a pont szomszédsága hogy mindenkinek szomszédságuk kielégíti az egyenlőtlenséget
.

Vegye figyelembe a funkciót
és értékelje a modulusát

így
, és akkor
- végtelenül kicsi.

A tétel bizonyítást nyert.

Határtételek.

1. tétel. Véges számú függvény algebrai összegének határa megegyezik ezen függvények határainak algebrai összegével

Bizonyíték:

Ennek bizonyításához elegendő két funkciót figyelembe venni, ez nem sérti az érvelés általánosságát.

Legyen
,
.

A függvény, határértéke és egy végtelenül kicsi függvény kapcsolatáról szóló tétel szerint
És
ként ábrázolható
ahol
És
végtelenül kicsik
.

Keressük a függvények összegét
És

Érték
állandó érték
végtelenül kicsi mennyiség. Tehát a funkció
egy állandó érték és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolva.

Aztán a szám
a függvény határa
, azaz

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel . Egy véges számú függvény szorzatának határértéke egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával

Bizonyíték:

Az érvelés általánosságának megsértése nélkül bizonyítsunk be két függvényt
És
.

Akkor hagyd
,

Keressük meg a függvények szorzatát
És

Érték
egy állandó érték, egy végtelenül kicsi függvény. Ezért a szám
a függvény határa
, vagyis az egyenlőség

Következmény:
.

3. tétel. Két függvény hányadosának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határa nem nulla

.

Bizonyíték: hagyjuk
,

Azután
,
.

Keressünk egy magánszemélyt és hajtson végre rajta néhány azonos átalakítást

Érték állandó, tört
végtelenül kicsi. Ezért a függvény egy állandó szám és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolva.

Azután
.

Megjegyzés. Az 1–3. tételek bizonyítottak az esetre
. Azonban alkalmazhatók lehetnek
, mivel a tételek bizonyítása ebben az esetben is hasonló módon történik.

Például. Korlátok keresése:

Az első és a második csodálatos határ.

Funkció nincs meghatározva at
. Értékei azonban a nullapont közelében léteznek. Ezért tekinthetjük ennek a függvénynek a határát a
. Ezt a határt hívják első csodálatos határ .

Úgy néz ki:
.

Például . Keresse meg a határokat: 1.
. kijelöl
, ha
, azután
.
; 2.
. Alakítsuk át ezt a kifejezést úgy, hogy a határérték az első figyelemre méltó határértékre csökkenjen.
; 3..

Tekintsük az alak egy változóját
, ahol a természetes számok értékeit növekvő sorrendben veszi. Adjunk különböző értékek: ha

Adni a következő értékeket a készletből
, könnyen belátható, hogy a kifejezés
nál nél
akarat
. Ráadásul az is bebizonyosodott
van határa. Ezt a határt a betű jelöli :
.

Szám irracionális:
.

Most vegyük figyelembe a függvény határát
nál nél
. Ezt a határt hívják második figyelemre méltó határ

Úgy néz ki
.

Például.

de)
. Kifejezés
cserélje ki a terméket azonos tényezők
, alkalmazza a szorzathatártételt és a második figyelemre méltó határértéket; b)
. Tegyük fel
, azután
,
.

A második figyelemre méltó határértéket használják folyamatos kamatszámítás problémája

A betétekből származó készpénzbevétel kiszámításakor gyakran használják az összetett kamat képletét, amely így néz ki:

,

ahol - kezdeti beruházás

- éves banki kamat,

- az évi kamatfizetések száma,

- idő, években.

Az elméleti tanulmányokban azonban a befektetési döntések megalapozásakor gyakrabban alkalmazzák az exponenciális (exponenciális) növekedési törvény képletét.

.

A növekedés exponenciális törvényének képletét a kamatos kamat képletének második figyelemre méltó határértékének alkalmazásával kapjuk meg.

A funkciók folytonossága.

Vegye figyelembe a funkciót
meghatározott valamikor és a pont valamely környéke . Legyen a függvény értéke a megadott pontban
.

Definíció 1. Funkció
hívott folyamatos egy ponton , ha egy pont szomszédságában van definiálva, beleértve magát a pontot és
.

A folytonosság definíciója többféleképpen is megfogalmazható.

Hagyja a függvényt
valamilyen értékre definiálva ,
. Ha az érv növekedés
, akkor a függvény növekszik

Legyen a függvény egy pontban folytonos (a függvény egy pontban való folytonosságának első definíciója szerint),

Vagyis ha a függvény egy ponton folytonos , akkor az argumentum végtelenül kicsi növekménye
ezen a ponton a függvény végtelen kicsi növekményének felel meg.

A fordított állítás is igaz: ha az argumentum egy infinitezimális növekménye felel meg a függvény végtelen kicsi növekményének, akkor a függvény folytonos.

Definíció 2. Funkció
folyamatosnak nevezzük
(ponton ) ha ezen a ponton és a szomszédságában van meghatározva, és ha
.

Figyelembe véve a függvény egy pontban való folytonosságának első és második definícióját, a következő állítást kaphatjuk:

vagy
, de
, azután
.

Ezért annak érdekében, hogy egy folytonos függvény határértékét megtaláljuk
elég a függvény analitikus kifejezésében az argumentum helyett helyettesíti az értékét .

Definíció 3. Egy tartomány minden pontjában folytonos függvényt hívunk folyamatos ebben a régióban.

Például:

1. példa Bizonyítsuk be, hogy a függvény
folytonos a definíciós tartomány minden pontján.

Használjuk a függvény egy pontban való folytonosságának második definícióját. Ehhez vegye fel az argumentum tetszőleges értékét és növelje meg
. Keressük meg a függvény megfelelő növekményét

2. példa Bizonyítsuk be, hogy a függvény
minden ponton folyamatos tól től
.

Mondjunk egy érvet növekedés
, akkor a függvény növekszik

A függvény óta találjuk
, amely korlátozott.

Hasonlóképpen igazolható, hogy minden alapvető elemi függvény definíciós tartományának minden pontján folytonos, azaz egy elemi függvény definíciós tartománya egybeesik annak folytonossági tartományával.

Definíció 4. Ha a függvény
valamely intervallum minden pontjában folytonos
, akkor a függvényt folytonosnak mondjuk ezen az intervallumon.

Alapértelmezett: A függvényt hívják elenyésző at , ha .

A " " jelölésben ezt feltételezzük x0 végső értéket vehet fel: x0= Const, és végtelen: x0= ∞.

Az infinitezimális függvények tulajdonságai:

1) Egy véges számú, végtelenül kicsi függvény algebrai összege végtelenül kicsi függvény esetén.

2) Függvényekre véges számú végtelenül kicsi szorzata függvényre végtelenül kicsi.

3) Egy korlátos függvény és egy infinitezimális függvény szorzata egy infinitezimális függvény.

4) A hányados egy végtelenül kicsi egy függvénynél egy olyan függvénnyel, amelynek határértéke nem nulla, végtelenül kicsi egy függvénynél.

Példa: Funkció y = 2 + x végtelenül kicsi a , mert .

Alapértelmezett: A függvényt hívják végtelenül nagy at , ha .

A végtelenül nagy függvények tulajdonságai:

1) Függvényekre a végtelenül nagy összege végtelenül nagy egy függvényre.

2) Egy függvényre egy végtelenül nagy és egy olyan függvény szorzata, amelynek határértéke nem nulla, egy függvényre végtelenül nagy.

3) Egy végtelenül nagy függvény és egy korlátos függvény összege végtelenül nagy függvény.

4) Ha egy függvénynél végtelenül nagyot osztunk olyan függvénnyel, amelynek véges határa van, akkor egy függvénynél végtelenül nagy.

Példa: Funkció y= végtelenül nagy -ra, mert .

Tétel.Összefüggés a végtelenül kicsi és a végtelenül nagy mennyiségek között. Ha egy függvény végtelenül kicsi -ben, akkor a függvény végtelenül nagy -ben. Ezzel szemben, ha egy függvény végtelenül nagy -ben, akkor a függvény végtelenül kicsi -ben.

Két infinitezimális arányát általában a szimbólummal, két végtelenül nagyot a szimbólummal jelöljük. Mindkét reláció határozatlan abban az értelemben, hogy határa létezhet vagy nem, egy bizonyos számmal egyenlő vagy végtelen, attól függően, hogy a határozatlan kifejezésekben milyen konkrét függvények vannak.

Az alaki határozatlan és határozatlan mellett a következő kifejezések vannak:

Az azonos előjel végtelen nagy különbsége;

Egy infinitezimális és egy végtelen nagy szorzata;

Egy exponenciális hatványfüggvény, amelynek alapja 1-re, a mutatója pedig -ra;

Exponenciális-hatványfüggvény, melynek alapja végtelenül kicsi, kitevője pedig végtelenül nagy;

Exponenciális függvény, amelynek bázisa és kitevője végtelenül kicsi;

Exponenciális függvény, amelynek bázisa végtelenül nagy, kitevője pedig végtelenül kicsi.

Azt mondják, hogy van ennek megfelelő bizonytalanság. A limit számítását ezekben az esetekben nevezzük a bizonytalanság feltárása. A bizonytalanság feltárására a határjel alatti kifejezést olyan formává alakítjuk, amely nem tartalmaz bizonytalanságot.

A határértékek kiszámításakor a határértékek tulajdonságait, valamint a végtelenül kicsi és a végtelenül nagy függvények tulajdonságait használjuk.

Tekintse meg a különféle határértékek számítási példáit.

1) . 2) .

4) , mivel egy infinitezimális at függvény és egy korlátos függvény szorzata végtelenül kicsi.

5) . 6) .

7) = =

. Ebben az esetben a típus határozatlansága volt, amit a polinomok faktorálásával és egy közös tényezővel való redukálással oldottak meg.

= .

Ebben az esetben a típus határozatlansága volt, amelyet úgy oldottak meg, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozták a kifejezéssel, a képlet segítségével, majd a törtet (+1) csökkentették.

9)
. Ebben a példában a típus bizonytalanságát úgy mutattuk ki, hogy a tört számlálóját és nevezőjét tagonként a legmagasabb fokozattal osztjuk fel.

Figyelemre méltó határok

Az első csodálatos határ : .

Bizonyíték. Tekintsünk egy egységkört (3. ábra).

3. ábra. egységkör

Legyen x a középponti szög radián mértéke MOA(), azután OA = R= 1, MK= bűn x, NÁL NÉL=tg x. A háromszögek területeinek összehasonlítása OMA, OTAés ágazatok OMA, kapunk:

,

.

Ossza el az utolsó egyenlőtlenséget a bűnnel x, kapunk:

.

Mivel -ra, akkor a határértékek 5) tulajdonsága szerint

A honnan és az at reciprok, amit be kellett bizonyítani.

Megjegyzés: Ha a függvény infinitezimális -nél, azaz. , akkor az első figyelemre méltó határ a következőképpen alakul:

.

Tekintsünk példákat az első figyelemre méltó határértéket használó határszámításokra.

Ennek a határértéknek a kiszámításakor a trigonometrikus képletet használtuk: .

.

Tekintsünk példákat a határérték számításokra a második figyelemre méltó határérték használatával.

2) .

3) . Típus kétértelműség van. Cseréljünk akkor ; nál nél .

Adott a meghatározás végtelenül nagy sorozat. A végtelenben lévő pontok szomszédságára vonatkozó fogalmakat vizsgáljuk. Adott egy sorozat határának univerzális definíciója, amely mind a véges, mind a végtelen határokra vonatkozik. Példákat veszünk egy végtelenül nagy sorozat definíciójának alkalmazására.

Tartalom

Lásd még: Egy sorozat határának meghatározása

Meghatározás

Utóbbi (βn) végtelen sorozatnak nevezzük, ha bármely tetszőlegesen nagy M számra létezik ilyen természetes szám N M függ M-től úgy, hogy minden pozitív egészre n > N M az egyenlőtlenség
|β n | >M.
Ebben az esetben írjon
.
Vagy at .
Azt mondják, hogy a végtelenbe hajlik, ill a végtelenbe konvergál.

Ha valamelyik N számból kiindulva 0 , azután
( plusz végtelenbe konvergál).
Ha akkor
( mínusz végtelenhez konvergál).

Ezeket a meghatározásokat a létezés és az egyetemesség logikai szimbólumaival írjuk:
(1) .
(2) .
(3) .

A (2) és (3) határértékkel rendelkező sorozatok egy végtelenül nagy sorozat (1) speciális esetei. Ezekből a definíciókból az következik, hogy ha egy sorozat határértéke egyenlő plusz vagy mínusz végtelennel, akkor egyenlő a végtelennel is:
.
Ennek a fordítottja természetesen nem igaz. A sorozattagok váltakozó karakterekkel rendelkezhetnek. Ebben az esetben a határ egyenlő lehet a végtelennel, de határozott előjel nélkül.

Vegye figyelembe azt is, hogy ha egy bizonyos tulajdonság teljesül egy tetszőleges sorozatra, amelynek határértéke a végtelen, akkor ugyanez a tulajdonság érvényes egy olyan sorozatra is, amelynek határértéke plusz vagy mínusz végtelen.

Sok számítási tankönyvben a végtelenül nagy sorozat definíciója azt mondja, hogy az M szám pozitív: M > 0 . Ez a követelmény azonban felesleges. Ha törlik, akkor nem merül fel ellentmondás. Csak a kis vagy negatív értékek nem érdekelnek minket. Érdekel bennünket a sorozat viselkedése tetszőlegesen nagy pozitív M érték esetén. Ezért ha szükség van rá, akkor M alulról tetszőleges a számmal korlátozható, azaz tegyük fel, hogy M > a.

Ha ε-t - a végpont szomszédságát definiáltuk, akkor az ε követelményt > 0 egy fontos. Negatív értékek esetén az egyenlőtlenség egyáltalán nem érvényesül.

Pontok szomszédsága a végtelenben

Amikor véges határokat vettünk figyelembe, bevezettük a pont szomszédságának fogalmát. Emlékezzünk vissza, hogy egy végpont környéke egy nyitott intervallum, amely ezt a pontot tartalmazza. Bevezethetjük a végtelenben lévő pontok szomszédságának fogalmát is.

Legyen M tetszőleges szám.
A "végtelen" pont szomszédsága, , halmaznak nevezzük.
A pont szomszédsága "plusz a végtelen", , halmaznak nevezzük.
A "mínusz végtelen" pont szomszédsága, , halmaznak nevezzük.

Szigorúan véve a "végtelen" pont szomszédsága a halmaz
(4) ,
ahol M 1 és M 2 tetszőleges pozitív számok. Az első definíciót fogjuk használni, mert az egyszerűbb. Bár az alábbiakban leírtak a (4) definíció használatakor is igazak.

Most már egységes definíciót adhatunk egy sorozat határértékére, amely mind a véges, mind a végtelen határokra vonatkozik.

A szekvenciakorlát egyetemes meghatározása.
Egy a pont (véges vagy végtelenben) a sorozat határa, ha ennek a pontnak bármely szomszédságára létezik olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden eleme számokkal ebbe a szomszédságba tartozik.

Így ha a határ létezik, akkor az a pont szomszédságán kívül a sorozatnak csak véges számú tagja, vagy üres halmaza lehet. Ez a feltétel szükséges és elégséges. Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása pontosan ugyanaz, mint a véges határok esetében.

Egy konvergens sorozat szomszédsági tulajdonsága
Ahhoz, hogy az a pont (véges vagy végtelenben) legyen a sorozat határa, szükséges és elegendő, hogy ennek a pontnak bármely szomszédságán kívül legyen véges számú tagja a sorozatnak vagy egy üres halmaz.
Bizonyíték .

Ezenkívül néha bevezetik az ε fogalmát – végtelenül távoli pontok szomszédságai.
Emlékezzünk vissza, hogy az a végpont ε-környezete a halmaz.
Vezessük be a következő jelölést. Legyen egy a pont ε szomszédságát jelöli. Aztán a végponthoz
.
A végtelenben lévő pontokhoz:
;
;
.
Az ε - szomszédságok fogalmát használva a sorozat határának még egy univerzális definíciója adható:

Egy a pont (véges vagy végtelen) a sorozat határértéke, ha van ilyen pozitív szám ε > 0 létezik egy ε-től függő N ε természetes szám úgy, hogy minden n > N ε számra az x n tagok az a pont ε környezetéhez tartoznak:
.

A létezés és az egyetemesség logikai szimbólumai segítségével ez a meghatározás a következőképpen írható fel:
.

Példák végtelenül nagy sorozatokra

1. példa

.

.
Egy végtelenül nagy sorozat definícióját írjuk le:
(1) .
A mi esetünkben
.

Bevezetjük a számokat, és összekapcsoljuk őket az egyenlőtlenségekkel:
.
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai szerint, ha és , akkor
.
Figyeljük meg, hogy ha ez az egyenlőtlenség bármely n-re érvényes. Tehát így választhat:
nál nél ;
nál nél .

Tehát bárki találhat olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget. Akkor mindenkinek
.
Ez azt jelenti . Vagyis a sorozat végtelenül nagy.

2. példa

Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy
.

(2) .
Az adott sorozat közös tagjának alakja a következő:
.

Írja be a számokat és:
.
.

Ekkor bárki találhat egy természetes számot , amely kielégíti az egyenlőtlenséget , így mindenki számára ,
.
Ez azt jelenti .

.

3. példa

Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy
.

Írjuk fel a mínusz végtelennel egyenlő sorozat határértékét:
(3) .
Az adott sorozat közös tagjának alakja a következő:
.

Írja be a számokat és:
.
Ez azt mutatja, hogy ha és , akkor
.

Mivel bármelyikre találhat olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, akkor
.

Adott N-ként bármilyen természetes szám, amely kielégíti a következő egyenlőtlenséget:
.

4. példa

Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy
.

Írjuk ki a sorozat közös tagját:
.
Írjuk fel a plusz végtelennel egyenlő sorozat határértékét:
(2) .

Mivel n természetes szám, n = 1, 2, 3, ... , azután
;
;
.

Bevezetjük a számokat és az M -t, összefüggésbe hozva őket egyenlőtlenségekkel:
.
Ez azt mutatja, hogy ha és , akkor
.

Tehát bármely M számra találhat egy természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget. Akkor mindenkinek
.
Ez azt jelenti .

Referenciák:
L.D. Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 2003.
CM. Nikolszkij. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet, Moszkva, 1983.

Lásd még: