Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Rösslerov atraktor- haotični atraktor, koji ima sistem Rösslerovih diferencijalnih jednačina:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrica)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$ ;

gdje $a,b,c$ su pozitivne konstante. Za vrijednosti parametara $a=b=0,2$ i $2.6\backslash le\; c\backslash le\; 4.2$ Rösslerove jednačine imaju stabilan granični ciklus. Sa ovim vrijednostima parametara, period i oblik graničnog ciklusa izvode sekvencu udvostručavanja perioda. Odmah nakon tačke $c\; =\; 4.2$ javlja se fenomen haotičnog atraktora. Dobro definisane linije graničnih ciklusa zamagljuju i ispunjavaju fazni prostor beskonačnim prebrojivim skupom putanja koje imaju svojstva fraktala.

Ponekad se Rösslerovi atraktori konstruišu za ravan, odnosno sa $z\; =\; 0$.

$\backslash levo\; \backslash (\; \backslash begin(matrica)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$

Održiva rješenja za $x,\; y$ može se naći izračunavanjem svojstvenog vektora Jakobijanske matrice oblika , za koji $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Iz ovoga je jasno da kada , sopstveni vektori složeni su i imaju pozitivne realne komponente, što atraktor čini nestabilnim. Sada ćemo razmotriti avion $Z$ u istom opsegu $a$. ćao $x$ manje $c$, parametar $c$će zadržati putanju blizu aviona $x,\; y$. Jednom $x$ postaće više $c$, $z$-koordinata će početi da raste, a nešto kasnije i parametar $-z$će usporiti rast $x$ in $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Balansni bodovi

Da bi se pronašle tačke ravnoteže, tri Rösslerove jednadžbe se postavljaju jednake nuli i $xyz$-koordinate svake ravnotežne tačke nalaze se rješavanjem rezultirajućih jednačina. na kraju:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash desno)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$

Kao što je prikazano u opšte jednačine Rösslerov atraktor, jedan od ovih fiksne tačke koji se nalaze u centru atraktora, dok drugi leže relativno daleko od centra.

Promjena parametara a, b i c

Ponašanje Rösslerovog atraktora u velikoj mjeri ovisi o vrijednostima konstantnih parametara. Promjena svakog parametra daje određeni efekat, kao rezultat toga, sistem može konvergirati u periodičnu orbitu, u fiksnu tačku ili juriti u beskonačnost. Broj perioda Rösslerovog atraktora određen je brojem njegovih okreta oko centralne tačke koji se javljaju prije serije petlji.

Bifurkacioni dijagrami su standardni alat za analizu ponašanja dinamičkih sistema, koji uključuju Rösslerov atraktor. Nastaju rješavanjem jednačina sistema gdje su dvije varijable fiksne, a jedna promijenjena. Prilikom konstruiranja takvog dijagrama dobivaju se gotovo potpuno "zasjenjene" regije; ovo je oblast dinamičnog haosa.

Promjena parametra a

Hajde da popravimo $b\; =\; 0,2$, $c=5,7$ i mi ćemo se promeniti $a$.

Kao rezultat toga, empirijski, dobijamo sljedeću tabelu:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergiranje u stabilnu tačku.
• $a\; =\; 0,1$: Vrti se sa periodom od 2.
• $a\; =\; 0,2$: Haos (standardni parametar Rösslerovih jednadžbi) .
• $a\; =\; 0,3$: Haotični atraktor.
• $a\; =\; 0,35$: Slično kao i prethodni, ali je haos izraženiji.
• $a\; =\; 0,38$: Slično kao i prethodni, ali je haos još jači.

Promjena parametra b

Hajde da popravimo $a\; =\; 0,2$, $c=5,7$ i sada ćemo promijeniti parametar $b$. Kao što se može vidjeti sa slike, na $b$ težeći nuli, atraktor je nestabilan. Kada $b$ postaće više $a$ i $c$, sistem će biti izbalansiran i preći u stacionarno stanje.

Promjena parametra c

Hajde da popravimo $a=b=0,1$ i mi ćemo se promeniti $c$. Iz dijagrama bifurkacije se može vidjeti da za male $c$ sistem je periodičan, ali brzo postaje haotičan kako se povećava. Slike pokazuju tačno kako se slučajnost sistema menja sa povećanjem $c$. Na primjer, kada $c$= 4 atraktor će imati period jednak jedan, a na dijagramu će biti samo jedna linija, isto će se dogoditi kada $c$= 3 i tako dalje; ćao $c$ neće postati više od 12: posljednje periodično ponašanje karakterizira ova vrijednost, tada haos ide posvuda.

Dajemo ilustracije ponašanja atraktora u navedenom rasponu vrijednosti $c$, koji ilustruju opšte ponašanje ovakvih sistema – česte prelaze iz periodičnosti u dinamički haos.

Napišite recenziju na članak "Rösslerov atraktor"

Bilješke

Linkovi

• Konstruktor

Književnost

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Moderna fizika: Tutorial. M., KomKniga, 2005, 512 str., ISBN 5-484-00058-0, pogl. 2 Fizika otvoreni sistemi. pp 2.4 Rösslerov haotični atraktor.

Odlomak koji karakteriše Rösslerov atraktor

„Pustite me da prođem, kažem vam“, ponovi princ Andrej, stisnuvši usne.
- I ko si ti? iznenada se policajac okrenuo prema njemu s pijanim bijesom. - Ko si ti? Ti (na tebe se posebno odmarao) si gazda ili sta? Ja sam ovdje šef, ne ti. Ti, nazad, - ponovio je, - razbiću tortu.
Ovaj izraz se očigledno dopao oficiru.
- Ađutant se važno obrijao - začuo se glas iza.
Knez Andrej je video da je oficir u tom pijanom naletu besa, u kome se ljudi ne sećaju šta govore. Vidio je da je njegovo zalaganje za doktorovu ženu u vagonu bilo ispunjeno onim čega se najviše plašio na svijetu, onoga što se zove ismijavanje [smiješno], ali njegov instinkt je govorio drugačije. Prije nego što je oficir stigao da završi svoje posljednje riječi, princ Andrej, lica unakaženog od bjesnila, dojahao je do njega i podigao bič:
- Pusti me iz svoje volje!
Policajac je odmahnuo rukom i žurno se odvezao.
“Sve od ovih, od osoblja, cijeli nered”, gunđao je. - Radite kako želite.
Knez Andrej je žurno, ne podižući oči, odjahao od doktorove žene, koja ga je nazvala spasiocem, i, prisećajući se s gađenjem i najmanjih detalja ove ponižavajuće scene, odgalopirao je do sela gde je, kako mu je rečeno, komandant- glavni je bio.
Ušavši u selo, sjahao je sa konja i otišao do prve kuće s namjerom da se barem na minut odmori, pojede nešto i razbistri sve ove uvredljive misli koje su ga mučile. "Ovo je gomila nitkova, a ne vojska", pomislio je prilazeći prozoru prve kuće, kada ga je poznati glas pozvao po imenu.
Osvrnuo se. Lepo lice Nesvickog virilo je iz malog prozora. Nesvitsky, žvaćući nešto svojim sočnim ustima i mašući rukama, dozva ga k sebi.
- Bolkonski, Bolkonski! Zar ne čuješ, zar ne? Idi brže, viknuo je.
Ušavši u kuću, princ Andrej je ugledao Nesvickog i još jednog ađutanta kako nešto jedu. Žurno su se obratili Bolkonskom s pitanjem zna li nešto novo. Na njihovim mu tako poznatim licima, princ Andrej je pročitao izraz uzbune i tjeskobe. Ovaj izraz je bio posebno uočljiv na uvek nasmejanom licu Nesvickog.
Gdje je glavnokomandujući? upitao je Bolkonski.
„Ovde, u toj kući“, odgovori ađutant.
- Pa, je li istina taj mir i kapitulacija? upita Nesvitsky.
- Pitam te. Ne znam ništa osim da sam do tebe došao na silu.
- Šta je sa nama, brate? Užas! Žao mi je, brate, smejali su se Meku, ali njima je još gore - rekao je Nesvitsky. - Sedi i pojedi nešto.
"Sad, kneže, nećete naći vagona, a vaš Petar Bog zna gdje", reče drugi ađutant.
- Gdje je glavni stan?
- Prenoćićemo u Znaimu.
„I tako sam spakovao sve što mi je bilo potrebno za sebe na dva konja“, rekao je Nesvitsky, „i oni su mi napravili odlične torbe. Iako kroz boemske planine pobjeći. Loše, brate. Šta ti je, stvarno loše, zašto tako drhtiš? upita Nesvitsky, primetivši kako se princ Andrej trzao, kao da je dodirnuo lejdensku teglu.
„Ništa“, odgovori knez Andrej.
U tom trenutku se prisjetio svog nedavnog susreta sa doktorovom suprugom i furštatskim službenikom.
Šta glavni komandant radi ovde? - pitao.
„Ništa ne razumem“, rekao je Nesvicki.
„Samo razumem da je sve podlo, podlo i podlo“, rekao je princ Andrej i otišao do kuće u kojoj je stajao glavnokomandujući.
Prolazeći pored Kutuzovljeve kočije, izmučenih jahaćih konja pratnje i kozaka, koji su glasno razgovarali među sobom, knez Andrej je ušao u hodnik. Sam Kutuzov, kako je rečeno princu Andreju, bio je u kolibi sa princom Bagrationom i Weyrotherom. Weyrother je bio austrijski general koji je zamijenio ubijenog Schmitta. U prolazu je mali Kozlovski čučao ispred službenika. Službenik je na obrnutoj kadi podigao lisice svoje uniforme, žurno je napisao. Lice Kozlovskog je bilo iscrpljeno - on, očigledno, takođe nije spavao noć. Bacio je pogled na princa Andreja i nije mu čak ni klimnuo glavom.
- Drugi red... Jeste li napisali? - nastavio je, diktirajući službeniku, - kijevski grenadir, Podolski...
„Nećete stići na vreme, časni sude“, odgovorio je službenik nepošteno i ljutito, osvrćući se na Kozlovskog.
U tom trenutku iza vrata se začuo Kutuzov animirani nezadovoljni glas, prekinut drugim, nepoznatim glasom. Po zvuku ovih glasova, po nepažnji kojom ga je Kozlovsky gledao, po nepoštovanju iscrpljenog službenika, po činjenici da su službenik i Kozlovsky sjedili tako blizu vrhovnog komandanta na podu blizu kade , i činjenicom da su se kozaci koji su držali konje glasno smijali ispod prozora kuće - zbog svega toga, princ Andrej je osjećao da će se nešto važno i nesretno dogoditi.
Knez Andrej je pitao Kozlovskog.
„Sada, kneže“, rekao je Kozlovsky. - Raspoloženje Bagrationu.
Šta je sa predajom?
- Ne postoji; izdata naređenja za borbu.
Princ Andrej je otišao do vrata kroz koja su se čuli glasovi. Ali taman kad se spremao da otvori vrata, glasovi u sobi utihnuše, vrata se sama od sebe otvoriše, a na pragu se pojavi Kutuzov, sa svojim orlovim nosom na punašnom licu.
Knez Andrej je stajao tačno nasuprot Kutuzova; ali po izrazu jedinog vidjećeg oka glavnokomandujućeg bilo je jasno da su ga misao i briga toliko zaokupljali da se činilo kao da mu je vid zamagljen. Pogledao je direktno u lice svog ađutanta i nije ga prepoznao.
- Pa, jesi li završio? okrenuo se Kozlovskom.
„Samo trenutak, Vaša Ekselencijo.
Bagration, nizak, orijentalnog tipa tvrdog i nepokretnog lica, suh, još ne starac, krenuo je za glavnokomandujućom.
"Imam čast da se pojavim", ponovi princ Andrej prilično glasno, pružajući kovertu.
"Ah, iz Beča?" Dobro. Posle, posle!
Kutuzov je izašao sa Bagrationom na trem.
"Pa, zbogom, kneže", rekao je Bagrationu. „Hristos je s vama. Blagoslivljam te na velikom uspjehu.
Kutuzovljevo lice odjednom se smekšalo, a u očima su mu se pojavile suze. Lijevom rukom privukao je Bagrationa k sebi, a desnom rukom, na kojoj je bio prsten, očito ga je uobičajenim pokretom prekrstio i ponudio mu punašan obraz, umjesto kojeg ga je Bagration poljubio u vrat.

Zdravo svima!

Ovaj članak je posvećen nevjerovatnim karakteristikama u svijetu haosa. Pokušat ću razgovarati o tome kako obuzdati tako čudnu i složenu stvar kao što je haotičan proces i naučiti kako stvoriti svoje jednostavne generatore haosa. Zajedno s vama, idemo od suhe teorije do odlične vizualizacije haotičnih procesa u svemiru. Konkretno, na primjeru dobro poznatih haotičnih atraktora, pokazat ću kako se kreiraju dinamički sistemi i kako se koriste u zadacima vezanim za programibilna logička integrirana kola (FPGA).

Uvod

Teorija haosa je neobična i mlada nauka koja opisuje ponašanje nelinearnih dinamičkih sistema. U procesu svog nastanka, teorija haosa se jednostavno okrenula moderna nauka! To je uzbudilo umove naučnika i učinilo ih sve više udubljenim u proučavanje haosa i njegovih svojstava. Za razliku od buke, koja je slučajan proces, haos je deterministički. To jest, za haos postoji zakon promjene količina uključenih u jednačine za opisivanje haotičnog procesa. Čini se da se s takvom definicijom haos ne razlikuje od bilo koje druge oscilacije opisane kao funkcija. Ali nije. Haotični sistemi su veoma osetljivi na početne uslove i najmanja promena u njima može dovesti do ogromnih razlika. Ove razlike mogu biti toliko jake da će biti nemoguće reći da li je testiran jedan ili više sistema. Iz popularno-naučnih izvora, ovo svojstvo haosa najbolje opisuje proces koji se zove " Efekat leptira Mnogi su čuli za to, pa čak i čitali knjige i gledali filmove koji su koristili tehniku ​​pomoću efekta leptira. U suštini, efekat leptira odražava glavno svojstvo haosa.

Američki naučnik Edvard Lorenc, jedan od pionira u oblasti haosa, jednom je rekao:

Leptir koji maše krilima u Ajovi može izazvati lavinu efekata koji mogu kulminirati u kišnoj sezoni u Indoneziji.

Dakle, hajde da zaronimo u teoriju haosa i vidimo koja improvizovana sredstva mogu stvoriti haos.

Teorija

Prije predstavljanja glavnog materijala, želio bih dati nekoliko definicija koje će pomoći da se razumiju i razjasni neke točke u članku.

dinamički sistem je neki skup elemenata za koji funkcionalna zavisnost između vremenske koordinate i položaja u faznom prostoru svakog elementa sistema. Jednostavno rečeno, dinamički sistem je sistem čije se stanje u prostoru menja tokom vremena.
Mnogi fizički procesi u prirodi su opisani sistemima jednačina, koji su dinamički sistemi. Na primjer, to su procesi sagorijevanja, tokovi tekućine i plina, ponašanje magnetnih polja i električne oscilacije, hemijske reakcije, meteorološke pojave, populacijske promjene u biljkama i životinjama, turbulencije u morskim strujama, kretanje planeta, pa čak i galaksija. Kao što vidite, mnoge fizičke pojave mogu se donekle opisati kao haotični proces.

Fazni portret- ovo je koordinatnu ravan, u kojem svaka tačka odgovara stanju dinamičkog sistema u određenom trenutku. Drugim riječima, ovo prostorni model sistemi (mogu biti dvodimenzionalni, trodimenzionalni, pa čak i četverodimenzionalni i više).

atraktor je neki skup faznog prostora dinamičkog sistema, za koji se sve trajektorije privlače ovom skupu tokom vremena. ako uopšte običan jezik, onda je ovo neka oblast u kojoj je koncentrisano ponašanje sistema u prostoru. Mnogi haotični procesi su atraktori, jer su koncentrisani u određenom području prostora.

Implementacija

U ovom članku želio bih govoriti o četiri glavna atraktora - Lorentzu, Ressleru, Rikitaki i Nose-Hooveru. Osim teorijski opisčlanak odražava aspekte stvaranja dinamičkih sistema u okruženju MATLAB Simulink i njihovu dalju integraciju u FPGA kompanije Xilinx uz pomoć alata Generator sistema. Zašto ne VHDL/Verilog? Atraktore možete sintetizirati i koristeći RTL jezike, ali za bolju vizualizaciju svih procesa MATLAB je idealna opcija. Neću dirati teški trenuci povezan sa proračunom spektra Ljapunovljevih eksponenata ili konstrukcijom Poincareovih sekcija. I još više, neće biti glomaznih matematičkih formula i zaključaka. Pa počnimo.

Za kreiranje generatora haosa potreban nam je sljedeći softver:

• MATLAB R2014 licenciran za Simulink i DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 sa licencom System-Generator (DSP Edition).

Ovi programi su prilično teški, pa budite strpljivi kada ih instalirate. Bolje je započeti instalaciju sa MATLAB-om, pa tek onda instalirati softver Xilinx (sa drugačijim redoslijedom, neki moji prijatelji nisu uspjeli integrirati jednu aplikaciju u drugu). Kada instalirate potonje, pojavljuje se prozor gdje možete povezati Simulink i System Generator. U instalaciji nema ništa komplicirano i neobično, pa ćemo ovaj proces preskočiti.

Lorencov atraktor

Lorencov atraktor- ovo je možda najpoznatiji dinamički sistem u teoriji haosa. Već nekoliko decenija izaziva veliku pažnju mnogih istraživača za opis pojedinih fizički procesi. Atraktor se prvi put spominje 1963. godine u radovima E. Lorenza, koji se bavio modeliranjem atmosferskih pojava. Lorentzov atraktor je trodimenzionalni dinamički sistem nelinearnih autonomnih diferencijalnih jednačina prvog reda. Ima složenu topološku strukturu, asimptotski je stabilan i stabilan u smislu Ljapunova. Lorencov atraktor je opisan sledećim sistemom diferencijalnih jednačina:

U formuli, tačka iznad parametra znači uzimanje izvoda, koji odražava brzinu promjene vrijednosti u odnosu na parametar ( fizičko značenje derivat).

Za vrijednosti parametara σ = 10, r= 28 i b= 8/3 ovaj jednostavan dinamički sistem je dobio E. Lorenz. Dugo vremena nije mogao da shvati šta se dešava sa njegovim kompjuterom, dok konačno nije shvatio da sistem pokazuje haotična svojstva! Dobiven je u toku eksperimenata za problem modeliranja konvekcije fluida. Osim toga, ovaj dinamički sistem opisuje ponašanje sljedećih fizičkih procesa:

• je laserski model sa jednim modom,
• – konvekcija u zatvorenoj petlji i ravnom sloju,
• – rotacija vodenog točka,
• – harmonički oscilator sa inercijskom nelinearnošću,
• – vrtlozi oblačnih masa itd.

Sljedeća slika prikazuje Lorentzov atraktorski sistem u MATLAB okruženju:

Na slici se koristi niz sljedećih simbola:

• oduzimači: SUB0-3;
• konstantni množitelji: SIGMA, B, R;
• množitelji: MULT0-1;
• integratori sa ćelijom za određivanje početnog stanja: INTEGRATOR X,Y,Z;
• izlazni portovi OUT: PODACI X,Y,Z za signale XSIG, YSIG, ZSIG;

Osim toga, dijagram predstavlja pomoćne alate za analizu, a to su:

• pohranjivanje rezultata proračuna u datoteku: U radni prostor X,Y,Z;
• konstrukcija prostornih grafova: Grafikon XY, YZ, XZ;
• pravljenje vremenskih grafikona: Opseg XYZ;
• alati za procjenu zauzetih resursa kristala i generiranje HDL koda iz modela " Resource Estimator" i " Generator sistema».

Unutar svakog čvora matematičkih operacija morate specificirati bitnu dubinu međupodataka i njihov tip. Nažalost, nije tako lako raditi s pomičnim zarezom u FPGA-ima i u većini slučajeva se sve operacije izvode u formatu fiksne točke. Pogrešno postavljanje parametara može dovesti do pogrešnih rezultata i frustrirati vas prilikom izgradnje vaših sistema. Eksperimentirao sam s različitim vrijednostima, ali sam se odlučio sljedeći tip podaci: 32-bitni vektor potpisanih brojeva u formatu fiksne tačke. 12 bitova je dodijeljeno za cijeli broj, 20 bita za razlomak.

Postavljanjem X, Y, Z integratora u bloku okidača na početnu vrijednost sistema, npr. {10, 0, 0} , vodio sam model. U vremenskoj bazi mogu se uočiti sljedeća tri signala:


Čak i ako vrijeme simulacije teži beskonačnosti, onda se implementacija u vremenu nikada neće ponoviti. Haotični procesi su neperiodični.

AT trodimenzionalni prostor Lorenzov atraktor izgleda ovako:

Vidi se da atraktor ima dvije privlačne tačke oko kojih se odvija cijeli proces. Uz malu promjenu početnih uslova, proces će se također koncentrirati oko ovih tačaka, ali će se njegove putanje značajno razlikovati od prethodne verzije.

Rösslerov atraktor

Drugi atraktor po broju referenci u naučnim člancima i publikacijama. Za Rösslerov atraktor karakteristika je prisustvo granične tačke za ispoljavanje haotičnih ili periodičnih svojstava. Pri određenim parametrima dinamičkog sistema oscilacije prestaju biti periodične, a nastaju haotične oscilacije. Jedno od izuzetnih svojstava Rösslerovog atraktora je fraktalna struktura u faznoj ravni, odnosno fenomen samosličnosti. Vidi se da drugi atraktori po pravilu imaju ovo svojstvo.

Rösslerov atraktor se opaža u mnogim sistemima. Na primjer, koristi se za opisivanje tokova fluida, kao i za opisivanje ponašanja raznih hemijske reakcije i molekularne procese. Rösslerov sistem je opisan sljedećim diferencijalnim jednadžbama:

U MATLAB okruženju atraktor je izgrađen na sljedeći način:

Vremenska implementacija prostornih veličina:

Trodimenzionalni model Rösslerovog atraktora:

Bang! Vrijednosti su se malo promijenile:

Atraktor pod malo izmenjenim početnim uslovima (putanja su različite!)

Atraktor sa drugim koeficijentima u sistemu jednačina (haotičan proces se pretvorio u periodičan!)

Uporedite slike 3D atraktori pod različitim početnim uslovima i koeficijentima u sistemu jednačina. Vidite li kako su se putanje kretanja dramatično promijenile u prvom slučaju? Ali na ovaj ili onaj način, oni su koncentrirani u blizini jednog područja privlačnosti. U drugom slučaju, atraktor je uglavnom prestao da pokazuje znakove haosa, pretvarajući se u zatvorenu periodičnu petlju (granični ciklus).

Atraktor Rikitake

Dynamo Rikitake je jedan od dobro poznatih dinamičkih sistema trećeg reda sa haotičnim ponašanjem. To je model dinamo s dva diska i prvi put je predložen u problemima haotične inverzije Zemljinog geomagnetnog polja. Naučnik Rikitake je istraživao dinamo sistem sa dva međusobno povezana diska konstruisana na način da struja iz jednog namotaja diska teče u drugi i pobuđuje drugi disk, i obrnuto. U nekom trenutku sistem je počeo da propada i pokazuje nepredvidive stvari. Aktivne studije atraktora omogućile su da se dinamo Rikitake projektuje na model povezanosti velikih vrtloga magnetnog polja u Zemljinoj jezgri.

Dinamo Rikitake je opisan sljedećim sistemom jednačina:

Rikitake dinamo model u MATLAB-u:

Privremena implementacija:

Atraktor (prva verzija):

Dinamo (druga verzija)

Možete vidjeti da je Rikitake dinamo donekle sličan Lorenzovom atraktoru, ali to su potpuno različiti sistemi i opisuju različite fizičke procese!

Nos-Hoover atraktor

Manje poznat, ali ne manje važan trodimenzionalni dinamički sistem je Nose-Hoover termostat. Koristi se u molekularnoj teoriji kao vremenski reverzibilni termostatski sistem. Nažalost, ne znam toliko o ovom atraktoru koliko o ostalima, ali mi se učinio zanimljivim i uvrstio sam ga u recenziju.

Nose-Hoover termostat je opisan sljedećim sistemom jednadžbi:

Nose-Hoover model u MATLAB-u:

Privremena implementacija:

1

Članak je posvećen primeni metode analitičkog projektovanja agregiranih regulatora za razvoj zakona upravljanja tipičnim nelinearnim dinamičkim sistemima sa haotičnom dinamikom, koji obezbeđuju stabilizaciju ravnotežnih stanja u takvim sistemima. U članku je predstavljeno rješenje jednog od karakterističnih problema antihaotičnog upravljanja, odnosno problema suzbijanja aperiodičnih oscilacija u takvim sistemima. Razvijeni su sinergistički zakoni upravljanja za haotične Lorentzove i Resslerove modele, koji osiguravaju stabilizaciju faznih varijabli u ovim modelima. Uvođenje sintetizovanih povratne informacije dovodi do pojave stanja ravnoteže u sistemima. Izvršena je kompjuterska simulacija sintetizovanih zatvorenih dinamičkih sistema, što potvrđuje teorijske odredbe teorije sinergijskog upravljanja. Sintetizovani zakoni upravljanja mogu se koristiti u različitim tehničkim aplikacijama kako bi se povećala efikasnost njihovog funkcionisanja.

Lorenz model

Resslerov model

dinamički sistem

kontrolu

sinergija

Povratne informacije

samooscilacije

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Predavanja o nelinearnoj dinamici // Izvestiya Vysshikh obrazovne institucije. Primijenjena nelinearna dinamika. - 2010. - T. 18. - Br. 3. - S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Primijenjena sinergetika: Osnove sinteze sistema. - Taganrog: Izdavačka kuća TTI SFU, 2007. - 384 str.

3. Kolesnikov A.A. Sinergetska teorija upravljanja. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 str.

4. Malinetsky G.G. Haos. strukture. Računski eksperiment: Uvod u nelinearnu dinamiku. – M.: Uvodnik URSS, 2002. – 255 str.

5. Neimark Yu.I., Landa P.S. Stohastičke i haotične oscilacije. – M.: Nauka, 1987. – 424 str.

6. Moderna primijenjena teorija upravljanja. Dio II: Sinergetski pristup u teoriji upravljanja / pod. ed. AA. Kolesnikov. - M.-Taganrog: Izdavačka kuća TRTU, 2000. - 558 str.

7. Lorenz E.N. Deterministički neperiodični tok // J. Atmos. sci. - 1963. - br. 20. - P. 130–133.

8 Rossler O.E. Jednadžba za kontinuirani haos // Phys. Lett. A. - 1976. - Vol. 57A, br. 5. - P. 397-398.

Do danas je upotreba izraza "haos" u naučno istraživanje povezana sa potrebom da se opisuju takvi sistemi, koji se odlikuju potpuno slučajnom, na prvi pogled, dinamikom i istovremeno prisustvom skrivenog poretka u njima.

Dovoljno relevantno naučni problem kontrola haotične dinamike u ovom trenutku nije riješena. Od veliki broj U postojećim aspektima njegovog rešavanja, izuzetno je važno izdvojiti proučavanje različitih metoda i zakona koji potiskuju nepravilne oscilacije u nelinearnim sistemima, koje karakteriše prisustvo haotične dinamike.

Problem upravljanja nelinearnim sistemima sa haotičnom dinamikom je od velike praktične važnosti. Vrijedi napomenuti da ovdje nije poenta samo u borbi protiv haosa, koji često narušava kvalitet funkcionisanja. složeni sistemi, ali i u ideji o nastanku takozvanog „poretka iz haosa“, koji je svrsishodan za niz tehnoloških procesa.

Problem potiskivanja nepravilnih oscilacija jedan je od najkarakterističnijih problema upravljanja modelima sa haotičnom dinamikom i sastoji se u takvom formiranju upravljačkih akcija koje osiguravaju stabilizaciju prvobitno haotičnog modela u stabilnom stacionarnom stanju. U nastavku se pretpostavlja da je moguće utjecati na dinamiku modela uz pomoć nekog vanjskog upravljačkog djelovanja, koje je aditivno uključeno u desnu stranu jedne od njegovih diferencijalnih jednačina.

Svrha studije. U ovom radu rješavamo problem konstruisanja skalarnih zakona upravljanja koji obezbjeđuju potiskivanje haotičnih oscilacija u tipičnim haotičnim sistemima Lorentza i Resslera, pri čemu dolazi do stabilizacije nepravilnih oscilacija originalnih modela u ravnotežnom stacionarnom stanju. Problemi sličnog tipa nastaju kada je potrebno eliminisati neželjene vibracije konstrukcija, razne buke itd. .

Materijali i metode istraživanja

Jedna od metoda za efikasno rješavanje složenog problema upravljanja haosom i sinteze objektivnih zakona upravljanja za nelinearne sisteme sa haotičnom dinamikom je metoda analitičkog projektovanja agregiranih regulatora (ACAR), koju je predložio profesor A.A. Kolesnikov.

Konstrukcija skalarnih regulatora metodom analitičkog projektovanja agregiranih regulatora zasniva se na uvođenju niza invarijantnih mnogostrukosti opadajuće geometrijske dimenzije i naknadnoj dinamičkoj dekompoziciji početnog dinamičkog sistema korak po korak. U ovom slučaju, reprezentativna tačka (IP) sistema, počevši da se kreće iz proizvoljnog početnog stanja, uzastopno se kreće od jedne površine privlačnosti do druge sve dok ne udari u završnu površinu oblika ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. „Unutrašnje“ mnogostrukosti su topološki ugrađene u „spoljne“. Tako se u sintetizovanom sistemu javlja unutrašnji proces samoupravljanja. Kao rezultat, dolazi do kaskadnog formiranja niza internih kontrola, koji komprimira fazni volumen sistema u smjeru od vanjskog područja faznog prostora do skupa unutrašnjih regija ugniježđenih jedna u drugu sve dok IT ne uđe u željeno stanje sistema.

Pretpostavimo da u prostoru stanja zatvorenog sistema postoji privlačna invarijantna mnogostrukost oblika ψ(x) = 0, koja je asimptotička granica faznih putanja. Općenito, može postojati nekoliko takvih sorti. Po pravilu, broj invarijantnih mnogostrukosti se poklapa sa brojem kontrolnih kanala. Tada reprezentativna tačka sistema počinje da teži preseku invarijantnih mnogostrukosti. Neophodan uslov udaranje u reprezentativnu tačku zatvorenog sistema "objekt-regulator" na invarijantnoj mnogostrukosti ψ(x) = 0 je da njegovo kretanje zadovoljava neku stabilnu diferencijalnu jednačinu napisanu u odnosu na agregiranu makro varijablu ψ(x). Takva se jednadžba u sinergijskoj teoriji upravljanja naziva funkcionalna ili evolucijska. Obično se sistem funkcionalnih jednačina daje kao sistem običnih diferencijalnih jednačina prvog reda oblika

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Ovdje je m broj datih invarijantnih mnogostrukosti; Ts je kontrolni parametar, φ s (ψ s) je funkcija koja mora zadovoljiti sljedeći skup uslova:

1) φ s (ψ s ) mora biti kontinuiran, jednovrijedan i diferenciran za sve ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 za bilo koje 0,

one. oni nestaju samo na mnogostrukostima φ s = 0, u odnosu na koje je sistem datih funkcionalnih jednačina asimptotski stabilan kao celina.

U pravilu, ACAR metoda koristi funkcionalne jednadžbe:

one. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Jednačine ovog tipa, kao što se vidi, karakteriše asimptotska stabilnost u odnosu na mnogostrukost ψ s = 0 pod uslovom da je Ts > 0.

U ovoj situaciji, problem sinteze zakona stabilizacije upravljanja haotičnih modela u opštem slučaju se formuliše na sledeći način. Potrebno je pronaći funkciju uS(x) kao određeni skup povratnih veza koje osiguravaju prijenos reprezentativne tačke početnog haotičnog modela iz proizvoljnih početnih uslova u određenom dopuštenom području u dato stanje (skup stanja), koje odgovara stabilnom režimu. U samom jednostavan slučaj kontrola unosi samo jednu diferencijalnu jednačinu originalnog sistema. Mogu postojati opcije kada je ista kontrolna radnja u različitim redovima originalnog sistema.

Karakterističan aspekt formulacije problema sinergetske sinteze zakona upravljanja je postojanje dodatnog zahtjeva za kretanje sistema iz početnog stanja u konačno, koji se sastoji u asimptotičkom privlačenju faznih putanja sistema. na neki invarijantni mnogostrukost (presek mnogostrukosti) u prostoru stanja (PS) sistema.

Uvođenje stabilizirajuće povratne sprege u jednačine originalnog modela dovodi do svrsishodne promjene topologije njegovog prostora stanja. Kao rezultat takvog preuređivanja, haotični atraktor nestaje i formira se regularni atraktor tipa „tačka“, koji odgovara željenom ravnotežnom načinu ponašanja.

Rezultati istraživanja i diskusija

Razmotrimo faze implementirane procedure za sintezu zakona stabilizacije upravljanja ACAR metodom za haotični Lorentz sistem.

Lorenzov model je izvorno izveden iz Navier-Stokesovih jednačina i jednačina toplinske provodljivosti kako bi se istražila mogućnost predviđanja vremenskih uvjeta s različitim kontrolnim parametrima. Model opisuje kretanje konvektivnih valjaka u tekućini s temperaturnim gradijentom.

Model je sljedeći sistem od tri obične diferencijalne jednadžbe:

gdje je σ Prandtlov broj; ρ je normalizirani Rayleighov broj; parametar b zavisi od udaljenosti između ravnina i horizontalnog perioda.

Rice. 1. Haotični atraktor Lorentzovog sistema

U ovom sistemu, pod određenim uslovima, dolazi do stvaranja haotičnih oscilacija. Na sl. Na slici 1 prikazana je fazna putanja sistema za parametre σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 u determinističkom modu haosa. U ovom dinamičkom sistemu po prvi put su proučavane stohastičke autooscilacije. Haotični atraktor sistema (1) se suštinski razlikuje od haotičnih atraktora većine modela nelinearne dinamike. Njegova struktura u potpunosti odgovara čudnom atraktoru i karakterizira ga prisustvo samo sedlastog tipa kretanja.

Pretpostavimo da kontrolna akcija u1 ulazi u prvu jednačinu sistema (1) u obliku interne povratne sprege:

Hajde da uvedemo jednu invarijantnu mnogostrukost oblika

gdje je μ neki kontrolni parametar.

Ako diferenciramo funkciju ψ1 (3) s obzirom na vrijeme i zamijenimo njen izvod u funkcionalnu jednadžbu

dobijamo željeni zakon kontrole:

Zakon upravljanja (5) osigurava prijenos reprezentativne tačke sistema (2), zatvorene povratnom spregom (5), na invarijantnu mnogostrukost ψ1 = 0.

Dinamika kretanja reprezentativne tačke modela duž ove invarijantne mnogostrukosti opisana je pomoću diferencijalnih jednadžbi dekomponovanog modela, koje se formiraju zamenom izraza iz jednakosti ψ1 = 0 (3) u drugu i treću jednačinu sistem (2):

(6)

Rice. 2. Fazni portreti sistema (2), (5) i (6)

Rice. Slika 2 ilustruje rezultate numeričke simulacije sistema (2), (5) za vrijednosti kontrolnih parametara σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, karakterističnih za postojanje haotičnog Lorencovog atraktora. , i vrijednosti parametara regulatora T1 = 0,1, μ = 4, koji potvrđuju djelotvornost teorijskih principa ACAR metode. Prva jednadžba u dekomponovanom sistemu (6) potpuno je identična osnovnoj evolucijskoj jednadžbi sinergetike sa bifurkacijom "račva".

Konstruirajmo stabilizirajući zakon upravljanja ACAR metodom za Resslerov model. Resslerov model je nelinearni dinamički sistem diferencijalnih jednadžbi trećeg reda oblika:

gdje su a, b, c kontrolni parametri.

Sistem (7) je predložio Ressler za modeliranje procesa interakcije serije hemijske supstance. Ovaj sistemČesto se koristi u raznim naučnim studijama pojava različite prirode u vezi sa prisustvom znakova pojave i postojanja haotične dinamike karakteristične za njih. Rice. 3 prikazuje haotični atraktor Resslerovog sistema za vrijednosti parametara a = b = 0,2; c = 9.

Pretpostavimo da je kontrolno dejstvo uključeno u drugu jednačinu originalnog sistema (7):

Tip invarijantne mnogostrukosti

i funkcionalna jednadžba (4) nam omogućavaju da dobijemo željeni zakon upravljanja:

(10)

Zakon upravljanja (10) garantuje translaciju reprezentativne tačke kontrolisanog sistema (8), koja je zatvorena povratnom spregom (10), na invarijantni mnogostrukost ψ2 = 0 (9).

Rice. 3. Haotični atraktor Roesslerovog sistema

Priroda kretanja sistema duž invarijantne mnogostrukosti ψ2 = 0 opisana je dekomponovanim modelom:

(11)

gdje je u prvom redu prisutna bifurkacijska jednadžba tipa "viljuška".

Rice. 4. Fazni portreti sistema (8), (10) i (11)

Rice. 4 ilustruju dobijene rezultate numeričke simulacije zatvorenog sistema (8), (10) za vrednosti kontrolnih parametara modela a = b = 0,2; c = 9, koji su tipični za pojavu atraktora haotičnog tipa, kao i vrijednosti parametara regulatora T2 = 0,1; μ = 25.

U oba dobivena dekomponirana modela (6), (11), jednadžbe smještene u prvom redu poklapaju se s osnovnom evolucijskom jednadžbom sinergije s bifurkacijom tipa viljuške. S tim u vezi, možemo potvrditi prirodnu prirodu sintetizovanih zakona stabilizacije kontrole početnih haotičnih sistema i postojećeg jedinstva i unutrašnje povezanosti univerzalnih evolucionih jednačina. nelinearna teorija samoorganizacija i sinergija.

Prirodni karakter sintetizovanih zakona upravljanja je posledica, pre svega, prisustva skupa tipičnih svojstava bifurkacije u zatvorenim sistemima.

Kao rezultat istraživanja, sintetiziran je skup povratnih informacija, nakon čijeg zatvaranja početni haotični sistemi mijenjaju prirodu svog ponašanja i pretvaraju atraktor haotičnog tipa u atraktor tipa „tačka“. Rezultirajući zakoni upravljanja u1 (5) i u2 (10) garantovano će osigurati asimptotičku stabilnost u cijelom faznom prostoru u odnosu na željena ravnotežna stanja za vrijednosti parametra μ< 0 или μ >0 za odgovarajuće početne haotične modele. Rezultirajući zakoni u1 (5) i u2 (10) pripadaju klasi objektivnih zakona upravljanja koji transformišu Lorentzove i Resslerove sisteme, koji imaju haotičnu dinamiku, u osnovne evolutivne jednačine teorije samoorganizacije i sinergetike.

Sintetizirani zakoni upravljanja u1 (5) i u2 (10) su originalni i univerzalni. Mogu se koristiti u dizajnu upravljani sistemi u različite svrhe, značajno povećavajući efikasnost njihovog funkcionisanja.

Bibliografska veza

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. PRIMJENA AKAR METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA STABILIZACIJE RAVNOTEŽNIH STANJA TIPIČNIH NELINEARNIH SISTEMA // Fundamentalna istraživanja. - 2016. - br. 5-2. – str. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"

U ovoj knjizi zauzeli smo empirijski pristup haotičnim oscilacijama i predstavili niz različitih fizičke pojave, u kojem igra haotična dinamika važnu ulogu. Naravno, nemaju svi čitaoci pristup laboratoriji niti imaju sklonost eksperimentiranju, iako većina njih može koristiti digitalne kompjutere. Imajući to na umu, u ovom dodatku predstavljamo seriju numeričkih eksperimenata koji se mogu izvesti ili na personalnom računaru ili na mikroračunaru, u nadi da će pomoći čitaocu da istražuje dinamiku sada već klasičnih modela haosa.

B.1. LOGISTIČKA JEDNAČINA: Udvostručenje perioda

Jedan od najjednostavnijih problema za početak u novoj dinamici mora biti model rasta populacije ili logistička jednačina

Fenomene udvostručavanja perioda posmatrali su različiti istraživači (videti, na primer, Mayov rad) i, naravno, Fajgenbaum, koji je otkrio čuvene zakone sličnosti parametara (videti poglavlja 1 i 5). Personalni računar čini izuzetno lakim reprodukciju dva numerička eksperimenta.

U prvom eksperimentu imamo graf zavisnosti od u rasponu . Režim udvostručavanja perioda se posmatra na vrednostima ispod. Počevši od možete videti putanju sa periodom od 1. Da biste videli duže putanje, označite prvih 30-50 iteracija tačkama, a sledeće iteracije drugim simbolom.

Naravno, crtanjem zavisnosti od , možete promatrati prijelaz i stacionarni režimi. Haotične putanje se mogu detektovati na . U blizini se može detektovati putanja sa periodom od 3 .

Sljedeći numerički eksperiment vezan je za konstrukciju bifurkacijskog dijagrama. Da bi se to postiglo, potrebno je nacrtati ukupnu ovisnost o kontrolnom parametru. Odaberite neki početni uvjet (na primjer, i uradite 100 iteracija prikaza. Zatim iscrtajte vrijednosti dobijene iz sljedećih 50 iteracija na vertikalnu os, a odgovarajuću vrijednost na horizontalnu os (ili obrnuto). Korak po korak odaberite oko 0,01 i proći kroz opseg Na dijagramu u tačkama udvostručavanja perioda treba da proizvedu klasične bifurkacije tipa vile. Možete li odrediti Feigenbaumov broj iz podataka numeričkog eksperimenta?

May također daje listu numeričkih eksperimenata s drugim jednodimenzionalnim preslikavanjima, na primjer, s preslikavanjem

On opisuje ovo mapiranje kao model rasta populacije jedne vrste, regulisanog epidemijskom bolešću. Istražite područje. Tačka akumulacije udvostručavanja perioda i početak haosa odgovaraju . Mayin članak sadrži i podatke o nekim drugim numeričkim eksperimentima.

B.2. LORENTZOVE JEDNAČINE

Izvanredan numerički eksperiment, nesumnjivo vrijedan ponavljanja, sadržan je u originalnom Lorentzovom djelu. Lorentz je pojednostavio jednačine koje je Saltzman izveo iz jednačina toplotne konvekcije u tečnosti (vidi Poglavlje 3). Prioritet u otkrivanju neperiodičnih rješenja jednačina konvekcije, prema Lorentzu, pripada Salzmanu. Za proučavanje haotičnih kretanja, Lorentz je odabrao sada klasične vrijednosti parametara u jednadžbi

Podaci prikazani na sl. 1 i 2 Lorenzovog rada, mogu se reproducirati odabirom početni uslovi i vremenski korak i projektovanje rješenja ili na ravan ili na ravan

Da bi dobio jednodimenzionalno preslikavanje izazvano ovim tokom, Lorentz je razmatrao uzastopne maksimume varijable z, koje je označio. Grafikon zavisnosti od pokazao je da je u ovom slučaju preslikavanje dato krivuljom koja liči na oblik krova kuća. Lorentz je zatim istražio pojednostavljenu verziju ove karte, nazvanu "mapa tipa kuće", bilinearna verzija logističke jednadžbe

B.3. Intermitentnost i Lorentzove jednadžbe

Ilustrativan primjer intermitentnosti može se pronaći numeričkom integracijom Lorentzovih jednačina pomoću kompjutera:

sa parametrima prema Runge-Kutta metodi. Na , dobićete periodičnu putanju, ali na i više, pojavit će se "rafali", ili haotični šumovi (vidi rad Mannevillea i Pomoa). Mjerenjem prosječnog broja N periodičnih ciklusa između rafala (laminarna faza), trebali biste dobiti zakon skaliranja

B.4. OENON ATTRACTOR

Generalizaciju kvadratne karte na pravoj za dvodimenzionalni slučaj (na ravni) predložio je francuski astronom Henon:

Kada je , Henonovo mapiranje se svodi na logističko mapiranje koje su istraživali May i Feigenbaum. Vrijednosti a i b pri kojima nastaje čudan atraktor uključuju, posebno, . Izgradite graf ovog preslikavanja na ravni, omeđujući ga pravokutnikom. Nakon što ste dobili atraktor, usmjerite pažnju na neki njegov mali dio i povećajte ovaj dio pomoću transformacije sličnosti. Follow Essentially veliki broj iteracije preslikavanja i pokušaj da se otkrije fraktalna struktura male veličine. Ako imate strpljenja ili imate brzi kompjuter pri ruci, onda izvršite još jednu transformaciju sličnosti i ponovite sve iznova za još manju površinu atraktora (vidi sliku 1.20, 1.22).

Ako imate program za izračunavanje Ljapunovljevih eksponenta, onda je korisno imati na umu da je vrijednost Ljapunovljevog eksponenta data u literaturi, a fraktalna dimenzija atraktora u Henonovoj karti je . Promjenom parametara a i b, može se pokušati odrediti područje onih vrijednosti za koje postoji atraktor i pronaći područje udvostručenja perioda na ravni (a, b).

B.5. DUFFING JEDNAČINA: UEDA ATTRACTOR

Ovaj model električnog kola sa nelinearnom induktivnošću razmatran je u Pogl. 3. Jednačine ovog modela, napisane kao sistem jednačina prvog reda, imaju oblik

Ueda je detaljno proučavao haotične oscilacije u ovom modelu. Koristite neki standardni algoritam numeričke integracije, kao što je Runge-Kutta šema četvrtog reda, i razmotriti slučaj . Na , trebalo bi da dobijete periodičnu putanju sa periodom od 3. (Postavite Poincaréov odeljak na ) U blizini vrednosti, putanja sa periodom od 3 treba da se, nakon bifurkacije, pretvori u haotično kretanje.

Na , periodičnost se ponovo obnavlja sa prolaznim haotičnim režimom (vidi sliku 3.13).

Uporedite fraktalnu prirodu atraktora kako se prigušenje smanjuje, uz pretpostavku da je i 0,05. Imajte na umu da na , ostaje samo mali dio atraktora, a na , kretanje postaje periodično.

B.6. DUFFING JEDNAČINA SA DVA POTENCIJALNA BUŠINA: HOLMES ATRAKTOR

Ovaj primjer je razmatran u našoj knjizi. Nekoliko numeričkih eksperimenata zaslužuje da se ponovi. Bezdimenzionalne jednadžbe u ovom slučaju imaju oblik

(Pod pretpostavkom i uvođenjem dodatne jednačine z = w, oni se mogu napisati kao autonomni sistem trećeg reda.) Faktor 1/2 čini prirodnu frekvenciju malih oscilacija u svakoj potencijalnoj jami jednakom jedinici. Kriterijum haosa za fiksni koeficijent prigušenja i varijable razmatrali smo u Pogl. 5. Oblast interesovanja za istraživanje je . U ovom regionu treba da dođe do prelaska iz periodičnog režima u haotični, periodičnih prozora u haotičnom režimu i izlaska iz haotičnog režima na . Postoji i druga zanimljivo područje: U svim studijama toplo preporučujemo čitaocu da koristi Poincaréovo mapiranje. Kada se koristi personalni računar, velika brzina obrade informacija može se postići posebnim trikovima pri kompajliranju programa (vidi sliku 5.3).

Još jedan zanimljiv numerički eksperiment je fiksiranje parametara, na primjer, postavljanje i variranje faze Poincaréovog preslikavanja, tj. iscrtavanje tačaka na promjenom od 0 u Zabilježite preokret preslikavanja na Da li je ovo povezano sa simetrijom jednačine ? (Pogledajte sliku 4.8.)

B.7. KUBIČNO MAPIRANJE (HOLMES)

Ilustrovali smo mnoge koncepte teorije haotičnih oscilacija na primjeru atraktora u modelu sa dva potencijalna bunara. Dinamika takvog modela opisuje se običnim nelinearnim diferencijalna jednadžba drugog reda (vidi pogl.

2 i 3), ali eksplicitna formula za Poincaréovu kartu takvog atraktora nije poznata. Holmes je predložio dvodimenzionalno kubično mapiranje koje ima neke od svojstava Duffingovog oscilatora s negativnom krutošću:

Haotični atraktor se može naći u blizini vrijednosti parametara

B.8. PRIKAZ LOPTICE (STANDARDNI EKRAN)

(Pogledajte članak od Holmesa i knjigu Lichtenberga i Liebermana.) Kao što je navedeno u pogl. 3, Poincaréovo preslikavanje za loptu koja odbija od vibrirajućeg stola može se točno napisati u smislu bezdimenzionalne brzine lopte koja udara o sto i faze kretanja stola.

gdje je gubitak energije tokom sudara.

Slučaj (konzervativni haos). Ovaj slučaj je istražen u knjizi Lichtenberga i Liebermana kao model ubrzanja elektrona u elektromagnetnim poljima. Nakon ponavljanja prikaza, primijenite dobijene tačke na ravan.Za izračunavanje koristite izraz

u poboljšanoj verziji BASIC-a. Da biste dobili dobru sliku, morate promijeniti početne uslove. Na primjer, odaberite i slijedite nekoliko stotina iteracija mapiranja na različitim v iz intervala -

Naći ćete zanimljive slučajeve sa. Na , mogu se posmatrati kvaziperiodične zatvorene putanje oko periodičnih fiksnih tačaka karte. Na , regioni konzervativnog haosa bi se trebali pojaviti u blizini tačaka separatrica (vidi sliku 5.21).

slučaj. Ovaj slučaj odgovara disipativnom mapiranju, gdje se energija gubi u svakom sudaru između lopte i stola. Poceti sa . Imajte na umu da iako prve iteracije izgledaju haotično, kao u slučaju 1, kretanje postaje periodično. Da bi se dobio fraktalni haos, vrijednosti K se moraju povećati na . Čudan atraktor, koji još više podsjeća na fraktal, dobijate postavljanjem .

B.9. MAPIRANJE KRUGA NA SEBE: SINHRONIZACIJA BROJA ROTACIJA I VILSKIH DRVEĆA

Tačka koja se kreće duž površine torusa može poslužiti kao apstraktni matematički model dinamike dva spregnuta oscilatora. Amplitude kretanja oscilatora služe kao mali i veliki radijusi torusa i često se pretpostavlja da su fiksne. Faze oscilatora odgovaraju dva ugla koji određuju položaj tačke duž malog kruga (meridijana) i veliki krug(paralele) na površini torusa. Poincaréov odsjek duž malih krugova torusa generiše jednodimenzionalnu diferencijsku jednačinu koja se naziva samopreslikavanje kružnice:

gdje je periodična funkcija.

Svaka iteracija ovog preslikavanja odgovara putanji jednog oscilatora duž velikog kruga torusa. Popularan predmet proučavanja je takozvano standardno mapiranje kruga (normalizirano na )

Moguća kretanja uočena u ovom mapiranju su: periodični, kvaziperiodični i haotični modovi. Da biste vidjeli periodične cikluse, nacrtajte tačke na kružnici s pravokutnim koordinatama

Kada je parametar 0, ne postoji ništa osim broja rotacija - omjera dvije frekvencije nepovezanih oscilatora.

Kada prikaz može biti periodičan i kada - iracionalan broj. U ovom slučaju se kaže da su oscilatori zaključani ili da je došlo do povlačenja moda. Na , mogu se uočiti sinkronizirana ili periodična kretanja u područjima konačne širine duž ose O, koja, naravno, sadrže iracionalne vrijednosti parametra . Na primjer, kada se ciklus sa periodom 2 može naći u intervalu, a ciklus sa periodom 3 može se naći u intervalu. Da biste pronašli ove intervale, izračunajte broj rotacija W kao funkciju parametra na 0 01. Izračunavamo broj rotacija ako odbacimo akciju poređenja sa i prijeđemo na granicu

U praksi, da biste dobili broj rotacija sa dovoljnom preciznošću, potrebno je da uzmete N > 500. Iscrtavajući W prema , videćete niz platoa koji odgovaraju oblastima sinhronizacije. Da biste vidjeli više regiona za sinhronizaciju, trebali biste odabrati malu AP regiju i nacrtati W za veliki broj tačke na ovom malom području.

Svaki plato sinhronizacije na grafikonu ) odgovara racionalni broj- omjer ciklusa jednog oscilatora prema q ciklusa drugog oscilatora. Odnosi su poredani u nizu poznatom kao vilinsko drvo. Ako su za vrijednosti parametara specificirane dvije regije sinkronizacije načina rada, tada će između njih u intervalu sigurno postojati još jedna regija sinhronizacije s brojem rotacija

Počevši od 0/1 at i 1/1 at , može se konstruisati čitav beskonačan niz sinhronizacionih regiona. Većina njih je veoma uska.

Imajte na umu da širina ovih regiona teži nuli i postaje veća pri Sinhronizacioni regioni u () ravni su u obliku dugih izbočina i ponekad se nazivaju Arnoldovim jezicima.

B.10. Rösslerov atraktor: hemijske reakcije, jednodimenzionalna aproksimacija višedimenzionalnih sistema

Svako od glavnih područja klasične fizike stvorilo je svoj model haotične dinamike: hidromehanika - Lorentzove jednadžbe, strukturna mehanika- Duffing-Holmes atraktor sa dva potencijalna bunara, elektrotehnika - Duffing-Ueda atraktor. Još jedan jednostavan model nastao je u dinamici kemijskih reakcija koje se odvijaju u određenoj posudi uz miješanje. Rbssler je to predložio.