Nelinearni efekti se mogu manifestirati na mnogo različitih načina. Klasičan primjer je nelinearna opruga, u kojoj je povratna sila nelinearno ovisna o istezanju. U slučaju simetrične nelinearnosti (isti odgovor pod kompresijom i zatezanjem), jednadžba kretanja ima oblik

Ako nema prigušenja i postoje periodična rješenja u kojima za , prirodna frekvencija raste s amplitudom.

Rice. 1.7. Klasična rezonantna kriva nelinearnog oscilatora sa krutom oprugom u slučaju kada su oscilacije periodične i imaju isti period kao i pokretačka sila (a i definisane su jednadžbom (1.2.4)).

Ovaj model se često naziva Duffingova jednačina po matematičaru koji ga je proučavao.

Ako na sistem djeluje periodična sila, onda klasična teorija pretpostavlja se da će i odgovor biti periodičan. Rezonancija nelinearne opruge pri frekvenciji odziva koja se poklapa sa frekvencijom sile prikazana je na sl. 1.7. Kao što je prikazano na ovoj slici, sa konstantnom amplitudom pokretačke sile, postoji raspon frekvencija pokretanja u kojima su moguće tri različite amplitude odziva. Može se pokazati da je isprekidana linija na Sl. 1.7 je nestabilan, a kako se frekvencija povećava i smanjuje, dolazi do histereze. Ovaj fenomen se naziva prekoračenjem, i uočen je u eksperimentima sa mnogim mehaničkim i električnim sistemima.

Postoje i druga periodična rješenja, kao što su subharmoničke i superharmoničke oscilacije. Ako pokretačka sila ima oblik , tada subharmoničke oscilacije mogu imati oblik plus viši harmonici ( - cijeli broj). Kao što ćemo vidjeti u nastavku, subharmonici sviraju važnu ulogu u pre-haotičnim vibracijama.

Teorija nelinearne rezonancije zasniva se na pretpostavci da periodično djelovanje uzrokuje periodični odgovor. Međutim, ovaj postulat je osporavan nova teorija haotične vibracije.

Samopobuđene oscilacije su još jedna važna klasa nelinearnih pojava. To su oscilatorna kretanja koja se javljaju u sistemima bez periodičnih vanjskih utjecaja ili periodičnih sila. Na sl. 1.8 prikazuje nekoliko primjera.

Rice. 1.8. Primjeri samopobuđenih oscilacija: a - suho trenje između mase i reuma koji se kreće; b - aeroelastične sile koje djeluju na tanko krilo; c - negativni otpor u kolu sa aktivnim elementom.

U prvom primjeru, trenje koje stvara relativno kretanje mase i pokretnog pojasa. Drugi primjer ilustruje čitavu klasu aeroelastičnih oscilacija, u kojima su stacionarne oscilacije uzrokovane stacionarnim protokom fluida za solidan na elastičnom ovjesu. U klasičnom električnom primjeru prikazanom na sl. 1.9 i koje je istražio Van der Pol, krug uključuje elektronsku cijev.

U svim ovim primjerima, sistem sadrži stacionarni izvor energije i izvor disipacije, odnosno nelinearni mehanizam prigušenja. U slučaju Van der Polovog oscilatora, izvor energije je konstantan napon.

Rice. 1.9. Dijagram kruga vakuumske cijevi koji oscilira u graničnom ciklusu istog tipa koji je istraživao van der Pol.

AT matematički model U ovom krugu izvor energije ulazi u obliku negativnog otpora:

Energija može ući u sistem pri malim amplitudama, ali kako se amplituda povećava, njen rast je ograničen nelinearnim prigušenjem.

U slučaju Froudeovog klatna (vidi, na primjer, ), energija se dobiva stacionarnom rotacijom ose. Za male oscilacije, nelinearno trenje igra ulogu negativnog prigušenja; u međuvremenu, za jake oscilacije, amplituda oscilacija je ograničena nelinearnim članom

Oscilatorna kretanja takvi sistemi se često nazivaju graničnim ciklusima. Na sl. 1.10 prikazuje putanje Van der Polovog oscilatora na faznoj ravni. Male fluktuacije spiralno se približavaju zatvorenoj asimptotičkoj putanji i kretanja velike amplitude spiralno se skupljaju na isti granični ciklus (vidi slike 1.10 i 1.11, gdje je ).

Prilikom proučavanja takvih problema često se postavljaju dva pitanja. Kolika je amplituda i frekvencija oscilacija na graničnom ciklusu? Pri kojim vrijednostima parametara postoje stabilni granični ciklusi?

Rice. 1.10. Rješenje sa graničnim ciklusom za Van der Pol oscilator prikazan na faznoj ravni.

Rice. 1.11. Relaksacijske oscilacije Van der Polovog oscilatora.

U slučaju van der Pol jednadžbe, zgodno je normalizirati prostornu varijablu na i vrijeme do , tako da jednačina ima oblik

gdje . Za male, granični ciklus je krug radijusa 2 na faznoj ravni, tj.

gdje su harmonici trećeg i višeg reda. Općenito, kretanje ima oblik relaksacionih oscilacija prikazanih na Sl. 1.11, sa bezdimenzijskim periodom od oko 1.61 at

Problem s periodičnom silom u Van der Pol sistemu je složeniji:

Pošto je ovaj sistem nelinearan, princip superpozicije slobodnih i prisilne vibracije. Umjesto toga, rezultirajuće periodično kretanje se bilježi na frekvenciji pokretanja kada je potonja blizu granične frekvencije ciklusa. Kod slabog vanjskog djelovanja postoje tri periodična rješenja, ali je samo jedno od njih stabilno (slika 1.12). Za velike vrijednosti amplitude sile postoji samo jedno rješenje. U svakom slučaju, sa sve većim određivanjem - pri fiksnom, uhvaćeno periodično rješenje se pokazuje nestabilnim i postaju mogući drugi tipovi kretanja.

Rice. 1.12. Amplitudne krive za prinudno kretanje Van der Polovog oscilatora (1.2.9).

Sa velikim razlikama između pogonskih i prirodnih frekvencija u van der Pol sistemu, pojavljuje se novi fenomen - kombinovane oscilacije, koje se ponekad nazivaju gotovo periodičnim ili kvaziperiodičnim rješenjima. Kombinovane oscilacije imaju oblik

Kada su frekvencije i nesamerljive, tj. iracionalan broj, rješenje se naziva kvaziperiodično. Za Van der Polovu jednačinu , gdje je frekvencija graničnog ciklusa slobodne vibracije(vidi, na primjer,).

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije

obrazovne ustanove

Brest Državni univerzitet nazvan po A.S. Pushkin

Fakultet fizike

Katedra za metodiku nastave fizike i OTD

NASTAVNI RAD

NELINEARNE OSCILACIJE I SINHRONIZACIJA OSCILACIJA

Izradio učenik grupe FI-51

Pashkevich A.Ya.

Supervizor:

c.f.-m. D., vanredni profesor Vorsin N.N.

Brest, 2012

Uvod

1.1 Linearne oscilacije u prisustvu determinističke vanjske sile

2. Slobodne vibracije konzervativnih sistema sa nelinearnim vraćajućim silama

2.1 Slobodne nelinearne oscilacije sistema sa prigušenjem i nelinearnom povratnom silom

2.2 Razne vrste karakteristike0

3. Neprigušene i relaksacione oscilacije

3.1 Kvalitativna analiza Van der Pol jednačine

3.2 Povezane nelinearne oscilacije, fazno zaključani regenerativni prijemnik i princip sinhronizacije

3.3 Osnovne jednačine

3.4 Velike oscilacije određivanja

3.5 Kombinovane oscilacije konstantne amplitude

3.6 Električni problemi koji dovode do Hillove jednadžbe

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Nema ništa iznenađujuće u činjenici da fizičar treba da bude u stanju da pronađe rešenje za nelinearne probleme, budući da su mnoge pojave koje se dešavaju u svetu oko njega vođene nelinearnim zavisnostima. U toku razvoja matematičkih nauka, teškoće nelinearne analize onemogućile su formulisanje ideja o nelinearnim kretanjima koje bi omogućile dublje razumevanje takvih pojava.

Gledajući unazad na istoriju naučnih dostignuća, upadljivo je da su glavni napori istraživača bili usmereni samo na proučavanje linearni sistemi i linearno. Ako istovremeno bacite pogled na svijet oko nas, bukvalno na svakom koraku nailazite na pojave koje su nelinearne prirode. Linearne reprezentacije pružaju samo površno razumijevanje većine onoga što se nalazi u prirodi. Da bi analiza bila realističnija, potrebno je postići više visoki nivo i veću lakoću u razumijevanju i korištenju nelinearnih reprezentacija.

Iza poslednjih godina razvijene su kompjuterske metode analize iu mnogim slučajevima se smatralo da dobijena rješenja mogu dati bolje razumijevanje manifestacija nelinearnosti. Uopšteno govoreći, pokazalo se da jednostavno nabrajanje numeričkih rješenja vodi samo do nešto boljeg razumijevanja nelinearnih procesa od, na primjer, promatranja same prirode, „mljevenja“ rješenja za tako specifičan nelinearni problem kao što je vrijeme. Čini se da naše razumijevanje nije zasnovano na jednačinama ili njihovim rješenjima, već na fundamentalnim i dobro shvaćenim idejama. Obično razumijemo okruženje samo kada ga možemo opisati terminima koji su toliko jednostavni da se mogu dobro razumjeti i tako široki da možemo operirati s njima bez pozivanja na određenu situaciju. Lista takvih koncepata je opsežna i uključuje, na primjer, termine kao što su rezonancija, histereza, valovi, Povratne informacije, granični slojevi, turbulencija, udarni valovi, deformacije, vremenski frontovi, imunitet, inflacija, depresija, itd. Većina najkorisnijih procesa je nelinearne prirode, a naša nesposobnost da preciznim matematičkim jezikom opišemo takve svakodnevne pojave kao što je tok vode u oluku ili vrtlog dima cigarete, dijelom je posljedica činjenice da ranije nismo bili voljni zaroniti u nelinearnu matematiku i razumjeti je.

Fenomen rezonancije, kao što je poznato, često se javlja u živoj materiji. Nakon Wienera, Szent-Györgyi je sugerirao važnost rezonancije u rasporedu mišića. Ispostavilo se da supstance sa jakim rezonantnim svojstvima obično imaju izuzetnu sposobnost skladištenja energije i informacija, a takva akumulacija se nesumnjivo odvija u mišićima.

Nelinearne oscilacije, nasumične nelinearne oscilacije i spregnute (fazno blokirane) nelinearne oscilacije suština su fenomena u mnogim oblastima nauke i tehnologije, kao što su komunikacije i energija; ritmički procesi se odvijaju u biološkim i fiziološkim sistemima. Biofizičar, meteorolog, geofizičar, atomski fizičar, seizmolog - svi se bave nelinearnim oscilacijama, često fazno sinhronizovanim u ovom ili onom obliku. Na primjer, energetski inženjer se bavi problemom stabilnosti sinhronih mašina, inženjer komunikacija se bavi nestabilnošću odabira vremena ili sinhronizacije, fiziolog se bavi klonusom, neurolog se bavi ataksijom, meteorolog se bavi frekvencijom oscilacija. atmosferski pritisak, kardiolog - sa fluktuacijama uzrokovanim radom srca, biolog - sa fluktuacijama zbog toka biološkog sata.

Glavni cilj diplomskog rada je razmatranje niza problema u teoriji nelinearnih oscilacija povezanih sa takvim fundamentalnim konceptima kao što su hvatanje (ili sinhronizacija), praćenje, demodulacija, fazno koherentni komunikacioni sistemi. Pokušat će se dati pregled nelinearnih problema od praktičnog interesa, čija su rješenja napisana u pristupačnom obliku. Pregled nije iscrpan, ali uključuje primjere problema koji ilustruju osnovne koncepte potrebne za razumijevanje nelinearnih svojstava fazno zaključanih sistema. Pitanje postojanja i jedinstvenosti rješenja dotiče se samo površno; glavna pažnja je posvećena metodama dobijanja rešenja.

Recenzirani materijal se može grupisati u tri glavne teme. Prva tema obuhvata prikaz rezultata teorije linearnih oscilacija u sistemima sa jednim stepenom slobode i konstantnim parametrima. Ovaj materijal se koristi kao referenca i za poređenje sa rezultatima dobijenim iz teorije nelinearnih oscilacija. Druga tema je posvećena lako integrivim nelinearnim sistemima na koje ne utiču spoljne sile koje zavise od vremena. Ovdje se pomoću aparata fazne ravni detaljno proučavaju slobodne oscilacije nelinearnih sistema. Pod uslovom sažetak Poincaréova teorija o singularnim tačkama diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Korisnost koncepta singularne tačke ilustruje rješenje niza fizičkih problema. Konačno, treća tema pokriva prisilne, samoodržive oscilacije (samooscilacije) i relaksacione nelinearne oscilacije. Posebno će se raspravljati o primjeni Van der Polove teorije na probleme sinhronizacije i praćenja, a poglavlje će biti zaključeno razmatranjem Hilove jednadžbe.

1. Slobodne vibracije u linearnim sistemima

Čini se vrijednim i zanimljivim sumirati glavne karakteristike linearnih oscilacija. Ovdje postoji nekoliko razloga da to učinite. Jedan od naših osnovnih zadataka je da uporedimo linearne i nelinearne metode za proučavanje oscilacija. Osim toga, praksa se razvila tako da se, koliko je to moguće, primjenjuje terminologija koja se koristi u linearnim problemima, iu nelinearnim. Konačno, korisno je imati sažetak glavnih ideja i formula linearne teorije radi lakšeg snalaženja.

Možda najjednostavniji primjer problema linearnih oscilacija daje jednostavno električno kolo koje se sastoji od induktora spojenog u seriju s kapacitivnošću i otpornika (slika 1). Mehanički analog prikazan na sl. 1 se sastoji od tijela s masom pričvršćenom na oprugu koja razvija silu (koja se zove povratna sila) proporcionalnu pomaku tijela. Za ovaj električni sistem, koristeći Kirchhoff-ov zakon, imamo

Ako pretpostavimo da se tijelo u mehaničkom sistemu kreće u sredini koja pruža otpor proporcionalan brzini (viskozno trenje), tada je jednačina kretanja za vibracije mehaničkog sistema data relacijom

Po analogiji, imamo to; ; i, štaviše, struja je analogna pomaku.

Rice. 1.Linearni električni i mehanički sistemi

Uz pretpostavku za sada da je vanjska sila i uvođenje notacije

svodimo (1.2) na oblik

Budući da su oscilacije određene ovim linearnim homogena jednačina, nazivaju se slobodnim linearnim vibracijama. Zajednička odluka linearna jednačina sa konstantni koeficijenti tu je linearna kombinacija dvije eksponencijalne funkcije:

gdje su i proizvoljne konstante koje su definirane početni uslovi, a i su korijeni karakteristične jednadžbe

Dakle, i dati su odnosima

Ako želimo da rešenje (1.5) predstavimo u realnom obliku, razmatramo tri slučaja gde je veličina: a) realna, b) nula, c) imaginarna. Lako je pokazati da rješenja poprimaju formu

gdje i su stvarni; i proizvoljne su konstante, koje se određuju postavljanjem vrijednosti pomaka (struje) i brzine u nekom početnom trenutku.

Jednačina (1.8 - a) se najčešće javlja u praksi. Lako je vidjeti iz (1.3) da se ovaj slučaj događa ako je faktor prigušenja mali u odnosu na . Jednačina (1.8 - a) u ovom slučaju opisuje takvo oscilatorno kretanje da svaka dva uzastopna maksimuma i pomaci zadovoljavaju odnos

NELINEARNE OSCILACIJE

Nelinearnost procesa, uključujući i oscilacije, matematički se izražava u nelinearnosti odgovarajućih jednačina kretanja. Sa stanovišta fizike, nelinearnost oscilacija karakterišu dva potpuno različita svojstva: anharmoničnost i nenizohronizam. Ispod anharmoničnost razumjeti prisutnost u spektru frekvencijskih fluktuacija koje su višestruke od glavne, - Furijeov harmonik, ili prizvuci. Neizohrono Oscilacije se nazivaju, čije frekvencije (osnovnih i viših harmonika) zavise od amplitude ili energije oscilacija.

Klasičan primjer nelinearnih oscilacija je kruženje planeta oko Sunca - problem s čijim je rješavanjem započela moderna mehanika i fizika. Prema Keplerovom trećem zakonu, učestalost okretanja planeta oko Sunca je data njihovom ukupnom energijom:

w=│ E│ 3/2 .

Nonizohronizam, općenito govoreći, nije povezan s anharmoničnošću. Dakle, nabijena čestica koja se kreće duž kružne orbite u konstantnom magnetskom polju brzinom bliskom brzini svjetlosti, vrši čisto harmonijske oscilacije, a frekvencija njenog kruženja je obrnuto proporcionalna energiji.

NELINEARNI OSCILATOR

Linearni (u nedostatku prigušenja - harmonijski) oscilator - glavni model linearne teorije oscilacija. Njegova jednadžba kretanja (prema drugom Newtonovom zakonu):

gdje X- vrijednost čije su fluktuacije opisane modelom (amplituda pomaka klatna, struja ili napon u oscilatornom kolu, veličina populacije, itd.), - njeno "ubrzanje".

Nelinearni oscilator je glavni model nelinearne teorije oscilacija. Njegova jednadžba kretanja je:

gdje f(.X) je nelinearna funkcija koja sadrži najmanje jednu nelinearnu (ne prvog stepena u X) član. Ukupna energija sistema ne zavisi od vremena, odnosno sistema konzervativan.

Nenizohrone oscilacije se izvode, na primjer, pomoću čestice u ravnoj potencijalnoj bušotini - kutiji s beskonačno visokim zidovima:

U(x)=0 at - l/ 2<х< l/ 2; U(X)=¥ at X£ - l/ 2, X>l/ 2.

Čestica se kreće konstantnom brzinom unutar kutije, trenutno se elastično reflektirajući na granicama. Ona kinetička energija E k \u003dmv 2/2, tj. brzina V= Ö (2E do /m) zavisi od energije. Period oscilovanja čestice izražava se formulom

Iz formule (3) se može vidjeti da se period oscilacija smanjuje sa povećanjem energije (kod drugih sistema može i rasti).

Zakon o očuvanju energije E oscilator (konzervativni nelinearni sistem) ima oblik

Potpunu kvalitativnu sliku kretanja nelinearnog oscilatora daje njegov fazni portret. Iz zakona održanja energije može se zaključiti

LEONID ISAAKOVICH MANDELSHTAM

Čak i nepotpuna lista otkrića i fundamentalna dela Akademik Leonid Isaakovič Mandelštam (1879-1944) zadivljuje svojom raznolikošću: Ramanovo i fluktuaciono rasejanje svetlosti, teorija mikroskopa, nelinearne oscilacije i radiotehnika, teorija rezonancije, radio geodezija, nova vrsta generatori elektromagnetnih talasa - parametarske mašine. Izuzetna, da ne kažem bolna, zahtjevnost L. I. Mandelstama prema rezultatima rada nije dozvolila da se na ovu listu uvrsti niz drugih, ni manje ni više. važna otkrića, - na primjer, eksperimentalno otkriće 1912. (nekoliko godina prije klasičnih eksperimenata Stewarta i Tolmana) inercije elektrona u metalima.

Ali iza sve impresivne raznolikosti dostignuća i širine interesovanja za Mandelštamov naučni rad, jasno se vidi glavna tema- teorija vibracija. Nakon što se prvi put upoznao s ovim područjem iz dvotomne Teorije zvuka Lorda Rayleigha, Mandelstam je bio prožet ljepotom njenih ideja i više puta je pribjegavao "oscilatornoj pomoći", što je omogućilo pronalaženje analogija između rezultata iz različitih dijelova fizike.

Mandelstam je sretno utjelovio rijetku kombinaciju teoretičara i eksperimentatora, istraživača i predavača. On je rekao da postoji razumevanje prve vrste, kada pročitaju i razumeju sve što je napisano, mogu da izvuku bilo koju formulu, ali još nisu u stanju da samostalno odgovore ni na jedno pitanje iz onoga što su pročitali, a razumevanje druge vrste , kada je cela slika jasna, cela veza ideja, pojava. Dubok i suptilan mislilac, Mandelstam je postigao razumijevanje druge vrste fizike i velikodušno je podijelio svoje znanje s brojnim studentima (među njima A. A. Andronov, A. A. Witt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, V. V. Migulin, S. M. Rytov, S. P. Strelkov, I. E. Tamm, S. E. Khaikin, S. P. Shubin, itd.) i studenti.

Mandeljštam je rođen u Mogiljevu u porodici koja je svetu dala naučnike, doktore i pisce. Ubrzo se porodica preselila u Odesu. Do 12 godina dječak je učio kod kuće, a zatim u gimnaziji, koju je završio sa zlatnom medaljom. Godine 1897. upisao je matematički odsek Fakulteta za fiziku i matematiku Novorosijskog univerziteta (u Odesi). Dvije godine kasnije, zbog studentskih nemira, mladić je izbačen sa univerziteta. Po savjetu roditelja, Mandelstam je otišao u Strazbur, jedan od centara fizičko istraživanje gde je nastavio školovanje. Matematičar Heinrich Weber (Rimannov učenik i autor klasičnog kursa " Diferencijalne jednadžbe Matematička fizika”), fizičar Ferdinand Braun (honovremeni direktor Instituta za fiziku), Odsjek za teorijsku fiziku vodio je Emil Cohn (autor poznatog djela “Elektromagnetno polje”).

Daleko od bilo kakvih fluktuacija, sila vraćanja je proporcionalna odstupanju (tj. mijenja se prema zakonu (- kx)). Razmotrimo, na primjer, oprugu prikazanu na slici 2.74. Sastoji se od nekoliko ploča. Uz male deformacije, savijaju se samo dugačke ploče. Pri velikim opterećenjima, kraće (i čvršće) ploče su također podložne savijanju. Obnavljajuća sila se sada može opisati na sljedeći način:

način rada baterije se prebacuje na aperiodično, kada oscilacije nestanu i tijelo se samo polako približava ravnotežnom položaju (sl. 2.72, b, c).

Unesite umjesto linije na kojoj se stavljaju tačke (t, x), linija na kojoj će se postaviti tačke ( x,v), i dobiju fazne portrete prigušenih oscilacija za različito trenje. Možete koristiti i jedan od gotovih programa Phaspdem* ili Phport * od onih dostupnih u PAKPRO paketu. Treba dobiti dijagrame tipa prikazanog na slici 2.73.

Da se vraća, tj. F i X uvek imao različiti znakovi, treba ga proširiti u niz u neparnim stepenima X. Ukoliko potencijalna energija U povezan sa snagom po formuli F = - dU/dx, to znači da

tj. oscilacije se javljaju u potencijalnoj bušotini čiji zidovi su strmiji od onih kod parabole (slika 2.75, a). Trenje ploča jedna o drugu osigurava prigušenje potrebno za prigušivanje oscilacija.

Oscilacije su moguće i u asimetričnoj bušotini, kada

(Sl. 2.75, b). Obnavljajuća sila će biti jednaka

Prilikom rješavanja zadataka za nelinearne oscilacije upotreba računara je neizbježna, jer nema analitičkih rješenja. Na računaru rješenje nije nimalo teško. Potrebno je samo u liniji na kojoj se vrši povećanje brzine (v = v + F At/m), napišite puni izraz za F, na primjer -kh-gh 2 - px 3 .

Primjer. Program za crtanje grafika nelinearnih oscilacija dat je u paketu PAKPRO pod nazivom Nlkol. Pusti je da radi. Trebali biste dobiti niz krivulja za različita početna odstupanja. Kada je x 0 veći od određene vrijednosti, oscilirajuća čestica odlazi potencijalna rupa prevazilaženje potencijalne barijere.

Probajte i programe Ncol* i Nlosc.*, dostupni u PAKPRO paketu, kao i programi koji se mogu koristiti za dobijanje faznih portreta nelinearnih oscilacija: Phaspnl*, Phportnl*.

Imajte na umu da su, strogo govoreći, gotovo sve oscilacije nelinearne. Samo pri malim amplitudama mogu se smatrati linearnim (zanemarite pojmove c x 2 , x 3 , itd. u formulama poput (2.117)).

Neka na oscilator, osim povratne sile, koja obezbjeđuje prirodne oscilacije frekvencije C00, djeluje i vanjska sila, koja se periodično mijenja sa frekvencijom co, jednakom ili ne jednakom (Oo. Ova sila će zanjihati tijelo sa frekvencijom co. Rezultirajuće oscilacije se nazivaju prisiljen.

Jednačina kretanja u ovom slučaju će biti:

Prvo, postoji proces uspostavljanja oscilacija. Od prvog pritiska, tijelo počinje oscilirati vlastitom frekvencijom od 0. Zatim, postepeno, prirodne oscilacije nestaju, a pokretačka sila počinje kontrolirati proces. Prinudne oscilacije se više ne postavljaju frekvencijom (00, već frekvencijom pokretačke sile ω. Prijelazni proces je vrlo komplikovan, nema analitičkog rješenja. Prilikom rješavanja problema numeričkom metodom programa više neće biti komplikovaniji od, recimo, programa za prigušene oscilacije.linije, gdje se, u skladu sa jednačinom gibanja, povećava brzina, sabrati pokretačku silu u obliku FobiH = Focos(cot).

Primjer. Paket PACG1RO sadrži primjer programa za dobijanje grafa prinudnih oscilacija na ekranu računara. Vidi i programe Ustvcol.pas i UstvcoW.pas. Rezultirajući x(?) graf i fazni dijagram v(x) prikazano na slici 2.76. Uz uspješan odabir parametara, jasno se vidi kako se prinudne oscilacije postepeno uspostavljaju. Zanimljivo je i posmatrati uspostavljanje prinudnih oscilacija na fazni dijagram(program Phpforce.pas).

Kada su oscilacije sa frekvencijom ω već uspostavljene, možemo pronaći rješenje jednadžbe (2.118) u obliku

Ovdje je Jo amplituda stabilnih oscilacija. Zamenimo li (2.119) u (2.118), nakon što smo prethodno pronašli vremenske derivate X" i X" i s obzirom na to to= coo 2 m, onda se ispostavlja da će (2.119) biti rješenje jednadžbe (2.118) pod uslovom da

Trenje nije uzeto u obzir, koeficijent a pretpostavljeno da je nula. Može se vidjeti da amplituda oscilacija naglo raste kako se ω približava C0 (slika 2.77). Ovaj fenomen se zove rezonancija.

Da zaista nema trenja, amplituda pri co = (Oo bi bila beskonačno velika. U stvarnosti se to ne dešava. Ista slika 2.77 pokazuje kako se rezonantna kriva mijenja sa povećanjem trenja. Ali ipak, ako se co i coo poklapaju, amplituda može postati desetine i stotine puta veća nego sa F COo. U inženjerstvu je ova pojava opasna, jer pogonske vibracije motora mogu doći u rezonanciju sa prirodnom frekvencijom bilo kojeg dijela mašine i može doći do kolapsa.

Nelinearno efekti se mogu manifestirati na mnogo različitih načina. Klasičan primjer je nelinearna opruga, u kojoj je povratna sila nelinearno ovisna o istezanju. U slučaju simetrične nelinearnosti (isti odgovor pod kompresijom i zatezanjem), jednadžba kretanja ima oblik

Ako nema prigušenja i , postoje periodična rješenja u kojima, za , prirodna frekvencija raste s amplitudom. Ovaj model se često naziva jednačina Duffing po imenu matematičara koji ga je proučavao (slika 1.54).

Ako na sistem djeluje periodična sila, onda se u klasičnoj teoriji vjeruje da će i odgovor biti periodičan. Rezonancija nelinearne opruge pri frekvenciji odziva koja se poklapa sa frekvencijom sile prikazana je na slici.

Slika 1.54 - Klasična rezonantna kriva nelinearne oscilator sa krutom oprugom u slučaju kada su oscilacije periodične i imaju isti period kao i pogonska sila (a i b su definisani u jednačini)

Za konstantnu amplitudu pokretačke sile, postoji raspon frekvencija pokretanja u kojima su moguće tri različite amplitude odziva. Može se pokazati da je isprekidana linija nestabilna, a kako frekvencija raste i opada, histereza. Ovaj fenomen se zove preokrenuti, i uočeno je u eksperimentima sa mnogim mehaničkim i električnim sistemima.

Postoje i druga periodična rješenja, kao npr subharmonic i superharmonic fluktuacije.

Ako pokretačka sila ima oblik , tada subharmoničke oscilacije mogu imati oblik plus viši harmonici (-integer).

Teorija nelinearne rezonancije zasniva se na pretpostavci da periodično djelovanje uzrokuje periodični odgovor. Međutim, upravo je ovaj postulat osporen novom teorijom haotičnih oscilacija.

Samopobuđene oscilacije - još jedna važna klasa nelinearnih pojava. To su oscilatorna kretanja koja se javljaju u sistemima bez periodičnih vanjskih utjecaja ili periodičnih sila (slika 1.55).

Slika 1.55 - Primjeri samopobuđenih oscilacija: a - suho trenje između mase i pokretne trake;

b - aeroelastične sile koje djeluju na tanko krilo

U prvom primjeru, vibracije su uzrokovane trenjem koje nastaje relativnim kretanjem mase i pokretnog pojasa.

Drugi primjer ilustruje čitavu klasu aeroelastičnih oscilacija, u kojima su stacionarne oscilacije uzrokovane stacionarnim strujanjem fluida iza čvrstog tijela na elastičnom ovjesu.

U ovim primjerima, sistem ima stacionarni izvor energije i izvor disipacije, ili nelinearni mehanizam prigušenja. U matematički model ovog kola, izvor energije ulazi u obliku negativnog otpora (Van der Pol jednadžba):

Energija može ući u sistem pri malim amplitudama, ali kako se amplituda povećava, njen rast je ograničen nelinearnim prigušenjem.

Kada se analizira van der Pol jednačina, zgodno je prijeći na bezdimenzionalne varijable normalizacijom prostorne varijable na i vremena do , tako da jednačina ima oblik

,

Prilikom rješavanja jednačine ona se predstavlja kao sistem jednačina prvog reda

Oscilatorna kretanja takvih sistema se često nazivaju granični ciklusi. Slika 1.56 prikazuje putanje Van der Polovog oscilatora na faznoj ravni. Male oscilacije spiralno se približavaju zatvorenoj asimptotičkoj putanji, a kretanja velike amplitude spiralno se kreću do istog graničnog ciklusa (gdje ) .

Slika 1.56 - Rješenje sa graničnim ciklusom za Van der Pol oscilator, prikazano na faznoj ravni

Prilikom proučavanja takvih problema često se postavljaju dva pitanja. Kolika je amplituda i frekvencija oscilacija na graničnom ciklusu? Pri kojim vrijednostima parametara postoje stabilni granični ciklusi?

Za male , granični ciklus je krug radijusa 2 na faznoj ravni, tj. gdje + ... označava harmonike trećeg i višeg reda.

Općenito, kretanje poprima oblik relaksacione oscilacije, prikazano na slici 1.57 sa bezdimenzionalnim periodom od oko 1,61 at .

Slika 1.57 Relaksacijske oscilacije Van der Polovog oscilatora

Problem s periodičnom silom u Van der Pol sistemu je složeniji:

Pošto je sistem nelinearan, princip superpozicije slobodnih i prisilnih oscilacija je neprimjenjiv. Umjesto toga, rezultirajuće periodično kretanje uhvaćen na frekvenciji vožnje kada je blizu granične frekvencije ciklusa.

Kod slabog vanjskog djelovanja postoje tri periodična rješenja, ali samo jedno od njih je stabilno (vidi sliku). Za velike vrijednosti amplitude sile postoji samo jedno rješenje. U svakom slučaju, kako se depodešavanje povećava, uhvaćeno periodično rješenje postaje nestabilno i postaju mogući drugi tipovi kretanja.

Sa velikim razlikama između pogonskih i prirodnih frekvencija u van der Pol sistemu, pojavljuje se novi fenomen - kombinovane vibracije, koji se ponekad nazivaju gotovo periodična ili kvaziperiodična rješenja, oblika

Kada su frekvencije i nesumjerljive, tj. iracionalan broj, rješenje se naziva kvaziperiodični. Za Van der Polovu jednačinu , gdje je frekvencija graničnog ciklusa slobodnih oscilacija (slika 1.58).

Slika 1.58 - Amplitudne krive za prisilno

kretanja van der Polovog oscilatora

U nastavku ćemo više govoriti o kvaziperiodičnim oscilacijama, ali budući da nisu periodične, mogu se pomiješati sa haotičnim rješenjima, koja nisu. (Za njih, Fourierov spektar rješenja sastoji se od dva vrha na , )

Kada su , i nesumjerljivi, fazni portret rješenja je otvorena putanja, a druga metoda se koristi za grafičko predstavljanje kvaziperiodičnih funkcija.

Stroboskopsko uzorkovanje se vrši u intervalima; postaviti i označiti , .

Tada se omjer smanjuje na